第二章函数
第4.2节简单幂函数的图像和性质教学设计
y=及其他们的图像《简单的幂函数》是对学生学习了正、反比例函数和二次函数2x
和性质的基础上来研究的，是这些特殊函数等在解析式的形式上共有特征的推广，本节突出幂函数从特殊到一般的推广，同时要研究函数的另外一个重要的性质奇偶性，是继函数单调性之后的又一重要的性质，是函数性质的延续和深化，通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触过的函数，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升，为后续学习做了铺垫。
一．教学目标：
1．了解指数是整数的幂函数的概念;
2．学会利用定义证明简单函数的奇偶性,了解用函数的奇偶性画函数图象和研究函数的方法；
3．培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶性的能力。
二. 核心素养
1.数学抽象：幂函数概念的理解
y=及其他们的图像和性质的基础上
2. 逻辑推理：通过对正、反比例函数和二次函数2x
来研究的，我把这些特殊函数等在解析式的形式上共有特征推理到一般的形式上。
3. 数学运算：求简单的幂函数解析式；
4. 直观想象：通过幂函数的图像，可以直观的分析函数性质
5. 数学建模:在具体情境问题中，运用数形结合思想，利用幂函数的性质，图像，解决实际问题
教学重点
幂函数的概念、奇偶函数的概念，突出待定系数法
教学难点
简单幂函数的概念；定义法判断函数的奇偶性
PPT
1．知识引入
我们已经熟悉，y=x是正比例函数，
1
y
x
=是反比例函数
,y=x2是一元二次函数，还有y x
=,y=x3，它们都是简单的幂函数.
2.幂函数的概念概述：
一般地,形如y=x a(a为常数)的函数，即底数是自变量，指数是常数的
函数称为幂函数。
这里的
1
y
x
=
和
y x
=在今后的学习中可以分别写成y=x-1和y=x-2
【知识点扩充】
具体特点:①底数是自变量②指数是常量③xα的系数是1
3.动手实践
1.将y=x;
1
y
x
=;y=x2,y x
=,y=x3这五个函数的图象画在同一平面直角坐标系中，并填写表2-3.
2 在图2-16中，只画出了函数在y轴某一侧的图象，请你画出函数在y轴另一侧的图象,并说出画法的依据.
【知识扩充】
1、常见幂函数图像
2、总结幂函数性质
()0,+∞都有定义，
⑴所有的幂函数在
并且图象都过点(1 , 1)（原因：1x =1）；
⑵a>0时，幂函数的图象都通过原点，且在)0,+∞⎡⎣上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.
⑶a<0时，幂函数的图象在区间)0,+∞⎡⎣上是减函数.
在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近x 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴.
题型一：判断下列那些是幂函数
判一判：判断下列函数是否为幂函数. (1)m y ax = 2(2)y x x =+ 3n y x =（） 5(4)(2)y x =- 2(5)2y x = 2
1(6)y x =
【答案】：（3），（6）
题型二：幂函数图像问题
2.如图所示，曲线是幂函数y=x a在第一象限内的图象，已知a分别取
1
1,1,,2
2
四个值，则
相应图象依次为：
答案：C4，C2，C3，C1
题型三：根据幂函数性质，求解参数值
3．幂函数在（0，+∞）时是减函数，则实数m的值为（）A．2或﹣1 B．﹣1 C．2 D．﹣2或1
【解析】解：由于幂函数在（0，+∞）时是减函数，
故有，
解得m＝﹣1，
故选：B．
题型四：比较大小
4．a＝2，b＝3，c＝5则a，b，c的大小关系为（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【解析】解：∵a＝2，b＝3，c＝5，很明显，a、b、c都是正实数，
∵b6﹣a6＝9﹣8＝1＞0，∴b6＞a6，∴b＞a．
∵a10﹣c10＝32﹣25＞0，a10＞c10，∴a＞c．
综上可得：b＞a＞c，
故选：C．
5．已知a＝0.24，b＝0.32，c＝0.43，则（）
A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．a＜b＜c
【解析】解：∵a＝0.24＝0.042＝0.0016，b＝0.32＝0.09，c＝0.43＝0.064，∴b＞c＞a，
故选：B．
1.掌握幂函数的概念
2.会画5种幂函数的图像
3.结合图像了解幂函数图像的变化情况和简单性质。
第二章函数 第4.2节简单幂函数的图像和性质教学设计 y=及其他们的图像《简单的幂函数》是对学生学习了正、反比例函数和二次函数2x 和性质的基础上来研究的，是这些特殊函数等在解析式的形式上共有特征的推广，本节突出幂函数从特殊到一般的推广，同时要研究函数的另外一个重要的性质奇偶性，是继函数单调性之后的又一重要的性质，是函数性质的延续和深化，通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触过的函数，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升，为后续学习做了铺垫。 一．教学目标： 1．了解指数是整数的幂函数的概念; 2．学会利用定义证明简单函数的奇偶性,了解用函数的奇偶性画函数图象和研究函数的方法； 3．培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶性的能力。 二. 核心素养 1.数学抽象：幂函数概念的理解 y=及其他们的图像和性质的基础上 2. 逻辑推理：通过对正、反比例函数和二次函数2x 来研究的，我把这些特殊函数等在解析式的形式上共有特征推理到一般的形式上。 3. 数学运算：求简单的幂函数解析式； 4. 直观想象：通过幂函数的图像，可以直观的分析函数性质 5. 数学建模:在具体情境问题中，运用数形结合思想，利用幂函数的性质，图像，解决实际问题 教学重点 幂函数的概念、奇偶函数的概念，突出待定系数法 教学难点 简单幂函数的概念；定义法判断函数的奇偶性 PPT
