内容提要：
一、行列式的定义
1、2阶和3阶行列式
2112221122
21
1211a a a a a a a a D -==
31231232211333221133
32
31
23222113
1211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++= 322311332112312213a a a a a a a a a ---
2、排列与逆序
定义 由n ,,3,2,1 组成的一个有序数组称为一个n 阶排列． 3、n 阶行列式定义
定义 称∑
-==
n
n n p p p np p p p p p nn
n n n
n a a a a a a a a a a a a D
21212121)
(2
1
22221
11211
)1(τ )det(ij a =
为n 阶行列式，记作D 或n D ．也记作)det(ij a ．
4、三角形行列式：主对角线元素的乘积。
二、行列式的性质 性质1 D D ='．
性质2 互换行列式的某两行（或列），行列式仅变符号． 推论 若行列式中某两行（或列）相同，则行列式为零．
性质3 行列式某行（列）的各元素乘以k ，等于用数k 乘以行列式．
推论 行列式的某行（或列）各元素的公因子可以提到行列式符号外面相乘． 推论 若行列式的某两行（或列）的对应成元素成比例，则行列式为零．
性质4 nn
n n in i i n
nn
n n in i i n nn
n n in in i i i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a
21
21
1121121
21112112
1
2211112
11βββαααβαβαβα+=+++
性质5 将行列式的某行（或列）各元素乘以数k 加到另一行（或列）的对应元素上,行列式的值不变．
三、行列式的展开定理
定义 在n D 中划掉ij a 所在的行和列（即第i 行和第j 列），余下的元素按原来的相对位置构成一个（1-n ）阶行列式，称为ij a 的余子式，记作ij M ．
ij j i ij M A +-=)1( ——ij a 的代数余子式
定理1 in in i i i i A a A a A a D +++= 2211 （n i ,,2,1 =） →按第i 行展开 或 ni ni i i i i A a A a A a D +++= 2211 （n i ,,2,1 =） →按第i 列展开 推论 02211=+++jn in j i j i A a A a A a （j i ≠） 或 02211=+++nj ni j i j i A a A a A a （j i ≠） 四、Cramer 规则
??????
?=+++=+++=+++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112
222212********* （1） 定理 当0≠D 时，方程组（1）有唯一解
D D x 11=
，D D
x 22=，……，D
D x n n =．
推论 齐次线性方程组
??????
?=+++=+++=+++0
00221122221211212111n nn n n n
n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (01=x ,02=x ,……，0=n x 显然是方程组的解，称为零解)
1）0≠D ?仅有零解． 2）有非零解?0=D ．
《线性代数》单元自测题答案
第一章 行列式
一、填空题：
1．设j i a a a a a 54435231是五阶行列式中带有负号的项，则i =________；j =_________。 分析 2,1==j i 或者1,2==j i 。
当2,1==j i 时，5244352311524435231145244352311)13542()1()1(a a a a a a a a a a a a a a a =-=-τ 。 当1,2==j i 时，5144352312514435231255144352312)23541()1()1(a a a a a a a a a a a a a a a -=-=-τ。 2． 在四阶行列式中，带正号且包含因子23a 和31a 的项为_____ __。 分析 同时包含23a 和31a 的项有
4431231244312312244312312)2314()1()1(a a a a a a a a a a a a =-=-τ。
和 4231231442312314542312314)4312()1()1(a a a a a a a a a a a a -=-=-τ。 作业：第6页，习题1.1，
2．写出四阶行列式
44
43
42
41
343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 中同时包含12a 和31a 的项。
解 4431231244312312244312312)2314()1()1(a a a a a a a a a a a a =-=-τ和
4331241243312412343312412)2413()1()1(a a a a a a a a a a a a -=-=-τ。
3． 在五阶行列式中，项2543543112a a a a a 的符号应取_______ ___。 分析 54433125122543543112a a a a a a a a a a =，所以，1)1()
1(4)
25134(=-=-τ。
4． 已知x
x x x x x f 42124011123313)(--=，则)(x f 中4
x 的系数为 ____。
分析 含4
x 的项为4144322311)1324(2)2()()1()1(x x x x x a a a a =???--=-τ。
所以，4
x 的系数为2。
5． 行列式=600
300301395200199204
100103__________。
分析 0
315214
13100100
0300
1
5
2001410032600300301395
200199204
10010322
321--→----c c c c c
20005
5
48)1(11000
1
551
4
831003131
2=---??=----+c c 。
二、计算下列各题：
1．计算6312
311211
523
4231
----=
D 。
解
21705
5501
1704
2
3
1
2231
41
31
2------+--r r r r r r D 2175551
2175551
1
7
)1(13111---+------?=+r r
301
75
5)1(13
1-=---?=+。
2. 设4
32163021
111
8751=
D ，求44434241A A A A +++的值。 解 将D 按第4行展开： 444342414321A A A A D +++=。 将D 的第4行元素分别换为1，1，1，1，则
44434241A A A A +++01
11163021
111
8751==
. 解法二 0444342414424432342224121=+++=+++A A A A A a A a A a A a 。 作业，第20页，习题1.3
2．已知p
c b a p c b a p c b a p c b a D 4
4
4
3332221114=
，求.41312111A A A A +++
解 将4D 按第1列展开：
.4143132121114A a A a A a A a D +++=
将4D 的第1列的元素分别换成1，1，1，1，则
.01
11
14
433221141312111==
+++p
c b p c b p
c b p c b A A A A
3. 计算4
44
3332
22
5432543254325432=
D 。 解 3
3
3
322221
111
43215431543154311111
54325
4
32
???→→→→c c c c D
（由范德蒙行列式） 5760453534151413120=-?-?-?-?-?-?=）（）（）（）（）（）（.
