matlab 复变函数
一、介绍
MATLAB是一个非常强大的数学软件，可以处理各种复杂的数学问题，包括复变函数。复变函数是一种在复平面上定义的函数，它可以用来
描述许多物理和工程现象。因此，MATLAB提供了许多功能强大的工
具来处理和分析复变函数。
二、基本概念
1. 复平面
复平面是由实部和虚部组成的平面。在MATLAB中，可以使用complex(x,y)函数创建一个复数。其中x表示实部，y表示虚部。
2. 复变函数
复变函数是一个将一个或多个复数映射到另一个复数的函数。在MATLAB中，可以使用z = f(w)来表示一个复变函数。
3. 解析性
解析性是指一个函数在其定义域内存在导数。如果一个函数在某个点处存在导数，则称该点为解析点。
4. 共轭
共轭是指将一个复数的虚部取负后得到的结果。在MATLAB中，可以使用conj(z)来计算一个复数的共轭。
5. 模长
模长是指一个复数到原点距离。在MATLAB中，可以使用abs(z)来计算一个复数的模长。
三、常用操作
1. 绘制图形
绘制图形是处理和分析复变函数时必不可少的操作之一。在MATLAB 中，可以使用plot函数来绘制复变函数的图形。
2. 计算导数
计算导数是分析复变函数的重要操作之一。在MATLAB中，可以使用diff函数来计算复变函数的导数。
3. 计算积分
计算积分也是处理和分析复变函数时必不可少的操作之一。在MATLAB中，可以使用integral函数来计算复变函数的积分。
4. 计算共轭
计算共轭是处理和分析复变函数时经常需要进行的操作之一。在MATLAB中，可以使用conj(z)来计算一个复数的共轭。
5. 计算模长
计算模长也是处理和分析复变函数时必不可少的操作之一。在MATLAB中，可以使用abs(z)来计算一个复数的模长。
四、常用工具箱
1. Symbolic Math Toolbox
Symbolic Math Toolbox是一个用于求解符号数学问题的工具箱。它
提供了许多功能强大的工具来处理和分析符号表达式。
2. Control System Toolbox
Control System Toolbox是一个用于设计和分析控制系统的工具箱。它提供了许多功能强大的工具来设计和优化控制系统。
3. Optimization Toolbox
Optimization Toolbox是一个用于求解优化问题的工具箱。它提供了许多功能强大的工具来求解各种类型的优化问题。
4. Signal Processing Toolbox
Signal Processing Toolbox是一个用于处理信号和图像的工具箱。它提供了许多功能强大的工具来分析和处理各种类型的信号和图像。
五、示例代码
1. 绘制复平面
function plot_complex_plane()
x = linspace(-2,2,100);
y = linspace(-2,2,100);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
Z = complex(X,Y);
scatter(real(Z(:)),imag(Z(:)),'.'); end
2. 计算复变函数的导数
function dz = derivative(z)
syms w
f(w) = z;
df = diff(f,w);
dz = double(df);
end
3. 计算复变函数的积分
function I = integral_f(z)
syms w
f(w) = z;
I = double(int(f,w));
end
4. 计算共轭和模长
function [z_conj,z_abs] = conjugate_and_abs(z) z_conj = conj(z);
z_abs = abs(z);
end
利用MATLAB进行复变函数的主要运算 摘要 复变函数与积分变换理论性较强,又是解决实际问题的强有力的工具.该课程已深入到数学的各个分支,如微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学科.然而该课程的很多内容比较抽象,学起来比较枯燥且难学. 本文利用MATLAB讨论了复变函数与积分变换中的复数运算、泰勒级数的展开、留数、有理函数展开、Fourier变换、Laplace变换和复变函数图形绘制等几个问题.这样不仅提高和完善复变函数与积分变换方法的实用性,同时可以培养学习者运用MATLAB语言编程的能力,对学习者以后的专业课及工作中使用数学软件进行数据处理有很大帮助. 关键词：MATLAB; 复变函数; 积分变换 1.复数的生成： Z= a + b*I;z = r*exp(i*theta); 2.复数的运算： Real（z）imag（z）； 3．共轭复数 复数的共轭可由函数conj 实现。调用形式conj(x) 返回复数x 的共轭复数4．复数的模和辐角 复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。调用形式abs(x)复数x 的模angle(x)复数x的辐角 5．