信号空间：将信号看做空间里的向量
内积：（jiang2）内积为0—正交
范数：（jiang3）
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ap6_1/chap6_1_1.htm
第一讲信号的正交分解
把实际的信号分解为信号单元是信号分析和处理中常用的方法。一方面，信号的分解使我们能了解它的性质与特征，有助于我们从中提取有用的信息，这一点，在信号的傅里叶变换中就已经体现出来了。另一方面，把信号分解之后，可以按照我们的意愿对它进行改造，对于信号压缩、分析等都有重要的意义。
信号分解的方法有很多。例如，对一离散信号，我们可把它分解成一组函数的组合，即
，式中，。
但这种分解无实用意义，因为的权重即是信号自己。另一种分解的
方法是把N点数据看成是N维空间的一个向量，我们选择该空间的单位基向量作为分解的“基”，也就是
按照这种分解方法，各正交向量的权仍是信号自己的各个分量，也无太大意义，但这一分解已经体现了“正交”分解的概念。
一般，我们可把信号看成N维空间中的的一个元素，可以是连续信号，也可以是离散信号。N可以是有限值也可以是无穷大。设是由一组向量
所张成，即
这一组向量可能是线性相关的，也可能是线性独立的。如果它们线
性独立，我们则称它们为空间中的一组“基”。各自可能是离
散的，也可能是连续的，这视而定。这样，我们可将按这样一组向量作分解，即
(6-1-1)
式中是分解系数，它们是一组离散值。因此，上式又称为信号的离散表示（Discrete Representation）。
如果是一组两两互相正交的向量，则（6-1-1）式称为的正交
展开（或正交分解）。分解系数是在各个基向量上的投影。若
N=3，其含意如图6-1-1所示。
图6-1-1 信号的正交分解
为求分解系数，我们设想在空间中另有一组向量：，这一组向
量和满足：
（6-1-2）
这样，用和（6-1-1）式两边做内积，我们有
，即：
(6-1-3a)
或(6-1-3b)
(6-1-3a)式对应连续时间信号，(6-1-3b)式对应离散时间信号。
(6-1-3)式称为信号的变换，其结果是求出一组系数；（6-1-1）
式称为信号的“综合”，或反变换。称为的“对偶
基”，或”倒数（Reciprocal）基”。（6-1-2）式的关系称为“双正交（biorthogonality）”关系（或双正交条件）。在此须特别指出的是，双正交关系指的是两组基之间各对应向量之间具有正交性。但每一组向量之间并不一定
具有正交关系，如图6-1-2所示，在二维空间中，并不是正交的，
也不是正交的，但是，，即两组基向量满足双正交关系。
图6-1-2 两组二维向量的双正交关系
如果一组基向量的对偶向量即是其自身，也即，……，
，那么这一组基向量构成了N维空间中的正交基。
若空间中的任一元素都可由一组向量作（6-1-1）式的分解，
那么我们称这一组向量是“完备（Complete）”的；如果是完备的，且是线性相关的，那么，由（6-1-1））式表示必然会存在信息的冗余，并且其对偶向量将不会是唯一的。这时，我们称构成空间的一个“标架(Frame)”。有关标架的概念可以进一步参考有关书籍。
若是完备的，且是线性无关的，则是中的一组基向量，这时，
存在且唯一，即存在（6-1-2）式的双正交关系。前已述及，若是完备的，且，则是中的正交基，其对偶向量就是自身。
（6-1-1）式又可写为
(6-1-4)
这样，可以看作在基向量上的投影。另外，此式又可写成
(6-1-5)
即基向量和其对偶向量是可以互相交换的，一个用作“分解”，一个用于“综合”，反之亦然。
给定一组基向量，要实现对信号的分解，第一步是要求出的对偶
基向量。由于和是都是空间中的基向量，所以可
表示为的线性组合，即，用对两边作内积，有
。由（6-1-2）式的关系，该式应等于
。
令
，
则，有。
显然，若为一正交基，则为单位阵，从而也为单位阵，对应则有
。
现在，我们对（6-1-1）以及（6-1-4）式的信号分解给以简单的物理解释:
和对偶基向量的内积，即，反映了信号和之间的相似性。和越接近，则越大。因此，（6-1-5）式的运算可以想象为用一把尺子去“度量”信号，这把“尺子”由所组成，各个分量可以看作是尺子
上的刻度，所以是和相比较所产生的“度量”，即权重。显然，刻度越细，“度量”效果越好。所以，对信号分解时，基函数的选择非常关键。
信号的正交分解
上一节讨论了信号分解的一般概念，现在简要介绍一下信号正交分解的概念。正交分解（或正交变换）是信号处理中最常用的一类变换。其原因是正交变换有如下一系列的重要性质：
[性质1]正交变换的基向量即是其对偶基向量，因此在计算上最为简单。如
果是离散信号，且N是有限值，那么（6-1-1）式的分解与（6-1-3）式的变换只是简单的矩阵与向量运算。
由6-1-3式，假定是实函数，则有
式中，是的正交阵，因此，这样，。即在正交变换时，
正、反变换矩阵仅是简单的转置关系，当用硬件来实现这变换时，其优点尤其突出。同时我们也看到，正交变换的正、反变换是唯一的。
[性质2]展开系数是信号在基向量上的准确投影。
由（6-1-3）式，在双正交的情况下，展开系数反映的是信号和对偶函
数之间的相似性，所以是在上的投影，也即，并不是在上
的投影，如果和有明显的不同，那么将不能反映相对基函数的
行为。反之，在正交情况下，＝，自然是在上的投影。当然，也就是准确投影。
[性质3]正交变换保证变换前后信号的能量不变，此性质又称为“保范(数)变换”。
此即帕塞瓦尔（Paseval）定理，也即，只有正交变换才满足帕塞瓦尔定理。
[性质4]信号正交分解具有最小平方近似性质。
设是张成的空间，，满足正交关系，按（6-1-1）式对分解，即。假定我们仅取前L个向量，即来重构，则有。
为衡量对近似的程度，我们用来描述之。将其展开，有，对求偏导，并使之为零。则当为最小时，必有，及
。
若空间由向量张成，即，并有
及，我们称和是
的子空间。如果：
1．，即和没有交集；
2．，即是和的并集；这时，我们称是和的直和，记作：。这些概念我们将在小波变换中用到。
[性质5]将原始信号经正交变换后得到一组离散系数。这一组系数具有减少中各分量的相关性及将的能量集中于少数系数上的功能，相关性去除的程度及能量集中的程度取决于所选择的基函数的性质。这一特性是信号与图像压缩编码的理论基础。
作为正交变换的最后一个性质，由于其重要性，我们现用定理的方式给出：[定理]：是一个原型函数，其傅立叶变换为，若是一组正交基，则。若是两组正交基，即，则
。
[证明]因为是正交基，设是它构成空间中的一个元素，则
可表示为的线性组合，即
由性质3，有,并对上式作傅里叶变换，有
注意，该式是傅立叶变换（FT）和离散时间傅立叶变换（DTFT）的混合表达式。设想，是一连续函数的抽样，抽样间隔为，则上式右边的第二部分应是
。这种FT和DTF T混合表达的形式以后还会遇到，暂时我们将记做，是周期的，周期为2π。这样得到。由帕塞瓦尔定理，有
因为，比较上面的结果，因此必有
。
余下部分留给读者证明。
由以上讨论可知，在一N维空间中，如同有无数组N个线性无关的向量一样，我们也可以找到无穷多个正交基。那么，如何选择一个“好”的正交基呢？也就是说，如何去衡量一个正交基的质量呢？
正交基的选择一般要考虑如下几个因素：
