解的存在唯一性

解的存在唯一性定理证明及其研究

专业名称：数学与数学应用

组长：赵亚平

组员：刘粉娟、王蓓、孙翠莲

指导老师：岳宗敏

解的存在唯一性定理证明及其研究

摘要

线性微分方程是常微分课本中的重要组成部分，线性微分方程组解的存在唯一性是最重要，也是不可或缺的一部分，通过课本所学知识运用逐步逼近法以及压缩映射原理分别对一阶，高阶线性微分方程组解的存在唯一性进行的详细的论述证明。对于线性方程组解的情况，主要是通过对增广矩阵进行初等行变换，了解其秩的情况，在运用克莱默法则，从而得出其解的存在唯一性的情况。 关键词：解的存在唯一性 线性微分方程组 线性方程组

（一）一阶微分方程的解的存在唯一性定理与逐步逼近法

存在唯一性定理 考虑初值问题

),(y x f dx

dy

= 00)(y x y = （1）

其中f(x,y)在矩形区域R ：

b y y a x x ≤-≤-||,||00 （2）

上连续，并且对y 满足Lipschits 条件：即存在常数L>0（L 为利普

希茨常数），使不等式

|||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤-

对所有R y x y x ∈),(),,(21都成立,则初值问题(1)在区间h x x ≤-||0上解存在且唯一，这里

|),(|max ),,

min(),(y x f M M

b

a h R y x ∈==

证明思路：

1.初值问题（1）的解存在等价于求积分方程

?+=x

x dy y x f y y 0),(0 （3）

的连续解。

2.构造（3）所得解函数序列{)(x n ?}，任取一连续函数)(0x ?，

b y x ≤-|)(|00?代入（3）右端的y ，得

……

2,1,))(,()(0

01=+=?+n dx x x f y x x

x n n ??

3.函数序列{)(x n ?}在|,|00h x h x +-上一致收敛到)(x ?。这里为

)(x n ?=dx x x f y n x

x

n ))(,(lim 1-00

??∞

→+

dx

x x f y x x f y x

x

x

x n ??+

=+=∞

→0

))(,())

(,(lim 01-n 0??

4．)(x ?为（3）的连续解且唯一。首先在区间],[00h x x +是讨论，在错误！未找到引用源。上类似。 证明过程：

命题1 ：初值问题（1）等价于积分方程

?+=x

x dx y x f y y 0

),(0 （3）

证明：若)(x y ?=为（1）的解，则：

??

???==00)())(,()(y x x x f dx

x d ??? 对第一式从0x 到x 取定积分可得

?≡-x

x dx x x f x x 0))(,()()(0???

即

dx x x f y x x

x ?+=0))(,()(0??

反之，若)(x y ?=为（3）的连续解。，则有

dx x x f y x x

x ?+=0))(,()(0??

由于f(x,y)在R 上连续，从而))(,(x x f ?连续。故对上两式两边求导得

))(,()

(x x f dx

x d ??= 且000))(,()(0

y dx x x f y x x

x =+=???即y x =)(?为（1）的连续解。

下面取00)(y x =?，构造picard 逐步逼近函数如下：

）

2,1（,))(,()()(0010000

=+≤≤+

==?-n h x x x d f y x y x x

x

n n ξξ?ξ?? （4）

命题2：对于所有)(,）

,（和00x h x x x n n ?+∈连续且满足 b y x n ≤0-）(?

证明：(用数学归纳法证明)

当n=1时，?+=x

x d y f y x 0

,),()(001ξξ?虽然在)](,[0x h x n ?+上连续且

b Mh x x M d y f d y f y x x

x

x

≤≤-≤≤

=-??)(),(|),(|

|)(|00x

0010

ξξξξ?

设命题2当k n =时成立。即)(x k ?在)](,[0x h x n ?+上连续，且

b y x h ≤-|)(|0?

当1+=k n 时，?+

=+x

x

k d f y x 0

,)）

（,()(k 01ξξ?ξ?由),(y x f 在R 上连续可知，))(,(x x f k ?在)](,[0x h x n ?+上连续从而)(1x k +?在)](,[0x h x n ?+上连续且

b Mh x x M d y f d x f y x z

z z z k k ≤≤-≤≤=-??+)(),(|))(,(||)(|00010

ξξξ?ξ?

故命题2在1==k n 时成立，故由数学归纳法得知，命题2对所有n 成立。

命题3：函数序列)(x k ?在)](,[0x h x n ?+上一致收敛。 证明：考虑函数级数：

],[),())()(()(00110h x x x x x x x n n k k +∈=-+∑∞

=-???? （5）

它的部分和为

)())()(()()(110x x x x x s n m

k k k n ????=-+=∑=-

于是{)(x n ?}一致收敛性等于级数（5）的一致收敛性等价，我们对级数（5）的通项进行诂计

2

00010112x 001)(!

2)(）（由利普希茨条件得到|)()(|)）

（，（))(,(|)()(|)()(,(|)()(|0

00

x x ML

d x M L d L d f f x x x d f x x x

x x x x

x

n x

-=

-≤-≤-≤

-=≤-????

ξξξξ?ξ?ξξ?ξξ?ξ???ξξ?ξ??

设对正整数n 有不等式

n n n n x x M

ML x x )(|)()(|01

1-≤---??

则当h x x x +≤≤00时，由Lipschits 条件有

1

00111)()!

1()(!

|)()(|))(，()）(,(|)()(|0

+--+-+=

-≤-≤-≤

-???n n

n

x

x

n

x x n n x

x

n n n n x x n ML d x n ML d L d f f x x ξξξ

ξ?ξ?ξ

ξ?ξξ?ξ??

于是，由数学归纳法得知，对所有的正整数n 有

n n n n x x n ML x x )(!

|)()(|01

1-≤---?? h x x x +≤≤00 （6）

从而当h x x x +≤≤00时

n

n n n h n ML x x !

|)()(|11--≤-??