作业，第20页，习题1.3
1（6）3
3332222432444333222
432143214
321
111
14
32432432143214321432
1??→→→=
c c c D （由范德蒙行列式） .28834242314131224=-?-?-?-?-?-?=）（）（）（）（）（）（
4. 计算a
b b a a b a b a D n 00000000000
00000
=
解 将行列式按第1列展开：
1
11110
0000
0000
)1(00
000000
00)1(-+-+-?+-?=n n n n b a b b a
b b a b a a b a
a D
n n n n n n b a b b a a 1111)1()1(+-+--+=?-?+?=。
作业，第13页，习题1.2
8．b
a a a a a a n
n
21
211000100
01 2
222121*********
000100
01n
n
n
n n a a a b a a a r a r a r a r --------+
.2
2221n a a a b ----=
5．计算1
1
1
1
12111121
1112
---=
λλλn D 。 解
1
113
12131
123111321
-+--+--+-++++n n n n c c c D n n λλλλλλ
3
030000301113
1
1312----+---λλλλ
n r r r r r r n 1)3(]3[--?-+=n n λλ.
作业，第12页，习题1.2
2．
.11100001000
0103331123311323113321133311
2333323333233
332141
3124321-=------+++r
r r r r r c c c c 6．
.61
33
303330
01000
024
3
3
3333300100
0024
3
3
3
333333233
331343231=-------c c r r r r 第19页，习题1.3，
1（3）
λ
λλλλλλλλλλ
1111111
1111111111111111114
321----------+++--------c c c c
1
002122
21)1)(1(1
0002
1202
2101
111
111
41312--+-+--=--+-+------+λλλλλλλλr r r r r r
]4)1[()1(1
22
1
)1()1(223
32-+-=++--=+λλλλλ ).3()1()32()1(322+-=-+-=λλλλλ
6.设齐次线性方程组???
??=+++=+++=+++0
)12(02)12(02)1(321
3213221x k kx kx x x k x x x k x 有非零解，求k 的值。
解 因为方程组有非零解，所以其系数行列式为零，即
1
2111)1(11
01210
1121
22121
21
123
321
32++-?=++-++++k k k
k
k k c c k k
k
k k
0)2(22=-=-=k k k k ，从而得0=k 或2=k .
作业，第24页，习题1.4
2．当λ为何值时，齐次线性方程组
???
??=++=+-=++0
200321
321321x x x x x x x x x λλ 有非零解？
解 因为方程组有非零解，所以其系数行列式为零，即
.0)2)(1(2
1
1)1()1(2
1
111
0102
1111
1
1212
1=-+=-?+=-+--+λλλλλ
λλ
λr r
从而得1-=λ或2=λ.
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
第一章 行列式 一、单项选择题 1．=0 001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 2. =0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3. 若2 1 33 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 4．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 5． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 6. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 7. 若2 23 5 00 1 011110403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0
8. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 1. 行列式=0 100111010100111. 2．行列式 = -0 10000200 0010 n n . 3．行列式 =--0 01) 1(2211)1(111 n n n n a a a a a a . 4．如果M a a a a a a a a a D ==3332 31 232221131211 ，则=---=32 323331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D . 5．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为 . 6．行列式 = --+---+---111 1 111111111111 x x x x . 7．n 阶行列式=+++λλλ 111 1 11111 . 8．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3, 2, 1，则该行列式的值为 .
