函数零点练习
1、函数()?
??>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数
()x x g 2log =的图象的交点个数是
A.4
B.3
C.2
D.1
2、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ）
A.??
? ??41,81 B.??
?
??21,41 C.??
?
??1,21
D.(1,2)
3、数()f x 的零点与()422x
g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ ） A. ()41f x x =- B. ()2
(1)f x x =-
Ｃ.
()1x f x e =- Ｄ. )2
1ln()(-=x x f
4．若0x 是方程31
)21(x x
=的解，则0x 属于区间（ ）
A ．??? ??1,32 .
B ．??? ??32,21 .
C ．??? ??21,31
D ．??
? ??31,0 5．若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ）A ．（0，1）B ．（1，1.25）
C ．（1.25，1.75）
D ．（1.75，2）
6．函数()x x f x
32+=的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2-- B ．()0,1- C ．()1,0 D ．()2,1
7．函数()2-+=x e x f x
的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2-- B ．()0,1- C ．()1,0 D ．()2,1 8．设函数,)12sin(4)(x x x f -+=则在下列区间中函
数)(x f 不存在零点的是
A ．[]2,4--
B ．[]0,2-
C ．[]2,0
D ．[]4,2
9．已知0x 是函数()x
x f x -+
=11
2的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则
A ．()01 B ．()01 C ．()01>x f ，()02 D ．()01>x f ，()02>x f 10．函数2441()431x x f x x x x -?=?-+>?， ≤， ，的图象和函数 2()log g x x =的图象的交点个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 11．函数()???>+-≤-+=0 ,ln 20 ,322x x x x x x f 的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 12、函数 cosx 在[0，+∞）内 （ ） （A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点 （C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点 13.设m ，k 为整数，方程2 20mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为 （A ）-8 （B ）8 (C)12 (D) 13 １．下列函数中在［１，２］上有零点的是（ ） A.543)(2+-=x x x f B.55)(3 +-=x x x f C.63ln )(+-=x x x f D.63)(-+=x e x f x ２．若方程0122 =--x ax 在(0,1)内恰有一个实根，则a 的取值范围是（ ） A.)1,(--∞ B.),1(+∞ C.)1,1(- D.[)1,0 ３．函数c bx ax x f ++=2)(，若0)2(,0)1(<>f f ，则)(x f 在)2,1(上零点的个数为( ) A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且只有一个 D.一个也没有 4．函数3log )(3-+=x x f x 零点所在大致区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 5．函数2 )(-+=x e x f x 的零点所在的区间是（） (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） 6．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 ( B ) (A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2） 4．方程0lg =-x x 根的个数为（ ） A ．无穷多 B ．3 C ．1 D ．0 8．函数132)(3 +-=x x x f 零点的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．若函数)(x f y =在区间[],a b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得 0)(=c f ； B ．若0)()( 0)(=c f ； C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得 0)(=c f ； D ．若0)()( 0)(=c f ； 10.已知函数f (x )在区间 [a ，b ]上单调，且 f (a )?f (b )<0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ）. A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有惟一实根 11．设 ()833-+=x x f x ，用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在 内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<> （ ）A ．(1,1.25) B ．(1.25,1.5) C ．(1.5,2) D ．不能确定 12．直线3y =与函数2 6y x x =-的图象的交点个数为（）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 13．若方程0x a x a --=有两个实数解，则a 的取值范围是A ．(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(0,2) D ．(0,)+∞ 14．