《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页）
XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试
复变函数 试卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。）
1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im
2.
函数2
)
(z z f =在复平面上
( ) A.处处不连续 B.
处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0=
z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析
3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b
a b
a --1的值 ( )
A.大于1
B.等于1
C.小于1
D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0
5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin
π=?dz z z
C n
，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2
6.0=z 是2
1
)(
z e z f z -=的 ( )
A.1阶极点
B.2阶极点
C.
可去奇点 D.本性奇点
7.幂级数!2)1(0
n z n n
n n
∑∞
=-的和函数是 ( )
A.z
e - B.2
z
e C.2
z e
-
D.z sin
8.设C 是正向圆周 2=z ，则
=?C z dz
2 ( )
A.0
B.i 2π-
C.i π
D.i 2π
9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 的充要条件是 ( ) A.a z f z z =→)(lim 0 （a 为复常数） B.∞=→)(lim 0 z f z z C.)(lim 0 z f z z →不存在 D.以上都对 10. z ln 在1=z 处的泰勒级数展开式为 ( ) A.11 ,1)1() 1(11<-+--+∞ =∑z n z n n n B.11 ,)1()1(1 <---∑∞ =z n z n n n C.11 ,1)1() 1(10<-+--+∞ =∑z n z n n n D.11 ,)1()1(0 <---∑∞=z n z n n n 二、填空题(本大题共5小题，每题3分，共15分) 11.i 21+=z 的共轭复数=z ________ . 12.设)i 2)(i 32(+--=z ，则=z arg ________ . 13.在复平面上，函数)2(i )(2 2 2 y xy x y x z f -+--=在直线 ________ 上可导. 14.设C 是正向圆周1=z ，则 =?dz z z C 5cos ________ . 15.若级数∑∞ =1 n n z 收敛，而级数 ∑∞ =1 n n z 发散，则称复级数 ∑∞ =1 n n z 为 ________ . 学号和姓名务必正确清楚填写。因填写错误或不清楚造成不良后果的，均由本人负责；如故意涂改、乱写的，考试成绩视为无效。 答 题 请 勿 超 过 此 密 封 线 ， 否 则 视 为 无 效 。 《复变函数》试卷 第3页（共4页） 《复变函数》试卷 第4页（共4页） 三、计算题(本大题共5小题，每小题8分，共40分) 16.利用柯西-黎曼条件讨论函数z z f =)(的解析性. 17.判断数列1 i 2017++=n n z n 的收敛性. 若收敛，求出其极限. 18.求在映射2 z w =下，z 平面上的直线t z )i 2(+=被映射成w 平面上的曲线的方程. 19.求z e 在0=z 处的泰勒展开式. 20.计算积分dz z ? +i 10 2. 三、证明题(本大题共1小题，每小题15分，共15分) 21.试证明柯西不等式定理:设函数)(z f 在圆R z z C =-0:所围的区域内解析，且在C 上连续，则 ,...)2,1( ! )(0)(=≤ n R Mn z f n n 其中M 是)(z f 在C 上的最大值. 《复变函数》试卷 第5页（共4页） 《复变函数》试卷 第6页（共4页） XXXX 学院2016-2017学年度第一学期期末考试 复变函数答案（A 卷） 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1－5 C C B B D 6-10 A C A B C 二、单项选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11. i 21- 12. 8arctan -π 13. 2 1 =y 14.i 2π 15.条件收敛 三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分） 16. 