内容提要： 一、行列式的定义 1、2阶和3阶行列式 2112221122 21 1211a a a a a a a a D -== 31231232211333221133 32 31 23222113 1211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++= 322311332112312213a a a a a a a a a --- 2、排列与逆序 定义 由n ,,3,2,1 组成的一个有序数组称为一个n 阶排列． 3、n 阶行列式定义 定义 称∑ -== n n n p p p np p p p p p nn n n n n a a a a a a a a a a a a D 21212121) (2 1 22221 11211 )1(τ )det(ij a = 为n 阶行列式，记作D 或n D ．也记作)det(ij a ． 4、三角形行列式：主对角线元素的乘积。 二、行列式的性质 性质1 D D ='． 性质2 互换行列式的某两行（或列），行列式仅变符号． 推论 若行列式中某两行（或列）相同，则行列式为零． 性质3 行列式某行（列）的各元素乘以k ，等于用数k 乘以行列式． 推论 行列式的某行（或列）各元素的公因子可以提到行列式符号外面相乘． 推论 若行列式的某两行（或列）的对应成元素成比例，则行列式为零．
性质4 nn n n in i i n nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21 21 1121121 21112112 1 2211112 11βββαααβαβαβα+=+++ 性质5 将行列式的某行（或列）各元素乘以数k 加到另一行（或列）的对应元素上,行列式的值不变． 三、行列式的展开定理 定义 在n D 中划掉ij a 所在的行和列（即第i 行和第j 列），余下的元素按原来的相对位置构成一个（1-n ）阶行列式，称为ij a 的余子式，记作ij M ． ij j i ij M A +-=)1( ——ij a 的代数余子式 定理1 in in i i i i A a A a A a D +++= 2211 （n i ,,2,1 =） →按第i 行展开 或 ni ni i i i i A a A a A a D +++= 2211 （n i ,,2,1 =） →按第i 列展开 推论 02211=+++jn in j i j i A a A a A a （j i ≠） 或 02211=+++nj ni j i j i A a A a A a （j i ≠） 四、Cramer 规则 ?????? ?=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112 222212********* （1） 定理 当0≠D 时，方程组（1）有唯一解 D D x 11= ，D D x 22=，……，D D x n n =．
第一章补充习题 一、判断题： 、现实世界中存在着多种多样的信息处理系统，图书馆就是一种以收藏、管理和检索信息为主要目的的信息处理系统。 、信息在光纤中传输时，每隔一定距离需要加入中继器，将信号放大后再继续传输。 、集成电路根据它所包含的晶体管数目可以分为小规模、中规模、大规模、超大规模和极大规模集成电路，现在机中使用的微处理器属于大规模集成电路。 、集成电路的工作速度与芯片的尺寸有关。芯片越大，其工作速度就越快。 、在通信系统中，信道的带宽就是信道的容量。 、信息在光纤中传输时，每隔一定距离需要加入中继器，将信号放大后再继续传输。 、广播是一种特殊的、面向公众的单向通信，而通常所说的通信是指双向通信。 、电信网主要由终端设备、传输设备、交换设备等组成，利用它可以实现远程通信。 、是个人移动电话系统中采用的一种信道复用技术的简称。 、在蜂窝移动通信系统中，每个移动台始终只能与一个固定的基站通过无线电传输信息。 、所有的十进制数都可精确转换为二进制数。 二、单选题： 、下面关于个人移动通信的叙述中，错误的是。 、第代个人移动通信采用的是模拟通信技术。 、目前广泛使用的手机采用了数字通信技术，属于第代移动通信系统。 、移动通信系统中，移动电话交换中心直接接收手机（移动台）的无线信号，并负责向手机发送信号。 、第代移动通信系统将实现高质量的多媒体通信，包括语音通信、数据通信和高分辨率的图像通信等。 、数据通信中数据传输速率是最重要的性能指标之一，它指单位时间内传送的二进制位数目，计量单位的正确含义是。、每秒兆位、每秒千兆位、每秒百兆位、每秒百万位 、下面关于比特的叙述中，错误的是。 、比特是组成数字信息的最小单位 、比特只有和两个符号 、比特既可以表示数值和文字，也可以表示图像和声音 、比特“1”大于比特“0” 、使用存储器存储二进位信息时，存储容量是一项很重要的性能指标。存储容量的单位有多种，下面哪一种不是存储容量的单位。 、、、、 、与十六进制数等值的八进制数是。 、、、、 、所谓“变量操作”是指将一个整数变成绝对值相同但符号相反的另一个整数。假设使用补码表示的位整数，则经过变号操作后结果为。 、、、、 、下列关于集成电路（）的说法中错误的是。 、集成电路是现代信息产业的基础 、制造集成电路的材料只能是硅（） 、集成电路的特点是体积小、重量轻、可靠性高 、集成电路的工作速度与组成逻辑门电路的晶体管的尺寸密切相关 、下列关于个人移动通信的叙述中，错误的是。 、第代个人移动通信采用的是模拟通信技术 、目前广泛使用的手机采用了数字通信技术，属于第代移动通信系统 、移动通信系统中，移动电话交换中心直接接收手机（移动台）的无线信号，并负责向手机发送信号 、第代移动通信系统将实现高质量的多媒体通信，包括语音通信、数据通信和高分辨率的图像通信等。 、计算机网络中采用的最基本的多路复用技术是复用技术。 、时分、频分、码分、波分
行列式及矩阵的计算（课堂练习） 、填空 1 ?已知三阶方阵A 的行列式为3,贝U 2A = -24 1 2 ,g(x) 0 1 3 .设， ,为3维列向量， 记矩阵 A ( , , ),B ( A 3, 则B 3 = ,,丨 6 1 1 1 4?行列式 1 1 x 的展开式中，X 的系数是 2 . 1 1 1 1 0 1 0 5.设A 则A k 。（k 为正整数）. 2 1 2k 1 7.已知四阶行列式D 中第三列元素分别为1 , 3 , 别为3, 2, 1 , 1，则行列式D =二3 24 4 (1) 1 , 2, 3, 2 16m n 2.设A 则 g(A )= n ，则 1 , 2, 3,2 1 2 16m n 2, 2，它们对应的余子式分
