《近世代数》课程教案
第一章 基本概念
教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。
教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。
教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。
教学措施：网络远程。
教学时数：8学时。
教学过程：
§1 集合
定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集
合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。
定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。
（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。
（2）集合表示：
习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合，
习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。
若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。
表示集合通常有三种方法：
1、枚举法（列举法）：
例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。
2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。
3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之
间的关系。
（3）集合的蕴含（包含）
定义：若集B 中每个元素都属于集A ，则称B 是A 的子集，记为A B ?，否则说
B 是A 的子集，记为A B ?.
定义：设A B ?，且存在B a A a ?∈但，那么称B 是A 的真子集，否则称B 不是
A 的真子集。
定义：若集合A 和B 含有完全一样的元素，那么称A 与B 相等，记为A =B . 结论：显然，A B B A B A ???=且.
（4）集合的运算 ①集合的并：{}
B x A x x B A ∈∈=或Y ②集合的交：{}B x A x x B A ∈∈=且I ③集合的差：{}B x A x x B A ?∈=-且 ④集合在全集内的补：{}A x E x x A ?∈=且
⑤集合的布尔和（对称差）： {})()()()( B A B A A B B A B A x B x A x x B A I Y Y I -=--=?∈∈=⊕但或 ⑥集合的卡氏积：{}B b A a b a B A ∈∈=?且),(
注：B A ?中的元素可看成由A 和B 坐标轴所张成的平面上的点。
卡氏积的推广：
{}
m i A a a a a A A A A m A A A i i m m m i i m ,,2,1,),,,( ,,,2121121ΛΛΛΛ=∈=???=∏=：
成的卡氏积为个集合，那么由它们做是令
对上述集合运算，可以得到一批基本公式：
A B A A A B A A A
A A A A A A E E A A A E A A A E A A A C A
B A
C B A C A B A C B A C
B A
C B A C B A C B A A B B A A B B A ================)(;)()6(;;;)5(.
;;;)4()
()()();()()()3()()(;)()()2(.
;)1(Y I I Y I Y I Y I Y I Y I Y I Y I Y I Y I Y I I I I Y Y Y Y I I Y Y 吸收律：φφφφ
例题：
例1 A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B={2}
A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A ∩B=空集合.
例2 A={1.2.3} B={2.4.6} 那么A ∪B={1.2.3.4.6}
A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A ∪B={1.2.3.4.5.6}
§2 映射
定义：设φ是集合A 到B 的一个对应法则：对于任何一个12n A A A ???L 的元
12()()n i i a a a a A ???∈L ，都能够得到一个唯一的D 的元d ，那么这个法则φ
叫做集合12n A A A ???L 到集合D 的一个映射。
其中，元d 是12()n a a a ???L 在映射φ的象，a 是b 在φ下的逆象。
例1：A1=A2=....=An=D=所有实数作成的集合.
φ：（a 1,a 2,……,a n ）→ a 12+a 22+……+a n 2=φ(a 1,a 2,…,a n )是一个
A 1×A 2×…×A N 到D 的映射.
例2 ：A 1={东,西},A 2={南}，D={高,低}
φ1：（西,南）→高=φ1（西,南）不是一个A 1×A 2到D 的映射.
φ2:(西,南）→高，（东,南）→低，则φ2是一个A 1×A 2到D 的映射.
例3：A 1=D=所有实数所成的集合.
φ：a →a 若a ≠1
1→b 这里b 2=1
不是一个A 1到D 的映射.
例4：A 1=D=所有实数所成的集合.
φ：a →a-1不是一个A 1到D 的映射.
定义：我们说，12n A A A ???L 到集合D 的两个映射φ1与φ2是相同的，假如对任
何一个元12()n a a a ???L 来说，φ112()n a a a ???L =φ212()n a a a ???L 。
例5：A=D=所有正整数的集合.
φ1：a →1=φ1（a ）
φ2: a →0a =φ2（a ） 则φ1与φ2是相同的.
§3 代数运算
设给定D A A A f D A A A m m →??????ΛΛ2121:的映射到，
如果n=2时，f 就叫做代数运算。一般地有
定义：任一个D B A 到?的映射都叫做D B A 到?的一个代数运算。
例1：A={所有整数}，B={所有不等于零的整数}。D={所有有理数}
0：（a.b ）αb
a =a ο
b 是一个A×B 到D 的代数运算，即普通的除法.
例2：令V 是数域F 上一个向量空间，那么F 的数与V 的向量空间的乘法是一个
F×V 到V 的代数运算.
例3：A={1},B={2},D={奇，偶}
0：（1.2）→奇=1ο2 是一个A×B 到D 的代数运算.
例4 A={1.2},B={1.2},D={奇，偶}
0：（1.1）→奇 （2.2）→奇 （1.2）→奇 （2.1）→偶
是一个A×B 到D 的代数运算.
代数运算表：当B A ,都是有限集时，那么D B A 到?的每一个代数运算都可以用运算表表示。
设{}{}m n b b b B a a a A ,,,,,,,2121ΛΛ==，则运算表为：
注：对于代数运算D A B →?的运算表，要求B A 与中元素在上表中的位置互换。 在实际工作中，更多的是D B A ==的情形，这时，有如下定义：
定义：若A A A 到是?ο的代数运算，则可称ο是A 的代数运算或二元运算。
§4 结合律
例题:A={所有整数}，代数运算是普通减法
那么（a-b ）-c ≠a-(b-c) 除非c=0.
定义：设ο是集合A 的一个代数运算，如果A c b a ∈?,,都有)()(c b a c b a οοοο=，
则称ο满足结合律。
定义：设A 中的代数运算为ο，任取)2(>n n 个元素n a a a ,,,21Λ，如果所有加括
号的步骤最后算出的结果是一样的，那么这个结果就用n a a a οΛοο21来表
示。
定理：如果A 的代数运算ο满足结合律，那么对于A 的任意)2(≥n n 个元素n a a a ,,,21Λ来说，所有加括号的步骤运算的结果总是唯一的，因此，这一唯一的结果就可用n a a a οΛοο21来表示。
[论证思路] ?因n 是有限数，所以加括号的步骤必是有限的。
?任取一种加括号的步骤)(21n a a a οΛοοπ，往证：
)()(2121n n a a a a a a οΛοοοΛοο=π
?对n 用数学归纳法。
①2121)(b b a a a n οοΛοο=π
②1b 和2b 分别是i 和i n -个元素经加括号而运算的结果.
③1,1-≤--≤n i n n i ，由归纳假设释之.
§5交换律
定义：设ο是集合A 的一个代数运算，如果A b a ∈?,都有a b b a οο=，则称ο满足
交换律。
定理：设A 的代数运算ο同时满足结合律和交换律，那么n a a a οΛοο21中的元的
次序可以任意掉换。
[论证思路]
?采用数学归纳法，归纳假设1-n 时命题成立.
?对n 的情形，任掉换i a 的位置，使之成为n i i i a a a οΛοο21.
?
注意n i i i ,,,21Λ是n ,,2,1Λ的一个排列. 令n i k =. ?用结合律和归纳法假设证明之.
