第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
三角函数的概念
(1)了解任意角、弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化．
(2)会判断三角函数值的符号．
(3)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
知识点一 角的有关概念
(1)从运动的角度看，可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角．
(3)若α与β角的终边相同，则β用α表示为β＝α＋2k π(k ∈Z )．
易误提醒 (1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|2k π<α<2k π＋π
2
，k ∈Z }． (2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．
[自测练习]
1．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z )，则角α与β的终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称
D ．关于y 轴对称
解析：角α与θ终边相同，β与－θ终边相同． 又角θ与－θ的终边关于x 轴对称． ∴角α与β的终边关于x 轴对称． 答案：C
知识点二 弧度的概念与公式 在半径为r 的圆中 分类 定义(公式)
1弧度的角
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad 表示．
角α的弧度数公式 |α|＝l
r (弧长用l 表示)
角度与弧度的换算
1°＝π
180
rad ；1 rad ＝????180π° 弧长公式 弧长l ＝|α|·r 扇形的面积公式
S ＝12lr ＝1
2
|α|·r 2 易误提醒 角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
[自测练习]
2．弧长为3π，圆心角为3
4
π的扇形半径为________，面积为________．
解析：弧长l ＝3π，圆心角α＝34π，由弧长公式l ＝|α|·r ，得r ＝l |α|＝3π34π＝4，面积S ＝1
2
lr
＝6π.
答案：4 6π
知识点三 任意角的三角函数
三角函数
正 弦
余 弦
正 切
定 义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么
y 叫作α的正弦，记作sin α
x 叫作α的余弦，记作cos α y
x 叫作α的正切，
记作tan α 各象限符号
Ⅰ
正
正
正
Ⅱ 正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ 负
正
负
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
三角函数线
有向线段MP 为正弦线
有向线段OM 为
余弦线
有向线段AT 为正切线
易误提醒 三角函数的定义中，当P (u ，ν)是单位圆上的点时有sin α＝ν，cos α＝u ，tan α＝νu ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝νr ，cos α＝u r ，tan α＝νu
.
[自测练习]
3．若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角
D ．第四象限角
解析：由sin α<0，得α在第三、四象限或y 轴非正半轴上，又tan α>0，∴α在第三象限．
答案：C
4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255
，则y ＝________.
解析：由三角函数的定义，sin θ＝y
16＋y 2
， 又sin θ＝－25
5<0，
∴y <0且
y 16＋y 2
＝－25
5，
解之得y ＝－8. 答案：－8
考点一角的集合表示及象限角的判断|
1．(2015·东城期末)若角α满足α＝2k π3＋π
6(k ∈Z )，则α的终边一定在( )
A ．第一象限或第二象限或第三象限
B ．第一象限或第二象限或第四象限
C ．第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上
D ．第一象限或第二象限或y 轴非正半轴上 解析：由α＝2k π3＋π
6，k ∈Z ，
当k ＝0时，α＝π
6，终边在第一象限．
当k ＝1时，α＝2π3＋π6＝5π
6
，终边在第二象限．
当k ＝－1时，α＝－2π3＋π6＝－π
2，终边在y 轴的非正半轴上，故选D.
答案：D
2．已知sin α>0，cos α<0，则1
2α所在的象限是( )
A ．第一象限
B ．第三象限
C ．第一或第三象限
D ．第二或第四象限
解析：因为sin α>0，cos α<0，所以α为第二象限角，即π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，则
π
4＋k π<12α<π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，12α为第一象限角；当k 为奇数时，1
2α为第三象限角，
故选C.
答案：C
3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，
得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，
从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°
解决终边相同的角的集合的两个方法
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α所在的象限．
考点二三角函数的定义|
已知角α的终边在直线y＝－3x上，
求10sin α＋3
cos α的值．
[解]设α终边上任一点为P(k，－3k)，则r＝k2＋(－3k)2＝10|k|.