(X ) 解：D = 1 X 3+ 3X(— 2) + (— 2)X 1 + 2X 1 = — 3 二、判断题 1. 设A 、B 均为n 阶方阵, |AB | [AB AB A|B. (V ) 二、行列式计算 3 3 3 3 4 3 3 4 (1) D n 3 3 4 3 3 3 3 4 3n 1 3 Cl C 2 3n 1 4 解: Ci C 3 D n 3n 1 3 G C n 3n 1 3 1 1 1 1 1 2 3 1 (2 D 1 4 9 1 1 8 27 1 2. 设A 、B 均为n 阶方阵, 解：（范得蒙行列式）=（— 3 3 3 1 =3n 1 1 0 0 0 1 3 3 3n 1 3 3 D n 0 「3 A 4 3 ——0 3 4 r n r 1 ax 1 X 2 X 3 2 五、 a 为何值时， 线性方程组： X 1 ax 2 X 3 2 有唯一解？ X 1 X 2 ax 3 3 a a 1 1 解: det A 1 a 1 (a 2)(a 1)2 a 2且a 1时，有唯一解 1 1 a 1)=— 240 1 — 3) (— 1 + 2) (— 1— 1) (3+ 2) ( 3— 1) ( — 2—
第一章： 1. 若使用命令行： java Add 88 66 33 运行带有main方法的Java程序Add.，则开始运行时，args[1]中存放的内容为（（1）），args[2]中存放的内容为（（2））。 2．用Java虚拟机执行类名为Hello的应用程序的正确命令是： A. java Hello.class B. Hello.class C. java Hello.java D. java Hello 3．编译一个Java程序Hello.java的正确命令形式是： A. javac Hello B. Javac Hello C. javac Hello.java D. javac hello 4. 设Hello.html文件嵌入一个Applet类Hello，运行或查看这个Applet的命令是： A. appletviewer Hello.html B. 点击Hello.class C. appletviewer Hello.class D. 点击Hello.java 5. 填空 1、接口interface之间的继承采用方式。 2、所有自定义类的祖先类是________________。 3、系统System类位于_________包中。 4、标准输出流对象System.out属于________________类。 5、常量Math.PI在Math类中的定义语句：__________________________。 6、接口Runnable中定义了一个抽象方法，方法声明为__________________。 7、Java语言中符号常量SIZE定义为____________________。 8、Java类数据成员的访问权限，包括public、protected、_______和包权限。 9、int整型对应的包装器类是________________。 10、long型数据占用________________字节。
行列式习题答案
2 线性代数练习题 第一章 行 列 式 系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 阶 行 列 式 一．选择题 1．若行列式x 5 22 31521- = 0，则 = x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组? ? ?=+=+4 733 22 1 21 x x x x ，则方程组的解),(2 1 x x = [ C ] （A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13， 5 -） （D ）（5,13--） 3 ． 方 程 09 3 142112 =x x 根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ] （A ）665144322315 a a a a a a （B ）6553443226 11a a a a a a （C ） 34 6542165321a a a a a a （D ） 26 654413 3251a a a a a a 5．若55 443211) 541() 1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的 值及该项的符号为[ B ] （A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负 6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ BD ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1 2 21 --k k 0 ≠的充分必要条件是 3,1 k k ≠≠- 2．排列36715284的逆序数是 13 3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s
第一章 行列式 一、单项选择题 1.行列式D 非零的充分条件是( D ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式 1 2 21--k k ≠0的充分必要条件是（ C ） A ．k ≠-1 B ．k ≠3 C ．k ≠-1且k ≠3 D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式 2 21 1b a b a =m , 2 21 1c b c b =n ,则 2 22 111c a b c a b ++=（ B ） +n （m+n ） 4.设行列式==1 11103 4 222,1111304z y x z y x 则行列式（ A ） A. 32 D.3 8 5．下列行列式等于零的是(D ) A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 2 61422613- 6．行列式 1 1 1 101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 8．如果方程组?? ? ??=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ） 9．（考研题）行列式 0000000a b a b c d c d =（ B ） A.()2ad bc - B.() 2ad bc -- C.2222 a d b c - D.22 2 2 b c a d - 二、填空题 1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。 2. 行列式11 1 2 3 44916 中（3， 2 ）元素的代数余子式 A 32=___-2___. 