1．知识引入 我们已经熟悉，y=x是正比例函数， 1 y x =是反比例函数 ,y=x2是一元二次函数，还有y x =,y=x3，它们都是简单的幂函数. 2.幂函数的概念概述： 一般地,形如y=x a(a为常数)的函数，即底数是自变量，指数是常数的 函数称为幂函数。 这里的 1 y x = 和 y x =在今后的学习中可以分别写成y=x-1和y=x-2 【知识点扩充】 具体特点:①底数是自变量②指数是常量③xα的系数是1 3.动手实践 1.将y=x; 1 y x =;y=x2,y x =,y=x3这五个函数的图象画在同一平面直角坐标系中，并填写表2-3. 2 在图2-16中，只画出了函数在y轴某一侧的图象，请你画出函数在y轴另一侧的图象,并说出画法的依据.
课后训练 基础巩固 1．下列函数是幂函数的是()． ①y＝x3②y＝x0③y＝－2x2④y＝3x⑤y＝x－2＋1 A．①②B．①③ C．①③④D．①②③④ 2．若幂函数f(x)＝x m－1在(0，＋∞)上是减函数，则()．A．m＞1 B．不能确定 C．m＝1 D．m＜1 3．函数f(x)＝1 x x -的奇偶性为()． A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 4 5．f(x)是R上的偶函数，当x f(x)π)，f(3)，f(－5)的大小关系是()． A．f(3)＜f(－π)＜f(－5) B．f(－π)＜f(－5)＜f(3) C．f(3)＜f(－5)＜f(－π)D．f(－5)＜f(－π)＜f(3) 6．如果幂函数y＝(m2－9m＋19)x2m－7的图像不过原点，则()． A． 7 2 m A ．13- B ．13 C ．12- D ．12 10．定义在R 的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]＞0，则n ∈N ＋时，有( )． A ．f (－n )＜f (n －1)＜f (n ＋1) B ．f (n －1)＜f (－n )＜f (n ＋1) C ．f (n ＋1)＜f (－n )＜f (n －1) D ．f (n ＋1)＜f (n －1)＜f (－n ) 能力提升 11．已知f (x )＝221,0,1,0, x x x x x x ?-+>?--- 简单幂函数的图象和性质 [A 级 基础巩固] 1．(多选)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y ＝x α 的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3 解析：选AC 当α＝－1时，y ＝x －1＝1x ，为奇函数，但值域为{y |y ≠0}，不满足条件． 当α＝1时，y ＝x 为奇函数，值域为R ，满足条件． 当α＝2时，y ＝x 2 为偶函数，值域为{y |y ≥0}，不满足条件． 当α＝3时，y ＝x 3为奇函数，值域为R ，满足条件．故选A 、C. 2．幂函数f (x )＝x 2 3的大致图象为图中的( ) 解析：选B 由于f (0)＝0，所以排除C 、D 选项．又f (－x )＝(－x )23＝3（－x ）2＝3x 2＝f (x )，且f (x )的定义域为R ，所以f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称． 3．若f (x )是幂函数，且满足 f （4）f （2）＝4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．－4 B ．4 C ．－12 D ．14 解析：选D 设f (x )＝x α，则f (4)＝4α＝22α，f (2)＝2α . ∵f （4）f （2）＝22α 2 α＝2α＝4＝22， ∴α＝2，∴f (x )＝x 2 ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122 ＝14 ，故选D. 4．函数y ＝x m n (m ，n ∈N ＋，且m ，n 互质)的图象如图所示，则( ) A ．m ，n 是奇数，m n <1 B ．m 是偶数，n 是奇数，m n >1 C ．m 是偶数，n 是奇数，m n <1 D ．m 是奇数，n 是偶数，m n >1 解析：选C 由函数图象可知y ＝x m n 是偶函数，而m ，n 是互质的，故m 是偶数，n 是奇 数．又当x ∈(1，＋∞)时，y ＝x m n 的图象在y ＝x 的图象下方，故m n <1. 5．已知当x ∈[0，1]时，函数y ＝(mx －1)2 的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( ) A ．(0，1]∪[23，＋∞) B ．(0，1]∪[3，＋∞) C ．(0， 2 ]∪[23，＋∞) D ．(0， 2 ]∪[3，＋∞) 解析：选B 当0 3.3 幂函数思维导图 常见考法 考点一 幂函数的判断 【例1】(2020·全国高一课时练习)在函数21y x =，2 2y x =，2y x x =+，1y =中，幂函数的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B 【解析】因为2 21y x x -= =，所以是幂函数； 22y x =由于出现系数2，因此不是幂函数； 2y x x =+是两项和的形式，不是幂函数； 01y x ==(0x ≠)，可以看出，常数函数1y =的图象比幂函数0y x =的图象多了一个点(0,1)，所以常数函 数1y =不是幂函数.