当k>0时，r＝10k，
∴sin α＝－3k
10k
＝－
3
10
，
1
cos α＝
10k
k＝10，
∴10sin α＋3
cos α＝－310＋310＝0；当k<0时，r＝－10k，
∴sin α＝－3k
－10k ＝
3
10
，
1 cos α＝－10k
k＝－10，
∴10sin α＋3
cos α＝310－310＝0.
综上，10sin α＋3
cos α＝0.
用定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．
1．已知α是第二象限角，P(x，5)为其终边上一点，且cos α＝
2
4x，则x＝()
A. 3 B．±3
C．－ 2 D．－ 3
解析：依题意得cos α＝
x
x2＋5
＝
2
4x<0，由此解得x＝－3，选D.
答案：D
考点三扇形的弧长及面积公式|
(1)已知扇形周长为10，面积是4，求
扇形的圆心角．
(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ [解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，
则?????
2r ＋rθ＝1012θ·r 2＝4??????
r ＝1，θ＝8(舍)，?????
r ＝4，θ＝12
，
故扇形圆心角为1
2
.
(2)设圆心角是θ，半径是r ， 则2r ＋rθ＝40.
S ＝12θ·r 2＝12r (40－2r )＝r (20－r ) ＝－(r －10)2＋100 ≤100，
当且仅当r ＝10时，S max ＝100，θ＝2. 所以当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大．
弧度制应用的两个关注点
(1)弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr
180，扇形面积S
＝n πr 2
360
，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系． (2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．
2．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．4 B ．2 C ．8
D ．1
解析：设半径为r ，圆心角的弧度数为θ， 由S ＝12θr 2，∴8＝1
2×θ×4，∴θ＝4.
答案：A
9.数形结合思想在三角函数中的应
用
【典例】 (1)满足cos α≤－1
2
的角α的集合为________．
(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C (2,1)时，OP →
的坐标为________．
[思路点拨] (1)利用三角函数线可直观清晰地得出角α的范围．
(2)点P 转动的弧长是本题的关键，可在圆中作三角形寻找P 点坐标和三角形边长的关系．
[解析] (1)作直线x ＝－1
2交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，
则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足
条件的角α的集合为
????
??α??
2k π＋23π≤α≤2k π＋4
3π，k ∈Z .
(2)如图所示，
过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧P A ＝2，即圆心角∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π
2
，
所以|PB |＝sin ????2－π
2＝－cos 2， |CB |＝cos ????2－π
2＝sin 2， 所以x P ＝2－|CB |＝2－sin 2， y P ＝1＋|PB |＝1－cos 2， 所以OP →
＝(2－sin 2,1－cos 2)．
[答案] (1)????
??α??
2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z (2)(2－sin 2,1－cos 2)
[思想点评] (1)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的位置；
(2)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系．
[跟踪练习] 函数y ＝ln(sin x －3
2
)的定义域为________． 解析：(1)∵sin x >
32，作直线y ＝3
2
交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为???
x ???
??
2k π＋π3 答案：? ???2k π＋π3，2k π＋2π 3(k ∈Z ) A 组 考点能力演练 1．已知MP 、OM 、AT 分别为角θ????π4<θ<π 2的正弦线、余弦线、正切线，则一定有( ) A ．MP D ．OM 解析：如图所示，MP 、OM 、AT 分别为角θ????π4<θ<π 2的正弦线、余弦线、正切线，由于π4<θ<π 2，所以OM 故可得OM 答案：D 2．已知sin α<0，cos α<0，则角α的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：由sin α<0得角α的终边在第三或第四象限，由cos α<0得角α的终边在第二或第三象限，所以满足sin α<0，cos α<0的角α的终边在第三象限，故选C. 答案：C 3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1 D ．2sin 1 解析：由题设，圆弧的半径r ＝1 sin 1， ∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1 . 答案：C 4．若x ∈(0,2π)，则sin x >1 2的必要不充分条件是( ) A.π6 B.π 6 D.π3 解析：本题考查三角函数的性质与充分必要条件．依题意，由sin x >12，x ∈(0,2π)得知 π 6 6<π，此时sin x ＝12.因此，sin x >12的必要不充分条件是π 6 5．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动7π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为( ) A.????－12，32 B.? ??? － 32，－12 C.????－12 ，－32 D.? ?? ?－ 32，12 解析：设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动7π 3弧长到达点Q ， 则∠AOQ ＝7π3－2π＝π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝2π3，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝3 2，所以点 Q 的坐标为??? ?－12，3 2. 答案：A 6．如果角θ的终边经过点? ?? ? － 32，12，那么tan θ的值是________． 解析：由定义知tan θ＝ 12 －3 2 ＝－33. 答案：－ 33 7．已知角α(0≤α<2π)的终边过点P ????sin 2π3 ，cos 2π 3，则α＝________. 解析：本题考查了三角函数值的概念及同角三角函数的关系问题．由已知条件sin 2π 3 >0，cos 2π3<0可得角α的终边在第四象限，又由tan α＝cos 2π3sin 2π3 ＝－33(0≤α<2π)可得α＝11π 6 . 答案：11π6 8．(2016·成都一诊)在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P (x 0，y 0)，且|OP |＝r (r >0)，定义：sicos θ＝y 0－x 0 r ，称 “sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若sicos θ＝0，则sin ? ???2θ－π 3＝________. 