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20.极点与极线的性质

第15讲:极点与极线的性质

极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途.

定义:已知曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0,则称点P(x 0,y 0)和直线l:ax 0x+b

200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2

y y ++f=0是曲线G 的一对极点与极线,点P 称为直线l 关于曲线G 的极点;直线l 称为点P 关于曲线G 的极线.称点P 与直线l 有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”.

特别地,当点P 在曲线G 上时,点P 关于曲线G 的极线是曲线G 在点P 处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点.

[位置关系]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线是直线l,则三者的位置关系是:①若点P 在曲线G 上,则直线l 是曲线

G 在点P 处的切线;②若点P 在曲线G 外,则直线l 是由点P 向曲线G 引两条切线的切点弦;③若点P 在曲线G 内,则直线l 是经过点P 的曲线G 的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图:

l l l P M P A D M P

N C N B

[配极原则]:如果点P 的极线通过点Q,则点Q 的极线也通过点P.

证明:设圆锥曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,点P(x p ,y p ),Q(x Q ,y Q ),则点P 、Q 关于曲线G 的极线方程分别为

p:ax p x+b

x x y p p ++cy p y+d

p x x ++e

p y y ++f=0,q:ax Q x+b

x x y Q Q ++cy Q y+d

Q x x ++e

Q y y ++f=0,则点P 的极线通过点Q ?ax p x Q +b

p Q p y x x y ++cy p y Q +d

Q x x ++e 2

Q y y ++f=0?点P(x p ,y p )在直线q:ax Q x+b

y x x y Q Q ++cy Q y+d

Q x x ++e

Q y y +

+f=0上?点Q 的极线也通过点P.

推论1:两点连线的极点是此二点极线的交点,两直线交点的极线是此二直线极点的连线;

证明:设两点A 、B 连线的极点是P,即点P 的极线经过点A 、B,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点P 是此二

点极线的交点;同理可证:两直线交点的极线是此二直线极点的连线.

推论2(共点共线):共线点的极线必共点;共点线的极点必共线.

证明:设点A 、B 均在直线l 上,直线l 对应的极点为P,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点A 、B 的极线必共

点;同理可证:共点线的极点必共线.

推论3(中点性质):若圆锥曲线G 过点P 的弦AB 平行于点P 的极线,则点P 是弦AB 的中点. 证明:设P(x 0,y 0),曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,则点P 的极线方程:ax 0x+b

200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2

y y + +f=0,故可设AB:ax 0x+b

200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2

0y y ++λ=0,由点P(x 0,y 0)在直线AB 上?ax 02+bx 0y 0+cy 02

+2dx 0+2ey 0+λ=0?λ=-(ax 02

+bx 0y 0+cy 02

+2dx 0+2ey 0)?直线AB:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2

0y y +=ax 02+bx 0y 0+cy 02

+2dx 0+2ey 0? ax 0x+b

200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2

0y y ++f=ax 02+bx 0y 0+cy 02

+2dx 0+2ey 0+f,而该直线为以为P 中点的中点弦方程,即点P 是弦AB 的中点.

[比例定理]:若过点P(x 0,y 0)的直线l 与曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0相交于A 、B 两点,与直线:ax 0x+b

00y

x x y ++

cy 0y+d

20x x ++e 2

y y ++f=0交于点Q,则|PA||QB|=|QA||PB|. 证明:设直线l:??

?+=+=θ

θsin cos 00t y y t x x (t 为参数),代入ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 20

y y ++f=0得:(2ax 0cos θ+bx 0sin

θ+by 0cos θ+2cy 0sin θ)t+2(ax 02

+bx 0y 0+cy 02

+dx 0+ey 0+f)=0?t 0=-2θ

θθθsin 2cos sin cos 20000002

00020cy by bx ax f ey dx cy y bx ax ++++++++;代入ax 2

+bxy+

cy 2+2dx+2ey+f=0得:(acos 2θ+bcos θsin θ+csin 2θ)t 2+(2ax 0cos θ+bx 0sin θ+by 0cos θ+2cy 0sin θ)t+(ax 02+bx 0y 0+cy 02

+dx 0 +ey 0+f)=0?t 1+t 2=-θ

θθθθ

θθθ2

0000sin cos sin cos sin 2cos sin cos 2c b a cy by bx ax +++++,t 1t 2=

θθθ2200200020sin cos sin cos c b a f

ey dx cy y bx ax +++++++?t 0=

12t t t t +;而|PA||QB|= |QA||PB|?|t 1||t 2-t 0|=|t 1-t 0||t 2|?t 0=

12t t t t +成立. [面积定理]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线为l,过点P 的直线与圆锥曲线G 相交于A 、B 两点,分别过点A 、B 的

两条平行线与直线l 交于点D 、C,记△APD 、△CPD 、△BPC 的面积分别为S 1,S 2,S 3,则:S 22

=4S 1S 2.

证明:以椭圆G:

2a x +

2b y =1(a>b>0)为例,设P(x 0,y 0),则极线l:

0=+

b y y a x x .设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),并分别过点A 、B

作l 的垂线,垂足分别为D 1、C 1,则|

|||11BC AD =|1||1|22022021

0-+-+

y y a x x b y y a x x =||||2220220222102102b a y y a x x b b a y y a x x b -+-+(注意到:a 2b 2=b 2x 12+a 2y 12,a 2b 2=b 2x 22+a 2y 2) =

|||2222222022022

12212102102y a x b y y a x x b y a x b y y a x x b --+--+=

)()(||)()(|0222022201120112y y y a x x x b y y y a x x x b -+--+-(注意到:

0101x x y y --=0202x x y y --=k)=||||0201x x x x --?|

|22221212x b ky a x b ky a ++.又因||||BP AP =||||0201x x x x --,以下只需证||||22221212x b ky a x b ky a ++=1,即|a 2ky 1+b 2x 1|=|a 2ky 2+b 2x 2|,由?????=+=+2222222222212212b

a y a x

b b a y a x b ?b 2(x 1-x 2)(x 1+x 2)+a 2

(y 1- y 2)(y 1+y 2)=0?b 2(x 1+x 2)+a 2k(y 1+y 2)=0?a 2ky 1+b 2x 1=-(a 2ky 2+b 2x 2)?|a 2ky 1+b 2x 1|=|a 2ky 2+b 2

x 2|?||||BP AP =|

|11BC AD ,由△ADD 1∽△BCC 1?

||||BC AD =||||BP AP ,设AC 与BD 交于点Q,由AD ∥BC ?||||BC AD =||||QC AQ ?||||BP AP =|

|QC AQ ?PQ ∥BC ∥AD ?S △BAC =S △BDC ,两边同减S △BQC 得S △QAB =S △QDC ,又因S △PQA =S △PQD ,S △PQB =S △PQC ?S △PCD =S △QCD +S △PQD +S △PQC =S △QCD +S △PQA +S △PQB =S △QCD +S △QAB =2S △QAB ?S △QAD =S △PAD =S 1,S

△QBC

=S △PBC =S 3,S △QAB =

21S △PCD =21S 2,注意到:QAB QBC QAB QAD S S S S ?????=|

|||||||QA QC QB QD ?=1?2

QAB S ?=S △QAD S △QBC ?S 22=4S 1S 2. 例1:极点与极线的位置关系.

[始源问题]:(2010年湖北高考试题)已知椭圆C:2

x +y 2=1的两焦点为F 1 ,F 2,点P(x 0,y 0)满足0<

0x +y 02

<1,则|PF 1|+|PF 2|的取值范围为 ,直线

x +y 0y=1与椭圆C 的公共点个数为 . [解析]:由0<22

0x +y 02<1知,点P 在椭圆C 内,所以直线

x +y 0y=1与椭圆C 相离?公共点个数为0;2c ≤PF 1|+|PF 2|<2a ? 2≤PF 1|+|PF 2|<22?|PF 1|+|PF 2|的取值范围为[2,22).

[原创问题]:已知椭圆C:4

x +

32y =1,点P(x 0,y 0)满足420x +3

0y >1(x 0≠0),直线l:40x x +30y y =1.

