2.1.2 指数函数及其性质（一）
一、学习目标：了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数
的图象和性质；本节课的重点是在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质，
本节课的难点是弄清楚底数a对于指数函数图象和性质的影响。
二、问题引领：
1、指数函数的概念、图象和性质
2、指数函数图象分布图： 如图，,,,A B C D 分别为指数函数
,,,x x x x y a y b y c y d ====的图象，则,,,a b c d 与
0、1的大小关系为01a b c d <<<<<。 三、典例剖析：
例题1：已知指数函数()(0>=a a x f x 且)1≠a 的图象经过点()2,π，求()()()012f f f -、、的值。
分析：要求()()()012f f f -、、的值，我们需要先求出指数函数()x a x f =的解析式，也就是要先求a 的值。根据函数图象过点()2,π这一条件，可以求得底数a 的值。 解： ()x a x f =的图象经过点()2,π，
()2f π∴= 即2
a π=，解得1
2
a π=
()2x f x π∴=，即：()(
)()10
12
1
01,12f f f ππππ
-====-==
。
点评：求函数解析式的典型方法是待定系数法，求指数函数需要待定的系数只有一个a ，只需要一个已知条件，就可以确定一个指数函数。
例题2：1、设1111333b a
????
<<< ? ?????
，求,,a b a a a b 的大小关系。
2、 比较235
4
0.5,1.2,1的大小。
分析：利用指数函数的单调性和特殊点比较大小。
解：1、因为函数13x y ??
= ???
在R 上为减函数，又由1111333b a
????<<< ? ?????，
所以得：01a b <<<，
因为当01a <<时，函数x
y a =为减函数，又a b <，
所以a b a a >，因为函数x y a =与x
y b =在R 上同为减函数且当0x >时，
随着x 的增大，函数x y a =比函数x
y b =减小的快，所以a a
a b <，
即b a a
a a
b <<。
2、因为函数0.5x y =在R 上为减函数，所以20
5
00.50.51<<=，又因为函数
1.2x
y =在R 上为增函数，所以30
4
1.2 1.21>=，即2354
0.51 1.2<<
点评：涉及到无理数和超越数的大小比较，一般需根据这些数的构成特点，寻求某
个函数作模型，然后将各数统一到这个模型中，利用函数单调性比较大小。
若底数相同，指数不同时，则可直接利用指数函数的单调性比较大小。
若底数不同，指数相同时，则可利用指数函数的图象分布规律进行比较大小。 若底数不同，指数也不相同，则常借助0，1等中间量进行比较。 例题3：对任意实数x ，求函数213531x x y -=+?+的值域。
分析：将函数分解成指数函数和二次函数的复合函数，分别利用指数函数的值域和二
次函数的单调性求值域。 解：()
()2
53
313x
x y =+?+=2
5113636x ?
?++ ??
? 令3(0)x t t =>，因为2
511636y t ?
?=++ ???
在()0,t ∈+∞为增函数，所以
函数213531x x y -=+?+的值域为()1,+∞。 点评：本题考查与指数函数有关的复合函数()
()2
(0,1)
x
x y k a
m a n a a =++>≠求值域问题,常用换元法,其步骤:1、换元，令(0)x
t a t =>2、得二次函数
2(0)y kt mt n t =++>，3、由二次函数2(0)y kt mt n t =++>的单调性
求y 的范围。
四、自我测评：
（一）、选择题：
1、下列函数中（1）2
2x y =（2）2x
y =（3）22x
y =（4）32x y =?（5）21x
y =-
（6）y =
）
A 0
B 1
C 2 C 3 2、 数3x
y =-的图象（ ）
A 与3x y =的图象关于y 轴对称
B 与3x
y =的图象关于坐标原点对称
C 与3
x
y -=的图象关于y 轴对称 D 与3x
y -=的图象关于坐标原点对称 3、 下列函数能使等式()()()f a b f a f b +=?恒成立的是（ ）
A y kx b =+
B x y a =
C 2y ax bx c =++
D k y x
= 4、 已知函数1x y a -=的图象恒过定点P ，则定点P 的坐标是（ ）
A （1，1）
B （1，4）
C （1，5）
D （0，1） （二）、填空题： 5、指数函数()y f x =的图象过点()1,3，则()1f f ????= 。 6
、函数y =
的定义域为 。
7、设()1
42(0)x
x f x x +=-≥，又()0f a =，则a 的值为 。
8、函数21x y =-的图象一定不过 象限。 （三）、解答题： 9、()(
),(5)2(5)x a x f x f x x ?≤?=?->??()0,1a a >≠且已知()816f =，求a 的值。
10、已知0.70.7a =，0.3
3b =，3
34c ??=- ???
，1
23d =，比较,,,a b c d 的大小。
11、若函数()f x 的定义域是()0,1，分别求函数()3x f -和函数()
1
2
1x f --的定义域。
12、求函数29231x x y a a =+?+-的值域。
§2.1.2 指数函数及其性质（一）自我测评答案
一、 选择题：1、C 2、D 3、B 4、A
二、 填空题：5、27 6、[0,)+∞ 7、1 8、二或四 三、
解答题：
9、解：()()()4864162f f f a a ====∴= 10、解：0.7x y = 在R 上是减函数0.7
000.7
0.71∴<<<
又3x
y =在R 上是增函数0
0.3
133∴=<且10.3
2
13
3b d <=<=
3
304c ??
=-< ???