解析：因为sicos θ＝0，所以y 0＝x 0，所以θ的终边在直线y ＝x 上，所以当θ＝2k π＋π 4， k ∈Z 时，sin ????2θ－π3＝sin ????4k π＋π2－π3＝cos π3＝12 ； 当θ＝2k π＋5π 4，k ∈Z 时，sin ????2θ－π3 ＝sin ????4k π＋5π2－π3＝cos π3＝1 2. 综上得sin ????2θ－π3＝1 2. 答案：1 2 9．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6， (1)求? AB 的长； (2)求? AB 所在弓形的面积． 解：(1)∵α＝120°＝ 2π 3 ，r ＝6， ∴? AB 的长l ＝2π 3×6＝4π. (2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝1 2×4π×6＝12π， S △ABO ＝12r 2·sin 2π3＝12×62×3 2＝93， ∴S 弓形＝S 扇形OAB －S △ABO ＝12π－9 3. 10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值． 解：∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)， ∴tan θ＝－1 x ， 又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－ 22，cos θ＝2 2 ， 因此sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－ 22，cos θ＝－2 2 ， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2. 综上sin θ＋cos θ＝0或－ 2. B 组 高考题型专练 1．(2011·高考课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A ．－4 5 B ．－35 C.35 D.45 解析：∵角θ的终边在直线y ＝2x 上， ∴tan θ＝2. 则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－3 5. 答案：B 2．(2012·高考安徽卷改编)在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP → 绕点O 按逆时针方向旋转3π2 后得向量OQ →，则点OQ → 的坐标是( ) A ．(8，－6) B ．(－8，－6) C ．(－6,8) D ．(－6，－8) 解析：|OP |＝10，且设∠xOP ＝θ， ∴cos θ＝610＝35，sin θ＝4 5 . 设OQ → ＝(x ，y )，则x ＝10cos ????θ＋3π2＝10sin θ＝8， y ＝10sin ????θ＋3π 2＝－10cos θ＝－6. 答案：A 3．(2014·高考大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.4 5 B.3 5 C ．－35 D ．－45 解析：cos α＝－4 (－4)2＋32 ＝－4 5. 答案：D 4．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin 2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0 D ．cos 2α>0 解析：tan α>0，知sin α，cos α同号， ∴sin 2α＝2sin αcos α>0. 答案：A 任意角及弧度制知识点总结 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： （1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 （2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . （6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表 示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z π α=∈.如α 的终边与6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象 限角，则2 α 是第_____象限角 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。三角 函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。如 １．2任意角的三角函数 (一)、任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y , 那么: (1）y 叫做α的正弦，记作sin α,即sin y α=; （２）x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=; （３)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=; 可以看出:当()2k k Z π απ=+∈时,α的终边在y 轴上,这时点P 的横坐标0x =,所以 tan y x α=无意义，除此之外，对于确定的角α，以上三个值都是唯一确定的。 正弦，余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将它们统称为三角函数。 注:取角α的终边上任意一点(,)P a b (原点除外) ,则对应的角α的正弦值 sin α=，余弦值cos α=tan b a α=。注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理。 例1、有下列命题: ①终边相同的角的同名三角函数的值相等; ②终边不同的角的同名三角函数的值不等; ③若sin α>0,,则α是第一、二象限的角; ④若α是第二象限的角，且(,)P x y 是其终边上一点,则 cos α=（其中正确的命 题的个数是） . Ａ、1 B 、2 C 、3 D 、４ 例２、若sin 0θ<且tan 0θ>,则θ是第_____＿____象限角。 例３、若sin cos 0θθ>,则θ在(） A 、第一或第二象限 B 、第一或第三象限 C 、第一或第四象限 Ｄ、第二或 四象限 例4、已知sin sin ,cos cos ,sin cos 0θθθθθθ=-=-?≠且，判断点(tan ,sin )P θθ在 第几象限。 例５、已知角α的终边过点(3,4)(0)P a a a -≠,求2sin cos αα+的值 例6、有下列命题: ①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等; ③若sin 0α>,则α是第一、二象限角; 任意角与弧度制 【知识梳理】 1．按旋转方向分 2. (1)角的终边在第几象限，则此角称为第几____；(2)角的终边在__上，则此角不属于任何一个象限． 3. 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝_________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__________的和． 【常考题型】 题型一、象限角的判断 【例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角． (1)－75°；(2)855°；(3)－510°. 【类题通法】象限角的判断方法 (1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角． (2)根据终边相同的角的概念．把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角． 