第二章 度量空间
作业题答案提示 1、
试问在R 上，()()2,x y x y ρ=-
能定义度量吗？
答：不能，因为三角不等式不成立。如取
则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=，(),1z x ρ= 2、
试证明：（1）()1
2
,x y x y ρ=
-;(2)(),1x y x y x y
ρ-=
+-在R 上都定
义了度量。
证：（1）仅证明三角不等式。注意到
2
11
22x y x z z y x z z y ??
-≤-+-≤-+- ?
??
故有1
112
22
x y
x z z y
-≤-+-
（2）仅证明三角不等式 易证函数()1x
x x
?=+在R +上是单调增加的， 所
以
有
()()
a b a b ??+≤+,从而有
1111a b a b a b
a b a b a b
++≤≤+
++++++
令,,x y z R ?∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y z
y x z x y z
---≤+
+-+-+-
4.试证明在[]b a C ,1
上，)12.3.2()()(),(?-=b
a dt t y t x y x ρ
定义了度量。
证：（1）0)()(0),(≡-?=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。
[])
,(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dt
t y t z dt t z t x dt
t y t z dt t z t x dt
t y t x y x b
a
b a
b a
b
a ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=????
5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明
∑∑==≤??
?
??n
i i
n i i x n x 12
2
1
证：∑∑∑∑=====?≤??
? ??n
i i
n i n i i n i i x n x x 12
12
122
11
8.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积
21R R R ?=上定义了度量
{}2
12/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证：仅证三角不等式。（1）略。 (2) 设12(,)x x x =，12(,)y y y =12R R ∈?，则
{
}
12
22
1
112
2212
22
2222
111111222222112
2222
2
1111
112222
2211222211(,)[(,)(,)]
(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)
n n i i i i i i x y x y x y x z z y x z z y x z z y x z z y x z z y ρρρρρρρρρρρρρξηξη===+????≤+++????
????≤+++????????=++≤+ ? ?????∑∑%%%1
221n i =???? ? ? ??? ???
∑
（3）111222(,)max{(,),(,)}x y x y x y ρρρ=%%
111111222222111111222222max{(,)(,),(,)(,)}max[(,)(,)]max[(,)(,)](,)(,)
x z z y x z x z x z z y x z x z x z z y ρρρρρρρρρρ≤++≤+++=+%%%%
9、试问在[,]C a b 上的0(;1)B x 是什么？
[,]C a b 上图像以0x 为中心铅直高为
2的开带中的连续函数的集
合。
10、试考虑[0,2]C π并确定使得(,)y B x r ∈的最小r ，其中
sin ,cos x t y t ==。
[0,2]
[0,2(,)sup sin cos sup
)4
t t x y t t t πππ
ρ∈∈=-=-=
11．试证明在离散度量空间中，每个子集既是开的又是闭的。 设A 是离散度量空间X 的任一子集。
a A ?∈，开球1
(,){}2
B a a A =?，故A 事开集。
同样道理，知C A 是开的，故()C C A A =又是闭集。
12．设0x 是M R ?的聚点，试证明0x 的任何邻域都含有M 的无限多个点。 证：略。
13．（1）若度量空间R 中的序列{}n x 是收敛的，并且有极限x ，试证明{}n x 的每个子序列{}k
n x 都是收敛的，并且有同一极限。
（2）若{}n x 是Cauchy 序列，并且存在收敛的子序列{}k
n x ，
k n x x →，试证明{}n x 也是收敛的，并且有同一极限。
（1） 略
（2） ε?，N ?，当,k
m n N
>时，有
(,)2
kl
m n x x ε
ρ<
，(,)2
kl
n
x x ε
ρ<（{}n x 是Cauchy 序列且k
n
x x →）
因此，当m N >时，(,)(,)(,)2
2
kl
kl m m n
n x x x x x x ε
ε
ρρρε
≤+≤+
=
18.试证明：Cauchy 序列是有界的.
证明：若{}n x 是Cauchy 序列，则存在,使得对于一切0n n >,有()0
,1n n
x x ρ<,因此，对于一切n ，有
()()(){}0
00
1
1
,max 1,,,...,,n n
n n n x x x x x
x ρρρ-≤
19.若{}n x 和{}n y 都是度量空间x 中的Cauchy 列，试证明： (),n n n x y ρρ=是收敛的。
证：根据三角不等式，有
()()()()
()()
,,,,,,n n n n m m m m n n m m m n x y x x x y y y x x y y ρρρρρρρρ=≤++=++
故，()(),,n m n m m n x x y y ρρρρ-≤+ 同样有：()(),,m n n m m n x x y y ρρρρ-≤+
即：()(),,0n m n m m n x x y y ρρρρ-≤+→ 而R 是完备的，则{}n ρ是收敛的。
34.若X 是紧度量空间，并且M X ?是闭的，试证明M 也是紧的。
证明：因为X 是紧的，故M 中任一序列{}n x 有一个在n X 中收敛的子序列{}nk x 。不妨设{}nk x x X →∈，则有x M ∈。又因M 是闭的，所以x M ∈，因此M 是紧的。
第三章 线性空间和赋范线性空间
10.试证明下列都是n R 上的范数 （1）
11n
i
i x x ==∑； (2)
1
2
2
21n i i x x =??= ?