复数的乘除法 复数的乘除法运算由“/”和“ ”实现。 6．复数的平方根 复数的平方根运算由函数sqrt实现。调用形式sqrt(x)返回复数x的平方根值。7．复数的幂运算 复数的幂运算的形式为x^ n结果返回复数x的n次幂。 8.复数的指数和对数运算 复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。调用形式exp(x)返回复数x的以e为底的指数值log( x) 返回复数x的以e为底的对数值。 9．复数方程求根 复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve实现。 10.留数 在MATLAB中可用如下方法：假设以知奇点a和m重数，则用下面的MATLAB 语句可求出相应的留数 Limit(f*(x-a),x,a) %返回x=a的一级极点的留数 Limit(diff(f*(x-a)^m,x,m-1)/prod(1:m-1),z,a %返回x=a的m级极点的留数
《MATLAB语言》课程论文 运用MATLAB语言解决级数及其相关问题 姓名：李娟娟 学号：12010245220 专业：电子信息工程 班级：2010级电子班 指导老师：汤全武 学院：物理电气信息学院 完成日期：2011/12/12
运用MATLAB 语言解决级数及其相关问题 （李娟娟 12010245220 2010级电子班） [摘要]无穷级数是高等数学中的一个重要组成部分，它是表示函数,研究函数的性质以及进行数值计算 的一种工具。运用MATLAB 语言来求解无穷级数求和、幂级数展开、泰勒级数展开以及研究傅里叶级数提供了方便，并且在复变函数中解决级数问题也可由MATLAB 来完成。同时运用高等数学中级数来解决日常实际问题的情况也可通过MATLAB 程序来完成。MATLAB 的运用大大减少工作量、节约时间，同时加深对高等数学、复变函数及MATLAB 语言的理解和学习。 [关键词]MATLAB 语言 无穷级数 级数求和 泰勒级数 傅里叶级数 一、问题的提出 级数作为高等数学和复变函数中的必学内容，要求我们必须掌握其定理内容及计算方法。但级数强大的计算量和多字母的表达示让很多人无从下手，加上出错率高，更给级数运算再添麻烦。为解决这一问题我们现在运用MATLAB 语言来求解高等数学中的级数问题，涉及常系数项级数求和、泰勒级数展开成幂级数以及函数的傅里叶级数的展开等。 二、常数项级数的求和与审敛 高数中，一般的，如果给定一个数列 123,,,...,...n u u u u 则由这数列构成的表达式：123......n u u u u +++++ (1)叫做（常数项）级数，记为 1 n Un ∞ =∑，即 1 n Un ∞ =∑=1 2 3......n u u u u +++++ 其中第n 项n u 叫做级数的一般项。 做（常数项）级数（1）的前n 项和 123...n n s u u u u =++++=1n i Ui =∑ (2) n s 称为级数的(1)部分和，当n 依次取1,2,3，……时，他们构成一个新数列 112123123,,,...s u s u u s u u u ==+=++
matlab 复变函数 一、介绍 MATLAB是一个非常强大的数学软件，可以处理各种复杂的数学问题，包括复变函数。复变函数是一种在复平面上定义的函数，它可以用来 描述许多物理和工程现象。因此，MATLAB提供了许多功能强大的工 具来处理和分析复变函数。 二、基本概念 1. 复平面 复平面是由实部和虚部组成的平面。在MATLAB中，可以使用complex(x,y)函数创建一个复数。其中x表示实部，y表示虚部。 2. 复变函数 复变函数是一个将一个或多个复数映射到另一个复数的函数。在MATLAB中，可以使用z = f(w)来表示一个复变函数。 3. 解析性
解析性是指一个函数在其定义域内存在导数。如果一个函数在某个点处存在导数，则称该点为解析点。 4. 共轭 共轭是指将一个复数的虚部取负后得到的结果。在MATLAB中，可以使用conj(z)来计算一个复数的共轭。 5. 模长 模长是指一个复数到原点距离。在MATLAB中，可以使用abs(z)来计算一个复数的模长。 三、常用操作 1. 绘制图形 绘制图形是处理和分析复变函数时必不可少的操作之一。在MATLAB 中，可以使用plot函数来绘制复变函数的图形。 2. 计算导数
计算导数是分析复变函数的重要操作之一。在MATLAB中，可以使用diff函数来计算复变函数的导数。 3. 计算积分 计算积分也是处理和分析复变函数时必不可少的操作之一。在MATLAB中，可以使用integral函数来计算复变函数的积分。 4. 计算共轭 计算共轭是处理和分析复变函数时经常需要进行的操作之一。在MATLAB中，可以使用conj(z)来计算一个复数的共轭。 5. 计算模长 计算模长也是处理和分析复变函数时必不可少的操作之一。在MATLAB中，可以使用abs(z)来计算一个复数的模长。 四、常用工具箱 1. Symbolic Math Toolbox Symbolic Math Toolbox是一个用于求解符号数学问题的工具箱。它