【对点训练】 在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角． (1)360°；(2)720°；(3)2 012°；(4)－120°. 题型二、终边相同的角的表示 【例2】(1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来． (2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合． (3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合． 【类题通法】 1．终边相同的角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 2．区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； (2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角； (3)用不等式表示区域内的角，组成集合． 【对点训练】 已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围． 题型三、确定n α及 n α 所在的象限 【例3】 若α是第二象限角，则2α，α 2 分别是第几象限的角？ 【类题通法】 1．n α所在象限的判断方法 确定n α终边所在的象限，先求出n α的范围，再直接转化为终边相同的角即可． 2.αn 所在象限的判断方法 最新高中数学必修4《任意角和弧度制》教案 高中数学必修4《任意角和弧度制》教案【一】教学准备 教学目标 一、知识与技能 (1)理解并掌握弧度制的定义;(2)领会弧度制定义的合理性;(3)掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式;(4)熟练地进行角度制与弧度制的换算;(5)角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系. 二、过程与方法 创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器. 三、情态与价值 通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一 的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，为下一节学习三角函数做好准备https://www.doczj.com/doc/0a3945707.html, 教学重难点 重点: 理解并掌握弧度制定义;熟练地进行角度制与弧度制地互化换算;弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用. 教学工具 投影仪等 教学过程 一、创设情境，引入新课 师：有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的?(已知1英里=1.6公里) 显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢?那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里. 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制 ---弧度制. 第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数 页 (对应学生用书(文)、(理)40～41页) 1. (必修4P15练习6改编)若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0，则角θ的终边一定落在第________象限． 答案：四 解析：由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限． 2. 角α终边过点(－1，2)，则cos α＝________． 答案：－5 5 3. 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 答案：1或4 4. 已知角α终边上一点P(－4a ，3a)(a<0)，则sin α＝________． 答案：－35 5. (必修4P 15练习2改编)已知角θ的终边经过点P(－x ，－6)，且cos θ＝－5 13，则sin θ＝____________，tan θ＝____________． 答案：－1213 12 5 解析：cos θ＝ －x x 2＋36 ＝－513，解得x ＝5 2.sin θ＝ －6 ? ?? ??－522 ＋（－6）2 ＝－1213，tan θ＝125. 1. 任意角 (1) 角的概念的推广 ① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ② 按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2) 终边相同的角 终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k ∈Z )． (3) 弧度制 ① 1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ② 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l r ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径． ③ 弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ④ 弧长公式：l ＝|α|r ． 扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝1 2|α|r 2． 2. 任意角的三角函数 (1) 任意角的三角函数定义 设P(x ，y)是角α终边上任一点，且|PO|＝r(r ＞0)，则有sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． (2) 三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦． 人教版数学必修四三角函数 复习讲义 本页仅作为文档页封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March 第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系： 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点）， 它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α= ≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线 OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式： 1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变形形 式。 三角函数诱导公式：“ （2 k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 典型例题 例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα 例4．已知cos(π+α)=－2 1，2 3π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）． 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角 整体设计 教学分析 教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务. 学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义. 