，即c a b d <<<
11、解：()f x 的的定义域是()0,1，003
13x
-∴<<=，又3x y =在R 上是增函数，
0x ∴>即 函数()
3x f -的定义域为()0,+∞
同理，由1
02
11x -<-<，0112122x -=<<，2x y = 在R 上是增函数，
12x ∴<<即函数()
121x f --的定义域为()1,2
12、解：设3
x
t =()0t >，则()2221y f t t at a ==++-
（1）当0a -≤即0a ≥时，函数()f t 在()0,+∞上为增函数，因此，21y a >-，
此时，所求函数的值域为()
2
1,a -+∞。
（2）当0a <时，函数()f t 在(0,]a -上为减函数，在[,)a -+∞上为增函数，当x a =-时，222min 211y a a a =-+-=-，无最大值，此时，所求函数的值域为[1,)-+∞。
§2.1.2 指数函数及其性质（二）
一、学习目标：
理解指数函数的单调性与底数a 的关系，能运用指数函数的单调性解决一些简单的问题。本节课的重点是指数函数单调性的应用，本节课的难点是理解底数a 的值对指数函数单调性的影响，体会数形结合、分类讨论、化归等数学思想。
二、问题引领：
1．指数函数的单调性与底数a 的取值有关，因此我们常常要对a 分 和 两种情况讨论。
2．指数函数的单调性：
（1）当a ＞1时，函数y =a x
在定义域R 上为 ； （2）当0 （1）当1a >时，() f x a 在D 上为 ； （2）当01a <<时，() f x a 在D 上为 。 三、典例剖析： 例题1：写出函数2 32)31(++=x x y 的递增区间 分析：题中函数由u y )31(=与232 ++=x x u 复合而成，因为u y )3 1(=是减函数，所 以，函数232 ++=x x u 的减区间为y 关于自变量x 的增区间。 解法一：设函数的递增区间为D ，任取D x ∈1，D x ∈2，且21x x <，又0)3 1(2 32>++x x ， 则有 1) () (21≤x f x f ，对D x x ∈?21,恒成立， 要使1)31()31()31()3 ()31()3)(()](3[)2323(232 3212121222122212122212 1≤===++--+----++++++x x x x x x x x x x x x x x x x ， 对D x x ∈?21,恒成立。 又x y )3 1(=，当0≥x 时，恒有10≤ ∴需有 0)3)((2121≥++-x x x x 又21x x < 即 021<-x x 即需 0321<++x x 对D x x ∈?21,恒成立。 当231- ≤x 且 2 3 2-≤x 时，都有，0321≤++x x 对D x x ∈?21,恒成立， ∴所求递增区间为3 (,]2 -∞- 解法二：令232 ++=x x u ，则4 1)23(2-+=x u ， 当]23,(--∞∈x 时，41)23(2-+=x u 是减函数，13x y ?? = ??? 是减函数，此时， 函数2 32) 3 1(++=x x y 是增函数，所以，所求递增区间为（2 3,- ∞-）。 点评： 1．用定义法寻求函数的增区间（减区间），即寻求某一个区间D ，对于任意D x ∈1， D x ∈2，且21x x <，恒有0)()(21<-x f x f (12()()0f x f x ->)成立。 2．复合函数()x g a x f =)(问题，通常用换元法，令()t g x =，将它化归为基本初等函数(),t y a t g x ==，利用复合函数的单调性来解决，但要注意定义域的限制，掌握这种化 归的思想方法。 例题2：对于函数x m x f 211 )(+- = )(R m ∈ 1） 探索函数)(x f 的单调性。 2） 是否存在实数m ，使函数)(x f 为奇函数？ 分析：探索函数的单调性，可以直接用定义法，也可以借助复合函数的单调性判断。 （1）解法一：由题可知)(x f 的定义域为R ，任取，R x ∈1，R x ∈2，且21x x <， 则，) 21)(21(22211211)()(1 22 12121x x x x x x m m x f x f ++-=++-+-=- x y 2=在R 上是增函数 ∴21 22x x < 即 02221<-x x 又 02 11 >+x 0212>+x ∴0)()(21<-x f x f 即 )()(21x f x f < ∴)(x f 在R 上为增函数 解法二：令x t 21+=，R x ∈，02>x ，121>+x ，则 t m y 1-= x t 21+=在定义域R 上为增函数，t m y 1-=在()0,t ∈+∞上是增函数 所以，)(x f 在R 上为增函数。 （2）解法一：存在2 1 = m 使得)(x f 为奇函数。 )(x f 的定义域为R ，又)(x f 在定义域R 上为奇函数 ∴ 有()()f x f x -=-恒成立，即11 1212 x x m m -- =-+++恒成立 有21 211212 x x x m =+=++恒成立，即12m = 解法二：存在2 1 = m 使得)(x f 为奇函数。 )(x f 的定义域为R 令)(x f ＝0，得02 110 =+- m ∴21 =m ， 此时，x x f 211 21)(+-= 又121 211 2112211222121121)(++-=+-+-=+-=+-=--x x x x x x x f ∴)()(x f x f -=- ∴存在2 1 = m ，使得)(x f 为奇函数。 点评：本题（1）问探索函数单调性问题：解法一用单调性的定义求函数的增区间；解法二是利用复合函数判断单调性的方法判断函数的单调性，但需要注意，在证明题中，在利用复合函数判断单调性的方法判断函数的单调性后还需用定义证明。（2）问是已知函数的性质求参量值的问题，可以用定义法，也可以利用取特值（如：0)0(=f 或()()11f f -=-等）的方法求参量的值，但需要注意，求出参量值后，还应用定义证明)(x f 为奇函数（偶函数）。 四、自我测评： （一）选择题 1． 设1 36 x = ，则x 的取值范围是（ ） A.21x -<<- B.32x -<<- C.10x -<< D.01x << 2．若集合? ??? ??∈==A R x y y x ,)2 1 (，{ } 2 2,y y x x R B ==∈，则有（ ）。 A. B ?A B. B ?A ≠ C.B ?A D.B =A 3．函数x a y )2(-=在),(+∞-∞上是减函数，则a 的取值范围（ ）。 A.3a D.32<的，x 的取值范围（ ）。 A.(0,)(,0)+∞?-∞ B.{}0 C.()0,+∞ D.(),0-∞ （二）填空题 5. “22x y > >”的 条件。 6. 函数122 2 x x y ++-=的单调增区间为 。 7．函数124+-=x x y ，]1,0[∈x 的值域为 。 8．设c b a ,,分别是方程1)2 1(=-x x ，2)2 1(=-x x ，2)3 1(=-x x 的根，则c b a ,,的大小顺序为 。 （三）解答题： 9．已知x x a a 2) 13(>+-（0>a 且1≠a ），求x 的取值范围。 10．定义在R 上的函数)(x f y =满足对任意的21,x x ，都有1212()()()f x x f x f x +=?，且0>x 时，1)(>x f ，求函数)(x f 在定义域上的单调性。 11．已知)10()(<<-+=--a a a a a x f x x x x （1）判断)(x f 的奇偶性 （2）证明)(x f 在),0(+∞上为增函数。 12．已知定义在R 上的函数)(x f 为奇函数，在)1,0(∈x 时，3()91x x f x =+且 )1()1(f f =-，求)(x f 在［－1，1］上的解析式，并求)(x f 在11 [,]32 内的最小值。 §2.1.2 指数函数及其性质（二）自我测评答案 四、 选择题：1、A 2、B 3、D 4、D 五、 填空题：5、必要不充分条件 6、1[,)2 -+∞ 7、[1,3] 8、b c a << 六、 解答题： 9、解：当1a >时，因为函数x y a =在R 上为增函数，所以312x x -+>，即15x < 当01a <<时，因为函数x y a =在R 上为减函数，所以312x x -+<，即1 5 x > 综上：（1）当1a >时，x 的取值范围为1,5? ?