(Ⅰ)求直线l 与椭圆C 的公共点个数;

(Ⅱ)若射线OP 与直线l 、椭圆C 分别交于点Q 、M,求证:|OP||OQ|=|OM|2

[解析]:(Ⅰ)因椭圆C:4

x +

y =1????==θ

θsin 3cos 2y x ,θ∈[0,2π),所以,直线l 与椭圆C 的公共点个数?关于θ的方程

20x cos θ+330y sin θ=1解的个数?直线:20x x+3

30y y=1与圆:x 2+y 2

=1的公共点个数;由圆心O(0,0)到直线:20x x+330y y =1的距离d=

20y x +<1?直线:

x x+3

30y y=1与圆:x 2+y 2

=1的公共点个数=2?直线l 与椭圆C 的公共点个数=2; (Ⅱ)因射线OP:y=

x y x(x 与x 0同号),与40x x +30y y =1联立得:40x x +0203x x y =1?x=202004312y x x +?y=202004312y x y +?Q(20

2004312y x x +,

200

4312y x y +)?|OP||OQ|=

20202

02043)(12y x y x ++;由y=

00x y x 与42x +32y =1联立得:42x +20203x y x 2=1?x 2=2020204312y x x +?y 2

=20

20204312y x y +?

|OM|2

=x 2

+y 2

04312y x x ++20

204312y x y +=

202043)(12y x y x +

+?|OP||OQ|=|OM|2

例2:抛物线中的共线性质.

[始源问题]:(2010年大纲卷Ⅰ高考试题)已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点,

点A 关于x 轴的对称点为D. (Ⅰ)证明:点F 在直线BD 上; (Ⅱ)设FB FA ?=

,求△BDK 的内切圆M 的方程. [解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线l:y=k(x+1)(k ≠0),则D(x 1,-y 1),由??

?=+=x

y x k y 4)1(2

?ky 2

-4y+4k=0?y 1+y 2=k 4,y 1y 2= 4;所以,点F 在直线BD 上?FB ∥FD ?(x 2-1):(x 1-1)=y 2:(-y 1)?y 1(k y 2-2)+y 2(k

1-2)=0?y 1y 2-k(y 1+y 2)=0; (Ⅱ)由FB FA ?=(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=(

k y 2-2)(k y 1-2)+y 1y 2=(1+21k )y 1y 2-k 2(y 1+y 2)+4=4(1+21k )-28k +4=8-24

=98?k=±43; 根据对称性,不妨设k=43,则直线AB:3x-4y+3=0,且k KD =4

3?KF 平分∠AKD ?圆M 的圆心M 在x 轴上;(x 2-x 1)2=(x 1+x 2)2

- 4x 1x 2=7162?k BD =1212y y x x +-=7

?直线BD:3x-7y-3=0;设M(t,0)(-1

5|1|3+t =

4|1|3-t ?t=91?圆M:(x-91)2+y 2=9

. [原创问题]:已知抛物线y 2=2px 及定点A(a,b),B(-a,0)(ab ≠0,b 2≠2pa),M 是抛物线上的点,设直线AM,BM 与抛物线的

另一交点分别为M 1,M 2.求证:当M 点在抛物线上变动时(只要M 1,M 2存在且M 1≠M 2),直线M 1M 2恒过一个定点,并求出这个定点的坐标.

[解析]:设M(2pt 2,2pt),M 1(2pt 12,2pt 1),M 2(2pt 22,2pt 2),则点B,M,M 2对应的极线分别为:x=a,2ty=x+2pt 2,2t 2y=x+2pt 22,由

B,M,M 2三点共线?三线x=a,2ty=x+2pt 2

,2t 2y=x+2pt 22

共点?a=2ptt 2?t 2=

2,点A,M 1对应的极线分别为:by=px+ap, 2t 1y=x+2pt 12

,由A,M,M 1三点共线?三线by=px+ap,2ty=x+2pt 2

,2t 1y=x+2pt 12

共点?bp(t+t 1)=2p 2

tt 1+ap ?t 1=

b bt

a 2--,由

?????+=+=22

221

12222pt x y t pt x y t ????+==)(22121t t p y t pt x ????

???

--=--=)2(2)2()2()(2

pt b pt t p a b y pt b t bt a a x ?x-a=)2(22pt b t t p a --=b a 2y ?M 1,M 2对应极线的交点在定直线b p 2y=x+a, 即

p 2

2y=2p 2a x +上?直线M 1M 2恒过一个定点(a,b pa 2).

例3:抛物线中的比例性质.

[始源问题]:(2009年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知抛物线C:y=2

1x 2与直线l:y=kx-1没有公共点,设点P 为直

线l 上的动点,过P 作抛物线C 的两条切线,A 、B 为切点. (Ⅰ)证明:直线AB 恒过定点Q;

(Ⅱ)若点P 与(Ⅰ)中的定点Q 的连线交抛物线C 于M 、N 两点.证明:

||||PN PM =|

|QN QM . [解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),则抛物线y=2

1x 2在点A 、B 处的切线方程分别为x 1x=y+y 1、x 2x=y+y 2,由点P(x 0,

y 0)在这两切线上得:???+=+=0

2200

110y y x x y y x x ?直线AB:x 0x=y+y 0(注意到:y 0=kx 0-1)?x 0x=y+kx 0-1?直线AB 过定点Q(k,1);

(Ⅱ)设直线MN:??

?+=+=θ

θsin cos 00t y y t x x ,代入直线AB:x 0x=y+y 0,得:t Q =θθcos sin 2002

0x y x --;代入y=21x 2得:t 2cos 2

θ+2(x 0cos θ-sin

θ)t+x 02

-2y 0=0?t 1+t 2=2?

θ20cos cos sin x -,t 1t 2=

0cos 2y x -?

21212t t t t +=θθcos sin 2002

0x y x --?t Q =21212t t t t +;所以,||||PN PM =||||QN QM ?2

1t t

Q t t t t --21?t Q =

12t t t t +成立. [原创问题]:已知抛物线C:x 2=4y 与直线l:y=x-2,设点P 为直线l 上的动点,过P 作抛物线C 的两条切线,A 、B 为切点.

(Ⅰ)证明:直线AB 恒过定点T;

(Ⅱ)若过点P 的直线l 交抛物线C 于M 、N 两点,与直线AB 交于点Q.证明:

|1PM +|

|1PN =|

|2PQ .

[解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),则抛物线C:x 2=4y 在点A 、B 处的切线方程分别为x 1x=2(y+y 1)、x 2x=(y+y 2),

由点P(x 0,y 0)在这两切线上得:???+=+=)

(2)

(202200110y y x x y y x x ?直线AB:x 0x=2(y+y 0)(注意到:y 0=x 0-2)?x 0x=2y+2x 0-4?直线AB 过定

点T(2,2); (Ⅱ)设直线MN:??

?+=+=θ

θsin cos 00t y y t x x ,代入直线AB:x 0x=2(y+y 0),得:t Q =θθcos sin 24002

0x y x --;代入x 2=4y 得:t 2cos 2

θ+2(x 0cos θ-2sin θ)t

+x 02

-4y 0=0?t 1+t 2=2?

θ20cos cos sin 2x -,t 1t 2=

0cos 4y x -?21212t t t t +=θθcos sin 24002

0x y x --?t Q =21212t t t t +;所以,||1PM +||1PN =|

|2PQ ?11

t 21t =Q t 2?t Q =2

1212t t t

t +成立. 例4:抛物线中的面积关系.

[始源问题]:(2009年湖北高考试题)过抛物线y 2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0),的直线与抛物线相交于M 、N

两点,自M 、N 向直线l:x=-a 作垂线,垂足分别为M 1、N 1. (Ⅰ)当a=

时,求证:AM 1⊥AN 1; (Ⅱ)记△AMM 1、△AM 1N 1、△ANN 1的面积分别为S 1、S 2、S 3,是否存在λ,使得对任意的a>0,都有S 2

2=λS 1S 3成立.若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.

[解析]:(Ⅰ)当a=

2p 时,A(2p ,0),设M(2pm 2,2pm),N(2pn 2,2pn),则M 1(-2p ,2pm),N 1(-2

p ,2pn),由AM ∥AN ?(2pm 2

- 2p ):(2pn 2-2p )=2pm:2pn ?mn=-4

1?1AM ?1AN =p 2+4p 2

mn=0?AM 1⊥AN 1;

(Ⅱ)由AM ∥AN ?(2pm 2

-a):(2pn 2

-a)=2pm:2pn ?2pmn+a=0;因

||||11NN MM =2

22pn a pm a ++;当MN ⊥/

x 轴时,||||AN AM =|2||2|22pn a a pm --= 2222pn a a

pm --;所以,||||11NN MM =||||AN AM ?2222pn a pm a ++=2222pn

a a pm --?4p 2m 2n 2=a 2

成立;当MN ⊥x 轴时,显然有||||11NN MM =||||AN AM ;设MN 1与NM 1交于点Q(点Q 即原点O),由MM 1∥NN 1?

||||1QN MQ =||||11NN MM =|

|AN AM ?AQ ∥MM 1∥NN 1;设∠MQM 1=α,则S 1=21|QM||QM 1|sin α,S 3

21|QN||QN 1|sin α;又S △QMN =11N QM S ??S 2=11N QM S ?+(1AQM S ?+1AQN S ?)=11N QM S ?+(S △AQM +S △AQN )=11N QM S ?+S △QMN =2S △QMN ;S 1S 3=2

|QM||QM 1|sin α?

