金融数学第一章练习题详解
第 1 章 利息度量
1.1 现在投资$600，以单利计息，2 年后可以获得$150 的利息。如果以相同的复利利率投资$2000，试确定在 3 年后的累积值。
65.2847%)5.121(2000%
5.1215026003=+=?=?i i
1.2 在第 1 月末支付 314 元的现值与第 18 月末支付 271 元的现值之和，等于在第 T 月末支付 1004 元的现值。年实际利率为 5% 。求 T 。
58
.1411205.1ln /562352.0ln 562352.0ln 05.1ln 12
562352.01004/)05.127105.1314(05.105.1%)51()1(271314100412/1812/112/12
/1812/112/=?-==-=?+?==+=+=+=------T T i v v v v T t
t t t T 两边取对数，其中
1.3 在零时刻，投资者 A 在其账户存入 X ，按每半年复利一次的年名义利率 i 计息。同时，投资者Ｂ在另一个账户存入 2X ，按利率 i （单利）来计息。 假设两人在第八年的后六个月中将得到相等的利息，求 i 。
094588
.02)12(2)2
1(2
)21()21()21())2
1()21((2
12:))21()21((:215/11515151615161516=?-==+?+=+-+==+-+=??+-+i i i i i i i Xi i i X Xi i X B i i X A i A 两边取对数
，的半年实际利率为
1.4 一项投资以 δ 的利息力累积，27.72 年后将翻番。金额为 1 的投资以每两年复利一次的名义利率 δ 累积 n 年，累积值将成为 7.04。求 n 。
()
80
2)05.1ln /04.7(ln 04
.7)21025
.072.27/2ln 2
)1()(1ln 2/5.072.27=?==+=====+=+=n i e e i t a i n t
t δδ
δδδδ（
1.5 如果年名义贴现率为 6%，每四年贴现一次，试确定$100 在两年末的累积值。 71.114%)641(10024/1=?-?-
1.6 如果 )(m i = 0.1844144 ， )(m d
= 0.1802608 ，试确定 m 。 81802608
.01844144.01802608.01844144.01111111111112
=-?=-?=?=-=?--+=??????-???????+=?????
?-???????+-=??
????-=??????+=+-m m m m m
m m m m
m m m m m m m m m m m m m d i d i m m
d i d i m d i m d i m d m i m d m i d m d m i i
1.7 基金 A 以每月复利一次的名义利率 12 %累积。基金 B 以t δ= t / 6 的利息力累积。在零时刻，分别存入 1 到两个基金中。请问何时两个基金的金额将相等。
()43
.101.1ln 14412/01.1ln 1212/%121212/6/1220=?===?=+t t t e e t dt t t t
两边取对数，
1.8 基金 A 以 t δ= a+bt 的利息力累积。基金 B 以t δ= g+ht 的利息力累积。基金 A 与基金 B 在零时刻和 n 时刻相等。已知 a > g > 0 ， h > b > 0 。求n 。
h
b a g n hn gn bn an n b n a b a e e t b e e t a ht gt dt ht g bt at dt bt a t t --=?+=+?===?==?=++++)(22
121)()(),0()0()()(2
2)
21()()2
1()(2020
1.9 在零时刻将
100
支付利息。从 t = 2 开始，利息按照 t
t +=
11δ的利息力支付。在 t = 5 时，存款的累积值为 260。求δ。 ()()
1290
.0)2100/(26014260)4/1(100260)4/1(1008/1-)3ln 6(ln 24-1124-52=?-?==?-=??--?+?δδδδe e
dt t 现率
指前两年内的年名义贴
1.10 在基金 A 中，资金 1 的累积函数为 t+1，t>0；在基金 B 中，资金 1 的累积函数
为1+t 2 。请问在何时，两笔资金的利息力相等。 41.012012121112,11222
=-=?=-+?+=+?=+=+=t t t t
t t t t t B A B A δδδδ令
1.11 已知利息力为t
t +=12δ。第三年末支付 300 元的现值与在第六年末支付 600 元的现值之和，等于第二年末支付 200 元的现值与在第五年末支付 X 元的现值。求 X 。82
.315))51/(())21(200-)61(600)31(300()
5()2(200)6(600)3(300)1()()1()(22-2211112
12)1ln(212
0=++?+?++?=??+?=?+?+=?+==?=---------++X a X a a a t t a t e e t a t dt t t
1.12 已知利息力为100
3
t t =δ。请求)3(1-a 。 8167.0)3(2025.0400/81)03(400/110014
303
====?=---?---e e e e a dt t
1.13 资金 A 以 10%的单利累积，资金 B 以 5%的单贴现率累积。请问在何时，两笔资金的利息力相等。
51.011.0-205.0105.01.011.005.0105.0)05.01()(05.01)%51()(:1.011
.01.01)%101()(:11=?+=?-=+?=-=
?-=?-=-=+=?+=+=--t t t t
t t t t a t t t a B t
t t t a A B A B A δδδδ令
1.14 某基金的累积函数为二次多项式，如果向该基金投资 1 年，在上半年的名义利率为 5%（每半年复利一次），全年的实际利率为 7%，试确定5.0δ。
06829.0103.004.003.008.01
03.004.0)(,1,03.0,04.0%
71)1(2
/%515.025.0)5.0(1
)0()(5.025.022=+++=
++====?+=++=+=++===++==t t t t t t t a c b a c b a a c b a a c a c
bt at t a δ设累积函数为
1.15 某投资者在时刻零向某基金存入 100，在时刻 3 又存入 X 。此基金按利息力
100
2
t t =δ累积利息，其中 t > 0。从时刻 3 到时刻 6 得到的全部利息为 X ，求 X 。 61
.784)42.109(8776.0)3()6()42.109(8776.1)42.109()6(42.109100)3(632
302
100100=?=+=-+=?+=+=+?=X X X A A X e X A X
X e A dt t dt t
1.16 一位投资者在时刻零投资 1000，按照以下利息力计息：
?