故选：B . 【举一反三 】 1．(2019·广东揭阳.高一期末)下列函数中哪个是幂函数( ) A ．3 1y x -⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．2 2x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．3 2y x -= D ．3(2)y x -=- 【答案】A 【解析】幂函数是y x α=，α∈R ，显然331y x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，是幂函数. 2 2x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，32y x -=，3 (2) y x -=-都不满足幂函数的定义，所以A 正确．故选：A ． 2．(2019·滦南县第二高级中学高一期中)下列函数是幂函数的是 ( ) A ．22y x = B ．3y x x =+ C ．3x y = D ．1 2y x = 【答案】D 【解析】形如y x α =的函数称为幂函数，据此只有1 2y x =才符合幂函数的定义，故选择D. 考点二 幂函数的三要素 【例2-1】(2020·辽阳市第四高级中学高三月考)已知幂函数()a f x k x =⋅的图象过点12, 2 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ，则k a +=______. 【答案】1.5 【解析】因为函数()a f x k x =⋅是幂函数，所以1k =，又因为幂函数的图象过点12,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以 0.5 121222a ⎛⎫ ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎭，所以0.5a =所以 1.5k a +=，故答案为：1.5 【例2-2】(2020·全国高一课时练习)(1)函数45 y x =的定义域是_____，值域是_____； (2)函数4 5 y x -=的定义域是____，值域是_____； (3)函数54 y x =的定义域是______，值域是_____； (4)函数54 y x -=的定义域是_____，值域是______. 【答案】R [0,)+∞ {|0}x x ≠ (0,)+∞ [0,)+∞ [0,)+∞ (0,)+∞ (0,)+∞ 【解析】(1)45 y x =的定义域是R ，值域是[0,)+∞； (2)45 45 1x y x -= =的定义域是{|0}x x ≠，值域是(0,)+∞； (3)5 4y x =的定义域是[0,)+∞，值域是[0,)+∞； (4)54 54 1x y x -= =的定义域是(0,)+∞，值域是(0,)+∞； 故答案为：R ；[0,)+∞；{|0}x x ≠；(0,)+∞；[0,)+∞；[0,)+∞；(0,)+∞；(0,)+∞． 【举一反三】 1(2020·上海高一开学考试)若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y =________. 【答案】2 3x 【解析】设幂函数的解析式为y x α =，由于函数图象过点(8,4)，故有48α=，解得23 α= ， 所以该函数的解析式是23 y x =，故答案为：2 3x . 先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项 [A组学业达标] 1．下列函数为幂函数的是() ①y＝－x2；②y＝2x；③y＝xπ；④y＝(x－1)3；⑤y＝1 x2；⑥y＝x 2＋ 1 x. A．①③⑤B．①②⑤C．③⑤D．只有⑤ 解析：①y＝－x2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y＝2x不是幂函数；④y ＝(x－1)3的底数是x－1而不是x，故不是幂函数；⑥y＝x2＋1 x 是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显③⑤是幂函数． 答案：C 2．函数y＝的图像大致是() 解析：因为函数y＝在(0,0)处有定义，且该函数为奇函数，排除选项A，D；又5 3 ＞1，排除选项C，故选B. 答案：B 3．下列命题正确的是() A．当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线 B．幂函数的图像只在第一象限出现 C．若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域上是增函数 D．幂函数的图像不可能在第四象限 解析：当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图像为两条射线，故A选项不正确；易知选项B不正确；幂函数y＝x－1的图像关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故选项C不正确；当x＞0，α∈R时，y＝xα＞0，则幂函数的图像都不在第四象限，故选项D正确． 答案：D 4．已知 则( ) A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．a ＜c ＜b 答案：A 5．