由于正级数∑

∞

=-1

1!

n n

n h n ML 收敛，由魏尔斯特拉斯（weierstrass ）判别法知，级数（5）在],,[00h x x +一致收敛，因而{)(x n ?}在],,[00h x x +上一致收敛。

现设)()(lim x x n n ??=∞

→，h x x x +≤≤00，则由)(x n ?连续性和一致收敛性得

)(x ?在],,[00h x x +上连续且b y x ≤-|)(|0?。

命题4.)(x n ?是积分方程(3)的定义于],,[00h x x +上的连续解. 证明：由Lipschits 条件

|)()(||))(,()(,(|x x L x x f x x f n n ????-≤-

以及{)(x n ?}在],,[00h x x +上的一致收敛,解出函数列

{)(x f n },))(,()((x x f x f n n ?=在],,[00h x x +上的一致收敛于函数）)(,(x x f n ?.

因而对(4)两边取极限.得到

??-∞

→-∞→∞

→+=+=x

x n n x

x n n n n d f y d f y x 00

))(,(lim ))(,(lim )(lim 1010ξ

ξ?ξξ

ξ?ξ?

即

?+

=x

x

d f y x 0

))(,()(0ξξ?ξ?

这表明)(x ?是积分方程(3)在],[00h x x +的连续解.

命题5: 设错误！未找到引用源。是积分方程(3)的定义于h x x x +≤≤00上的一个连续解.则)()(x x ψ?=,]x ,[00h x x +∈

证明：令|)()(|)(x x x g ψ?-=则)(x g 是定义在],,[00h x x +的的非负连续函数.由)(x ?和)(x ?所满足的积分方程式和).(0y x f 的Lipschits 条件得

ξ

ξξξψξ?ξξψξξ?ξd g L d L d f f x g x

x x x x

x ???=-≤-≤

)(|)()(||

))(,())(,(|)(

令ξξd g L x u x

x ?=0

)()(则)(x u 是定义在],[00h x x +上的连续函数且

)()('),()(0,0)(x Lg x u x u x g x u =≤≤=

于是0)')()()('(),()('≤=-≤-Lx e x u x u x u x Lu x u 对最后一个不等式从0x 到x 积分得

0)()(00=≤--Lx Lx e x u e x u

故0)()(≤≤x u x g ,即

,0)(=x g ],[00h x x x +∈

综合命题1-5即得存在唯一性定理的证明。

（二）n 阶线性微分方程初值问题解的存在性与唯一

性定理证明

n 阶线性微分方程，是一类具有特殊结构的微分方程，它是微分方程的重要组成部分。在自然科学与工程技术中有着广泛的应用。例

如，弹簧震动中它的下端着物体运动方程：);(22x f cx dt dx

dt dt x d m =++μ以

及电荷量q 的微分方程：E c

q

dt dq R dt q d L =++22等都是二阶线性微分方程。 一般n 阶线性微分方程可写成如下形式：

)()(...)(111x F y x a dx

y

d dx x a dx y d n n n n n =+++-- （1） 方程的初值条件记为：

1011000)(,...,)(,)(--===n n c x y c x y c x y （2）

我们有如下结论：

定理：（n 阶线性微分方程初值问题解的存在性与唯一性） 设)(x a i （i=1,2,...n)和)x F （均在区间I 上连续，则对任一∈0x I 和任意n 个常数,,...,110-n c c c 方程（1）恒有且只有一个定义在整个区间I 上且满足初值条件（2）的解。

同理用逐步逼近法证明n 阶线性微分方程初值问题解的存在唯一性。 (1)、把n 阶线性微分方程初值问题（1）、（2）化成与它等价的一阶线性微分方程，再引进向量和矩阵记号得方程组：

)()(x f y x A dx

dy

+= （NH ） 初值条件为：

ξ==)(0x y （3）

(2)、把初值问题（NH)化成下列等价的积分方程组：

()ds s f s y s A x x y x ?++=0

()()()(）

ξ （4） 即：如果)(x y ?=是初值问题（NH ），（3）的解，则它是积分方程组（4）的连续解；反之，如果)(x y ?=是积分方程组（4）的连续解，则它必是初值问题（NH ）,（3）的连续解。 (3)、用逐步逼近法构造皮卡序列：

ξ?=）

（x 0 ()?+=-x

x k k ds s f s x A x 0

)()()()(1?? k=1,2...

可证)(x k ?，k=1,2,...与区间I 上有定义且连续。

(4)、证明序列{})(x k ?与区间内部一致收敛，即与的任意有限闭子区间（00I ∈x ）上一致收敛，且极限函数是积分方程（4）在区间I 上连续解。

(5)、证明唯一性，即证明：如果)(x y ψ=在区间I ∈I 0上也是（4）的连续解，且00I ∈x 则必有：)()(0x x ?ψ=

这种证明方法复杂，而在泛函分析中，有一类完备距离空间的映射，即压缩映射的不动点定理很容易证明这个定理。

应用压缩映射原理证明阶线性微分方程初值问题解的存在与唯一性 引理1：（压缩映射原理）

设（d X ,）是完备距离空间，X X T →:,并且对任意X y x ∈,,不等式

),(),(y x d Ty Tx d θ≤

成立，其中10<<θ，则存在唯一的X x ∈-,使得-

-=x x T 。

有时映射T 不满足压缩映射原理的条件，但T 的某次幂却满足这些条

件，于是把引理1推广到下面情形：

引理2：设），（d X 是完备空间，X X T →:,如果存在自然数n 使得对所有的X y x ∈,,

),(),(y x d y T x T d n n θ≤

其中，10≤≤θ则T 有唯一的不动点。

下面为压缩映射原理在微分方程上的应用 例：设有微分方程

00|),,(y y y x f dx

dy

x x === （5） 其中),(y x f 在全平面上连续，此外还设),(y x f 关于y 满足Lipschitz 条件|||),(),(|y y L y x f y x f '-≤'-则通过点),(00y x ，微分方程有且只有一条积分曲线。

证明：以上问题等价于求解下述积分方程

dt t y t f y x y x

x ?+=0))(,()(0 （6）

取0>δ使1<δL 用],[00δδ+-x x C 表示在区间],[00δδ+-x x 上连续函数组成的空间，在其上定义映射为dt t y t f y x Ty x

x ?+=0

))(,()(0则

()|

])(,())(,[|max ||

||0021||21dt t y t f t y t f Ty Ty x

x x x ?-=-≤-δ

()()dt t y t f t y t f x

x x x |)(,)(,|max

021||?