-∞ ??? ； （2）当01a <<时，x 的取值范围为1 ,5??+∞ ??? 10、解：令120,0x x =>，则()21f x >，()()()220f x f f x =?，因此，()01f = 令120,x x x x =<=-，则有()()()f x x f x f x -=?-，有()01f x <<， 即，任意x R ∈，都有()0f x >成立。 任取 12,x R x R ∈∈，且12x x <，则210x x ->，有()211f x x -> 又()()120,0f x f x >>，所以，()()()()21211f x f x f x x f x =?->， 即函数)(x f 在定义域上为增函数。 11、（1）解：定义域要求0x x a a --≠，解得，0x ≠，即函数的定义域为 ()(),00,-∞?+∞ 又()()x x x x x x x x a a a a f x f x a a a a ----++-==-=---，所以，函数()f x 为奇函数。 （2）证明：任取120x x <<，则 ()()()()() 21112212112212122222122222211 1111x x x x x x x x x x x x x x x x a a a a a a a a f x f x a a a a a a a a -----++++-=-=-= -----?- 01a << ，函数x y a =在R 上为减函数，2 1220x x a a ∴-<，又1210,x a -< 2210x a -<，所以()()12f x f x <，即函数()f x 在()0,+∞上为增函数。 12、()f x 为R 上的奇函数，()()00f f ∴=-，即()00f =，又()()()111f f f -==-， 得：()()110f f =-=，设()1,0x ∈-，则()0,1x -∈，()()391 x x f x f x --=--=-+ 所以，函数()f x 在[-1，1]上的解析式： ()01301910 03109101 x x x x x x f x x x x --=???< ==???-<<+??=-? 任取1201x x <<<，则()()12f x f x -=()()12121212 1 2123339339391919191x x x x x x x x x x x x ?+-?--=+++?+ ()() 122112 (331)(33)9191x x x x x x ?--=+?+，123310x x ?-> ，3x y =在R 上是增函数，21330x x ∴->，又12910,910x x +>+>，所以，()()12f x f x >即()f x 在()0,1上是减函数，因此() f x 在11[,]32上也是减函数，即当12x =时，( )min 4 f x =。 §2.1.2 指数函数及其性质（三） 一、学习目标： 通过对实际问题的抽象和概括，能将实际问题转化为数学问题或建立数学模型，本节课的重点和难点是应用函数模型解决实际问题。体会通过建立函数模型解决实际问题的过程 二、问题引领： 应用函数模型解决实际问题，首先要把实际问题翻译成数学语言；分析实际问题所包含的数学关系；把实际问题抽象成数学问题，建立起相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去，思路可表示如下： 解决应用问题的一般步骤是：（1）审题；（2）建模；（3）求模；（4）还原。 三、典例示范 例题1：某公司2005年产煤量为13万吨，2007年的产量比2005年的产量增长了69%，求这期间的年平均增长率。若今后该公司的年产量按年平均增长率增长，问2010年，该公司的年产量为多少？（精确到0.01万吨） 分析：增长率=增长值/原产值。 解：设年平均增长率为x ， 则 %)691(13)1(132 +=+x ∴3.11=+x ∴3.0=x 即 2005年至2007年期间的平均年增长率为30%， 2008年底，该公司的产量为3 13(1)x + 2009年底，该公司的产量为4)1(13x + 2010年底，该公司的产量为≈?=+5 5 3.113)1(13x 62.75（万吨） 所以，2010年，该公司的年产量为62.75万吨。 点评： 在实际问题中，经常会遇到指数增长的模型：设原有量为N ，平均增长率为p ，则对于经过时间 x 后的总量y 可以用x p N y )1(+=表示。我们把形如 )10,(≠>∈=a a R k ka y x 且的函数称为指数型函数。 数学解答 数学化 （转化成数学问题） 问题解决 例题2：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数式，如果存入本金10000元，每期利率3.06%，试计算5期后的本利和是多少？（精确到0.1元） 分析：可以用指数型函数模型解决有关复利问题。 解：已知本金为a 元， 1期后的本利和为)1(1r a ar a y +=+=； 2期后的本利和为22)1()1()1(r a r r a r a y +=+++=； 3期后的本利和为33)1(r a y +=； …… x 期后的本利和为x r a y )1(+=。 将a ＝10000元 r ＝3.06% x ＝5 代入上式，得， y ＝10000×()5 10.0306+ ＝10000?51.0306 由计算器算得：11982.3y = 元 答：本利和y 随存期x 变化的函数式为x r a y )1(+=，5期后的本利和为11982.3元。 点评： 复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息，该问题可通过指数型函数模型x r a y )1(+=得以解决。 单利也是一种计算利息的方法，即每年都只由本金计算利息，该问题可通过一次型函数模型)1(rx a y +=来解决。 四、自我测评： （一）选择题 1． 某企业近几年的年产值如图，则年增长 率最高的是( ) A ．03-04年 B. 04-05年 C. 05-06年 D. 06-07年 2．某计算机销售价为a 元，一月份提价10%，二月份比一月份降价10%，设二月份销售价 为b 元，则（ ） A ．b a = B. b a > C. b a < D. a 、b 的大小无法确定 3．对R x ∈，定义[]x 为不超过x 的最大整数，现有某细菌在培养过程中，每小时分裂一次 （一个分裂为两个），经过x 小时，这种细菌由1个可繁殖为y 个，则y 与x 之间的函数关系为（ ） 1000 800 600 A ．)(2N x y x ∈= B.)2 (2N x y x ∈= C.[]2([0,))x y x =∈+∞ D.)(2R x y x ∈= 4．方程a x x +=? ? ? ??221有两解，则a 的取值范围（ ） 。 A. 01a << B. 1a ≥ C. 1a < D.2a ≤ （二）填空题： 5．某人2002年9月1日到银行存入一年期款m 元，若按年利率x 复利计算。则到2007年9月1日可取回 。 6．某化学物质经过100年剩余质量是原来质量的0.9576，设质量为1的此物质，经过x 年后剩留量为y ，则y 关于x 的函数关系式 。 7．已知x 满足不等式32 1122x x -+?? ?? > ? ??? ?? ，则函数()()x x x f +-=124的值域 。 8．函数x x a a x f --= 1 )(（1>a ），则下列关系正确的有 。 ①0)2()3(>-+f f ②0)2()3(=-+f f ③0)3()2(<-+f f ④0)3()2(>-+f f (三)解答题： 9．已知0a >，设:p 函数x y a =在R 上单调递增；:q 不等式2x x a +-≥的解集为R ，如果p 和q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围。 10．公司甲和公司乙共同投资一笔生意，甲公司在整整一个月中每天投资10万元，乙公司第一天投资1分钱，以后，每天乙公司投资的钱是前一天的2倍，问：一个月（31天）内甲、乙公司各投资多少万元（用计算器计算，精确0.1万元）。 11．已知人体内某物质的含量为0.48ml mg /，且已知该物质经过代谢每小时减少一半，问：至少经过多少小时，该物质在体内的含量不超过0.08/mg ml 。（精确到小时） 12．