当x ∈(1，＋∞)时函数y ＝x α的图像恒在直线y ＝x 的下方，则α的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1) D ．(1，＋∞) 解析：由幂函数的图像知α＜1. 答案：C 6．幂函数y ＝(m 2－m －1)x －m 在x ∈(0，＋∞)上为减函数，则m 的值为________． 解析：由m 2－m －1＝1，得m ＝2或m ＝－1. 又当m ＝2时，y ＝x －2在x ∈(0，＋∞)上为减函数，符合题意；当m ＝－1时，y ＝x 在x ∈(0，＋∞)上为增函数，不符合题意． 答案：2 7．已知幂函数y ＝f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，33，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 14＝________. 答案：2 8．若 则实数a 的取值范围是________． 3．3 指数函数的图像和性质 第1课时 指数函数的图像与性质 ●三维目标 1．知识与技能 理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用． 2．过程与方法 培养学生数形结合的意识，提高学生观察、分析、归纳的思维能力． 3．情感、态度与价值观 通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问、善于探索的思维品质． ●重点难点 重点：指数函数的概念、图像和性质及其应用． 难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用． 教学时，要让学生体会其中隐含的函数关系，引导学生通过y ＝2x 和y ＝(1 2)x 两个函数， 感受到这两个函数中的指数幂具有的共性：可以写为y ＝a x 的形式．在学习指数函数的性质时，建议尽可能地引导学生通过观察图像，自己归纳概括出指数函数的性质．为了使学生能够主动研究指数函数的图像和性质，教师可以充分利用信息技术提供互动环境，先引导学生随意地取a 的值，并在同一个平面直角坐标系内画出它们的图像，然后再通过底数a 的连续动态变化展示函数图像的分布情况，这样就会使学生比较容易地概括出指数函数的性质． ●教学建议 为充分贯彻新课程理念，使教学过程真正成为学生学习过程，让学生体验数学发现和创造的历程，本节课拟采用直观教学法、启发发现法、课堂讨论法等教学方法．以多媒体演示为载体，启发学生观察思考，分析讨论为主，教师适当引导点拨，让学生始终处在教学活动的中心． ●教学流程 从指数概念的扩充过程引出指数函数的概念，并完成例1及变式训练⇒通过描点法做出函数y＝2x和y＝( 1 2) x的图像，观察两个函数图像的特征⇒通过例2及其变式训练，加深对指数函数的认识⇒通过多媒体课件展示当底数a取不同的值时函数图像，让学生直观感知底数对图像的影响 ⇒通过例3及其变式训练，让学生初步掌握函数的图像和性质⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正 (见学生用书第40页) 课标解读 1.理解指数函数的概念． 2．通过具体指数函数的图像，体会指数函数图像与底数 a的关系．(重点易混点) 3．掌握指数函数的图像与性质及其简单应用．(难点) 【问题导思】 已知函数y＝2x，y＝( 1 3) x. 1．上面两个关系式是函数式吗？ 【提示】是． 2．这两个函数形式上有什么共同点？ 【提示】底数为常数，指数为自变量． 函数y＝a x叫作指数函数，自变量x在指数位置上，底数a是一个大于0且不等1的常量． 【问题导思】 1．试作出函数y＝2x(x∈R)和y＝( 1 2) x(x∈R)的图像 【提示】 §5简单的幂函数 知识点一幂函数性质与图像 [填一填] 1．幂函数 如果一个函数，底数是自变量x，指数是常数α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．2．幂函数性质与图像 所有的幂函数在(0，＋∞)上有定义，并且图像都过点(1,1)，如果α>0，则幂函数的图像还过(0,0)，并在区间[0，＋∞)上递增；如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像与y轴无限接近；当x趋向于＋∞时，图像与x轴无限接近． [答一答] 1．幂函数y＝xα的图像在第一象限内有何特征？ 提示：幂函数y＝xα的图像在第一象限内具有如下特征：直线x＝1，y＝1，y＝x将直角坐标平面在第一象限的直线x＝1的右侧分为三个区域(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)如图：则α∈(1，＋∞)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅰ) ，如y＝x2； α∈(0,1)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅱ)，如y＝x； α∈(－∞，0)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅲ)，如y＝1x. 并且在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”、“指小图低”，在直线x＝1的左侧，图像从下到上，相应的指数由大变小．知识点二奇函数与偶函数 [填一填] 3．