第一讲：矩形、菱形训练学习（1）—2014年中考数学四边形专题
一、矩形的学习
例题1（2013浙江省绍兴，15，5分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在AC上的点B`处，又将△CEF沿EF折叠，
使点C落在直线EB`与AD的交点C`处.则BC∶AB的值为.
例题2.（2013安徽，14，5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S2=S3+S4②S2+S4= S1+ S3
③若S3=2 S1，则S4=2 S2④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上
其中正确的结论的序号是_________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）.
相应练习一
1.（2013年吉林省，第22题、7分．）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．
（1）求证：△ADC △ECD；
（2）若BD=CD,求证四边形ADCE是矩形．
2.(2013贵州六盘水，22，12分)如图11，已知E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F .
（1）求证：△ABE ≌△FCE .
（2）连接AC 、BF ，若∠AEC =2∠ABC ，求证：四边形ABFC 为矩形.
3.（2013湖南湘潭，19，6分）如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知m BC 2=, m CD
4.5=,?=∠30DCF ,请你计算车位所占的宽度EF 约为多少米？
二、菱 形 的 学 习
例题3（2013深圳市 20 ，8分）如图7，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接AF 、CE ，
（1）求证：四边形AFCE 为菱形；
（2）设,,,AE a ED b DC c ===请写出一个a 、b 、c 三者之间的数量关系式
'A
例题4.（2013云南省，22 ，7分）(本小题 7分）如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相
交于点M ,与BD 相较于点O ，与BC 相较于N ，连接MN DN ，。
(1)求证：四边形BMDN 是菱形；
(2) 若 4 , 8 ,AB AD ==求MD 的长。
相应练习二 4.. (2013山东省聊城，19，8分）矩形ABCD 对角线相交与
O ，DE //AC ，CE //BD .
求证：四边形OCED 是菱形.
5. （2013·湖北省恩施市，题号12 分值 3）如图5，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∠A =120°，则阴影部分的面积是（ ）
A ．3
B ．2
C ．3
D ．2
三、课后巩固
1.（2013山东泰安，9，3分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC 于点E、O，连接CE，则CE的长为（）
A. 3
B.3.5
C.2.5
D.2.8
2（2011山东省潍坊市，题号22，分值10）如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC与M，交BD于E，过C作CN⊥ＡＤ于Ｎ，交ＢＤ于Ｆ，连结AF、CE.
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值。
3.（2013浙江省嘉兴市，19，8分）如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连结CE.
(1)求证:BD=EC;
(2)若∠E=50° ,求∠BAO的大小.
4.（2013北京，19，5）如图，在四边形ABCD中，对角线AC BD
，交于点E，
，，，
∠=?∠=?∠=?=
904530
BAC CED DCE DE
BE=CD的长和四边形ABCD的面积．
1. 已知：如图，点E 、G 在平行四边形ABCD 的边AD 上，EG ＝ED ，延长CE 到点F ，使得EF ＝EC 。求证：AF ∥BG 。 2. 如图所示，平行四边形ABCD 内有一点E ，满足ED ⊥AD 于D ，∠EBC ＝∠EDC ，∠ECB ＝45°。请找出与BE 相等的一条线段，并给予证明。 A B C D E 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝12cm ，∠ABC ＝80°，BD 是∠ABC 的平分线，点E 是AB 边的中点。 （1）求∠EDB 的度数；（2）求DE 的长。
4. 已知：如图，等边△ABC 的边长为a ，D 为AC 边上的一个动点，延长AB 至E ，使BE ＝CD ，连接DE ，交BC 于点P 。 （1）求证：DP ＝PE ； （2）若D 为AC 的中点，求BP 的长。 5. 如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝32°。分别以BC 、CD 为边向外作△BCE 和△DCF ，使BE ＝BC ，DF ＝DC ，∠EBC ＝∠CDF ，延长AB 交边EC 于点G ，点G 在E 、C 两点之间，连接AE 、AF 。 （1）求证：△ABE ≌△FDA ； （2）当AE ⊥AF 时，求∠EBG 的度数。 6. 如图所示，在△ABC 中，AC ＝4cm ，把△ABC 沿AC 方向平移1cm 到△A'B'C'的位置，则四边形ABB'C'的面积是△ABC 面积的多少倍？ A C'
7. 已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且EF ＝ED ，EF ⊥ED 。求证：AE 平分∠BAD 。 8 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为边BC 上一点，以AB ，BD 为邻边作平行四边形ABDE ，连接AD ，EC 。 （1）求证：△ADC ≌△ECD ； （2）若BD ＝CD ，求证：四边形ADCE 是矩形。 E C B A 9. 如图，以△ABC 的三边为边，在BC 的同侧分别另作三个等边三角形，即△ABD ，△BCE ，△ACF 。 （1）求证：四边形ADEF 是平行四边形； （2）在△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形； （3）对于任意△ABC ，四边形ADEF 是否总存在？