银行定期存款一年期的年利率是%25.2，二年期的年利率是%48.2，三年期的年利率是%70.2。现有现金一万元，计划三年后使用，若采用定期储蓄方式存入银行，请问应如何选择期限组合才能使其获得利润最大？ （四）错题反思： §2.1.2 指数函数及其性质（三）自我测评答案 一、选择题：1、D 2、B 3、C 4、A 二、填空题：5、()5 1m x ?+元 6、100 0.9576x y = 7、[1,0)- 8、4 三、解答题： 9、解：已知0a >，设:p 函数x y a =在R 上单调递增；若命题p 正确，需1a >； :q 不等式2x x a +-≥的解集为R ，若命题q 正确，需2a ≥； 如果p 和q 有且仅有一个正确，需12a << 10、解：公司甲和公司乙共同投资一笔生意，甲公司在整整一个月中每天投资10万元，一 个月（31天）内甲公司共投资310万元；乙公司第一天投资1分钱，以后，每天 乙公司投资的钱是前一天的2倍，钱数y 与时间x 的函数关系式为0.012x y =?，则一个月（31天）内乙公司共投资 2300.0120.0120.0122147?+?++?= （万元） 答：一个月（31天）内甲公司共投资310万元，乙公司共投资2147万元。 11、解：人体内某物质的含量为0.48ml mg /，该物质经过代谢每小时减少一半，则n 小 时后体内含量y 与时间n 的函数关系式为10.482n y ?? =? ???，要使该物质在体内含量不 超过0.08ml mg /，需10.480.082n ?? ?≤ ??? ，又n N ∈，即3n ≥。 答：至少经过3小时，该物质在体内的含量不超过0.08ml mg /。 12、解、由题意可知，共有四种方案，即 （1）若选择一年期存款，则三年后总钱数为 3 1(1 3.06%) 1.0946?+=（万元） （2）若先选择两年期存款，再选择一年期存款，则三年后总钱数为 21(1 3.69%)(1 3.06%) 1.1081?++=（万元） （3）若先选择一年期存款，再选择两年期存款，则三年后总钱数为 2 1(1 3.06%)(1 3.69%) 1.108 1?++=（万元） （4）若选择三年期存款，则三年后总钱数为 3 1(1 4.41%) 1.1382?+=（万元） 答：应选择第四种期限组合才能使其获得利润最大。 数学教案－指数函数与对数函数的性质 及其应用 教案 课题：指数函数与对数函数的性质及其应用 课型：综合课 教学目标：在复习指数函数与对数函数的特性之后，通过图像对比使学生较快的学会不求值比较指数函数与对数函数值的大小及提高对复合型函数的定义域与值域的解题技巧。 重点：指数函数与对数函数的特性。 难点：指导学生如何根据上述特性解决复合型函数的定义域与值域的问题。 教学方法：多媒体授课。 学法指导：借助列表与图像法。 教具：多媒体教学设备。 教学过程： 一、复习提问。通过找学生分别叙述指数函数与对数函数的公式及特性，加深学生的记忆。 二、展示指数函数与对数函数的一览表。并和学生们共同复习这些性质。 指数函数与对数函数关系一览表函数 性质 指数函数 y=ax （a＞0且a≠1） 对数函数 y=logax（a＞0且a≠1） 定义域 实数集r 正实数集（0，﹢∞） 值域 正实数集（0，﹢∞） 实数集r 共同的点 （0，1） （1，0） 单调性 a＞1 增函数 a＞1 增函数 0＜a＜1 减函数 0＜a＜1 减函数 函数特性 a＞1 当x＞0,y＞1 当x＞1,y＞0 当x＜0,0＜y＜1 当0＜x＜1, y＜0 0＜a＜1 当x＞0, 0＜y＜1 当x＞1, y＜0 当x＜0,y＞1 当0＜x＜1, y＞0 反函数 y=logax（a＞0且a≠1）y=ax （a＞0且a≠1） 图像 y y=(1/2)x y=2x (0,1) x y y=log2x (1,0) x y=log1/2x 三、同一坐标系中将指数函数与对数函数进行合成，观察其特点，并得出y＝log2x与y＝2x、 y＝log1/2x与y＝（1/2）x 的图像关 于直线y＝x对称，互为反函数关系。所以y＝logax与y＝ax互为反 函数关系，且y＝logax的定义域与y＝ax的值域相同，y＝logax的 值域与y＝ax的定义域相同。 y y＝(1/2)x y＝2x y＝x （0，1） y＝log2x （1，0） x y＝log1/2x 一、标题与单位 指向数学学科核心素养的课堂教学设计 ——指数函数及其性质 《数学5 必修A版》（人教版）第二章（2.1.2） 建宁一中肖秀勇 二、教学设计 （一）内容和内容解析 本节课的内容在知识体系上起到承上启下的作用。这是在学生已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上进一步研究指数函数以及指数函数的图像与性质。在实际生活中应用也非常广泛。它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。这节课在授课的时候借助了空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。 我根据所教班级的实际情况，我把这部分内容分为两节课来讲。其一，探究图象及其性质；其二，指数函数及其性质的应用。这是第一节课，所以所讲的内容是“探究图象及其性质”。作为常见函数，它一方面可以进一步深化学生对函数的理解，使学生得到较系统的函数知识和研究函的方法，另一方面也为学习对数函数、幂函数以及等比数列的学打习下坚实的基础。 （二）目标和目标解析 1、知识目标：理解并掌握指数函数的定义，熟悉指数函数的图像特点及其性质。能画出指数函数的简图，会判断指数函数的单调性，并能根据指数函数的单调性判断同底幂的大小。 2、能力目标：一方面培养学生运用信息技术解决数学问题的能力；另一方面提高学生观察分析、类比归纳和问题探究的能力。 3、情感目标：通过主动探究，合作交流学习，使学生养成积极思考，勇于探索的思想，同时培养学生的团队合作精神。 在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。 （三）教学问题诊断分析 指数函数及其性质教案 课题：指数函数及其性质(第1课时) 教材：普通高中课程标准试验教科书人教社A版，数学必修1 教学内容：第二章，基本初等函数（I）,指数函数及其性质 教学目标 知识目标：理解指数函数的概念，初步掌握指数函数的图像和性质 能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察，培养学生的探索发现能力，在学习过程中体会从具体到一般及数形结合的方法 情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。 | 教学重点﹑难点 重点：指数函数的概念和图像 难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索﹑概括指数函数的性质 教学流程设计 （一）指数函数概念的构建 1.探究：本节问题2中函数的解析式与问题1中函数的解析式有什么共同特征 师生活动：教师提出问题引导学生把对应关系概括到的形式，学生思考归纳概括共同特征 2.给出指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是 & 3.剖析概念 （1）规定底数大于零且不等于1的理由： 如果=0， 如果等等时，在实数范围内实数值不存在 如果是一个常量，对它就没有研究的必要 （2）形式上的严格性 指数函数是形式定义的函数，就像初中所学的一次函数﹑反比例函数都是形式定义的概念，因此把握指数函数的形式非常重要。在指数函数的定义表达式中，前的系数必须是1，自变量在指数的位置上，否则，不是指数函数，比如等，都不是指数函数 （二）指数函数的图像及性质 ) 1.提出问题：同学们能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的方法吗 师生活动：教师引导学生回顾需要研究函数的那些性质，讨论研究指数函数性质的方法，强调数形结合，强调函数图像在研究性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养，学生独立思考，提出研究指数函数性质的基本思路 2.画出函数的图像 师生活动：学生用描点法独立画图，教师课堂巡视，个别辅导，展示画的较好的学生的图像 指数函数及其性质 【教学目标】 1．