???
∑
; (3) max i i
x x ∞=; 2
12
1n
i
i x x =?? ?= ??
?
∑是范数吗？
（1）、（2）和（3）的证明略
2
12
1n
i
i x x =?? ?= ??
?
∑不是范数，不满足三角不等式。
以
为例，令()()1,0,0,1x y ==则1,4x y x y ==+=
13.试证明（1）C 、0C 和0l 都是l ∞的线性空间，其中C 是收敛数列集；0C 是收敛数列0的数列集；0l 是只有有限个元素的数列集。 （2）0C 还是l ∞的闭子空间，从而是完备的。 （3）0l 不是l ∞的闭子空间。 证明：
（2）设()12,0,...x x x C =∈，()()
()12
,,...n n n x x x =,使得 ()n n x x →∞→.则有任意的0ε>，N ?使得对于一切j ，
当,时有
,又因为，所以当时
从而有
于是，故
14.试证在赋范线性空间中，级数的收敛性，并不蕴含级数的收敛性。
令，则，且
于是，收敛
但
15.设是赋范线性空间，若级数的绝对收敛性蕴含着级数的收敛性，则是完备的。
证：设{X
n }是X中任一Cauchy列，则?k∈N，?n
k
，s.t.当m，
n≥n
k 时，k-
<2
S-
S
m
n
。
而且对一切的k，可选取n
1
k+>n
k
，从而{S
nk
}是{S
n
}的一个子列，
并且令X 1=S 1n ，X k =S n -S nk ，则{S nk }是级数k X ∑的部分和序列，从而
12X 12
)1(112
1k +=+=+-=∑∑∑∞
=--∞
=-X X X S S k k k k k
于是k X ∑绝对收敛，故k X ∑收敛。
不妨设S nk →S ∈X ，由于{X n }是Cauchy 列，故
0S n →-+-≤-S S S S S nk nk n
又由于{S n }是任意的，故证明X 是完备的。
17.设（X ，1?）和（X ，2?）是赋范线性空间，试证明其Descarts 积X=X 1*X 2在定义范数X =max{11X ，22X }后也成为赋范线性空间。
证：（1）X =0?11X =22X =0?X=（0,0）=Θ
（2）X α=max{11X α，22X α}=αmax{11X ，22X }=αX （3）设X=（X 1，X 2），y=（y 1，y 2），则 }y x y x max{y x 222111++=+，
y
+=+≤++≤x }y ,y max{}x ,x max{}y x ,y x max{2211221122221111
20.（1）若?和?0是X 上任意两个等价范数，试证明（X ，?）和（X ，?0）中的Cauthy 序列相同 （2）试证明习题10中的三个范数等价 证：设{X n }是（X ，?）中的任一Cauthy 序列，即 0>?ε，∈?N N ，当n ，m>N 时，ε 由于?和?0是X 上任意两个等价范数，所以存在正数a ，b 使a ?≤?0≤b ? （*） 于是当n ≥m>N 时，有 εb x b x m m <-≤-n 0n x x 即x n 是（X ，?0）中的Cauthy 序列。 反之，若{x n }是（X ，?0）中的Cauthy 序列，则由（*）左边不等式，可证{x n } 是（X ，?）中的Cauthy 序列。 （2）R n 是有限维赋范线性空间，其上的范数都是等价的。 20 (2)的直接证明： 证明在中，范数1?、2?和∞?等价，其中 11n i i x x ==∑；12221 () n i i x x ==∑；max i x i x ∞= 证 1o Q 2 2 max i i x i x ≤， ∴2x x ∞∞≤≤， 故2?和∞?等价。 2o 由Cauchy-Schwart 不等式，得， 1112 2 2 2 2 1 1 1 1 ()(1)() n n n n i i i i i i i x x n x ====≤=∑∑∑∑ 故有 12x n x ≤ 再有 112222 2111 ()[()]n n i i i i x x x x ===≤=∑∑ 我们得 1211 x x x n ≤≤ 故1?与2?等价 29. 若T ：()D T Y →是可逆的线性算子，x 1,...,x n 是线性无关的，试正明1Tx ,...,n Tx 也是线性无关的. 证：若存在λ1，...，λn ∈Ф且不全为零，使得 11...0n n Tx Tx λλ++=, 则由于1T -存在且为线性的，故 1T -()1111......0n n n n Tx Tx x Tx λλλλ++=++=, 与x 1,...,x n 线性无关矛盾。 32.若T θ≠是有界性算子，试证明对满足1x <的任意()x D T ∈，都有Tx T <. 思路：由Tx T x ≤即证结论。 33.设Τ： ∞ → ∞ 使得21, ,...2x Tx x ?? = ??? ，试证明() ,.T B l l ∞∞∈ 证：设()12,,...,,...n x x x x =，()12,,...,,...n y y y y =，则 () ()1211211222122211211212221121,,...,,...,,...,,...22,,...,,...22n n n n T x y T x y x y x y x y x y x y n n x y x y αααααααααααααααα+=+++?? =+++ ? ????? ?=+ ? ? ???? =2211χαχαT +T 从而T 是线性算子. χ χχχ=≤=T n n n n n sup sup , 所以()1,,≤T B ∈T ∞∞且l l . 进一步可以证明1=T . 37.