湖北民族学院理学院 2014年春季学期 数学与应用数学专业复变函数实验课 （一）计算部分 上课教师：汪海玲
Matlab中复变函数命令集 定义符号变量Syms 虚单位z=Sqrt(-1) 复数表示z=x+y*i 指数表示z=r*exp(i*a) 求实部Real(z) 求虚部Imag(z) 求共轭Conj(z) 求模Abs(z) 求幅角Angle(z) 三角函数z=sin(z) z=cos(z) 指数函数z=exp(z) 对数函数z=log(z) 幂函数z=z^a 解方程expr=‘方程式’; Solve(expr) 泰劳展开Taylor(e,z) 求留数[r,p,k]=residue(p,q) 傅立叶变换Fourier(e,z,w) 逆傅立叶变换Ifourier(e,w,z) 拉普拉斯变换Laplace(e,w,t) 逆拉普拉斯变换Ilaplace(e,t,x)
一复数的运算 1．复数的实部和虚部 复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。 调用形式 real返回复数x的实部 (x ) (x imag返回复数x的虚部 ) 2．共轭复数 复数的共轭可由函数conj实现。 调用形式 conj返回复数x的共轭复数 (x ) 3．复数的模和辐角 复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。 调用形式 abs复数x的模 ) (x angle复数x的辐角 ) (x 上机操作：课本例题1.2、例题1.4、课后习题（一）1. 4．复数的乘除法 复数的乘除法运算由“/”和“ ”实现。 5．复数的平方根 复灵敏的平方根运算由函数sprt实现。 调用形式 ) sprt返回复数x的平方根值 (x 6．复数的幂运算 x^，结果返回复数x的n次幂。 复数的幂运算的形式为n 上机操作：课本例题1.8 7．复数的指数和对数运算 复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。
matlab复变函数画图形 第四篇计算机仿真 第二十一章计算机仿真在复变函数中的应用 基于MATLAB语言的广泛应用,我们介绍的计算机仿真方法主要立足于对MATLAB 语言的仿真介绍,而其它的数学工具软件,MATHEMATIC,MATHCAD,MAPLE,的仿真方法是类似的, 本章将重点介绍使用MATLAB进行复数、复变函数的各类基本运算以及定理的 验证,并介绍仿真计算留数、积分的方法,以及复变函数中Taylor级数展 开,Laplace 变换和Fourier变换, 21.1 复数运算和复变函数的图形 21.1.1 复数的基本运算 1复数的生成 复数可由语句z=a+b*i 生成，也可简写成z=a+bi;另一种生成复数的语句是 z=r*exp(i*theta)，其中theta是复数辐角的弧度值， r 是复数的模( 2复矩阵的生成 创建复矩阵有两种方法( (1)一般方法 例 21.1.1创建复矩阵的一般方法( 【解】仿真程序为 A=[3+5*I -2+3i i 5-i 9*exp(i*6) 23*exp(33i)] %运行后答案为A =3.0000+5.0000i -2.0000+3.0000i 0+1.0000i 5.0000-1.0000i 8.6415-2.5147i -0.3054+22.9980i ,说明: %后为注释语句,不需输入)
(2)可将实、虚矩阵分开创建，再写成和的形式 例 21.1.2 将实、虚部合并构成复矩阵 【解】仿真程序为 re=rand(3,2); im=rand(3,2); com=re+i*im %运行后答案为 com = 0.9501+0.4565i 0.4860+0.4447i 0.2311+0.0185i 0.8913+0.6154i 0.6068+0.8214i 0.7621+0.7919i 21.1.2 复数的运算 1 复数的实部和虚部 复数的实部和虚部的提取可由函数real和 imag 实现(调用形式如下: real(z) 返回复数 z 的实部; imag(z) 返回复数 z 的虚部. 2 共轭复数 复数的共轭可由函数conj实现(调用形式为:conj(z) 返回复数 z 的共轭复数. 3 复数的模与辐角 复数的模与辐角的求取由函数 abs 和angle实现(调用形式为: abs(z) 返回复数 z 的模; angle(z) 返回复数 z 的辐角. 例 21.1.1求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角( 113i(34i)(25i)，,,82132i，i4ii,，i1i,2i(1); (2); (3); (4)( 【解】 a=[1/(3+2i) 1/i-3i/(1-i) (3+4i)*(2-5i)/2i i^8-4*i^21+i] %a =0.2308 - 0.1538i 1.5000 - 2.5000i -3.5000 -13.0000i 1.0000 - 3.0000i
