高等数学下试题及参考
答案
内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
华南农业大学期末考试试卷（A 卷
）
2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。
2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。
3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。
4．设yz u x =，则du = 。
5．级数11
(1)n
p n n
∞
=-∑，当p 满足
条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是
（ ）
A ．2x y Ce =
B ．22x y Ce =
C ．22y y e Cx =
D ．2y e Cxy =
2
．求极限(,)(0,0)lim
x y →=
（ ）
A ．14
B ．12-
C ．14-
D ．12
3．直线:3
27
x y z
L =
=-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ）
A ．直线L 平行于平面π
B ．直线L 在平面π上
C ．直线L 垂直于平面π
D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤
，则D
σ=
（ ）
A ．33()2
b a π- B ．332()3
b a π- C ．334()3
b a π
-
D ．
3
33()2
b a π- 5．下列级数收敛的是
（ ）
A ．11(1)(4)n n n ∞
=++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1
1
21n n ∞
=-∑
D
．n ∞
=
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特
解。
2. 计算二重积分22
D
x y dxdy x y
++??
，其中22
{(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求
z z x y
??+??。 4.求曲线积分()()L
x y dx x y dy ++-?，其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥，逆时
针方向。
5.
计算D
y ??，其中D
是由y =1x =-及1y =所围成的
区域。
6．
判断级数1
(1)()1n n n a n ∞
=-++∑的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收
敛。
7．将函数
1
(1)(2)
x x --展开成x 的幂级数，并求其成立的区间。
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1．抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到这椭圆的最
长与最短距离。
2. 求幂级数21
(1)(1)!n n
n n x n ∞
=-+∑的和函数。
3. 设函数()f x 和()g x 有连续导数，且(0)1f =，(0)0g =，L 为平面上任
意简单光滑闭曲线，L 围成的平面区域为D ，已知
[()()]()L
D
xydx yf x g x dy yg x d σ++=?
??，
求()f x 和()g x 。
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2015~2016学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ参考答案
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．2{(,)|210}x y y x -+> 2．3
3．920y z --= 4．1ln ln yz yz yz yzx dx zx xdy yx xdz -++ 5．01p <≤ 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．C 2．C 3．B 4．B 5．A
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 解：先求'0y y +=的通解，得x y Ce -=………………2分
采用常数变易法，设()x y h x e -=，得''()()x x y h x e h x e --=-………3分 代入原方程得'()()()x x x x h x e h x e h x e e ----+=………………4分 得21()2
x h x e C =+………………5分 故通解为12
x x y e Ce -=+………………6分 将初始条件0x =，2y =带入得3
2
C =，故特解为
13
22
x x y e e -=+…………7分
2. 计算二重积分22
D
x y
dxdy x y
++??
，其中22{(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 解：设cos ,sin x r y r θθ==………………1分 则1
0,
12sin cos r π
θθθ
≤≤
≤≤+………………3分
所以1212220sin cos cos sin D
x y r r dxdy d rdr x y r π
θθθθ
θ+++=+????………………5分 20
(sin cos 1)d π
θθθ=+-?………………6分
42
π
-=
………………7分 3. 设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求
z z x y
??+??。
解：设(,,)432sin(23)F x y z x y z x y z =-+-+-………………1分
12cos(23),44cos(23),36cos(23)
x y z F x y z F x y z F x y z =-+-=--+-=++-………………4分
2cos(23)14cos(23)4
,3[12cos(23)]3[12cos(23)]
y x z z F F z x y z z x y z x F x y z y F x y z ?+--?+-+=-==-=
?++-?++-……6分 所以
1z z x y
??+=??………………7分 4. 求曲线积分()()L
x y dx x y dy ++-?，其中L 沿222(0,0)x y a x y +=≥≥，逆
时针方向。
解：圆的参数方程为：cos ,sin (0)2
x a t y a t t π
==≤≤……………1分
20
()()(cos sin )cos (cos sin )sin L
x y dx x y dy a t a t da t a t a t da t π
++-=++-??
……3分
2
20
(cos 2sin 2)a
t t dt π
=-?
………………4分
2
2
0[sin 2cos2]2
a t t π
=+………………6分 2a =-………………7分
5.
