课后限时集训3
运动图象和追及相遇问题
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1．(2019·湖北武汉调研)通常情况下，人的反应时间和汽车系统的反应时间之和在
1.39～1.98 s 之间。若高速公路上两辆汽车行驶的速度均为100 km/h ，刹车时的加速度大小相同，前车发现紧急情况立即刹车，后车发现前车开始刹车时，也立刻采取相应措施。为避免两车追尾，两车行驶的间距至少应为( )
A ．39 m
B ．55 m
C ．100 m
D ．139 m
B [由于两车的加速度相同，所以两车行驶的安全距离即为汽车在反应时间内的位移，有Δx ＝×1.98 m ＝55 m ，故B 正确。]
1003.62.(多选)(2019·福建漳州二模)某个做直线运动的质点的位置—时间图象(抛物线)如图所示，P (2 s,12 m)为图线上的一点。PQ 为过P 点的切线，与x 轴交于点Q (0,4 m)。已知t ＝0时质点的速度大小为8 m/s ，则下列说法正确的是( )
A ．质点做匀减速直线运动
B ．t ＝2 s 时，质点的速度大小为6 m/s
C ．质点的加速度大小为2 m/s 2
D ．0～1 s 内，质点的位移大小为4 m
AC [由于位移—时间图象为抛物线，结合匀变速直线运动的位移—时间公式x ＝v 0t ＋at 2，已知v 0＝8 m/s ，时间t ＝2 s 时的位移为x ＝12 m ，代入解得a ＝－2 12m/s 2，则图线对应的函数为x ＝8t －t 2，即质点做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s 2，故A 、C 正确；t ＝2 s 时质点的瞬时速度为v 2＝v 0＋at ＝8 m/s －2×2 m/s ＝4 m/s ，故B
错误；由位移—时间公式可得0～1 s 内质点的位移x 1＝8×1 m －×2×12 m ＝7 m ，故D 12错误。]
3．(2019·天津期末)一玩具小车沿x 轴运动，其v -t 图象如图所示。下列说法正确的是( )
A ．第1 s 内和第4 s 内，小车的加速度大小相等、方向相同
B ．0～3 s 内，小车的平均速度为5 m/s
C ．t ＝3 s 时，小车的速度大小为5 m/s ，方向沿x 轴正方向
D ．第2 s 内和第3 s 内，小车位移相同
A [v -t 图象的斜率表示加速度，可知小车在第1 s 内和第4 s 内的加速度大小a ＝＝5 m/s 2，方向均为正方向，故A 正确；由v -t 图象与t 轴围成图形的面积表示位移，
Δv
Δt 可知小车在0～3 s 内的位移为2.5 m ，＝＝ m/s ＝ m/s ，故B 错误；t ＝3 s 时，
v －
x t 2.5356小车的速度大小为5 m/s ，方向沿x 轴负方向，故C 错误；根据图象可知，第2 s 内和第3 s 内小车位移大小相等，方向相反，故D 错误。]
4.(2019·菏泽一模)一辆汽车以20 m/s 的速度在平直的公路上行驶，当驾驶员发现前方有险情时，立即进行急刹车，刹车后的速度v 随刹车位移x 的变化关系如图所示，设汽车刹车后做匀减速直线运动，则当汽车刹车后的速度减小为12 m/s 时，刹车的距离x 1为( )
A ．12 m
B ．12.8 m
C ．14 m
D ．14.8 m
B [由题意可知，汽车做匀减速直线运动，设加速度大小为a ，由公式
0－v ＝－2ax ，解得a ＝10 m/s 2。当汽车刹车后的速度减小为12 m/s 时，由公式20v 2－v ＝2ax 1，代入数据解得汽车刹车的位移x 1＝12.8 m ，故选B.]