设[][]1 1 :0,10,1,T C C →使得()()[]0,0,1.t Tx t x d t ττ=∈? （1）试求()R T 和()[]11:0,1;T R T C -→ （2）试问()[]()11,0,1T B R T C -∈吗？ （1）()R T 是满足()00y =且在[]0,1上连续可微分的函数构成的 []10,1C 的子空间，且()[]1',0,1T y y t t -=∈。 （2）1T -是线性的，但是无界的。 事实上，()1'n n t n t -=，蕴含着1T n -≥ 38.在C[0,1]上分别定义1 0()()Sx t t x s ds =?和()()Tx t tx t = (1)试问S 和T 是可交换的吗? (2)试求Sx ，Tx ，STx 和TSx 修改S ，T ，ST ，TS (1)1 0()(())()ST x S tx t t sx s ds ==?, 1 1 2 00()(())()TS x T t x s ds t x s ds ==??, 故ST TS ≠，S 和T 不是可交换的。 (2)1 0Sx xds x ≤=?, 所以1S ≤ 令1x ≡，[0,1]t ∈ 则1sx s x s =≤= 于是1S = 类似可求：1T =，1 2 ST = ，1TS =。 39.在()X B R =上定义范数 sup () t R x x t ∈=，并设T ： X X →使得 ()()Tx t x t τ=-，其中0τ>试证明(,)T B X X ∈。 证： X y x ∈?,，则 T （+x α1y α2）=x α1(t-τ)+α2y(t-τ)=Ty Tx αα21+, 即 T 是线性算子 Tx =sup R t ∈)(τ-t x =sup R t ∈)(t x =x ， ∴1=T 40、证明下列在C []b a ,上定义的泛函是有界线性泛函： （1）dt t t x x b a o y f )()()(1?=，[] b a C y ,0∈固定； （2） 固定R b x a x x f ∈+=βαβα,),()()(2 证： （1）线性性略 令B=[] max ,t b a ∈)(0 t y =y 0， 则有 dx x B x b a f ?≤)(1=B （b-a ）x ， 故有 f 1≤B （b-a ） （2）略 41、设[]11,1C -上的线性泛函f 定义为 ??-=-1 1 )()()(dt t x dt t x x f ，试求f 解：[]11,1x C ?∈-, ()() 1 1 2f x x dt dt x -≤+=? ?， 所以2f ≤， 取()1n x t t =，n 为正奇数，[]1,1t ∈-则1x =， ()1110 1 1 100122211 1n n n n f x t dt t dt t dt f n n -= -===≤++???g 由于2sup 21 n n =+,故2f ≥. 综上所述，2f =。 44. （1）在[]11,1C -上定义[] ()[] () ',,max max t a b t a b x x t x t ∈∈=+， 试证明?是[]11,1C -中的范数。 （2）试证明()()'2a b f x x c c +??== ?? ? 在[]1 ,C a b 上定义了有界线性泛函。 （3）试证明视[]1,C a b 为[]1,C a b 的子空间时，上面定义的f 不再是 有界的。 证：（1）仅证三角不等式 '' ''≤≤∣x +y ∣=max ∣x(t)+y(t)∣+max ∣x(t)+y(t)∣ max ∣x(t)∣+max ∣y(t)∣+max ∣x(t)∣+max ∣y(t)∣ ∣x ∣+∣y ∣ （2）仅证有界性 ''()max max c ≤≤∣f(x)∣=x ∣x(t)∣+∣x(t)∣=∣x ∣, ∣f ∣1 (3)当1[,]c a b 视为[],c a b 的子空间时，（2）中的f 不再是有界的，此时[]1,,sup ().x c a b x x t ?∈=对每个n N ∈，都存在[]1,n x c a b ∈，使得 '()1n x c =且1 max ()n x t n < 于是，便有 '()()() sup max () n n n t x c f x f x n x x x t ≥=> word域代码详解 十个特殊指令(域开关)，分别是： 1.数组\A、 2.括号\B、 3. 位移\D、 4.分式\F、 5.积分\I、 6.列表\L、 7.重叠\O、 8.根号\R、 9.上下标\S、 10.框\X， 每个开关又有若干个选项，用以精确调节格式。 1. 数组开关\A(): 按行顺序将数组元素排列为多列 域代码：{EQ \a(100，2，31) } 讲解：{EQ\列表(100，2，31排成一列)} 可用参数：\al左对齐；\ac居中；\ar右对齐；\con元素排成n 列；\vsn行间增加n 磅；\hsn列间增加n磅 \al左对齐 域代码：{EQ \a\al(100，2，31)} 讲解：{EQ \列表\左对齐(100，2，31)} \ac居中 域代码：{EQ \a\ac(100，2，31) } 讲解：{EQ \列表\居中对齐(100，2，31)} \ar右对齐 域代码：{EQ \a\ar(100，2，31) } 讲解：{EQ \列表\右对齐(100，2，31)} \con元素排成n列 域代码：{EQ \a\co3(10，2，31，0，1，0，14，3，55)} 讲解：{EQ \列表\元素排成3 列(10，2，31，0，1，0，14，3，55)} \vsn 行间增加n磅 域代码：{EQ \a\co3\vs2(10，2，31，0，1，0，14，3，55)} 讲解：{EQ \列表\元素排成3列\行间增加2磅} \hsn 列间增加n磅 域代码：{EQ \a\co3\vs2\hs4(10，2，31，0，1，0，14，3，55)} 讲解：{EQ \列表\元素排成3列\行间增加2磅\列间增加4磅} 2. 