计算D
y ??，其中D
是由y =1x =-及1y =所围成
的区域。
解：{(,)1,11}D x y y x =≤≤-≤≤………………1分
1
1
1
D
y dx y -=???………………2分
312621
12[(1)63x y -=-?+-?………………4分
13
11(||1)9
x dx -=-
-?………………5分 13
02(1)9x dx =--?………………6分
1
6=………………7分 6.
判断级数1
(1)()1n n n a n ∞
=-++∑的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对
收敛。
解：(1)()11n n a n a n n +-+=++1分 ()n n
→∞………………3分 所以级数发散。………………4分
又
(1)()1(1)(111n n n a a n n -+-=-+++5
分
(n n
a =+-6分
显然，交错级数1n n ∞
=
1n
n ∞
=都收敛，所以原级数收敛。因此
是条件收敛。………………7分
7. 将函数
1
(1)(2)
x x --展开成x 的幂级数，并求其成立的区间。
解：
111
(1)(2)12x x x x
=-----………………2分
而
1
,||11n n x x x ∞
==<-∑………………3分 211[1()](||2)2222
x x
x x =+++<-………………4分
所以
221
11[1()](1)(2)
222
x x
x x x x =+++
-+++--………………5分
10
1
(1)2
n n n x ∞
+==-
∑………………6分 成立范围||1x <………………7分
四、 解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1. 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
解：设椭圆上任一点P 的坐标为(,,)P x y z ，P 点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为222x y z ++，………………1分
构造拉格朗日函数
22222()(1)F x y z x y z x y z λμ=++++-+++-………………2分
2222022020
010
x y
z
F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ=++=??=++=??=-+=??=+-=?=++-=??………………4分
解得1
(12x =-………………5分
得两个驻点为121111(2(22
2222222
P P =-
+-+-=----+ …………………6分
7分
2. 求幂级数21
(1)(1)!n n
n n x n ∞
=-+∑的和函数。
解：因为0!n x
n x e n ∞
==∑，所以0
(1)!n n x
n x e n ∞-=-=∑，………………1分
2211
(1)(1)(11)()(1)!(1)!n n n n
n n n x n x S x n n ∞
∞
==---+==++∑∑………………2分
111
(1)(1)(1)(1)!!(1)!n n n n n n
n n n x x x n n n ∞
∞∞===---=-+-+∑∑∑………………3分
10(1)(1)11!!n n n n
x n n x x e n n ∞
∞-==--=-=-∑∑…………4分 11120(1)(1)1(1)1
[1](1)(0)(1)!!!n n m m m m x n m m x x x x x e x n m x m x --∞
∞
∞-===---==--+=--≠+∑∑∑…5分 所以
1
()(1)(1)(0)x x S x e x e x x
--=-++-≠……6分
当0x =时，()0S x =。………7分
3. 设函数()f x 和()g x 有连续导数，且(0)1f =，(0)0g =，L 为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L 围成的平面区域为D ，已知
[()()]()L
D
xydx yf x g x dy yg x d σ++=?
??，
求()f x 和()g x 。 解：由格林公式得
['()'()]()D
D
yf x g x x dxdy yg x dxdy +-=????………………2分
即['()'()()]0D
yf x g x x yg x dxdy +--=??………………3分
由于区域的任意性，'()'()()0yf x g x x yg x +--=………………4分 又由于y 的任意性，有'()()f x g x =，'()g x x =……………5分
得2
()2x g x =………………6分
所以3
()16
x f x =+………………7分
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2015~2016学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ
考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数z =的定义域为 。
2. 已知向量235a i j k =-+与向量32b i mj k =+-垂直，则m = 。
3．经过(1,2,0)且通过z 轴的平面方程为 。 4．设x
z xy y
=+
，则dz = 。 5．正项级数11
(0)2n
n a a
∞
=>+∑，当a 时级数收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．微分方程22'3(1)y x y =+的通解是
（
）
A ．3arcsin y x C =+
B ．3tan()y x
C =+ C ．3arccos y x C =+
D ．3tan y x C =+
2．求极限2
24
(,)(0,0)lim x y xy x y →=+
（ ）
A ．0
B ．1
C ．不存在
D ．12
3．设有直线3210
:21030x y z L x y z +++=??
--+=?
及平面:4220x y z π-+-=，则：
（ ）
A ．直线L 平行于平面π
B ．直线L 在平面π上
C ．直线L 垂直于平面π
D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是由曲线224x y +=围成的闭区域，则2
2
x y D
e d σ+=??