第9章 Matlab在复变函数中的应用 从根本上讲，复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了Taylor级数展开，Laplace 变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。 本章将重点介绍使用Matlab来进行复变函数的各种计算；介绍留数的概念及Matlab的实现；介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开（Laurent展开、Laplace变换和Fourier 变换）。 9.1 复数及其矩阵的生成 。 在Matlab中，复数的单位为i和j，即：i = j =1 9.1.1 复数的生成 在Matlab中，产生复数的方法有两种： 1.由z = x + y*i产生，可简写成z = x + y i ； 2.由z = r*exp (i*theta)产生，可简写成z = r*exp (theta i )，其中r为复数z的模，theta 为复数z辐角的弧度值。 9.1.2 复数矩阵的输入 Matlab的矩阵元素允许是复数、复变量和由它们组成的表达式。复数矩阵的输入方法有两种： 1. 与实数矩阵相同的输入方法（见第1章） 2. 将实部、虚部矩阵分开输入，再写成和的形式 例9-1 >> A=[1,3;-2,4]-[5 8;6 -9]*i A = 1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 8.0000i -2.0000 - 6.0000i 4.0000 + 9.0000i 9.2 复数的运算 9.2.1 复数的实部与虚部 复数的实部和虚部用命令real和imag提取。 格式：real (z) %返回复数z的实部 imag (z) %返回复数z的虚部 9.2.2 共轭复数 复数的共轭复数由命令conj实现。 格式：conj (z) %返回复数z的共轭复数 9.2.3 复向量或复矩阵的转置 复向量或复矩阵的转置符合两个规则： 1. 符合实矩阵转置原则 2. 转置后的元素均为共轭复数 格式：Z’%Z的共轭转置 例9-2 >> A=[1,3;-2,4]-[5 8;6 -9]*i A = 1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 8.0000i -2.0000 - 6.0000i 4.0000 + 9.0000i >> A' ans = 1.0000 + 5.0000i - 2.0000 + 6.0000i
浅谈MATLAB在复变函数教学中的几点应 用 作者：韩英李雁飞汪贤华弓亚鑫舒心 来源：《科技资讯》 2014年第32期 韩英1 李雁飞2 汪贤华1 弓亚鑫2 舒心2 (1.北京石油化工学院数理系;2.北京石油化工学院信息工程学院北京 102617) 摘要:复变函数课程的理论比较枯燥。论文设计了MATLAB软件在复变函数教学中的几个典型案例,将MATLAB引入课堂教学,通过数学实验,让学生感受“看得见”的数学,使得复变函数的理论学习达到事半功倍的效果。 关键词:MATLAB 复变函数泰勒级数洛朗级数 中图分类号:O174.55 文献标识码:A 文章编号:1672- 3791(2014)11(b)-0121-03 “复变函数”课程是通信工程、电子工程、自动化等工科专业必修的专业基础课,该课程理论性强、内容抽象,工科学生普遍感到学习困难。为了解决这个问题,我们在复变函数的教学中 引入MATLAB实践内容,使得复变函数的教学理论与实验相结合,教与学相结合,引导学生利用软 件对教学内容进行仿真,激发其学习积极性与主动性,提高其对于复变函数内容的理解。该文就MATLAB在复变函数中的几点应用加以分析。通过计算机实现对复变函数主要计算问题的实验, 达到传统理论教学无法实现的效果。 1 利用MATLAB进行复变函数的简单运算 复数的表示式突出三角表示法和指数表示法,而这两种表示法中辐角的计算公式较复杂,利 用MATLAB可以把复数的实部,虚部,共轭复数,辐角,模等利用简单的命令求出。 解:在MATLAB工具窗输入以下矩阵 A=[((1+i)*(2-i)^2*(3-i)^3)/((3+4)^4*(2+i)^5) i^i i^(2^1/2) (-8)^(1/3) log(1+i)] A= -0.0016+0.0005i 0.2079+0.0000i 0.0000+1.0000i 1.0000+1.7321i 0.3466+ 0.7854i