§6分配律
代数运算?与⊕的第一分配律和第二分配律的定义，以及⊕的结合律与这
两种分配律的综合运用
定义：设B A ,都是集合，而?是A A B →?的代数运算，而⊕是A 的代数运算，
如果A a a B b ∈?∈?21,,，都有
)()()(2121a b a b a a b ?⊕?=⊕?
那么称⊕?,适合第一分配律。
例. 假如B 与A 都是全体实数的集合，?和⊕就是普通的乘法和加法，则
b ? (a 1⊕a 2)=(b ?a 1) ⊕ (b ?a 2)就变为
b(a 1+a 2)=(ba 1)+(ba 2)
定理1：设B A ,和⊕?,如上，如果⊕满足结合律，且⊕?,满足第一分配律，那么
A a a a
B b n ∈?∈?,,,,21Λ，都有
)()()()(2121n n a b a b a b a a a b ?⊕⊕?⊕?=⊕⊕⊕?ΛΛ
[论证思路] ?采用数学归纳法，归纳假设1-n 时命题成立。 ?先后利用：结合律——2=n 的归纳假设——1-n 的归纳假设直至完成证明。 定义：设B A ,和⊕?,同上，若A a a B b ∈?∈?21,,，若有
)()()(2121b a b a b a a ?⊕?=?⊕，那么称⊕?,满足第二分配律.
定理2：设B A ,和⊕?,同上，若⊕适合结合律，而⊕?,适合第二分配律。那么
)()()(,,,,,1121b a b a b a a A a a a B b n n n ?⊕⊕?=?⊕⊕∈?∈?ΛΛΛ都有。
§7 一一映射、变换
在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射
作重点的讨论。
例1：A={1，2，3，4，5} A ={2，4，6，8}
则 φ：1→ 2，2 →4，3→6，4→2，5→2。是一个A 到A 的映射.
例2：A={1，2，3，…} A ={奇，偶} 则
φ：1，3，5，…→奇，2，4，6…→偶 是一个A 到A 的映射.
定义：若是在一个集合A 到A 的映射?下，A 的每一个元都至少是A 中某一个元
的象，那么?叫做一个A 到A 的满射。
定义：一个A 到A 的映射，
:a a ?→叫做一个A 到A 单射，假如
a b a b ≠?≠。
定义：设?是集合A 到A 的映射，且?既是单的又是满的，则称?是一个一一映
射（双射）。
例3：:{1,2,3,}2{2,4,6,}Z Z ?=→=L L ，
其中Z n n n ∈?=,2)(?，可知?显然是一个双射。
注意：Z 与偶数集Z 2之间存在双射，这表明：Z 与它的一个真子集Z 2一样“大”。 思考题：从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大”。这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论：A 为无限集的充要条件是A 与其某个真子集之间存在双射。
定理：一个A 到A 的一一映射?带来一个通常用1-?表示的A 到A 间的一一映射。 证明：由于?是A 到A 的双射，那么就A 中任一个元素a ，它在A 中都有逆象a ，并且这个逆象a 是唯一的。利用?的这一特点，则可确定由A 到A 的映射1-?：
a a A a A A =∈?→--)(,,:11??，如果a a =)(?，由上述说明，易知1-?是映
射。
1-?是满射：A a ∈?，因?是映射a a A a =∈??)(,?使，再由1-?的定义知
a a =-)(1?，这恰说明，a 是a 在1-?下的逆象。由a 的任意性，知1-?是满射。
1-?是单射：2121,,a a A a a ≠∈?若由?是满射21a a 及?的逆象分别是
22111121)(,)(,a a a a a a ==--??即及，又?是单射21a a ≠?， 这说明)()(2111a a --≠??，所以1-?是单射。
综合上述讨论知：1-?是A 到A 的一个双射。
结论：设A A →:?是映射，那么：
（1）?是双射??可唯一的确定一个逆映射A A →-:1?，使得：
? 1-?是双射；
? A A 1,111==--????；
? ?也是1-?的逆映射，且??=--11)(；
（2）?是双射A A 与?同时是有限集或同时是无限集。
定义：一个A 到A 的映射叫做A 的一个变换。
一个A 到A 的一一映射（单射，满射）时，也称为A 的一个一一变换（单射变换，满射变换）
例4：A={所有实数}。 τ：X →e x
是A 的一个单射变换. 例5：A={所有整数}。 τ：a →
2
a 假如a 是偶数 a →2
1+a 假如a 是奇数 是A 的一个满射变换.
例6：A={1，2，3}
τ1：1→1，2→2，3→3
τ2：1→2，2→3，3→1都是A 的一一变换.
§8 同态
定义：一个A 到A 的映射?叫做一个对于代数运算,o o 和来说的，A 到A 的同态
映射，假如，在?之下，不管a 和b 是A 的那两个元，只要
,a a b b →→
就有 a b a b →o o 。
例1：φ：a →1 (a 是A 的任一元)是一个A 到A 的同态映射，φ1是一个A 到A
的映射，显然对于的任意两个整数a 和b 来说，有a →1, b →1,a+b →1=1×1 例 2：φ2 ：a →1 若a 是偶数
a →-1 若a 是奇数
φ2是一个A 到A 的满射的同态映射
例 3：φ3 ：a →-1(a 是A 的任一元) 固然是一个A 到A 的映射，但不是同态
映射
定义：假如对于代数运算,o o 和来说，有一个A 到A 的满射的同态映射存在，则
称这个映射是一个是同态满射。
在近世代数中，同态满射是尤其重要的。
定理1：假设对于代数运算ο和ο来说，A 与A 同态，那么
Ⅰ）若ο适合结合律，ο也适合结合律
Ⅱ）若ο适合交换律，ο也适合交换律。
证明：（1）任取?因,,,A c b a ∈是满射b b a a A c b a ==∈??)(,)(,,,??使，又因为A 中ο的满足结合律c b a c b a οοοο)()(=?
即))(())((c b a c b a οοοο??=，但是?是同态映射。
)()]()([)()()())((c b a c b a c b a c b a οοοοοοοο===??????
c b a c b a c b a c b a οοοοοοοο)()()]()([)()()))((===?????? 所以c b a c b a οοοο)()(=
同理可以证明（2）
定理2：假定，?，⊕都是集合A 的代数运算，?， ⊕都是集合A 的代数运算，
并且存在一个A 到A 的满射φ，使得A 与A 对于代数运算?，?来说同态。对于代数运算⊕，⊕来说也是同态，那么
Ⅰ）若?，⊕ 适合第一分配律，?， ⊕也适合第一分配律
Ⅱ）若?，⊕ 适合第一交换律，?， ⊕也适合第一交换律
证明：（1）?因,,,A c b a ∈?是满射c c b b a a A c b a ===∈??)(,)(,)(,,,???使.
又因为?是关于⊕?,及⊕?,的同态映射?
)
()()]()([)]()([)()()]()[()]([))()(()()(c a b a c a b a c a b a c a b a c b a c b a c b a ?⊕?=?⊕?=?⊕?=
?⊕?=⊕?=⊕?=⊕???????????? 即)()()(c a b a c b a ?⊕?=⊕?.