解：因y x z z f i )(-==，故 y y x v x y x u -==),( ,),(，从而 ,1 ,0 ,0 ,1-=??=??=??=??y u x u y u x u 因此在任何点),(y x 处，y v x u ??≠??，所以)(z f 在复平面内处处不解析。 17. 解： i 1 120161i 1602+++=++=n n n n n z n 而 )( 11 012016∞→→+→+n n n n ， 所以 i lim =∞→n n z 18. 解：直线t z )i 2(+=的参数方程为 )( , 2∞<<-∞?? ?==t t y t x 在2z w =映射下，该直线被映射成w 平面上的曲线 2222)i 43()i 2(t t z w +=+== 于是 ,4 ,32 2t v t u == 消去t ，得 )0( 3 4 ≥=u u v 这是w 平面上第一象限内的一条半直线。 19. 解：因为,...)2,1,0()()(==n e e z n z ，其展开式中泰勒系数为 ! 1!)0()(n n f c n n == 于是 z e 在0=z 处的泰勒展开式为 ???++???+++==∑∞ =!!21! 0n z z z n z e n n n n z 20. 解：）（）（i 13 2i 131|313 i 103i 102+-=+==++?z dz z 五、证明题（本大题15分） 21. 证：由假设条件及高阶导数公式，有 ,...)2,1( ) () (i 2!)(100)(=-= ?+n dz z z z f n z f C n n π 于是 ,...)2,1( ! 22!,...)2,1( )(2! )(1110 0) (==??≤=-≤+++?n R Mn R R M n n dz z z z f n z f n n C n n πππ 证毕。 软件工程与U M L建模复习题B 一：单选题 1．是在系统之外，透过系统边界与系统进行有意义交互的任何事物 A).相关系统B).Use Case C).Class D).Actor 2.软件工程是以为核心 A).过程B).面向对象C).软件开发D).质量 3.“系统应具有很高的可靠性，使用该产品的前3个月，系统不应该出现崩溃（数据不可恢复）的现象”，这属于 A).功能性需求B).客观需求C).主观需求D).非功能性需求 4.“系统每天晚上自动生成进货报表”，Actor是： A).系统B).其它系统C).时间D).报表审阅者 5.数据流程图是一个分层的概念模型，分三个层次：，分别描述系统的不同特征 A).总体图、二级图、三级图B).总体图、二级图、细节图 C).总体图、零级图、细节图D).总体图、次级图、细节图 6.正式运行系统后能够产生的收益被称为 A).直接效益B).运营效益C).最佳效益D).启动效益 7.“以相对短的时间和相对低的成本来确定给定的问题在其约束条件内是否有解、有几种解以及哪个是最佳解”，这指的是软件开发过程中的 A).问题定义B).可行性研究C).需求分析D).设计 8.在处理过程定义中，有时存在多重嵌套的情况，对于复杂的条件组合问题，用自然语言往往不能直观、清楚地表述处理的过程，因此，常常使用方法。 A).数据字典B).判定表和判定树C).用例图D).螺旋模型 9.设C(X)定义问题X的复杂性函数，E(X)定义解决问题X所需要工作量的函数，对于两个问 题p1和p2，一般情况下如果C(p1) 第一章 复数的运算与复平面上的拓扑 1.复数的定义 一对有序实数（x,y ）构成复数z x iy =+,其中()()Re ,Im x z y z ==.21i =-， X 称为复数的实部，y 称为复数的虚部。 复数的表示方法 1） 模： z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值 ()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与 arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 4）若 12 1122,i i z z e z z e θθ==, 则 () 121212i z z z z e θθ+=； ()121122 i z z e z z θθ-= 5.无穷远点得扩充与扩充复平面 复平面对内任一点z , 用直线将z 与N 相连, 与球面相交于P 点, 则球面上除N 点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N 点本身可代表无穷远点, 记作∞.这样的球面称作复球面 这样的球面称作复球面. 扩充复平面---引进一个“理想点”: 无穷远点 ∞ 复平面的开集与闭集 复平面中领域，内点，外点，边界点，聚点，闭集等概念 复数序列的极限和复数域的完备性 复数的极限，，柯西收敛定理，魏尔斯特拉斯定理，聚点定理等从实数域里的推广，可以结合实数域中的形式来理解。 第二章 复变量函数 1.复变量函数的定义 1）复变函数的反演变换（了解） 2）复变函数性质 反函数 有界性 周期性， 3）极限与连续性 极限： 连续性 2.