中考：四边形精华试题附参考答案 一、选择题 1.（深圳市龙城中学下学期质量检测数学试题）下列命题，真命题是 ( ) A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C. 在同一个圆中，相等的弦所对的弧相等 D. 对角线相等的四边形是矩形 答案：B 2.（深圳市龙城中学下学期质量检测数学试题）如图2，M 是ABCD 的AB 边中点，CM 交BD 于点E ， 则图中阴影部分的 面积ABCD 的面积的比是 ( ） A. 1:3 B.1:4 C. 1:6 D.5:12 答案：A 3.（嘉兴市秀洲区模拟）把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分叠合，如图所示．若115AEF ∠=?， 则∠1= （ ） A.50° B.55° C.60° D.65° 答案 A 4.（2010学年度武汉市九年级复习备考数学测试试卷16）如图， 直角梯形ABCD 中，AB ⊥CD ，AE ∥CD 交BC 于E ，O 是AC 的中点，3=AB ，2=AD ，3=BC ，下列结论：①∠CAE=30°；②四边形ADCE 是菱形；③ABE ADC S S ??=2；④OB ⊥CD.其中正确的结论是（ ） A ．①②④ B. ②③④ C ．①③④ D ．①②③④ 答：D 5.（2010年武汉市中考模拟数学试题（26））已知如图，在ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点BD 是对角线，AG ∥DB ，交CB 的延长线于G ，连接GF ，若AD ⊥BD.下列结论：①DE ∥BF ；②四边形BEDF 是菱形；③FG ⊥AB ；④S △BFG= 其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①② C. ①③ D. ①②④ G F E D C B A 答：D 6.（2010年武汉市中考模拟数学试题（27））如图，ABCD 、CEFG 是正方形，E 在CD 上，直 Ａ Ｂ Ｅ Ｏ Ｄ Ｃ 第4题图 （第3题图） 1 A B D C E F 14 ABCD S
四边形的证明和计算 教学目标：1、使学生牢固掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯 形的定义、性质定理和判定定理，掌握它们之间的内在联系， 并能应用这些知识去分析和解决问题。 2、通过复习提高学生逻辑推理论证的能力，发展学生数学思维 的技能，进一步激励学生自我提高的动机。关注中考中不断出 现的以特殊四边形为背景设计与三角形、相似形、圆、方程、 函数等相结合的综合题 3、如何挖掘隐含条件，合理添加辅助线，转化矛盾解决问题。 教学重点：平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性质定理、 判定定理的综合应用和综合思维、分析思维以及逻辑表达能力的 培养。 教学难点：要善于多角度寻求解决问题的途经，筛选简捷的解法、积累解决 问题的策略． 教学过程： 学生整理有关平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性 质定理和判定定理，掌握它们之间的内在联系，初步形成这些知识的网络结 构。为下面的复习做好准备。 一、 几何证明题： 例1：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ，过点D 作DE ⊥BC ，垂 足为E ，并延长DE 至F ，使EF ＝DE ．联结BF 、CD 、AC ． （1）求证：四边形ABFC 是平行四边形； （2）如果DE 2＝BE ·CE ，求证四边形ABFC 是矩形． (3)只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形．请你至少写出两种不同 图形改为：
的添加方法． 展示2011年中考23题，体现四边形在中考中的重要作用，学生独立完 成，教师巡视指导，学生交流方法，师生共同归纳考点，教师给予方法点析 (2)只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形．请你至少写出两种不同 的添加方法．(不另外添加辅助线，无需证明) 本题较为简单，意在顾及绝大多数学生，减 少对几何的畏惧心理，口答完成，提高积极 性，复习判定方法 巩固训练： 1. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、 BC 分别交于E 、F ， 求证：四边形AFCE 是菱形 分析: 由于四边形AFCE 的对角线互相垂直，那么只需证明对角线互相平 分即可，故只需证OE=OF ，而这可由证明△AOE ≌△COF 得到。 证：（略） 说明：解决此题的关键是要准确理解题意，EF 是线段AC 的垂直平分线。另 一种方法证完后还可问学生，还有其他方法吗？注重一题多解，激活学生的 思维。 学生独立完成,学生板书 分层提高题：2. 已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在BC 的延长线上，EF =EB ，EF 与CD 相交于点G ． （1） 证：GD CG GF EG ?=?； 例2.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分 别为E 、F ． (1)求证：DE=DF ．
平行四边形的证明题 一．解答题（共30小题） 1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F． （1）求证：BE=DF； （2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）． — 2．如图所示，?AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D． 求证：四边形ABCD是平行四边形． $ 3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO． #
4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． ~ 5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明． ： 6．如图，已知，?ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点． 求证：四边形MFNE是平行四边形． ! 7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA． 求证：四边形AECF是平行四边形．