??>≤≤=3,045.030,02.0t t t t δ 求前 4 年每季度复利一次的年名义利率。
%
39.30339.0)11445.1(41445.11000)4/1(1000,1445.1)4(16/144045.009.0045.002.04
330==-?=??=+==??=?++x x x e e a dt dt t 设年名义利率为
1.17 已知每半年复利一次的年名义利率为 7.5%，求下列两项的和：(1)利息力；(2)每季度贴现一次的年名义贴现率。
14658
.007295
.0))2/%5.71(-1(4)2/%5.71()4/1(,07363
.0)2/%5.71ln()2/%5.71()()4/1(22422=+=+?=?+=-=+=+=-?-x x x x t a t t t t t
δδ设名义贴现率为
注：个人认为，求这两个数的和并没有实际意义
1.18 假设利息力为?????≤<≤<=105,25
150,2t kt t kt t δ，期初存入单位 1 在第 10 年末将会累积到 2.7183。试求 k 。
0414
.07183.2)(1667.24)1251000(751225251105250=?===??=-++k e e e
t a k k k dt kt ktdt
1.19 已知利息力为t
t +=
21δ，一笔金额为 1 的投资从 t=0 开始的前 n 年赚取的总利息是 8。试求 n 。 16812
11)(21)(2ln )2ln(210=?=-+=-+
==?=-++n n n a t
e e t a t dt t t
1.20 1996 年 1 月 1 日，某投资者向一个基金存入 1000，该基金在 t 时刻的利息力为
0.1(t-1)2 ，求 1998 年 1 月 1 日的累积值。
94.10681000100006667.0)1(1.0202==?=-e e A dt t
1.21 投资者 A 今天在一项基金中存入 10，5 年后存入 30，已知此项基金按单利 11%计息；投资者 B 将进行同样数额的两笔存款，但是在 n 年后存入 10， 在 2n 年后存入 30，已知此项基金按复利 9.15%计息。在第 10 年末，两基金的累积值相等。求 n 。
5244
.20915.1ln /8017.0ln 40014
.20915.18017.00915.1302)5.67(0915.1304)0915.110(0915.1105
.670915.1300915.1100915
.1ln /ln ,0915.15
.67%)15.91(30%)15.91(10%)15.91(30%)15.91(10:5
.67)5%111(30)10%111(10:1010
1021010210102101021010=-===??-???-?+?-==??+??-===+++?+++=?++?+-----n t t t t n t B A n n n n
n 即令
注：不知道为什么，笔者算出来的答案恰好是参考答案的两倍，将2.5244带进去右边=66,将1.262代进去，右边=80,由此可得2.5244接近真实结果
1.22 已知利息力为1
2-=t t δ，2 ≤ t ≤10 。请计算在此时间区间的任意一年内，与相应利息力等价的每半年贴现一次的年名义贴现率。
)1(2))1()2(1(2))1(1(21)2/1()1()2()1()()1()()1()2()2()(2/1)2(2)2(2
222
12
2-=---
?=--?=-=-----=--=-?=??=-n n n d d d d n n n n a n a n a d n a e a n a n n
n dt t n
金融学第一章 1、居民进行储蓄与投资的前提是( 货币盈余 )。 2、（信用证）属于贸易融资的行为。 3、在市场经济条件下，发行（政府债券）是财政最常用、最普遍的筹措资金方式。 4、居民的赤字可以通过以下哪种方式弥补( 消费贷款 )。 5、现代金融体系建立的基础是( A和B )。 6、以下属于国际直接投资的是( )。The correct answers are: 国外企业采用合作方式在本国建立新企业, 收购国外企业的股权，并成为绝对最大股东, 将前期投资利润继续投资国外企业 7、以下对于利率描述正确的是( )。The correct answers are: 利率是利息额与本金之比, 利率是衡量收益与风险的尺度, 利率是现代金融体系的基本要素, 利率的高低会对借贷双方决策产生直接影响, 利率是政府调节社会经济金融活动的工具 8、政府赤字的弥补方式有哪些( )。The correct answers are: 增加税收, 向中央银行申请贷款, 发行政府债券 9、以下哪些是银行为企业提供的金融服务（）。The correct answers are: 存款业务, 贷款业务, 资金清算 10、广义的金融市场包括( )。信贷市场, 资本市场, 货币市场, 黄金市场, 衍生金融工具市场 11、调整利率的高低会影响整个社会的投融资决策和经济金融活动。对”。 12、国际投资所引起的资本流动需要依附于真实的商品或劳务交易。“错”。 13、货币、汇率、信用、利率、金融工具等是现代金融运作的基本范畴，也是现代金融体系必不可少的基本要素。对”。 14、从一个国家（地区）来看，所有经济部门之间的金融活动构成了整个金融体系。“错”。 15、居民会基于流动性、收益性和安全性来进行赤字管理。“错”。 1、各经济部门的金融活动及其彼此间的平衡关系可以通过( 资金流量表 )来反映。 2、采取独资、合资或合作等方式在国外建立新企业的“绿地投资”属于（国际直接投资）投资。 3、居民进行储蓄与投资的前提是( 货币盈余 )。 4、现代社会中，不同的经济部门之间有的总体是盈余的，有的总体是赤字的，他们之间主要通过( 金融 )活动来实现平衡。 5、（信用证）属于贸易融资的行为。 6、以下哪些是银行为企业提供的金融服务（）。存款业务, 贷款业务, 资金清算 7、政府投资对金融活动的影响体现在( )。政府投资导致的大量货币收支，对货币流通产生了重要影响, 政府投资带动民间资本，引起整个金融资源的流向发生改变, 政府通过设立主权财富基金，利用外汇储备对国际金融市场产生影响 8、以下反映居民部门参与金融活动的是（）。在银行存款, 投资股票, 向民间钱庄申请贷款 9、以下哪些是金融体系的基本要素（）。货币, 汇率, 信用, 利率, 金融工