matlab复变函数求导 Matlab是一种常用的科学计算软件，它提供了丰富的工具箱和函数来进行各种数学计算和数据分析。在Matlab中，我们可以使用复变函数求导来解决一些复杂的数学问题。本文将介绍如何使用Matlab 进行复变函数的求导。 复变函数是指输入和输出都是复数的函数。它可以表示为f(z)，其中z是复数。复变函数的导数也是一个复变函数，表示为f'(z)。复变函数的求导可以通过求偏导数来实现，即对实部和虚部分别求导。 在Matlab中，我们可以使用syms函数来定义复变函数，并使用diff函数来求导。首先，我们需要将变量定义为符号变量，以便Matlab能够识别它们是符号而不是数值。例如，我们可以使用以下代码定义一个复变函数f(z)： syms z f = z^2 + 2*z + 1 在这个例子中，我们定义了一个复变函数f(z)，表示为z的平方加上2乘以z再加上1。接下来，我们可以使用diff函数来求导，如下所示： df = diff(f, z)
这个代码将返回复变函数f(z)的导数df。在这个例子中，导数df 等于2*z + 2。我们可以通过将z替换为具体的数值来计算导数的数值结果。例如，我们可以将z替换为3，然后计算导数的数值结果： df_value = subs(df, z, 3) 这个代码将返回导数在z等于3时的数值结果。 除了使用diff函数，Matlab还提供了一些其他函数来处理复变函数的求导问题。例如，我们可以使用gradient函数来计算复变函数的梯度。梯度是一个向量，表示函数在每个点的导数。我们可以使用以下代码来计算复变函数f(z)的梯度： [grad_x, grad_y] = gradient(f, real(z), imag(z)) 在这个例子中，grad_x和grad_y分别表示复变函数f(z)在实部和虚部方向上的导数。我们可以将这两个导数合并成一个复变数导数，如下所示： grad = grad_x + 1i * grad_y 这个代码将返回复变函数f(z)的导数grad。 除了求复变函数的一阶导数，Matlab还可以求高阶导数。我们可以使用diff函数的第二个参数来指定求导的阶数。例如，我们可以使
第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1） （2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部．
【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值.
第一章 复变函数与解析函数 §1.1 复 数 §1.2 平 面 点 集 §1.3 连续函数 §1.4 解析函数 §1.5 函数可导的充要条件 §1.6 初等解析函数 复变函数与积分变换及应用背景 M.Kline {Morris Kline (1908-1992) , 纽约大学Courant 数学研究所的教授. 他的著作包括《数学: 确定性的丧失》等.}(《古今数学思想》(Mathematical Thought from Ancient to Modern Times)的作者, 美国数学史家) 指出: 从技术观点来看,十九世纪最独特的创造是单复变函数的理论.这个新的数学分支统治了十九世纪,几乎象微积分的直接扩展统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学分支,一直被称为这个世纪的数学享受.它也被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一. (1) 代数方程210x +=在实数围无解. 为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数的概念, 从而建立了复变函数理论.Gauss {(Carl Friedrich Gauss(1777.4.30-1855.2.23))伟大的德国数学家、天文学家和物理学家. 幼时家境贫困, 但聪敏异常, 曾被誉为数学神童.1795～1798年在哥廷根大学学习,1796年发现正十七边形的尺规作图法, 解决了Euclid 以来悬而未决的问题. 1799年证明了代数基本定理获得博士学位. Guass 是近代数学奠基者之一, 有“数学王子”之称. 从1807年起担任哥廷根大学教授兼哥廷根天文台台长, 直至逝世. Guass 的数学研究几乎遍及所有领域, 在很多方面都做出了开创性的贡献. 他还把数学应用于天文学、测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法. Guass 曾说: “数学是科学之王.”}应用复变函数理论证明了代数基本定理. {复 系数n 次代数方程1110n n n n z a z a z a --++++=在复数域必有n 个根. } (2) 复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函数的积分. J. Hadamard {(1865.12.8-1963.10.17)法国数学家. 他在1896年应用复变函数理论证明了当 x =1时, Riemann ζ函数()0,z ζ≠从而证明了素数定理.他曾于1936年来华在清华大学讲学. Riemann ζ函数11()n n z z ζ∞==∑}说: 实域中两个真理之间的最短路程是通过复域. (3) 复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动等问题的研究.