已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ） A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点 C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点 D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点 15．若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间( ) A （0，1）. B （1，1.25）. C （1.25，1.75） D （1.75，2） 16．已知x 0是函数f(x)=2x + 1 1x -的一个零点.若1x ∈（1，0x ），2x ∈（0x ，+∞），则 A f(1x )＜0，f(2x )＜0 B f(1x )＜0，f(2x )＞0 C f(1x )＞0，f(2x )＜0 D f(1x )＞0，f(2x )＞0 13．若1x 是方程lg 3x x +=的解，2 x 是310=+x x 的解，则21x x +的值为（ ） A ． 23 B ．32 C ．3 D ．31 14．函数5 ()3f x x x =+-的实数解落在的区间是( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[2,3] D ．[3,4] 15．在,,log ,22 2x y x y y x ===这三个函数中，当 1021<< ) ()()2( 2121x f x f x x f +> +恒成立的函数的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 16．若函数()f x 唯一的一个零点同时在区间(0,16)、 (0,8)、(0,4)、(0,2)内，那么下列命题中正确的是( ) A ．函数()f x 在区间(0,1)内有零点 B ．函数()f x 在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C ． 函数()f x 在区间[)2,16内无零点 D ．函数()f x 在区间(1,16)内无零点唯一 的一个零点必然在区间(0,2) 17．求3()21f x x x =--零点的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 18 ． 若 方 程 310 x x -+=在区间 (,)(,,1)a b a b Z b a ∈-=且上有一根，则a b +的值为（ ） A ．1- B ．2- C ．3- D ．4- 1．函数f(x)=2x+7的零点为 （ ） A 、7 B 、 27 C 、2 7 - D 、-7 ２．下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法 求图中函数零点的是（ ） ３．若方程0122 =--x ax 在(0,1)内恰有一个实根，则a 的取值范围是（ ） A.)1,(--∞ B.),1(+∞ C.)1,1(- D.[)1,0 ４．函数2)(-+=x e x f x 的零点所在的区间是 (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） 函数零点练习 1、函数()? ??>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数 ()x x g 2log =的图象的交点个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 2、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ） A.?? ? ??41,81 B.?? ? ??21,41 C.?? ? ??1,21 D.(1,2) 3、数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ ） A. ()41f x x =- B. ()2 (1)f x x =- Ｃ. ()1x f x e =- Ｄ. )2 1ln()(-=x x f 4．若0x 是方程31 )21(x x =的解，则0x 属于区间（ ） A ．??? ??1,32 . B ．??? ??32,21 . C ．??? ??21,31 D ．?? ? ??31,0 5．若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ）A ．（0，1）B ．（1，1.25） C ．（1.25，1.75） D ．（1.75，2） 6．函数()x x f x 32+=的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2-- B ．()0,1- C ．()1,0 D ．()2,1 7．函数()2-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2-- B ．()0,1- C ．()1,0 D ．()2,1 8．设函数,)12sin(4)(x x x f -+=则在下列区间中函 数)(x f 不存在零点的是 A ．[]2,4-- B ．[]0,2- C ．[]2,0 D ．[]4,2 9．已知0x 是函数()x x f x -+ =11 2的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则 A ．()01 嵌套函数与函数的零点问题 1二已知函数f (x )=x +1,x ?0l o g 2x ,x >0{,则y =f (f (x ))+1的零点组成的集合为 .2二?变式?已知函数f (x )=x +1,x ?0l o g 2 x ,x >0{,则y =f (f (x ))-1的零点组成的集合为 .3二函数f (x )=x +1,x ?0,x 2-2x +1,x >0. { ,若关于x 的方程f 2(x )-a f (x )=0恰有5个不同的实数解,则a 的取值范围为 .4二定义域为R 的函数f (x )= |l g x |,x >0,-x 2-2 x ,x ?0.{,关于x 的函数y =2f 2(x )-3f (x )+1的零点个数为 .5二函数f (x )是定义在R 上偶函数,且当x ?0时,f (x )=x |x -2|,若关于x 的方程f 2(x )+a f (x )+b =0恰有1 0个不同的解,则a 的取值范围是 .6二已知函数f (x )=-x 2,x ?0,x 2+2x ,x <0.{ ,则不等式f f x ()()?3的解集是 .7二已知函数f (x )=l o g 2x ,x >0,2x ,x ?0. {,则满足不等式f (f (x ))>1的x 的取值范围是 .8二已知函数f (x )=x 2-2a x +a 2-1若关于x 的不等式f (f (x ))<0的解集为空集,则实数a 的取值范围是 . 