（ ）
A ．4(1)2
e π
- B ．42(1)e π- C ．4(1)e π- D ．4e π
5．下列级数发散的是
（ ）
A ．132n n ∞
=∑ B
．11
(1)n n ∞-=-∑ C ．3131n n n ∞
=+∑
D
．n ∞
=
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.求微分方程'tan sec y y x x +=的通解。
2.求幂级数1(1)
n
n x n n ∞
=+∑的和函数。
3．求由方程33360x y z xyz +++-=确定隐函数(,)z z x y =在点(1,2,1)-的偏
导数
z x
??和z y ??。 4.求曲线积分L
ydx xdy +?，其中L 为圆周cos x R t =，sin y R t =上t 从0到
2
π
的一段弧。
5.计算cos()D
x y dxdy +??，其中D 是由0x =，y π=及y x =所围成的区
域。
6．已知lim n n u a →∞
=，n u 及a 都是正数，讨论级数12n
n n u ∞
=??
???
∑的敛散性。
7．将函数
13x
x
-展开成x 的幂级数，并求其成立的区间。 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1．有一上部为圆柱形、下部为圆锥形的无盖容器，容积为常数。已知
圆柱的高为H ，圆柱和圆锥的底面半径为R ，圆锥的高为h ，求容器侧面积最小时::H R h 。
2．计算曲线积分()()C
x y dx x y dy ++--?，其中C 为22
221x y a b +≤的周界。
3．设函数()f x 在(0,)+∞上连续，5
(1)2
f =
，对于一切的x ，t 满足 1
1
1
()()()xt
x t
f u du t f u du x f u du =+?
??，求()f x 。
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2015~2016学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ参考答案
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．2{(,)|220}x y y x -+≥ 2．43
- 3．20x y -= 4．21()()x
y dx x dy y
y
++-
5．1a > 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．B 2．C 3．C 4．C 5．D
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'tan sec y y x x +=的通解。
解：先求'tan 0y y x +=的通解，得cos y C x =………………3分
采用常数变易法，设()cos y h x x =，得''()cos ()sin y h x x h x x =-………4分 代入原方程得'()cos sec h x x x =………………5分 得()tan h x x C =+………………6分
故通解为sin cos y x C x =+………………7分
2. 求幂级数1(1)
n
n x n n ∞
=+∑的和函数。
解：1(1)
lim
lim 1(1)(2)n n n n
a n n a n n ρ+→∞
→∞+===++，所以1R =，………………1分 当1x =±时级数收敛，所以收敛域为[1,1]-………………2分 因为2311(11)1n x x x x x x
++++
++
=-<<-………………3分
两边积分得21
11ln(1)(11)2
1
n x x x x x n ++++=---≤<+ (4)
分
两边再积分得
23
2
(1)ln(1)(11)223
(1)(2)
n x x x x x x x n n ++++
=+---≤
两边除以x ，即得
1(1)ln(1)
(11,0)(1)
n n x x x x x x n n x ∞
=+--=-≤<≠+∑………6分
考虑0x =和1x =的情况，得
1(1)ln(1)[1,0)(0,1)
0,0
(1)1,1
n n x x x x x x
x n n x ∞
=+--?∈-???==?+?=??
∑。 3.求由方程33360x y z xyz +++-=确定隐函数(,)z z x y =在点(1,2,1)-的偏奥数
z x
??和z y ??。 解：设333(,,)6F x y z x y z xyz =+++-………………1分
2223,3,3x y z F x yz F y xz F z xy =+=+=+………………4分 2222
33,33y x z z F F z x yz z y xz
x F z xy y F z xy
?+?+=-=-=-=-?+?+………………6分 将(1,2,1)-代入得
(1,2,1)(1,2,1)111
,55
z z x y --??=-=-??。………………7分
4.求曲线积分L
ydx xdy +?，其中L 为圆周cos x R t =，sin y R t =上t 从0到
2
π
的一段弧。 解：2222
20(cos sin )L
ydx xdy R t R t dt π
+=-??………………4分
2
20
cos 2R
tdt π
=?