186-192 第五章复变函数 复变函数和实变函数有很深的联系，很多复变函数的定理和运算规则都是对实变函数理论的推广，明白了这一点对于学习复变函数有很大的帮助。但是复变函数有很大的帮助。但是复变函数又有它自身的特点，某些运算规则来源于对实变函数运算规则的推广，但是又有明显不同于实变函数的特点。本章讲述的是MA TLAB在复变函数中的运用。正是因为复变函数和实变函数有如此深的联系，所以大多数处理复变函数的MA TLAB命令和处理实变函数的命令是同一个命令。 5-1 复数 5-1-1 复数的表示 1.复数的表示 我们知道在数学中复数z有实部和虚部组成，表示为：z=x+iy，x和y为实数，i为虚数单位。在MATLAB中也是采用这种表示方式来表示复数，只不过除了用i表示复数单位外，还常常使用j表示复数单位。所以我们以后在定义变量时最好不要使用i和j，以免让MATLAB系统发生混淆，出现错误。 我们可以使用直接输入的方法定义一个复数，例如： >> z=2+3i z = 2.0000 + 3.0000i 也可以使用命令函数complex()来定义一个复数、复数数组和复数矩阵。 范例5-1 使用命令函数complex()来定义一个复数、复数数组和复数矩阵。 程序设计： >> clear >> z1=complex(2,3) z1 = 2.0000 + 3.0000i >> a=(1:4);b=(5:8); >> z2=complex(a,b) z2 = 1.0000 + 5.0000i 2.0000 + 6.0000i 3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i
matlab 收敛域 收敛域是数学中一个重要的概念，特别在数值分析和复变函数理论中有着广泛的应用。在MATLAB中，我们经常需要分析和确定函数的收敛域，以便正确地进行数值计算和数值模拟。 收敛域指的是函数在复平面上哪些点上的函数序列或级数是收敛的。在MATLAB中，我们可以通过一些方法来确定函数的收敛域，下面将介绍一些常用的方法和技巧。 我们可以通过函数的定义来分析函数的收敛域。对于一些简单的函数，比如多项式函数、指数函数等，它们的收敛域很容易确定。比如，多项式函数的收敛域是整个复平面，而指数函数的收敛域是整个复平面减去虚轴上的点。 对于一些复杂的函数，我们可以通过分析函数的性质来确定其收敛域。比如，对于有理函数，我们可以通过分析分母的零点来确定函数的收敛域。如果分母的零点在复平面上的某个区域内，那么函数的收敛域就是该区域的补集。 MATLAB还提供了一些内置函数来帮助我们确定函数的收敛域。比如，"isfinite"函数可以用来判断函数在某个点上是否有限；"isinf"函数可以用来判断函数在某个点上是否无穷；"isnan"函数可以用来判断函数在某个点上是否为NaN。通过这些函数的判断，我们可以得到函数的收敛域。
MATLAB还提供了一些绘图函数来帮助我们可视化函数的收敛域。比如，"ezplot"函数可以用来绘制函数的图像；"ezcontour"函数可以用来绘制函数的等高线图。通过观察函数的图像，我们可以初步判断函数的收敛域。 除了以上方法，MATLAB还提供了一些数值分析和数值模拟的工具箱，可以帮助我们更精确地确定函数的收敛域。比如，"Symbolic Math Toolbox"可以用来进行符号计算和符号求解；"Numerical Analysis Toolbox"可以用来进行数值计算和数值模拟。通过这些工具箱的使用，我们可以得到函数的精确的收敛域。 MATLAB提供了丰富的工具和方法来确定函数的收敛域。通过分析函数的定义、性质和图像，以及使用MATLAB提供的内置函数和工具箱，我们可以准确地确定函数的收敛域。在进行数值计算和数值模拟时，正确地确定函数的收敛域是非常重要的，可以保证计算结果的准确性和可靠性。因此，掌握MATLAB中函数收敛域的分析方法，对于深入理解数值分析和复变函数理论，以及有效地进行数值计算和数值模拟是至关重要的。