复变量函数的形式偏导 1）复初等函数 ). ( ),( , , , , . z f w z w iv u w z G iy x z G =+=+=记作复变函数简称的函数是复变数那末称复变数之对应与就有一个或几个复数每一个复数中的对于集合按这个法则个确定的法则存在如果有一的集合是一个复数设. )( )(,)0(0 )( ,0 , , 0 )( 0000时的极限趋向于当为那末称有时使得当相应地必有一正数对于任意给定的存在如果有一确定的数内的去心邻域定义在设函数z z z f A A z f z z A z z z z f w ερδδεδερ<-≤<<-<><-<= . )( , )( . )( ),()(lim 000 内连续在我们说内处处连续在区域如果处连续在那末我们就说如果D z f D z f z z f z f z f z z =→ 中南大学考试试卷(A) 2008--2009学年第二学期 时间110分钟 复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式：闭卷 专业年级：教改信息班 总分100分，占总评成绩70 % 注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 一、单项选择题（15分，每小题3分） 1． 下列方程中，表示直线的是（ ）。 ()()()()()()()254(54)54(54)1 12R e 1 A i z i z z z B i z i z C z i z i D z z z -++ =-++=-++= =- 2． 函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在（ ）处可导。 ()()()()22A B x C y D ==全平面 处处不可导 3． 下列命题中，不正确的是（ ）。 ()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.z z A f z f z B f z D z f z D C e i D z e i ωπω∞∞ =-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数 ,则在内解析. 幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆 4． 下列级数绝对收敛的是（ ）。 ()()()() ()2 2111 1112n n n n n n n i i i A B C i D n n n ∞∞ ∞ ∞ ====?? ++ ?? ?∑ ∑∑∑ 5． 设()f z 在01z <<内解析且()0 lim 1z zf z →=，那么()() Res ,0f z =（ ）。 ()()()()22 11 A i B i C D ππ-- 二、填空题（15分，每空3分） 1．()Ln 1i -的主值为 。 2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。 3． ()1 sin z z z e z dz =-=? 。 4． 函数()ln 1z +在0z =处的泰勒展开式 。 5． 幂级数()1 1n n z n ∞ =-∑ 的收敛半径为 。 三．(10分)求解析函数f z u iv ()=+，已知22,()1u x y xy f i i =-+=-+。 四．(20分)求下列积分的值 1． () 2 2 4 1z z e dz z z =-? 2． ()2 sin 0x x dx a x a +∞ >+? 五．(15分)若函数()z ?在点解析，试分析在下列情形： 1．为函数()f z 的m 阶零点； 2．为函数()f z 的m 阶极点； 求()()()0Res ,f z z z f z ??? '??? ?。 六．（15分）试求()2 1 1f z z = +以z i =为中心的洛朗级数。 七．（10分）已知单位阶跃函数()0 01 t u t t >?=? UML期末考试试题与答案解析 一、选择题: 1.UML中关联的多重度就是指(B) A.一个类有多个方法被另一个类调用 B.一个类的实类能够与另一个类的多个实类相关联 C.一个类的某个方法被另一个类调用的次数 D.两个类所具有的相同的方法与属性 2.已知三个类A、B与C、其中类A由类B的一个实类与类C的1个或多个实类构成、 请画出能够正确表示类A,B与C之间关系的UML类图、 3在某个信息系统中,存在如下的业务陈述:①一个客户提交0个或多个订单;②一个订单由一个且仅由一个客户提交。系统中存在两个类:“客户”类与“订单”类。对应每个“订单”类的实例,存在___(46)_B__“客户”类的实例;对应每个“客户”类的实例,存在___(47)D___个“订单”类的实例。 供选择的答案: (1)A、0个 B、1个C、1个或多个 D、0个或多个 (2)A、0个 B、1个 C、1个或多个 D、0个或多个 4、 UML中的交互图有两种,分别就是顺序图与协作图,请分析一下两者之间的主要差别与各自的优缺点。掌握利用两种图进行的设计的方法。 答:顺序图可视化地表示了对象之间随时间发生的交互,它除了展示对象之间的关联,还显示出对象之间的消息传递。与顺序图一样,协作图也展示对象之间的交互关系。