8．在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形． ！ 9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE． 10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？ ; 11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C 关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数； （2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明； （3）连接AC，若正方形的边长为2，请直接写出△ACC′的面积最大值． 【答案】（1）45°；（2）BP+DP2AP，证明详见解析；（32﹣1． 【解析】 【分析】 （1）证明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝1 2 ∠ADC＝45°； （2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，从而得△PAP'是等腰直角三角形，可得结论； （3）先作高线C'G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，C'G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积． 【详解】 （1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE， 在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°， ∴AD＝C'D， ∵F是AC'的中点， ∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF， ∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝1 2 ∠ADC＝45°； （2）结论：BP+DP2AP， 理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，
∴∠PAP'＝90°， 在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAP'＝∠BAP， 由（1）可知：∠FDP＝45° ∵∠DFP＝90° ∴∠APD＝45°， ∴∠P'＝45°， ∴AP＝AP'， 在△BAP和△DAP'中， ∵ BA DA BAP DAP AP AP ' = ? ? ∠=∠ ? =' ? ? ， ∴△BAP≌△DAP'（SAS），∴BP＝DP'， ∴DP+BP＝PP'＝2AP； （3）如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C＝1 2 AC?C'G， Rt△ABC中，AB＝BC2， ∴AC22 (2)(2)2 +=，即AC为定值， 当C'G最大值，△AC'C的面积最大， 连接BD，交AC于O，当C'在BD上时，C'G最大，此时G与O重合，
热点 四边形的证明与计算 （时间：100分钟 总分：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．下列命题正确的是（ ） A ．对角线互相平分的四边形是菱形； B ．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形； D ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 2．平行四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 、∠D 四个角的度数比可能是（ ） A ．1：2：3：4 B ．2：3：2：3 C ．2：2：3：3 D ．1：2：2：3 3．如果菱形的边长是a ，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（ ） A ． 12a B a C ．a D 4．用形状、大小完全相同的图形不能进行密铺的是（ ） A ．任意三角形 B ．任意四边形 C ．正五边形 D ．正四边形 5．已知一个等腰梯形的下底与上底之差等于一腰长，?则这个等腰梯形中的较小的角的度数为（ ） A ．30° B ．60° C ．45° D ．75° 6．已知四边形ABCD 中，在①AB ∥CD ；②AD=BC ；③AB=CD ；④∠A=∠C 四个条件中，不能推出四边形ABCD 是平行四边形的条件是（ ）． A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②③ 7．如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC=12，BD=10，则AB 的长m?取值范围是（ ） A ．1 1．如图，正方形ABCD 和正方形A ′OB ′C ′是全等图形，则当正方形A?′OB ′C ′绕正方形 ABCD 的中心O 顺时针旋转的过程中． （1）四边形OECF 的面积如何变化． （2）若正方形ABCD 的面积是4，求四边形OECF 的面积． 解：在梯形ABCD 中由题设易得到： △ABD 是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°． 过点D 作DE ⊥BC ，则DE=1 2BD=23，BE=6 ．过点A 作AF ⊥BD 于F ，则AB=AD=4． 故S 梯形ABCD =12+43． 2．如图，ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，EF ⊥AC 交CD 于E ，交AB 于F ，问四边形AFCE 是菱形吗？请说明理由． 解：四边形AFCE 是菱形． ∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴OA=OC ，CE ∥AF ． ∴∠ECO=∠FAO ，∠AFO=∠CEO ． ∴△EOC ≌△FOA ，∴CE=AF ． 而CE ∥AF ，∴四边形AFCE 是平行四边形． 又∵EF 是垂直平分线，∴ AE=CE ．∴四边形AFCE 是菱形． 3．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，?垂足分别为E 、F ．求证：（1）△BDE ≌CDF ．（2）△ABC 是直角三角形时，四边形AEDF 是正方形． 19．证明：（1）,90D BC BD CD DE AB DF AC BED CFD B C 是的中点 △BDE ≌△CDF ． （2）由∠A=90°，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 知： AEDF BED CFE DE DF 四边形是矩形 矩形AEDF 是正方形．4．如图，ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且AE=CF ，问：四边形EBFD 是平行四边形吗？