三维目标 1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念. 2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义. 3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础. 重点难点 教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合. 教学难点:用集合来表示终边相同的角. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 图1 思路 1.(情境导入)如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉 任意角和弧度制及任意角的三角函数讲义 1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. (2)分类:按旋转方向分为、和零角;按终边位置分为和轴线角. (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S=. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad. (2)公式: 角α的弧度数的绝对值|α|=l r(弧长用l表示) 角度与弧度的换算①1°=π180rad,②1rad=180π° 弧长公式弧长l= 扇形面积公式S=12lr=12|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sinα=,cos α=,tanα=y x(x≠0). (2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图3-16-1中的有向线段OM,MP,AT分别称为角α 的、和. 图3-16-1 常用结论 象限角与轴线角 (1)象限角 (2)轴线角 题组一常识题 1.[教材改编]终边在射线y=-3x(x<0)上的角的集合是. 2.[教材改编](1)67°30'=rad; (2)π12=°. 3.[教材改编]半径为120mm的圆上长为144mm的弧所对圆心角α的弧度数是. 4.[教材改编]若角α的终边经过点P(-1,2),则sinα-cosα+tanα=. 题组二常错题 ◆索引:对角的范围把握不准;由值求角时没有注意角的范围;求三角函数值时没有考虑角的终边所在的象限;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错. 5.在△ABC中,若sin A=. 6.已知点P(sinα-cosα,tanα)在第二象限,则在[0,2π]内α的取值范围 是. 7.已知角α的终边落在直线y=-3x上,则|sinα|sinα-|cosα|cosα=. 8.若一扇形的圆心角为72°,半径为20cm,则扇形的面积为cm2. 课堂考点探究 探究点一角的集合表示及象限角的判定 1(1)设集合M=x x=k2·180°+45°,k∈Z,N=x x=k4·180°+45°,k∈Z,那么() A.M=N B.M?N C.N?M D.M∩N=? (2)已知角α的终边在图3-16-2中阴影部分表示的范围内(不包括边界),则所有角α构成的集合是. 图3-16-2 [总结反思]把角表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,即可判断其所在的象限. 式题(1)已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=. 三角函数 知识点精讲： 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。 ????? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为___________________________________ 第二象限角的集合为___________________________________ 第三象限角的集合为___________________________________ 第四象限角的集合为___________________________________ 终边在x 轴上的角的集合为______________________________ 终边在y 轴上的角的集合为______________________________ 终边在坐标轴上的角的集合为____________________________ 3、与角α终边相同的角的集合为{} 360,k k ββα=?+∈Z 二、弧度制 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。 360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 1、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==． 三、任意角的三角函数 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的 1、下列六个命题：其中正确的命题有 . ①时间经过3小时，时针转过的角是90°②小于90°的角是锐角③大于90°的角是钝角④若α 是锐角，则α 的终边在第一象限 ⑤若α 的终边在第二象限，则α 是钝角⑥若α 的终边在第四象限，则α 是负角 2、练习：角度与弧度互化： 0°= .；30° ；45° ；3π ；2π ；120° ；135° ；150° ； 54π ，－43π 、310 π 、－210° 、75° ，0330 ，0900 23π- ，405° ， -280° ， 1680° ， π411- ，5π ，67π 780° ，-1560° ，67.5° ，π310- ， 12π ，4 7π 3、在0°～360°间，找出与下列角终边相同角：（将下列角化成0360()k k Z α?+∈的形式） －150° 、1040° 、－940° .0 300 01125 0660- －1050° 01485- 4、下列各对角中终边相同的角是( ) A.πππk 222+-和（k ∈z ） B.－3π和322π C.－97π和911π D. 9 122320ππ和 5、用弧度制表示下列角的集合。 (1)x 轴上的角； (2)第四象限角； (3)与 6 π的终边关于x 轴对称的角； (4)终边在直线y=x 上。 (5) 终边落在一、三象限角平分线上 6、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)． 7、若α 是第二象限的角，则2 α所在的象限是( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第二、三象限 8、若角α是第三象限角，则2 α角的终边在 . 9、若α是第四象限角，则π－α一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10、已知：α是第三象限角，求(1)2α (2) 2α (3) 3 α终边所在的位置 【新教材】5.1.2弧度制教学设计（人教A版） 前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础. 课程目标 1.了解弧度制,明确1弧度的含义. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式. 数学学科素养 1.数学抽象：理解弧度制的概念； 2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合； 3.直观想象：区域角的表示； 4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题. 重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化； 难点：弧度制概念的理解． 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 一、情景导入 度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本172-174页，思考并完成以下问题 1． 