奇函数与偶函数 (1)一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f(x)中，f(x)与f(－x)绝对值相等，符号相反，即f(－x)＝－f(x)；反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数y＝f(x)一定是奇函数． (2)一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f(x)中，f(x)与f(－x)的值相等，即f(－x)＝f(x)；反之，满足f(－x)＝f(x)的函数y＝f(x)一定是偶函数． (3)当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有奇偶性． [答一答] 2．(1)若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)的值是否唯一确定？ 提示：若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，由f(0)＝－f(0)可知，f(0)＝0，故f(0)的值是唯一确定的，即一定有f(0)＝0. (2)偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相反吗？奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值相同吗？ 提示：偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相同；奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值不同． 1．幂函数图像的分布特点和规律 幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上的分布． 2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像和性质 (1)当α>0时，图像过点(1,1)，(0,0)且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数． 2020-2021学年新教材数学北师大版必修第一册教师用书：第4章§4指数函数、幂函数、对数 函数增长的比较含解析 §4指数函数、幂函数、对数函数增长的比 较 学习目标核心素养 1。了解三种函数的增长特征．(重点) 2．初步认识“直线上升”、“指数爆炸"和“对数增长"．(重点) 3．尝试函数模型的简单应用．(重点、难点)通过三种函数的增长特征的实际应用,培养数学建模素养． 三种函数的增长趋势 y＝a x错误!y＝log a x错误!y＝xα错误!在错误!上的增 减性 增函数 图象的变化趋势随x增大,近 似与y轴平 行． 随x增大，近 似与x轴平 行． α值较小（α〈1）， 增长较慢;α值较大 （α〉1）时，增长较 快． 增长速度①随x增大，y＝a x增长速度越来越快，并且当a 越大时,y＝a x增长的速度越快． ②随x增大，y＝log a x增长速度越来越慢，并且当a越大时，y＝log a x增长速度越慢． ③当x足够大时，一定有a x〉xα〉log a x。 思考：举例说明“指数爆炸"增长的含义? 提示:如1个细胞分裂x次后的数量为y＝2x，此为“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从图象上看出，存在x0，当x>x0时,数量增加特别快，足以体现“爆炸”的效果． 1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4％，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x）的图象大致是(） A B C D D［设该林区的森林原有蓄积量为a, 由题意得，ax＝a（1＋0.104）y,故y＝log1.104x（x≥1)， ∴y＝f(x）的图象大致为D中图象．] 2．下列函数中,增长速度最慢的是() A．y＝6x B．y＝log6x C．y＝x6D．y＝6x B[对数函数增长的速度越来越慢，故选B.］ 3．当x〉4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关系是________．b 2020-2021学年新教材北师大版数学必修第一册教师用书：第2章§4 4.2简单幂函数的图象和 性质含解析 4.2简单幂函数的图象和性质 学习目标核心素养 1。了解幂函数的概念．(重点） 2．掌握y＝x，y＝x2,y＝x3，y＝错误!，y＝x错误!的图象与性质．（重点) 3．掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题．（重点、难点)1.借助幂函数的图象的学习,培养直观想象素养． 2．通过幂函数的性质的学习，培养逻辑推理素养． 1．幂函数的概念 形如y＝xα(α为常数）的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． 思考：y＝1错误!是幂函数吗？ 提示：是．因为它可写成y＝x0（） x≠0的形式． 2．幂函数的图象 如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x;(2）y＝x错误!；（3)y＝x2;(4）y＝x－1；（5)y＝x3的图象． 3．幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间［0，＋∞)上是增函数．特别地,当α〉1时，幂函数的图象下凸;当0<α<1时，幂函数的图象上凸; （3）α〈0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞）上是减函数． 1．已知幂函数f错误!＝kxα的图象过点错误!