3. 设7 3 43690211 1 1 875 1----= D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。 解答：5A 14+A 24+A 44= 1501 3430 90211 1 15751-=--- 4．已知行列式01 110321 2=-a ，则数a =____3______. 5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 解答：0)(1 0100 22=+-=--=---b a a b b a a b b a a =0, b =0 6. 设1 31 2 4321322 )(+--+-+= x x x x f ，则2 x 的系数为 23 。 7. 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 解答：4232 1 2 331)1(6 200357020381002 30003100032=?? -=? 8. （考研题）多项式2 1 1 111 )(32 132132 1321+++++= x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有零 点为 01=x ，12-=x ，23-=x 。 9、（考研题）设x d c b d x c b d c x b d c b x x f = )(，则方程0)(=x f 的根为=x 。 【分析】 )(x f 是关于x 的四次多项式，故方程0)(=x f 应有四根，利用行列式的性质知，当d c b x ,,=时，分别会出现两行相等的情况，所以 行列式为零，故d c b x ,,=是方程的三个根。 再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为 d c b x +++，所以当)(d c b x ++-=时，满足0)(=x f ，所以得方程的 第四根)(d c b x ++-=。 故方程的四个根分别是：)(,,,d c b d c b ++-。 二、计算题 1、计算000100 0200020120002013000 002014 D = 。 【分析】方法一：此行列式刚好只有n 个非零元素 nn n n n a a a a ,,,,112211--- ，故非零项只有一项： nn n n n t a a a a 112211)1(---- ，其中2 ) 2)(1(--= n n t ， 因此 (20141)(20142) 2 (1) 2014!2014!D --=-= 方法二：按行列展开的方法也行。 2、计算行列式 3 214214314324 321= D 。 分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加 法). 解 这个行列式的特点是各列4个数的和为10 ，于是，各行加到第一行，得
第一章概论自测题答案 一、填空题 1. 数据结构是一门研究非数值计算的程序设计问题中计算机的操作对象以及它们之间的关系和运算等的学科。 2. 数据结构被形式地定义为（D, R），其中D是数据元素的有限集合，R是D上的关系有限集合。 3. 数据结构包括数据的逻辑结构、数据的存储结构和数据的运算这三个方面的内容。 4. 数据结构按逻辑结构可分为两大类，它们分别是线性结构和非线性结构。 5. 线性结构中元素之间存在一对一关系，树形结构中元素之间存在一对多关系，图形结构中元素之间存在多对多关系。 6．在线性结构中，第一个结点没有前驱结点，其余每个结点有且只有1个前驱结点；最后一个结点没有后续结点，其余每个结点有且只有1个后续结点。 7. 在树形结构中，树根结点没有前驱结点，其余每个结点有且只有1个前驱结点；叶子结点没有后续结点，其余每个结点的后续结点数可以任意多个。 8. 在图形结构中，每个结点的前驱结点数和后续结点数可以任意多个。 < 9．数据的存储结构可用四种基本的存储方法表示，它们分别是顺序、链式、索引和散列。 10. 数据的运算最常用的有5种，它们分别是插入、删除、修改、查找、排序。 11. 一个算法的效率可分为时间效率和空间效率。 二、单项选择题 （B）1. 非线性结构是数据元素之间存在一种： A）一对多关系B）多对多关系C）多对一关系D）一对一关系 （ C ）2. 数据结构中，与所使用的计算机无关的是数据的结构； A) 存储B) 物理C) 逻辑D) 物理和存储 （C）3. 算法分析的目的是： A) 找出数据结构的合理性B) 研究算法中的输入和输出的关系 】 C) 分析算法的效率以求改进D) 分析算法的易懂性和文档性 （A）4. 算法分析的两个主要方面是： A) 空间复杂性和时间复杂性B) 正确性和简明性 C) 可读性和文档性D) 数据复杂性和程序复杂性 （ C ）5. 计算机算法指的是： A) 计算方法B) 排序方法C) 解决问题的有限运算序列D) 调度方法 （B）6. 计算机算法必须具备输入、输出和等5个特性。 A) 可行性、可移植性和可扩充性B) 可行性、确定性和有穷性 C) 确定性、有穷性和稳定性D) 易读性、稳定性和安全性 } 三、简答题 1.数据结构和数据类型两个概念之间有区别吗 答：简单地说，数据结构定义了一组按某些关系结合在一起的数组元素。数据类型不仅定义了一组带结构的数据元素，而且还在其上定义了一组操作。 2. 简述线性结构与非线性结构的不同点。
第一部分 行列式作业 （一）选择题(15分) １．在5阶行列式展开式中，12335544i j a a a a a 是其中带有正号的一项，则,i j 之值为（ ） (A) 1,2i j == (B) 2,3i j == (C) 1,3i j == (D) 2,1i j == ２．在5阶行列式展开式中，包含1325,a a 并带有负号的项是（ ） (A) 1325344251a a a a a - (B) 1325314254a a a a a - (C) 1325324154a a a a a - (D) 1325314452a a a a a - ３．已知行列式11 121321 222331 3233a a a a a a m a a a =，则行列式2122 1331113212331 311211222 1323 222222a a a a a a a a a a a a a a a ---=+++（ ） (A)－４m (B)－２m (C)２m (D)４m ４．已知4101 1111 11111111 x D ---=----，则4D 中x 的系数是（ ） (A)4 (B)-4 (C)-1 (D)1 ５． 设方程组12312312 3112 x x x x x x x x x λλλ--=?? ++=??-++=? ，若方程组有惟一解，则λ的值应为（ ） (A)0 (B)1 (C)-1 (D)异于0与1±的数 （二）填空题(15分) １．排列(1)(2)321n n n -?-??? 的逆序数为 。 ２．排列12n a a a 与排列121n n a a a a - 的逆序数之和等于 。 ３．行列式D 中第2行元素的代数余子式之和21222324A A A A +++= ，其中 1111 1111 11111111 D -= --。