复变函数的应用及发展史 作者：杨慧贤 来源：《数学大世界·下旬刊》2019年第05期 【摘要】复变函数在我国数学与物理学发展中有着重要的应用，通过复变函数的应用能够解决实际生活中遇到的许多问题，不过，目前人们在对复变函数进行研究时，仍旧有许多问题亟需解决。为此，本文对复变函数进行了简要的介绍，并明确了复变函数的相关应用，阐述了复变函数的发展史，以期能够帮助人们更加深入地了解复变函数的内涵及发展，使复变函数能够在更多领域中得到有效应用。 【关键词】复变函数；应用；发展史 近些年来，数学的快速发展使复变函数变得越来越重要，这也使越来越多的专家与学者投入到复变函数的研究中。复变函数在各个领域中发挥着重要作用，通过复变函数的应用，有助于对实际生活中所遇到的各种问题进行有效解决，从而大大推动各个领域的技术发展。随着人们对复变函数研究的不断深入，复变函数的重要性也日益凸显出来，人们更加迫切地需要解决复变函数研究中存在的问题。为此，以下便对复变函数的相关应用及其介绍进行了阐述与分析。 一、复变函数介绍 复数这一概念是人们在求解方程根时无意中发现的，长期以来，人们一直无法理解复数，不过，随着数学学科的不断发展，复数在各个领域中的重要性也逐渐凸显出来，这也使人们将复数的形式通常定义为a+bi，在该定义中，虚数单位由i表示。单复变函数起源于数学中的多复分析，由于多复分析过于复杂，而且分析难度较大，这也使人们在多复分析中所研究出的方法和单复变函数存在很大差异，这是因为定义区域所具有的拓扑性质与几何性质会在很大程度上影响多复变全纯函数的性质。因此，人们在研究过程中，需要从局部性质逐渐向着整体性质转移，并利用微分几何学、拓扑学等学科中的方法及概念，从而为复变函数的发展拓宽道路。在20世纪90年代，复变函数论得到了高速的发展，并在当时成为重要的研究热门，在那时，大多数数学家都认为复变函数论具有广阔的研究前景，并将其誉为抽象科学中和谐性最强的数学理论。欧拉达朗贝尔最早创建了复变函数论，在随后的几年里，拉普拉斯也投入到复变函数积分的研究中，从而为复变函数学科的发展做出了卓越的贡献。 二、复变函数的应用 部分学者在研究函数时，已经不再对个别函数进行考虑，而是将其当作某种具有特定性质的族函数来进行统一的研究。P·蒙泰尔提出的解析函数正规族便是采用上述方法来进行的，这也使复变函数的发展得到了很大突破。例如，Hp空间就和很多数学分支都有着紧密的联系，而复变函数则是从一个变数向多个变数进行自然推广，多变数会大幅增加定义域的复杂性，其
Matlab在复变函数与积分变换课堂教学中的应用 徐彬 【摘要】在复变函数与积分变换的课堂教学中,为了让教学内容更容易被学生接受,提出将Matlab软件引入到课堂教学中.利用Matlab软件在绘图和计算方面的优势,将该课程中抽象且复杂的学习内容用可视化、动态化的形式直观地表现出来,同时简化了计算过程,促进学生对知识的深入理解,提高了学生的学习兴趣,取得了良好的教学效果. 【期刊名称】《湖北理工学院学报》 【年(卷),期】2016(032)003 【总页数】5页(P68-72) 【关键词】Matlab软件;复变函数与积分变换;课堂教学 【作者】徐彬 【作者单位】武昌首义学院基础科学部,湖北武汉430064 【正文语种】中文 【中图分类】G642.0 Matlab软件是数值计算型的数学类科技应用软件，由美国Mathworks公司于20世纪中期推出， Matlab软件有诸多优点：高效的数值计算功能可以使繁杂的数学运算问题得以快速解决；完备的图形处理功能可以实现计算结果或编程的可视化；丰富的应用工具箱提供了大量方便、实用的处理工具；用户界面清晰且操作简单。若将此软件运用于课堂教学中，势必可以优化教学效果[1]。
笔者长期从事复变函数与积分变换课程的教学工作，在近几年的课堂教学中，将Matlab软件引入到课堂教学中，通过Matlab辅助教学，使学生加深了对知识难 点的理解，提高了学生的学习兴趣，开拓了学生的视野。本文将结合笔者的教学经历，探讨Matlab软件在复变函数与积分变换课堂教学中的应用效果。 复变量的初等函数是实变量初等函数的推广，它们在性质上有许多相似之处，但在教学中应重点强调它们之间的区别，如：指数函数的周期性、对数函数的多值性、正弦余弦函数的无界性。通过Matlab软件的绘图功能，绘出这些函数的图形，便可直观地观察出函数的变换趋势[2]，从而加深学生对该知识点的理解。 