二次函数压轴题（相似类）
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y 轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
2.如图，顶点为C（﹣1，1）的抛物线经过点D（﹣5，﹣3），且与x轴交于点A、B两点（点B在点A的右侧）．（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上存在点Q，使得S△OAQ=，求点Q的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在x轴上，且∠MNA=∠OCD，是否存在点M，使得△AMN与△OCD相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
3.如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C 在点D的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离；
（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标．
4.如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，M（m，0）为x轴上一动点，点M在线段OA上运动且不与O，A重合，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）在运动过程中，若点P为线段MN的中点，求m的值；
（3）在运动过程中，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
5. 如图，已知抛物线y=﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；
（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；
（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
6.如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE=S△ABC时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
7. 如图，抛物线y=a（x﹣2）2﹣1过点C（4，3），交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；
（2）连接OC，CM，求tan∠OCM的值；
（3）若点P在抛物线的对称轴上，连接BP，CP，BM，当∠CPB=∠PMB时，求点P的坐标．
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），经过点A的射线AM与y轴相交于点E，与抛物线的另一个交点为F，且．
（1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求∠FAB的余切值；
（3）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，点P是y轴上一点，且∠AFP=∠DAB，求点P的坐标．
9.如图，平面直角坐标系xOy中，已知B（﹣1，0），一次函数y=﹣x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、点B．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；
（3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．
10.抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．
一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a
2020年中考复习之提高篇——二次函数压轴题（含答案） 1．(2019抚顺）（12分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数334 y x =-+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于B 点，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，在第一象限的抛物线上取一点D ，过点D 作DC x ⊥轴于点C ，交直线AB 于点E ． （1）求抛物线的函数表达式 （2）是否存在点D ，使得BDE ?和ACE ?相似？若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，F 是第一象限内抛物线上的动点 （不与点D 重合），点G 是线段AB 上的动点．连接DF ，FG ，当四边形DEGF 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G 的坐标．
2（2019沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点． （1）求直线DE和抛物线的表达式； （2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF面积是7时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2√2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．
3（2018年辽宁本溪）.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF 沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13． （1）求抛物线的解析式； （2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标； （3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113 +113 + 3）点Q的坐 标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式； （2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝1 2 CD＝CE．利 用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标； （3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛 物线的解析式联立，得出方程组 223 33 y x x y x ?=-- ? =-+ ? ，求解即可得出点Q的坐标． 【详解】 （1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）， ∴x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），
中考数学中二次函数压 轴题分类总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
二次函数的压轴题分类复习 一、抛物线关于三角形面积问题 例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1，4-). （1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ??=4 5 ,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 练习： 1. 如图．平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ． （1）求点E 的坐标； （2）求抛物线的函数解析式； （3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求?BON 的面积的最大值，并求 出此时点N 的坐标； 2. 如图，已知抛物线42 12++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作 正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值． y x O B N A M E F B y
二次函数压轴题（相似类） 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y 轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x=． （1）求抛物线的解析式； （2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 2.如图，顶点为C（﹣1，1）的抛物线经过点D（﹣5，﹣3），且与x轴交于点A、B两点（点B在点A的右侧）．（1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上存在点Q，使得S△OAQ=，求点Q的坐标； （3）点M在抛物线上，点N在x轴上，且∠MNA=∠OCD，是否存在点M，使得△AMN与△OCD相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 3.如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C 在点D的左侧）． （1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离； （3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标． 4.如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，M（m，0）为x轴上一动点，点M在线段OA上运动且不与O，A重合，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N． （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）在运动过程中，若点P为线段MN的中点，求m的值； （3）在运动过程中，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标； 5. 如图，已知抛物线y=﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴方程； （2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由； （3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
精选中考二次函数压轴题（含答案） 1．如图，二次函数c x y +-=2 21的图象经过点D ??? ? ?-29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值； ⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用） 2．（2010福建福州）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ． （1）求证：AH AD ＝EF BC ； （2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值； （3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式． 3．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝16 x 2＋bx ＋c 过O 、A 两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若A 点关于直线y ＝2x 的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆．过原点O 作⊙O 1的切线OP ，P 为切点(点P 与点C 不重合)．抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由 4．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC =23．设直线AC (第2(图1) (图