如何复习线形代数 线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性 二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径 三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力 线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查 四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识 计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习， 第一章行列式 一.概念复习 1. 形式和意义 形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1) a21 a22 (2) ………. a n1 a n2…a nn 如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 (1) a21 a22 (2) ……… a n1 a n2…a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为: n nj j j a a a 2 1 2 1 ,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。 所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 2 3 2 3 215 6 3 4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项 n nj j j a a a 2 1 2 1 所乘的是. )1 () (2 1n j j j τ -即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12 (1) a21 a22…a2n =. )1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( n n n nj j j j j j j j j a a a τ - ∑ ……… a n1 a n2…a nn
补充题目 1.以下有关数据的叙述错误的是（）。 A.计算机能够处理的数据包括整数、实数、字符、声音、图像等。 B.数据的逻辑结构是从逻辑关系上描述数据，它取决于数据的存储方式。 C.数据存储结构的实现依赖于计算机语言。 D.数据的运算是定义在数据的逻辑结构上的。 解释： （1）计算机能够处理的数据包括整数、实数和字符是显而易见的。随着计算机应用领域的拓宽，声音和图像也可以按照一定的编码方式达到数字化，交由计算机处理。故选项A是正确的。 （2）数据的逻辑结构是从抽象的逻辑关系上描述数据，是独立于计算机的。所以与数据的存储方式无关。故选项B是错误的。 （3）数据的存储结构是逻辑结构在计算机中的实现，它依赖于计算机语言。例如：链式存储结构的实现就要借助于计算机语言中的指针类型。故选项C正确。 （4）每种不同的逻辑结构都有各自的一个运算集合。例如，对线性表可以实施的操作种类与对树可以实施的操作种类是不同的，也就是说数据的运算是定义在其逻辑结构上的。故D正确。 2.以下关于算法的叙述中正确的是（）。 A.算法是指用计算机语言编写的程序。 B.算法中的指令必须是机器可执行的。 C.一个正确的算法必须在有限时间内完成。 D.一个算法允许有零个输入和零个输出。 解释： （1）算法可用自然语言描述，也可用流程图来表示，也可用程序设计语言来体现。但算法和程序在概念上是有区别的。算法必须满足有穷性，程序则不然。典型的例子就是计算机中的操作系统，只要接通电源，操作系统就一直在运行，除非出现故障。因此，作为程序的操作系统就不是一个算法。故选项A是不正确。（2）程序中的每一条指令必须是机器可执行的，而对于算法则无此限制。故选项B错误。 （3）算法的5个基本特征之一“有穷性”就是要求算法应该在有限时间内完成。故C正确。 （4）一个算法可以没有输入，这时算法中涉及的操作数可以是常数，或通过赋值获得；但一个算法必须有输出，用以表明运算结果，否则就没有存在的价值。故D错误。 3.以下关于存储结构的叙述中正确的是（）。 A.数据的存储结构是数据之间关系的抽象描述。 B.数据的存储结构对数据运算的具体实现没有影响。 C.数据的存储结构是逻辑结构在计算机存储器中的实现。 D.数据的存储结构分为线性结构和非线性结构。 解释： （1）描述数据之间抽象关系的是数据的逻辑结构而非存储结构。故A错误。 （2）对数据运算的实现是建立在一定的逻辑结构和存储结构之上的。例如：采用顺序存储结构的线性表和采用链式存储结构的线性表，无论是插入、删除，还是查找、输出，其操作都是截然不同的。故B错误。（3）数据的存储结构是其逻辑结构在计算机内存中的映像，它既要保证存储数据本身，又要保证能正确反映数据之间的逻辑关系。故C正确。 （4）线性结构和非线性结构是针对数据的逻辑结构而言的，故D错误。 4.请看以下用自然语言描述的一个计算过程： （1）开始 （2）0→sum （3）sum+1→sum （4）重复（3） （5）结束