9二设函数f (x )是偶函数,当x ?0时,f (x )=x (3-x ),0?x ?3,-3x +1,x >3ì?í???,若函数y =f (x )-m 有四个不同的零点,则实数m 的取值范围是 . 一. 教学内容： 函数的零点与二分法 二. 学习目标 1、理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点。 2、理解零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程的根的关系； 3、通过具体实例了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解用二分法求函数零点的原理，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用． 4、在函数与方程的联系中，初步体会事物间相互转化的辩证思想；体验探究的过程、发现的乐趣。 三. 知识要点 1、函数的零点 一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零，即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。 归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的。 说明： （1）函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这一实数时函数值为零； （2）对于函数的零点问题我们只在实数范围内讨论； （3）方程的根、函数的图象与x 轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式 2、函数零点的意义： 函数)x (f y =的零点就是方程0)x (f =的实数根，亦即函数)x (f y =的图象与x 轴交点的横坐标． 归纳：方程0)x (f =有实数根?函数)x (f y =的图象与x 轴有交点?函数)x (f y =有零点． 3、函数零点存在性的判定方法 对于函数相对应的方程能求解的，可以直接求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对于函数相对应的方程不能直接求解的，又该怎样处理？ 如果函数)x (f y =在区间[]b ,a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)b (f )a (f 高中数学专题练习-函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(2015·北京)设函数f (x )＝??? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (·天津)已知函数f (x )＝??? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： 课题: 《方程的根与函数的零点》 一、教学目的: 1、知识与技能： (1)、了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一次函数、二次方程、复合函数……），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x 轴的交点三者的关系； (2)、理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个； (3)、能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间； (4)、体会函数与方程和数形结合的思想。 2、过程与方法： 培养学生观察 、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。 3、情感态度与价值观： 在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。 二、教学重难点 重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念及零点判断方法； 难点：探究并发现零点存在性定理及其应用 三、教学过程 1、创设问题情境，引入新课 问题1 求下列方程的根 (1)、3x +2=0； (2)、0322=--x x ； (3)、062=-+x Inx ； 师生互动:问题1让学生通过自主解前2小题，复习一元一次方程与一元二次方程根情形。第3小题学生自主完成遇到困难，合作交流用所学的知识也无法解决 设计意图:问题1（4）引发认知冲突，激起学生强烈的求知欲，认识到学习新知识，探索新方法的必要性，同时为后面引出零点存在判定方法埋下伏笔。 问题2 设计意图:利用表格，有利于学生进行横向、纵向观察得出它们的关系。并通过上表得出： 一元二次方程的实数根=二次函数图像与x轴交点的横坐标（方程根的个数是对应函数图像与X轴交点的个数）。 函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(北京)设函数f (x )＝????? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (天津)已知函数f (x )＝? ??? ? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实 数a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： 高中数学-函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如： 高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有 0)()( 函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法： 1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质； 2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有 3.1.1 函数零点 一、内容与解析 （一）内容：函数零点 （二）解析：函数的零点是高中新教材人教A版必修①第三章3.1.1的内容。在上一章中学了几种基 f x的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为本初等函数，() f x 的实数根；从函数的图像角度看,函数的零点就是函数0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程()0 f x与x轴交点的横坐标.