中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一：面积问题 【例1】如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ； （3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝ 8 9 S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式练习】 1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． （1）求点B 的坐标； （2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由． 2.如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交 图2
于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标； （2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大并求出最大面积． 3．如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P ,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由． C E D G A x y O B F
2016年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由． 考点：二次函数综合题． 专题：压轴题；数形结合． 分析： （1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长． （3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
， 解得； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标． 考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题；转化思想． 分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．
中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一:面积问题 【例１】(２０09湖南益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点C （1,4),交ｘ轴于点A (３，0),交 y 轴于点B . （1)求抛物线和直线ＡB 的解析式; (2)求△CAB 的铅垂高ＣD 及S △CAB ； (3）设点Ｐ是抛物线(在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ,使Ｓ△ＰＡB = 8 9 S △C ＡＢ，若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由. 【变式练习】 １.(2009广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-２,0)，连结OA ，将线段O Ａ绕原点Ｏ顺时针旋转１20°,得到线段OB ． （1)求点B 的坐标; （2）求经过A 、O 、Ｂ三点的抛物线的解析式; (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△B ＯC 的周长最小？若存在,求出点C 的坐标;若不存在，请说明理由． （4)如果点P 是(２)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方,那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有,请说明理由． 图2
2.(2０１0绵阳)如图，抛物线y ＝ a ｘ2 ＋ bx + ４与x 轴的两个交点分别为A （-4,0)、 Ｂ(2，０）,与y 轴交于点Ｃ,顶点为D .E (１，２）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、ｙ轴分别交于F 、G . （1）求抛物线的函数解析式,并写出顶点Ｄ的坐标; (２)在直线ＥF 上求一点Ｈ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在ｘ轴上方的抛物线上运动,当K 运动到什么位置时, △EFK 的面积最大？并求出最大面积． 3.（2０１2铜仁)如图,已知:直线3+-=x y 交x 轴于点A,交y 轴于点B,抛物线ｙ=ax 2 +b ｘ+ｃ经过Ａ、B 、C （1，0)三点. (1）求抛物线的解析式; (2)若点D 的坐标为(-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似,求出点P 的坐标; （3）在（２）的条件下，在ｘ轴下方的抛物线上，是否存在点E,使ΔADE 的面积等于四边形APC Ｅ的面积？如果存在，请求出点E 的坐标;如果不存在,请说明理由 . C E D G A x y O B F
中考二次函数压轴题题型—构造相似三角形 1、如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标； （3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2、如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点． （1）求该抛物线的解析式； （2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由． （3）P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上3、如图，二次函数的图象经过点D(0，3 9 截得的线段AB的长为6. （1）求二次函数的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； （3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 4、如图，已知抛物线y=x2 - (b+1)x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C． （1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得；
故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 解答：
解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=； ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2． （2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）． （3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2； 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4． 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有： ，解得：即M（2，﹣3）． 过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．
-X 二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数y = α√-2αχ + 3的最大值为4,且该抛物线与A 轴的交点为C ,顶点为 D ? (1) 求该二次函数的解析式及点C , D 的坐标: (2) 点P(ΛO)是X 轴上的动点， ① 求IPC - PDl 的最大值及对应的点P 的坐标： ② 设0(0,2/)是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数y = a ?x ?1 -2a ?x ?+3的图像只有一个 公共 点，求f 的取值范围. 【答案】(i) y = -χ2+2x + 3, C 点坐标为(0,3),顶点D 的坐标为(1,4)； (2)①最 _ 3 7 大值是J∑, P 的坐标为(一 3,0),②,的取值范围为U_3或才Qv3或心?? 2 2 【解析】 【分析】 孕=1,计算对称轴，即顶点坐标为(1, 4),再将两点代 2a 入列二元一次方程组求出解析式： (2)根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时IPC-PDl 取得最大值，求出直线CD 与X 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标； —χ-+ 2Λ"+3, X n 0, , ,此函数是两个二次函数 —XJ — 2x + 3, X < 0. 的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点(0, 3 ),即点Q 与点C 重合时，两 图象有一个公共点，当线段PQ 过点(3, 0),即点P 与点(3, 0)重合时，两函数有两 个公共点，写出t 的取值：②线段PQ 与当函数y=a∣x∣2-2a∣×∣+c (x>0)时有一个公共点 时，求t 的值：③当线段PQ 过点 (-3, 0),即点P 与点(-3, 0)重合时，线段PQ 与当 函数y=a∣x∣2-2a∣x∣+c (×<0)时也有一个公共 点,则当t 冬3时,都满足条件;综合以上结 论，得出t 的取值. 【详解】 —2a (I) VX= ???y = ax'-ax+3的对称轴为X = 1? T y = ax 2 -ax + 3人最大值为4, ???抛物线过点(1,4). 得 a-2a+3 = 4, 解得a = -l. ???该二次函数的解析式为y = —X? + 2x + 3. C 点坐标为(0,3),顶点 D 的坐标为(1,4). (2) ①.? IPC-PDI≤CD, (1)先利用对称轴公式X= (3)先把函数中的绝对值化去，可知y = <
二次函数与几何综合
题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的 代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以 想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二 是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐 心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 （1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式，属于送分题。 （2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练 掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题 目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。 （3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目 所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条 件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系， 再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用， 这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一 步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这 一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底， 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C