………………5分
220
sin 22
R t π
=………………6分
0=………………7分
5.计算cos()D
x y dxdy +??，其中D 是由0x =，y π=及y x =所围成的区
域。
解：{(,)|0,}D x y x x y ππ=≤≤≤≤………………2分
cos()cos()x
D
x y dxdy dx x y dy π
π
+=+????………………4分
(sin sin 2)x x dx π
=-+?………………6分
2=-………………7分
6.已知lim n n u a →∞
=，n u 及a 都是正数，讨论级数12n
n n u ∞
=??
???
∑的敛散性。
解：22
lim n n n u a →∞==………………1分
当21a
<，即2a >时，级数收敛………………3分
当21a >，即02a <<时，级数发散………………5分
当21a
=，即2a =时，级数可能收敛也可能发散。………………7分
7.将函数
13x
x
-展开成x 的幂级数，并求其成立的区间。 解：因为
1
,||11n n x x x ∞
==<-∑………………2分 232341
[13(3)(3)]39271313x x x x x x x x x x x x
=?=++++=++++--………
………5分
成立范围为31,x <即1
||3
x <………………7分
四、 解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
4．1.有一上部为圆柱形、下部为圆锥形的无盖容器，容积为常数。已
知圆柱的高为H ，圆柱和圆锥的底面半径为R ，圆锥的高为h ，求容器侧面积最小时::H R h 。
解：2221()33
h V R h R h R H C πππ=+=+=（常数）………………1分 设无盖容器的侧面积为S
，则(2S R H π=………………1分 构造拉格朗日函数
22(2()3
F R H R H R h C π
πλπ=++
-………………3分
222
22(22()03200303R H h h F H R H F R R F R F R H R h C λππλπλππλπ
π?=++=???=+=?
?=+=??
?=+-=?
?
………………5分
解得2
,R h H λ=-==分
所以::2H R h =
为最小值，2()d p =为最大值………………7分
2.计算曲线积分()()C
x y dx x y dy ++--?，其中C 为22
221x y a b +≤的周界。
解：设,()P x y Q x y =+=--………………1分 则
1,1P Q
y x
??==-??………………3分 由格林公式得
()()(11)C
D
x y dx x y dy d σ++--=--???………………5分
2ab π=-………………7分
3.设函数()f x 在(0,)+∞上连续，5
(1)2
f =，对于一切的x ，t 满足
1
1
1
()()()xt
x t
f u du t f u du x f u du =+?
??，求()f x 。
解：等式两边对t 求导，得
1()()()x
xf xt f u du xf t =+?………………2分
令1t =得1
5()()2
x
x
xf x f u du =+
?………………3分
两边对x 求导得5
'()2f x x
=
………………4分 解之得5()(ln )2
f x x C =+………………5分 由5(1)2
f =，得1C =………………6分 所以5()(ln 1)2
f x x =+………………7分
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2014~2015学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业
（估计不考或考的可能性比较小的题目已删除）
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。
2. 已知向量(,1,5)a λ=与向量(2,7,1)b =-垂直，则λ= 。 3．直线
223
314
x y
z -+-==
-与平面3x y z ++=的夹角为 。
4．设2y z x =，则
z
y
?=? 。 5．当参数p 满足条件 时，级数1
11
p n n
∞
+=∑收敛。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．微分方程2'cos y y x =的通解是
（ ）
A ．1sin y x C =-
+ B ．1
sin y x C =+
C ．1sin y C x =-
+ D ．1
sin y C x
=+ 2．求极限(,)(0,2)sin()
lim
x y xy x
→=
（ ）
A ．1
B ．2
C ．不存在
D ．y 3．通过y 轴和点(3,2,1)--的平面方程为 （ ）
A ．30x y +=
B ．30x z +=
C ．30x z +=
D ．30x y +=
4．D 是由曲线221x y += 围成的闭区域，则3D
dxdy =??
