江西省抚州市第一中学344000)
但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考
.
应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识
.
从几何角度看极点与极线
1
1，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引
,,,EFGH，连接,EHFG
N，连接,EGFH交于M，则直线MN为点P对应的极线.
P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.
1同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所
.因而将MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线
,AB两点，则,PAPB恰为圆锥曲线的两条切线.
1
当P在圆锥曲线上时，则点P的极线是曲线
P点处的切线；
当P在外时，过点P作的两条切线，设其切点分别为,AB，则点P的极线是直线AB(即切点弦所
)；
当P在内时，过点P任作一割线交于,AB，设在,AB处的切线交于点Q，则点P的极线是动点
.
2
2，设点P关于圆锥曲线的极线为l，过点P任作一割线交于,AB，交l于Q，则PAPB
BQ
,PQ调和分割线段AB，或称点P与Q关于调和共轭，或称点P(或点Q)
Q(或点P).点P关于圆锥曲线的调
P的极线.
1
2，设点P关于圆锥曲线的调和共轭
Q，则有211
PAPB②；反之，若有②成立，
P与Q关于调和共轭.
.事实上，由①有
11
PAPB.
2
3，设点P关于有心圆锥曲线(设其中心为O)的调和共轭点为点Q，PQ连线经过圆锥曲线
2OROPOQ，反之若有此式成立，则点P与Q关于调和共轭.
PQ与的另一交点为R，则
PROPOROPOR
RQOROQOROQ，化简
2OROPOQ.反之由此式可推出
PR
RQ，即点P与Q关于调和共轭.
3
4，,AB圆锥曲线的一条 P E F G H M A N B 图1 P Q R
3 RR O P Q A 图2 B l
l上的两点(不在上)，若,AB关于调
B任作的一条割线，交于,PQ
PABQAB.
关于直线l对称，故在上存在
PQ
,PQ.若P与Q重合，则Q与P
,PQ关于l对称，有PABQAB；
P与Q不重合，则Q与P也不重合，由于,AB
调和共轭，故,AB为上完全四点形PQQP
Q在PA上，故,APAQ关于直线l
PABQAB.
3
配极原则)点P关于圆锥曲线
p经过点Q点Q关于的极线q经过点P；直线p关于的极点P在直线q上直线q关于的极
Q在直线p上.
.
1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.
从代数角度看极点与极线
义2
知圆锥曲线22:220AxCyDxEyF，则称点
0(,)Pxy和直线
000:()()0lAxxCyyDxxEyyF是圆锥曲线的一对极点和极线.
xx替换2x，以0
xx替换x，以0yy替换2y，以02yy替换y即可得
0(,)Pxy的极线方程.
对于椭圆22
21xy
b，与点00(,)Pxy对应的极线方程为00221xxyyab；
对于双曲线22
21xy
b，与点00(,)Pxy对应的极线方程为00221xxyy
b；
对于抛物线22ypx，与点
0(,)Pxy对应的极线方程为00()yypxx.
如果圆锥曲线是椭圆22
21xy
b，当00(,)Pxy为其焦点(,0)Fc时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥
曲
22
21xy
b，当00(,)Pxy为其焦点(,0)Fc时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线
ypx
0(,)Pxy为其焦点(,0)
pF时，极线恰为抛物线的准线.
从极点与极线角度看圆锥曲线试题
1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆1
922yx的左右顶点为,AB，
焦点为F．设过点(,)Ttm的直线,TATB与此椭圆分别交于点
122(,),(,)MxyNxy，其中0m，
200yy，．
(1)设动点P满足422PBPF，求点P的轨迹；
(2)设
212
xx，，求点T的坐标；
(3)设9t，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．
.
(3)，当9t时，T点坐标为(9,)m，
MN，设直线AB与MN的交点为K，根据
T对应的极线经过K，
B A K M
P l A 图4 PR B Q Q
T对应的极线方程为91
5xmy，即
myx，此直线恒过x轴上的定点K(1,0)，
MN也恒过定点K(1,0).