1．已知二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO= （1）求二次函数的解析式； （2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标； （3）是否存在实数x1、x2（x1＜x2），当x1≤x≤x2时，y的取值范围为≤y≤？若存在，直接写出x1，x2的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）首先根据tan∠ACO=，求出OA的值，即可判断出A点的坐标；然后把A点的坐标代入y=x2+bx﹣4，求出b的值，即可判断出二次函数的解析式．（2）首先根据Q为抛物线对称轴上的一点，设点Q的坐标为（﹣，n）；然后根据∠OQC=∠CQP、∠CQP=∠OCQ，可得∠OQC=∠OCQ，所以OQ=OC，据此求出n 的值，进而判断出Q点坐标即可． （3）根据题意，分3种情况：①当x1≤x2≤﹣时；②当x1≤﹣≤x2时；③当﹣ ＜x1≤x2时；然后根据二次函数的最值的求法，求出满足题意的实数x1、x2（x1＜x2），使得当x1≤x≤x2时，y的取值范围为≤y≤即可． 【解答】解：（1）如图1，连接AC，
， ∵二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，∴C点的坐标为（0，﹣4）， ∵tan∠ACO=， ∴， 又∵OC=4， ∴OA=1， ∴A点的坐标为（1，0）， 把A（1，0）代入y=x2+bx﹣4， 可得0=1+b﹣4， 解得b=3， ∴二次函数的解析式是：y=x2+3x﹣4． （2）如图2，
， ∵y=x2+3x﹣4， ∴抛物线的对称轴是：x=﹣， ∵Q为抛物线对称轴上的一点， ∴设点Q的坐标为（﹣，n）， ∵抛物线的对称轴平行于y轴， ∴∠CQP=∠OCQ， 又∵∠OQC=∠CQP， ∴∠OQC=∠OCQ， ∴OQ=OC， ∴， ∴， 解得n=±， ∴Q点坐标是（﹣，）或（﹣，﹣）． （3）①当x1≤x2≤﹣时，二次函数y=x2+3x﹣4单调递减，∵y的取值范围为≤y≤，
中考二次函数压轴题分类汇编 一．极值问题 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值； （3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标． 分析：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解； （3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标． 解：（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，）， 根据题意得：，解得：， 则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1； （2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M、P点的坐标分别是（x，﹣x+1），（x，0）． ∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+， 则当x=﹣时，MN的最大值为； （3）连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分， 即四边形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC， 即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1， 故当N（﹣1，4）时，MN和NC互相垂直平分．
点评：本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用 二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题． 2.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式． （2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值． （3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值； （3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论． 解答：解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中， 得， 解得 ∴该抛物线的解析式为y=x2+x﹣4． （2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x 1=﹣4，x 2 =2， ∴A（﹣4，0），S △ABC =ABOC=12． 设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x． ∵PE∥AC， ∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA， ∴△PBE∽△ABC， ∴，即， 化简得：S △PBE =（2﹣x）2．
2016年10月26日二次函数压轴2 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，∠BAC=90，BC∥x轴，抛物线y=ax2﹣2ax+3经过△ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E，点A为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）． （1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标； （2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值． 3．如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）在第三象限内、F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为4，求点F的坐标； （3）连接B、C，点P是线段，AB上一点，作PQ平行于x轴交线段BC于点Q，过P作PM⊥x轴于M，过Q作QN⊥x轴于N，求矩形PQNM面积的最大值和P点的坐标．
4．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣2的顶点为点D，与直线y=kx在第一象限内 交于点A，且点A的横坐标为4；直线OA与抛物线的对称轴交于点C． （1）求△AOD的面积； （2）若点F为线段OA上一点，过点F作EF∥CD交抛物线于点E，求线段EF的最大值及此时点E坐标； （3）如图2，点P为该抛物线在第四象限部分上一点，且∠POA=45°，求出点P的坐标． 5．如图，已知抛物线L1：y1=x2，平移后经过点A（﹣1，0），B（4，0）得到抛物线L2， 与y轴交于点C． （1）求抛物线L2的解析式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）点P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D，是否存在PD=2OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标； （3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标； （3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值． 4．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值； （3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式； ②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2 y x 2x 3=--+. （2）3210. （3）①2S m 4m 3=---. ②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）. 【解析】 【分析】 （1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可. （2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可. （3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可. 【详解】 解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0）， ∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-. 又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-. ∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+. （2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值. ∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小. ∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，
二次函数压轴题题型简单总结之三 动点题型中的相似三角形（多观察已知图形，利用其特征如直角、边比例，讨论情况也不能少） 1、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣4k+4与抛物线y＝x2﹣x交于A、B两点． （1）直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标； （2）点P在抛物线上，当k＝﹣时，解决下列问题： ①在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△P AB的面积等于20； ②连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P 的坐标．
2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c，经过点A（1，3）、B（0，1），过 点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C． （1）求抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）如图1，点M是第一象限中BC上方抛物线上的一个动点，过点作MH⊥BC于点H，作ME⊥x轴于点E，交BC于点F，在点M运动的过程中，△MFH的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）如图2，连接AB，在y轴上取一点P，使△ABP和△ABC相似，请求出符合要求的点P坐标．
3、如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、 C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是直线BC上方抛物线上的一动点，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，交x轴于点F，设E的横坐标为m，请用含m的代数式表示线段EM的长； （3）在（2）的条件下，若B，E，M为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出m的值．
4、在直角坐标平面内，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y＝﹣+bx+c 经过点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC 的上方． （1）求上述抛物线的表达式； （2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值； （3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标．