1.具有所希望的物理意义或实用意义。
如这类有关傅立叶变换的基，其物理意义就非常明确。有些正交基，其物理解释不甚明确，但有着较强的实用价值，如DCT等；
2.正交基函数应尽量简单，从而尽量减少在正、反变换时的计算量；
3.为了研究信号在局部频率以及在局部时间处的性质，我们希望所选择的基函数应能同时具有频域和时域的定位功能。前已述及，傅立叶变换的基函数在频域为函数，而时域的支撑区间是，无法满足此要求。而正交小波变换则具有时域和频域的定位功能。
4.具有好的去相关和能量集中的性能。
信号空间：将信号看做空间里的向量 内积：（jiang2）内积为0—正交 范数：（jiang3） https://www.doczj.com/doc/0e15507037.html,/zh-cn/%E6%AD%A3%E4%BA %A4 https://www.doczj.com/doc/0e15507037.html,/jsjy/kc/xhyjs/chap6/ch ap6_1/chap6_1_1.htm 第一讲信号的正交分解 把实际的信号分解为信号单元是信号分析和处理中常用的方法。一方面，信号的分解使我们能了解它的性质与特征，有助于我们从中提取有用的信息，这一点，在信号的傅里叶变换中就已经体现出来了。另一方面，把信号分解之后，可以按照我们的意愿对它进行改造，对于信号压缩、分析等都有重要的意义。 信号分解的方法有很多。例如，对一离散信号，我们可把它分解成一组函数的组合，即 ，式中，。 但这种分解无实用意义，因为的权重即是信号自己。另一种分解的 方法是把N点数据看成是N维空间的一个向量，我们选择该空间的单位基向量作为分解的“基”，也就是
按照这种分解方法，各正交向量的权仍是信号自己的各个分量，也无太大意义，但这一分解已经体现了“正交”分解的概念。 一般，我们可把信号看成N维空间中的的一个元素，可以是连续信号，也可以是离散信号。N可以是有限值也可以是无穷大。设是由一组向量 所张成，即 这一组向量可能是线性相关的，也可能是线性独立的。如果它们线 性独立，我们则称它们为空间中的一组“基”。各自可能是离 散的，也可能是连续的，这视而定。这样，我们可将按这样一组向量作分解，即 (6-1-1) 式中是分解系数，它们是一组离散值。因此，上式又称为信号的离散表示（Discrete Representation）。 如果是一组两两互相正交的向量，则（6-1-1）式称为的正交 展开（或正交分解）。分解系数是在各个基向量上的投影。若 N=3，其含意如图6-1-1所示。
正交信号：复数的，但不是复杂的 by Richard Lyons 简介 正交信号是基于复数的概念的。这些数字和它们的诸如j-operator（算符，算子），complex（复数的），imaginary（虚部的），real（实部的），orthogonal（正交的）的术语，可能比其他题目更能给数字信号处理的新手们带来心痛。如果你有点不确定复数和j=sqrt(-1)（-1开平方根）算子的实际（physical）意义，不要感觉糟糕，没关系。为什么甚至是Karl Gauss（高斯），世界最伟大的数学家之一，曾把j-operator叫做“影子们的影子”。这里，我们会给这个影子些许光亮，那样，你就再不用打正交信号心理（Psychic Hotline）热线求助了。 正交信号处理被用于科学和工程的很多领域，并且，描述在现代数字通信系统中的处理方法和实现（processing and implementation），正交信号是必须的。在这次指导课，我们会回顾复数的基础（fundamentals），并且习惯（get comfortable with）他们怎样被用于表示正交信号。接下来，我们会检查（examine）与正交信号代数符号(algebraic notation)相关的负频率的概念（notion），并且，学习说正交处理的语言（learn to speak the language of）。另外，我们将用三维的时间和频率域图（plot）来给正交信号一些实际意义。这次指导课的最后，简要的介绍了怎样通过正交采样（quadrature-sampling）的手段生成正交信号。 为什么关心正交信号？ 正交信号形式（formats），也被叫做复信号（complex signals），在很多数字信号处理应用中被使用，例如： -数字通信系统 -雷达系统 -无线电测向系统中的到达时间差处理（time difference of arrival processing in radio direction finding schemes） -相参脉冲测量系统 -天线波束形成应用 -单边带调制器（single sideband modelators） -等等。 这些应用都属于一个被称为正交处理的一般范畴，并且他们通过实现正弦（sinusoidal）信号相位的相参测量来提供额外的处理能力。 一个正弦信号是一个二维的信号。这个二维信号在某时刻的瞬时值可以用一个有两个部分组成的复数来确定，这两个部分即我们所说的实部（real part）和虚部（imaginary part）。（real和imaginary 两词，虽然很传统，但是它们在我们日常对话中的意思使它们在这里的使用显得有点不太合适。因此，通信工程师们使用同相（in-phase）和正交相位（quadrature phase）两个术语。后边更多的使用这两个术语（More on that later））。让我们来回顾这些复数的数学表示。 复数的发展和表示 为了建立我们的术语，我们定义一个实数是那些我们在日常生活中使用的数字，如一个电压，一个华氏温度，或者是你支票账户的结余。这些一维数字既可以是正的，也可以是负的，见图1（a）。在图中我们展示了一个一维的轴线，并且说，一个实数可以用轴上的一点来表示。传统上，我们把这个轴叫做实轴。
'************************************* ' 全局变量，便于主函数调用。 ' VB 6.0 的函数返回的参数偏少， ' 使用全局变量在一定程度可以解决这个问题。 '**************************************** Public A() As Single ' 协方差/相关系数矩阵A Public V() As Single '特征向量为列组成的矩阵，即空间函数V （EOF）Public T() As Single '时间系数矩阵T（PC） Public B() As Single '特征值λ（E）,按从大到小排列 Public GM() As Single '解释的方差(%)（特征向量对X场的累积贡献率）P Public GA() As Single Public GB() As Single '个体i特征向量对X场的贡献率ρ Public XF() As Single '模拟结果 '******************************************************** ' 函数名：CovarMat ' 函数用途: 计算协方差（相关系数）矩阵 ' 参数说明：矩阵下标为1：N,从1开始； ' X,存放原始观测值，二维实型数组，X(P,P)。 ' 返回：计算协方差（相关系数）矩阵。 '******************************************************* Function CovarMat(X() As Single) As Single() Dim XX() As Single Dim P As Integer, N As Integer Dim px As Single P = UBound(X, 1) N = UBound(X, 2) px = IIf(N > 0, 1 / N, 1) ReDim Preserve XX(1 To P, 1 To P) Dim iAs Integer, j As Integer, k As Integer ' 求X乘以X的转置,即A=XXˊ For i = 1 To P For j = 1 To P XX(i, j) = 0 For k = 1 To N XX(i, j) = XX(i, j) + X(i, k) * X(j, k) Next k XX(i, j) = XX(i, j) * px Next j Next i