2】(2008安徽卷理22)设椭圆22
2:1(0)xyCab
b过点(2,1)M，且左焦点为1(2,0)F.
求椭圆C的方程；
当过点(4,1)P的动直线l与椭圆C交于两个不同的点,AB时，在线段AB上取点Q，满足
QBAQPBuuuruuuruuuruuur
Q总在某定直线上.
(1)易求得答案221
2xy.
由条件可有PAPB
BQuuuruuuruuuruuur，说明点,PQ关于
C调和共轭.根据定理2，点Q的轨迹就是点
411
2xy，化简得220xy.
Q总在定直线220xy上.
3】(1995全国卷理26)已知椭圆22:1
16xyC，直线:1
8xyl，P是l上一点，射线OP交椭圆
R，又点Q在OP上且满足2OQOPOR，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程.,并说明轨迹
.
2OROPOQ可知点,PQ关于圆锥曲线C调和共轭，而点Q可看作是点P的极
OP的交点.
(12,88)Ptt，则与P对应的极线方程为
(88)
16txty，化简得
)2txty
OP的方程为88
tyxt，化简得
2
tyxt④
654244
42txtttxtt，消去t得222346xyxy，可化为22(1)(1)15523xy(,xy不同时为0)，故点Q
(1,1)为中心，长短轴分别为10
和153，且长轴平行于x轴的椭圆，但需去掉坐标原点.
4】(2006年全国卷II理21)已知抛物线24xy
F，,AB是抛物线上的两动点，且AFFBuuuruuur
0)
,AB两点分别作抛物线的切线，并设其交点
P.
证明FPABuuuruuur为定值； A B
O x y
8 F B Q x y O P A . 图6 R Q x y O P . 图7
设ABP的面积为S，写出()Sf的表达式，
S的最小值.
(1)显然，点P的极线为AB，故可设点
(,1)Px，再设1122(,),(,)AxyBxy，,,FAB三点对应的极线方程分别为1y，112()xxyy，
22()xxyy，由于,,ABF三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)Px，将1y代入后面两个极线方程
101
022(1)2(1)xxyxxy，两式相减得12012()2()xxxyy.
2121(,2),(,)FPxABxxyyuuuruuur，故02121()2()0FPABxxxyyuuuruuur.
设AB的方程为1ykx，与抛物线的极线方程
02()xxyy对比可知直线AB对应的极点为
,1)Pk
把1ykx代入24xy并由弦长公式得24(1)ABk，所以
21
)4(1)
ABPSABFPkk.
0k时，S取最小值4.
5】(2005江西卷理22)设抛物线2:Cyx
F，动点P在直线:20lxy上运动，
P作抛物线的
两条切线,PAPB，且与抛物线分别
,AB两点.
求APB的重心G的轨迹方程；
证明PFAPFB.
(1)设点
01122(,),(,),(,)PxyAxyBxy，
0
yyxx对比可知直线:20lxy对应的极点为1(,2)2，P为直线l上的动点，则点P对应的极线AB
1(,2)
.
1:2()
ABykx，可化为2222kykx，故直线AB对应的极点为(,2)22kkP，将直线AB的
220
kxkx，由此得2121212,(1)44xxkyykxxkk，APB
G的轨迹方程为
2
2
2223322422
22
33kkxxkkxkkkyykkky，消去k即得
1
2)
yxx.
设22
122(,),(,)AxxBxx，由(1)知1212,2
kxxkxx，又1(0,)4F，由(1)知(,2)22kkP，即
2
2(,)
xxPxx，所以2111(,)4FAxxuuur，12121(,)24xxFPxxuuur，2221(,)4FBxxuuur.
2
2
12112112
22
111111()()()()244444cos11()()4
xxxxxxxxxxxFPFAPFAFPFAFPFPxFPxxuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur.同理A B P O x y 图9 F l
21
xxFPFBPFB
FBFPuuuruuuruuuruuuruuur.
PFAPFB.
1】 周兴和.高等几何.科学出版社，2003.9
2】 李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯［J］，2012(4)下半月