第一章 行列式试题及答案 一 选择题 (每小题3分，共30分) ⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换，变为i n … i 2 i 1，则相邻对换的次数为( ) (A) n (B) n /2 (C) 2n (D) n (n -1)/2 ⑵ 在函数()x x x x x x f 21421 12---=中，x 3的系数是( ) (A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4 ⑶ 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( ) (A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D) (-1) n(n -1)/2 ⑷ 设 n n λλλλλλ 21 2 1 = ，则n 不可取下面的值是( ) (A)7 (B) 2k +1(k ≥2) (C) 2k (k ≥2) (D) 17 ⑸ 下列行列式等于零的是( ) (A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010- (D) 2614226 13- ⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺ =+++1 11 222c bc ac bc b ab ac ab a ( ) (A) 1 000100 01222 +c bc ac bc b ab ac ab a (B) 1111122222 +++++c bc ac bc b ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a (C) 101011122 22 2 +++++c bc bc b ac ab c bc ac bc b ab ac ab a (D) 1 1122 2 bc ac bc ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a + ⑻ 设a ,b ,c 两两不同，则02 22=+++c b a c b a b a a c c b 的充要条件是( ) (A) abc =0 (B) a+b+c =0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2 =b 2 , c =0 ⑼ 四阶行列式 =4 4 3 322 1 1 a b a b b a b a ( ) (A) (a 1a 2- b 1b 2) (a 3a 4- b 3b 4) (B) (a 1a 4- b 1b 4) (a 2a 3- b 2b 3) (C) (a 1b 2- a 2b 1) (a 3b 4- a 4b 3) (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3- a 3b 2) ⑽ 齐次线性方程组??? ??=-+=+-=-+03020 223 21321321x x x x x x x x x λ只有零解，则λ应满足的条 件是( ) (A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ≠1 二 填空 (每小题3分，共15分) ⑴ 在五阶行列式中，3524415312a a a a a 的符号是_________。 ⑵ 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 ⑶ 设7 3 4 369 02 111 1875 1----= D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。 ⑷ 若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 ⑸ 设x 1,x 2,x 3是方程x 3+px +q =0的根，则行列式=1 32213 3 21 x x x x x x x x x __。 三 计算行列式 (每小题6分，共30分) ⑴ 0 112 2 1 032101132 2 2 1 13 1 3211----- ⑵ ()()()()()()()()()()()()2 22 2 2222 2222 2222321321321321++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ⑶ y y x x -+-+11 1 1 111111111111 ⑷ a c b a c b a c b a c b a ⑸ x b b b a x b b a a x b a a a x D n =(a ≠ b ) 四 证明题 (每小题10分，共20分) ⑴ 用归纳法证明: 任意一个由自然数1,2,…,n 构成的n 元排列，一定可以经过不超过n 次对换变成标准排列12…n ⑵ 设平面上三条不同的直线为 000 =++=++=++b ay cx a cy bx c by ax ， 证明: 三条直线交于一点的充分必要条件是0=++c b a
行列式及矩阵的计算（课堂练习） 一、填空 1．已知三阶方阵A 的行列式为3，则 2A -= -24 2. 设12,01A -?? = ???1()32x g x x -= -+，则()g A =0800-?? ??? 3．设,,αβγ为3维列向量，记矩阵(,,),(,,)A B αβγαββγγα==+++，若 3,A B =则=,,,,6αβγ βγα+= 4.行列式1 1 1 11 1 11 ---x 的展开式中,x 的系数是 2 . 5．设???? ??=1201A 则=k A 1021k ?? ??? 。（k 为正整数）. 6．设321,,ααα,21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式1123,,,m αααβ=， 1232,,,n αααβ=,则12312,,,2αααββ-=16m n + 解：11231232,,,2,,,D αααβαααβ=+- 14412312322,,,(1),,,16m n αααβαααβ=+-=+ 7. 已知四阶行列式D 中第三列元素分别为1，3，-2，2，它们对应的余子式分 别为3，-2，1，1，则行列式D =－3 .
解：D ＝1×3＋3×（－2）＋（－2）×1＋2×1＝－3 二、判断题 1．设A 、B 均为n 阶方阵，则A B A B =. （ × ） 2．设A 、B 均为n 阶方阵，则AB A B =. （√ ） 三、行列式计算 （1）4 3 3 3 34333 343 3334 Λ ΛΛΛΛΛΛ ΛΛ=n D 解： n D n c c c c c c +++13121M 4 3 3 1 334313334133331 3Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ++++n n n n 1 1312r r r r r r n ---M 1 01000 0103 3313Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ+n =13+n （2）11111231 149118271 D --=-- 解：（范得蒙行列式）＝（－1－3）（－1＋2）（－1－1）（3＋2）（3－1）（－2－ 1）＝－240 五、a 为何值时，线性方程组：??? ??-=++=++=++a ax x x x ax x x x x a 322321 321321有唯一解？ 解：2 )1)(2(11111 1det -+==a a a a a A ，2-≠a 且1≠a 时，有唯一解.