G 正交分解法解决平衡问题 1．如图所示，用绳AO 和BO 吊起一个重100N 的物体，两绳AO 、BO 与竖直方向的夹角分别为30o 和45o ，求绳AO 和BO 对物体的拉力的大小。 2. 如图所示，重力为500N 的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重200N 的物体，当绳与水平面成60o 角时，物体静止，不计滑轮与绳的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力。 3. 要把在山上采的大理石运下来，可以修如图的斜面，如果大理石与路面的动摩擦因数为3 3，那么要使物体在斜面上匀速滑下，需要修倾角θ为多少度的路面面？ 4.如图，位于水平地面上的质量为M=100kg 的小木块，在大小为F=400N 方向与水平方向成a=300角的拉力作用下沿地面作匀速直线运动。求： （1） 物体对地面的压力多大？ θ
（2）木块与地面之间的动摩擦因数？ 5．用与竖直方向成θ=37°斜向右上方，大小为F=200N的推力把一个质量m=10kg的木块压在粗糙竖直墙壁上正好向上做匀速运动。求墙壁对木块的弹力大小和墙壁与木块间的动摩擦因数。 （g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8） 6．如图所示，水平细杆上套一环A，环A与球B间用一不可伸长轻质绳相连，质量分别为m A＝0.4 kg和m B＝0.3 kg，由于B球受到水平风力作用，使环A与球B一起向右匀速运动．运动过程中，绳始终保持与竖直方向夹角θ＝30°，重力加速度取g＝10 m/s2，求： (1)B球受到的水平风力大小； (2)环A与水平杆间的动摩擦因数．
参考答案： 1.T OA ＝73.2N T OB ＝51.95N 2.N＝327N f＝100N 3.300 4.800N 5.0.5 6. 4 7
《空间向量的正交分解及其坐标表示》 教学设计 杨华 燕大附中
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计 一、教学任务及对象 1、教学内容分析 《空间向量的正交分解及其坐标表示》是选修2-1第三章第一节的内容，前面学生已经把平面向量及其加减和数乘运算推广到空间，本节内容从空间向量的正交分解出发，学习空间最重要的基础定理——空间向量分解定理，这个定理是立体几何数量化的基础，有了这个定理，空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x,y,z）建立起一一对应的关系。 2、教学对象分析 本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了平面向量的基本原理，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但在把向量推广到空间中缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。 二、教学目标 依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下： 1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。 2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。 3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。 三、重、难点分析 重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 四、教学策略 为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略： 1．教法分析 为了充分调动学生学习的积极性，采用“学、研、导、练”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成了方法.另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣. 2．学法分析 本节课通过类比平面向量基本定理及坐标表示，推广到空间向量，让学生体会类比、推广思想，加深对向量的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．
信号与系统重点概念公 式总结 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
信号与系统重点概念及公式总结： 第一章：概论 1.信号：信号是消息的表现形式。（消息是信号的具体内容） 2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。 第二章：信号的复数表示： 1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。 常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部； 或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复 数的辐角。（复平面） 2.欧拉公式：wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解 1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n = 如果满足：n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i 2,1)(0)()(2 1 21 2==≠=?? 则称集合F 为正交函数集 如果n i K i ,2,11==，则称F 为标准正交函数集。 如果F 中的函数为复数函数 条件变为：n i K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i 2,1)()(0)()(21 21* * ==?≠=???
