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知识讲解_指数函数及其性质_基础

指数函数及其性质

要点一、指数函数的概念：

函数y=a x

(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：

（1）形式上的严格性：只有形如y=a x

(a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x

y =?，12x

y =，

31x y =+等函数都不是指数函数．

（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：

①如果0a =，则000x x ?>?

?≤??x x

时，a 恒等于，时,a 无意义.

②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x

y =-，当11

,,24

x x =

=???时，在实数范围内函数值不存在．

③如果1a =，则11x

y ==是个常量，就没研究的必要了．

要点诠释：

（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。

当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。

（3）指数函数x

y a =与1x

y a ??

= ???

的图象关于y 轴对称。

要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（1）

① x

y a = ②x

y b = ③x y c = ④x y d =

则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c

又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数

2,3,

(),

()23

x x x x y y y y ====的图像：

要点四、指数式大小比较方法

(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法

比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：

①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A

<即可．【典型例题】

类型一、指数函数的概念

例1．函数2

(33)x

y a a a =-+是指数函数，求a 的值．【答案】2

【解析】由2

(33)x

y a a a =-+是指数函数，

可得2331,0,1,a a a a ?-+=?>≠?

且解得12,

01,a a a a ==??>≠?或且，所以2a =．

【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：

（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；

（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ．

举一反三：

【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？

（1）4x

y =；（2）4

y x =；（3）4x

y =-；（4）(4)x

y =-；

（5）1

(21)(1)2

y a a a =->

≠且；（6）4x y -=．

【答案】（1）（5）（6）

【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4x y -==14x

?? ???

，符合指数函数的定义，而（2）中底

数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数．

类型二、函数的定义域、值域

例2．求下列函数的定义域、值域.

(1)313x x

y =+；(2)y=4x -2x

+1；(4)y =为大于1的常数)

【答案】（1）R ，(0，1)；（2）R [

+∞,43)；

（3）1,2??

-+∞????

[)0,+∞；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞) [1，a)∪(a ，+∞)

【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，3x

≠-1).

∵ (13)1111313

x x x

y +-==-++，又∵ 3x >0， 1+3x

>1， ∴ 10113x <

<+， ∴ 1

1013x

-<-<+，

∴ 1

01113

<-<+， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，43)212(12)2(22+-=+-=x x x y ，∵ 2x >0， ∴ 2

12=x

即 x=-1时，y 取最小

值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,4

). (3)要使函数有意义可得到不等式21

1309

x --≥，即21233x --≥，又函数3x y =是增函数，所以

212x -≥-，即12x ≥-，即1,2??

-+∞????

，值域是[)0,+∞.

(4)∵

1112≥+-=-+x x x x ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，又∵

011≠+-≥+-x x x x 且，∴ a a

y a y x x

x x

≠=≥=-+-+11

211

21且， ∴值域为[1，a)∪(a ，+∞).

【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中

111≠+-=+-x x x 不能遗漏. 举一反三：

【变式1】求下列函数的定义域：

(1)2

-1

2x y =

(2)y =

(3)y =

0,1)y a a =>≠

【答案】（1）R ；（2）(]-3∞，；（3）[)0,+∞；（4）a>1时，(]-0∞，；0

【解析】(1)R

(2)要使原式有意义，需满足3-x ≥0，即3x ≤，即(]-3∞，．

(3) 为使得原函数有意义，需满足2x

-1≥0，即2x

≥1，故x ≥0，即[)0,+∞

(4) 为使得原函数有意义，需满足10x

a -≥，即1x

a ≤，所以a>1时，(]-0∞，；0

【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.

类型三、指数函数的单调性及其应用

例3．讨论函数221()3x x

f x -??= ?

的单调性，并求其值域．

【思路点拨】对于x ∈R ，22103x x

-??> ?

恒成立，因此可以通过作商讨论函数()f x 的单调区间．此函数

是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果．

【答案】函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数（0，3] 【解析】

解法一：∵函数()f x 的定义域为（－∞，+∞），设x 1、x 2∈（－∞，+∞）且有x 1＜x 2，

∴222

221()3x x f x -??= ?