复变量的指数函数ez是以2kπi(k=0,±1,±2,…)为周期的周期函数[3]，为了让学生更直观地看到复变量的指数函数具有周期性，可以利用Matlab里的“surf”函数，以XOY平面表示自变量所在的平面，以Z轴表示复变函数的实部，以颜色表示复变函数的虚部，画出复变量指数函数的四维表现图[4]。具体的Matlab指令如下：>>x=[0:pi/15:4*pi]; [x,y]=meshgrid(x); z=x+i*y; u=exp(z); surf(x,y,real(u),imag(u)); title('u=exp(z)') 将Matlab程序运行后得到的指数函数ez图像如图1所示，利用图像中的旋转功能，可将图1中的函数图像进行360°旋转，截得图2、图3。从图1～3中可以清楚地看到复变量的指数函数具有周期性。 复变量的对数函数为指数函数的反函数，Lnz=ln|z|+iargz+2kπi(k=0,±1,±2,…)，复变量的对数函数是无穷多值函数，当k取值不同时，对应的函数值也不同，且 每2个值相差2πi的整数倍[3]。
MATLAB编辑辛普生法计算定积 分的程序
辛普生法计算积分 程序： function s=Simpson()%辛普生法求积分 clear; clc; options={'积分下限a','积分上限b' ,'插入点相关的值M'}; topic='seting'; lines=1; def={'-5','5','1000'}; h=inputdlg(options,topic,lines,def); a=eval(h{1});%积分下限 b=eval(h{2});%积分上限 M=eval(h{3});%子区间个数的一半 %******************************************** f='func';%用f来调用被积函数func h=(b-a)/(2*M); s1=0; s2=0; for k=1:M x=a+h*(2*k-1); s1=s1+feval(f,x); end for k=1:(M-1) x=a+h*2*k; s2=s2+feval(f,x); end s=h*(feval(f,a)+feval(f,b)+4*s1+2*s2)/3;%s是辛普生规则的总计end %定义被积函数func function y=func(x) y=cos(x)./sqrt(1+x.^2); end 运行情况： 按“run”运行时，弹出窗口
将图框中的相关数据更 改为： 点击图框中的“OK”，在“command window”中输出结果为：ans =
第10章MATLAB外部程序接口应用 10.1 MATLAB数据接口 MA TLAB语言和其他程序设计语言一样,程序运行中的所有变量都保存在称为工作区的内存中,这些变量可以在程序中直接引用。但是工作区的大小是有限的,如果处理的数据较大,就需要和磁盘文件中的数据进行交换。有时要从外部设备中输入数据,有时要把程序处理过的数据输出到外部设备中。MA TLAB提供了多种不同层次的数据输入/输出函数。 MA TLAB支持某些特定格式和类型的数据文件(如图形文件、音频/视频文件、电子表格等的读写操作,将该类文件中的数据导入到MA TLAB的工作区,最简单的办法是使用数据导入向导(可通过选择File菜单项中的Import data命令或在命令窗口执行命令uiimport来激活它,而在M文件中则可以使用MA TLAB输入/输出函数。 在前面介绍过的load和save函数是MA TLAB中为装载和存储数据提供的工具,但load函数只能读取以ASCII形式存储的,每一行数据为固定长度的文件。如果一个文件中的数据全部由ASCII字符组成,且数据间有间隔符(如空格、逗号、分号、制表位,则文件称为有格式文件。有格式文件可以使用文本输入函数读取数据,其调用格式为: [A, B, C, …]=textread(filename, format, N, param, value 其中,A、B、C是用于存放读取数据的向量,filename为待操作的文件,format用以控制读取的数据格式,由%加上格式符组成,常见的格式符如表10-1所示。N指定重复使用该格式的次数,param指定一些特殊操作,value是与特殊操作有关的值,例如,跳过两行标题行可将'headerlines'