其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。2.正交函数集的物理意义： 一个正交函数集可以类比成一个坐标系统； 正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点； 点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。 3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。 如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ） ()∞<
第5章主成分分析与经验正交分解 5.1 主分量分析的数学模型 当存在若干个随机变量时，寻求它们的少量线性组合（即主成分），用以解释这些随机 变量，是很必要的。首先我们看一个例子。 例5．1 为了调查学生的身材状况，可以测量他们的身高(1x )、体重(2x )、胸围(3x )和坐高(4x )。可是用这4个指标表达学生身材状况不方便。但若用 1y =3.63561x +3.32422x +2.47703x +2.16504x 表示学生身体魁梧程度;用 2y =-3.97392x +1.35821x +3.73233x -1.57294x 表示学生胖瘦程度。则这两个指标(1y ,2y )很好概括了4个指标（1x -4x ）。 例中，学生不同，身高(1x )、体重(2x )、胸围(3x )和坐高(4x )不同；（1x , 2x , 3x , 4x ）是4维随机向量；1y ,2y 是他们的2个线性组合，1y ,2y 能很好表示1x , 2x , 3x , 4x 的特性。类似的问题在许多地方出现：可观测的随机变量很多,需要选出所有所有随机变 量的少数线性组合，使之尽可能刻划全部随机变量的特性，选出的线性组合就是诸多随机变量的主成分，又称为主分量。寻求随机向量主成分，并加以解释，称为主成分分析，又称为主分量分析。主成分分析在许多学科中都有应用，细节可参看张尧廷（1991）、Richard(2003),主成分分析在气象等科学中称为PCA 方法，见吴洪宝（2005）。 主成分分析的数学模型是：对于随机向量X ，想选一些常数向量i c ，用X c i '尽可能多反映随机向量X 的主要信息，也即)'(X c D i 尽量大。但是i c 的模可以无限增大，从而使 )'(X c D i 无限变大，这是我们不希望的；于是限定i c 模的大小，而改变i c 各分量的比例， 使)'(X c D i 最大；通常取i c 的模为1最方便。 定义5.1 设随机向量)',...(1p x x X =二阶矩存在，若常数向量1c ，在条件c ＝1下 使)'(X c D 最大，则称X c Y '11=是X 的第一主成分或第一主分量。 由定义可见，1Y 尽可能多地反映原来p 个随机变量变化的信息。但是一个主成分往往不能完全反映随机向量特色，必须建立其它主成分,它们也应当最能反映随机向量变化，而且他们应当与第一主成分不相关（不包含1Y 的信息）。
多进制正交振幅调制技术及其在衰落信道下实现 1.背景： 在数字通信中．调制解调方式有三种基本方式：振幅键控、频移键控和相位键控。但单纯的这三种基本方式在实际应用中都存在频谱利用率低、系统容量少等不足。而在现代通信系统中，通信用户数量不仅在不断增加，人们亦不满足传统通信系统的单一语音服务，希望进行图像、数据等多媒体信息的通信。因此，传统通信调制解调方式的容量已经越来越不能满足现代通信的要求。近年来，如何在有限的频率资源中提供高容量、高速率和高质量的多媒体综合业务，是数字通信调制解调领域中一个令人关注的课题。 通过近十多年来的研究，分别针对无线通信信道和有线通信信道的特征，提出了不同的高频谱利用率和高质量的调制解调方案。其中的QAM调制解调方案为：发送数据在比特／符号编码器内被分成速率各为原来1／2的两路信号，分别与一对正交调制分量相乘，求和后输出。接收端完成相反过程，解调出两个正交码流．均衡器补偿由信道引起的失真，判决器识别复数信号并映射回二进制信号。不过．采用QAM调制技术，信道带宽至少要等于码元速率，为了码元同步，还需要另外的带宽，一般要增加15％左右。 2.QAM基本原理： 在QAM（正交幅度调制）中，数据信号由相互正交的两个载波的幅度变化表示。模拟信号的相位调制和数字信号的PSK（相移键控）可以被认为是幅度不变、仅有相位变化的特殊的正交幅度调制。因此，模拟信号相位调制和数字信号的PSK（相移键控）也可以被认为是QAM的特例，因为其本质上就是相位调制。 QAM是一种矢量调制，将输入比特先映射（一般采用格雷码）到一个复平面（星座）上，形成复数调制符号，然后将符号的I、Q分量（对应复平面的实部和虚部，也就是水平和垂直方向）采用幅度调制，分别对应调制在相互正交（时域正交）的两个载波（coswt和sinwt）上。这样与幅度调制(AM)相比，其频谱利用率将提高1倍。QAM是幅度、相位联合调制的技术，它同时利用了载波的幅度和相位来传递信息比特，因此在最小距离相同的条件下可实现更高的频带利用率，QAM最高已达到1024-QAM（1024个样点）。样点数目越多，其传输效率越高，例如具有16个样点的16-QAM信号，每个样点表示一种矢量状态，16-QAM有16态，每4位二进制数规定了16态中的一态，16-QAM中规定了16种载波和相位的组合，16-QAM 的每个符号和周期传送4比特。 QAM调制器的原理是发送数据在比特/符号编码器（也就是串–并转换器）内被分成两