同理可证明（2）。
§9 同构、自同构
定义：一个A 到A 的一一映射?是一个对于代数运算,o o 和来说的，A 到A 的同
构映射，假如，在?之下，不管a 和b 是A 的那两个元，只要
,a a b b →→
就有 a b a b →o o 。
假如在一个A 与A 之间，对于代数运算,o o 和来说，存在一个A 到A 的同构
映射，则称对于代数运算,o o 和来说，A 与A 同构，记为A A ?。
例1：A={1，2，3} . A ={4，5，6}.
1 2 3 4 5 6
1 3 3 3 4 6 6 6
2 3 3 3 5 6 6 6
3 3 3 3 6 6 6 6
各是A 与A 的代数运算ο与ο的表，那么
1→4，2→5，3→6，是一个A 与A 之间的同构映射。
定义：对于代数运算o o 和来说的一个A 到A 的一个同构映射叫做A 的一个对于o
来说的A 的自同构。
例2：A={1，2，3} 代数运算由下表给定：
1 2 3
1 3 3 3
2 3 3 3
3 3 3 3
那么φ：1→2，2→1，3→3
是一个对于ο来说的 A 的自同构。
§10 等价关系与集合的分类
定义：设A 为集合，=D {对，错}，那么一个A A ?到D 的映射R 就叫做A 的一
个关系.（也称为二元关系）
若对→),(:b a R ，就称a 与b 符合关系R ，记为aRb
若错→),(:b a R ，就称a 与b 不符合关系R ，记为b R a
由上述定义知，A 中任一对元b a ,，都可以判定a 与b 是否符合这个关系。 例1：A={所有实数}
R:(a,b) →对，若是b-a 是正的
(a,b) →错，若是b-a 不是正的
是A 的元间的一个关系。
定义：设是集合A 的元间的一个关系～叫做一个等价关系，如果～满足以下规律：
（1） 反射律（反身性）：a A a ,,∈?～a
（2） 对称律（对称性）：,,A b a ∈?当a ～b 时必有b ～a ；
（3） 推移律（传递性）：,,,A c b a ∈?当a ～b 且b ～c 时，
必有a ～c 。
当a ～b 时，习惯称a 与b 等价。
定义：若把一个集合A 分成若干个叫做类的子集，使得A 的每一个元属于而且只
属于一个类，那么这些类的全体叫做集合A 的一个分类。
定理1：集合A 的每个分类都决定了A 的元间的一个等价关系。 证明：设}{I i A A i ∈?=Ω是A 的一个分类，用Ω我们可以规定A 上的一个二元关系：a ～b a b 与?在同一类里，显然～是A 的一个关系，须证～是等价关系。
（1） 反身性：a A a a A a I i A a i i ∴∈∈∈?中同在与故使则有,,～a 。
（2） 对称性：,,A b a ∈?
若a ～b A a b A b a I i b i i ∴∈中在与当然中同在与使则有,,,～a .
（3）传递性：,,,A c b a ∈?
若a ～b b ,～c ，,,,,j i j i A A b A c b A b a I j i I ∈?∈同在与中同在与使故存在 a A c a A A i j i ∴?=,同在与由分类的特性知～c 。
定理2：集合A 的一个等价关系～决定A 的一个分类。
证明：,A a ∈?，令x A x a ∈={][～}a ，如此确定的这些子集具有：
（1）?≠][a ：由a ～][a a a ∈?；
（2）?=][][b a I ，当a 与b 不等价时：若x b a x ?∈][][I ～x a ,～b ，由～的对称性和传递性知a ～b ，推出矛盾，所以?=][][b a I 。
（3）Y A a a A ∈?=
][：Y ΘA
a a a a A a ∈?∈?∈?][][。 A A a a 是}]{[∈?=Ω∴的一个分类。
注意：
（1）a ～][][b a b =?
“?”a Θ～b []b a ∈?
[][]又～传递性由～～],[][,”“,b a b x b x a x a x ?∴∈∴??∈?
b Θ～][][][a b a b a ??∈?，][][b a =∴
“?”a b a b a a ∴∈?=∈][][][～b
（2）若][][][][b a b a =??≠I
因为设x a x b a x 即][][][∈?∈I ～x b x a 即又][,∈～b ，由传递性推出a ～b 再由（1）知][][b a =。
定义：假定我们有一个集合的分类，那么，一个类里的任何一个元叫做这个类的
一个代表。刚好由每一类的一个代表组成的集合叫做一个全体代表团。
注：由于][a b ∈?，那么b ～a ，这表明对等价类][a 来说，][a 中任何元素b 均可作为][a 的代表，即等价类与其代表元素的选取无关。
一种重要的等价关系——同余关系
定义. 任取Z n ∈<0，可以在Z 中确定一种等价关系
b a n aRb Z b a R -?∈?,,:
则称R 为模n 的同余关系，并将aRb 记为
)()(n b a n b a 模同余≡
由同余关系确定的分类中的等价关系为模n 的剩余类。 而由同余关系引导出来的商集R Z
习惯上记为n Z .
模n 的同余关系为：
4{[0],[1],[2],,[]}Z n =L ，其中
[0]{,2,,0,,2,}
[1]{,21,1,1,1,21,}[1]{1,1,1,21,}
n n n n n n n n n n n n =--=-+-+++-=-----L L L L L L L L L L L
L L 第二章 群论
教学目的与教学要求：理解群的定义，掌握群定义中的四个等价条件，和群的判定方法;理解单位元、逆元、元的阶的定义，初步地掌握利用单位元、逆元、元阶的定义证明有关的性质和定理;理解群同态思想，理解若群G 同态G'则群G 的许多代数性质可以传递给它的同态象;理解变换群的定义应用几何上的实际问题，并且理解变换群在群论上的重要性，同群论中具有的普遍性，弄清楚变换群和变换群的区别;理解置换群，n 次对称群，循环置换的定义，搞清楚置换乘法的先后顺序是从右到左，并且搞清楚置换的循环分解，多做练习;理解循环群的思想，理解循环群结构中的主要的结果（i ）数量问题，(ii)构造问题，（iii ）循环群的生成元;理解子群的判定方法和构造群的子群的方法;理解左（右）陪集的思想，理解陪集定义的最基本的两种出发点;
教学重点：群的定义，基本特点，群的思想方法，群的判定常用的方法;单位元、逆元、消去律、元的阶，并且利用这些概念;有限群的定义，利用有限群的思想，利用定义证明有关定理和例子;群的同态定义，利用群的同态定义证明由G 是群可以推出G'也是群（G~G'条件下）;变换群的定义，Cayley 定理，变换群的判定常用的方法;置换，转换群，n 次对称群，循环置换的定义，利用这些概念的定义证明每一个有限群都一个置换群同构;G=的定义，利用G=的定义，证明有关的定理和命题，（如：循环群，乘余类加群）;子群定义，利用子群定义证明有关的问题，群的一个非空集组成子群的充要条件;左、右陪集的定义，群G 的子群H 的阶，H 在G 里的指数；任两个左（右）陪集间存在双射的概念;
教学难点：群的定义，群的判定常用的方法，利用群的定义证明性质和判定;群的判定常用的方法。且半群中消去律与元的可逆性之间的关系和定理的证明;掌握群同态定义中的同态映射的要求;变换群的定义，利用变换群在几何上的实际应用和群的理论上的重要性;置换群中元素是n 次置换非常具体，所以n 次置换，及置换乘积是本节中较难的概念;G=（a ）的构选问题，利用G=（a ）的定义证明若a 为无限阶的，则≌{Z,+}；
教学措施：网络远程。
教学时数：16学时.