版权所有，翻版必究 ~ 第二章习题答案 1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。 解： S = 1000s 20 ?p 7%+Xs 10 ?p 7% X = 50000 ? 1000s 20 ?p 7% s 10 ?p7% = 2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。 解： 设首次付款为X ，则有 10000 = X + 250a 48 ?% 解得 X = 3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =1 。试计算该年金的现值。 解： P V = na?n pi 1 ? v n n = n 1 n = (n + 1)n n 2 ? n n +2 (n + 1)n 4．已知：a?n p = X ，a 2 ?n p = Y 。试用X 和Y 表示d 。 解： a 2 ?n p = a?n p + a?n p (1 ? d)n 则 Y ? X d = 1 ? ( X ) 5．已知：a?7 p = , a 11 ?p = , a 18 ?p = 。计算i 。 解： a 18 ?p = a?7 p + a 11 ?p v 7 解得 6.证明： 1 1?v =
s i = % ?+a?。 s? 北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页
版权所有，翻版必究 证明： s 10 ?p + a ∞?p (1+i)?1+1 1 s 10 ?p = i (1+i)?1 i i = 1 ? v 10 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。 解： P V = 100a?8p3% + 100a 20?p 3% = 8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然 后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%， 后15年的年利率7%。计算每年的退休金。 解： 设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日 1000¨25?p8%=X¨15?p7% 解得 9．已知贴现率为10%，计算¨?8 p 。 X = 解： d = 10%，则 i =1 10.求证： (1) ¨?n p = a?n p + 1 ? v n ； 1?d ? 1 =1 9 ¨?= (1 + i) 1 ? v 8 i = (2) ¨?n p = s? ?n p 1 + (1 + i)n 并给出两等式的实际解释。 证明： (1)¨?n p =1?d v =1 ?v =1 ?v i + 1 ? v n 所以 (2)¨?n p = (1+ i)?1 ¨?n p = a?n p + 1 ? v n (1+i )?1=(1+i)?1 n ? 1
金融数学附答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
1、给定股票价格的二项模型，在下述情况下卖出看涨期权 S 0 S u S d X r τ 股数 50 60 40 55 1/2 1000 （1）求看涨期权的公平市场价格。 （2）假设以公平市场价格+美元卖出1000股期权，需要买入多少股股票进行套期保值，无风险利润是多少 答案：（1）d u d r S S S e S q --=τ0=56.040 6040505.005.0=--??e （2）83.2>73.2，τr e S V -?+?='00 83.2> τr e S -?+?'0 40 6005--=--=?d u S S D U =25.0股 104025.00'-=?-=?-=?d S D 753.9975.0105.005.0'-=?-=??-e 美元 则投资者卖空1000份看涨期权，卖空250股股票，借入9753美元 所以无风险利润为1.85835.005.0=?e 美元 2、假定 S 0 = 100，u=，d=，执行价格X=105，利率r=，p=，期权到期时间t=3， 请用连锁法则方法求出在t=0时该期权的价格。(答案见课本46页) 3、一只股票当前价格为30元，六个月期国债的年利率为3%，一投资者购买一份执行价格为35元的六个月后到期的美式看涨期权，假设六个月内股票不派发红利。波动率σ为. 问题：（1）、他要支付多少的期权费【参考N （=；N （）= 】 {提示：考虑判断在不派发红利情况下，利用美式看涨期权和欧式看涨期权的关系}
解析：在不派发红利情况下，美式看涨期权等同于欧式看涨期权！所以利用Ｂ—Ｓ公式，就可轻易解出来这个题！同学们注意啦，N（d1）=N（），N（d2）=N （）。给出最后结果为 4、若股票指数点位是702，其波动率估计值σ=，指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格计算，期货合约的价格是715美元。关于期货的看涨期权时间与期货相同，执行价是740美元，短期利率位7%，问这一期权的理论价格是多少（N（）=，N）= *= 解：F=715，T-t=,σ=,X=740,r= F/X=715/740=，σ(T-t)=*= d1=ln/+2= d2== G=**740) =美元 5、根据看涨期权bs定价公式证明德尔塔等于N（d1）（答案见课本122页）
第一章货币基础知识习题 1.历史上最早出现的货币形态是（A） A.实物货币 B.信用货币 C.代用货币 D.金币 2.历史上最早出现的代用货币是（ C ） A.国债 B.商业票据 C.银票 D.国库券 3.世界各国划分货币层次的主要依据是金融资产的（ C ） A.安全性 B.收益性 C.流动性 D.全都是 4.（×）货币史上曾出现布币其实就是用布制作的原始货币 5.( √ ) 代用货币的典型形式就是早期的银行券 6.( ×) 一切货币都是国家的产物 7.（×）人民币是当今社会最具影响力的国际货币 8.下列（ BDE ）属于人类早期实物货币的范畴 A.土地 B.耕牛 C.银票 D.谷物 E.银币 F.都不是 9.下列关于朴素的商品货币被金属货币所取代的原因正确正确的有（CDE ） A.粮食供应紧张 B.金属资源紧张 C.不易分割 D.不易保存 E.经济的发展 F.耕牛生产不能满足需要 10.信用货币的产生源于货币（ D）的职能。 A.价值尺度 B.流通手段 C.储藏手段 D.支付手段 11.用现金货币在专卖店购物的行为体现了货币的（B）职能 A. 价值尺度 B.流通手段 C.支付手段 D.储藏手段 12.用现金货币缴学费的行为体现了货币的（ C ）职能 A.