1弧度的含义是？ 2．角度值与弧度制如何互化？ 3．扇形的弧长公式与面积公式是？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1．度量角的两种单位制 (1)角度制 ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的1 360 ． (2)弧度制 ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． 2．弧度数的计算 3.角度制与弧度制的转算 4．一些特殊角与弧度数的对应关系 度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧 度0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 3π 2 2π l r π 180( 180 π)° 正数 负数 零 第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系： 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点）， 它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α= ≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式： 1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变 形形式。 三角函数诱导公式：“ （2 k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 典型例题 例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα 任意角与弧度制 知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角α，记作：角α或α ∠可以简记成α。 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。例1、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=（填序号）. ①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角} ④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、 B 、 C 关系是（ ） A ．B=A∩C B ．B∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角： （1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与)(Z k k ∈个周角的和。 （2）所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合 {}Z k k S ∈?+==,360| αββ 即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和 注意： 1、Z ∈k 2、α是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。 4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 例1、（1）若θ角的终边与 58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4 θ 的角终边相同的角为 。 （2）若βα和是终边相同的角。那么βα-在 例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1） 210-； （2）731484'- ． 例3、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[] 1260180， -∈θ． 任意角的三角函数教案（第一课时） 一．教材分析 三角函数是函数的一个基本组成部分，也是一个重要组成部分，在整个高中以至于大学都会经常用到三角函数的知识。初中已经学习过锐角的三角函数，教材第一节学习了任意角的表示方法，这些是学习任意角三角函数的基础。本节课的主要内容是：弦、余弦、正切的定义；正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各个象限的符号 二．教学目标 1、理解任意角的三角函数的定义； 2、会求任意角的三角函数值； 3、体会类比，数形结合的思想。 三.重点，难点 教学重点：理解任意角的三角函数的定义。 教学难点：从函数的角度理解三角函数。 四，教学过程 （一） 新课引入 （二） 练习：sin30= cos30= tan30= 那么300度，30000度呢？ 我们已经学习了锐角三角函数，知道它是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限。在α的终边上任取一点P （a,b ），它与原点的距离r ＝22b a +>0,表示三角函数； sin α=r b , cos α=r a , tan α=a b .取P ，使r=1,则sin α=b cos α=a tan α=a b ,引入单位圆的概念。 （三） 概念介绍 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P （x,y ），那么， （1） y 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α＝y ； （2） x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； （3） x y 叫做α的正切，记作tan α，即tan α=x y 。 正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。 （四） 例题讲解 例一 求3 5π的正弦，余弦和正切值。 小结：让学生熟悉三角函数的概念，用单位圆表示三角函数。 例二 已知角α的终边经过p （－3，－4），求角α的正弦，余弦，正切值。 小结：通过这道题的求解，让学生知道质押知道终边上一个点的左边就可以求出三角函数值，于是用角的终边上任意点坐标的比值来定义三角函数和用单位圆是等价的。引导学生思考这种“等价性”的原因，并让他们自己给出新的定义： 角α的终边上一点P （a,b ），它与原点的距离r ＝22b a +>0,则 （1） r b 叫做三角形的正弦，即sin α=r b ; （2） r a 叫做三角形的余弦，即cos α=r a ; （3） a b 叫做三角形的正切，即tan α=.a b -- 高一数学下必修四第一章三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?< -- 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=，1180π = ，180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ，则l r α=,2C r l =+， 211 22 S lr r α==. 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐 标是(),x y ，它与原点的距离是 () 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. １0、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正． 11、三角函数线:sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT . 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= ()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；() sin 2tan cos α αα = sin sin tan cos ,cos tan αααααα? ?