第一章 行列式 （√）1．若11 12 13 2122 23313233a a a a a a d a a a =，则13 1211 23222133 32 31 a a a a a a d a a a =. 2.互换行列式的任意两行，行列式值不变. （ ） 3.排列631254的逆序数是6. （ ） 4.对角行列式的值等于其所有对角元素的乘积． （ ） 5.分块对角阵的行列式等于对角线上各方块行列式之积．（ ） 6.设A 为3阶方阵，2A =，则 12 T A A =__________. 7.逆序数()21n τ= _____________. 8.排列32514的逆序数是： ． 9.排列631254的逆序(631254)t = 8 . 10.设四阶行列式1 11 222 43334 4 4 p a b c p a b c D p a b c p a b c = ,则第四列的代数余子式之和 = 0 . 11.设3312243,0311A t B ?-?? ? =≠ ? ?-?? 且AB=0,则t = 3 . 12.设a 、b 为实数，则当a =＿_＿且b =＿_＿时，01 0000 =--a b b a 13.== 3 4 3 3 3 2 3 1 242322214 3211 111 x x x x x x x x x x x x D __________________________. 14.设D 为一个三阶行列式，第三行元素分别为-1，2,3，其余子式分别为1,2,1，则D ____________=.
15.设 211 111 401 D - = - ， ij A为D中元素 ij a的代数余子式，则 313233 A A A ++=_ ______. 16.sin cos cos sin αα αα - =_____________. 17.001 020 00 n = _____________. 18.设 211 111 401 D - = - ， ij A为D中元素 ij a的代数余子式，则 313233 A A A ++=_ ______. 19．若D是n阶行列式，下列说法中错误的是（）． .A D与T D相等； .B若D中有两行元素成比例，则D等于零； .C若D中第i行除()j i,元外都为零，则D等于()j i,元与它的代数余子式的乘积；.D D的某一行元素与另一行的对应元素的余子式乘积之和为零． 20.行列式349 571 214 -的元素 23 a的代数余子式 23 A为（） A. 3 B.3- C.5 D.5- 21．方程 1 110 12 λλ λ λ - =的实根个数为（） A. 0 B. 1 .C 2 .D 3 22． 23.计算行列式 2111 1211 1121 1112 D=； 1 311 131 113 D=； 2 111 135 1925 D=； 1 411 141 114 D=；
第一章 马克思主义中国化的历史进程及其理论 成果自测题（B） 一、单项选择题。 1．江泽民提出（ ）是我们党的立党之本、执政之基、力量之源。A．发展 B．群众基础 C．始终做到“三个代表” D．党的先进性 2．毛泽东最先提出“马克思主义中国化”这个命题是在（）。A．《论新阶段》 B．《改造我们的学习》 C．《反对本本主义》 D．《实践论》 3．各国的马克思主义者的任务就是结合各个国家不同时期的具体实际，将马克思主义进一 步加以（ ）。 A．系统化 B．民族化、具体化 C．国家化 D．世界化 4．1942年，毛泽东在一次讲话中谈到马克思主义中国化的两个相互联系．相互一致的目标是（ ）。 A．解决中国问题和创造些新的东西 B．国际化和中国化 C．理论和实际 D．旧中国与新中国 5．毛泽东思想形成的时代背景是（）。 A．帝国主义战争与无产阶级革命成为时代主题 B．和平与发展成为时代主题 C．世界多极化成为时代主题 D．经济全球化成为时代主题 6.毛泽东思想确立为党的指导思想是在（）。
A．1945年党的七大上 B．1956年党的八大 C．1982年党的十二大 D．1992年党的十四大 7.邓小平理论首要的基本理论问题是（）。 A．建设一个什么样的党 B．什么是社会主义，怎样建设社会主义 C．怎样建设党 D．始终保持党的先进性 8.“三个代表”重要思想创造性地回答了（）。 A．建设什么样的党．怎样建设党的问题 B．什么是社会主义，怎样建设社会主义的问题 C．社会主义建设的规律问题 D．始终保持党的先进性的问题 9.党的文件第一次提出“科学发展观”是在党的十六届三中全会通过的（）。 A．《关于建国以来党的若干历史问题的决议》 B．《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十一个五年计划的建议》 C．《中共中央关于完善社会主义市场经济体制若干问题的决议》D．《中共中央关于加强党的执政能力建设的决定》 10.科学发展观的核心是（）。 A．可持续发展 B．全面发展 C．以人为本 D．协调发展 11.科学发展观的第一要义是（）。 A．经济建设