，则k＋α等于(）A．错误!B．1C．错误!D．2 C［由幂函数的定义知k＝1。又f错误!＝错误!， 所以错误!错误!＝错误!，解得α＝错误!，从而k＋α＝错误!.］ 2．函数y＝x错误!的图象是（) A B C D B［当0 （1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。 作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点。 （2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等； ①平移变换： Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到； 1）()y f x =h 左移→()y f x h =+；2）()y f x = h 右移→()y f x h =-； Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上 (0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到； 1）()y f x =h 上移→()y f x h =+；2）()y f x =h 下移→()y f x h =-。 ②对称变换： Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； ()y f x = 轴 y →()y f x =- Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； ()y f x =轴 x →()y f x =- Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； ()y f x = 原点 →()y f x =-- 板块四.函数的图象与数字特 征 目录第一讲集合概念及其基本运算 第二讲函数的概念及解析式 第三讲函数的定义域及值域 第四讲函数的值域 第五讲函数的单调性 第六讲函数的奇偶性与周期性 第七讲函数的最值 第八讲指数运算及指数函数 第九讲对数运算及对数函数 第十讲幂函数及函数性质综合运用 第一讲集合的概念及其基本运算 【考纲解读】 1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系． 2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 4．在具体情境中，了解全集与空集的含义． 5．理解两个集合并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算． 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.集合的概念与运算是历年来必考内容之一,题型主要以选择填空题为主,单纯的集合问题以解答题的形式出现的机率不大,多数与函数的定义域、值域、不等式的解法相联系，解题时要注意利用韦恩图、数轴、函数图象相结合.另外,集合新定义信息题是近几年命题的热点,注意此种类型. 2.高考将会继续保持稳定,坚持考查集合运算,命题形式会更加灵活、新颖. 【重点知识梳理】 一、集合有关概念 1、集合的含义： 2、集合中元素的三个特性： 3、元素与集合之间只能用“”或“”符号连接。 4、集合的表示：常见的有四种方法。 5、常见的特殊集合： 6、集合的分类： 二、集合间的基本关系 1、子集 2、真子集 3、空集 4、集合之间只能用“”“”“=”等连接，不能用“”或“”符号连接。 三、集合的运算 1．交集的定义： 2、并集的定义： 3、交集与并集的性质： A∩A = A A∩Φ= Φ A∩B = B∩A，A∪A = A A∪Φ= A A∪B = B∪A. 4、全集与补集 （1）全集： （2）补集： 知识点一元素与集合的关系 1.已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则实数a构成的集合B的元素个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 姓名___________ 2011年____月____日 第____课时 §2.3幂函数 一， 相关知识回顾： 我们曾经学过的函数：y= 1x ,(y=1 x - ),y=1 2x ),y=x,y=2x ,y=3x ,这些函数虽然定义域、值 域、单调性、奇偶性以及函数图象等都不进相同，但它们都有一个共同的特点： 自变量均在底数的位置之上。可以用一个共同的表达方式：y= a x (a ∈R) 二．幂函数： （一）幂函数的定义：一般地，形如y= a x (a ∈R)的函数称为幂函数，其中a 为常数。 （二）准确理解幂函数的定义： ①幂函数具有严格的形式，如形如：y=m a x ,y=()a m x ,y=a x +m,y=()a x m +等均不是幂函数； ②不要把指数函数和幂函数混淆起来； ③（三）幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 2、幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数． 特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； （3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数． 在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴， 当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． （4）当a 为奇数时，幂函数为奇函数；当a 为偶数时，幂函数为偶函数； 五．