-≤≤-δ

|||||)()(|max 2121||0y y L t y t y x x -=-?≤≤-δδδ

因为1<δL 故由压缩映射原理知，存在唯一的连续函数)(x y 满足（6）式，又因为（6）是连续可微的，所以)(x y y =是（6）的唯一解。 定理的证明为：

化n 阶线性微分方程为Volterra 积分方程

对n 阶线性微分方程：

)()(...)(111x F y x a dx

y

d dx x a dx y d n n n n n =+++-- （1） 初值条件：

1011000)(,...,)(,)(--===n n c x y c x y c x y （2）

设)(x dx y

d n n ?=则： ?---+x

x n n n c dt t dx

y d 0111)(? ??----+????

??+=x x n u x n n n c du c dt t dx y d 002122)(?201)()(0--+-+=??n n x x x t c x x c du t dt ? 201)()()(0

--+-+-=?n n x

x c x x c dt t t x ?

()()3

2013300)(-----+????

??+-+-=??n x x u x n n n n c du c x x c dt t t x dx y d ? ()()()()3022

012

!

21!210---+-+-+-=?n n n x x c x x c x x c dt t t x ? ..........

()()()()()()()()0012

2

1011...!21!11!110c x x c x x c n x x c n dt t t x n y n n n n n x x +-+--+--+--=-----??代入原方程得：

()()y a dx

y

d a dx y d a x F x n n n n n ----=----...222111?

整理后得积分方程：

()()()()x f dt t t x k x x

x +=???0, （3）

其中

()()()()()??

?

???--++-+-+-=-12321!11...!21,n n t x a n t x a t x a a t x k

()()()[]()()?

?

????+-+--+---=------3022

013201211!21n n n n n n c x x c x x c a c x x c a c a x F x f ()()()??

????+-++------0011

01...!11...c x x c x x c n a n n n

此方程为第二类Volterra 方程，显然()t x k ,在矩形区域x t a b x a ≤≤≤≤,上连续。

可以证明此方程与方程（1），（2）等价。

引理3：方程（3）与方程（1），（2）等价，即若()x y ψ=（其中，()()n

n dx x d x ψ?=）

是初值问题（1），（2）的解，则()x y ψ=是积分方程（3）的解；若()x y ψ=是积分方程（3）的解，则()x y ψ=是初值问题（1），（2）的解。

证明：若()x y ψ=是初值问题（1），（2）的解，设()()n

n dx x d x ψ?=，

由上面化微分方程为积分方程过程知：

()()11

10

---+=?n x x n n c dt t dx x d ?ψ ()()()()()2012122000------+-+-=+??????+=???n n x x n x x u x n n n c x x c dt t t x c du c dt t dx

x d ??ψ ()()()()32013

300-----+??????+-+-=??n x x n u x n n n c du c x x c dt t t x dx x d ?ψ ()()()()3022

012!

21210---+-+-+-=

?n n n x x c x x c x x c dt t t x ?！ ...........

()()()()()()()()()0012

021011...!21!11110c x x c x x c n x x c n dt t t x n x n n n n x x n +-+--+--+--=

-----??ψ！

代入原方程得：

()()()()()x a dx x d a dx x d a x F x n n n n n ψψψ?----=---- (2)

22111

整理后得积分方程：

()()()()x f dt t t x k x x

x

+=???0

, 即()x y ψ=是积分方程（3）的解。

同理可证，若()x y ψ=是方程（3）的解，则它是初值问题（1），（2）的解。

用引理2证明定理 证明：考虑积分方程

()()()()x f dt t t x k x x

x +=???0, ],[b a C t ∈

显然()t x k ,在矩形区域x t a b x a ≤≤≤≤,上连续，()],[b a C x f ∈ 设()∞<=≤≤M M t x k b

t x a ,,sup ,

考虑映射[][]b a C b a C T ,,:→

()()()()x f dt t t x k x T x

a +???, []

b a C ,∈??

则

()()()()()()?-=-x

a

dt t t t x k x T x T 2

1

21,????

()()()

()()

2121,sup ????d a x M a x x x M b

x a -=--≤≤≤

归纳得，若

()()()()2

121,!

????d n a x M

x T x T n n

n

n

-≤-

则

()()()()()()dt t T t T t x k x T x T x

a

n

n

n n ?-=

-+-2

1

21

11

,????

()()211

,!

1??d dt a t n M x a n

n ?-≤+ ()()()2

111

,!

1??d n a x M

n n +-=++

由此得到对于任何自然数n 有：

()

()()x T x T T T d n n b

x a n n 2121sup ????-=-≤≤

()()21,!

??d n a b M n

n -≤

由于

()()∞→→-n n a b M n

n ,0!

于是对于充分大的n ，n T 满足压缩映射原理条件，根据引理2，所以方程（3）有唯一解。

由方程的等价性可知，n 阶线性微分方程（1）,（2）有唯一解。

（三）线性方程组解的存在唯一性判别及证明

首先，我们来讨论线性方程组的特殊形式——奇次线性方程组，存在非零解的情况。

定理1（奇次线性方程组有非零解的判别定理）：在奇次线性方程组

???????=+++=+++=+++0

00221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 中，若s

证明:显然，方程组经消元法在化为阶梯形方程组之后，方程的个数不会超过原方程组中方程的个数，即s

再来讨论一般形式，先看解的存在条件，设线性方程组为：

??

????

?=+++=+++=+++.

,,22112222212111212111s n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （1） 引入向量

,,,,,2121222122121111??

??

???

??=??????? ??=??????? ??=??????? ??=s sn n n n s s b b b a a a a a a a a a

βααα （2） 于是，线性方程组（1）可以改写成向量方程

.

2211βααα=+++n n x x x （3）

显然，线性方程组（1）有解的充分必要条件为向量β可以表示成向量组n ααα ,,21的线性组合，用秩的的概念，方程组（1）有解的条件可以叙述如下：

定理2（线性方程组有解判别定理）：线性方程组（1）有解的充分必要条件为它的系数矩阵

??????