函数的零点从不同的角度,将函数与方程，数与形有机的联系在一起，体现的是 () 函数知识的应用． 学习函数零点存在性定理可为二次函数实根分布打下基础，并为下一节内容《二分法求方程近似解》提供理论支持．因此本节课是本学科的重点内容，有着承前启后的作用。教学的重点是函数零点的形成与求解及其基本应用，在讲授本节内容时更多要渗透函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合的思想方法.本科计划两课时。 二、教学目标及解析 目标：1、理解函数（结合二次函数）零点的概念，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数零点与方程的关系。 2、体验函数零点概念的形成过程，引导学生会用转化与数形结合的思想方法研究问题，提高数学知识的综合应用能力。 解析：1、目标1是指学生体会到使函数值为0的解； 2、目标2是指学生体会到函数与方程思想，转化与化归思想、数形结合的思想方法.； 三、问题诊断分析 本节课的教学中，学生可能出现如下几个问题： ①为什么要研究函数的零点？什么叫函数的零点？怎样去求函数的零点？一元二次方程的根与二次函 数图像之间的关系？ ②函数零点是不是一个点？零点一定是实根吗？那存不存在非实根？ 学生出现这几个问题的原因是抓不住函数零点的本质，对函数零点的概念理解不透彻，另外现实生活中遇到的零点问题，更多的是没有认真去研究。解决这些问题的关键是需要感受从特殊到一般过程，找出其共同点和规律，另外在应用时应以方程和图像的眼光来看待函数的零点，对应图象和定义，找出方程与函数的关系。 四、教学条件支持 本节课的教学中需要用到几何画板，因为使用几何画板有利于更直观的展示方程的根与函数零点的联系 五、教学过程 1、自学（大约8分钟） 问题1：函数零点是如何得到的？ 问题2：函数零点内容是什么？ 问题3：函数零点能解决什么问题？ 2、互学导学（大约32分钟） 问题1：如何定义函数的零点以及函数零点概念是如何形成的？ 设计意图：单刀直入，从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，通过对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，给学生搭自然类比引出概念．零点知识是陈述性知识，关键不在于让学生提出这个概念，而在于理解提出零点概念的作用——沟通函数与方程的关系．引入函数的零点的概念一是突出这一转化的思想，二是表述起来更方便。 师生活动： 引导学生通过配方，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系。 小问题1：已知函数2 23y x x =--，当x 为何值时,Y=0 ? 【生】：-1， 3 函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用 函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． < A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.() 1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选 C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 · 解法二:几何解法 (1). ()e 2x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 画出函数x y e =和 2y x =-+的图象，可观察得出C 正确. ) )0=有实数根 高中数学函数零点问题的求解 函数的零点教材中给出了具体的定义：“对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数0)(=x f 的零点，这样函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根，也就是函数)(x f y =的图象与X 轴交点的横坐标，所以方程0)(=x f 有实根?函数)(x f y =的图象与X 轴有交点?函数)(x f y =有零点” 对于函数零点问题，我们除了可应用根的存在性定理直接求解外，还可利用“方程0)(=x f 有实根?函数)(x f y =的图象与X 轴有交点?函数)(x f y =有零点” 题目进行适当转换，得到各种不同的求解策略。总结如下： 一 、函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B 例2.函数2)(x x f =在下列区间是否存在零点？（ ） （A ）（-3，-1）； （B ）（-1，2）； （C ） （2，3）； （D ）（3，4）。 分析：利用函数零点的存在性定理分析，函数2)(x x f =在所给出的四个区间中都不满足条件0)()( 谈函数与方程(零点问题)的解题方法 课题 ——解题技能篇 从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想． (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点． (2)零点存在性定理(函数零点的判定) 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解． 也可以说：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[提醒]此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数． (3)几个等价关系 函数y＝f(x)有零点?方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x轴)有交点．推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点?方程f(x)－g(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)－g(x)的图象与y＝0(即x轴)有交点． 推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点?方程f(x)＝g(x)有实数根?函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)有交点． 1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？ 提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？ 提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0． 