气象统计分析与预报方法 课程实验报告 实验名称 实验二 经验正交函数分解 系 别 大气科学 姓 名 学 号 班 级 应气101 实验地点 机房 实验日期 11月13日 评 分 指导老师 肖国杰 同组其他成员 一、实验内容（含实验原理介绍）：实验所提供的资料为NCEP/NCAR 59年（1948年-2006年）逐年1～12月的 850hPa 高度场资料，资料范围为（90 N -90S ，0E -360E ），网格距为2.5*2.5，纬向格点数为144，经向格点 数为73。资料为NC 格式，资料从南到北、自西向东排列，每月为一个记录，按年逐月排放，注意读取方式以及记录长度。 对（0N -90N ，60E -120W ）850hPa 高度场进行经验正交展开（EOF.FOR ），输出分析主要参数指标；绘制环流型图和相应的时间系数序列图，并加以分析。 本实验运用EOF 方法： EOF （经验正交函数分解）是针对气象要素场进行的，其基本原理是把包含p 个空间点 （变量）的场随时间变化进行分解。设抽取样本容量为n 的资料.则场中任一空间点i 和任一时间点j 的距平观测值 ij x 可看成由p 个空间函数ik v 和时间函数kj y (k=1,2,…,p)的线性组合,表示成 11221 p ij ik kj i j i j ip pj k x v y v y v y v y == =+++∑ EOF 功能是从一个气象场多次观测资料中识别出主要空间型及其时间演变规律。 EOF 展开就是将气象变量场分解为空间函数（V ）和时间函数（T ）两部分的乘积之和： X=VT 。 应用步骤： 资料预处理(距平或标准化处理) 计算协方差矩阵、用Jacobi 方法或迭代法计算协方差矩阵的特征值与特征向量、将特征值从大到小排列、计算特征向量的时间系数、计算每个特征向量的方差贡献、结果输出
2007年第4期 75 用DSP2407以及正交编码信号实现电机测速 Motor S p eed Measurin g B ased on DSP2407and Ortho g onal Codes 浙江电力 ZHE J IANG E LECT RIC POWER 光编码器精度高、抗磁干扰性能好、响 应速度快,采用光编码组成的电机测速装置能够较好地适应电机周围的环境,提高测量精度。 脉冲边缘振荡容易使电子元件错误判较,导致测速误差。采用正交编码信号能有效消除脉冲边缘振荡的影响。 普通的单片机几乎不能正确地检出正交编码。而DSP2407拥有单周期乘法指令,在捕获正交编码信号时能够及时处理正交编码,并方便地进行标幺化处理。 1正交编码及其测速原理 通常情况下如果两个周期为T 的信号S1(t )和S2(t )互相正交[1],即每个传感器发出一个方波与另一个传感器发出的方波异相90°,即两个信号为正交编码。正交编码具有良好的抗噪性能,能有效消除脉冲边缘振荡造成的干扰,在测速时能有效提高准确性。 采用在固定时间间隔内数正交编码器脉冲数量的方法估算速度和加速度[2]。两个正交编码的输入脉冲的两个边沿均被正交编码器脉冲(QEP )接口计数,QEP 电路产生的时钟频率是每个输入序列频率的四倍[3],并接入到通用定时器2或4。在计数测量速度的同 时,对每周的整倍数波形和不足整数倍的波形分别进行统计,由于码盘上的缝隙是均匀分布的,所以可以根据整圈的码数和当前零散码数的比值得出当前码盘所在的角度,因此只要知道码盘的初始位置就能测算出码盘当前的位置。 通过检验电机轴上的光学编码器产生正交编码脉冲序列中哪个序列领先,即可确定计数器增减。如果编码器A 序列领先,则计数器增加。如果编码器B 序列领先,那么计数器减少。QEP 电路的方向检测逻辑测定哪个脉冲序列的相位领先来产生方向信号作为通用定时器2或4的方向输入。如果CAP1/QEP1(EV B 为CAP4/QEP3)的输入为领先相位,选定的计数器递增计数;如果CAP2/QEP2(EV B 为CAP5/QEP4)输入的相位领先,则计数器递减计数。 如果计数器为正数的话,那么说明转轴为正转,如果计数器为负数,那么转轴为反转。 由于DSP2407是定点(F ixed p oint )DSP ,因此整数部分范围很小,要先通过标幺化才能处理大范围的数字。 2 测速装置的设计 2.1 正交编码器的选择 摘要:介绍一种采用光电正交编码器与DSP2407实现数据采集、数据计算的电机测速装置。充分发挥光电正交编码器的抗磁干扰能力和DSP 芯片的高性能处理能力,通过光电正交编码器实现标幺化测定电机的转速和方向,实验结果表明了设计方案的可行性。关键词:DSP2407;光电;正交编码器;转速;测量中图分类号:TP274+.5 文献标识码:B 文章编号:1007-1881(2007)04-0075-04 朱林鸿 (浙江理工大学,浙江 杭州310018)
51气象中的统计方法总结 2、判别分析；广东省徐闻气象局[20]用二级判别做台风登陆地段； 3、相关分析；近20年来在气象统计中用得较多的主要有典型相关（；奇异值分解（SVD）也是提取两个场的最大线性相关； 4、气象场的分解及其应用；50年代中期由Loreng引入到大气科学研究中的；4．1经验正交函数（EOF）分解；章基嘉等[30]应用经验正交函数对亚洲500hP；4．2主成份（主分量） 2、判别分析 广东省徐闻气象局[20]用二级判别做台风登陆地段的预报。Fisher、Bayes以及逐步判别等虽然在气象实际中广泛应用,但严格地说,这些方法仅当变量为正态分布时才可应用， Logistic判别对变量的基本假设条件较宽,对未经正态检验的变量应用本方法是可行的，且可用于既有连续变量又有多值离散变量的情形。