21|QN||QN 1|sin α=21|QM||QN|sin α?21|QM 1||QN 1|sin α=S △QMN 11N QM S ?=4

1S 22?S 2

2=4S 1S 3?存在λ=4,使得对任意的a>0,都有S 2

2=λS 1S 3成立.

[原创问题]:已知抛物线C:y 2=4x,直线l:y=2x+2,过点P(1,1)的直线与抛物线C 交于A 、B 两点,A 、B 两点在直线l 上

的射影点分别为N 、M,记△PAN 、△PMN 、△PBM 的面积分别为S 1、S 2、S 3. (Ⅰ)当AB ∥直线l 时,求证:P 是AB 的中点; (Ⅱ)求证:S 2

2=4S 1S 3.

[解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),则y 12=4x 1;由P 是AB 的中点?B(2-x 1,2-y 1)?(2-y 1)2=4(2-x 1)?y 1=2x 1+1?点A 在直线y=2x+1

上,同理可得点B 也在直线y=2x+1上?直线AB:y=2x+1?AB ∥直线l;由统一法知,当AB ∥直线l 时, P 是AB 的中点; (Ⅱ)设直线AB:?

?+=+=θθsin 1cos 1t y t x (t 为参数),代入y 2=4x 得:t 2sin 2

θ+2(sin θ-2cos θ)t-3=0?t 1+t 2=2?θθθ2sin sin cos 2-,t 1t 2=- θ

sin 3;点A(1+t 1cos θ,1+t 1sin θ)到直线l 的距离|AN|=

3sin cos 2|11+-θθt t ,点B(1+t 2cos θ,1+t 2sin θ)到直线l 的距离

|BM|=5

3sin cos 2|22+-θθt t ?

||||BM AN =|

3sin cos 2||

3sin cos 2|2211+-+-θθθθt t t t (由点A 、B 在直线l 的同侧?2t 1cos θ-t 1sin θ+3与t 2cos θ-t 2sin θ+3同号)=3sin cos 23sin cos 22211+-+-θθθθt t t t ;而||||PB PA =||||21t t (点A 、B 在点P 的异侧)=-2

1t t ;所以,||||BM AN =||||PB PA ?3sin cos 23sin cos 22211

+-+-θθθθt t t t =-

t t ?2(2cos θ-sin θ)t 1t 2+3(t 1+t 2)=0?2(2cos θ-sin θ)(-θ

2sin 3)+3?2?θθθ2sin sin cos 2-=0成立; 以下同例题可证:S 2

2=4S 1S 3.

例5:椭圆中的共线性质.

[始源问题]:(2012年北京高考试题)已知曲线C:(5-m)x 2+(m-2)y 2=8(m ∈R).

(Ⅰ)若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆,求m 的取值范围;

(Ⅱ)设m=4,曲线C 与y 轴的交点为A,B(点A 位于点B 的上方),直线y=kx+4与曲线C 交于不同的两点M 、N,直线y=1与直线BM 交于点G.求证:A,G,N 三点共线.

[解析]:(Ⅰ)由曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆?m-2>5-m>0?

,5); (Ⅱ)当m=4时,曲线C:x 2

+2y 2

=8?A(0,2),B(0,-2);设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),由???=++=8

242

2y x kx y ?(2k 2+1)x 2

+16kx+24=0?△= 32(2k 2

-3)>0?k 2

23;且x 1+x 2=-12162+k k ,x 1x 2=1

2242+k ;又由直线BM:y=112x y +x-2?G(2311+y x ,1),即G(6311+kx x ,1)?k AG =- 1136x kx +=-3k -12x ,k AN =222x y -=222x kx +=k+22x ?k AN -k AG =

34k +12x +2

2x =34k +2?2121x x x

x +=34k +2?2416k -=0?A,G,N 三点共线. 第(Ⅱ)问是本题的特色与亮点,其实质是共轭点的性质:设点P 与Q 是二次曲线G 的一对共轭点,过点Q 的直线AC 与曲线G 相交于A 、C 两点,AP 与曲线G 相交于另一点B,BQ 与曲线G 相交于另一点D,则P 、C 、D 三点共线.其中共轭点的定义:

若直线PQ 与圆锥曲线G 相交于A 、B 两点,且PA ?

+PB ?

=0,则称点P 与Q 是圆锥曲线G 的一对共轭点.

[原创问题]:已知椭圆C:

2b y a x +

=1(a>b>0)过点D(-1,e),其中,e 是椭圆C 的离心率,椭圆C 的左、右顶点分别为A(-2,

0)、B(2,0). (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)过点E(4,0)的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,求证:直线AM 与BN 的交点P 在一条定直线上.

[解析]:(Ⅰ)由a=2,

1a +

2b e =1?1+

2b c =a 2?b 2

=1?椭圆C:

2x +y 2

=1; (Ⅱ)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),直线l:y=k(x-4),由??

?=+-=4

4)4(2

2y x x k y ?(1+4k 2)x 2-32k 2x+64k 2

-4=0?x 1+x 2=224132k k +,x 1x 2=2241464k k +- ?k 2

)(4322121x x x x +-+,x 1x 2(1+4k 2)=64k 2

-4?x 1x 2?)(8821x x +-=)(8]8)(5[42121x x x x +--+?2x 1x 2=5(x 1+x 2)-8;又由直线AM:y=

11+x y (x +2),直线BN:y=

222-x y (x-2)?直线AM 与BN 的交点P 的横坐标x 满足:211+x y (x+2)=222-x y (x-2)?2

)

4(11+-x x k (x+2)= 2)4(22--x x k (x-2)?x=83262122121----x x x x x x =8

3268)(5122

121-----+x x x x x x =1?点P 在一条定直线x=1上.

例6:椭圆中的中点性质.

[始源问题]:(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)如图,过直线l:5x-7y-70=0上的点P 作椭圆25

x +

y =1的两条切线PM 、PN,切点分别为M 、N.

(Ⅰ)当点P 在直线l 上运动时,证明:直线MN 恒过定点Q; (Ⅱ)当MN ∥l 时,定点Q 平分线段MN.

[解析]:(Ⅰ)设P(7t+7,5t-5),则直线MN 的方程为:

2577+t x+955-t y=1?(257x+95y)t+(257x-95y-1)=0,由257x+9

5y=0,

且

257x-95y-1=0?x=1425,y=-109?直线MN 恒过定点Q(1425,-10

); (Ⅱ)MN ∥l ?2577+t :955-t =5:(-7)?t=53392?

直线MN 的方程为:5x-7y-35533=0,代入椭圆方程252

x +92y =1得:2

75332?x 2 -2

53325?x+25[(

5533?)2

-9]=0,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1+x 2=

?定点Q 平分线段MN. [原创问题]:过点Q(1,1)作己知直线l:3x+4y=12的平行线交椭圆C:4

x +

y =1于点M 、N. (Ⅰ)分别过点M 、N 作椭圆C 的切线l 1、l 2.证明:三条直线l 1、l 2、l 交于一点; (Ⅱ)证明:点Q 是线段MN 的中点;

(Ⅲ)设P 为直线l 上一动点,过点P 作椭圆C 的切线PA 、PB,切点分别为A 、B,证明:点Q 在直线AB 上.

[解析]:(Ⅰ)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),切线l 1、l 2交于点P(x 0,y 0),由切线l 1:

41x x+31y y=1,切线l 2:42x x+3

y=1均过点P(x 0, y 0)?

41x x 0+31y y 0=1,42x x 0+32y

y 0=1?直线MN:40x x+30y y=1;又由直线MN 过点Q(1,1)?40x +3

0y =1?3x 0+4y 0=12?点P 在直线l 上?三条直线l 1、l 2、l 交于一点; (Ⅱ)由直线MN ∥直线l ?