知识与技能通过实际问题了解指数函数的实际背景；理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质。体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观：让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。培养学 生观察问题，分析问题的能力。 3．过程与方法：展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质。 【教学重难点】 重点：指数函数的概念和性质及其应用。 难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用。 【学法与教具】 1．学法：观察法、讲授法及讨论法。 2．教具：多媒体。 【教学过程】 【第一课时】 一、情境设置 ①在本章的开头，问题（1）中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)x y x x =∈≤与问题(2) t 1中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(2 ，请问这两个函数有什么共同特征。 ②这两个函数有什么共同特征 15730 1][()]2 t P =t 57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数， 即都可以用x y a =（a ＞0且a ≠1来表示）。 二、讲授新课 指数函数的定义 一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R 。 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）24y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R 。 00 0,0x x a a x a ?>?=?≤?? x 当时,等于若当时,无意义 若a ＜0，如 1(2),,8 x y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在。 若a =1，11,x y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1 x x 为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合 ( 1)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数。 我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究。 下面我们通过 先来研究a ＞1的情况 用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x y =的图象 研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2 x y =的图象。 对应学生用书P 110 基础达标 一、选择题 1．若函数y ＝(1－2a )x 是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1 2，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1 2 ) D ．(－12，1 2 ) 解析：由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数1－2a >1，解得a <0. 答案：B 2．(2010·温州十校联考)函数y ＝2x ＋1 的图象是( ) 解析：函数y ＝2x 的图象是经过定点(0,1)、在x 轴上方且单调递增的曲线，依据函数图象的画法可得函数y ＝2x ＋1 的图象单调递增且过点(0,2)，故选A. 答案：A 3．函数y ＝(12)1－ x 的单调递增区间为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(0,1) 解析：定义域为R . 设u ＝1－x ，y ＝(1 2 )u . ∵u ＝1－x 在R 上为减函数， 且y ＝(1 2)u 在(－∞，＋∞)为减函数， ∴y ＝(12)1－ x 在(－∞，＋∞)是增函数，∴选A. 答案：A 4．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－ 1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2 解析：y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－ 1.5＝21.5.因为函数y ＝2x 在R 上是增函数， 且1.8>1.5>1.44，所以y 1>y 3>y 2. 答案：D 5．已知函数f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)，则函数y ＝f (x )的图象是( ) 解析：∵f (x )＝a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1)， ∴f (x )在(0,2)内单调递减， ∴01，－10，函数y ＝(a 2－8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是______________． 解析：因为x >0时，y ＝(a 2－8)x 的值大于1恒成立，则a 2－8>1，即a 2>9，解得a >3或a <－3. 指数函数性质应用（一） 教学目标：1、掌握指数函数定义式的应用 2、会求定点，会求指数函数和其它函数综合的定义域，值域 难点，重点：性质的灵活运用 回顾指数函数的定义和性质 定义： 定义域： 值域： 过定点： 活动一：定义式的应用 例1、 若函数2(55)x y a a a =-+?为指数函数，求a 的值 例2、 若指数函数图像过点(2,4)，求(2)f 练习：函数223()(1)x x f x a m a +-=+>的图像恒过定点(1,10)，求m 活动二：过定点问题 复习平移变换(0)a > ()y f x = ()y f x a =+ ()y f x = ()y f x a =- ()y f x = ()y f x a =+ ()y f x = ()y f x a =- 例3、 函数1x y a +=过定点 思考：函数1x y a +=的图像由x y a =的图像经过怎么样的平移得到的？ 例4、 函数12x y a -=+(0,1)a a >≠过定点 思考：函数12x y a -=+(0,1)a a >≠图像由x y a =图像经过怎么样的平移得到的？ 例5、 函数3x y m =+的图像不经过第二象限，求m 的取值范围？ 思考：如果13x y m +=+呢？ 活动三：定义域、值域问题 例6、求下列函数的定义域、值域 （1）y y =153-x (3)y =2x +1 ⑷ 112x x y -+= 例7、设[0,2]x ∈求4425x x y =-?+的值域 例8、求下列函数的值域 ①31 31x x y -=+ ②3131x x y +=- 性质 （第一课时） 教学设计 教学设计 一、教材分析 指数函数是高中学生接触的第一个基本初等函数，是在初中学习了一次函数、二次函数、正（反）比例函数以后对函数学习的推进和加深，是前面学习了函数的集合定义及函数性质以后对函数更深入的第一个实例，指数函数与后面将要学习的两种函数都是高考的热点。 二、学情分析 学生已有了对函数的概念及性质的认识，能够从理性的层面来理解指数函数，学生理解的难点是底数a对函数图像及性质的影响，应用的难点在于指数函数与其他函数的综合运用。 三、教学目标 1、知识与技能：了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图像、性质及简单应用。 2、过程与方法：借助于几何画板画出具体指数函数，通过自主探索， 培养学生观察、分析、归纳等抽象思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般的抽象概括的方法。 