吕纯濂等[21] 将Logistic判别引入中国气象界,并研究了二次Logistic判别[22]分析及逐步判别[23]在气象中的应用。 3、相关分析 近20年来在气象统计中用得较多的主要有典型相关（CCA）分析和奇异值分解（SVD）方法。CCA是提取两个气象场的最大线性相关摸态的方法。朱盛明、祝浩敏[24]在数值预报的解释应用中用典型相关分析提取有物理意义的预报因子作预报方程。陈嘉玲、谢炯光[25]用典型相关分析作中期冷空气预报。黄嘉佑[26]用典型相关分析作副高的统计动力预报。近年来发展了一种新的CCA改进方法，称为典型相关分析的BP（Barnert 和Preisendorfer）方法,在气象统计中也得到了应用[27]。 奇异值分解（SVD）也是提取两个场的最大线性相关摸态的方法，SVD 方法可以变成是两个要素场关系的扩大EOF分析。谢炯光等[28]用奇异值分解方法，求出了广东省前汛期（4-6月）西太平洋场海温与广东省降水场的6对奇异向量，来作汛期降水趋势预报。江志红等[29]用SVD方法讨论了中国夏半年降水与北太平洋海温异常的关系。
基于本征正交分解（POD ）的PIV 数据坏点辨识方法 摘要： 1.引言： 粒子图像测速技术是一种基于图像互相关的激光测速技术。在进行PIV 实验的过程的由于示踪粒子浓度不均匀、激光强度分布不均、粒子成像质量差等原因容易造成互相关峰值不确定1，出现所谓的“坏点”。最近几年发展起来的3D3CPIV 2, 3，由于在重构空间粒子场的时候会不可避免的引入虚假粒子，进一步增加了流场中了坏矢量。因此，坏矢量的剔除和重建是PIV 数据后处理的一个重要内容。一般通过对比该点误差与周围3*3或5*5邻域内平均误差来确定该点是不是坏点。目前比较通用并且效果很好的是Westerweel 和Scarano 提出的归一化中值检测方法4（normalized median test ）。考虑一个位移矢量0U 和其周围33?的相邻矢量12345678{,,,,,,,}U U U U U U U U 。用m U 表示12345678{,,,,,,,}U U U U U U U U 的中值，用i r 表示残差，定义为i i m r U U =-（i=1,2,…8）。0U 的残差用i r 的中值m r 归一化后得到下面的公式： 0*0m m U U r r ε-=+ 其中ε是与流场的平均噪音有关的量，一般设为0.1-0.2 pixel 。对于平面PIV ，*0r 的阈值设为24，大于该阈值的点被认为是坏点。其他坏点识别的方法与该方法原理相同，基本上都是基于相邻点的统计特性判断该点的性质。这种方法有缺陷，一是只能用到少量相邻点的值，忽略了流场的全场特性；二是局部相邻点的速度矢量很有可能也是坏点，导致判断的结果不可靠；三是*0r 的阈值需要根据流中坏点的多少确定，在实际运用中并不能精确的知道坏点所占的比例。因此，本文作者提出了基于POD 的坏点检测方法。该方法对周期性或类周期性流场PIV 数据的后处理有很好的效果。 本文的结构安排如下：首先在第二节简单的介绍了本征正交分解的原理，推导了POD 与流场湍动能的关系；在第三节对流场的误差进行了数值模拟，讨论了误差对POD 分解的影响以及详细的介绍了基于POD 的坏点剔除方法；一个真实PIV 计算出的流场运用该方法进行了坏点剔除并和归一化中值检测方法进行了比较，这在第四节给出；第五节是结论。 2.POD 原理 POD 是一种从统计意义上提取流场中主要流动结构的方法，可以实现对复杂非线性系统的线性降维处理。这种方法最早由Lumley （1967年）引入湍流的研究，用于辨识大尺度拟序结构，后来Berkooz 5等人对POD 方法给出了系统的介绍。POD 方法就是要找出和原流场最相似的流动模态5，对于复杂流场这样的流动模态不止一个，于是可以假设流场是一系列POD 基模态的线性组合，即： 1(,)()()K k k k t a t =≈∑ΦX U X 其中(,)U t X 是不同时刻的速度场，()k ΦX 代表POD 的第k 阶模态，()k a t 代表与第k 阶模态相关的时间系数。POD 的模态满足正交关系： ,0,,1,i j i j i j i j δ ≠== =???ΦΦ 从数学上可以从下面的公式解出()k ΦX ： k k k C λ=ΦΦ （1）
《正交信号：复数，但不复杂》 读后心得体会 姓名： 学号：
信号是信息的载体，实际的信号总是实的，但在实际应用中采用复信号却可以带来很大好处，由于实信号具有共轭对称的频谱，从信息的角度来看，其负频谱部分是冗余的，将实信号的负频谱部分去掉，只保留正频谱部分的信号，其频谱不存在共轭对称性，所对应的时域信号应为复信号。 正交信号，也称为复信号，被用于数字信号处理的很多领域，比如：数字通信系统、雷达系统、无线电测向中对到达时间差异的处理、相关脉冲测量系统、天线波束形成的应用、信号边带调制器等等。实际表示复数变量使用实部和虚部两个分量。正交信号也一样，必须用实部和虚部两路信号来表示它，两路信号传输会带来麻烦，实际信号的传输总是用实信号，而在信号处理中则用复信号。（实部和虚部的称谓是传统的叫法，在我们日常应用中一直被延用。在通信工程中分别用同相和正交相表示。） 复数具有实部和虚部，实数我们很好理解，对于虚数的难于理解，一定程度上是由于难以想像它究竟是个什么东西，就像4维以上的空间，难以在脑子里建立其形象的影像一样。对于j，这个-1的平方根，容易产生一种直觉的排斥，除了掌握能够解出数学题目的运算规则以外，一般人都不会去琢磨它有没有实际意义，有什么实际意义。在“达芬奇的密码”里，Langdon关于科学家对j的信仰以及教徒对宗教的信仰的类比，是对j之虚无缥缈和其重要性的绝妙诠释。但是，对于一个搞通信或是信号处理的人来说，由于quadrature signal 的引入，j被赋予了确确实实的物理含义。