3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？ 函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的 联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点 个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用 函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()00e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 有零点吗? 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗? 解法二:几何解法 (1). ()e 2x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 画出函数x y e =和 2y x =-+的图象，可观察得出C 正确. ) )0=有实数根 图像有交点. 第二章 2.4 2.4.1 一、选择题 1．函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．7 2 C ．－7 2 D ．－7 [答案] C [解析] 令f (x )＝2x ＋7＝0，得x ＝－7 2， ∴函数f (x )＝2x ＋7的零点为－7 2 . 2．函数f (x )＝x 2＋x ＋3的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] A [解析] 令x 2＋x ＋3＝0，Δ＝1－12＝－11<0， ∴方程无实数根，故函数f (x )＝x 2＋x ＋3无零点． 3．已知x ＝－1是函数f (x )＝a x ＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是 ( ) A ．－1或1 B ．0或－1 C ．1或0 D ．2或1 [答案] C [解析] ∵x ＝－1是函数f (x )＝a x ＋b (a ≠0)的一个零点，∴－a ＋b ＝0，∴a ＝b . ∴g (x )＝ax 2－ax ＝ax (x －1)(a ≠0)， 令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝1，故选C. 4．(2014，湖北文，9)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ．{1,3} B ．{－3，－1,1,3} C ．{2－7，1,3} D ．{－2－7，1,3} [答案] D [解析] 令x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )＝x 2＋3x ， 又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝x 2＋3x ，∴f (x )＝－x 2－3x (x <0)， ∴f (x )＝????? x 2－3x (x ≥0) －x 2 －3x (x <0). ∴g (x )＝????? x 2－4x ＋3(x ≥0) －x 2 －4x ＋3(x <0) . 当x ≥0时，由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x <0时，由－x 2－4x ＋3＝0，得x ＝－2－7， ∴函数g (x )的零点的集合为{－2－7，1,3}． 5．下列图象对应的函数中没有零点的是( ) [答案] A [解析] 因为函数的零点即函数图象与x 轴交点的横坐标，因此，若函数图象与x 轴没有交点，则函数没有零点．观察四个图象，可知A 中的图象对应的函数没有零点． 6．函数f (x )＝x －4 x 的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个 [答案] C [解析] 令f (x )＝0，即x －4 x ＝0，∴x ＝±2. 故f (x )的零点有2个． 二、填空题 7．函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________． 零点问题与数形结合 题型一、直接做图 1 函数 ()1|1|f x x =--‖ 的图像与直线 y k = 有且仅有四个不同的交点, 则实数 k 的取值范围是_________ 2 已知函数 ()22x f x =- 与 y b = 有两个交点, 则实数 b 的取值范围是_________ 3 已知函数 ||()2||,x f x x =+ 若关于 x 的方程 ()f x k = 有两个不同的实根, 则实数k 的取值范围是_________.已知函数 ()|lg |,f x x = 若 0a b << 且 ()(),f a f b = 则 2a b + 的范围是_________ 4 设函 21,0 (),1,0x x f x x x ?-=?+?? 若 0,m n << 且 ()(),f m f n = 则 2n m +的取值范围是_________ 题型二、变形后做图 1 直线 1y = 与曲线 2||y x x a =-+ 有 4 个交点, 则 a 的取值范围 是_________ 2 若关于 x 的方程 2|| 2 x kx x =+ 有 4 个不同的实数解, 则实数 k 的范围为_________ 3 已知函数 21(),()32f x x h x = += 解关于 x 的方程 43 3log (1)2 4f x ??--=???? 22log ()log (4)h a x h x ---。 1．函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是( ) A ．－12，－1 B.12 ，1 C.12，－1 D ．－12 ，1 解析：方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝12 ，所以函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是12 ，1. 答案：B 2．下列各图象表示的函数中没有零点的是( ) 解析：函数没有零点?函数的图象与x 轴没有交点． 答案：D 3．函数f (x )＝x ＋ln x 的零点所在的区间为( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(1，e) 解析：法一：∵x >0，∴A 错.又因为f (x )＝x ＋ln x 在(0，＋∞)上为增函数,f (1)＝1>0，所以f (x )＝x ＋ln x 在(1,2),(1，e)上均有f (x )>0，故C 、D 不对． 