价值尺度 B.流通手段 C.支付手段 D.储藏手段 13.目前世界各国划分货币层次的主要依据是金融资产的（ C ） A.安全性 B.收益性 C.流动性 D.全都是 14.通常情况下，辅币的名义价值（ B ）其实际价值 A.高于 B.低于 C.等于 D.不确定 15.在金属货币制度背景下，货币的铸造权是一个重大的问题，当时欧美国家大多数实行（ A ） A.本位币自由铸造，辅币国家限制铸造 B.本位币国家垄断铸造，辅币自由铸造 C.本位币和辅币均自由铸造 D.本位币和辅币均由国家垄断铸造 16.在传统的金属货币制度下，（ C ）是不具有无限法偿能力的货币 A.主币 B.本位币 C.辅币 D.都不是 17.世界历史上最早的金属货币制度是（ B ） A.金本位制 B.银本位制 C.金银复本位制 D.金块本位制 18.格雷欣法则起作用于（ B ）。 A.平行本位制 B.双本位制 C.跛行本位制 D.单本位制 19.若金银的法定比价为1:13，而市场比价为1:15，这时充斥市场的是（ A ） A.银币 B.金币 C.金币和银币 D.都不是 20.目前中国人民银行发行的人民币是以（ D ）作为发行准备的 A.黄金 B.美元 C.国际硬通货 D.都不是 21.下列（ ABC ）属于信用货币的范畴。
第一章 利息的度量 1.现在投资600元，以单利计息，2年后可以获得150元的利息。如果以相同的复利利率投资2000元，试确定在3年后的累计值。 2.在第1月末支付314元的现值与第18月末支付的271元的现值之和，等于在第T 月末支付1004元的现值。年实际利率为5%，求T 。 3.在零时刻，投资者A 在其账户存入X ，按每半年复利一次的年名义利率i 计息。同时，投资者B 在另一个账户存入2X ，按利率i （单利）来计息。假设两人在第8年的后6个月中将得到相等的利息，求i 。 3.如果年名义贴现率为6%，每四年贴现一侧，试确定100元在两年末的累计值。 4.一项投资以δ的利息力累积，27.72年后将翻番。金额为1的投资以每两年复利一次的年名义利率δ累积n 年，累计值将成为7.04.求n 。 5.一直利息力为t t += 21δ，一笔金额为1的投资从0=t 开始的前n 年赚取的总利息是8.求n 。 6.已知利息力为100 3 t t =δ，求)3(1-a 。 第二章 等额年金 1.某人想用分期付款的方式购买一辆现价为10万元的汽车，如果手气支付一笔款项后，在今后5年内每月末付款2000元即可付清车款，假设每月复利一次的年名义利率为8%，试计算他首期付款金额为多少? 2.某人将在10年后退休，他打算从现在开始每年初向一种基金存入2000元，如果基金的收益率为6%，试计算他在退休时可以积存多少退休金。 3.某人从2000年3月1日起，每月末可以领取200元，2010年5月末是最后一次领取。如果每月复利一次的年名义利率是6%，试计算：（1）年金的现值；（2）年金的终值；（3）年金在2005年12月31日的值。 4.某人在今后20年内，每年初向一基金存入10000元。从第30年开始，每年末可以领取一笔退休金。该基金的收益率为6%。（1）如果限期领取20年，每次可以领取多少？（2）如果无限期的领下去（当他死亡后，由其继承人领取），每次可以领取多少？ 5.借款人原计划在每月末偿付1000元，用5年的时间还清贷款。每月复利一次的年名义利率为12%，如果他现在希望一次性的支付60000元还清贷款，他应该何时偿还? 6.投资者每月初向基金存入一笔款项，5年后可以积存到60000元。前2年每月初存1000元，后3年每月初存入500元，试计算每月复利一次的名义利率。
金融数学第一章练习题详解 第 1 章 利息度量 1.1 现在投资$600，以单利计息，2 年后可以获得$150 的利息。如果以相同的复利利率投资$2000，试确定在 3 年后的累积值。 65.2847%)5.121(2000% 5.1215026003=+=?=?i i 1.2 在第 1 月末支付 314 元的现值与第 18 月末支付 271 元的现值之和，等于在第 T 月末支付 1004 元的现值。年实际利率为 5% 。求 T 。 58 .1411205.1ln /562352.0ln 562352.0ln 05.1ln 12 562352.01004/)05.127105.1314(05.105.1%)51()1(271314100412/1812/112/12 /1812/112/=?-==-=?+?==+=+=+=------T T i v v v v T t t t t T 两边取对数，其中 1.3 在零时刻，投资者 A 在其账户存入 X ，按每半年复利一次的年名义利率 i 计息。同时，投资者Ｂ在另一个账户存入 2X ，按利率 i （单利）来计息。 假设两人在第八年的后六个月中将得到相等的利息，求 i 。 094588 .02)12(2)2 1(2 )21()21()21())2 1()21((2 12:))21()21((:215/11515151615161516=?-==+?+=+-+==+-+=??+-+i i i i i i i Xi i i X Xi i X B i i X A i A 两边取对数 ，的半年实际利率为 1.4 一项投资以 δ 的利息力累积，27.72 年后将翻番。金额为 1 的投资以每两年复利一次的名义利率 δ 累积 n 年，累积值将成为 7.04。求 n 。 () 80 2)05.1ln /04.7(ln 04 .7)21025 .072.27/2ln 2 )1()(1ln 2/5.072.27=?==+=====+=+=n i e e i t a i n t t δδ δδδδ（
第一章金融市场 §1-1 基本思想——复制技术与无套利条件 §1-2 股票及其衍生产品 §1-3 债券市场 §1-4 利率期货 §1-2 股票及其衍生产品 股票衍生产品：是一个特定的合约，其在未来某一天的价值完全由股票的未来价值决定。 卖方(writer)：制定并出售该合约的个人或公司。 买方(holder)：购买该合约的个人或公司。 标的资产：股票。 远期合约：在交割日T，以执行价格X买入一单位标的资产的合约。 f t＝S t－Xe－rT 卖空条款： 1．某人(通常从经纪人)借入具体数量的股票，今天出售这些股票。 2．借的股票在哪一天归还必须还未被指定。 3．如果借出股份的买方想出售股票，卖空者必须借其他股份以归还第一次借得的股份。