40x :30y =41:31,又40x +30y =1?x 0=y 0=7

?直线MN:3x+4y=7?点Q 是线段MN 的中点; (Ⅲ)设P(x 0,y 0),则直线AB:3x 0x+4y 0y=12?3x 0x+(12-3x 0)y=12?点Q 在直线AB 上.

例7:椭圆中的比例性质.

[始源问题]:(2011年山东高考试题)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:3

x +y 2=1.如图所示,斜率为k(k>0)且不过原

点的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,线段AB 的中点为E ,射线OE 交椭圆C 于点G ,交直线x=-3于点D(-3,m). (Ⅰ)求m 2

+k 2

的最小值; D y (Ⅱ)若|OG|2=|OD||OE|. G A (i)求证:直线l 过定点; E

(ii)试问点B,G 能否关于x 轴对称？若能,求出 -3 O x 此时△ABG 的外接圆方程;若不能,请说明理由.

[解析]:(Ⅰ)设E(-3λ,m λ),A(-3λ+t,m λ+kt),

则B(-3λ-t,m λ-kt).由点A 、B 都在椭圆C 上??????=-+--=+++-3

)(3)3(3)(3)3(2

222kt m t kt m t λλλλ,两式相减得mk=1?m 2+k 2

≥2mk=2,当且仅当m=k=1时等号成立,所以m 2

+k 2

的最小值=2.

(Ⅱ)(i)设直线OG 与椭圆C 相交于另一点T,则由椭圆C 关于原点对称得:|OT|=|OG|.所以,|OG|2

=|OD||OE|?DT EG ?+

DG ET ?=0,由轨迹1知,点E 在直线-x+my=1上,即直线l 的方程为:-x+my=1?直线l 过定点(-1,0);

(ii)若点B,G 关于x 轴对称?点G(-3λ-t,-m λ+kt),由点G 在直线OE 上?(-3λ-t):(-3λ)=(-m λ+kt):m λ?6m λ+mt =3kt(注意到mk=1)?m 2

(6λ+t)=3t ?t=

236m

m -λ,又由点E 在直线l 上?3λ+m 2

λ=1?λ=

31m

+?B(-

33m

-,-

3m m -)?

31(233m -)2

+(2

3m m -)2=1?m=1,k=1,λ=41,t=43?A(0,1),B(-23,-21),G(-23,21)?

△ABG 的外接圆方程:(x+21)2+y 2=45. [原创问题]:已知椭圆C:

2b y a x +

=1(a>b>0)内一点P(2,1),射线OP 与椭圆C 交于点N,与直线l 0:x+y-12=0交于点M,

满足|OP||OM|=|ON|2

,且椭圆C 在N 处的切线平行于直线l 0. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)过点P 的任意一条直线l 与直线l 0交于点Q,与椭圆C 交于A 、B 两点(A 在P 与Q 之间),求证:|QA||PB|=|QB||PA|.

[解析]:(Ⅰ)由射线OP:y=2

x(x ≥0),直线l 0:x+y-12=0?M(8,4);设N(2t,t)(t>0),由|OP||OM|=|ON|2?

5?80=4t

+t 2

?t=2?N(4,2)?

16a

=1,椭圆C 在N 处的切线:

x +

y =1;由切线平行于直线l 0?

?a 2=2b 2?b 2=12,a

=24?椭圆C:

242x +12

2y =1; (Ⅱ)设直线l:??

?+=+=θ

θsin 1cos 2t y t x (t 为参数),代入242x +122y =1得:(2sin 2θ+cos 2θ)t 2

+4(sin θ+cos θ)t-18=0?t 1+t 2=-

θθθ2

cos sin 2)cos (sin 4++,t 1t 2=-θ

θ2

cos sin 218+;代入x+y-12=0得:(sin θ+cos θ)t-9=0?t Q =

θcos sin 9

+;而|QA||PB|=|QB||PA|?

(t Q -t 1)(-t 2)=(t Q -t 2)t 1?(t 1+t 2)t Q -2t 1t 2=0?-θ

θθθ2

cos sin 2)cos (sin 4++?

θθcos sin 9+-2(-θ

θ22cos sin 218

+)=0成立. [原创问题]:已知椭圆C:

2b y a x +

=1(a>b>0)内一点P(2,1),过点P 且平行于x 轴直线被椭圆C 截得的弦长为46,过点

P 且平行于y 轴直线被椭圆C 截得的弦长为210. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)过点P 的任意一条直线l 与直线l 0:x+y-12=0交于点Q,与椭圆C 交于A 、B 两点,若QA =λAP ,QB =μBP .求证:λ+

μ为定值.

[解析]:(Ⅰ)由

y a

x +

=1,令y=1得:|x|=

a 12-

b ;令x=2得:|y|=

b 42-a ;由题知,

a 12-

b =26,

b 42-a =

10?a 2

2422-b b ,

2a b (a 2

-4)=10?

2412-b (1

2422-b b -4)=10?b 2=12?a 2

=24?椭圆C:242x +122y =1; (Ⅱ)设直线l:??

?+=+=θ

θsin 1cos 2t y t x (t 为参数),代入242x +122y =1得:(2sin 2θ+cos 2θ)t 2

+4(sin θ+cos θ)t-18=0?t 1+t 2=-

θθθ2

cos sin 2)cos (sin 4++,t 1t 2=-θ

θ2

cos sin 218+;代入x+y-12=0得:(sin θ+cos θ)t-9=0?t Q =

θcos sin 9

+;由QA =λAP ,QB =μBP

?λ=

1t t t Q -,μ=

2t t t Q -?λ+μ=2-t Q ?

1t t t t +=2-θθcos sin 9+?9)cos (sin 2θθ+=0.

例8:椭圆中的共线性质.

[始源问题]:(2002年澳大利亚数学奥林匹克试题)己知△ABC 为锐角三角形, R

以AB 为直径的⊙K 分别交AC 、BC 于P 、Q,分别过A 和Q 作⊙K 的两条切线交 C 于点R,分别过B 和P 作⊙K 的两条切线交于点S.证明:点C 在线段RS 上. P Q S

[解析]:设⊙K:x 2+y 2=r 2,R(-r,a),S(r,b)?点R,S 对应的极线分别为:AQ:

-rx+ay=r 2

,BP:rx+by=r 2

?Q(

222)(r a r r a +-,

222r a ar +),P(-

222)(r b r r b +-,

222r b br +) A K B

?AP:y=r b (x+r),BQ:y=-r a (x-r),由???????

+=--=)()(r x r b y r x r a y ????

???+=+-=b a ab y r b a b a x 2?C(

b a b a +-r,b a ab +2) ?点C 对应的极线为:(a-b)rx+2aby=(a+b)r 2,由三线:-rx+ay=r 2,BP:rx+by=r 2,(a-b)rx+2aby=(a+b)r 2

共点于(

a b

a +-r, b

a r +2

2)?R,C,S 三点共线?点C 在线段RS 上. 该题是平面几何定理:“过非等腰三角形的三个顶点作其外接圆的切线,顶点处的切线与其对边所在直线的交点共线.”的变形,以该定理为始源,取其特殊情况,并把圆压缩为椭圆得:

[原创问题]:若对任意θ∈[0,2π),直线l:xcos θ+2ysin θ-2=0与椭圆C:

2b y a x +

=1(a>b>0)均只有一个交点M.

(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)当θ∈(0,

)时,若直线l 与x 轴交于点N,椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B,直线BM 上的点Q 满足QA ⊥x 轴,直线AM 与NQ 交于点P,求点P 的轨迹方程.

[解析]:(Ⅰ)由??