教学过程：
§1 群的定义
群的第一定义：一个非空集合G 对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群，假
如:
Ⅰ。G对于这个乘法来说是闭的；
Ⅱ。结合律成立：a(bc)=(ab)c对G的任意三个元都对；
Ⅲ。对于G的任意两个元a,b来说，方程ax=b和ya=b在G中都有解，是一个有限整数。
例 1：证明若G包含一个元g，且乘法是gg=g，则G对于这个第六法来说作成一个群。
例2：设G是一个全体整数的集合，证明G对于普通加法来说作成一个群。
例3：设G是所有不等于零的整数集合，证明G对于普通乘法来说不作成一个群。
群G有以下性质：
Ⅳ。G里至少有一个元e,叫做G的一个左单位元，能让
ea=a
对于G的任何元a都成立。
Ⅴ。对于G的每一个元a,在G里至少存在一个元1
a-，叫做a的一个左逆元，能让
1
a-a=e
成立。这里e是一个固定的左单位元。
证明：略。
群的第二定义：一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群，假如:
Ⅰ。G对于这个乘法来说是闭的；
Ⅱ。结合律成立：a(bc)=(ab)c对G的任意三个元都对
Ⅳ。G里至少有一个元e,叫做G的一个左单位元，能让
ea=a
对于G的任何元a都成立；
Ⅴ。对于G的每一个元a,在G里至少存在一个左逆元，能让
1
a-a=e。
证明思路：1。一个左逆元也一定是一个右逆元；
2．一个左单位元也一定是一个右单位元；
3．最终结论。
定义：一个群叫做有限群，假如这个群的元的个数是一个有限整数。否则这个群叫做无限群。一个有限群元的个数叫做这个群的阶。
定义：一个群叫做交换群，假如
ab=ba
对于G的任何两个元a,b都成立。
§2 单位元、逆元、消去律
定理1：在一群G 里存在一个并且只存在一个元e ，能使
ea-ae=a
对于G 的任意元a 都对。
提示：只须用反证法证唯一性。
定义：一个群G 的唯一的能使
ea=ae=a （a 是G 的任一元）
的元e 叫做群G 的单位元。
定理2：对于群G 的每一个元a 来说，在G 里存在一个而且只存在一个元1a -，
能使
1a -a=a 1a -=e
提示：只须用反证法证唯一性。
定义：唯一的能使
1a -a=a 1a -=e
的元1a -叫做元a 的逆元（有时简称逆）
例1：全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是零，元a 的逆元是-a 。
例2．全体整数对于普通加法来说作成一个群。这个群的单位元是零，a 的逆元是-a.
定义：群G 的一个元a ，能够使得
m a =e
的最小的正整数m 叫做a 的阶。若是这样一个m 不存在，我们说，a 是无限阶的。
例3：G 刚好包含3x =1的三个根：
1，1ε=2ε= 对于普通乘法来说成一个群。
Ⅰ，Ⅱ显然；
Ⅳ。1是G 的单位元；
Ⅴ。1的逆元是1，1ε的逆元是2ε，2ε的逆元是1ε。
定理3：一个群的乘法适合
III'消去律：若 ax=ax' , 那么x=x'；
若 ya=y'a ，那么y=y'
证明：略。
推论：在一个群里，方程
ax=b 和ya=b
各有唯一的解。
§3 有限群的另一定义
若G 是群，则G 必满足（1）封闭性（2）结合律（3）消去律。但如果代数
体系},{οG 能满足（1）
（2）和（3），是否可断定G 就是群呢？先看下面的例子： 例：G={所有不等于零的整数}
对于普通乘法来说这个G 适合I ，II ，III'，可是不适合III 。
如果是有限集，那情形就不一样了。
定理：一个有乘法的有限集合G ，若是适合I ，II 和III'，那么它也适合III 。 有限群的另一定义：一个有乘法的有限不空集合G 作成一个群，假如I ，III ，
III'能被满足。
证明：（只需证明b ax =方程b ya =和在G 中有解）
先证b ax =在G 中有解，G b a ∈?,.
因为G 是有限集，不妨设n G =，即},,,{21n a a a G Λ=，现用a 左乘G 中的每个元素，得到},,,{21n aa aa aa G Λ='.
由（1）?G '中每个),,2,1(n i G aa i Λ=∈，所以G G ?'
又由于（3）?只要j i ≠，则G aa aa j i '?≠中也含有n 个元素，于是G G =' 又由于G b ∈，即)1(n k k G b ≤≤??'∈使b ax a b aa k k =∴=是,的解.
同理可以证明b ya =有解.
§4 群的同态
设{}ο,G 和{}
ο，G 都是群，如果存在映射G G →：?使,G b ,a ∈?都有
()()()b a b a ???οο=，则称?是群同构态映射；如果?是满射，则必?为群满同态映射，（注：这是重要的一种同态，要特别关注）简称 G 与G 同态,并记为G ~ G ,此时也称G 是G 的同态像.
我们已多次谈到 “满同态”的重要性质--------具有 “传递”作用.那么在群的满同态映射里,它能传递一些什么呢?
定理1：假设G 与G 对于它们的乘法来说同态，那么G 也是一个群。
证明:对{}G o ，而言,“ο”满足封闭性是显而易见的,而由于{},G o 中的 “ο” 满足集合律.""o 也满足结合律.下面须证{}G o ，有单位元和,a G a ?∈有逆元. Θ{},G o 是群,设e 是单位元并设()e e =? ,须证 e 是{}G o ，的单元.事实上,,a G ?∈?是满射a G ??∈，使()a a ?=,那么()()()()a a a e a e a e ====????οοο,同理a e a a e ==, 由a 的任意性 ? e 是单位元.
事实上,()()()(),111e e a a a a
a a ====---????οοο 同理 11,--∴=a e a a ο是的逆元,即1
-a =1-a . 由上可知, {}G o ， 是个群.