期货合约定价 期货合约是购买者和出售者双方的协议，约定在未来某一具体时间完成一笔交易。 X＝S0e rT 看涨期权到期时损益：Call=(S T－X)＋ 看跌期权到期时损益：Put = (X －S T)＋ §1-3 债券市场 票面利率：以债券面值的百分比形式按年计算的定期支付。 即期利率：以当前市场价格的百分比的形式计算的每年支付。到期收益率：如果购买并持有至到期，债券支付的收益的百分比率。 若债券面值为1，到期日为T，其现值为P(t，T)。 到期收益率R为： 利率与远期利率： f（T1,T2）=（r2T2－r1T1）/（T2－T1） §1-4 利率期货 国债期货定价 F t＝(P－C) e r(T－t) C表示债券所有利息支付的现值． P为债券的现在价格。
第二章二叉树、资产组合复制和套利 §2-1 博弈法 §2-3 概率法 §2-2 资产组合复制 §2-4 多期二叉树和套利 §2-1 博弈法 假设： ●v市场无摩擦 ●v存在一种无风险证券 ●v投资者可用无风险利率r > 0不受限制地借或贷 ●v股票的价格运动服从二叉树模型 无风险组合：选择a使得这个投资组合在t =1的两种状态下取值相等，即 U－aS u＝D－aS d 无套利机会：这个投资组合的期末价值必须等于e rT(V0－aS)， e rT(V0－aS )= U－aS u＝D－aS d 要点：构造一个无风险投资组合 §2-2 资产组合复制 思想：构造资产组合复制衍生产品。 投资组合：a单位的股票＋b单位的债券（债券的面值为1美元。） ∏0＝aS0+b 复制衍生资产：选择a和b，使得组合在期末的价值与衍生资产
金融数学附答案精编 W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
1、给定股票价格的二项模型，在下述情况下卖出看涨期权 S 0 S u S d X r τ 股数 50 60 40 55 0.55 1/2 1000 （1）求看涨期权的公平市场价格。 （2）假设以公平市场价格+0.10美元卖出1000股期权，需要买入多少股股票进行套期保值，无风险利润是多少 （3） 答案：（1）d u d r S S S e S q --=τ0=56.040 6040505.005.0=--??e （2）83.2>73.2，τr e S V -?+?='00 83.2> τr e S -?+?'0 406005--=--= ?d u S S D U =25.0股 104025.00'-=?-=?-=?d S D 753.9975.0105.005.0'-=?-=??-e 美元 则投资者卖空1000份看涨期权，卖空250股股票，借入9753美元 所以无风险利润为1.85835.005.0=?e 美元
2、假定 S0 = 100，u=1.1，d=0.9，执行价格X=105，利率r=0.05，p=0.85，期权到期时间t=3，请用连锁法则方法求出在t=0时该期权的价格。(答案见课本46页) 3、一只股票当前价格为30元，六个月期国债的年利率为3%，一投资者购买一份执行价格为35元的六个月后到期的美式看涨期权，假设六个月内股票不派发红利。波动率σ为0.318. 问题：（1）、他要支付多少的期权费【参考N（0.506)=0.7123；N（0.731）=0.7673 】{提示：考虑判断在不派发红利情况下，利用美式看涨期权和欧式看涨期权的关系} 解析：在不派发红利情况下，美式看涨期权等同于欧式看涨期权！所以利用Ｂ—Ｓ公式，就可轻易解出来这个题！同学们注意啦，N（d1）=N（-0.506），N（d2）=N（-0.731）。给出最后结果为0.608 4、若股票指数点位是702，其波动率估计值σ=0.4，指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格计算，期货合约的价格是715美元。关于期货的看涨期权时间与期货相同，执行价是740美元，短期利率位7%，问这一期权的理论价格是多少（ N（-0.071922）=0.4721，N(-0.2271922）=0.3936 e-0.07*0.25=0.98265 解：F=715，T-t=0.25,σ=0.4,X=740,r=0.07 F/X=715/740=0.9622，σ(T-t)=0.4*0.5=0.2 d1=ln(0.9662)/0.2+0.2/2=-0.071922 d2=d1-0.2=-0.071922
北大版金融数学引论答 案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
版权所有，翻版必究 第二章习题答案 1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。
解： S = 1000s 20p 7% + Xs 10p 7% X = 50000 1000s 20p 7% s 10 p7% = 2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。 解： 设首次付款为X ，则有 10000 = X + 250a 48% 解得 X = 3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =1 。试计算该年金的现值。 解： P V = na n pi 1 v n n = n 1 n = (n + 1)n n 2 n n +2 (n + 1)n 4．已知：a n p = X ，a 2n p = Y 。试用X 和Y 表示d 。 解： a 2n p = a n p + a n p (1 d)n 则 Y X d = 1 ( X ) 5．已知：a 7 p = , a 11p = , a 18p = 。计算i 。 解： a 18p = a 7 p + a 11p v 7 解得 6.证明： 1 1v = s +a 。 s i = %北京大学数学科学学院金融数学系 第 1 页
版权所有，翻版必究 证明： s 10p + a ∞p (1+i)1+1 1 s 10p = i (1+i)1 i i = 1 v 10 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。 解： P V = 100a 8p3% + 100a 20p 3% = 8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然 后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%， 后15年的年利率7%。计算每年的退休金。 解： 设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日 1000¨25p8%= X¨15p7% 解得 9．已知贴现率为10%，计算¨8 p 。 X = 解： d = 10%，则 i =1 10.求证： (1) ¨n p = a n p + 1 v n ； 1d 1 =1 9 ¨8 p = (1 + i) 1 v 8 i = (2) ¨n p = s n p 1 + (1 + i)n 并给出两等式的实际解释。 证明： (1)¨n p =1 d v =1 v =1 v i + 1 v n 所以 (2)¨n p =(1+ i)1 ¨n p = a n p + 1 v n (1+i )1=(1+i)1 n 1 d = i + (1 + i) 所以 ¨n p = s n p 1 + (1 + i) n