?=-+=-+0

02sin 2cos 2

22222b a y a x b y x θθ?(a 2cos 2θ+4b 2sin 2θ)y 2-8b 2ysin θ+4b 2-a 2b 2cos 2θ=0?△=64b 4sin 2θ-4(a 2cos 2

θ +4b 2

sin 2

θ)(4b 2

-a 2b 2

cos 2

θ)=0?a 2

-4+(4b 2

-a 2

)sin 2

θ=0恒成立?a 2

-4=0,4b 2

-a 2

=0?a 2

=4,b 2

=1?椭圆C:4

2x +y 2

=1; (Ⅱ)由xcos θ+2ysin θ-2=0?N(

cos 2

,0);(Ⅰ)知,M(2cos θ,sin θ)?直线AM:y=2cos 2sin +θθ(x+2),BM:y=2cos 2sin -θθ(x-2)

?Q(-2,

θθcos 1sin 2-)?直线NQ:y=-cot θ(x-θcos 2);令2cos 2sin +θθ(x+2)=-cot θ(x-θcos 2)?(2cos 2sin +θθ+θθcos sin )x=θsin 2

-1

cos sin +θθ

?x=2?点P 的轨迹方程x=2(0

20.极点与极线的性质

第15讲:极点与极线的性质极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途. 定义:已知曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0,则称点P(x 0,y 0)和直线l:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 y y ++f=0是曲线G 的一对极点与极线,点P 称为直线l 关于曲线G 的极点;直线l 称为点P 关于曲线G 的极线.称点P 与直线l 有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”. 特别地,当点P 在曲线G 上时,点P 关于曲线G 的极线是曲线G 在点P 处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点. [位置关系]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线是直线l,则三者的位置关系是:①若点P 在曲线G 上,则直线l 是曲线 G 在点P 处的切线;②若点P 在曲线G 外,则直线l 是由点P 向曲线G 引两条切线的切点弦;③若点P 在曲线G 内,则直线l 是经过点P 的曲线G 的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图: l l l P M P A D M P N C N B [配极原则]:如果点P 的极线通过点Q,则点Q 的极线也通过点P. 证明:设圆锥曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,点P(x p ,y p ),Q(x Q ,y Q ),则点P 、Q 关于曲线G 的极线方程分别为 p:ax p x+b 2 y x x y p p ++cy p y+d 2 p x x ++e 2 p y y ++f=0,q:ax Q x+b 2 y x x y Q Q ++cy Q y+d 2 Q x x ++e 2 Q y y ++f=0,则点P 的极线通过点Q ?ax p x Q +b 2 Q p Q p y x x y ++cy p y Q +d 2 p Q x x ++e 2 p Q y y ++f=0?点P(x p ,y p )在直线q:ax Q x+b 2 y x x y Q Q ++cy Q y+d 2 Q x x ++e 2 Q y y + +f=0上?点Q 的极线也通过点P. 推论1:两点连线的极点是此二点极线的交点,两直线交点的极线是此二直线极点的连线; 证明:设两点A 、B 连线的极点是P,即点P 的极线经过点A 、B,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点P 是此二点极线的交点;同理可证:两直线交点的极线是此二直线极点的连线. 推论2(共点共线):共线点的极线必共点;共点线的极点必共线. 证明:设点A 、B 均在直线l 上,直线l 对应的极点为P,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点A 、B 的极线必共点;同理可证:共点线的极点必共线. 推论3(中点性质):若圆锥曲线G 过点P 的弦AB 平行于点P 的极线,则点P 是弦AB 的中点. 证明:设P(x 0,y 0),曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,则点P 的极线方程:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 y y + +f=0,故可设AB:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 0y y ++λ=0,由点P(x 0,y 0)在直线AB 上?ax 02+bx 0y 0+cy 02 +2dx 0+2ey 0+λ=0?λ=-(ax 02 +bx 0y 0+cy 02 +2dx 0+2ey 0)?直线AB:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 0y y +=ax 02+bx 0y 0+cy 02 +2dx 0+2ey 0? ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 0y y ++f=ax 02+bx 0y 0+cy 02 +2dx 0+2ey 0+f,而该直线为以为P 中点的中点弦方程,即点P 是弦AB 的中点. [比例定理]:若过点P(x 0,y 0)的直线l 与曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0相交于A 、B 两点,与直线:ax 0x+b 2 00y x x y ++

圆锥曲线极点极线问题

圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用刘定勇（安徽省宁国中学，242300）圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力. 文[1]给出了两个较为简洁的结论：命题1 椭圆122 22=+b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=+b y y a x x . 双曲线122 22=-b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=-b y y a x x . 抛物线px y 22=，点()00,y x P 对应的极线000=+-px y y px . 命题 2 圆锥曲线中极线共点于P ，则这些极线相应的极点共线于点P 相应的极线.反之亦然.称为极点与相应极线对偶性. 以上结论在文[2]中有证明. 如图给出椭圆的极点与对应极线的简图：题1、（2010湖北文15）.已知椭圆12 :22 =+y x C 的两焦点为12,F F ,点()00,y x P 满足2 2 00012 x y < +<,则|1PF |+2PF |的取值范围为_______，直线1200=+y y x x 与椭圆C 的公共点个数_____. P 在椭圆内 P 在椭圆外

解析：第一个问题，依题意知，点P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得范围为 [)22,2. 第二个问题，其实是非常容易做错的题目.因为()00,y x P 在椭圆12 :22 =+y x C 的内部，所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点，但直线 12 00=+y y x x 并不经过()00,y x P .还有学生看到 12 00=+y y x x 这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共点. 事实上，1200=+y y x x 是()00,y x P 对应的极线，()00,y x P 在椭圆12 :22 =+y x C 的内部，由命题2画出相应极线，此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.如果能够用极点与极线理论，本题能够快速解决.而常规方法只能联立方程用判别式判断了. 题2、（2010重庆文21）已知以原点O 为中心，F 为右焦点的双曲线C 的离心率2 e = （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中 21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OH OG ?的值. 解析：（I ）C 的标准方程为.14 22 =-y x C 的渐近线方程为.2 1x y ± = （II ）如图，直线44:11`=+y y x x l 和 44:122=+y y x x l 上显然是椭圆4422=+y x 的两条切线，由题意点),(E E y x E 在直线44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上，MN 即是由E 点生成的椭圆的极线.因此直线 MN 的方程为.44=+y y x x E E MN 的方程求出后剩下工作属常规计算.

圆内极点与极线性质简证

圆内极点与极线性质简证原题如图，过定点P 作定⊙O 两条动割线P AB 与PCD ，连结AD 与BC ，交于点Q ．求证：动点Q 在一条定直线上．问题1 如图，过点P 作⊙O 两条割线P AB 与PCD ，连结AD 与BC ，交于点Q ，直线PQ 交⊙O 于点E 、F ，点M 为弦EF 的中点．求证：PM PQ PF PE ?=?．注：要证明的结论等价于 FQ PF EQ PE =，即“内分比＝外分比”，也即点P ，E ，Q ，F 构成调和分割。证法一：在射线PF 上取点M ，使PQ ·PM ＝P A ·PB ＝PC ·PD ＝PE ·PF ，则A ，Q ，M ，B 四点共圆，Q ，C ，D ，M 四点共圆．因此 ∠BMF ＝∠BAD ，∠DMF ＝∠DCB ，因此 ∠BMF ＝∠FMD ，从而∠BOD ＝∠BMD ，因此O ，M ，B ，D 四点共圆．因此 ∠OMD ＝∠OBD ，又 BOD FMD ∠= ∠2 1 ，OB ＝OD ，因此 ∠FMD ＋∠OMD ＝90° 即OM ⊥MF （另法：将∠OMF 视为圆周角，则其所对的弧由两部分组成一个半圆）因此点M 为弦EF 的中点．证法二：在射线PF 上取点M ，使PQ ·PM ＝P A ·PB ＝PC ·PD ，延长DM 交⊙O 于点N ．连结OM ，BM ，BN ，EN ．

由于 C ，Q ，M ，D 四点共圆，Q ，A ，B ，M 四点共圆．因此 ∠BQF ＝∠NDC ＝∠NBC 因此 NB ∥EF 因此 NE ＝BF ，∠NEF ＝∠BFE 又 ∠NME ＝∠BCD ＝∠BAD ＝∠BMF 因此 △NME ≌△BMF （AAS ）因此 EM ＝FM ，下略．证法三：这题可以用“面积正弦法”解决，你可以随便找三角形来构成正弦比． QA PA DE BE QA PA QAE PAE S S EQ PE QAE PAE ?=?∠∠==??sin sin QA PA DF BF QA PA QAF PAF S S FQ PF QAF PAF ?=?∠∠==??sin sin 因此只要证明 DF BF DE BE = ，这可以由下面的推导得到： DF BF AE CE CD AB AE CE QC QA AE CE DPE BPE DE PE PE BE DE BE =?=?=?∠∠=?=sin sin （由∠BAD ＝∠BCD 得∠P AQ ＝∠PCQ ）从而得证．证法四：设直线PQ 为x 轴，直线AB ，CD ，AD ，BC 方程为0),(1=y x f ，0),(2=y x f ， 0),(3=y x f ，0),(4=y x f ；P (p ，0)，Q (q ，0)，E (e ，0)，F (f ，0).