??????=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211

与增广矩阵

????????????=s sn

s s n n b a a a b a a a b a a a A 21

222221

111211

有相同的秩。 证明:必要性：

设线性方程组（1）有解，就是说，式（3）亦有解，β可以经向量组

n ααα ,,21线性表出。所以，向量组n ααα ,,21与向量组n ααα ,,21，β等价，所以，这两个向量组有相同的秩。由（2）

知，这两个向量组分别是线性方程组的系数矩阵A 和增广矩阵A 的列向量组，所以，R(A)=R(A )，即矩阵A 和矩阵A 有相同的秩。 充分性：

设（1）系数矩阵A 和增广矩阵A 的秩相同，不妨设R(A)=R(A )=r ，

所以，列向量组n ααα ,,21与n ααα ,,21，β都是有一个包含r 的极大线性无关组。不妨再设r ααα ,,21是n ααα ,,21，β的一个极大线性无关组，则r ααα ,,21也是n ααα ,,21的一个极大线性无关组，所以，一定存在r k k k ,,21使得r r k k k αααβ+++= 2211 成立，所以，r r k k k αααβ+++= 2211n r αα?++?++001 ，所以，式（3）有解，即线性方程组（1）有解，证毕。

应该指出，这个判别条件与消元法解线性方程组是一致的，用消元法解线性方程组（1）的第一步就是用初等行变换把增广矩阵A 化成阶梯形，这个阶梯形矩阵在适当调动前n 列的顺序之后可能有两种情形：

??

?

??

?

?

?

?

?

???????????????

?+00

00000000000001222221111211

r r rn rr n

r n r d d c c d c c c d c c c c 或?

??????

??????

????????????

?00

000000

00000000222221111211

r rn rr n r n r d c c d c c c d c c c c 其中0≠ij c ，,0,,,2,11≠=+r d r i 在前一种情况，原方程组无解，因为出现了零等于一非零常数的情况。而在后一种情况中，方程组有解。实际上，将最后一列去掉，就是线性方程组（1）的系数矩阵A 经初等行变换所化成的阶梯形，这就是说，当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解；当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1时，方程组无解。

以上的说明也可以认为是判别定理的另一个证明。

下面讨论唯一性：

设线性方程组（1）有解，且R(A)=R(A )=r ，而D 是矩阵A 的一个不为零的r 级子式（也是A 的一个不为零的子式），为方便起见，不妨设D 位于A 的左上角。此时，A 的前r 行就是一个极大线性无关组，第r+1,…,s 行都可以由它们线性表出，因此，方程组（1）与

???????=++++=++++=++++,

11222121111111,,r n rn r rr r n n r r n n r r b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （4） 同解。

当r=n 时，由克莱默法则（下面给出解释）可知，方程组（4）有唯一解，也就是方程组（1）有唯一解。

备注:克莱默法则：若线性方程组系数矩阵的行列式d=|n n A ?|≠0,则线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为

,,,,2211d

d x d d x d d x n n ===

其中j d 是把系数矩阵A 中第j 列换成方程组的常数项n b b b ,,,21 所成的矩阵的行列式，即

nn

j n n j n n n j j n j j a a b a a a a b a a a a b a a 1,1,121,221,22111,111,111+-+-+-,j=1,2,…,n.

当r

??

????

?---=++---=++---=++++++++.

11,11211,222121111,111111,,n rn r r r r r rr r n n r r r r n n r r r r x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a （5） （5）作为r x x ,,1 的一个方程组，它的系数行列式D ≠0，由克莱默法则，对于n r x x ,,1 +的任意一组值，方程组（5）也就是方程组（1），都有唯一的解，n r x x ,,1 +就是方程组（1）的一组自由未知量，对（5）用克莱默法则，可以解出r x x ,,1 ：

???

??+++=+++=++++x c x c d x x c x c d x rn r r r r r

n n r r '1'1,''11'1,1'11, (6) (6)就是方程组（1）的一般解。

解的存在唯一性定理证明

解的存在唯一性定理 利用逐次逼近法，来证明微分方程的初值问题的解存在与唯一性定理。 一、【存在、唯一性定理叙述】 如果方程的右端函数在闭矩形区域上满足如下条件： （1）、在上连续； （2）、在上关于变量满足利普希茨条件，即存在常数，使对于上任何一点和有以下不等式：。 则初值问题在区间上存在唯一解， 其中

二、【证明】 逐步迫近法： 微分方程等价于积分方程。 取，定义 可证明的满足积分方程。 通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。 命 题 1：先证积分方程与微分方程等价： 设是微分方程定义于区间上满足初值条件 的解，则是积分方程定义于区间上的连续解。反之亦然。 证： 因是微分方程的解，有 两边从到取定积分，得： 代入初值条件得： 即是积分方程定义于区间上的连续解。 反之，则有 微分得： 且当时有。即是微分方程定义于区间上满足初值条件的解。 现取，代入积分方程的右端，所得函数用表示，则，再将代入积分方程的右端，所得函数用表示，则，以上称为1次近似, 称为2次近似。以此类推得到次近似。 从而构造逐步迫近函数序列为： 命 题 2：对所有,函数序列在上有定义、连续且满足不等式 证：当时， 。显然在上有定义、连续且有 ，即命题2当时成立。 由数学归纳法，设命题2当时成立，则对有： 知在上有定义、连续且有 命题2当时也成立。 由数学归纳法原理得命题2对所有均成立。 命 题 3：函数序列在上一致收敛。

证：只须考虑级数-----（*） 在上一致收敛。 因其部分和为：，因， 设对成立。 则当时有 即对所有，在成立 。 其右端组成正项收敛级数 由魏氏判别法，级数（*）在上一致收敛。即在上一致收敛。命题3得证。 现设 则在上有定义、连续且 命 题 4： 是积分方程在上的连续解。 证： 由利普希茨条件 及在上一致收敛于，知函数序列在上一致收敛于。 于是即 是积分方程在上的连续解。 命题5：设是积分方程在上的另一连续解。则。 证： 现证也是序列在上的一致收敛极限函数。由， ， 得： ， 。 设，则 。由数学归纳法，对所有，有 。 因此，对所有，在有成立。但当时。故在上的一致收敛于。由极限的唯一性，得。