3、情感态度与价值观：通过画指数函数的图像，体会指数函数图像的重要性，同时体现图形的对称美，激发学习兴趣，努力探究问题。 四、教学重、难点 重点：指数函数的概念、图像及其性质，底数a对函数的影响。 难点：指数函数的图像及性质，底数a对函数的影响。 五、教学学法 教法：启发诱导和合作探究相结合，引导学生主动观察与思考，合作交流、共同探索来完成本节课的教学。 学法：从学生原有的函数概念、性质等知识出发，组织、引导学生独立思考，通过合作交流、共同探索来寻求用从具体到一般的思想解决问题的方法。 六、教学过程 （一）创设情境 有一位大学毕业生到一家私营企业工作，试用期过后，老板对这位大学生很欣赏，有意留下他，就让这位大学生提出待遇方面的要求，这位学生提出了两种方案让老板选择，其一：工作一年，月薪5000；其二：工作一年，第一个月工资20元，以后每个月的工资是上个月的2倍，如果你是老板，你会如何选择呢？ 设计意图：从一个跟指数函数知识相关的有趣例子进行导入，激发学生的兴趣。 指数函数及其性质教案 一、教学目标： 1．通过观察、分析，归纳探究指数函数的概念，并能判断给出的具体函数是否是指数函数. 2. 会画指数函数的图象，从借助计算机画出的多个指数函数的图象中，能观察归纳出指数函数的的有关性质。至少能说出四条。 3.能根据图象或指数函数的性质判断两个具体的同底数的指数幂值的大小，以及具体的不同底数而同指数的两个指数幂值的大小. 4. 在学习的过程中，体会探究指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等． 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 < 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景： 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x之间,构成一个函数关系,能写出x与y之间的函数关系式吗学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y＝2x 。 问题2：一根1米长的绳子，第1次剪去绳长的一半，第2次再剪去剩余绳子的一半，剪了x 次后，绳子的剩余长度y与x有怎样的关系学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y＝1 x。 () 2 （二）导入新课： 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 设计意图：充实实例，突出底数a的取值范围，让学生体会到数学来源于生产生活实际。函数 y＝2x、y＝ 1 () 2 x分别以0 [A 基础达标] 1．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝3x －2的值域是( ) A.??? ?－53，1 B ．[－1，1] C.????1，53 D ．[0，1] 解析：选A.f (x )在R 上是增函数，由f (－1)＝－53 ，f (1)＝1得当x ∈[－1，1]时，f (x )＝3x －2的值域是??? ?－53，1. 2．设f (x )＝????12|x |，x ∈R ，那么f (x )是( ) A ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 解析：选D.f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，排除A 、C ；当x >0时，y ＝????12x 为减函数，排除B.故选D. 3．函数y ＝6x 与y ＝－6－x 的图像( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y ＝x 对称 解析：选C.y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图像关于原点对称． 4．函数y ＝????12x 2－2在下列哪个区间上是减少的( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞) 解析：选B.设u ＝x 2－2，u 在(－∞，0]是减函数，在[0，＋∞)上是增加的，y ＝????12u 是 减函数， 所以y ＝????12x 2 －2在[0，＋∞)上是减少的． 5．下列图像中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝ ????b a x 的图像只可能是( ) 解析：选A.由指数函数图像可以看出0 2.1.2指数函数及其性质教学设计 一、教学目标： 知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。 过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？ 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。 问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝0.84x 。 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 1．指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 2.1.2指数函数的性质的应用 【教学目标】 （1）能熟练说出指数函数的性质。 （2）能画出指数型函数的图像，并会求复合函数的性质。 （3）在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用，养成良好的思维习惯。 【教学重难点】 教学重点：指数函数的性质的应用。 教学难点：指数函数的性质的应用。 【教学过程】 ㈠情景导入、展示目标 1.指数函数的定义，特点是什么？ 2．请两位同学画出指数函数的图象（分两种情况画a>1与0 ３．函数)1,0(≠>=a a y a x 是 函数（就奇偶性填）． ㈢合作探究、精讲精练 探究点一：平移指数函数的图像 例１：画出函数21+=x y 的图像，并根据图像指出它的单调区间． 解析：由函数的解析式可得： 21+=x y ＝??????? -≥-<++) 1(,) 1(,2)2 1(11 x x x x 其图像分成两部分，一部分是将)2 1 1 1( +=x y （ｘ＜－１）的图 像作出，而它的图像可以看作)2 1(x y =的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的，另一部分是将)1(21 2 ≥=+x x y 的图像作出，而 它的图像可以看作将2x y =的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的． 解：图像由老师们自己画出 单调递减区间［－∞，－１］，单调递增区间［－１，＋∞］． 点评：此类函数需要先去绝对值再根据平移变换画图，单调性由图像易知。 变式训练一：已知函数)2 1 (1 +=x y (1)作出其图像； 指数函数的概念及其性质 一、单选题(共11道，每道9分) 1.若函数满足，则的值为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的解析式及运算 2.若函数是指数函数，则的值为( ) A.2 B. C. D.-2 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的解析式及运算 3.函数的定义域是( ) A.(-∞，2] B.["0，2"] C.(-∞，2) D.(0，2] 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的定义域 4.函数的值域是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的值域 5.若，则函数的值域是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的值域 6.若函数的图象恒过定点(1，2)，则b的值 A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质 7.