205．(多选)(2019·京西城区实验中学期末)物体甲运动的x -t 图象和物体乙运动的v -t 图象分别如图所示，则这两个物体的运动情况是( )
A ．甲在0～6 s 时间内来回运动，它通过的总位移为零
B ．甲在0～6 s 时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m
C ．乙在0～6 s 时间内来回运动，它通过的总位移为零
D ．乙在0～6 s 时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m
BC [本题考查运动图象问题。甲在0时刻由负方向上距原点2 m 处向正方向运动，6 s 时达到正方向的2 m 处，运动方向不变，总位移为4 m ，故A 错误，B 正确；乙0～3 s 内做负方向的匀减速直线运动，3～6 s 内做正方向的匀加速直线运动，图线与时间轴围成的面积表示物体通过的位移，则总位移为零，故C 正确，D 错误。]
6．(2019·青岛二模)A 、B 两物体沿同一直线运动，运动过程中的x -t 图象如图所示，下列说法正确的是( )
A ．4 s 时A 物体运动方向发生改变
B ．0～6 s 内B 物体的速度逐渐减小
C ．0～5 s 内两物体的平均速度相等
D ．0～6 s 内某时刻两物体的速度大小相等
D [A 物体的x -t 图线是一条倾斜的直线，所以A 物体做匀速直线运动，且速度为v A ＝＝ m/s ＝－1 m/s ，故选项A 错误；0～6 s 内B 物体的x -t 图线的斜率增大，Δx Δt －2－46则B 物体的速度逐渐增大，故选项B 错误；0～5 s 内，A 物体的位移Δx A ＝－1 m －4 m ＝－5 m ，B 物体的位移Δx B ＝－1 m －(－4 m)＝3 m ，所以A 、B 两物体在0～5 s 内位移不相等，则平均速度不相等，故选项C 错误；0～6 s 内，A 物体的位移Δx ′A ＝－2 m －4 m ＝－6 m ，B 物体的位移Δx ′B ＝2 m －(－4 m)＝6 m ，则|Δx ′A |＝|Δx ′B |，A 物体做匀速直线运动，B 物体的速度逐渐增大，则在0～6 s 内某时刻两物体的速度大小相等，故选项D 正确。]
7．(多选)(2019·河北五个一名校联盟一诊)冬天雾霾天气频繁出现。某日早晨浓雾天气中道路能见度只有30 m ，且路面湿滑。一辆小汽车以18 m/s 的速度由南向北行驶，某时刻，突然发现正前方浓雾中有一辆卡车正以6 m/s 的速度同向匀速行驶，于是，司机鸣笛示警同时紧急刹车，但路面湿滑，只能以2 m/s 2的加速度减速行驶。前车接到示警于2 s 后以2 m/s 2的加速度加速行驶。以下说法正确的是( )
A ．前、后车因都采取了必要的加、减速运动，所以不会追尾
B ．前、后车虽采取了加、减速运动，但加速度过小，仍会发生追尾
C ．在前车开始加速时，两车仅相距9 m
D ．两车距离最近时只有2 m
AD [设后车经时间t 两者共速，则18 m/s －2t m/s ＝6 m/s ＋2×(t －2) m/s ，解得
t ＝4 s ，此时间内后车的位移x 1＝18×4 m －×2×42 m ＝56 m ，前车的位移x 2＝6×2
12m ＋6×2 m ＋×2×22 m ＝28 m ，因x 2＋30 m>x 1，可知两车不会追尾，此时两车相距最近，12距离为28 m ＋30 m －56 m ＝2 m ，选项A 、D 正确，B 错误；在前车开始加速时，两车相距(30＋6×2) m －m ＝10 m ，选项C 错误。](18×2－12×2×22)
8.某人驾驶汽车在公路上行驶，某时刻起，他因故开始刹车，与之同时，前方相邻车道上有一正处于减速状态的汽车。若已知两车运动过程中的速度—时间图象如图所示，且两车会相遇，则以下判断正确的是( )
A ．后车刹车时两车间距离一定小于90 m
B ．后车刹车时两车间距离一定等于112 m
C ．两车相遇时一定有t ≤20 s
D ．两车相遇时一定有t ≥20 s
C [图中交点的坐标为(20 s,5 m/s)，则速度减小到5 m/s 之前，两车的位移分别为x 前＝×(15＋5)×20 m ＝200 m ，x 后＝×(25＋5)×20 m ＝300 m 。两车速度相等时，两1212车之间的距离最小，且由题意知两车会相遇，故后车刹车时两车之间的距离d ≤x 后－x 前＝100 m ，A 、B 错误；在t ＝20 s 之后，后车的速度小于前车的速度，两车不可能相遇，故两车相遇时一定有t ≤20 s ，C 正确，
D 错误。]
9．(2019·烟台期末)甲、乙两辆汽车在平直的高速公路上行驶，某时刻两车正好并排行驶，从该时刻起两车的速度—时间图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A ．t 0时刻两车相遇
B ．0到t 1时间内，甲、乙两车的加速度大小均逐渐减小且方向相同
C ．0到t 0时间内，甲车的平均速度小于乙车的平均速度
D ．t 1时刻甲、乙两车一定再次相遇，之后甲车将一直在乙车前方
C [根据速度—时间图线与时间轴所围的“面积”表示位移，可知0～t 0时间内乙车的位移比甲车大，则t 0时刻两车没有相遇，故A 错误；0～t 1时间内，甲、乙两车图线斜率均逐渐减小，则它们的加速度大小均逐渐减小，甲图线切线的斜率为正，乙图线切线的斜率为负，则甲、乙两车加速度方向相反，故B 错误；0～t 0时间内甲车的位移比乙车的小，则甲车的平均速度小于乙车的平均速度，故C 正确；0～t 1时间内，甲车的位移比乙车的大，则甲、乙两车在t 1时刻之前的某一时刻相遇，t 1时刻之后甲车的速度比乙车大，则甲车将一直在乙车前方，故