顺序图强调的就是交互的时间顺序,而协作图强调的就是交互的语境与参与交互的对象的整体组织。顺序图按照时间顺序布图,而协作图按照空间组织布图。 顺序图可以清晰地表示消息之间的顺序与时间关系,但需要较多的水平方向的空间。 协作图在增加对象时比较容易,而且分支也比较少,但如果消息比较多时难以表示消息之间的顺序。 14、什么就是对象间的可见性? 答:可见性(Visibility)指的就是一个对象能够“瞧到”或者引用另一个对象的能力。 5、UML提供了一系列的图支持面向对象的分析与设计,其中____(1)___给出系统的静态设计视图;___(2)____对系统的行为进行组织与建模就是非常重要的;____(3)___与____(4)___都就是描述系统动态视图的交互图,其中___(3)___描述了以时间顺序组织的对象之间的交互活动,___(4)____强调收发消息的对象的组织结构。 A、状态图 B、用例图 C、序列图 D、部署图 E、协作图 F、类图 答案:(1)F (2)B (3)C (4)E 6、在UML提供的图中,___(1)___用于描述系统与外部系统及用户之间的交互;__(2)___用于按时间顺序描述对象间的交互。 复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 复变函数试题汇总 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期： ? 《复变函数》考试试题(一） 一、 判断题（2０分）: 1.若ｆ(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(ｚ)在ｚ0解析． （ ) 2. 有 界 整 函 数 必 在 整 个 复 平 面 为 常 数 . ( ） ３ . 若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. （ ) 4．若ｆ(z)在区域Ｄ内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)((常数）. ( ) ５.若函数ｆ(z)在z ０处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ） 6.若 z 0是 )(z f 的 m 阶零点，则 z 0是 1/ )(z f 的 m 阶极 点． （ ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z ０ 是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域 D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈?≠. （ ） 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . 10.若函数f （z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f （ｚ)在区域D 内恒等于常数.( ） 二．填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz ＿__＿______.(n 为自然数) 2. =+z z 22cos sin ____＿____. 3．函数z sin 的周期为_________＿＿． 《复变函数论》期末考试试题-A 卷答案 一、 选择题（每小题4分，共20分） ⒈ 21|z | 考试时间 年 月 日(90分钟) 课程 UML 请将答案填写在答题纸上！不要在考卷上作答！ 一、单选题 1．执行者（Actor ）与用例之间的关系是（ ） （A ）包含关系 （B ）泛化关系 （C ）关联关系 （D ）扩展关系 2 ．在类图中，下面哪个符号表示继承关系（ ） 3．在类图中，“ #”表示的可见性是（ ） （A ）Public （B ）Protected （C ）Private （D ）Package 4．下面那个类图的表示是正确的（ ） 5．下面哪个符号代表部署图的节点（ ） 6．生命线是UML 视图中哪个图形的组成部分（ ） （A ）类图 （B ）状态图 （C ）活动图 （D ）顺序图 7．在类图中，那种关系表达总体与局部的关系（ ） （A ）泛化 （B ）实现 （C ）依赖 （D ）聚合 8．下面哪个图形代表活动（ ） (B) (A) (C) (D) (B) (A) (C) (D) Student Student name : String age : Student getName () getAge () Student Name : String Age: intInteger getName () getAge () (B) (A) (C) (D) (B) (A) (C) (D) 9．下面哪个UML 视图是描述一个对象的生命周期的（ ） （A ）类图 （B ）状态图 （C ）协作图 （D ）顺序图 10．下面哪个视图属于UML 语言的交互图（ ） （A ）行为图 （B ）状态图 （C ）实现图 （D ）顺序图 11．下面哪个符号代表包图（ ） 12．