不论a是何值，函数恒过一定点，这个定点坐标是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质 8.若函数的图象在第一、三、四象限，则有 A.， B.， C.， D.， 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质 9.函数在上是( ) A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用 10.函数在上的最小值为( ) A.-1 B.0 C.2 D.10 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用 11.已知函数，，若有，则b的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：指数函数综合题 指数函数及其性质 一 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？ y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。 问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。 y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝0.84x 。 1．指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1 ,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 练1：指出下列函数那些是指数函数： ()x x x x x y y y y x y y ?? ? ??==-=-===-ππ1)6()5(4)4(4)3()2(4)1(4 练2：若函数是指数函数，则a=------ 2．指数函数的图像及性质 在同一平面直角坐标系内画出指数函数x y2 =与 x y? ? ? ? ? = 2 1 的图象（画图步骤： 列表、描点、连线）。由学生自己画出x y3 =与 x y? ? ? ? ? = 3 1 的函数图象 然后，通过两组图象教师组织学生结合图像讨论指数函数的性质。 特别地，函数值的分布情况如下： （四）巩固与练习 例1：比较下列各题中两值的大小 数学·必修1(人教A 版) 2.1.3 指数函数及其性质(一) ?基础达标 1．函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，＋∞) 解析：由1－2x ≥0，得2x ≤1，由指数函数y ＝2x 的性质可知x ≤0. 答案：C 2．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个，……每天分裂一次，现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器的一半时需要的天数是( ) A ．5天 B ．6天 C ．8天 D ．9天 答案：D 3．若0＜a ＜1，b ＜－2，则函数y ＝a x ＋b 的图象一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：A 4．函数＝y ? ????123x －1－18的定义域是________． 6．某厂去年生产某种规格的电子元件a个，计划从今年开始的m年内，每年生产此种元件的产量比上一年增长p%，此种规格电子元件年产量y随年数x变化的函数关系是____________________．答案：y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m) ?巩固提高 7．已知a，b＞1，f(x)＝a x，g(x)＝b x，当f(x1)＝g(x2)＝2时，有x1＞x2，则a，b的大小关系是() A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．不能确定 解析：∵a＞1，b＞1， 由图示知b＞a. 答案：C . 9．若函数f(x)＝a x－1＋3恒过定点P，试求点P的坐标． 分析：研究f(x)＝a x的图象和f(x)＝a x－1＋3图象的关系，由指数函数恒过(0,1)点推导． 解析：将指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象沿x轴右移一个单位，再沿y轴向上平移3个单位，即可得到y＝a x－1＋3的图象，因为y＝a x的图象恒过(0,1)，故相应的y＝a x－1＋3恒过定点(1,4)． 指数函数及其性质 要点一、指数函数的概念： 函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x y =?，12x y =， 31x y =+等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a 大于零且不等于1： ①如果0a =，则000x x ?>? ?≤??x x 时，a 恒等于，时,a 无意义. ②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11 ,,24 x x = =???时，在实数范围内函数值不存在． ③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 （2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数x y a =与1x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c 又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数 11 2,3, (), ()23 x x x x y y y y ====的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A B <即可． 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例1．函数2 (33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【答案】2 【解析】由2 (33)x y a a a =-+是指数函数， 可得2331,0,1,a a a a ?-+=?>≠? 且解得12, 01,a a a a ==??>≠?或且，所以2a =． 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数： （1）切入点：利用指数函数的定义来判断； （2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ． 举一反三： 【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？ （1）4x y =；（2）4 y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-； （5）1 (21)(1)2 x y a a a =-> ≠且；（6）4x y -=． 指数函数及其性质 一、学习目标 1．了解指数函数的背景，以及与实际生活的联系。 2．理解指数函数概念。 3．能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质。. 二、新课导学 探究一：指数函数的概念 问题1：细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个（即 ），第2次由2个分裂成4个（即 ），第3次由4个分裂成8个（即 ），如此下去，如果第x 次分裂得到 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是 。 问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出截取x 次后，木棰剩余量y 关于x 的函数关系式是 观察这两个函数，他们有什么共同的特点？ （一）指数函数的定义 一般地，函数 叫做指数函数，x 是自变量，函数的定义域为 。 