（ ）
A ．π
B ．3π
C ．0
D ．2π 5．级数2010(sin10)n n ∞
=∑
（ ）
A ．发散
B ．条件收敛
C ．绝对收敛
D ．不能判定
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.求微分方程'y
y x y
=
+的通解。 2.求幂级数1
(1)n n n n x ∞
=+∑的和函数。
4．设由方程
ln y z
z x
=确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。 6.求曲线积分3()L
x y ds +?，其中L 为连接点(1,0)及(0,1)的直线段。 7.计算2
2
x
y D
e dxdy --??，其中222{(,)|}D x y x y a =+≤。
8．已知级数0
n
n n a x ∞
=∑的收敛半径为R ，求级数1
2n
n n n a x ∞
+=∑
的收敛半径。 9．将函数
1
3x
+展开成x 的幂级数，并求其成立的区间。 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
5．抛物线22z x y =+被平面4x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到
原点的距离的最小值和最大值。
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2014~2015学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ参考答案
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．2{(,)|210}x y y x -+> 2．1- 3．0 4．22ln y x x 5．0p > 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．A 2．B 3．C 4．B 5．C
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'y
y x y
=
+的通解。 解：原方程化为1y dy
x y
dx x
=+，此为齐次方程………………1分
令y u x =
，得'1
u u u x u +=+………………3分 分离变量得2111
()du dx u u x
--=
积分得1
ln ||ln ||u x C u -=+………………6分
将y
u x
=代入得ln ||x Cy y y =+………………7分
2. 求幂级数1
(1)n n n n x ∞
=+∑的和函数。
解：1(1)(2)
lim
lim 1(1)
n n n n a n n a n n ρ+→∞
→∞++===+，所以1R =，………………1分 当1x =±时级数发散，所以收敛域为(1,1)-………………2分 因为231
1(11)1n x x x x x x
++++
++
=-<<-………………3分
所两边求导得212
123(1)(11)n x x nx x x --++++
=--<< (5)
分
两边再求导得23232(1)2(1)(11)n x n n x x x --+?+-+=--<< (6)
分
两边乘以x ，即得3
1
2(1)(11)(1)n n x n n x x x ∞
=+=
-<<-∑………………7分
3.设由方程
ln y z
z x
=确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。 解：设(,,)ln y z
F x y z z x
=
-………………1分 211,,x y z y z
F F F x z z
+===-………………4分
2,()y x z z F F z z z z
x F x y z y F y z
??=-==-=
?+?+………………6分 2()z z dx dy x d z z
z y y ++=+………………7分
第八章 习题答案 8．1 多元函数基本概念 1．解：=),(y x f )225(9 1 22y x xy --。 2．解：).sin sin())(,(),sin sin(sin )],([x x x x f x g y x y x y x g f =?= 3．解：（1）0。（2）a e 。（3）1。（4）0。（利用有界量乘以无穷小量仍为无穷小量。） （5）y x y x y x y x y x 1102222+≤++≤++≤ ，且.0)11(lim =+∞ →∞→y x y x 从而.0lim 22=++∞ →∞→y x y x y x （6）22)21()( 022x x y x xy ≤+≤ ，且0)21(lim 2=+∞→x x ，所以原式0=。 4．解：不存在。因沿不同路径趋近时极限值不同。 5．解：⑴),(y x f 的定义域为0≠+y x 。 )(a 当0≠+y x ，1≠+y x 时),(y x f 的表达式为初等函数，故连续。 )(b 当100=+y x 时，=-++-+=→+→+211 )11ln(11lim ),(lim y x y x y x f y x y x =+→20)1ln(1 lim t t t ),(200y x f =，即),(y x f 在 100=+y x 时也连续。故),(y x f 的间断线为0=+y x 。 ⑵)(a 当02 2 ≠+y x 时),(y x f 的表达式为初等函数，故连续。 )(b 当02 2 =+y x 时，2222001)1(lim ),(lim k k x k kx y x f x kx y x +=+=→=→，显然k 取不同值时得不同极限，即),(lim 0 0y x f y x →→不存在，故),(y x f 在)0,0(点不连续。 ⑶)(a 当022≠+y x 时),(y x f 连续。)(b 当02 2=+y x 时，因y x y x f +≤),(，故 0),(lim 00 =→→y x f y x ，从而)0,0(0),(lim 0 f y x f y x ==→→，即),(y x f 处处连续。 8．2 偏导数与全微分 1.解：（1） )2cos(4),2cos()2sin(2222222y x ye y z y x e y x xe x z x x x +=??+++=??。
高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =
2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
数，故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，，A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的W K域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"
jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） 高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； 【高等数学基础】形成性考核册答案 【高等数学基础】形考作业1答案： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同 A 、2 ()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B 、()f x x = =，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等； C 、3 ()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21 ()11 x g x x x -= =+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。 故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称 偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称， 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称 故选C ⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()( )()2 2 ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数 B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数 或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数 C 、()()2 x x a a y x y x -+-= =，所以为偶函数 第十一章 习题答案 1． 1常数项级数的概念及基本性质 1．解：（1） +?+?+ ?+?+ ?6515 414 31321211 （2） -+ -+ -5 14 13 12 11 (3) +++ ++5 4 3 2 5 !54 ! 43 !32 !21!1 (4) +????????+ ??????+ ????+??+ 10 8642975318 64275316 425314 2312 1 2． 解：（1）1 21-= n u n （2）1 2+-= n n u n （3）) 2(6422 n x u n n ??= （4）1 2) 1(1 1 +-=++n a u n n n 3． 解：（1）013 1lim lim ≠==∞→∞ →n n n n u ，∴级数发散（不满足级数收敛的必要条件） 。 （2）原级数可写为 )4 13 12 11(3 1 +++ + 。∵括号内级数为调和级数发散，∴原级数发散。 （3）原级数为公比等于2 3的几何级数，∵ 123>，∴原级数发散。 （4）原级数为发散的调和级数 +++++ 5 14 13 12 11去掉前三项，∴原级数发散。 （5）原级数为公比等于9 8-的几何级数，19 8<- ，∴原级数收敛。 （6）∵级数 ++ + 3 2 2 12 12 1收敛（公比 12 1<的几何级数） ，级数 ++ + 3 2 3 13 13 1收敛 （公比 13 1<的几何级数） ，∴原级数收敛（收敛级数可以逐项相加减）。 4． 解：（1）a a a a a a a a a a S n n n n -= - ++- +- +-=+-+1 21 2125 73 53)()()()( ， a a a S n n n n -=-=+∞ →∞ →1)(lim lim 12，∴此级数收敛。 （2）]) 2)(1(1) 1(1 [ 21 ) 2)(1(1 ++- += ++= n n n n n n n u n +?- ?+ ?- ?+ ?- ?= ∴)5 414 31 (21 )4 31321 ( 21)3 212 11 ( 21 n S ])2)(1(1 ) 1(1 [ 21 ++- ++ n n n n =]) 2)(1(1 21[21++-n n ， 4 1 ])2)(1(121[21lim =++-= ∞ →n n S n n ，∴此级数收敛。 《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2 习题一 一、 1. × 2. \/ 3. × 4. × 5. × 6. \/ 7. × 二、 1. A 2. D 3. B 4. A 三、 1. 直线y x = 2. [-1，3） 3. 1[,0]2 - 4. 奇 5. 2 log 1 y y y =- 6. 3,,sin u y e u v v x === 四、 1(2)3f x x += +，2 2 1()1f x x =+， 11(())1211x f f x x x +== ++ +，11()()2f f x x =+ 习题二 一、 1. ∨ 2. × 3. × 4. ∨ 5. ∨ 6. × 7 × 8 × 二、 1. B 2. B 3. A 4. C 5. D 6. C 7. C 三、 1) lim 1x x x - →=-，0 lim 1x x x + →= lim x x x →不存在 2) 1lim ()2x f x + →=，1 lim ()2x f x - →= 1 lim ()2x f x →= 2 lim ()5,lim ()0x x f x f x →→== 习题三 一、 1. × 2. × 3. ∨ 4. × 5. 二、 1. C 2. B 3. D 4. D 三、 (1) 2131 lim 11 x x x →-+=+ (2) 22 11112 lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ (3) 2 02lim 2h hx h I x h →+== (4) 23 I = (5) 0I = (6) 422 lim 13 x x I x →-==- (7) 1 1133lim 213 n n I +→∞-==- (8) 111 lim (1)2212 n n →∞- =+ (9) 23 211132 lim lim 111x x x x x I x x x →→++-+==-=--++ 第9章（之1） （总第44次） 教学内容:§微分方程基本概念 *1． 微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ） 解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数． *2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （ （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ） 解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ； （B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解； （C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=，实质上只有一个任意常数； （D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线． : 解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x x e c e c y -+=21， x x e c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ， 故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2 1 x x e e y --=，即x y sinh =． *4．证明：函数y e x x =-233321 2 sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解． 高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 高等数学（下） 习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）； （3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 s== s== x s== y s==. 