从数学上说，虚数真正确立其地位是在十八世纪欧拉公式以及高斯复平面概念建立起来之后。欧拉公式告诉我们实数的正弦余弦与任意一个复数的关系；高斯复平面则给出了形象表示复数的方法，并暗示了实部与虚部的正交性。 欧拉公式：exp（-jφ）=cos（φ）-j sin（φ）的极坐标表达式非常有用，因为： ‐它简化了数学微分和分析： --把三角方程转换为简单的指数代数形式，而且； --复数的数学运算完全遵循实数的运算法则； ‐它使信号的相加仅仅是复数的加法(向量相加)； ‐最简洁的记法； ‐在文献中用来说明数字通信系统是如何实现与描述很直观； 这也进一步说明了正交信号为什么会被用于数字通信系统。 读过《正交信号，复数，但不复杂》全文之后，这使我们明白了正交信号和实信号之间的关系。也知道实现复指数信号和实正弦信号之间的相互转换很容易。一个复数的每个组成部分都是实数，但是，我们用特殊的方式来处理它们——用正交的方式来处理。 正交信号处理的好处有：由于对相位的确定，使coherent detection 成为可能；对于数字通信，在基带处理带通信号，可以是有效带宽减少一半，进而对于AD 的采样率要求，FFT的处理能力等都有改善，比如在OFDM系统中transmitter中在基带完成的IFFT block 等。
实习二：大气环流分型 一、实习目的及要求 本实习的目的是掌握大气环流分型的基本方法－－EOF（经验正交函数分解）；要求熟悉EOF方法和程序的应用：用相关GRADS气象绘图系统，编写数据描述文件以及GRADS执行程序，用图形输出空间向量场；并能正确分析结果数据，完成实习报告。 二、实习内容 对1948-2008年1月欧亚（20-700N；40o-140oE）500hPa位势高度场的标准化序列进行自然正交展开，绘图主要的异常环流型环流型，输出讨论EOF分析主要参数标。 三、实习步骤 1、实习资料 NCEP/NCAR 1948－2008年1月的500百帕月平均高度场资料，资料范围为（900S-900N,00-3600E) 网格距为2.50×2.50,纬向格点数为144，经向格点数为41 资料为GRD格式，资料从南到北、自西向东排列，每月为一个记录，按年逐月排放。 2、实习方法 EOF功能：从一个气象场多次观测资料中识别出典型空间场型及其时间演变规律。EOF展开就是将气象变量场分解为空间函数(V)和时间函数(T)两部分的乘积之和：X=VT。 应用步骤： ①数据输入（主程序） ②资料预处理（距平或标准化处理） call TRANSF(N,M,F,AVF,DF,KS) ③计算协方差矩阵call FORMA(N,M,MNH,F,A) ④用Jacobi方法计算协方差矩阵的特征值与特征向量 JCB(mnh,A,S,EPS） ⑤将特征值从大到小排列call ARRANG(KV,MNH,A,ER,S) ⑥计算特征向量的时间系数call TCOEFF(KVT,KV,N,M,MNH,S,F,V,ER) ⑦计算每个特征向量的方差贡献call OUTER(KV,ER) ⑧结果输出（主程序） 3、编写程序 （1)绘制1948-2008年1月欧亚地区500hPa位势平均高度场图 实习配置的GRADS数据描述文件： dset d:\nyclimate\sh2\hgt500.grd undef -9.99E+33 title monthly mean hgt from the NCEP Reanalysis
《力的正交分解》 一、教学内容分析 高中物理是对思维能力要求较高的一门学科，在学习高中物理过程中应针对其特点，采取相应的思维策略和学习方法，才能不断地提高物理思维能力，达到事半功倍的效果。力学是高中物理的基础，也是学好高中物理的关键所在，力学问题的三大基本功是受力分析，运动过程分析和矢量运算，本节重点落实三大基本功之一，矢量运算的方法之一正交分解法。本节课是在讲完力的合成与分解之后的一节方法课，正交分解法在教材中第五章第六节力的分解中只占一小部分内容，但是正交分解法是一种非常有用的矢量的运算的法则，在整个高中物理中处于非常重要的地位。安排这节课讲解力的正交分解法，为讲解牛顿运动定律的应用中应用正交分解法解决问题也提供了便利。 二、学情分析 上一节课学生对“力的分解”有一定的感性认识，本节课从生活实例出发，提出问题创设情境，引出正交分解法，通过分析，让学生体会正交分解法的优点，从而学会多个力的合成，为后面牛顿运动定律的应用时求解合力打下基础。接着引导学生利用正交分解法解决多个力作用下物体的平衡问题，体会物理与生活的密切联系，激发学生对物理的热爱。通过实例分析，强化学生的受力分析的能力，同时也巩固了正交分解法。 三、教学目标 1．知识与技能： （1）知道力的正交分解法,理解正交分解法的优点。 （2）掌握利用正交分解法求多个力的合力的思路和方法。 （3）掌握利用正交分解法解决多个共点力作用下物体的平衡的问题。 2．过程与方法： （1）培养对物体进行受力分析的能力。 （2）通过利用正交分解解决多个力的合力和多个力作用下物体的平衡问题,使学生掌握分析问题的思路和方法,提高学生灵活分析和解决问题的能力。 3．情感态度与价值观： （1）引导学生理解先分解后合成的思想，体会正交分解的优点。 （2）用正交分解法分析日常生活中的多个力的平衡问题，体会物理与生活的密切联系，激发学生对物理的热爱。