在UML 协作图中，有多少种关联角色的构造型（ ） （A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）7 13．在类图中，哪种关系表达总体与局部的关系（ ） （A ）泛化 （B ）实现 （C ）依赖 （D ）聚合 14．在类图中，“ #”表示的可见性是（ ） （A ）Public （B ）Protected （C ）Private （D ）Package 15．下面哪个符号表示注释（ ） 二、多选题 1．下面哪些图形可以清楚地表达并发行为（ ） （A ）类图 （B ）状态图 （C ）活动图 （D ）顺序图 2．下面哪些元素构成了组件图形（ ） （A ）组件 （B ）转换 （C ）关系 （D ）接口 3．部署图中的节点具有以下哪些方面的内容（ ） （A ）计算能力 （B ）基本内存 （C ）位置 （D ）接口 4．顺序图的用途包括（ ） （A ）显示并发进程和激活 （B ）当不同的类之间存在多个简短的方法时，描述控制流的整体序列 （C ）显示在协作图中难于描述的事件序列 （D ）显示涉及类交互而与对象无关的一般形式 5．常见的UML 工具有哪些？（ ） （A ）Ｒational Rose （B ）Power Designer （C ）Visio （D ）Visual UML (B) (A) (C) (D) (B) (A) (C) (D) 复变小结 1.幅角（不赞成死记，学会分析） .2 argtg 20,0,0,0,arctg 0,0,20,arctg arg ππ πππ<<-???? ?????=<≠<±≠=±>=x y y x y x x y y x x x y z 其中 -∏ b.对于P12例题 1.11可理解为高中所学的平面上三点（A,B,C ）共线所满足的公式: (向量) OC=tOA+（1-t ）OB=OB+tBA c.对于P15例题1.14中可直接转换成X 和Y 的表达式后判断正负号来确定其图像。 d.判断函数f(z)在区域D 内是否连续可借助课本P17定义1.8 4.解析函数，指数，对数，幂、三角双曲函数的定义及表达式，能熟练计算，能熟练解初等函数方程 a.在某个区域内可导与解析是等价的。但在某一点解析一定可导，可导不一定解析。 b.柯西——黎曼条件，自己牢记:（注意那个加负那个不加） c.指数函数:复数转换成三角的定义。 d.只需记住：Lnz=ln[z]+i(argz+2k π) e.幂函数：底数为e 时直接运算（一般转换成三角形式） 当底数不为e 时，w= z a = e aLnz (幂指数为Ln 而非ln) 能够区分： 的计算。 f.三角函数和双曲函数： 只需记住： 及 其他可自己试着去推导一下。 反三角中前三个最好自己记住，特别 iz iz i z -+-=11Ln 2Arctg 因为下一章求积分会用到 11)(arctan ,2+=z z (如第三章的习题9) 5.复变函数的积分 ,,,i e e i i e i ππ+)15.2(.2e e sin ,2e e cos i z z iz iz iz iz ---=+=???????=-==+=--y i i iy y iy y y y y sh 2e e sin ch 2e e cos 得分 得分 ?复变函数与积分变换?期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ ）；2.)1(i Ln +-的主值是 （ ）；3. 2 11)(z z f +=，=)0() 5(f （ ）； 4．0=z 是 4 sin z z z -的（ ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （ ） ； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 )1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； 得分 dz C 2 2．设2 2-+= ni ni n α),3,2,1(ΛΛ=n ,则=∞→n n αlim （ ） A. 0； B. 1； C. -1+i ； D. 1+i 。 3．满足不等式3211≤-+≤i z 的所有点z 构成的集合是（ ）。 A ．有界单连通区域； B. 无界单连通区域； C ．有界复连通闭域； D.无界复连通闭域。 4．下列函数中，不在复平面内解析的函数是( ) A.1 )(+=z e z f ； B ．- =z z f )( ； C ．n z z f =)( ； D ．)sin (cos )(y i y e z f x +=。 5 A. ∑∞ =+08)56(n n n i ； C. ∑∞ =02n n i ；三．计算题（每小题71．设z 1+= 2．判定函数)2()()(222y xy i x y x z f -+--=在何处可导，在何处解析。 3．计算积分? - C dz z z 4 )2 (sin π 4.计算积分 4=。 5.设,)1(2y x u -=试求解析函数iv u z f +=)(，使得i f -=)2(。 6.将函数) 2)(1(1 )(--=z z z f ，在圆环域21< 7.利用留数计算积分?C 四.