括号开关\B(): 用大小适当的括号括住元素。 域代码：{EQ \b( \a(100，2，31)) } 讲解：{EQ \加括号( \数组(100，2，31))} 可用参数：左括号使用字符* \lc\*；右括号使用字符* \rc\* ；左右括号都使用字符* \bc\* \lc\* 左括号使用字符* 域代码：{EQ \b\lc\|( \a(100，2，31))} 讲解：{EQ \加括号\左括号使用字符|( \数组(100，2，31)) } \rc\* 右括号使用字符* 域代码：{EQ \b\rc\|( \a(100，2，31)) } 讲解：{EQ \加括号\右括号使用字符|( \数组(100，2，31))} \bc\* 左右括号都使用字符* 泛函分析答案： 1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的 λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 】 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=( 21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y) = ( 1 ||n p i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)0(n ∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或 简单地记作x n x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞ n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 $ 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2（a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2（a,b ）, 2|()|b a f t dt ? ＜∞。 当 L 2（a,b ）中内积的定义为（f,g ）= _____ ()()b a f t g t dt ? (其中f(t),g(t)∈L 2（a,b ）)时其为Hilbert 空间。 ★ 12、算子表示一种作用，一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ?X ， 若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定 用域代码处理Word页码 一、插入基本页码 例如某份文档，当前设置为每页两栏，现在的要求是在每一栏的下面都插入相应的页码，也就是将原来的第一页设置为1、2页，第二页设置为3、4页，以此类推。简单分析一下，其实左侧栏的页码数可以由公式“当前页码×2－1”后得到，右侧栏的页码数可以由公式“当前页码×2”得到，这里以Word 2007为例进行说明，具体操作步骤如下： 第1步：切换到“页码布局”标签页，执行“分栏→两栏”命令，将当前文档拆分为两栏，至于其他的要求可以暂时取默认设置，效果如图1所示。 图1 Word 2007执行分栏(点击看大图) 第2步：切换到“插入”标签页，在“页脚”下拉菜单中选择“空白”，接下来请在需要添加页码的位置处分别画出两个文本框，右侧栏的文本框可以通过复制获得，见图2。 图2 Word 2007画出文本框(点击看大图 二、插入域代码 第3步：将光标定位在文本框中，注意此时请仍旧切换到“插入”标签页，在“文档部件”下拉菜单中选择“域”，此时会弹出图3所示的对话框，在“类别”下拉列表框中选择“等式和 公式”，在“域名”列表框中选择“= (Formula)”，记得请去除右下角的“更新时保留原格式”复选框。 图3 Word 2007插入域(点击看大图) 单击“确定”按钮，此时文本框中的文字会变为“!异常的公式结尾”，其实这并非错误，只是一行域代码而已，按下“Alt＋F9”组合键后会正常显示“{ = }”原形；将光标定位在“=”的后面，继续插入“编号”中的“Page”域，注意请仍旧去除“更新时保留原格式”的复选框，插入后域代码变为“{ ={ PAGE } }”。 第4步：现在，我们应该根据事先的分析，将这个已插入的域更改为“{ ={ PAGE }*2-1 }”，接下来再按照同样的方法，将右侧栏的域代码更改为“{ ={ PAGE }*2 }”(见图4)。 图4 Word 2007修改已插入域(点击看大图) 完成上面的工作后，我们就可以按下“Alt+F9”组合键进行查看，注意请将两个文本框的“线条”的颜色设置为“无颜色”，如图5所示，效果不错吧？如果有需要的话，你可以在页码的前后分别输入“第”和“页”，如果是一页分成了三栏，那么它的域代码应该分别设置为 泛函分析答案： 1、所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=(21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y)=(1 ||n p i i i x y =-∑)1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n ?∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或简单地记作x n ?x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iffx=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2 （a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2 （a,b ）,2|()|b a f t dt ?＜∞。 第七章 习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 （1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此 1.什么是域 简单地讲，域就是引导Word在文档中自动插入文字、图形、页码或其他信息的一组代码。每个域都有一个唯一的名字，它具有的功能与Excel中的函数非常相似。下面以Seq和Date域为例，说明有关域的一些基本概念。 形如“{Seq Identifier [Bookmark ] [Switches ]}”的关系式，在Word中称为“域代码”。它是由： 域特征字符：即包含域代码的大括号“{}”，不过它不能使用键盘直接输入，而是按下Ctrl+F9组合键输入的域特征字符。 域名称：上式中的“Seq”即被称为“Seq域”，Word 2003提供了9大类共74种域。 域指令和开关：设定域工作的指令或开关。例如上式中的“Identifier”和“Bookmark”，前者是为要编号的一系列项目指定的名称，后者可以加入书签来引用文档中其他位置的项目。“Switches”称为可选的开关，域通常有一个或多个可选的开关，开关与开关之间使用空格进行分隔。 域结果：即是域的显示结果，类似于Excel函数运算以后得到的值。例如在文档中输入域代码“{Date \@ "yyyy年m月d日" \* MergeFFormat}”的域结果是当前系统日期。 域可以在无须人工干预的条件下自动完成任务，例如编排文档页码并统计总页数；按不同格式插入日期和时间并更新；通过链接与引用在活动文档中插入其他文档；自动编制目录、关键词索引、图表目录；实现邮件的自动合并与打印；创建标准格式分数、为汉字加注拼音等等。 2.在文档中插入域 (1)使用命令插入域 在Word中，高级的复杂域功能很难用手工控制，如“自动编号”和“邮件合并”、“题注”、“交叉引用”、“索引和目录”等。为了方便用户，9大类共74种域大都以命令的方式提供。 在“插入”菜单中提供有“域”命令，它适合一般用户使用，Word提供的域都可以使用这种方法插入。你只需将光标放置到准备插入域的位置，单击“插入→域”菜单命令，即可打开“域”对话框。 首先在“类别”下拉列表中选择希望插入的域的类别，如“编号”、“等式和公式”等。选中需要的域所在的类别以后，“域名”列表框会显示该类中的所有域的名称，选中欲插入的域名(例如“AutoNum”)，则“说明”框中就会显示“插入自动编号”，由此可以得知这个域的功能。对AutoNum域来说，你只要在“格式”列表中选中你需要的格式，单击“确定”按钮就可以把特定格式的自动编号插入页面。如图1所示。 你也可以选中已经输入的域代码，单击鼠标右键，然后选择“更新域”、“编辑域”或“切换域代码”命令，对域进行操作。 (2)使用键盘插入 如果你对域代码比较熟悉，或者需要引用他人设计的域代码，使用键盘直接输入会更加快捷。其操作方法是：把光标放置到需要插入域的位置，按下Ctrl+F9组合键插入域特征字符“{ }”。接着将光标移动到域特征代码中间，按从左向右的顺序输入域类型、域指令、开关等。结束后按键盘上的F9键更新域，或者按下Shift+F9组合键显示域结果。 一、插入基本页码 例如某份文档，当前设置为每页两栏，现在的要求是在每一栏的下面都插入相应的页码，也就是将原来的第一页设置为1、2页，第二页设置为3、4页，以此类推。简单分析一下，其实左侧栏的页码数可以由公式“当前页码×2－1”后得到，右侧栏的页码数可以由公式“当前页码×2”得到，这里以Word 2007为例进行说明，具体操作步骤如下： 第1步：切换到“页码布局”标签页，执行“分栏→两栏”命令，将当前文档拆分为两栏，至于其他的要求可以暂时取默认设置，效果如图1所示。 图1 Word 2007执行分栏 第2步：切换到“插入”标签页，在“页脚”下拉菜单中选择“空白”，接下来请在需要添加页码的位置处分别画出两个文本框，右侧栏的文本框可以通过复制获得，见图2。 图2 Word 2007画出文本框 二、插入域代码 第3步：将光标定位在文本框中，注意此时请仍旧切换到“插入”标签页，在“文档部件”下拉菜单中选择“域”，此时会弹出图3所示的对话框，在“类别”下拉列表框中选择“等式和公式”，在“域名”列表框中选择“= (Formula)”，记得去除右下角的“更新时保留原格式”复选框。 图3 Word 2007插入域 单击“确定”按钮，此时文本框中的文字会变为“!异常的公式结尾”，其实这并非错误，只是一行域代码而已，按下“Alt＋F9”组合键后会正常显示“{ = }”原形；将光标定位在“=”的后面，继续插入“编号”中的“Page”域，注意请仍旧去除“更新时保留原格式”的复选框，插入后域代码变为“{ ={ PAGE } }”。 第4步：现在，我们应该根据事先的分析，将这个已插入的域更改为“{ ={ PAGE }*2-1 }”，接下来再按照同样的方法，将右侧栏的域代码更改为“{ ={ PAGE }*2 }”(见图4)。 图4 Word 2007修改已插入域 完成上面的工作后，我们就可以按下“Alt+F9”组合键进行查看，注意请将两个文本框的“线条”的颜色设置为“无颜色”，如图5所示，效果不错吧？