例1：设A={a,b,c},A 的乘法由下表夫定： a b c
a a
b c
b b
c a
c c a b
的集合，G 是全体整数对普加法来说作成的一个群，找出它们之间的一个同态映射？且判断A 是不是一个群。
例2：G ={所有奇数}。G 对于普通乘法不是一个群。G={e}，G 对于乘法
ee=e 显然作成群。但
:a e φ→
显然是G 到G 的一个同态满射。
由定理1的证明可以直接得出
定理2：假定G 和G 是两个群，在G 到G 的一个同态满射之下，G 的单位元e 的
象是G 的单位元，G 的元a 的逆元1a -的象是a 的象的逆元。
§5 变换群 本讲的教材在对映射的表示形式上有所改变：)(:x x x ττ=α 将改
成:.:ττx x x =α也就是说,过去我们的记法 “)(x τ”将变为“τx ”于是要当心：
τλλτλττλ)())(())((x x x x =→= 用教材的话是说：当B A →:τ是映射时，用“)(a τ”. 当A A →:τ是变换时，使用“τa ”
例1． 设=A ｛１，２｝．现取出A 的几个变换
12,21:1αατ （即 12,111
1==ττ ） 22,21:2αατ （即 22,212
2==ττ） 22,11:3αατ （即 22,113
3==ττ） 12,21:4αατ （即 12,214
4==ττ） 可以看出．4321,,,ττττ是A 的全部变换．其中3τ和4τ是双射．并且3τ是恒等变换．习
惯上记 .3ετ= （或 A 13=τ）。
把A 的全体变换作成一个集合
S={,,,}τλμL
例2. 利用例１．可以换算一下它们的合成（乘积）
21ττ：1α２；２α２．
即 1.212;2122122====ττττττ
这表明 .221τττ= ·同理知442τττ=．利用3τ是恒等变换．则i i i τττττ==33 （)4,3,2,1=i ．这是因为
i i i i i i i i τττττττττττττ=???
???====32)2(21)1(13333 并且又有 i i i i i i i i τττττττττττττ=???
???====32)2(21)1(13333． 定义．对于这个乘法，S 有一个单位元，就是A 的恒等映射
:a a ε→
对A 的任一个变换τ，都有.ττεετ==
例 3.事实上，1τ就没有逆元.因为如果1τ有逆元τ.那么必有εττ=1且εττ=1.但我们会发现：
()11111==ττττ 而 ()12211==ττττ
这说明εττ≠1即S 不能成为群。（同理可知，2τ也没有逆元）
上面的S 所以不能成为群，主要是1τ和2τ不是双射（∴ 它们没有逆元）因此，我们有: 定理1：假定G 是集合A 的若干个变换所作成的集合，并且G 包含恒等变换ε，
若是对于变换的乘法来说作成一个群，则G 只包含A 的--变换。
证明：任取G ∈τ.经证τ是满射又是单射.首先，因为G ∈ε.由于群G 中的
单位元唯一.由定义2?ε必是G 中的单位元.
τ是满射： A a G G A a ∈∴∈?∈∈?--11.τττ Θ于是
()εεττττ===--a a a 11.这说明1
-τa 是a 的原象. τ ∴是满射.
τ是单射：设.,A b a ∈.如果， ..ττb a =
那么 ()()b a b a b a =?=?=--εεττττ11
∴ τ是单射
由上分析知.τ是个双射.
定义1：一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个变换群。 定理2：一个集合A 的所有的--变换成一个变换群。
证明:设 {}的一切一一变换A G = ,须证G 满足群第0定义.
(1) .,21G ∈?ττ.因为21,ττ都是双射.由第一章知21ττ必是也是双射.即 G ∈21ττ.(封闭性)
(2) 凡是映射都满足结合律?G 中的元素必也满足结合律.
(3) 因为恒等变换εε?∈G 就是G 的单位元.(由结论)
(4).G ∈?τ ∴ τ是双射,由第一章知 τ 必有逆映射1-τ使εττττ==--11.故逆映射1-τ就是τ在群G 中的逆元.
由(1)-(4)? G 是一个变换群.
定理3：任何一个群都同一个变换群同构。
证明:设{}Λc b a G ,,= 是任意一个群,G x ∈?，利用x ,我们规定G 的一
个变换G G x →:τ,其中 G g gx g x ∈?=,τ ,这种变换是一个一一变换,事
实上:
,,1-=∈??gx g G g 令 若那么 ()y x yx gx g x ===-1τ
∴x τ是满射.
? 若 G y 、y ∈21,且 212121g g x g x g g g x x =?=?=ττ
∴ x τ是单射.
综合上述知.我们得到由G 中元素确定的G 的变换集合
{}Λc b a G τττ,,=其中每个这种变换都为一一变换.
其次作G G →:?,其中()G x x x ∈?=τ?现须证?是同构映射.
? ?是满射: ,G x ∈?τ则 ()x x τ?=，∴ x 是x τ的原象??是满射.
? ?是单射: G y x ∈?, 如果 ()(),y x y x ττ??=?=
那么 G g ∈?有 gy gx g
g y x =?=ττ， 由消去律知y x =
∴ ?是单射 ? ?保运算:由于G g ∈?.我们有:
()()()()y x y x y xy g g gx y gx xy g g ττττττ=====
这说明()()()y x xy y x xy ??τττ?=== ∴ ?保运算 于是知G G ?
?，而G 是群?G 必是群.
§6 置换群
定义：一个有限集合的一个--变换叫做一个置换。
一个有限集合的若干个置换作成的群叫做置换群。
定义：一个包含n 个元的集合的全部置换作成的群叫做n 次对称群，记作Sn 。 定理1：n 次对称群Sn 的阶是n ！
近世代数教案 西南大学 数学与统计学院 张广祥 学时数：80（每周4学时） 使用教材：抽象代数——理论、问题与方法，科学出版社2005 教材使用说明：该教材共10章，本课程学习前6章，覆盖通用的传统教材（例如：张禾瑞《近世代数基础》）的所有内容，但本教材更强调抽象代数理论的应用和方法特点。本教材的后4章有一定难度和深度，可作为本科近世代数（二）续用。如果不再开设近世代数（二），则可以供有兴趣的学生自学、自读，进一步了解现代代数学更加前沿的内容，拓宽知识面。 教学方法：由于该教材首次在全年级使用，采用教研室集体备课的方式，每2周一次参加
教学的教师集体研讨备课。 每节配有3—5题常规练习作业。每章提供适量的（3—4题）思考问题供学生独立思考，学生完成的思考题成绩可记入平时成绩。 整学期可安排1—2次相关讲座，介绍现代代数学的研究方法或研究成果。本学期已经准备讲座内容：群与Goldbach猜想。 教学手段：黑板板书与Powerpoint 课件相结合。 主要参考书： 1．张禾瑞,近世代数基础,1952第一版,1978年修订版,高等教育出版社 2.刘绍学, 近世代数基础,(面向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材) 高等教育出版社,1999 3.石生明, 近世代数初步, 高等教育出版社2002 4.B.L.Van der Waerden,代数学,丁石孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964卷1,1976卷2,科学出版社 5. M.Kline, 古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社2002 第二章数环与数域 本章教学目标： 1. 熟悉整数剩余类环的运算，了解整数剩余类环在数论研究中的作用。 2. 数环就是数系，熟悉各种不同形态的数环与数域；有限的、无限的；交换的、不交换的。 3. 学习整环的分式域、素域与扩域的理论。 4. 综合应用数环与数域的初等方法证明欧拉二平方和定理、Lagrange四平方和定理。 5. 本章通过若干数论定理的学习，使学生了解和熟悉环论的初等方法，为第3章与第5章学习系统的扩域理论奠定基础。 教学时数：共6节，8学时 2.1 整数剩余类环 复习引入：通过整数的整除性问题，了解引入整数剩余类环的必要性，一方面使学生知道
抽象代数试题 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。 A 、2阶 B 、3 阶 C 、4 阶 D 、 6 阶 2、设G 是群，G 有（ ）个元素，则不能肯定G 是交换群。 A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。 A 、偶数 B 、奇数 C 、4的倍数 D 、2的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格（ ） A 、（N,≤） B 、（Z,≥） C 、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D 、 (P(A),?) 5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ） A 、(1)，(123)，(132) B 、12)，(13)，(23) C 、(1)，(123) D 、S3中的所有元素 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。 2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1----------。 3、区间[1，2]上的运算},{min b a b a =ο的单位元是-------。