极点极线

2.2.2 极点与极线，配极原则（一）作图原理定理（配极原则）如果P 点的极线通过Q 点，则Q 点的极线也通过P 点。证明：这二阶曲线的方程为0=S ，P 点的坐标为)(3,2,1p p p ，Q 点的坐标为),,(321q q q ，于是，P 点关于0=S 的极线为0=p S ，Q 点关于0=S 的极线为0=q S ，因P 点的极线通过Q 点，所以有0=pq S ，但qp pq S S =。所以有0=qp S ，这表示Q 点的极线0=q S 通过P 点。推论1 两点连线的极点是此二点极线的交点；两直线交点的极线是此二直线极点的连线。推论2 共线点的极线必共点；共点线的极点必共线。推论3 设PB PA ,为二次曲线的切线，若其中B A ,为切点，则AB 为P 点的极线. 定义3.3 如果一个三点形的三个顶点恰是对边的极点，则此三点形叫做自极三点形。（二）作图举例例1 、一个完全四点形的四哥顶点若在一条二阶曲线上，则这个完全四点形的对边三点形的顶点是其对边的极点。证明：如下图10，设X Y Z 是完全四点形ABCD 的对边三点形，于是1),(,1),(-=-=XF AD XE BC ，所以F E ,均为关于二阶曲线的共轭点，从而直线EF 即直线YZ 是X 的极线。同理，XY 是Z 的极线，由配极原则知，XZ 是Y 的极线

例2、已知点P 不在二阶曲线)(c 上，求作P 点关于)(c 的极线。解：过P 点作)(c 的两条割线，与)(c 分别交于B A ，与D C ，，如下图所示，设AC 与BD 交于点Q ，AD 与BC 交于点R ，则直线QR 就是P 点的极线。事实上，由例1可知PQR 是自极三点形

圆内极点与极线性质简证

圆内极点与极线性质简证原题如图，过定点P 作定⊙O 两条动割线PAB 与PCD ，连结AD 与BC ，交于点Q ．求证：动点Q 在一条定直线上．问题1 如图，过点P 作⊙O 两条割线PAB 与PCD ，连结AD 与BC ，交于点Q ，直线PQ 交⊙O 于点E 、F ，点M 为弦EF 的中点．求证：PM PQ PF PE ?=?．注：要证明的结论等价于FQ PF EQ PE = ，即“内分比＝外分比”，也即点P ，E ，Q ，F 构成调和分割。证法一：在射线PF 上取点M ，使PQ ·PM ＝P A ·PB ＝PC ·PD ＝PE ·PF ，则A ，Q ，M ，B 四点共圆，Q ，C ，D ，M 四点共圆．因此 ∠BMF ＝∠BAD ，∠DMF ＝∠DCB ，因此 ∠BMF ＝∠FMD ，从而∠BOD ＝∠BMD ，因此O ，M ，B ，D 四点共圆．因此 ∠OMD ＝∠OBD ，又 BOD FMD ∠= ∠2 1，OB ＝OD ，因此 ∠FMD ＋∠OMD ＝90° 即OM ⊥MF （另法：将∠OMF 视为圆周角，则其所对的弧由两部分组成一个半圆）因此点M 为弦EF 的中点．证法二：在射线PF 上取点M ，使PQ ·PM ＝PA ·PB ＝PC ·PD ，延长DM 交⊙O 于点N ．连结OM ，BM ，BN ，EN ．

由于 C ，Q ，M ，D 四点共圆，Q ，A ，B ，M 四点共圆．因此 ∠BQF ＝∠NDC ＝∠NBC 因此 NB ∥EF 因此 NE ＝BF ，∠NEF ＝∠BFE 又 ∠NME ＝∠BCD ＝∠BAD ＝∠BMF 因此 △NME ≌△BMF （AAS ）因此 EM ＝FM ，下略．证法三：这题可以用“面积正弦法”解决，你可以随便找三角形来构成正弦比． QA PA DE BE QA PA QAE PAE S S EQ PE QAE PAE ? = ? ∠∠= = ??sin sin QA PA DF BF QA PA QAF PAF S S FQ PF QAF PAF ?=?∠∠==??sin sin 因此只要证明 DF BF DE BE =，这可以由下面的推导得到： DF BF AE CE CD AB AE CE QC QA AE CE DPE BPE DE PE PE BE DE BE =?=?=?∠∠= ?=sin sin （由∠BAD ＝∠BCD 得∠P AQ ＝∠PCQ ）从而得证．证法四：设直线PQ 为x 轴，直线AB ，CD ，AD ，BC 方程为0),(1=y x f ，0),(2=y x f ， 0),(3=y x f ，0),(4=y x f ；P (p ，0)，Q (q ，0)，E (e ，0)，F (f ，0).

极点与极线背景下的高考试题

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Γ在P点处的切线； (2)当P在Γ外时，过点P作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B，则点P的极线是直线AB(即切点弦所在的直线)； (3) 当P在Γ内时，过点P任作一割线交Γ于,A B，设Γ在,A B处的切线交于点Q，则点P的极线是动点Q的轨迹. 定理2 如图2，设点P关于圆锥曲线Γ的极线为l，过点P任作一割线交Γ于,A B，交l于Q，则PA PB AQ BQ =①；反之，若有①成立，则称点,P Q调和分割线段AB，或称点 P与Q关于Γ调和共轭，或称点P(或点Q)关于圆锥曲线Γ的调和共轭点为点Q(或点P).点P关于圆锥曲线Γ的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线. 推论1 如图2，设点P关于圆锥曲线Γ的调和共轭点为点Q，则有 211 PQ PA PB =+②；反之，若有②成立，则点P与Q关于Γ调和共轭. 可以证明①与②是等价的.事实上，由①有 211 PQ PA PB ?=+. 特别地，我们还有图2 B

极点与极线背景下的高考试题

极点与极线背景下的高考试题 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

极点与极线背景下的高考试题王文彬 (江西省抚州市第一中学 344000) 极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景. 作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律. 1.从几何角度看极点与极线定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG 交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线. 由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线. 定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线 Γ在P 点处的切线； (2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)； (3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹. 定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于 ,A B ，交l 于Q ，则 PA PB AQ BQ = ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线. 推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点为点Q ，则有211PQ PA PB =+ ②；反之，若有②成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 可以证明①与②是等价的.事实上，由①有 211PQ PA PB ?=+. 特别地，我们还有推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =? ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 图1 图2

解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究

解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究王文彬极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现.现将具体研究结果报告如下： §1.极点与极线的定义 1.1 几何定义如图，P 是不在圆锥曲线上的点，过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG 交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线. 由图1可知，同理PM 为点N 对应的极线，PN 为点 M 所对应的极线.MNP 称为自极三点形.若连接MN 交圆锥曲线于点,A B ，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线. 事实上，图1也给出了两切线交点P 对应的极线的一种作法. 1.2 代数定义已知圆锥曲线22 :220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线 0000:()()0l A x x C y y D x x E y y F ++++ ++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线. 事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2 x ，以02 x x +替换x (另一变量y 也是如此) 即可得到点00(,)P x y 极线方程. 特别地： (1)对于椭圆22 221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b +=； (2)对于双曲线22 221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b -=； (3)对于抛物线2 2y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+. §2.极点与极线的基本结论定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则极线l 是曲线Γ在P 点处的切线； (2)当P 在Γ外时，则极线l 是曲线Γ从点P 所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线)； (3) 当P 在Γ内时，则极线l 是曲线Γ过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹. 证明：假设同以上代数定义，对22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=的方程，两边求导得22220Ax Cyy D Ey ''+++=，解得Ax D y Cy E +'=-+，于是曲线Γ在P 点处的切线斜率为00Ax D k Cy E +=-+，故切线l 的方程为0000()Ax D y y x x Cy E +-=--+，化简得 220000000Ax x Cy y Ax Cy Dx Ey Dx Ey +--++--=，又点P 在曲线Γ上，故有220000220Ax Cy Dx Ey F ++++=，从中解出2200Ax Cy +，然后代和可得曲线Γ在P 点图1