题目1 正交脉冲信号发生器 1 任务 实现正交脉冲发生器软硬件设计。 正交脉冲如下图 2 基本要求 1） 两组正交脉冲输出。 2） 第一组脉冲波形：逻辑0输出0V ，逻辑1输出5V 。 3） 第二组脉冲波形：逻辑0输出0V ，逻辑1可在-15V ~ +15V 调节。 4） T 可在50us ~ 2s 调节。 5） t = T/2。 3 扩展要求 1） t 可在0 ~ T 调节。 2） t 可在0 ~ -T 调节。 3） 其它自定义功能。 说明 包含C 文件和protuse 仿真原理图 A B T t T
#include
} void display(uint dis_data) { uchar ge,shi,bai,qian; ge = dis_data%10; shi = dis_data/10%10; bai = dis_data/100%10; qian = dis_data/1000%10; P2 = 0xdf; P0 = table[ge]; delay(1); P2 = 0xef; P0 = table[shi]; delay(1); P2 = 0xf7; P0 = table[bai]; delay(1); P2 = 0xfb; P0 = table[qian]; delay(1); P2 = 0xfe; P0 = table[dan_wei]; delay(1); } void initial(void) { TCON=0x01; TMOD=0x22; TH1=0xe7; TL1=0xe7; EA=1; ET1=1; TR1=1; } void main(void) { uint dis; uchar key; initial(); while(1) { dis=set_time;
正交分解法 在运用正交分解法解题时，一般按如下步骤： ㈠ 以力的作用点为原点作直角坐标系，标出x 轴和y 轴，如果这时物体处于平衡状态，则两轴的方向可根据自己需要选择，如果力不平衡而产生加速度，则x 轴（或y 轴）一定要和加速度的方向重合； ㈡将与坐标轴成角度的力分解成x 轴和y 轴方向的两个分力，并在图上标明，用符号F x 和F y 表示； ㈢在图上标出与x 轴或与y 轴的夹角，然后列出F x 、F y 的数学表达式。如：F 与x 轴夹角分别为θ，则 θθsin ;cos F F F F y x ==。与两轴重合的力就不需要分解了； ㈣列出x 轴方向上和各分力的合力和y 轴方向上的各分力的合力的两个方程，然后再求解。 一、 运用正交分解法典型例题 例1.物体放在粗糙的水平地面上，物体重50N ，受到斜向上方向与水平面成300角的力F 作用，F = 50N ，物体仍然静止在地面上，如图1所示，求：物体受到的摩擦力和 地面的支持力分别是多少？ 解析：对F 进行分解时，首先把F 按效果分解成竖直向上的分力和 水平向右的分力， 对物体进行受力分析如图2 所示。F 的效果可以由分解的水平方向分力F x 和竖直方向的分力F y 来代替。则： 030sin ,30cos F F F F y X == 由于物体处于静止状态时所受合力为零，则在竖直方向有： G F N =+030sin 030sin F G N -= 则在水平方向上有： 030cos F f = 例2.如图3所示，一物体放在倾角为θ的光滑斜面上，求使物体下滑的力和使物体压紧斜面的力。 解析：使物体下滑的力和使物体压紧斜面的力都是由重力引起的，把重力分解成两个互相垂直的两个力，如图4所示，其中F 1 为使物体下滑的力，F 2为物体压紧斜面的力，则： θ θcos sin 21G F G F == 3 F 1 G 图4 F 2 θ θ 300 图1 y x f F G N 图2 α
平面向量基本定理及平面向量的正交分解及坐标表示 上海曹杨二中桂思铭 一、内容和内容解析 本课时内容包含“平面向量基本定理”及"平面向量的正交分解及坐标表示”?此前的教学内容由实际问题引入向量概念，研究了向量的线性运算，集中反映了向量的几何特征，而本课时之后的内容主要是研究向量的坐标及坐标运算，并运用向量的坐标运算 来解决问题，更多的是向量的代数形态，本节内容从前面的知识中得出平面向量基本定理，并以此为基础定义向量的坐标，所以本节内容是向量中承前启后的内容? 作为一种数学工具，在中学数学中向量的优势更多地体现在沟通几何与代数，并将几何及其它的一些问题通过代数运算来研究，这样一个思辨的过程变为了一种程序化的 操作过程?向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解建立坐标系才有了依据，同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算.向量基本定理的研究综合了前面的向量知识，同时又为后继的内容作了奠基，这就决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位? 就学生的数学学习而言，这一内容也是体会数学化的一个很好的过程，它充分地展现了数学结构体系的严谨性和逻辑性，(实际上也有教材是不出现向量基本定理直接进行 向量坐标运算的，教材安排它的作用可能更多地在于体现数学结构体系的完备性)它有助于学生体会数学思维的方式和方法，培养学生进行数学的思考和数学的说理.所以它在学 生的学习上也具有十分重要的地位? 二、目标和目标解析 1.理解平面向量的基本定理，具体要求为： (1)运用已有的向量知识研究平面向量的基本定理，经历给定的向量在一组基底上 唯一分解的过程； (2)体验在解决问题过程中选择 适当的基底带来的便捷，帮助理解基底的作用； (3)将向量的“唯一分解”与实数对的“一一对应”建立联系，指出这样的对应奠