例题详解： 1．（www.jiaocai quanjieP203） 已知函数f(x)=( 2m +2m)∙2 1 m m x +-,m 为何值时，f(x)是： （1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数 2．(www.wanghouxiongP87) 函数f(x)=( 2 m -m-1)∙2 3 m m x +-是幂函数，且当x ∈（0, +∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式 3．(www.wanghouxiongP87) 数形结合的数学思想 2）在幂函数f(x)的图象上，点（-2，1 4）在幂函数 g(x)的图像上。 （1）当x 为何值时，f(x)>g(x) (2) 当x 为何值时，f(x)=g(x) (3) 当x 为何值时，f(x) 6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 (1)指数函数、对数函数、幂函数为增函数的前提条件 当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快． 当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x＞0，n＞0时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快． (2)具体的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(只考虑x＞0的情况) 在同一直角坐标系内利用几何画板软件作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的图像(如图)． 从图中可以观察出，y＝2x与y＝x2有两个交点：(2,4)和(4,16)，当0＜x＜2时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2；当x＞4时，2x＞x2恒成立，即y＝2x比y＝x2增长得快；而在(0，＋∞)上，总有x2＞log2x，即y＝x2比y＝log2x增长得快． 由此可见，在(0,2)和(4，＋∞)上，总有2x＞x2＞log2x，即y＝2x增长得最快；在(2,4)上，总有x2＞2x＞log2x，即y＝x2增长得最快． (3)一般的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 改变指数函数、对数函数的底数和幂函数的指数，重新作图，观察图像会发现这三种函数的增长情况具有一定的规律性． 一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论a比n小多少，尽管在x的一定范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n 的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n； 同样的，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定区间内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n. 综上所述，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝a(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(x＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x＜a. 由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”． 析规律三种函数模型的性质 4．2 简单幂函数的图象和性质 水平1 1．函数y ＝－x 2是幂函数．( ) 2．幂函数y ＝x 2是偶函数．( ) 3．幂函数y ＝x －1是减函数．( ) 4．幂函数都过点(0，0)，(1，1).( ) 5．当0 所以a ＝1，－b ＋1＝0， 即a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2. 3．若定义域为R 的函数f (x )＝(m 2－4m －4)x m 是幂函数，则m ＝________． 【解析】因为f (x )是幂函数，所以m 2－4m －4＝1，即m 2－4m －5＝0，解得m ＝5或m ＝－1. 当m ＝5时，f (x )＝x 5的定义域为R ，合乎题意． 当m ＝－1时，f (x )＝x －1的定义域为()－∞，0∪() 0，＋∞，不合题意．所以m ＝5. 答案：5 ·题组二 幂函数的图象及其应用 1．如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则C 1， C 2，C 3，C 4的n 依次为( ) A.－2，－12，1 2，2 B.2，12，－1 2，－2 C.－12，－2，2，12 D.2，，－2，－12 【解析】y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象变化为：当n >0时，n 越大，y ＝x n 的递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝1 2；当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭， 所以曲线C 3的n ＝－1 2 ，曲线C 4的n ＝－2. 