解的存在唯一性

解的存在唯一性定理证明及其研究 专业名称：数学与数学应用 组长：赵亚平 组员：刘粉娟、王蓓、孙翠莲 指导老师：岳宗敏

解的存在唯一性定理证明及其研究 摘要 线性微分方程是常微分课本中的重要组成部分，线性微分方程组解的存在唯一性是最重要，也是不可或缺的一部分，通过课本所学知识运用逐步逼近法以及压缩映射原理分别对一阶，高阶线性微分方程组解的存在唯一性进行的详细的论述证明。对于线性方程组解的情况，主要是通过对增广矩阵进行初等行变换，了解其秩的情况，在运用克莱默法则，从而得出其解的存在唯一性的情况。 关键词：解的存在唯一性 线性微分方程组 线性方程组 （一）一阶微分方程的解的存在唯一性定理与逐步逼近法 存在唯一性定理 考虑初值问题 ),(y x f dx dy = 00)(y x y = （1） 其中f(x,y)在矩形区域R ： b y y a x x ≤-≤-||,||00 （2） 上连续，并且对y 满足Lipschits 条件：即存在常数L>0（L 为利普

希茨常数），使不等式 |||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤- 对所有R y x y x ∈),(),,(21都成立,则初值问题(1)在区间h x x ≤-||0上解存在且唯一，这里 |),(|max ),, min(),(y x f M M b a h R y x ∈== 证明思路： 1.初值问题（1）的解存在等价于求积分方程 ?+=x x dy y x f y y 0),(0 （3） 的连续解。 2.构造（3）所得解函数序列{)(x n ?}，任取一连续函数)(0x ?， b y x ≤-|)(|00?代入（3）右端的y ，得 …… 2,1,))(,()(0 01=+=?+n dx x x f y x x x n n ?? 3.函数序列{)(x n ?}在|,|00h x h x +-上一致收敛到)(x ?。这里为 )(x n ?=dx x x f y n x x n ))(,(lim 1-00 ??∞ →+ dx x x f y x x f y x x x x n ??+ =+=∞ →0 ))(,()) (,(lim 01-n 0?? 4．)(x ?为（3）的连续解且唯一。首先在区间],[00h x x +是讨论，在错误！未找到引用源。上类似。 证明过程： 命题1 ：初值问题（1）等价于积分方程

Picard存在和唯一性定理

Picard存在和唯一性定理 本节利用逐次逼近法，来证明微分方程 (2.1) 的初值问题 (2.2) 的解的存在与唯一性定理. 定理 2.2(存在与唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函数在闭矩形域 上满足如下条件： (1) 在R上连续; (2) 在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数N，使对于R上任何一对点和有不等式： 则初值问题(2.2)在区间上存在唯一解 其中 在证明定理之前，我们先对定理的条件与结论作些说明: 1. 在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的.然而，我们能够用一个较强的， 但却易于验证的条件来代替它.即如果函数在闭矩形域R上关于y的偏导数 存在并有界，.则李普希兹条件成立，事实上，由拉格朗日中值定理有 其中满足，从而.如果在R上连续，它在R上当然就满足李普希兹条件.（这也是当年Cauchy证明的结果） 2．可以证明，如果偏导数在R上存在但是无界，则Lipschitz条件一定不满足，

但是Lipschitz 条件满足，偏导数不一定存在，如(,)||f x y y 。 3.现对定理中的数h 0做些解释.从几何直观上，初值问题(2.2)可能呈现如图2-5所示的情况. 这 时，过点 的积 图 2-5 分曲线 当 或 时，其中 ， ，到 达R 的上边界 或下边界 .于是，当 时，曲线 便可能没有定义.由此可见，初值问题(2.2)的解未必在整个区间 上存在. 由于定理假定 在R 上连续,从而存在 于是，如果从点 引两条斜率分别等于M 和-M 的直线，则积分曲线 (如果存在的话)必被限制在图2-6的带阴影的两个区域内，因此，只要我们取 则过点 的积分曲线 (如果存在的话)当x 在区间上变化时，必位于R 之 中. 图 2-6

存在唯一性定理证明

存在唯一性定理 如(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足利普希茨条件，则方程 (,),dy f x y dx =在区间0x x h -≤上存在唯一解00 (),()y x x y ??== ，其中 (,)min ,, max (,) x y R b h a M f x y M ∈? ?== ??? 逐步迫近法 微分方程(,)dy f x y dx =等价于积分方程0 0(,)x x y y f x y dx =+ ? 取00()x y ?= ， 定义0 01()(,()), 1,2,x n n x x y f x x dx n ??-=+=? 可证明lim ()() n n x x ??→∞ =的 ()y x ?=满足积分方程。 通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。 命题1 先证积分方程与微分方程等价： 设()y x ?=是微分方程 (,)dy f x y dx =定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初值条件 00()x y ?=的解，则()y x ?=是积分方程0 000(,), x x y y f x y dx x x x h =+≤≤+?定义于区 间0 0x x x h ≤≤+上的连续解。反之亦然。

证 因()y x ?=是微分方程 (,)dy f x y dx =的解，有 ()(,())d x f x x dx ??= 两边从0x 到0 x h +取定积分 000()()(,()), x x x x f x x dx x x x h ???-= ≤≤+? 代入初值条件00()x y ?=得 000()(,()),x x x y f x x dx x x x h ??=+ ≤≤+? 即()y x ?=是积分方程0 000(,), x x y y f x y dx x x x h =+ ≤≤+?定义于区间00x x x h ≤≤+上的连续解。 反之，则有 000()(,()), x x x y f x x dx x x x h ??=+ ≤≤+? 微分之 ()(,())d x f x x dx ??= 且当0x x = 时有00 ()x y ?=。即 () y x ?=是微分方程 (,) dy f x y dx =定义于区间 00x x x h ≤≤+上满足初值条件00()x y ?=的解。 现取00()x y ?=，构造逐步迫近函数序列 000001()1,2,()(,()), x n n x x y x x x h n x y f x x dx ???-=??≤≤+=? =+?? ? 命题2 对所有n ,函数序列()n x ?在0 0x x x h ≤≤+上有定义、连续且满足不等 式 0()n x y b ?-≤ 证 当1n =时0 100()(,)x x x y f x y dx ?=+ ?。显然1()x ?在0 0x x x h ≤≤+上有定义、 连续且有 0000()(,)(,)()x x n x x x y f x y dx f x y dx M x x M h b ?-= ≤ ≤-≤≤?? 命题2当1n =时成立。设命题2当n k =时成立，则对1n k =+