4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。 5、环Z 8的零因子有 -----------------------。 6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------。 7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。 8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------。 9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为--------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？ 2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。S 1+S 2也是子环吗？ 3、设有置换)1245)(1345(=σ， 6)456)(234(S ∈=τ。 1．求στ和στ-1； 2．确定置换στ和στ-1的奇偶性。 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
《抽象代数》课程教案 第一章 基本概念 教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。 教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。 教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。 教学措施：黑板板书与口授教学法。 教学时数：12学时。 教学过程： §1 集合 定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集 合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。 定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 （2）集合表示： 习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合， 习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。 3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之
《近世代数》课程教案 第一章 基本概念 教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。 教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。 教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。 教学措施：网络远程。 教学时数：8学时。 教学过程： §1 集合 定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集 合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。 定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 （2）集合表示： 习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合， 习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。 3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之
一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则 G 的子集（）是子群。 A、a B、 a , e 33 C、 e, a D、 e, a , a 2、下面的代数系统（ G， * ）中，（）不是群 A、G为整数集合， * 为加法 B、G为偶数集合， * 为加法 C、G为有理数集合， * 为加法 D、G为有理数集合， * 为乘法 3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设 1 、 2 、 3 是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13），2 =（24）（14），3=（ 1324），则3=（） A、2 B 、12 D 、2 1 12C 、2 5、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正 确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环。 4 3、已知群G中的元素a的阶等于 50，则a的阶等于 ------。 4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与-------同构。 5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么 A∩B=----- 。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。 7 、叫做域F的一个代数元，如果存在F的----- a 0 , a1 , , a n使得 n a 0 a 1 a n0 。
近世代数电子教案 第一章基本概念 在普通代数里，我们计算的对象是数，计算的方法是加、减、乘、除。数学渐渐进步，我们发现，可以对于若干不是数的事物，用类似普通计算的方法加以计算。这种例子我们在高等代数里已经看到很多，例如对于向量、矩阵、线性变换等就都可以进行运算。近世代数（抽象代数）的主要内容就是研究所谓代数系统，即带有运算的集合。近世代数在数学的其它分支和自然科学的许多部门里都有重要的应用。近二十多年来，它的一些成果更被直接应用于某些新兴的技术。 我们在高等代数里已经初步接融到的群、环、域是三个最基本的代数系统。在本书里我们要对这三个代数系统做略进一步的介绍。 在这一章里，我们先把常要用到的基本概念介绍一下。这些基本概念中的某一些，例如集合和影射，在高等代数里已经出现过。但是为了完整起见，我们不得不有所重复。 §1.1 集合 ●课时安排约1课时 ●教学内容(《近世代数》张禾瑞著) 集合的概念，元素，空集合，集合与集合之间的包含、交、并、积，子集的 概念 例题： 例1 A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B={2} A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∩B=空集合 例2 A={1.2.3} B={2.4.6} 那么A∪B={1.2.3.4.6} A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∪B={1.2.3.4.5.6} 1 习题选讲P 4 ●教学难点 元素与集合的关系（属于）集合与集合的关系（包含） ●教学要求 掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念 2 ●布置作业P 4 ●教学辅导 精选习题：（侧重概念性、技巧性的基本问题） 1.B A,但B不是A的真子集，这个情况什么时候才能出现？ §1.2 映射 ●课时安排约1课时 ●教学内容(《近世代数》张禾瑞著) 映射，象，原象，映射相同的定义及映射的表示方法
数理与信息工程学院数学与应用数学专业（师范） 四年制本科教学指导计划 一、培养目标和基本规格 （一）培养目标 培养德、智、体、美全面发展，具有良好的科学素质，扎实的数学专业基础和现代教育技术，能适应基础教育改革发展需要，具有创新精神和实践能力的中等学校数学教师、教育科学研究人员及其它教育工作者。 （二）基本规格 掌握马列主义、毛泽东思想和邓小平理论的基础原理及“三个代表”重要思想，逐步树立科学的世界观和为人民服务的人生观，具有良好的职业道德，自觉为社会主义现代化建设服务的精神。 敬业爱岗，诚实守信，乐于奉献，遵纪守法，团结合作，为人师表，热爱教育事业。有良好的思想品德、社会公德和职业道德。有理想，有强烈的社会责任感。 毕业生应获得以下几方面的知识和能力： 1．具有扎实的数学基础，初步掌握数学科学的思想方法，其中包括数学建模、数学计算、解决实际问题的基本能力。 2．具有良好的使用计算机的能力，能够进行简单的程序编写，熟练掌握与专业课程相关的计算机应用知识（包括常用语言、工具及数学软件），能够对教学软件进行简单的二次开发。计算机应用能力应达到规定的等级要求。 3．具备良好的教师职业素养和从事数学教学的基本能力。熟悉教育法规，掌握并初步运用教育学、心理学基本理论以及数学教学理论。 4．了解近代数学的发展概貌及其在社会发展中的作用，了解数学科学的某些新发展，数学教学领域的一些最新研究成果和教学方法，了解相近专业的一般原理和知识；学习文理渗透的课程，获得广泛的人文和科学修养。 5．有较强的语言表达能力和班级管理能力。 6．掌握资料查询、文献检索及运用现代信息技术获取相关信息的基本方法，具有一定的科研能力。 7．掌握一种外国语，达到规定的等级要求。 二、学制
代数表示论简介 在数学研究中，我们随处可见表示的思想。例如，复数可以用实平面上的点（或数对）表示；有限维复向量空间上的线性变换可以用它的Jordan标准形表达。狭义的表示是指一个代数系统（如群，结合环，李代数等）在某个向量空间上的作用，这些作用常常自然地出现在数学和物理的研究中。比如，分子的对称性可以用某个群刻画，利用这个群的表示理论可以大大简化分子振动微分方程的求解问题。20世纪30年代，德国女数学家Noether系统地发挥了表示的思想，她把表示解释为模，由此奠定了现代表示论的基础。 有限维(结合)代数是抽象代数中的一个古老的分支。它的起点是Hamilton在1843年发现的有名的四元数代数。此后，历经许多大数学家之手，终于由Wedderburn在20世纪初建立了半单代数的表示理论。目前人们研究的主要是各种各样的非半单代数的表示理论。代数表示论的主要目标是研究有限维代数上的不可分解模以及它们之间的同态映射。一个有限维代数A通常可以用一个箭图Q（即有向图）及某种关系表示, 研究代数A上的模相当于研究箭图Q上的表示。给定一个域k, 所谓箭图Q的一个表示，是指如下的要素：在Q的每个顶点处放一个（有限维）k-向量空间，在Q的每条边上放一个k-线性映射。对于Q的两个表示，可以建立它们之间的同态映射。我们关心的是表示的同构类。把箭图Q的全体表示放在一起，就构成了表示的范畴。这是代数表示论的最基本的研究对象。 例如，不难看出，在复数域上如下箭图的表示的同构类与复数矩阵的Jordan标准形一一对应： 上世纪70年代初，瑞士数学家Gabriel证明了如下的著名结果：箭图Q是表示有限型的（即Q的不可分解表示的同构类只有有限多个）当且仅当Q的底图是有限多个如下形式的图的不交并： A (n≥1):??…?? n 1 2 n-1 n ? 2 D (n≥4):??…?? n 1 3 n-1 n ? 3 E (n=6,7,8):????…?? n 1 2 4 5 n-1 n