2．下列关于函数y ＝x α与y ＝αx ⎝⎛⎭ ⎫α∈⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫ －1，12，2，3的图象正确的是( ) 函数的性质 要求层次 重点 难点 单调性 C ①概念和图象特征 ②熟知函数的性质和图象 ①函数单调性的证明和判断 ②简单函数单调区间的求法 奇偶性 B 简单函数奇偶性的判断和证明 ①复合函数的奇偶性判断与证明 *②抽象函数的奇偶性 周期性 B 简单函数周期性的判断和证明 ①复合函数的周期性判断与证明 *②抽象函数的周期性 一、函数单调性 （一） 主要知识： 1.函数单调性的定义： 知识内容 高考要求 模块框架 函数的图像与性质 ①如果函数()f x 对区间D 内的任意12,x x ，当12x x <时都有()()12f x f x <，则称()f x 在D 内是增函数；当12x x <时都有()()12f x f x >，则()f x 在D 内时减函数． ②设函数()y f x =在某区间D 内可导，若()0f x '>，则()y f x =为x D ∈的增函数；若 ()0f x '<，则()y f x =为x D ∈的减函数． 2.单调性的定义①的等价形式： 设[]12,,x x a b ∈，那么 ()()()1212 0f x f x f x x x ->⇔-在[],a b 是增函数； ()()()1212 0f x f x f x x x -<⇔-在[],a b 是减函数； ()()()12120 x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数． 3.复合函数单调性的判断：“同增异减” 4.函数单调性的应用．利用定义都是充要性命题． 即若()f x 在区间D 上递增（递减）且1212()()f x f x x x <⇔<（1x 2,x D ∈）； 若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>．（1x 2,x D ∈）． ①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等 （二）主要方法 1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2．判断函数的单调性的方法有： ⑴用定义； 用定义法证明函数单调性的一般步骤： ①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x < ②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形． ③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论． ④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间． ⑵用已知函数的单调性； ⑶利用函数的导数； ⑷如果()f x 在区间D 上是增（减）函数，那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增（减）函数； ⑸图象法； ⑹复合函数的单调性结论：“同增异减” ； 复合函数的概念： 教学过程： 一、幂函数 1．幂函数的定义 ⑴一般地，形如y x α=(x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数; ⑵112 3 4 ,,y x y x y x -===等都是幂函数，在中学里我们只研究α为有理数的情形； ⑶幂函数与一、二次函数，正、反比例函数及指、对数函数一样，都是基本初等函数. 2．幂函数的图像 ⑵归纳幂函数的性质： ① 当0α>时: ⅰ)图象都过()()0,0,1 ,1点。 ⅱ）在第一象限内图象逐渐上升，都是增函数,且α越大，上升速度越快。 ⅲ）当1α>时，图象下凸；当01α<<时,图象上凸。 2 1x 1-=x ② 当0α<时： ⅰ)图象都过()1,1点。 ⅱ)在第一象限内图象逐渐下降,都是减函数，且α越小，下降速度越快。 思考1：如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 思考2：如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 例题讲解： 例1 写出下列函数的定义域和奇偶性 (1)4 y x = (2）14 y x = （3）3y x -= （4）2y x -= 例2 比较下列各组中两个值的大小： （1）1 16 6 2,3 ；（2)4 314.3- 与4 3- π ;（3）35)88.0(-与53 (0.89)-． 思考：.比较下列各数的大小：(1)2333 4 4 1.1,1.4,1.1； (2) 3338 4 2 0.16,0.5,6.25.-- 例3 已知函数()()2 212.m m f x m m x +-=+则当m 为何值时，()f x 是 （1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）幂函数？ 例4 已知函数画出23 y x - =的大致图象。 ⑴求其定义域、值域；⑵判断奇偶性和单调性；⑶画出23 y x -=的大致图象。 二、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念2022新教材高中数学课时检测22简单幂函数的图象和性质含解析北师大版必修第一册
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