高中数学极点极线及高中圆锥曲线必备公式

极点极线定义已知圆锥曲线С: A x +B y +C x +D y +E=0与一点P(x 0,y 0) [其中A +B ≠0,点．P ．不在曲线中心和渐近线上．．．．．．．．．．．].则称点P 和直线L: A ?x 0x +B ?y 0y +C ?x 0+x 2+D ?y 0+y 2+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线. 即在圆锥曲线方程中,以x 0x 替换x ，以x 0+x 2 替换x ，以y 0y 替换y ,以y 0+y 2 替换y 则可得到极点P(x 0,y 0)的极线方程L. 特别地： (1)对于圆(x-a) +(y-b) =r ,与点P(x 0,y 0)对应的极线方程为 (x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r ； (2)对于椭圆 x a +y b =1，与点P(x 0,y 0)对应的极线方程为x 0x a +y 0y b =1 ；

(3)对于双曲线x a - y b =1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为 x0x a - y0y b =1； (4)对于抛物线y=2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x)；性质一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部．．．．．．．．．．．]: ①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线； ②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线； ③若极点P在曲线С内,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等]( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= (x0-a)+(y0-b)；若是椭圆,则此时中点弦的方程为x0x a + y0y b = x0 a + y0 b ；若是双曲线,则此时中点弦的方程为x0x a - y0y b = x0 a - y0 b ；若是抛物线,则此时中点弦的方程为y0y-p(x0+x)=y0-2px0)；

高等几何第五章

第五章二次曲线的仿射性质如果将仿射变换 (5.0.1) 111112213 221122223 ''x a x a x a x a x a x a =++?? =++? 1112 2122 0a a a a ?=≠ 用点的齐次坐标表示，设 '' 1212''3333 ',',,x x x x x y x y x x x x ====，于是(5.0.1)化为 '112 111213' 333 '212212223'3 33x x x a a a x x x x x x a a a x x x ?=++????=++?? 设' 33x x ρ=，上式变为 (5.0.2) 1111122133 221122223333'',0,0'x a x a x a x x a x a x a x x x ρρρρ=++?? =++?≠≠??=? 上式是用齐次坐标表示的仿射变换公式。显然，(5.0.2)使30x =变成3'0x =，可见仿射变换是使无穷远直线仍变成无穷远直线的射影变换。本章将以无穷远直线不变这一仿射性质为基础研究二次曲线（只研究二阶曲线）的仿射性质及其分类。 §1 二次曲线的仿射性质 1.1二次曲线与无穷远直线的相关位置设二次曲线的方程为 (5.1.1) 3 ,,1 0,()ij i j ij ji i j S a x x a a == ==∑ 现在求无穷远直线30x =与二次曲线的交点，将30x =代入(5.1.1)得 (5.1.2) 22111121222220,a x a x x a x ++= 解(5.1.2)得 (5.1.3) 1211 x x = 因此

圆内极点与极线性质简证

圆内极点与极线性质简证原题如图,过定点P 作定⊙O 两条动割线P AB 与PCD ,连结AD 与BC ,交于点Q .求证:动点Q 在一条定直线上. 问题1 如图,过点P 作⊙O 两条割线P AB 与PCD ,连结AD 与BC ,交于点Q ,直线PQ 交⊙O 于点E 、F ,点M 为弦EF 得中点.求证:PM PQ PF PE ?=?. 注:要证明得结论等价于 FQ PF EQ PE =,即“内分比＝外分比”,也即点P ,E ,Q ,F 构成调与分割。证法一:在射线PF 上取点M ,使PQ ·PM ＝P A ·PB ＝PC ·PD ＝PE ·PF , 则A ,Q ,M ,B 四点共圆,Q ,C ,D ,M 四点共圆. 因此 ∠BMF ＝∠BAD ,∠DMF ＝∠DCB , 因此 ∠BMF ＝∠FMD ,从而∠BOD ＝∠BMD , 因此O ,M ,B ,D 四点共圆. 因此 ∠OMD ＝∠OBD , 又 BOD FMD ∠= ∠2 1 ,OB ＝OD ,因此 ∠FMD ＋∠OMD ＝90° 即OM ⊥MF (另法:将∠OMF 视为圆周角,则其所对得弧由两部分组成一个半圆) 因此点M 为弦EF 得中点. 证法二:在射线PF 上取点M ,使PQ ·PM ＝P A ·PB ＝PC ·PD ,延长DM 交⊙O 于点N .连结OM ,BM ,BN ,EN .

由于 C ,Q ,M ,D 四点共圆,Q ,A ,B ,M 四点共圆. 因此 ∠BQF ＝∠NDC ＝∠NBC 因此 NB ∥EF 因此 NE ＝BF ,∠NEF ＝∠BFE 又 ∠NME ＝∠BCD ＝∠BAD ＝∠BMF 因此 △NME ≌△BMF (AAS ) 因此 EM ＝FM ,下略. 证法三:这题可以用“面积正弦法”解决,您可以随便找三角形来构成正弦比 . QA PA DE BE QA PA QAE PAE S S EQ PE QAE PAE ?=?∠∠==??sin sin QA PA DF BF QA PA QAF PAF S S FQ PF QAF PAF ?=?∠∠==??sin sin 因此只要证明 DF BF DE BE = ,这可以由下面得推导得到: DF BF AE CE CD AB AE CE QC QA AE CE DPE BPE DE PE PE BE DE BE =?=?=?∠∠=?=sin sin (由∠BAD ＝∠BCD 得∠P AQ ＝∠PCQ ) 从而得证. 证法四:设直线PQ 为 x 轴,直线AB ,CD ,AD ,BC 方程为 0),(1=y x f ,0),(2=y x f ,0),(3=y x f ,0),(4=y x f ;P (p ,0),Q (q ,0),E (e ,0),F (f ,0)、

极点极线及高中圆锥曲线必备公式

声明: 本内容来自网络,感谢 ?百度贴吧mpc_killer吧的《[选][圆曲]--中点切线王牌杀手--极点极线草稿》 ?《漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法》 ?百度贴吧高中数学吧的《圆锥曲线基础必备》等优秀内容. 极点极线定义已知圆锥曲线С: A x+B y+C x+D y+E=0与一点P(x 0,y ) [其中A+B ≠0,点．P．不在曲线中心和渐近线上．．．．．．．．．．．].则称点P和直线L: A?x0x+B?y0y+C?x 0 +x 2 +D?y +y 2 +E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线. 即在圆锥曲线方程中,以x 0x替换x，以 x +x 2 替换x，以y y替换y,以 y +y 2 替换y则可得到极点P(x 0,y )的极线方程L. 特别地： (1)对于圆(x-a)+(y-b)=r,与点P(x 0,y )对应的极线方程为 (x 0-a)(x-a)+(y -b)(y-b)=r； (2)对于椭圆x a + y b =1，与点P(x ,y )对应的极线方程为 x x a + y y b =1； (3)对于双曲线x a - y b =1，与点P(x ,y )对应的极线方程为 x x a - y y b =1； (4)对于抛物线y=2px，与点P(x 0,y )对应的极线方程为y y=p(x +x)；性质一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部．．．．．．．．．．．]: ①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线； ②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线；

极点与极线背景下的高考考试

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极点与极线背景下的高考试题王文彬 (江西省抚州市第一中学 344000) 极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景. 作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律. 1.从几何角度看极点与极线定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG 交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线. 由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线. 定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线 Γ在P 点处的切线； (2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)； (3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹. 定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，交l 于Q ，则PA PB AQ BQ = ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )关于圆锥曲线 Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线. 推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点为点Q ，则有211PQ PA PB =+ ②；反之，若有②成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 可以证明①与②是等价的.事实上，由①有 11AQ BQ PQ PA PB PQ PQ PQ PA PB PA PB PA PB --=?=?-=-11 ()2PQ PA PB ??+= 211PQ PA PB ?=+. 特别地，我们还有 P E F G H M A N B 图 P Q A 图2 B l