如果有需要的话，你可以在页码的前后分别输入“第”和“页”，如果是一页分成了三栏，那么它的 泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若 0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。 泛函分析题1_3列紧集p19 1.3.1 在完备的度量空间中，求证：为了子集A是列紧的，其充分必要条件是对?ε > 0，存在A的列紧的ε网． 证明：(1) 若子集A是列紧的，由Hausdorff定理， ?ε > 0，存在A的有限ε网N． 而有限集是列紧的，故存在A的列紧的ε网N． (2) 若?ε > 0，存在A的列紧的ε/2网B． 因B列紧，由Hausdorff定理，存在B的有限ε/2网C． 因C ?B ?A，故C为A的有限ε网． 因空间是完备的，再用Hausdorff定理，知A是列紧的． 1.3.2 在度量空间中，求证：紧集上的连续函数必是有界的，并且能达到它的上、下确界． 证明：设(X, ρ)是度量空间，D是紧子集，f : D→ 是连续函数． (1) 若f无上界，则?n∈ +，存在x n∈D，使得f (x n) > 1/n． 因D是紧集，故D是自列紧的． 所以{x n}存在收敛子列x n(k) →x0∈D (k→∞)． 由f的连续性，f (x n(k))→f (x0) (k→∞)． 但由f (x n) > 1/n知f (x n)→ +∞(n→∞)， 所以 f (x n(k))→ +∞ (k→∞)，矛盾． 故f有上界．同理，故f有下界． (2) 设M = sup x∈D f(x)，则?n∈ +，存在y n∈D，使得f (y n) > M- 1/n． {y n}存在子列y n(k) →y0∈D (k→∞)． 因此f ( y0 ) ≥M． 而根据M的定义，又有f ( y0 ) ≤M． 所以f ( y0 ) = M．因此f能达到它的上确界． 同理，f能达到它的下确界． 1.3.3 在度量空间中，求证：完全有界的集合是有界的，并通过考虑l 2的子集E = {e k }k≥ 1，其中e k = { 0, 0, ..., 1, 0, ... } (只是第k个坐标为1，其余都是0 )，来说明一个集合可以是有界的但不完全有界的． 证明：(1) 若A是度量空间(X, ρ)中的完全有界集． 则存在A的有限1-网N = { x0, x1, x2, ..., x n }． 令R = ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) + 1． 则?x∈A，存在某个j使得0 ≤j≤n，且ρ(x, x j) < 1． 因此，ρ(x, x0) ≤ρ(x, x j) + ρ(x j, x0) ≤ 1 + ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) = R． 所以A是度量空间(X, ρ)中的有界集． (2) 注意到ρ(e k , e j) = 21/2 ( ?k ≠ j )， 故E中任意点列都不是Cauchy列． 所以，E中任意点列都没有收敛子列(否则，该收敛子列就是Cauchy列，矛盾)． 域应用基础 1.什么是域 简单地讲，域就是引导Word在文档中自动插入文字、图形、页码或其他信息的一组代码。每个域都有一个唯一的名字，它具有的功能与Excel中的函数非常相似。下面以Seq和Date域为例，说明有关域的一些基本概念。 形如“{Seq Identifier [Bookmark ] [Switches ]}”的关系式，在Word中称为“域代码”。它是由： 域特征字符：即包含域代码的大括号“{}”，不过它不能使用键盘直接输入，而是按下Ctrl+F9组合键输入的域特征字符。 域名称：上式中的“Seq”即被称为“Seq域”，Word 2003提供了9大类共74种域。 域指令和开关：设定域工作的指令或开关。例如上式中的“Identifier”和“Bookmark”，前者是为要编号的一系列项目指定的名称，后者可以加入书签来引用文档中其他位置的项目。“Switches”称为可选的开关，域通常有一个或多个可选的开关，开关与开关之间使用空格进行分隔。 域结果：即是域的显示结果，类似于Excel函数运算以后得到的值。例如在文档中输入域代码“{Date \@ "yyyy年m月d日" \* MergeFForma t}”的域结果是当前系统日期。 域可以在无须人工干预的条件下自动完成任务，例如编排文档页码并统计总页数；按不同格式插入日期和时间并更新；通过链接与引用在活动文档中插入其他文档；自动编制目录、关键词索引、图表目录；实现邮件的自动合并与打印；创建标准格式分数、为汉字加注拼音等等。 2.在文档中插入域 (1)使用命令插入域 在Word中，高级的复杂域功能很难用手工控制，如“自动编号”和“邮件合并”、“题注”、“交叉引用”、“索引和目录”等。为了方便用户，9大类共74种域大都以命令的方式提供。 在“插入”菜单中提供有“域”命令，它适合一般用户使用，Word提供的域都可以使用这种方法插入。你只需将光标放置到准备插入域的位置，单击“插入→域”菜单命令，即可打开“域”对话框。 首先在“类别”下拉列表中选择希望插入的域的类别，如“编号”、“等式和公式”等。选中需要的域所在的类别以后，“域名”列表框会显示该类中的所有域的名称，选中欲插入的域名(例如“AutoNum”)，则“说明”框中就会显示“插入自动编号”，由此可以得知这个域的功能。对AutoNum域来说，你只要在“格式”列表中选中你需要的格式，单击“确定”按钮就可以把特定格式的自动编号插入页面。如图1所示。 你也可以选中已经输入的域代码，单击鼠标右键，然后选择“更新域”、“编辑域”或“切换域代码”命令，对域进行操作。 (2)使用键盘插入 如果你对域代码比较熟悉，或者需要引用他人设计的域代码，使用键盘直接输入会更加快捷。其操作方法是：把光标放置到需要插入域的位置，按下Ctrl+F9组合键插入域特征字符“{ }”。接着将光标移动到域特征代码中间，按从左向右的顺序输入域类型、域指令、开关等。结束后按键盘上的F9键更新域，或者按下Shift+F9组合键显示域结果。 第七章习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2.设],[b a C ∞ 是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明（1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 21 ),()()()()(0 t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞ 按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1。 证明令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({ =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使n x x d 1 ),(10< 。设,0),(110>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是开集 显然B o n n ??∞ =1 。若n n o x ∞ =?∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此)(∞?→??→? n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =?∞ =1 。 4.设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明（1）若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数，于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+= WORD EQ域汇总?? 2010-06-08 20:55:35|??分类：??|??标签：?|字号大中小?订阅 域是Word的精髓，他的应用是非常广泛的，正确使用域可以实现许多比较复杂的功能。在Word 中域共有九大类七十余种，这其中尤以EQ域变化最多最为复杂。Eq是Eq tion（公式）的缩写，Eq域能够生成数学公式。 创建公式当然最好用“公式编辑器”了，但在某些情况下使用Eq 域来输入简单的数学公式也是一个不错的选择。在这里我就给大家介绍一下EQ域的典型应用。 一、有关域的几个名词： 1、域：指导Word在文档中自动插入文字、图形、页码和其它资料的一组代码。 2、域开关：在使用域时，引发特定操作的特殊说明，一般是指添至域中用于修饰结果的选项。 3、域名：域的名称，如EQ域、TIME域等。 4、域记号：一对大括号{}。注意不能直接用键盘输入，应该用后面介绍的"插入空白域"的方法来实现。 5、域的两种显示方式：一种是以域代码方式显示，一种以域结果方式显示。以"Time"域为例，它以域代码方式显示时是这样的：{TIME \*MERGEFORMAT}，它以域结果方式显示是这样的：7:03:30 PM 二、与域有关的快捷键： 1、在文档中插入空白域：按Ctrl+F9键（也可以用命令"插入→域"来实现）。 2、在域代码和域结果之间切换：按Shift+F9键。 3、更新选择的域：按F9键。 4、取消某个域的链接：先选中该域，再按Ctrl+Shift+F9键，这时域结果将以平常文本的形式显示出来。 5、转到前一个域：按Shift+F11键；转到后一个域：按F11键。 6、锁定域：按Ctrl+F11键。例如，在文档中插入Ｔime域，在打印文档时会自动更新该域，如果希望保持插入的时间值，只要在打印之间锁定该域就可以了。解除域的锁定：按 Ctrl+Shift+F11键。 三、EQ域的10个开关及运用实例： 1、数组开关：\a() 按照行的顺序将数组元素（经笔者实验元素最多为39个）排列为多列，并可以用下列选项对\a 开关作进一步修饰： \al——列内元素左对齐。 \ar——列内元素右对齐。 \ac——列内元素居中。 \con——将元素排成n列。 \vsn——行间增加n磅的间距。 \hsn——列间增加n磅的间距。 例1：我们要在文档中输入今年10月份的月历，可以插入如下域代码：{eq \a\ac\co7\vs4\hs20(日,一,二,三,四,五, 六,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28 ,29,30,31)}，其显示结果如图1： ? 21．试在2([1,1])L -中将函数231,,,,t t t L 进行正交化. 解： 根据Schmidt 正交化过程, 可取 0()1u t =, 01000(,)()()(,) t u u t t u t u u =- 1111 1111t dt t t dt --?=- =??? ; 2 2 2 102101100(,)(,)()()()(,) (,) t u t u u t t u t u t u u u u =- - 112 2 2 111 1 1 1 1111t tdt t dt t t t tdt dt ----??=- -??? ? ? ? 