证明函数yi x z f 2)(+=在复平面内不可导。（7分） 参考答案 一、填空题（本大题共8小题，每小题3 1．109 ， 2. 4 ，3. 0 ，4. 1，5. -3或 二、单项选择题(本大题共7小题，每小题31. B ，2. B ，3.C,4. B,5. B . 三、计算题（本大题共7小题，15-19 1.解：由i z 31+=得：) sin (cos 2π π i z +=, （1分） 6 24 (cos 23166ππ k i z k +=+=所以)18sin 18(cos 260ππi z +=，)1813sin 1813(cos 262ππi z += , )25sin 1825(cos 264ππi z +=,5z 7分） 2. 解 ) 2()2y xy i x -+,则 (),(22y x y x u -= y u x x u ,12=??-=?? 只在2 1 = y ,x v ??-（6分） 故只在2 1 =y 处可导，处处不解析。（7分） 3z 在2=z 内解析，（2分） 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 一、单选题 1．执行者（Actor ）与用例之间的关系是（ ） （A ）包含关系 （B ）泛化关系 （C ）关联关系 （D ）扩展关系 2 ．在类图中，下面哪个符号表示继承关系（ 3．在类图中，“ #”表示的可见性是（ ） （A ）Public （B ）Protected （C ）Private （D ）Package 4．下面那个类图的表示是正确的（ ） 5．下面哪个符号代表部署图的节点（ ） 6．生命线是UML 视图中哪个图形的组成部分（ ） （A ）类图 （B ）状态图 （C ）活动图 （D ）顺序图 7．在类图中，那种关系表达总体与局部的关系（ ） （A ）泛化 （B ）实现 （C ）依赖 （D ）聚合 8．下面哪个图形代表活动（ ） 9．下面哪个UML 视图是描述一个对象的生命周期的（ ） （A ）类图 （B ）状态图 （C ）协作图 （D ）顺序图 10．下面哪个视图属于UML 语言的交互图（ ） （A ）行为图 （B ）状态图 （C ）实现图 （D ）顺序图 11．下面哪个符号代表包图（ ） (B) (A) (C) (D) (B) (A) (C) (D) (B) (A) (C) (D) (B) (A) (D) 文档来源为从网络收集整理 .word版本可编辑.欢迎下载支持 . 12．在UML协作图中，有多少种关联角色的构造型（ ） （A）1 （B）3 （C）5 （D）7 13．在类图中，哪种关系表达总体与局部的关系（） （A）泛化（B）实现（C）依赖（D）聚合 14．在类图中，“#”表示的可见性是（） （A）Public （B）Protected （C）Private （D）Package 15．下面哪个符号表示注释（） 二、多选题 1．下面哪些图形可以清楚地表达并发行为（） （A）类图（B）状态图（C）活动图（D）顺序图 2．下面哪些元素构成了组件图形（） （A）组件（B）转换（C）关系（D）接口 3．部署图中的节点具有以下哪些方面的内容（） （A）计算能力（B）基本内存（C）位置（D）接口 4．顺序图的用途包括（） （A）显示并发进程和激活 （B）当不同的类之间存在多个简短的方法时，描述控制流的整体序列 （C）显示在协作图中难于描述的事件序列 （D）显示涉及类交互而与对象无关的一般形式 5．常见的UML工具有哪些？（） （A）Ｒational Rose （B）Power Designer （C）Visio （D）Visual UML 三、填空题（每空2分，共30分） 1. UML中有多种关系，请标出图示是哪种关系： （１）（２） （３）（４） （5）（6） (B) (A) (C) (D) (B) (A) (C) (D) 0..1 0..* employer employee 第六章留数理论及其应用 §1.留数 1.（定理6.1 柯西留数定理）： ∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k) n k=1 C 2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点， f(z)= φ(z) (z?a)n , 其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则 Res(f(z),a)=φ(n?1)(a) (n?1)! 3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点， φ(z)=(z?a)f(z),则 Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点 φ(z)=(z?a)2f(z)则 Res(f(z),a)=φ′(a) 5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数： Res(f(z),∞)= 1 2πi ∫f(z)dz Γ? =?c?1 即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1 z 这一项系数的反号 7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。 