一阶线性微分方程解的存在唯一性证明

一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明)()(x q y x p dx dy +=摘要:从分析方法入手,来证明满足初值条件下一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明.引言:我们学习了能用初等解法的一阶方程的若干类型,但同时知道大量的一阶方程是不能用初等解法求出它的通解,而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解,因此对初值问题的研究被提到重要地位,自然要问:初值问题的解是否存在?如果存在是否唯一? 首先,我们令f(x,y)=p(x)y+q(x) 这里f(x,y)是在矩形域 R:上的连续函数.b y y a x x ≤-≤-00,函数f(x,y)称为在R 上关于y 满足利普希兹条件,如果存在常数L>0使不等式 对于所有的 都成立,L 称 2121),(),(y y L y x f y x f -≤-R y x y x ∈),(),,(21为利普希兹常数下面我们给出一阶线形微分方程(1)解的存在唯一性)()(x q y x p dx dy +=定理:如果f(x,y)=p(x)y+q(x)在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件,则方程(1)存在唯一的解,定义于区间上,连续)(x y ?=h x x ≤-0且满足初始条件: 这里 00)(y x =?),min(M b a h =),(max y x f M =R y x ∈),(我们采用皮卡的逐步逼近法来证明这个定理,为了简单起见,只 就区间来讨论,对于的讨论完全一样.h x x x +≤≤0000x x h x ≤≤-现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想,首路习题到位。在管路敷对设备进行调整使其在正限度内来确保机组高中

[整理]一阶微分方程解的存在定理.

第三章 一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。 2. 了解解的延拓定理及延拓条件。 3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 dy dx =过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 y x =或更一般地，函数 2 0 0() c<1x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性 和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2）

Banach空间中常微分方程解的存在与唯一性定理(参考模板)

Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理 魏婷婷 (天水师范学院 数学与统计学院,甘肃,天水,741000) 摘要: 在Banach 空间中, 常微分方程解的存在唯一性定理中},1min{M b L h =,初值问 题的解)(t y 的变量t 在h t t h t +≤≤-00上变化,把t 的变化范围扩大为 M b t t M b t +≤≤-00,为此给出t 变化范围后的Banach 空间中常微分方程解的存在唯一 性定理,并对定理给予明确的证明. 关键词: 存在唯一;常微分方程;数学归纳法;皮卡逐步逼近法;Banach 空间 引言 常微分方程解的存在唯一性定理明确地肯定了在一定条件下方程的解的存在性和唯一性,它是常微分方程理论中最基本且实用的定理,有其重大的理论意义,另一方面,它也是近似求解法的前提和理论基础.对于人们熟知的Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理,解的存在区间较小, 只限制在一个小的球形邻域内,(球形邻域的半径若为δ,还需满足1<δL ,且解只在以0y 为中心以δ为半径的闭球 δδ≤-∈=00)(y y X y y B 存在唯一,其中X 是Banach 空间)因此在应用过程中受到了一定的限制.如今我们尝试扩大了解的存在范围,从而使此重要的定理今后有更加广泛的应用. 1 预备定理 我们给出Banach 空间中常微分方程解的存在唯一性定理如下 设X 是Banach 空间, X U ?是一个开集. X U f →:上关于y 满足利普希茨 )(Lipschitz 条件,即存在常数0>L ,使得不等式2121),(),(y y L y t f y t f -≤-,对于所有U y y ∈21,都成立.取U y ∈0,在U 内,以0y 为中心作一个半径为b 的闭球 b y y X y y B b ≤-∈=00)(,对所有的)(0y B y b ∈都成立,且有M y f ≤)(,取 },1min{M b L h =,则存在唯一的1C 曲线)(t y ,使得在h t t h t +≤≤-00上满足)(0y B y b ∈, 并有),(y t f y =',00)(y t y =.

一阶线性微分方程解的存在唯一性证明

一阶线形微分方程)()(x q y x p dx dy +=解的存在唯一性定理的证明 摘要:从分析方法入手,来证明满足初值条件下一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明.引言:我们学习了能用初等解法的一阶方程的若干类型,但同时知道大量的一阶方程是不能用初等解法求出它的通解,而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解,因此对初值问题的研究被提到重要地位,自然要问:初值问题的解是否存在?如果存在是否唯一? 首先,我们令f(x,y)=p(x)y+q(x) 这里f(x,y)是在矩形域 R:b y y a x x ≤-≤-00,上的连续函数. 函数f(x,y)称为在R 上关于y 满足利普希兹条件,如果存在常数L>0使不等式 2121),(),(y y L y x f y x f -≤- 对于所有的R y x y x ∈),(),,(21 都成立,L 称为 利普希兹常数 下面我们给出一阶线形微分方程)()(x q y x p dx dy +=(1)解的存在唯一性定理: 如果f(x,y)=p(x)y+q(x)在R 上连续且关于y 满足利普希兹 条件,则方程(1)存在唯一的解)(x y ?=,定义于区间h x x ≤-0上,连续且满足初始条件: 00)(y x =? 这里 ), min(M b a h = ),(max y x f M = R y x ∈),( 我们采用皮卡的逐步逼近法来证明这个定理,为了简单起见, 只就区间h x x x +≤≤00来讨论,对于00x x h x ≤≤-的讨论完全一样. 现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想,首

先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程 []?++=x x dx x q y x p y y 0)()(0的连续解这里我们用f(x,y)=p(x)y+q(x)来替 代,因此也就等价于求积分方程 ?+=x x dx y x f y y 0 ),(0 的连续解,然后 去证明积分方程的解的存在唯一性. 任取一个连续函数)(0x ? 代入上面的积分方程右端的y 就得 到函数 dx x x f y x x x ))(,()(0 001?+≡?? 显然)(1x ?也是连续解,如果)(1x ?≡)(0x ?那么)(0x ?就是积分方 程的解.否则,我们又把)(1x ?代入积分方程右端的y 得到 dx x x f y x x x ))(,()(0 102?+≡?? 如果 ≡)(2x ?)(1x ?,那么)(1x ?就是积分方程的解,否则我们继 续这个步骤.一般地做函数 dx x x f y x x x n n ))(,()(0 10?-+≡?? (2) 这样就得到连续函数序列 )(0x ? ,)(1x ?…)(x n ?… 如果≡+)(1x n ?)(x n ?那么)(x n ?就是积分方程的解,如果始终不发生这种情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数)(x ?即 )()(lim x x n n ??=∞ → 存在因此对(2)取极限就得到 dx x x f y x x x n n n n ))(,(lim )(lim 0 10?-∞→∞ →+=?? =dx x x f y x x n n ))(,(lim 0 10?-∞ →+? =dx x x f y x x ))(,(0 0?+? 即 dx x x f y x x x ))(,()(0 0?+≡??