为什么？ 解：四边形EBFD 是平行四边形．在 ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ， 则OB=OD ，OA=OC ．又∵AE=CF ，∴OE=OF ． ∴四边形EBFD 是平行四边形．5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片 折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积． 【提示】把AF 取作△AEF 的底，AF 边上的高等于AB ＝3． 由折叠过程知，EF 经过矩形的对称中心，FD ＝BE ，AE ＝CE ＝AF ．由此可以在△ABE 中使用勾股定理求AE ，即求得AF 的长． 【答案】如图，连结AC ，交EF 于点O ， 由折叠过程可知，OA ＝OC ， ∴O 点为矩形的对称中心．E 、F 关于O 点对称，B 、D 也关于O 点对称． ∴BE ＝FD ，EC ＝AF ， 第一讲：矩形、菱形训练学习（1）—2014年中考数学四边形专题 一、矩形的学习 例题1（2013浙江省绍兴，15，5分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在AC上的点B`处，又将△CEF沿EF折叠， 使点C落在直线EB`与AD的交点C`处.则BC∶AB的值为. 例题2.（2013安徽，14，5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论： ①S1+S2=S3+S4②S2+S4= S1+ S3 ③若S3=2 S1，则S4=2 S2④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是_________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）. 相应练习一 1.（2013年吉林省，第22题、7分．）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC． （1）求证：△ADC △ECD； （2）若BD=CD,求证四边形ADCE是矩形． 2.(2013贵州六盘水，22，12分)如图11，已知E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F . （1）求证：△ABE ≌△FCE . （2）连接AC 、BF ，若∠AEC =2∠ABC ，求证：四边形ABFC 为矩形. 3.（2013湖南湘潭，19，6分）如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知m BC 2=, m CD 4.5=,?=∠30DCF ,请你计算车位所占的宽度EF 约为多少米？ 二、菱 形 的 学 习 例题3（2013深圳市 20 ，8分）如图7，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接AF 、CE ， （1）求证：四边形AFCE 为菱形； （2）设,,,AE a ED b DC c ===请写出一个a 、b 、c 三者之间的数量关系式 'A 第八部分图形与证明 知识点的把握 新的课程标准对图形与证明提出了如下要求： 1.了解证明的含义. (1)理解证明的必要性;(2)通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论;(3)结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立;(4)通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的;(5)通过实例，体会反证法的含义;(6)掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据. 2.掌握以下基本事实，作为证明的依据.(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等;(2)两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行; (3)若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边，或三边)分别相等，则这两个三角形全等;(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等. 3.利用2中的基本事实证明下列命题. (1)平行线的性质定理(内错角相等、同旁内角互补)和判定定理(内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行);(2)三角形的内角和定理及推论(三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角);(3)直角三角形全等的判定定理;(4)角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点(内心);(5)垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心);(6)三角形中位线定理;(7)等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理;(8)平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理. 4.通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值. 命题方向 经过对近几年各地的中考试题来看，直接考查本章知识的试题约占10%，普遍由圆结合其他的知识点进行考查.在主客观题中均有出现，往往是综合运用方程、函数、三角形、相似形等知识解决与圆有关的中考压轴题.除了考查几何图形的性质和应用外，还常常与应用问题、实际问题结合，对学生的探究能力和创新思维能力进行综合考查. 纵观近三年的中考命题，可以预见：用几何图形的性质、判定考查学生的逻辑推理的能力、分析和解决问题的能力、以及创新意识和实际能力.因此，考查分类讨论思想、数形结合思想以及运用观察、想象、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比等数学方法. 考试重点 一、几何图形的性质定理、判定定理的应用 本考点为基本图形的性质定理和判定定理的应用，我们要明确的基础知识有：平行线的性质定理和判定定理、三角形的内角和定理及推论、直角三角形全等的判定定理、角平分线性质定理及逆定理、垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理、等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理. 