模拟测试题（一） 一、判断题（每题1分） 1、直接融资的缺点是不利于节约交易成本。（） 2、美国经济学家凯恩提出了金融创新理论——约束引致创假说（） 3、金融资产可逆性越强退出投资换回现金的成本越高。（） 4、我国的货币供应量的层次划分是根据其风险性的差异划分的。（） 5、根据凯恩斯流动性偏好理论，当人们预期利率上升时，就会抛出货币而持有债券。（） 6、现金余额数量说强调了个人资产选择对货币需求的影响，但排除了利率的影响。（） 7、在货币乘数不变的条件下，中央银行可通过控制基础货币来控制整个货币供给量。（） 8、社会公众的流动性偏好增强，现金漏损率增加。 ( ) 9、政策性金融机构的活动不以营利为目的的。（） 10 、大额可转让定期存单具有不记名、金额大、利息高、期限长的特点。（） 11、制度是通过一系列规则界定人们的选择空间，约束人们之间的相互关系，这些规则是由非正式规则、正式规则和实施机制组成。（） 12、利率市场化是指中央银行完全放弃对利率的调整，利率完全由市场决定。（） 13、货币的时间价值一般通过现金流的现值和终值来反映。（） 14、如果本国利率上升, 将会造成本币需求增加而外币需求减少,这样最终本国产品的需求以及本国的国民生产总值将会上升。 ( ) 15、选择性货币政策工具通常可以在不影响货币供应总量的条件下,影响银行体系的资金投向和不同的贷款利率. ( ) 二、单项选择题（每题1分） 1、（）的金融创新对传统的金融市场和体制带来巨大冲击 A 20世纪50年代 B 离岸金融市场—欧洲货币市场的建立 C 18世纪英国中央银行制度的建立 D 20世纪70年代以后 2、以下对金融体系的功能描述不正确的是（） A 提供资金的融通 B 为融资各方提供相关信息 C 实现金融资源的优化配置 D 不为政府提供借贷 3、金融互换的基本类型主要包括（）
第一章金融体系概述 一、选择题 1、直接融资的优点是：。 A．投资者承担较小的投资风险 B．容易实现资金供求期限和数量的匹配C．有利于降低信息成本和合约成本 D．可以节约交易成本 2、直接融资的缺点包括等。 ①投资者需要花费大量的搜集信息、分析信息的时间和成本 ②投资者要承担较大的投资风险 ③不利于通过分散化来降低金融风险 ④融资的门槛比较高 A．①②③④ B.①③④ C.②③④ D.①②③ 3、金融机构可通过来筹集资金。 ①发行存单②提供贷款③发行债券④发行股票 A．①②③ B.①③④ C．①②④ D.①②③④ 4、以下阐述正确的是。 ①金融市场是金融资产交易的场所 ②金融市场是金融资产的供求关系、交易活动和组织管理等活动的总和 ③金融市场的发育程度直接影响金融体系功能的发挥 ④金融市场为有形市场 A．②③④ B.①③④ C．①②③ D.①②④ 5、金融创新包括等在内的创新。 ①金融工具②金融市场③金融制度④金融机构 A．①②③ B.①③④ C．②③④ D.①②③④ 6、的金融创新对传统的金融市场和体制带来巨大冲击。 A．20世纪50年代 B．离岸金融市场—欧洲货币市场的建立 C．18世纪英国中央银行制度的建立 D．20世纪70年代不断涌现 7、当代金融创新的直接导因是。 ①国际资本的加速流动
②世界范围的放松金融管制 ③国际债务危机的爆发和影响 ④电子计算机技术和网络技术在金融领域的广泛应用 A．①②③④ B.②④ C．②③④ D.①③④ 8、以下哪一选项不是金融创新所能产生的积极作用？ A．金融创新扩大了金融机构的资金来源渠道，扩大了金融服务业务领域 B．有利于发挥利率杠杆在调节金融资源配置中的作用 C．能降低金融系统的风险 D．有利于世界金融和经济的深化发展 9、金融市场创新不包括： A．市场种类的创新 B．市场组织形式的创新 C．市场制度的创新 D．汇率制度的创新 10、金融工具的创新具体包括： ①时间衍生②功能衍生③种类衍生④复合衍生 A．①②③④ B．以上都不是 C．①②④ D．②③④ 11、以下对金融资产的描述不正确的是 A．市场价值稳定 B．是一种无形资产 C．是一种未来收益的索取权 D．市场价值受市场供求状况影响 二、判断题 1、在现代经济条件下，资金的流动主要是通过金融体系来实现的。√ 2、直接融资的缺点是不利于节约交易成本。× 3、直接融资有利于降低信息成本和合约成本。× 4、间接融资的优点是有利于通过分散化来降低金融风险。√ 5、间接融资的优点是投资者需要花费大量的搜集信息、分析信息的时间和成本。× 6、金融体系的基本功能是提供资金的融通渠道。√ 7、金融制度是金融运行的行为规范和制度保障。√ 8、资金短缺单位与盈余单位直接建立融资关系被称之为间接融资。× 9、当代金融创新最有代表意义的就是离岸金融市场—欧洲货币市场的建立。√ 10、希克斯和尼汉斯提出了金融创新理论——规避创新假说。凯恩×
第一章货币与货币制度 一、填空题 1.货币是长期发展的产物，是表现形式发展的必然结果。 2. 2.在货币产生的过程中，商品价值形式的发展经过、、、等四个阶段。 3.当人们选择用作一般等价物时，货币就产生了。 4. 货币作为一种特殊的商品，具有两个重要特征：一是，二是。 5.货币币材和形制经历了从、、、到等五个阶段的发展过程。 6.金属货币主要沿着两个方向演变：一是经历了由到贵金属的演变；二是经历了由到铸币的演变。 7.货币要成为普遍接受的交换媒介，必须具备两个基本条件：一是；二是。 8.货币在表现和衡量商品价值时，货币执行职能；在商品的赊销赊购过程，货币执行职能；在退出流通时执行职能；在世界市场上发挥一般等价物作用时执行职能。 9.本位币的面值与金属本身的实际价值是一致的，是货币，是法偿货币。 10.在金属货币流通条件下，流通中的货币量能被，使得与保持相互适应。 11.货币制度相继经历了、、、等四个阶段。 12. 银行券是银行发行的一种，即银行保证持有人可以随时向签发银行兑换相应 的一种凭证，通常以作为发行准备。 13.铸币的发展有一个从足值到的过程。 14.国家垄断辅币铸造，归国家所有，构成重要的财政收入来源。 15.在金本位制下，一国汇率围绕上下波动，汇率波动界限是。 16.平行本位制下，金币和银币是按照比价流通，双本位制下，金币和银币则按照 比价流通。 17.在跛行本位制下，可以自由铸造而不能自由铸造。 18.在金汇兑本位制下，本币只能先兑换，再兑换。 19.存储于银行电子计算机系统内可利用银行卡随时提取现金或支付的存款货币称为。 20.货币金本位制有、、等三种形式。 21.金币本位制的三大特征是指、、。 22.信用货币主要由现金和存款组成，其中现金是对公众的负债，存款则是