思考：1、指数函数解析式的结构特征： （1）x a 前面的系数为 （2） a 的取值范围 （3）指数只含 （二）巩固练习 1、下列函数是指数函数的序号为 ①x y ?? ? ??=51 ②25x y =? ③2x y = ④23-=x y ⑤x y 4-= ⑥x y )14.3(-=π ⑦1 2 -=x y 2、已知函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则=a 指数函数及其性质的运用 1．指数函数x a y =（1,0≠>a a 且）的图像和性质如下 （1）5.27.1和37.1 （2）1.0-8.0和2.0-8.0 （3） 3.07.1和1.39.0 3.已知下列不等式，比较m,n 的大小 （1）n 22m < （2） n 2.02.0m < 4.求下列函数的定义域及值域 （1）23y -=x （2）x 1 )21(y = （3）1 -31 y x = 第10讲 指数函数的图像及性质 一、学习目标 1．理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的性质 2．在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型. 掌握指数函数的性质及应用. 3. 逐步渗透数形结合的数学思想方法 二、重点难点 1.教学重点：利用函数的单调性求最值 2.教学难点：函数在给定区间上的最大(小)值 第一部分 知识梳理 讨论：12()2x x y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？ ②利用电脑软件画出11 5,3,(),()35x x x x y y y y ====的函数图 象. 864 2 -2 -4 -6 -8-5510 问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律. 8 6 4 2 -2-4 -6 -8-5 510 从图上看x y a =（a ＞1）与x y a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征. 问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性. 3x y = 5x y = 13x y ??= ??? 15x y ?? = ??? 0 问题3：指数函数x y a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系 图象特征 函数性质 a ＞1 0＜a ＜1 a ＞1 0＜a ＜1 向x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 函数图象都过定点（0，1） 0a =1 自左向右， 图象逐渐上升 自左向右， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图 象纵坐标都大于1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于1 x ＞0，x a ＞1 x ＞0，x a ＜1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于1 x ＜0，x a ＜1 x ＜0，x a ＞1 5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[,]x a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ； 例1：（P 66例7）比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.10.8-与0.20.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.9 3.1 1、已知0.70.90.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 2. 比较1 132a a 与的大小（a ＞0且a ≠0）. x y d =的图象，判断,,,a b c d 与1的大小关系； 2。1。2指数函数及其性质教学设计 一、教学目标： 知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质,培养学生实际应用函数的能力. 过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质.领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力. 情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中，体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？ 学生回答： y 与 x 之间的关系式，可以表示为y ＝2x 。 问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84％.求出这种物质的剩留量随时间(单位：年）变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。 学生回答： y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝0。84x 。 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 1．指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中,为什么规定“10≠>a a 且"如果不这样规定会出现什么情况？ （1）若a<0会有什么问题？（如21,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在) (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ，x a 无意义） （3）若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1，对它没有研究的必要。） 师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定0>a 且 1≠a . 练1：指出下列函数那些是指数函数： 课时分层作业(二十六) 指数函数的性质的 应用 (建议用时：60分钟) [合格基础练] 一、选择题 1．设a ＝40.9 ，b ＝8 0.48 ，c ＝? ?? ? ?12－1.5 ，则( ) A ．c >a >b B ．b >a >c C ．a >b >c D ．a >c >b D [a ＝40.9＝21.8，b ＝80.48＝21.44，c ＝? ????12－ 1.5＝21.5，因为函数y ＝2x 在R 上 是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a >c >b .] 2．若? ????122a ＋13－2a ，∴a >12.] 3．若函数f (x )＝3(2a －1)x ＋3在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A.? ? ???－∞，12 B.? ???? 12，＋∞ C.? ?? ?? 12，1∪(1，＋∞) D.? ?? ??12，1 A [由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f (x )＝3(2a －1)x ＋3 的单调性与y ＝(2a － 1)x ＋3的单调性相同．因为函数f (x )＝3(2a －1)x ＋3在R 上是减函数，所以y ＝(2a －1)x ＋3在R 上是减函数，所以2a －1<0，即a <1 2，从而实数a 的取值范围是? ? ? ??－∞，12，选A.] 4．已知函数f (x )＝3x －? ?? ?? 13x ，则f (x )( )数学教案-指数函数与对数函数的性质及其应用.doc
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