中考过程中，几何证明是必考的范围.其中是以基本图形的性质和判定定理为主.结合各方面的知识点，考虑辅助线的做法，运用综合分析法来找出条件和结论之间的关系，提高学生的解题能力、分析能力、研究探索能力.对于几何证明的题目应首先从基本知识入手，关注辅助线的做法，总结方法，积累经验，在看图和识图方面不断创新，不断提高. 【例1】已知：如图8-1，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G. 1．在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AE=CF，四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由． 2.如图，?ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED=BF，EF与AC相交于点O，求证：OA=OC． 3、如图，延长平行四边形ABCD的边BC至F、DA至E，使CF＝AE，EF与BD交于O． 试说明EF与BD互相平分 4．如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，DF=BE，DF∥BE， 求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）四边形ABCD是平行四边形． 5．如图, 在ABCD中，∠ABC＝70 ,∠ABC的平分线交AD于点E,过点D作BE的平行线交BC于点F,求∠CDF的度数. A E D B F A B C D F E 6．已知如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，且CE⊥BE。求证：BC=2CD 7.如图，平行四边形ABCD中，AB AC ⊥，1 AB=，．对角线AC BD ，相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，． （1）证明：当旋转角为90o时，四边形ABEF是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等； 8、如图，四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形． 试说明△ABE≌△CDF C 9. 已知:如图, 在ABCD中，E、F分别是AB和CD上的点，AE=CF, M、N分别是DE和BF的中点，求证.四边形ENFM是平行四边形． 10. 已知:如图, 在ABCD中，E、F分别是CD和AB上的点，AE//CF, BE交CF于点H，DF交AE于点G．求证.EG=FH． A B C D O F E 中考数学四边形选择题 （08黑龙江哈尔滨）10．如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中 点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ A ）． （A ）3cm （B ）4cm （C ）5cm （D ）6cm （08辽宁沈阳）8．如图所示，正方形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，连接AE ， 交对角线BD 于点F ，连接CF ，则图中全等三角形共有（ C ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 （08辽宁十二市）5．下列命题中正确的是（ A ） A ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B ．两条对角线相等的四边形是矩形 C ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D ．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 （08山东滨州）10、如图，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所 示，则△ABC 的面积是（ A ） 9 4x y O P D A 、10 B 、16 C 、18 D 、20 （08山东济宁）4．若梯形的面积为2 8cm ，高为2cm ，则此梯形的中位线长是（ B ） A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm （08山东聊城）9．把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，那么打开以后的形状是（ C ） A ．六边形 B ．八边形 C ．十二边形 D ．十六边形 A D C E F B 第8题图 第9题图 （08山东临沂）11．如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ B ） A ． 32 B ． 33 C ． 34 D ． 3 （08山东泰安）4．如图，下列条件之一能使 ABCD 是菱形的为（ A ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③ B ．②③ C ．③④ D ．①②③ （08山东威海）10．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为 D A ．1 B ．2 C ．2 D ．3 （08山东潍坊）3．如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD AB =，BC BD =，100A =∠，则C =∠（ ） A ．80 B ．70 C ．75 D ．60 （08山东潍坊）11．在平行四边形ABCD 中，点1A ，2A ，3A ，4A 和1C ，2C ，3C ，4C 分别是AB 和CD 的五等分点，点1B ，2B 和1D ，2D 分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形4242A B C D 的面积为1，则平行四边形ABCD 的面积为（ ） A ．2 B ．3 5 C ． 53 D ．15 （08年江苏常州）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是( B ) A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 （08年江苏连云港）7．已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则图中1∠与2∠一定不相等的是（ D ） A ． B ． C ． D ． （08年江苏南京）6．