第一章习题答案 1.解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是:a(t) =A(t)/A(0)=（t 2 + 2t + 3）/3 In = A(n) ? A(n ? 1) = (n 2 + 2n + 3) ? ((n ? 1)2 + 2(n ? 1) + 3)) = 2n + 1 2. 解:()n n-1t 11I A(n)A(t)I I I n(n 1)/2t(t 1)/2+=-=+++=+-+??? (2)1t 11 I A(n)A(t) 22n n k k t I ++=+=-= =-∑ 3.解: 由题意得 a(0) = 1, a(3) =A(3)/A(0)= ? a = , b = 1 ~ ∴ A(5) = 100 A(10) = A(0) ? a(10) = A(5) ? a(10)/ a(5)= 100 × 3 = 300. 4. 解：(1)i5 =(A(5) ? A(4))/A(4)=5120≈ % i10 =(A(10) ? A(9))/A(9)=5145≈ % (2)i5 =(A(5) ? A(4))/A(4) ()()()54410 9 109 100(1 0.1)100(1 0.1) 10% 100(1 0.1)100(1 0.1)100(1 0.1) i (A 10A 9)/A 9 10%100(1 0.1) +-+==++-+=-= =+ 5.解:A(7) = A(4)(1 + i5)(1 + i6)(1 + i7) ; = 1000 × × × = 6.解: 设年单利率为i 500(1 + = 615 解得i = % 设500 元需要累积t 年 500(1 + t × %) = 630 解得t = 3 年4 个月 } 7.解: 设经过t 年后，年利率达到% t 1 4%t (1 2.5%)+?=+ t ≈ 8. 解:(1 + i)11 = (1 + i)5+2*3 = XY 3 9. 解: 设实利率为i 600[(1 + i)2 ? 1] = 264 解得i = 20% ∴ A(3) = 2000(1 + i)3 = 3456 元 10.解: 设实利率为i
一、填空（每空4分，共20分） 1．一股股票价值100元，一年以后，股票价格将变为130元或者90元。假设相应的衍生产 品的价值将为U=10元或D=0元。即期的一年期无风险利率为5%。则t=0时的衍生产品 的价格_______________________________。（利用博弈论方法) 2．股票现在的价值为50元，一年后，它的价值可能是55元或40元，一年期利率为4%， 则执行价为45元的看跌期权的价格为___________________。（利用资产组合复制方法） 3．对冲就是卖出________________， 同时买进_______________。 4．Black-Scholes 公式_________________________________________________。 5．我们准备卖出1000份某公司的股票期权，这里.1,30.0,05.0,40,500=====T r X s σ 因此为了对我们卖出的1000份股票期权进行对冲，我们必须购买___________股此公司 的股票。（参考8643.0)100.1(,8554.0)060.1(==N N ） 1．（15分）假设股票价格模型参数是：.120,8.0,7.10===S d u 一个欧式看涨期权到期时间,3=t 执行价格,115=X 利率06.0=r 。请用连锁法则方法求出在0=t 时刻期权的价格。 2．（15分）假设股票价格模型参数是：85.0.100,9.0,1.10====p S d u 一个美式看跌期权到期时间,3=t 执行价格,105=X 利率05.0=r 。请用连锁法则方法求出在0=t 时刻期权的价格。 3.（10分）利用如下图的股价二叉树，并设置向下敲出的障碍为跌破65元，50=X 元，.06.0=r 求0=t 时刻看涨期权的价格。 4.（15分）若股票指数点位是702，其波动率估计值,4.0=σ指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格结算。期货合约的价格是715美元。若执行价是740美元，短期利率为7%，问这一期权的理论价格应是多少？（参考
版权所有，翻版必究 第二章习题答案 1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。 解： S=1000s 20 ?p 7%+Xs 10 ?p 7% X= 50000?1000s 20 ?p 7% s 10 ?p7% =651.72 2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。 解：设首次付款为X ，则有 10000=X+250a 48 ?p1.5% 解得 X=1489.36 3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i=1 。试计算该年金的现值。 解： PV = na?n pi 1?v n n = n 1 n = (n+1)n n 2 ?n n +2 (n+1)n 4．已知：a?n p =X ，a 2 ?n p =Y 。试 用X 和Y 表示d 。 解：a 2 ?n p =a?n p +a?n p (1?d)n 则 Y ?X 1 d=1?( X )n 5．已知：a?7 p =5.58238,a 11 ?p =7.88687,a 18 ?p =10.82760。计算i 。 解： a 18 ?p =a ?7p +a 11 ?p v 7 解得 6.证明： 1 1?v 10 = s 10?p +a ∞?p 。 s 10?p i=6.0% 北京大学数学科学学院金融数学系 第1页