法二：取x ＝1e ∈(0,1)，因为f (1e )＝1e －1<0，f (1)＝1>0，所以f (x )＝x ＋ln x 的零点所在的区间为(0,1)． 答案：B 4．若函数f (x )唯一的零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)上，那么下列命题中正确的是( ) A ．函数f (x )在区间(0,1)内有零点 B ．函数f (x )在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C．函数f(x)在区间[2,16)内无零点 D．函数f(x)在区间(1,16)内无零点 解析：由题意可知函数f(x)的零点必在区间(0,2)内． 答案：C 5．方程ln x＝8－2x的实数根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝__________. 解析：令f(x)＝ln x＋2x－8，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增. ∵f(3)＝ln 3－2<0，f(4)＝ln 4>0， ∴零点在(3,4)上，∴k＝3. 答案：3 6．函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________． 解析：f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1) ＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)． 可知零点为±1，－2,3，共4个． 答案：4 7．判断下列函数在给定区间上是否存在零点． (1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； (2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]； (3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]． 解：(1)法一：∵f(1)＝－20<0，f(8)＝22>0， ∴f(1)·f(8)<0.故f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点． 法二：令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或x＝6， ∴函数f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点． (2)∵f(－1)＝－1<0，f(2)＝5>0， ∴f(－1)·f(2)<0. ∴f(x)＝x3－x－1在[－1,2]上存在零点． (3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1>log22－1＝0， f(3)＝log2(3＋2)－3 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()( 专题二函数零点问题 函数的零点作为函数、方程、图象的交汇点，充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰富的数形结合思想．诸如方程的根的问题、存在性问题、交点问题等最终都可以转化为函数零点问题进行处理，因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点，且形式逐渐多样化，备受青睐． 模块1 整理方法提升能力 对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点．对于两个函数的选择，有3种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反） ．其 中以一平一曲的情况最为常见． 分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数 f x 的图象与x 轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用 零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数． 函数的凸性 1．下凸函数定义 设函数f x 为定义在区间 ,a b 上的函数，若对 ,a b 上任意两点1x ，2x ，总有 1 2 1 2 2 2 f x f x x x f ，当且仅当1 2x x 时取等号，则称 f x 为,a b 上的下凸函数． 2．上凸函数定义 设函数f x 为定义在区间 ,a b 上的函数，若对 ,a b 上任意两点1x ，2x ，总有 1 2 1 2 2 2 f x f x x x f ，当且仅当1 2x x 时取等号，则称 f x 为,a b 上的上凸函数． 3．下凸函数相关定理 定理：设函数f x 为区间 ,a b 上的可导函数，则f x 为,a b 上的下凸函数f x 为,a b 上的递增函数0f x 且不在,a b 的任一子区间上恒为零． 4．上凸函数相关定理 定理：设函数f x 为区间,a b 上的可导函数，则f x 为,a b 上的上凸函数f x 为,a b 上的递减函数 0f x 且不在,a b 的任一子区间上恒为零． 例1 已知函数2e 2e x x f x a a x ． （1）讨论f x 的单调性；（2）若f x 有两个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）22e 2e 12e 1e 1x x x x f x a a a ，2e 10x ． ①当0a 时，e 10x a ，所以0f x ，所以f x 在R 上递减． ②当0a 时，由0f x 可得1ln x a ，由0f x 可得1ln x a ，所以f x 在 1,ln a 上递减，在 1ln , a 上递增． （2）法1：①当0a 时，由（1）可知，f x 在R 上递减，不可能有两个零点． ②当0a 时，min 11ln 1 ln f x f a a a ，令min g a f x ，则 2 110g a a a ，所以g a 在0,上递增，而1 0g ，所以当1a 时， min 0g a f x ，从而f x 没有两个零点． 当01a 时，1ln 0f a ，2 21 1 0e e e a a f ，于是f x 在 11,ln a 上有1个 零点；因为2 3 33333ln 1 121 ln 1 1ln 10f a a a a a a a a ，且 31ln 1ln a a ，所以f x 在1ln , a 上有1个零点． 综上所述，a 的取值范围为0,1．高一函数的零点汇总
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