如图，将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形， 这个新的图形可以是下列图形中的（ B ） A ．三角形 B ．平行四边形 C ．矩形 D ．正方形 A B C D （第4题） A E A B D A B 1 2 3 4 B A C 1 2 B A D C B A C 1 2 D 1 2 B A D C （第6题） 2019年中考数学四边形有关的计算与证明专题卷（含答案） 一、解答题（共12题） 1.在一次课题学习中，老师让同学们合作编题．某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解． 如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE． （1）求证：四边形EFGH为平行四边形； （2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长． 2.（已知，如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连DE并延长交AB的延长线于点F，求证：AB=BF． 3.如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．求证：∠ABF=∠CBE． 4.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》） 请根据该图完成这个推论的证明过程． 证明：S矩形NFGD=S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC﹣（________+________）． 易知，S△ADC=S△ABC，________=________，________=________． 可得S矩形NFGD=S矩形EBMF． 5.如图，在?ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．（Ⅰ）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形； （Ⅱ）若菱形ABEF的周长为16，AE=4 ，求∠C的大小． 6.如图，菱形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F． （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）若∠EDF=50°，求∠BEF的度数． 7.如图，E是?ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于F，若CD=6，求BF的 长． 8.如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是了AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证： AF=BE． 四边形证明习题 1.如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E ． (1) 求∠ABD 的度数； (2)求线段BE 的长． 2.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，连接EF 、OE 、OF .求证：四边形AEOF 是菱形. 3. 在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ． （1）求证：△BEC ≌△DEC ； （2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数． 4. 已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ． （1）求证：BE = DF ； （2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论． A F D B E O A D B E F O C 5.如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点G ，E 分别是边AB ，BC 的中点，∠AEF =90o ，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ． （1）证明：∠BAE =∠FEC ； （2）证明：△AGE ≌△ECF ； （3）求△AEF 的面积． 6. 已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD AB = (如图所示)．BAD ∠的平分线AE 交BC 于点E ，联结DE ． (1) 在图中，用尺规作BAD ∠的平分线AE (保留作 图痕迹，不写作法)，并证明四边形ABED 是菱形； (2) 若?=∠60ABC ，BE EC 2=，求证：DC ED ⊥． 7. 如图，正方形ABCD 中，E F 、分别是AB BC 、边上的点，且.AE BF =求证.AF DE ⊥ 8. 如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，点D 落在点G 处，EF 为折痕． （1）求证：FGC EBC △≌△； （2）若84AB AD ==，，求四边形ECGF （阴影部分）的面积． A B C D D C F B E A 特殊四边形的证明与计算 一. 一组对边平行+一组对角相等=平行四边形 1. 四边形ABCD 中，AB//CD,D B ∠=∠,BC=6,AB=3,求四边形ABCD 的周长。 二. 平行四边形的性质与判定的贡献 2.如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ，E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE=∠BAD ，AE∠AC (1)求证：四边形ABDE 是平行四边形； (2)如果DA 平分∠BDE ，AB=5，AD=6，求AC 的长。 3.已知：如图,D,E,F 分别是∠ABC 各边上的点,且DE∠AC,DF∠AB.延长FD 至点G ，使DG=FD ，连接AG. 求证：ED 和AG 互相平分。 三.菱形四边相等为全等提供了可能 4.如图1，菱形ABCD中，点E.F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF. (1)求证：CE=CF； (2)如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB. 四. 含60?的菱形与等边三角形结合在一起 5.(1)如图，菱形ABCD 中，? =∠60C ，O 为BD 的中点，点E 在AD 上，点F 在AB 的延长线上，且?