版权所有，翻版必究 证明： s 10 ?p +a ∞?p (1+i)10 ?1+1 1 s 10?p = i (1+i)10 ?1 i i = 1?v 10 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。 解： PV =100a?8p3% +100a 20?p 3% =2189.716 8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然 后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%， 后15年的年利率7%。计算每年的退休金。 解：设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日 1000¨25?p8%=X¨15?p7% 解得 9．已知贴现率为10%，计算¨?8 p 。 X=8101.65 解：d=10%，则 i=1 10.求证： (1)¨?n p =a?n p +1?v n ； 1?d ?1=1 9 ¨?8 p =(1+i) 1?v 8 i =5.6953 (2)¨?n p =s??n p 1+(1+i)n 并给出两等式的实际解释。 证明：(1)¨?n p =1 ? d v n =1 ?i v n =1 ?v n i +1?v n 所以 (2)¨?n p = (1+ i)n ?1 1+i ¨?n p =a?n p +1?v n (1+i )n ?1=(1+i)n ?1 n ?1 d = i 1+i i +(1+i) 所以 ¨?n p =s??n p 1+(1+i) n
第一章 金融学简介 “权贵往来如云烟。”这句引自音乐剧《命运》的格言非常契合于金融学。昔日的光辉成就可能变为今天的一败涂地。贝尔斯登（BearStearns）、世界通讯公司（World Com）和安然公司（Enron），它们一度都是成功的典范，但是因为可疑的财务处理甚至违法行为，三家公司均被曝出巨额亏损并以破产告终。当今世界，eBay和谷歌（谷歌）都是成功的典范。它们的命运也会同世通和安然一样吗？ 金融学研究货币及管理，于经济学一样，它也解释资源是如何分配的，资源分配的过程需要时间。公司对存货、厂房和设备进行投资，回报却在将来才能收获。个体投资者建立一个资产投资组合，也是要在将来才能赚取回报。商业银行逾期未来能够赚取利息和收回本金，因此才发放贷款。任何一种情况下，都是在目前要做出财务决策，而获取回报却在将来。 由于未来是未知的，所以金融学是在不确定的世界中研究资源分配。当然了，我们可以预测未来事件，但未来事件是不确定的。不可预测的事件贯穿于财务决策，这使得财务决策更加具有不确定性，并有可能发生潜在损失。虽然投资者、投资组合经理以及企业财务经理都会积极行动管理风险，但是风险依然存在，风险就是金融领域所研究的主要因素。 金融学的划分 金融作为一个学科可以划分为三个领域：金融中介机构、投资以及商业金融。这些划分有时候比较主观，它们常会互相交叉。投资决策以及企业融资决策在当前的金融环境和金融机构之下做出.商业金融不能与投资完全割裂，因为公司能够发行和销售新的有价证券，那么一定要有人愿意投资并购买这些新的有价证券。 金融中介机构的研究，正如其名字所示，主要涉及这一学科的组织机构，包括金融资产的建立、进行有价证券交易的市场（例如，纽约股票交易所）以及金融市场的规章制度。金融资产通过投资银行家和金融中介，比如商业银行、储蓄贷款社以及人寿宝信公司建立。每一家这类金融公司把个人储蓄转移到需要资金的公司，这种转移产生金融资产。这张金融资产一旦建立，就会在二级市场上进行买卖。有价证券市场在投资者之间转移几十亿美元的金融资产，这些投资者包括从小金额投资的个人到大型互惠基金以及商业银行和保险公司的信托部门。 投资研究主要涉及个体资产的分析和建立多样化的投资组合。投资研究包括财务计划。确定投资者的财务目标、分析个人可能获取的各种有价证券以及建立多样投资组合。当然，投资决策并不是真空做出的，金融环境在在投资决策过程中扮演一个重要角色。税收、联邦储备的货币政策、股东所需上市公司的信息流动，都能够并且确实影响买卖具体资产的决策。 企业或者商业金融的研究强调财务经理的作用。财务经理必须确定当公司负债到期时有能力履行，确定公司最佳融资来源，以及在有竞争的投资项目中分配公司资源。财务经理的工作不仅大量而且费力；在大型企业中这种工作有员工履行，并向财务总裁报告。当然，小
1、给定股票价格的二项模型，在下述情况下卖出看涨期权 S 0 S u S d X r τ 股数 50 60 40 55 1/2 1000 （1）求看涨期权的公平市场价格。 （2）假设以公平市场价格+美元卖出1000股期权，需要买入多少股股票进行套期保值，无风险利润是多少 答案：（1）d u d r S S S e S q --=τ0=56.040 6040505.005.0=--??e （2）83.2>73.2，τr e S V -?+?='00 83.2> τr e S -?+?'0 40 6005--=--=?d u S S D U =25.0股 104025.00'-=?-=?-=?d S D 753.9975.0105.005.0'-=?-=??-e 美元 则投资者卖空1000份看涨期权，卖空250股股票，借入9753美元 所以无风险利润为1.85835.005.0=?e 美元 2、假定 S 0 = 100，u=，d=，执行价格X=105，利率r=，p=，期权到期时间 t=3，请用连锁法则方法求出在t=0时该期权的价格。(答案见课本46页) 3、一只股票当前价格为30元，六个月期国债的年利率为3%，一投资者购买一份执行价格为35元的六个月后到期的美式看涨期权，假设六个月内股票不派发红利。波动率σ为. 问题：（1）、他要支付多少的期权费【参考N （=；N （）= 】 {提示：考虑判断在不派发红利情况下，利用美式看涨期权和欧式看涨期权的关系}
解析：在不派发红利情况下，美式看涨期权等同于欧式看涨期权！所以利用Ｂ—Ｓ公式，就可轻易解出来这个题！同学们注意啦，N（d1）=N（），N（d2）=N（）。给出最后结果为 4、若股票指数点位是702，其波动率估计值σ=，指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格计算，期货合约的价格是715美元。关于期货的看涨期权时间与期货相同，执行价是740美元，短期利率位7%，问这一期权的理论价格是多少（N（）=，N）= *= 解：F=715，T-t=,σ=,X=740,r= F/X=715/740=，σ(T-t)=*= d1=ln/+2= d2== G=**740) =美元 5、根据看涨期权bs定价公式证明德尔塔等于N（d1）（答案见课本122页）