，211

211()3x x f x -??

= ?

，

212121212

1122()()(2)2211()113()3313x x x x x x x x x x x x f x f x -----+--?? ?????

??=== ? ?????

?? ???

．（1）当x 1＜x 2＜1时，x 1+x 2＜2，即有x 1+x 2－2＜0．

又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＜0，则知2121()(2)

113x x x x -+-??

> ?

．

又对于x ∈R ，()0f x >恒成立，∴21()()f x f x >． ∴函数()f x 在（－∞，1）上单调递增．

（2）当1≤x 1＜x 2时，x 1+x 2＞2，即有x 1+x 2－2＞0．又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＞0，则知

2121()(2)

1013x x x x -+-??<< ???

．∴21()()f x f x <．

∴函数()f x 在[1，+∞）上单调递减．

综上，函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．

∵x 2―2x=(x ―1)2―1≥－1，1013<<，221

110333x x

--??

<≤= ?

???

． ∴函数()f x 的值域为（0，3]．

解法二：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3u

f u ??

= ???

．

∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3u

f u ??

= ???

在其定义域内是减函数，∴函数()

f x 在（－∞，1]内为增函数．

又1()3u

f u ??

= ???

在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数()

f x 在[1，+∞）上是减函数．

值域的求法同解法一．

【总结升华】由本例可知，研究()

f x y a =型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一

般地有：即当a ＞1时，()

f x y a

=的单调性与()y f x =的单调性相同；当0＜a ＜1时，()

f x y a

=的单调与

()y f x =的单调性相反．

举一反三：

【变式1】求函数2

x y -+-=的单调区间及值域.

【答案】3(,]2x ∈-∞上单增，在3

[,)2

x ∈+∞上单减. 1

4(0,3]

【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2

+3x-2， y=3u

；

[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域.

设u=-x 2+3x-2， y=3u

，

其中y=3u

为R 上的单调增函数，u=-x 2

+3x-2在3(,]2

x ∈-∞上单增，

u=-x 2

+3x-2在3[,)2

x ∈+∞上单减，

则2

x y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2

x ∈+∞上单减.

又u=-x 2

+3x-22311

()244

x =--+≤， 2323x x y -+-=的值域为1

4(0,3].

【变式2】求函数2

-2()(01)x x f x a a a =>≠其中，且的单调区间.

【解析】当a>1时，外层函数y=a u

在()-∞+∞，

上为增函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函

数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2

-2()(-1)x

f x a =∞在区间，上为减函数，在区间[)1+∞，

上为增函数；

当0

在()-∞+∞，上为减函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2

-2()x

f x a =在区间(1)-∞，上为增函数，在区间[)1,+∞上为减函数.

例4．证明函数1

()(1)1

x x

a f x a a -=>+在定义域上为增函数. 【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。【解析】定义域为x ∈R ，任取x 1

12121212121211(1)(1)(1)(1)

()()11(1)(1)x x x x x x x x x x a a a a a a f x f x a a a a ---+-+--=-=

++++ 121

22()

(1)(1)

x x x x a a a a -=++. ∵1210,10x x a a +>+>， ∴12(1)(1)0x x

a a ++>，

又a>1， x 1

a a <， ∴ 120x x a a -<， ∴ f(x 1)

则 1

()(1)1x x

a f x a a -=>+在定义域上为增函数. 另：12121(1)x x x x x a a a a --=-， ∵10x

a >， a>1且x 2-x 1>0，

∴211x x a ->， ∴ 2110x x

a --<.

【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后，所学的第一个具体函数.因此，在学习中，尽量体会从一般到特殊的过程.

例5．判断下列各数的大小关系：

(1)1.8a

与1.8a+1

； (2)2

-231(),3,()33

(3)22.5，(2.5)0

， 2.51()2

(4)0,1)a a >≠

【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。

【答案】（1）1.8a

<1.8a+1

（2）2-24311()<()<333 （3） 2.50 2.5

1()<(2.5)<22

（4）当a>1时，<0

【解析】

(1)因为底数1.8>1，所以函数y=1.8x

为单调增函数，

又因为a

(2)因为44133-??= ???，又13x y ??