5 z 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则 222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得14 9 z= 即所求点为M（0，0， 14 9 ）. 7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：()() ++=++ a b c a b c. 证明：利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 9. 设2,3. u v =-+=-+- a b c a b c试用a , b, c表示23. u v - 解： 232(2)3(3) 224393 5117 u v -=-+--+- =-++-+ =-+ a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D 1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接， 试以AB=c，BC=a表示向量 1 D A, 2 D A, 3 D A和 4 D A. 解： 11 1 5 D A BA BD =-=-- c a 22 2 5 D A BA BD =-=-- c a 33 3 5 D A BA BD =-=-- c a 44 4 . 5 D A BA BD =-=-- c a 11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M的投影为M'，则 1 Pr j cos604 2. 2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量 四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分） 高等数学 一、填空 、选择题（每题3分，共30分） 1．曲面z xy =上点(1,2,2)处的法线方程为 . 2.已知D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,则D yd σ=?? . 3.若曲线L 是2 2 1x y +=在第一象限的部分,则L xds =? . 4.设(,)ln()2y f x y x x =+ ,则(1,0)xx f = . 5.若级数 1 (2)n n u ∞ =+∑收敛,则lim n n u →∞ = . 6.函数3 2 2 (,)42f x y x x xy y =-+-,下列说法正确的是( ). (A)点(2,2)是(,)f x y 的极小值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(2,2)不是(,)f x y 的驻点; (D)(0,0)f 不是(,)f x y 的极值. 7.函数2 2 (,)f x y x y =+在点(1,1)处沿着那个方向的方向导数最大?( ) (A) (1,1); (B) (2,2); (C) (0,1); (D) (1,0). 8.曲线L 为沿2 24x y +=顺时针一周,则 1 2 L xdy ydx -=??( ). (A)2π- (B) 4π; (C) 4π-; (D)0. 9. 累次积分1 (,)y dy f x y dx ? 改变积分次序后等于( ). (A) 2 1 0(,)x x dx f x y dy ? ? ; (B) 21 (,)x x dx f x y dy ? ?; (C) 1 (,)x dx f x y dy ? ; (D) 21 (,)x dx f x y dy ?. 10. 下列各级数中条件收敛的是（ ） (A) 1 1 (1) n n ∞ +=-∑; (B) 1 2 11 (1)n n n ∞ +=-∑; (C) 1 1 (1) 1 n n n n ∞ +=-+∑; (D) 1 1 1 (1)(1) n n n n ∞ +=-+∑; 二解答题(6*4) 1.设函数22 ln()y x z x y e =++,求(1,0) dz . 2.设sin ,,2u z e v u xy v x y ===-,求 ,z z x y ????. 第 11 章（之1）（总第59次） 教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题： **（1）. 函数连续区域是 ??????? ． 答： **（2）. 函数 ， 则（ ） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 答：（A ） **2. 画出下列二元函数的定义域： （1）= u y x -； 解：定义域为：{ } x y y x ≤) ,(，见图示阴影部分： （2）)1ln(),(xy y x f +=； 解：{} 1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包括边界，双曲线1-=xy 用虚线表示）． （3）y x y x z +-= ． 解：()()? ? ?-≠≥????≠+≥+-?≥+-y x y x y x y x y x y x y x 000． ***3. 求出满足2 2, y x x y y x f -=?? ? ??+的函数()y x f ,. 解：令?? ? ??=+=x y t y x s ， ∴?? ???+=+=t st y t s x 11 ∴()() ()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22 222， 即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限： ()() 2 2 0,0,11lim y x xy y x +-+→． 解：()( )( ) ( )( ) 2 222 2 22 2 112111110y x xy y x y x xy xy y x xy ++++≤ +++= +-+≤ () 01 122 2→+++= xy y x （()()0,0,→y x ） ∴ ()() 011lim 2 2 0,0,=+-+→y x xy y x ． **5. 说明极限()()2 22 20,0, lim y x y x y x +-→不存在． 解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同． 首先，0=x 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ， 其次，0=y 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0==+-→=x x y x y x y x y ， 故极限()()2 22 20,0,y y lim +-→x x y x 不存在． **6. 设1 12sin ),(-+= xy x y y x f ，试问极限 ),(lim ) 0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？ 解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域内函数 1 12sin ),(-+= xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义． 高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人 《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin高等数学试题及答案新编
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