D 错误。]
10．(2019·天津南开中学月考)假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前，乙车在后。速度均为v 0＝30 m/s 。甲、乙相距x 0＝100 m ，t ＝0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化如图甲、乙所示，取运动方向为正方向。下列说法正确的是( )
A ．t ＝3 s 时两车相距最近
B ．t ＝6 s 时两车速度不相等
C ．t ＝6 s 时两车距离最近，且最近距离为10 m
D ．两车在0～9 s 内会相撞
C [由题给图象画出两车的v -t 图象如图所示，由图象可
知，t ＝6 s 时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积为
0～6 s 内两车位移之差，即Δx ＝x 乙－x 甲＝
m ＝90 m 11．随着我国高速公路的发展，越来越多的人选择驾车出行，为避免拥堵，高速公路管理部门开发了电子不停车收费系统ETC 。汽车通过ETC 通道和人工收费通道的流程如图所示。设汽车以v 1＝72 km/h 的速度沿直线朝着收费站正常行驶，如果汽车走ETC 通道，需要在到达通道口时将速度恰好均匀减为v 2＝4 m/s ，然后匀速通过总长度为d ＝16 m 的通道，接着再匀加速至速度为v 1后正常行驶；如果汽车走人工收费通道，需要在到达收费站中心线处时将速度恰好均匀减为0，经过t 0＝20 s 的时间缴费成功后，再启动汽车匀加 速至速度为v 1后正常行驶。设汽车匀加速和匀减速过程中的加速度大小均为a ＝1 m/s 2，求： (1)汽车走ETC 通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移x ； (2)汽车走ETC 通道比走人工收费通道节约的时间Δt 。 [解析] (1)汽车走ETC 通道时，匀减速阶段的位移和匀加速阶段的位移相等，均为x 1＝，所以整个过程中，总位移x ＝2x 1＋d ，代入数据解得x ＝400 m 。 v 21－v 2 2a (2)汽车走人工收费通道，到达收费站中心线时的速度恰好为0，则刚进入通道的速度 满足v 2＝2a d 2 解得v ＝v 2＝4 m/s 根据对称性知，汽车离开通道时的速度也恰好为4 m/s 汽车通过ETC 通道的时间t 1＝＝4 s d v 2通过人工收费通道的时间t 2＝＋t 0＝28 s 2v 2a 则节约的时间Δt ＝t 2－t 1＝24 s 。 [答案] (1)400 m (2)24 s 12．警匪之战不仅仅是电影中的情节，现实中警察也会面临相似的挑战。如图所示，白色警车以v 1＝30 m/s 行驶，掠过A 位置时发现一黑色可疑车辆停在A 线位置，于是立即以a 1＝3 m/s 2的加速度开始制动减速，白色警车掠过A 地作为计时起点，黑车3 s 后开始以a 2＝3 m/s 2的加速度开始加速向前逃窜，警车欲在车速减为零的同时斜打车身将黑色车逼停，但疯狂的黑色车一直加速直至撞上警车。把这个过程两车看成质点，问： (1)什么时刻两车相撞； (2)相撞前瞬间，黑色车的速度多大？ [解析] (1)设警车停下来所需的时间为t 1，停车时所行驶位移为x 1，则有 v 1＝a 1·t 1 v ＝2a 1x 12 1解得t 1＝10 s ，x 1＝150 m 在t 1＝10 s 时，黑色车所走位移x 2＝a 2(t 1－3)2＝73.5 m<150 m ，所以警车停车前未12相撞 设黑色车撞上警车发生在t 时刻，则a 2(t －3)2＝x 1 12得t ＝13 s 。 (2)相撞前瞬间，黑色车的速度v 2＝a 2·(t －3)＝30 m/s 。 [答案] (1)13 s (2)30 m/s 13．(2019·山东莱芜摸底)甲、乙两辆汽车，在同一条平直的公路上同向行驶，汽车甲在前，速度v 甲＝10 m/s ，汽车乙在后，速度v 乙＝30 m/s 。由于天气原因，当两汽车的距离为x 0＝75 m 时，乙车的司机发现前方的汽车甲，立 即以最大的加速度刹车，但汽车乙需行驶180 m 才能停下。 (1)通过计算判断如果甲车仍以原来的速度行驶，两车是否会发生碰撞； (2)通过(1)问中的计算，如果两车会相碰，则乙车刹车的同时马上闪大灯提示甲车，甲车的司机经过Δt ＝4 s 的时间才加速前进。则为了避免两车相碰，甲车加速时的加速度至少为多大？ [解析] (1)乙车刹车至停下来的过程中，有 0－v ＝2a 乙x 2乙 解得a 乙＝－＝－2.5 m/s 2 v 2 乙2x 画出甲、乙两辆汽车的v -t 图象如图所示， 根据图象计算出两辆汽车速度相等时的位移分别为 x 甲＝10×8 m ＝80 m x 乙＝×8 m ＝160 m 30＋102因x 乙>x 0＋x 甲＝155 m 故两车会相撞。 (2)设甲车的加速度为a 甲时两车恰好不相撞，则两车速度相等时，有v 乙＋a 乙t ＝v 甲＋a 甲(t －Δt ) 此时乙车的位移x 乙＝v 乙t ＋a 乙t 2 12甲车的位移x 甲＝v 甲t ＋a 甲(t －Δt )212为使两车不相撞，两车的位移关系应满足x 乙≤x 0＋x 甲 联立以上各式解得a 甲≥ m/s 2 56即甲车的加速度至少为 m/s 2。 56[答案] (1)见解析 (2) m/s 256
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