近 世 代 数 试 卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整 数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。
数学电子书（提供下载地址） 本帖来自: 数学中国作者: clanswer 日期: 2010-4-12 22:46 您是本帖第1289个浏览者 / A8 a" u& l, e' h( }" G4 ? 《中等数学》连载《高中奥数训练题》５９套.pdf 1-50界莫斯科数学竞赛（含详细答案，ＰＤＦ版）.pdf 20世纪数学经纬（张奠宙）.pdf 500个最新世界著名数学智力趣题.pdf 数学，确定性的丧失.chm IMO中的数论.pdf 抽屉原则与涂色问题.pdf 最优系统控制.pdf FOURIER分析与逼近论第一卷（上册）.pdf Fourier分析-河田龙夫.pdf (课件)图论讲义.pdf (课件)数值分析.pdf (课件)矩阵论.pdf N阶幻方的一种简易解法.pdf 奥林匹克数竞赛解迷（高中部分）（康纪权）.pdf 奥数教程初一年级第一版.pdf 奥数教程初二年级第一版.pdf 奥数教程初三年级第一版.pdf 奥数教程高一年级（第3版）.pdf 奥数教程高二年级（第3版）.pdf 奥数教程高三年级（第3版）.pdf 半群的S-系理论.pdf 不等式论文５０篇.pdf 不等式入门.pdf 不等式与区域.pdf 不等式与线性规划初步.pdf 不可思议的e.pdf 蔡国武___素数具有无穷多项的新证明方法.pdf 蔡国武___心算(速算)多个多位数相乘的统一速算算法设计.pdf 蔡国武猜想(未证明)___对任意方程ZN=X2+Y2存在正整数组解(X,Y)情况的猜想.pdf 测度论.pdf 测度论基础.pdf 测度论讲义.pdf 常微分方程.pdf 陈景润，邵品琮-世界数学名题欣赏丛书.pdf 陈省身文集.pdf 乘电梯·翻硬币·游迷宫·下象棋.pdf 抽象代数学卷1基本概念.pdf 抽象代数学卷2线性代数.pdf
群论与魔方：群论基础知识 要了解破解魔方攻略背后的数学原理，「群论」(Group Theory)是必不可少的知识，本章介绍群论的基础知识。群论是「抽象代数学」(Abstract Algebra)的重要分支，是有关「群」(Group)的理论。抽象代数学跟一般代数学或线性代数学不同，其要旨不是解方程或方程组，而是研究各种代数结构的特性，「群」就是一种非常重要的代数结构。 群的基本定义 设有一个集合G和G上的「二元运算」(Binary Operation)「?」。如果G 的元素和「?」满足以下「公理」(Axiom)，我们便说(G, ?)构成一个「群」(为了行文方便，有时可以把「群(G, ?)」径直称为「群G」)： 1.「封闭性」(Closure)－对G中任何两个元素a和b而言，a ? b ∈ G。 2.「结合性」(Associativity)－对G中任何三个元素a、b和c而言，(a ? b) ? c = a ? (b ? c)。 3.「单位元」(Identity)－存在G中一个元素e (称为「单位元」)，使得对于G中任何元素a而言，e ? a = a ? e = a。 4.「逆元」(Inverse)－对于G中任何元素a而言，都有G中的元素a?1 (称为a的「逆元」)，使得a ? a?1 = a?1? a = e。 请注意由于「?」满足结合性，在写出三个或以上元素之间的运算时，可以不用括号，即写成a ? b ? c。如果某个运算涉及同一个元素，我们可以像一般乘法那样采用「指数」记法，例如可以把a ? a ? a写成a3。我们还可以仿照一般乘法规定零指数和负指数的定义如下：a0= e，a?n= (a?1)n。另外，可以证明上述定义中的「单位元」是唯一的，而且对于G中任一元素a而言，其「逆元」a?1也是唯一的。根据「封闭性」，若a和b是G的元素，则(a ? b)也是G 的元素，因此我们也可以谈论(a ? b)的逆元，而且这个逆元满足 (a ? b)?1 = b?1? a?1(1)
近世代数练习题 一、填空题 1、设集合A={1,2,3,?,m}，B={1,2,3,?,n}，是正整数n m ,，集合B A ?含有 个元素。 2、设集合{},,,A e f m n =，{}ργβα,,,=B ，则集合A 到B 之间可以建立 个映射。 3、设集合A 含有m 个元素，则A 上的变换共有 个 4、n 次对称群n S 的阶是 。 5、在模5的剩余类加群的子集{}]1[=A 生成的子群是 。 6、设R 是模2 n （N N n ,∈为自然数集）的剩余类环，[]x R 中的多项式2 x 在R 里有 个根。 7、由13 =x 的三个根对于普通乘法构成的群里，阶数大于2的元的个数是 。 8、一个 环是域。 9、设μ一个环R 的一个不等于R 的理想，如果除了R 和μ以外，没有包含μ的理想，那么μ叫作一个 。 10、若域F 的一个扩域E 的每一个元都是F 上的一个代数元，那么E 叫做F 的 。 二、选择题 1、设集合{}3,2,1=A ，则下列集合A 上的变换不是一一映射的是（ ） 。 332211:→→→τA 133221:→→→ρB 233221:→→→δC 132231:→→→σD 2、下列说法错误的是（ ） 域是除环A 域是整环B 可交换除环是域C 可交换整环是域D 3、在一个有限群里，阶数大于2的元的个数一定是（ ）。 奇数A 偶数B 0C 整数D 4、下列环中不是除环的是（ ） 整数集A 有理数集B 实数集C 复数集D 5、设有理数域Q 上的一元多项式环[]x Q ，理想()()() =+++11 35 2 x x x （ ） 。
()1A ()12 +x B ()135 ++x x C () 2235 +++x x x D 6、对于实数的普通乘法，以下实数域R 的变换中同态满射的是( ） αασ→:A 2:αατ→B ααρ-→:C ααδ→:D 7、设2 2?R 是数域R 上的一切22?矩阵构成的集合，它对于矩阵的加法和乘法做成一个环，则 以下矩阵可作为环2 2?R 的零因子的是（ ）。 ???? ??0000A ???? ??0001B ???? ??0111C ??? ? ??1101D 8、整数环Z 中，可逆元的个数是（ ）。 1A 2A 3C 4A 9、剩余类加群Z 18的子群有( )。 个3A 个4B 个5C 个6D 10、设有理数域Q 上的一元多项式环[]x Q ，理想()()() =+++11 35 2x x x （ ） 。 ()1A ()12 +x B ()135 ++x x C () 2235 +++x x x D 三、计算题 1、设集合{}1174,1，，=A ，{}642，，=B ，求A ?B ， A ? B ,B A ?。 2、设集合{}864,2，，=A ，{}963，，=B ，求A ?B ， A ? B ， B A ?。 3、试举出一个由正实数集+ R 到实数集R 的一一映射。 4、设6元置换 ???? ??=???? ??=???? ??=254613654321;456132654321;245316654321 ρτπ (1)求1 -π ,τρ (2)求π, τ和ρ的循环置换表达式,并求||π, τ, ρ。 5、求出3次对称群3S 的所有子群。 6、求出剩余类加群8Z 的所有子群。 7、设{} Q Q b a b a R ,,2∈+=是有理数集，问R 对于普通加法和乘法能否构成一个域。
近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) - 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 ~ 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：? ? ????=6417352812345678σ，??? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。 ， 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
《近世代数》课程教案 第一章基本概念 教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。 教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。 教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。 教学措施：网络远程。 教学时数：8学时。 教学过程： §1 集合 定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集 合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。 定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 （2）集合表示： 习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合， 习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。 3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之