= ???

是减函数，所以-4

-23111()<()<333?? ???，即2-24311()<()<333．

(3)因为 2.5

21>， 2.5

112??< ???

，所以 2.50 2.5

1()<(2.5)<22

(4)当a>1时，<0．

【总结升华】

(1)注意利用单调性解题的规范书写；

(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)；

(3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是“0”和“1”). 举一反三：

【变式1】比较大小：

(1)22.1与22.3 (2)3.53与3.23 (3)0.9-0.3与1.1-0.1

(4)0.90.3

与0.7

0.4

(5)11

0.2

33241.5

,(),()33

-. 【解析】

(1)22.1＜22.3

(2)3.53＞3.23.观察两函数值，底数不同，而指数不变——不是指数函数，而是y=x 3

，它为增函数.

(3)由0.9-0.3，0<0.9<1， -0.3<0?0.9-0.3

>1，

1.1>1， -0.1<0?0<1.1-0.1<1，则0.9-0.3>1.1-0.1

；

(4)由指数函数图象相对位置关系——数形结合，0.90.3>0.70.4

(5)∵0.2

0.221.5

()3-=，又函数2

()3

x y =为减函数， 001x y >?<<， ∴ 1

0.23

221()()033

>>>，

∵4()3x y =为增函数，1

x =>时，y>1，110.233422()()()333>>.

另解：幂函数13y x =为增函数，则有11

3342

()1()33

>>，(下略).

【高清课堂：指数函数 369066 例1】【变式2】利用函数的性质比较122，133，16

【答案】133>122>16

6 【解析】122=3113666

2(2)8== 121123666

33(3)9=== 作出8,9,6x

y y y ===的图象知 986x

y y y =>=>=

所以1

33>122>16

【变式3】比较1.5-0.2

， 1.30.7

， 1

()3

的大小.

【答案】7.02

.031

3.15

.1)3

2(<<- 【解析】先比较31

512.02

.0)32()32()23(5

.1与==--的大小.由于底数32∈(0，1)， ∴ x y )3

(=在R 上是减函数，∵ 05

131>>， ∴ 1)32()32()32(0051

=<<<，再考虑指数函数y=1.3x

，由于1.3>1，所以

y=1.3x

在R 上为增函数1.30.7

>1.30

=1， ∴ 7.02

.031

3.15

.1)3

2(<<-. 【总结升华】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0，1等)分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断.

例6. (分类讨论指数函数的单调性)

【思路点拨】先把被开方数变形成完全平方式的形式，然后对a 进行分类讨论，去掉绝对值。

2121

3333

33-,1--,01

a a a a a a a a ?>?===??<

举一反三：【变式1】如果21

5x x a

a +-≤（0a >，且1a ≠），求x 的取值范围．

【答案】当01a <<时，6x ≥-；当1a >时，6x ≤- 【解析】（1）当01a <<时，由于21

5x x a

a +-≤，

215x x ∴+≥-，解得6x ≥-．

（2）当1a >时，由于21

5x x a

a +-≤，

215x x ∴+≤-，解得6x ≤-．

综上所述，x 的取值范围是：当01a <<时，6x ≥-；当1a >时，6x ≤-．

类型四、判断函数的奇偶性

例7．判断下列函数的奇偶性：)()21

21()(x x f x

?+-= (()x ?为奇函数) 【答案】偶函数

【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵()x ?定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是()x ?定义域除掉

0这个元素)，令2

121)(+-=x x g ，则211222*********)(+--=+-=+-=--x

x x x x

x g )()21

21(21121121121)12(x g x

x x x -=+--=+---=+----= ∴ g(x)为奇函数，又 ∵()x ?为奇函数，∴ f(x)为偶函数.