== ?? ?. １３、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. 任意角与弧度制 知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。 注意： （1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 例1、若ο ο13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。（0,45） （180,270） 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960 （2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3 π ． 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、30? ；390? ；-330?是第 象限角 300? ； -60?是第 象限角 585? ； 1180?是第 象限角 -2000?是第 象限角。 例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）. ①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角} ④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ） A ．B=A∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C 例3、写出各个象限角的集合： 例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2 α 的终边所在位置. 解 ∵α是第二象限的角， ∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）. （1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2 α ＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k =2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜ 2 α ＜n ·360°+90°； 当k =2n +1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2 α ＜n ·360°+270°. ∴ 2 α 是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3 α是哪个象限的角？ ∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜ 3 α ＜90°+k ·120°. ①当k =3m (m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3 α ＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故 3 α 的终边在第一象限. ②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3 α ＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故 3 α 的终边在第三象限. ③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜ 3 α ＜330°+m ·360°（m ∈Z ）. 任意角与弧度制 【基础再现】 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角，记作：角或 可以简记成。 注意： （1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 【重点、难点、考点】 ααα∠αx x 一、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角： （1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与个周角的和。 （2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意： 1、Z ∈k 2、α是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。 4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 2、终边在坐标轴上的点： 终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ 3、终边共线且反向的角： 终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ )(Z k k ∈{}Z k k S ∈?+==,360| αββ 第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数 (对应学生用书(文)、(理)40～41页) 页 考情分析 考点新知 ① 了解任意角的概念；了解终边相同的角的意义. ② 了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化. ③ 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；初步了解有向线段的概念，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切． ① 能准确进行角度与弧度的互化. ② 准确理解任意角三角函数的定义，并能准确判断三角函数的符号. 1. (必修4P15练习6改编)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定落在第________象限． 答案：四 解析：由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限． 2. 角α终边过点(－1，2)，则cos α＝________． 答案：－5 5 3. 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 答案：1或4 4. 已知角α终边上一点P(－4a ，3a)(a<0)，则sin α＝________． 答案：－3 5 5. (必修4P15练习2改编)已知角θ的终边经过点P(－x ，－6)，且cos θ＝－5 13，则sin θ＝____________，tan θ＝____________． 答案：－1213 12 5 解析：cos θ＝ －x x2＋36＝－513，解得x ＝5 2.sin θ＝－6? ?? ?－52 2 ＋（－6）2＝－1213，tan θ＝12 5.任意角及弧度制知识点总结
任意角的三角函数-讲义
(完整版)任意角与弧度制题型小结
最新高中数学必修4《任意角和弧度制》教案
2017任意角和弧度制及任意角的三角函数教案.doc
人教版数学必修四三角函数复习讲义
高中数学人教版必修4任意角和弧度制教学设计
任意角和弧度制及任意角的三角函数讲义
三角函数讲义
必修4-任意角和弧度制-练习题整理
《5.1 任意角和弧度制》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)
人教版数学必修四三角函数复习讲义
任意角与弧度制知识点汇总
任意角的三角函数教案(第一课时)
必修四第一章三角函数-知识点及练习-讲义
高中数学必修四 任意角与弧度制 知识点汇总(教师版)
任意角与弧度制教案
高考数学总复习教案：任意角和弧度制及任意角的三角函数
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