唯一性定理

唯一性定理 蒋文佼（080320124）宋宝璋（080320125）夏世宇 (080320126) 李宝平 (080320127) 章文显 (080320129) 常 悦 (080320130) 1、试用唯一性定理证明：封闭导体壳内部的电场不受壳外电荷（包括壳外表面）的影响。 证：导体壳无论是用电势还是用总电量给定，壳的内外一般存在着四部分电荷。 如图所示，壳内外的电荷分布分别为 ρ 和 ρe ，壳内、外表面 1 S 、2S 上各自的面电荷分布为 σ 和 σe 。壳内外的场是这四 部分电荷共同激发的。 根据定理，首先写出壳内空间电势应满足的条件： （一） 2 ρ?ε ?=- ，ρ 为壳内电荷分布。 （二）壳内表面1S 上的边界条件是：2S 上的总电量 1 s dS q σ=-? （1） 其中 V q dV ρ=? 是壳内的总电量，V 是壳内区域的体积。在壳层 内作一高斯面 0S 后（如图中虚线所示），用高斯定理很容易证明（1） 成立。 因此在给定 ρ 布后， 1S 上边界条件也已经给定为 q - ， 和导体壳本身是有电势还是用总电量给定无关。 根据唯一性定理，满足（一）、（二）的 ? 就是解。由于（一） e

和（二）与壳外的 ρe 和 σρ 的电势并不唯一，可以差一个常数。当然当壳用电势 0φ 给定时，1S 上的边界条件就是 1 0|S ?φ= 。所以壳内不但电场唯一，而且电势也是唯一。 2．如图，有一电势为0φ的导体球壳，球心有一点电荷q ，球壳内外半径分别为2R 和1R 。试用唯一性定理： （一）判断0 R φ是否球壳外空间的电势分布。 （二）求球壳内空间的电势分布 解：（一）首先必须找出球内外电势应满足的条件，他们是： （a ）2 0??= （b ）球壳外表面1S 上的边界条件，1 0s ?=φ （c ）无穷远边界条件,0R →∞?→ 若R φ 是解，根据唯一性定理，它必须满足以上三个条件。下面来 检验： 2 2 0010R R φ? =φ?= (0),R ≠ 方程已满足。 0,0,R R φ→∞→ 满足（c ）。 S1的半径是R1代入 0R φ 后， 00 R φ≠φ 所以它不满足1S 上的边界条 件，它不是球壳外空间的界，下面求正确的解。由上述可知，函数 A R 同时满足方程和无穷远边界条件。A 为待定常数，可由（b ）定出。在面1S 上 0,A R φ=

解的存在唯一性定理证明

解的存在唯一性定理 利用逐次逼近法，来证明微分方程(,),dy f x y dx =的初值问题00(,)()dy f x y dx y y x ==??? 的解存在与唯一性定理。 一、【存在、唯一性定理叙述】 如果方程 (,),dy f x y dx =的右端函数(,)f x y 在闭矩形区域0000:,R x a x x a y b y y b -≤≤+-≤≤+上满足如下条件： （1）、在R 上连续； （2）、在R 上关于变量y 满足利普希茨条件，即存在常数N ，使对于R 上任何一点(),x y 和() ,x y 有以下不等式：() |(,),|||f x y f x y N y y -≤-。 则初值问题00 (,)()dy f x y dx y y x ==??? 在区间0000x h x x h -≤≤+上存在唯一解00(),()y x x y ??==， 其中0 (,)min ,,max (,)x y R b h a M f x y M ∈?? == ??? 二、【证明】 逐步迫近法：

微分方程 (,)dy f x y dx =等价于积分方程00(,)x x y y f x y dx =+?。 取00()x y ?=，定义0 01()(,()),1,2,3, (x) n n x x y f x x dx n ??-=+=? 可证明lim ()()n n x x ??→∞ =的()y x ?=满足积分方程。 通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。 命 题 1：先证积分方程与微分方程等价： 设()y x ?=是微分方程 (,)dy f x y dx =定义于区间0000x h x x h -≤≤+上满足初值条件 00()x y ?=的解，则()y x ?=是积分方程0 0(,), x x y y f x y dx =+?定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。 反之亦然。 证： 因()y x ?=是微分方程 (,)dy f x y dx =的解，有'() ()(,())d x x f x x dx ???== 两边从0x 到x 取定积分，得：0 00000()()(,()), x x x x f x x dx x h x x h ???-=-≤≤+? 代入初值条件00()x y ?=得：0 00000()(,()), x x x y f x x dx x h x x h ??=+-≤≤+? 即()y x ?=是积分方程0 0(,)x x y y f x y dx =+?定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。 反之，则有0 00000()(,()), x x x y f x x dx x h x x h ??=+-≤≤+? 微分得： () (,())d x f x x dx ??= 且当0x x =时有00()x y ?=。即()y x ?=是微分方程(,)dy f x y dx =定义于区间0000x h x x h -≤≤+上满足初 值条件00()x y ?=的解。 现取00()x y ?=，代入积分方程0 0(,)x x y y f x y dx =+?的右端，所得函数用1()x ?表示，则 100()(,)x x x y f x y dx ?=+?，再将1()x ?代入积分方程0 0(,)x x y y f x y dx =+?的右端，所得函数用2()x ?表示，则 0201()(,())x x x y f x x dx ??=+?，以上1()x ?称为1次近似, 2()x ?称为2次近似。以此类推得到n 次近似 01()(,())x n n x x y f x x dx ??-=+?。 从而构造逐步迫近函数序列为：0000000 01()1,2,()(,()),x n n x x y x h x x h n x y f x x dx ???-=?? -≤≤+=?=+?? ? 命 题 2：对所有n ,函数序列()n x ?在0000x h x x h -≤≤+上有定义、连续且满足不等式 证：当1n =时， 100()(,)x x x y f x y dx ?=+?。显然1()x ?在0000x h x x h -≤≤+上有定义、连续且有

