一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．
【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）
根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣
2
6
a
a+
，x1x2=
6
a
a+
，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=
﹣
6
6
a-
是是负整数，即可得
6
6
a-
是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．
【详解】
（1）∵原方程有两实数根，
∴，
∴a≥0且a≠6．
（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．
∵（x1+1）（x2+1）是负整数，
∴﹣是负整数，即是正整数．
∵a是整数，
∴a﹣6的值为1、2、3或6，
∴a的值为7、8、9或12．
【点睛】
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．
2．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两根α，β．
（1）求m的取值范围；
（2）若11
1
αβ
+=-，则m的值为多少？
【答案】（1）
1
4
m≥；（2）m的值为3．
【解析】
【分析】
（1）根据△≥0即可求解,
（2）化简
11αβ+,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.
【详解】 解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0，
解得：m≥-34
； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵
111αβ+=-，即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2
+﹣（）=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0 解得：m 1=﹣1，m 1=3，
由（1）知m≥-
34
， ∴m 1=﹣1应舍去，
∴m 的值为3．
【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.
3．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根，
（1）解方程求两条线段的长。
（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。 （3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。
【答案】（1）2和6；（2）3）83
【解析】
【分析】
（1）求解该一元二次方程即可;
（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；
（3）设分为两段分别是x 和6x -，然后用勾股定理求出x ，最后求面积即可.
【详解】
解：（1）由题意得()()260x x --=，
即：2x =或6x =，
∴两条线段长为2和6；
（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3，
∴此等腰三角形面积为1
22
??=
（3）设分为x 及6x -两段
()22226x x +=- ∴83
x =， ∴2823x S ?=
=， ∴面积为83
. 【点睛】
本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键.
4．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2＝0有实数根．
（1）求a 的取值范围；
（2）当a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解．
【答案】（1）a ≤
174；（2）x =1或x =2 【解析】
【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b 2﹣4ac≥0，建立关于a 的不等式，即可求出a 的取值范围；
（2）根据（1）确定出a 的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.
【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2=0有实数根，
∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a ﹣2）≥0，解得a ≤174
； （2）由（1）可知a ≤
174
， ∴a 的最大整数值为4，
此时方程为x 2﹣3x +2=0，
解得x =1或x =2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
5．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
【答案】（1）两次下降的百分率为10%；
（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元．
【解析】
【分析】
（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；
（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可
【详解】
解：（1）设每次降价的百分率为 x ．
40×（1﹣x ）2＝32.4
x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）
答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；
（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元， 由题意，得
()4030y (448)5100.5
y --?+= 解得：1y ＝1.5，2y ＝2.5，
∵有利于减少库存，∴y ＝2.5．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．
6．关于x 的一元二次方程(k -2)x 2-4x +2=0有两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围；
(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值．
【答案】（1）k ＜4且k ≠2.（2）m =0或m =83
-.
【解析】
分析：
（1）由题意，根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于k 的不等式组，解不等式组即可求得对应的k 的取值范围；
（2）由（1）得到符合条件的k 的值，代入原方程，解方程求得x 的值，然后把所得x 的值分别代入方程x 2+mx -1=0即可求得对应的m 的值.
详解：
(1)∵一元二次方程(k-2)x 2-4x+2=0有两个不相等的实数根，
∴△=16-8(k-2)=32-8k ＞0且k-2≠0.
解得：k ＜4且k≠2.
(2)由(1)可知，符合条件的：k=3，
将k=3代入原方程得：方程x 2-4x+3=0，
解此方程得：x 1=1，x 2=3.
把x=1时，代入方程x 2+mx-1=0，有1+m-1=0，解得m=0.
把x=3时，代入方程x 2+mx-1=0，有9+3m-1=0，解得m=83-.
∴m=0或m=83
-.
点睛：（1）知道“在一元二次方程20?(0)ax bx c a ++=≠中，当△=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当△=240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；
△=240b ac -<时，方程没有实数根”是正确解答第1小题的关键；（2）解第2小题时，需注意相同的根存在两种情况，解题时不要忽略了其中任何一种情况.
7．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【答案】（1）4元或6元；（2）九折.
【解析】
【详解】
解：（1）设每千克核桃应降价x 元.
根据题意，得（60﹣x ﹣40）（100+
x 2
×20）=2240， 化简，得 x 2﹣10x+24=0，解得x 1=4，x 2=6.
答：每千克核桃应降价4元或6元.
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.
∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元. 此时，售价为：60﹣6=54（元），
54100%=90%60
?. 答：该店应按原售价的九折出售.
8．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：
这20天中，该产品每天的价格y （单位：元/件）与时间t 的函数关系式为：1254y t =+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：
（1）直接写出m 关于t 的函数关系式；
（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？
（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.
【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<.
【解析】
【分析】
（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；
（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案； （3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围
【详解】
（1）设该函数的解析式为:m=kx+b
由题意得:98=k b 94=3k b +??+?
解得:k=-2,b=100
∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+.
（2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，
()1210025204W t t ??=-++- ???
21151002
t t =-++ ()2115612.52t =-
-+ ∵102
<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元.
（3）由题意得：()1210025204W t t a ??=-++-- ???
()211525001002
t a t a =-+++-， ∴对称轴为：152t a =+，
∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤，
∴15220a +≥，
∴ 2.5a ≥，
∴2.54a ≤<.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.
9．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．
（1）求m 的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围．
【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．
【解析】
试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2=6，x 1x 2=2m+1，再利用2x 1x 2+x 1+x 2≥20得到2
（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m 的取值范围． 试题解析：
（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m ＋1）≥0，
解得m≤4；
（2）根据题意得x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝2m ＋1，
而2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，所以2（2m ＋1）＋6≥20， 解得m≥3，
而m≤4，所以m 的范围为3≤m≤4．
10．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件： （1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？
（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加
m 件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m 的值．
【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．
【解析】
试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；
（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m ），列出方程求解即可．
试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，150（x﹣20）=2250，
解得x=35，
答：销售单价至少为35元；
（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m）=5670，
150+m﹣150×m%﹣m%×m=162，
m﹣m2=12，
60m﹣3m2=192，
m2﹣20m+64=0，
m1=4，m2=16，
∵要使销售量尽可能大，
∴m=16．
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．