【总结升华】求()()()f x g x x ?=?的奇偶性，可以先判断()g x 与()x ?的奇偶性，然后在根据奇·奇=偶，偶·偶=偶，奇·偶=奇，得出()f x 的奇偶性．

举一反三：

【变式1】判断函数的奇偶性：()2

21x x x

f x =+

-. 【答案】偶函数

【解析】定义域{x|x ∈R 且x ≠0}，

又112121

()()()()222

211221x x x

x x

f x x x x --=-+=-+=---- 21111111

()(1)()()222

212121x x

x x x x x f x -+=-=+-=+=---， ∴ f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数.

类型五、指数函数的图象问题

例8．如图的曲线C 1、C 2、C 3、C 4是指数函数x

y a =的图象，而1,

22a π????

∈??????

，

则图象C 1、C 2、C 3、C 4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．

【答案】

2 1

π 【解析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C 2的底数＜C 1的底数＜

C 4的底数＜C 3的底数．

【总结升华】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在y 轴的右边“底大图高”，在y 轴的左边“底大图低”．

举一反三：

【变式1】设()|31|x

f x =-，c ＜b ＜a 且()()()f c f a f b >>，则下列关系式中一定成立的是（） A ．33c b < B ．33c b > C ．332c a +> D ．332c a

+< 【答案】D

【变式2】为了得到函数935x

y =?+的图象，可以把函数3x

y =的图象( ) A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度【答案】C

【解析】注意先将函数935x

y =?+转化为2

35x y +=+，再利用图象的平移规律进行判断．

∵2

9353

x y +=?+=+，∴把函数3x

y =的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，

可得到函数935x

y =?+的图象，故选C ．

【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟

悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．

高中数学函数相关知识点整理.doc

高中数学函数相关知识点整理函数在高中数学中的地位不可动摇，考生必须掌握函数相关知识点，下面是我给大家带来的，希望对你有帮助。高中数学反比例函数知识点形如 y=k/x(k为常数且k0) 的函数，叫做反比例函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为|k|。知识点： 1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。 2.对于双曲线y=k/x ，若在分母上加减任意一个实数 (即 y=k/(xm)m 为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移) 高中数学对数函数知识点对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，

因为它们互为反函数。 (1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。 (2)对数函数的值域为全部实数集合。 (3)函数总是通过(1，0)这点。 (4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。 (5)显然对数函数无界。高中数学指数函数知识点指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得可以得到： (1) 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3) 函数图形都是下凹的。 (4) a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5) 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。

指数函数基础练习.docx

练习题一,选择题 1.下列函数是指数函数的是（） A.y = -2x B. y = 2x+, C. y = 2_x D. y=l x 2.函数y =@—2尸在R上为增函数，则a的取值范围是（） A. a>0 且a7^1 B. a>3 C. a<3 D. 2

8. 设a,b,c,d 都是不等于1的正数，y = a\y = h\y = c\y = d x 在同一?处标系中的图像如图所示，则a,b,c,d 的 10. y= 0.3戶的值域是( ) 4. (-oo,0) B.[l,+x) C.(0,l] 0.(- oo,l] 11. 当xe[-l,l]时函数/(x) = 3v -2的值域是() A. --,1 B\-1,1] C. 1,- D.[0,l 3 3 2 2 1 1 | ￡ 5 12. 化简(/沪)(—3决质)十(丄，沪 )的结果 ( ) A . 6a B ? -a C . -9a D . 9a 2 设指数函数/(x) = a x (a > 0卫主1),则下列等式中不正确的是 (0,1] B ? (04) C ? (0,+o>) 13. 14. f(nx) = [f(x)]n (n e Q) f(xyy=[f(x)]n {f(y)Y (n G N") 函数 y = (x-5)°4-(x-2p {x \ x 5,x 工 2} B . {x\x > 2} {x\x>5} D . {x\2< x < 5^x > 5} 15. 函数/(x) = 2-,A 1的值域是 16. 若指数函数y = (a + \)x 在(—oo, + 00)上是减函数，那么( A 、 0 < a < I B 、 -l