阶线性微分方程组第一讲一阶微分方程组及解的存在唯一性定理

第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理（2课时） 一、 目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的 等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理. 二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理. 三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 课题引入 在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质. 例如，已知在空间运动的质点(,,)P x y z 的速度与时间t 及该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v

123(,,,)(,,,) (,,,)x y z v f t x y z v f t x y z v f t x y z =??=??=? 且质点在时刻0t 经过点000(,,)x y z ，求该质点的运动轨迹。 因为,x y dx dy v v dt dt ==和z dz v dt =, 所以这个问题其实就是 求一阶微分方程组 123(,,,)(,,,) (,,,)x f t x y z y f t x y z z f t x y z =??=??=? 的满足初始条件 00(),x t x = 00(),y t y = 00()z t z = 的解(),(),()x t y t z t . 另外，在n 阶微分方程 （1.12） ()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 中,令(1)121,,,n n y y y y y y --'''===就可以把它化成等价的一阶微分方程组

一阶线性微分方程组第一讲一阶微分方程组与解的存在唯一性定理

第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理（2课时） 一、 目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的 等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理. 二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理. 三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 课题引入 在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质. 例如，已知在空间运动的质点(,,)P x y z 的速度与时间t 及该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v = 且质点在时刻0t 经过点000(,,)x y z ，求该质点的运动轨迹。 因为,x y dx dy v v dt dt ==和z dz v dt =, 所以这个问题其实就是求 一阶微分方程组 的满足初始条件

的解(),(),()x t y t z t . 另外，在n 阶微分方程 （1.12）()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 中,令(1)121,,,n n y y y y y y --'''===就可 以把它化成等价的一阶微分方程组 注意，这是一个含n 个未知函数11,, ,n y y y - 的一阶微分 方程组. 含有n 个未知函数12,, ,n y y y 的一阶微分方程组的一般形式为： 11122112112(,,,,) (,,,,)(,,,,)n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx ?=???=?????=? ? (3.1) 如果方程组(3.1)右端函数不显含x , 则相应的方程称为是自治的. 方程组(3.1)在[,]a b 上的一个解，是这样的一组函数 使得在[,]a b 上有恒等式 含有n 个任意常数12,,,n C C C 的解 称为(3.1)的通解. 如果通解满足方程组 则称后者为(3.1)的通积分.

解的存在唯一性定理

一阶微分方程解的存在性定理的其它证明方法 姜旭东 摘要 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法. 关键词 一阶微分方程 不动点定理 解的存在性 唯一性 1、引言 微分方程来源于生活实际，研究微分方程的目的在于掌握它所反映的客观规律。在文[1]第二章里,介绍了能用初等解法求解的一阶方程的若干类型,但同时指出,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求解它的通解,而实际问题需要的往往是要求满足某种初始条件的解. 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解的存在唯一性定理的其它几种证法. 考虑一阶微分方程 (,)dy f x y dx = (1.1) 这里(,)f x y 是在矩形区域 00:||,||R x x a y y b -≤-≤ (1.2) 上的连续函数. 函数(,)f x y 在R 上满足Lipschitz 条件，即存在常数L ＞0，使得不等式 1212|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤- (1.3) 对所有12(,),(,)x y x y R ∈都成立, L 称为Lipschitz 常数。 定理1.1、如果(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足Lipschitz 条件，则方程(1.1)存在唯一的解 ()y x ?=,定义于区间0||x x h -≤上,连续且满足初始条件 00()x y ?= 这里min(, )b h a M =,(,)max |(,)|x y R M f x y ∈=. 文[1]中采用皮卡逐步逼近法来证明这个定理.为了简单起见,只就区间00x x x h ≤≤+来讨论,对于

[整理]一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法(1022).

一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法 3.1.1 存在唯一性定理 1）首先考虑导数已解出的一阶微分方程(3.1.1.1) 这里是在矩形域(3.1.1.2)上的连续函数。 定义1 如果存在常数，使得不等式对于所有 都成立，则函数称为在上关于满足利普希茨（Lipschitz）条件，称为利普希茨常数。 定理3.1 如果在上连续且关于满足利普希茨条件，则方程(3.1.1.1)存在唯一的 解，定义于区间上，连续且满足初始条件(3.1.1.3) 这里，。 我们采用皮卡（Picard）的逐步逼近法来证明这个定理。为简单起见，只就区间来讨论，对于的讨论完全一样。 现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想。 首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程的连续解。然后去证明积分方程的解的存在唯一性。 任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数 ， 显然也是连续函数，如果,那末就是积分方程的解。

否则,我们又把代入积分方程右端的，得到 ， 如果，那末就是积分方程的解。 否则我们继续这个步骤。一般地作函数 (3.1.1.4) 这样就得到连续函数序列：，，…，，…. 如果，那末就是积分方程的解。 如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数，即 存在， 因而对(3.1.1.4)取极限时，就得到 即，这就是说是积分方程的解。 这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。 由(3.1.1.4)确定的函数称为初值问题(3.1.1.1)、(3.1.1.3)的第次近似解。 在定理的假设条件下，以上的步骤是可以实现的。下面我们分五个命题来证明定理1。

解的存在定理

第三章一阶微分方程解的存在定理 ［教学目标］ 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 ［教学重难点］解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 ［教学方法］讲授，实践。 ［教学时间］12学时 ［教学内容］解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、 可微性定理及其证明。 ［考核目标］ 1?理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2?熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 § 1解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的 各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程 一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题 的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。 他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分 方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 dx 过点(0,0)的解就是不唯一，易知y = 0是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，讨或更一般地, 函数 丄00乞x乞c y =2 l(x-c) c