8.计算留数的另一公式： Res (f (z ),∞)=?Res (f (1t )1t 2,0) §2.用留数定理计算实积分 一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ 注：注意偶函数 二.∫P(x)Q(x)dx +∞?∞型积分 1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上 lim R→+∞zf (z )=λ 则 lim R→+∞∫f(z)dz S R =i(θ2?θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中 P (z )=c 0z m +c 1z m?1+?+c m (c 0≠0) Q (z )=b 0z n +b 1z n?1+?+b n (b 0≠0) 为互质多项式，且符合条件： （1）n-m ≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有 ∫ f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0 +∞ ?∞ 注：lim R→R+∞ ∫f(x)dx +R ?R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞?∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞?∞ 型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且 lim R→+∞g (z )=0 在ΓR 上一致成立。则 lim R→+∞ ∫g(z)e imz dz ΓR =0 4.（定理6.8）：设g (z )=P (z )Q (z )，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件： 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ ） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点 一、选择 1.UML 的全称是 ( ) （A ）Unify Modeling Language （B ）Unified Modeling Language （C ）Unified Modem Language （D ）Unified Making Language 2.参与者（Actor ）与用例之间的关系是（ ） （A ）包含关系（B ）泛化关系（C ）关联关系 （D ）扩展关系 3.在类图中，下面哪个符号表示继承关系（ ） (B) (A) (C) (D) 4.下面哪个视图属于UML 语言的交互图（ ） （A ）行为图 （B ）状态图 （C ）实现图 （D ）顺序图 5. 在类图中，下面哪个符号表示实现关系（ ） (B) (A) (C) (D) 6.下面哪个图形代表活动（ ） 7.UML 中关联的多重度是指 ( ) （A ）一个类有多个方法被另一个类调用 （B ）一个类的实类能够与另一个类的多个实类相关联 （C ）一个类的某个方法被另一个类调用的次数 （D ）两个类所具有的相同的方法和属性 8.下面哪个不是UML 中的静态视图（ ） (A)状态图 (B)用例图 (C)对象图 (D)类图 9.（ ）技术是将一个活动图中的活动状态进行分组，每一组表示一个特定的类、人或部门，他们负责完成组内的活动。 (A)泳道 (B)分叉汇合 (C)分支 (D)转移 10.下列关于状态图的说法中，正确的是（ ） (A) 状态图是UML 中对系统的静态方面进行建模的图之一。 (B) 状态图是活动图的一个特例，状态图中的多数状态是活动状态 (C) 活动图和状态图是对对象的生命周期进行建模，描述对象随时间变化的行为。 (D) 状态图强调对有几个对象参与的活动过程建模，而活动图更强调对单个反应型对象建模 11.类图应该画在Rose 的哪种（ ）视图中。 (A)Use Case View (B)Logic View (C)Component View (D)Deployment View 12.顺序图由类角色，生命线，激活期和（ ）组成 (A)关系 (B)消息 (C)用例 (D)实体 13.关于通信图的描述，下列哪个不正确（ ） (A)通信图作为一种交互图，强调的是参加交互的对象的组织； (B)通信图是顺序图的一种特例 (C)通信图中有消息流的顺序号； 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. = )0,(Re n z z e s ，其中n 为自然数. 第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ）软件工程与UML期末试题及答案
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