2 13 t =- ; L L 再单位化可得 000()()|||| u t e t u = = = ; 111()()|||| 2 u t e t u = = = ; 2 22221()1()|||| 43t u t e t t u - ? = = = -??? ; L L . 解二： 引入如下形式的Legendre 正交多项式: 2 1,0, ()(1),1,2,. k k k k k u t d t k dt =?? =?-=??L 我们断言{}0()k k u t ∞ =是2 ([1,1])L -中由2 3 1,,,,t t t L 直交 化所得到的直交函数列。 首先我们断言{}0()k k u t ∞ =是直交的. 事实上, 不失一 般性, 可设l k ≥. (i) 如果0k =, 显然有 1 001((),())2u t u t dt -= =?; 而对于1,2,l =L 1 201 ((),())(1)l l l l d u t u t t dt dt -= -? 1 12 1 1 (1) 0l l l d t dt ---= -=. (ii) 对于1k ≥, 根据定积分的分部积分法，可以得到 1 221 ((),())(1)(1)k l k l k l k l d d u t u t t t dt dt dt -= -? -? 1 12 21 1 (1)(1)k l k l k l d d t d t dt dt ---= -?-? 1 1221 1 (1) (1) l k l k l k d d t t dt dt ---=-- 1 1221 1 (1)(1)l k l k l k d d t d t dt dt -----?-? 1 222 222 2 1 (1) (1)(1)l k l k l k d d t t dt dt dt -+-+-=--? -? =L 1 221 (1) (1)(1)k l l l k k l d t t dt dt ++-=--? -? ， (*) 当l k =时， 2222(1)(1)(2)!k l k k k k l k d d t t k dt dt ++-= -=， 因此 ((),())((),())k l k k u t u t u t u t = 12 1 (1) (1)(2)!k k t k dt -=--?? 1 20 (1)2(2)!(1)k k k t dt =--? /2 20 2(2)! (1sin )sin k k s d s π=-? /2 21 2(2)! cos k k sds π+=? Word 中的域代码列表 Word for Office 365 Word for Office 365 for Mac Word 2019 Word 2019 for Mac 更多... 注意:我们希望能够尽快以你的语言为你提供最新的帮助容。本页面是自动翻译的，可能包含语法错误或不准确之处。我们的目的是使此容能对你有所帮助。可以在本页面底部告诉我们此信息是否对你有帮助吗？请在此处查看本文的英文版本以便参考。 注意:有关插入和编辑域代码、使用开关、设置和更改属性、显示结果与域代码、锁定域和其他常见任务的详细信息, 请参阅在 Word 中插入、编辑和查看域。 在 Word 中插入、编辑和查看域 域代码可用作文档中可能会更改的数据的占位符, 并且你可以使用它们来自动处理文档的某些方面。当您使用 Word 功能 (如页码或目录) 时, 将插入域代码, 但是您可以为其他任务手动插入域代码, 例如执行计算或填充数据源中的文档容。 这些步骤适用于在 Word 中插入任何域代码。有关包含每个域的详细信息的所有域代码的列表, 请参阅Word 中的域代码列表。 插入域 1.在要插入域的位置单击。 提示:如果你知道要插入的字段的域代码, 则可以直接在文档中键入它, 但不能键入方括号字符。按 Ctrl + F9, 然后在括号中键入代码。 2.单击“插入”>“文档部件”>“域”。 3.在“域名”列表中，选择域名。 提示:您可以通过单击 "类别" 列表中的向下箭头筛选列表。 4.在 "字段属性" 下, 选择所需的任何属性或选项, 然后单击"确定"。 注意: ?若要在 "字段" 框中查看特定字段的代码, 请单击 "域代码"。对于某些字段, 默认情况下会单击此按钮。 ?若要在另一个域中嵌套某个域，请先插入外部（容器）域（上面的步骤 1 - 4）。 然后将插入点放在要插入部域的域代码，并重复上面的步骤 2 - 4。 编辑域 WORD-域和域代码 对一般WORD用户来说，域是一个高级的议题，但是如果您希望自己能够更好地驯服WORD，使它为您效劳，您就需要熟悉并掌握它。在设定文档的页眉和页脚时，加入页码域让WORD替您对页面编号；在页眉中加入文档名称域，使打印的文档显示文件名称，以便以后查找文档；在大型文档中插入目录域，好让WORD替您管理目录的编撰等等。 域的概念 域代码是由域特征字符、域类型、域指令和开关组成的字符串； 域结果是域代码所代表的信息。 域特征字符是指包围域代码的大括号“{}”，它不是从键盘上直接输入的，按 1 泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章 第 一 节 3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞word域代码的详解
泛函分析答案
用域代码处理Word页码
泛函分析答案
泛函分析习题解答
word域功能详解
巧用域代码处理WORD中页码(双页码)
最新泛函分析考试题集与答案
泛函分析答案
word域功能详解1
泛函分析第七章 习题解答125
word公式域汇总
泛函分析 曹广福版答案
Word 中的域代码列表(官方)
WORD-域和域代码详解
应用泛函分析习题解答
相关主题
文本预览