解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究

解析几何中极点与极线知识の现状与应用研究王文彬极点与极线是圆锥曲线内在の几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现.现将具体研究结果报告如下： §1.极点与极线の定义 1.1 几何定义如图，P 是不在圆锥曲线上の点，过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG 交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应の极线. 若P 为圆锥曲线上の点，则过P 点の切线即为极线. 由图1可知，同理PM 为点N 对应の极线，PN 为点 M 所对应の极线.MNP 称为自极三点形.若连接MN 交圆锥曲线于点,A B ，则,PA PB 恰为圆锥曲线の两条切线. 事实上，图1也给出了两切线交点P 对应の极线の一种作法. 1.2 代数定义已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l A x x C y y D x x E y y F ++++ ++=是圆锥曲线Γの一对极点和极线. 事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2 x ，以02 x x +替换x (另一变量y 也是如此) 即可得到点00(,)P x y 极线方程. 特别地： (1)对于椭圆22 221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应の极线方程为00221x x y y a b +=； (2)对于双曲线22 221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应の极线方程为00221x x y y a b -=； (3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应の极线方程为00()y y p x x =+. §2.极点与极线の基本结论定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则极线l 是曲线Γ在P 点处の切线； (2)当P 在Γ外时，则极线l 是曲线Γ从点P 所引两条切线の切点所确定の直线(即切点弦所在直线)； (3) 当P 在Γ内时，则极线l 是曲线Γ过点P の割线两端点处の切线交点の轨迹. 证明：假设同以上代数定义，对22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=の方程，两边求导得22220Ax Cyy D Ey ''+++=，解得Ax D y Cy E +'=-+，于是曲线Γ在P 点处の切线斜率为00Ax D k Cy E +=-+，故切线l の方程为0000()Ax D y y x x Cy E +-=--+，化简得 220000000Ax x Cy y Ax Cy Dx Ey Dx Ey +--++--=，又点P 在曲线Γ上，故有220000220Ax Cy Dx Ey F ++++=，从中解出2200Ax Cy +，然后代和可得曲线Γ在P 点图1

20.极点与极线的性质

第15讲:极点与极线的性质 125 第15讲:极点与极线的性质极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途. 定义: 已知曲线G:ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, 则称点P(x 0,y 0)和直线 l:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 y y ++f=0是曲线G 的一对极点与极线,点P 称为直线l 关于曲线G 的极点;直线l 称为点P 关于曲线G 的极线.称点P 与直线l 有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”. 特别地,当点P 在曲线G 上时,点P 关于曲线G 的极线是曲线G 在点P 处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点. [位置关系]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线是直线l,则三者的位置关系是:①若点P 在曲线G 上, 则直线l 是曲线G 在点P 处的切线;②若点P 在曲线G 外,则直线l 是由点P 向曲线G 引两条切线的切点弦;③若点P 在曲线G 内,则直线l 是经过点P 的曲线G 的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图: l l l P M P A D M P N C N B [配极原则]:如果点P 的极线通过点Q,则点Q 的极线也通过点P. 证明:设圆锥曲线G:ax 2 +bxy+cy 2 +2dx+2ey+f=0,点P(x p ,y p ),Q(x Q ,y Q ),则点P 、Q 关于曲线G 的极线方程分别为p:ax p x+b 2 y x x y p p ++cy p y+d 2 p x x ++e 2 p y y ++f=0,q:ax Q x+b 2 y x x y Q Q ++cy Q y+d 2 Q x x ++e 2 Q y y ++f=0,则点P 的极线通过点 Q ?ax p x Q +b 2Q p Q p y x x y ++cy p y Q +d 2 p Q x x ++e 2 p Q y y ++f=0?点 P(x p ,y p ) 在直线 q:ax Q x+b 2 y x x y Q Q ++cy Q y+d 2 Q x x ++e 2 Q y y + +f=0上?点Q 的极线也通过点P.

(完整)极点与极线背景下的高考试题

极点与极线背景下的高考试题王文彬（江西省抚州市第一中学 344000）极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，试题的命题背景 . 作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律 1. 从几何角度看极点与极线定义 1如图 1，设 P 是不在圆锥曲线上的一点，过 P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点 E,F,G,H ，连接 EH ,FG 交于 N ，连接 EG,FH 交于 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线 . 若 P 为圆锥曲线上的点，则过 P 点的切线即为极线 . 由图 1 同理可知， PM 为点 N 对应的极线， PN 为点 M 所对应的极线 .因而将 MNP 称为自极三点形 .设直线 MN 交圆锥曲线于点 A, B 两点，则 PA,PB 恰为圆锥曲线的两条切线 . 定理 1（1）当 P 在圆锥曲线上时，则点 P 的极线是曲线在 P 点处的切线；（2）当 P 在外时，过点 P 作的两条切线，设其切点分别为 A, B ，则点 P 的极线是直线 AB （即切点弦所在的直线）；（3）当P 在内时，过点 P 任作一割线交于A,B ，设在A, B 处的切线交于点 Q ，则点 P 的极线是动点 Q 的轨迹 . 自然也会成为高考只有这样，才能“识定理 2 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线的极线为 ①；反之，若有①成立，则称点 P,Q 调和分割线段关于圆锥曲线的调和共轭点为点 Q （或点 P ）. 点 P 关于圆锥曲线和共轭点是一条直线，这条直线就是点 P 的极线 . 推论 1 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线的调和共轭 2 1 1 点为点 Q ，则有 ②；反之，若有②成立， PQ PA PB 则点 P 与 Q 关于调和共轭 . 可以证明①与②是等价的 . 事实上，由①有 211 PQ PA PB . 特别地，我们还有推论 2 如图 3，设点的中心，则有 OR 2 证明：设直线 PR PR PA PB l ，过点 P 任作一割线交于 A,B ，交l 于Q ，则 AQ BQ P （或点 Q ）的调即可得 PR RQ RQ RQ 2 OR 2 OP PR ，即点 P 关于有心圆锥曲线（设其中心为 O ）的调和共轭点为点 Q ， PQ 连线经过圆锥曲线 OQ ，反之若有此式成立，则点的另一交点为 R ，则 OR OP OR ，化简 OR OQ OR OQ OP PQ 与 OP P 与 Q 关于调和共轭 . OQ . 反之由此式可推出 P 与 Q 关于调和共轭 . 推论 3 如图 4， A,B 圆锥曲线的一条 P 图2 AB ，或称点 R 图 3

高考数学_极点、极线与圆锥曲线的位置关系

一道高考解析几何题的背景溯源 ──极点、极线与圆锥曲线的位置关系湖北省阳新县高级中学邹生书题目已知椭圆的两个焦点，点满足，则的取值范围是，直线与椭圆的公共点的个数是. 这是2010年高考湖北卷文科第15题，本题是一道涉及到点、直线与圆锥曲线的位置关系的判定的考题．从高等几何的观点知，这里的点和直线就是椭圆的一对极点与极线，本题第二问实际上是：已知椭圆的极点在椭圆内，判断极线与椭圆的位置关系．据笔者之前发表的文章中圆锥曲线极点和极线的几何性质可得如下结论：定理已知点和直线是圆锥曲线的一对极点与极线．（1）若极点在曲线上，则极线与曲线的相切于点；（2）若极点在曲线内，则极线与曲线的相离；（2）若极点在曲线外，则极线与曲线的相交．由该定理不难知道，考题中的直线与椭圆相离，故公共点个数为0．若运用几何画板进行实验操作动态演示，不仅可以验证确认该结论，而且还可获得直观感知从而加深印象强化理解．本文将借用判别式法给出该定理的另一种证明．为了表达方便我们给出圆锥曲线内部和外部的定义．圆、椭圆是封闭图形其内部和外部不言而喻，抛物线、双曲线不是封闭的是开的，我们参考一些杂志专著，对双曲线和抛物线的内部和外部给出如下定义：焦点所在的平面区域称为该曲线的内部，不含焦点的平面区域称为曲线的外部，曲线上的点既不在内部也不在外部．关于点与圆锥曲线位置关系我们有如下结论（这里证明从略）．引理1已知点和抛物线．则（1）点在上；（2）点在内；（3）点在外．引理2已知点和椭圆（或圆）．则（1）点在上；（2）点在内；（3）点在外．

引理3已知点和双曲线．则（1）点在上；（2）点在内；（3）点在外．圆锥曲线把平面上的点分成三个部分：曲线上的点、曲线内的点和曲线外的点，每一部分的点的坐标对于曲线方程的左右两边的值具有相同的大小关系，真是“物以类集，人以群分”．下面将圆锥曲线分为抛物线、椭圆（圆）和双曲线三种情形，借用判别式法对定理给出如下证明．定理1已知点和直线是抛物线的一对极点与极线．则（1）点在上直线与相切于点；（2）点在内直线与相离；（3）点在外直线与相交．证明由得，，将其代入抛物线方程得，，所以．所以，（1）点在上直线与相切于点；（2）点在内直线与相离；（3）点在外直线与相交．定理2已知点和直线是椭圆（圆）的一对极点与极线．则（1）点在上直线与相切于点；（2）点在内直线与相离；（3）点在外直线与相交．证明当时，．则（1）点在直线与相切于点；（2）点在内