=∠120EOF ，求证：AB BF AE 21=+. (2)如图，菱形ABCD 中，? =∠60C ，O 为BD 的中点，E ，F 分别在DA ，AB 的延长线上，?=∠120EOF ，试探究AE ，BF ，AB 之间的数量关系. 五. 从对称的角度考虑菱形问题。 6. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，点E. F 分别是边AB 、BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE+PF 的最小值，则这个最小值是 。 2021模拟年中考数学复习专题练：《四边形综合》 1．如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE． （1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示． ①线段DG与BE之间的数量关系是； ②直线DG与直线BE之间的位置关系是； （2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由． （3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）． 2．如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE， （1）求证：△DHC≌△CEB； （2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH 的长； （3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当的值为时，的值为． 3．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）． （I）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标； （Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）． 4．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，DE⊥AB于点E，过点E的直线交BC于点G，且BG＝CG． （1）求证：GD＝EG． （2）若BD⊥EG垂足为O，BO＝2，DO＝4，画出图形并求出四边形ABCD的面积． （3）在（2）的条件下，以O为旋转中心顺时针旋转△GDO，得到△G′D'O，点G′落在BC上时，请直接写出G′E的长． 5．（1）【探索发现】 如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别是边BC，CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为8，则正方形ABCD的边长为． H G F E D C B A H G F E D C B A 图 特殊的平行四边形复习 探究一：中点四边形 1、探究证明： （1）如图，四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，且AC=BD ，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，猜想四边形EFGH 是什么样的图形，并证明； （2）如图，四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，且AC ⊥BD ，点 E 、 F 、 G 、 H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，猜想四边形EFGH 是什么的图形，并证明； 探究二、矩形的折叠问题 一、求角度 例1、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ''，的位置上，EC '交AD 于点G ．已知58EFG ∠=°，那么BEG ∠= °． 例2、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．(A)60° (B)75° (C)90° (D)95° 二、求线段长度 例3、如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ） （A ）34 （B ）33（C ）2 4 （D ）８ 三、求图形面积 例4、如图，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成右图并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ） A ．234cm B ．236cm C ．238cm D ．240cm 【折叠问题练习】 1．如图，四边形ABCD 为矩形纸片，把纸片 ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF 。若CD=6，则AF=（ ）. A B D E F 二、解答题重难点突破三角形、四边形的证明与计算题型四 有等腰三角形，通常作底边上的高、中线或顶角的平分线类型一 针对演练C，A交AC于点E，得△ABC，AB,BC=2,∠ABC=120°将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0<α<120°)中，1. 在△ABCAB=11111. F两点于D、分别交AC、BC 图②图① 第1题图DA的形状，并说明理由；）如图②，当α=30°时，试判断四边形BC（(1)证明：EA=FC;211. ED的长（3）在（2）的情况下，求 2的正方22的正方形ABCD与边长为连云港）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2. （2015形AEFG按图①位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上. （1）小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由； （2）如图②，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你 帮他求出此时BE的长. 图①图②第2题图 3. 如图①，在△ABC中，D是AB边的中点，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，AE,BF相交于点M，连接DE,DF. 1 图①图②图③ 第3题图 （1）DE,DF的数量关系； （2）如图②，在△ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在△ABC的内部，且∠MBC=∠MAC.过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，连接DE,DF.