环 简介 一个具有两种二元运算的代数系统。在抽象代数产生的19世纪，数学家们开始研究满足所有合成律（即加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律等等）或者满足其中的一部分的集合。倘若一个集合具有加法、乘法和相应的运算性质，它就称为环。整数集Z就构成一个（数）环。 在20世纪，数学家们开始研究一种新型结构叫“环”。环是一个集合，其中的元素能通过一种类似加法运算按下面的方式结合起来： 1. 若a和b都是环中的元素，那么a+b也是环中的元素； 2. 加法符合结合律：若a、b和c都属于这个环，那么a+(b+c)=(a+b)+c； 3. 在环中存在一个类似于0的元素－－甚至也可以称它为0－－具有性质：对于环中的任一元素a，有0+a=a； 4. 对于环中的每个元素a和b，a+b=b+a都成立。 在环中，还对这些元素定义了另一个类似于乘法的运算，它具有下面两个性质： 1. 若a和b属于环，那么它们的乘积ab也属于环； 2. 若a、b和c属于环，那么结合律成立：a(bc)=(ab)c。 环的乘法通常不满足交换律（ab=ba 一般不成立），而且并不是环中的每个元素都有一个乘法的逆元。各种n×n矩阵的集合连同运算选出来，就形成一个具体的环的例子。 在20世纪的前30多年中，由于德国数学家诺特(Emmy Noether，1882-1935年）的工作，环的结构的研究变得非常重要。 环论往往相当抽象。虽然许多对环论感兴趣的数学家常常用字母表示环中的元素，但是由于他们对矩阵的理解非常深刻，给出了许多卓有成效的解释，所以有时把一个特殊的环表示成一个n×n矩阵的集合。这类矩阵表示，不仅能使数学家们把环理解成具体的，甚至是可以计算的问题，而且能使数学家们去运用数学理论家的那种非常抽象的思想。这种用矩阵集合表示环或群的方法，已经成为
《抽象代数》课程全册教案 第一章 基本概念 教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n 的剩余类。 教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n 的剩余类。 教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n 的剩余类。 教学措施：黑板板书与口授教学法。 教学时数：12学时。 教学过程： §1 集合 定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集 合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。 定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为?，且?是任一集合的子集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 （2）集合表示： 习惯上用大写拉丁字母A ，B ，C …表示集合， 习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素。 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ?∈否则记为,。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A =｛1，2，3，4｝，B =｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例：{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。 3、绘图法：用文氏图（Diagram Venn ）可形象地表现出集合的特征及集合之
近 世 代 数 试 卷 一、判断题(下列命题您认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都就是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都就是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 就是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶就是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 就是循环群,那么G 也就是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 就是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征就是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 就是整数环,()p 就是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21Λ与D 都就是非空集合,而f 就是n A A A ???Λ21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同;②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换; ③n A A A ???Λ21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算就是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a +=ο; ②在有理数集Q 上,ab b a =ο; ③在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο。 3、设ο就是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的最大者),那么ο在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设()ο,G 为群,其中G 就是实数集,而乘法k b a b a ++=οο:,这里k 为G 中固定
近世代数发展简史 根据课程教学安排，通过查阅近世代数发展历史的相关资料，了解了相关的知识，并对近世代数的知识结构和发展脉络有了更清楚的认识和理解，以下是我将对近世代数及其发展历史的认识。 一、近世代数的定义 代数学是以数、多项式、矩阵、变换和它们的运算，以及群、环、域、模等为研究对象的学科，而近世代数（又称抽象代数）是代数学研究的一个重要分支，主要研究群、环、域、模这四种抽象的代数结构，并深入研究了具有一定特性的群、环、域、模及其子结构、商结构、同态和同构、以及作为它们支柱的具体例子，它不仅在代数学中，而且在现代数学的理论与应用中都具有基本的重要性。 二、近世代数的发展 代数学的起源较早，在挪威数学家阿贝尔（Abel，N.H.）证明五次以上方程不能用根式求解的进程中就孕育着群的概念；1830年，年仅19岁的伽罗瓦（Galois，E.）彻底解决了代数方程的根式求解问题，从而引进数域的扩张、置换群、可解群等概念；后来，凯莱（Cayley，A.）在1854年的文章中给出有限抽象群；戴德金（Dedekind，J.W.R.）于1858年在代数数域中又引入有限交换群和有限群；克莱因（Klein，C.F.）于1872年建立了埃尔朗根纲领，这些都是抽象群产生的主要源泉。然而抽象群的公理系统直到1882年凯莱与韦伯（Weber，H.）在Math.Annalen的同一期分别给出有限群的公理定义，1893年韦伯又给出无限抽象群的定义。由于李（Lie，M.S.）对连续群和弗罗贝尼乌斯（Frobenius，F.G.）对群表示的系统研究，对群论发展产生了深刻的影响。同时，李在研究偏微分方程组解的分类时引入李代数的概念，然而，它的发展却是19世纪末和20世纪初，由基灵（Killing，W.K.J.）、外尔（Weyl，（C.H.）H.）和嘉当（Cartan）等人的卓越工作才建立了系统理论。 域这个名词虽是戴德金较早引入的，但域的公理系统却是迪克森（Dickson，L.E.）与亨廷顿（Huntington，E.V.）于19世纪初才独立给出。而域的系统发展是从1910年，施泰尼茨（Steinitz，E.）的著名论文“域的代数理论”开始的。同期，布尔（Boole，G.）研究人的思维规律，于1854年出版《思维规律的研究》，建立了逻辑代数，即布尔代数。但格论是在1933～1938年，经伯克霍夫（Birkhoff，G.D.）、坎托罗维奇（Канторович.П.В.）、奥尔（Ore，O.）等人的工作才确立了在代数学中的地位。另一方面，1843年，哈
近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（C ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子的--交换环---称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于--25----。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-模n 乘余类加群------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=--{2}---。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----一一映射-------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的--不都等于零的元---n a a a ,,,10 使 得 010=+++n n a a a αα 。