求证：DE=DF； （3）如图③，若将上面（2）中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论. 【答案】 针对演练 1.（1）证明：∵AB=BC, ∴∠A＝∠C, ∵△ABC绕点B顺时针旋转角α得△ABC, 11∴∠ABE=∠CBF,∠C＝∠C ,AB=BC=AB=BC, 1111∴∠A＝∠C, 1在△ABE和△CBF中，12 C??A??1?BC?AB，?1?BFC?ABE???1(ASA), BF∴△ABE≌△C1, BF∴BE=, BF=BC-∴AB-BE1. FC即EA=1是菱形，理由如下：：四边形BCDA(2)解1，，∠ABC=120°旋转角α＝30°，+30°＝150°=∠ABC+α=120°∴∠ABC1, BC，AB=∵∠ABC=120°11＝30°=，(180°-120°)∴∠A＝∠C2＝180°，ABC+∠C=150°+30°∴∠11, =150°+30°=180°∠ABC+∠A1, AD∥BCAB∥CD, ∴11 BCDA是平行四边形，∴四边形1, AB=BC又∵1. 2020年中考数学试题分类 四边形 一、选择题 10．（2020广州）如图5，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，6AB =，8BC =，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE EF +的值为（ * ）． （A ） 485 （B ）325 （C ）24 5 （D ） 12 5 【答案】C 8．（2020陕西）如图，在?ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8．E 是边BC 的中点，F 是?ABCD 内一点，且∠BFC ＝90°．连接AF 并延长，交CD 于点G ．若EF ∥AB ，则DG 的长为（ ） A ． B ． C ．3 D ．2 【解答】解：∵E 是边BC 的中点，且∠BFC ＝90°， ∴Rt △BCF 中，EF ＝BC ＝4， ∵EF ∥AB ，AB ∥CG ，E 是边BC 的中点， ∴F 是AG 的中点， ∴EF 是梯形ABCG 的中位线， ∴CG ＝2EF ﹣AB ＝3， 又∵CD ＝AB ＝5， ∴DG ＝5﹣3＝2， 故选：D ． 图5 O F E D C B A 5.（2020乐山）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，120BAD ∠=?，O 是对角线BD 的中点，过点O 作OE CD ⊥ 于点E ，连结OA ．则四边形AOED 的周长为（ ） A. 9+ B. 9+ C. 7+ D. 8 【答案】B 【详解】∵四边形ABCD 是菱形，O 是对角线BD 的中点， ∵AO∵BD ， AD=AB=4，AB∵DC ∵∵BAD=120o， ∵∵ABD=∵ADB=∵CDB=30o， ∵OE∵DC ， ∵在RtΔAOD 中，AD=4 ， AO=1 2 AD =2 ，= 在RtΔDEO 中，OE= 1 2 OD =，3=， ∵四边形AOED 的周长为 故选：B. 7.（2020贵阳）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ） A. 5 B. 20 C. 24 D. 32 【答案】B 【详解】解：如图所示，根据题意得AO ＝1842 ?=，BO ＝1 632?=， ∵四边形ABCD 是菱形， ∵AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AC∵BD ， ∵∵AOB 是直角三角形， ∵AB 5=， ∵此菱形的周长为：5×4＝20． 故选：B ． 2019年中考数学专题4：四边形证明及计算压轴题 1．把一张矩形ABCD 纸片按如图方式折叠，使点A 与点E 重合，点C 与点F 重合（E 、F 两点均 在BD 上），折痕分别为BH 、DG 。 （1）求证：△BHE ≌△DGF ； （2）若AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，求线段FG 的长。 2．以四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ． （1）如图1，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形；如图2，当 四边形ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH 的形状（不要求证明）； （2）如图3，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC =α（0°＜α＜90°）， ① 试用含α的代数式表示∠HAE ； ② 求证：HE =HG ； ③ 四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由． A B C D H E F G （第23题图2） E B F G D H A C （第23题图3） （第23题图1） A B C D H E F G 3．如图7，在一方形ABCD 中．E 为对角线AC 上一点，连接EB 、ED ， （1）求证：△BEC ≌△DEC ： （2）延长BE 交AD 于点F ，若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数． 4.直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，6AB AD ==，DE DC ⊥交AB 于E ，DF 平分∠EDC 交BC 于F ，连结EF ． （1）证明：EF CF =； （2）当tan ADE ∠= 3 1 时，求EF 的长． 5．两个大小相同且含 30角的三角板ABC 和DEC 如图①摆放，使直角顶点重合. 将图①中△DEC 绕点C 逆时针旋转 30得到图②，点F 、G 分别是CD 、DE 与AB 的交点，点H 是DE 与AC 的交点. （1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF 全等的三角形； （2）将图②中的△DEC 绕点C 逆时针旋转 45得△D 1E 1C ，点F 、G 、H 的对应点分别为 F 1、 G 1、 H 1 ，如图③.探究线段D 1F 1与AH 1之间的数量关系，并写出推理过程； （3）在（2）的条件下，若D 1E 1与CE 交于点I ，求证：G 1I =CI. D B C A E 图① D A 图② D A D 1 B C E F G H B C E F G 1 H 图③ H 1 E 1 I G F 1中考数学四边形经典证明题含答案
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