习 题 二
2-1 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。
[解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv
(1) 由牛顿第二定律 t
v m ma f d d ==
即 t
v m kv d d ==-
所以
t m
k v
v d d -
= 对等式两边积分
??-
=t
v
v
t m
k
v
v 0d d 0
得 t m
k v v -
=0
ln
因此 t
m
k e
v v -
=0
(2) 由牛顿第二定律 x
v mv
t
x x v m
t v
m ma f d d d d d d d d ====
即 x
v mv kv d d =-
所以 v x m
k d d =-
对上式两边积分 ??=
-0
d d v s
v x m k
得到 0v s m k -=-
即 k
mv s 0=
2-2 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为
???
? ?
?--=
-m kt e k
F mg v 1 [证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得
t
v m
ma f F mg d d ==--
即 t
v m
ma kv F mg d d ==--
整理得
m
t kv
F mg v d d =
--
对上式两边积分
??=
--t
v
m t
kv
F mg v 00
d d
得 m
kt F
mg kv F mg -
=---ln
即 ???
? ??--=
-m kt e k
F mg v 1
2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。
[解] 设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。
此时 2
T kv mg =
即 k
mg v =
T
有牛顿第二定律 t
v m
kv mg d d 2=- 整理得
m
t kv
mg v d d 2
=
-
对上式两边积分
m g k
m t kv
mg v t
v
21
d d 0
2
??=
-
得 m
t v
k mg v k mg =+
-ln
整理得 T 22221
11
1v e
e k
mg e
e v kg
m t kg m t
kg
m t kg m t
+-=
+-=
2-4 一人造地球卫星质量m =1327kg ，在离地面61085.1?=h m 的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力f 的大小；(2)卫星的速率v ；(3)卫星的转动周期T 。 [解] 卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力
()
2
e
h R m
M
G
f +=地
2e
R M
G
g 地
=
由上面两式得()
()
()
N 1082.710
85.110
6378
10
63788.913273
2
63
2
32
e
2
e
?=?+???
?=+=h R R mg
f
(2) 由牛顿第二定律 h
R v
m
f +=e 2
()(
)s m 10
96.61327
10
85.110
637810
82.73
6
3
3
e ?=?+???=
+=
m
h R f v
(3) 卫星的运转周期
()
(
)2h3min50s
s 10
43.710
96.610
85.110
6378223
3
6
3
e =?=??+?=
+=
ππv
h R T
2-5 试求赤道上方的地球同步卫星距地面的高度。 [解] 设同步卫距地面高度为h ，距地心为R +h ，则
2
2
ωmr r
Mm G = mg R
Mm G
=2
所以 2gR GM =
代入第一式中 3
122
???
?
?
?=ωgR r
s rad 10
27.73600
2425
-?=?=
πω
解得 m r 71022.4?=
m 1058.310
37.610
22.44
6
7
?=?-?=-=R r h
2-6 两个质量都是m 的星球，保持在同一圆形轨道上运行，轨道圆心位置上及轨道附近都没有其它星球。已知轨道半径为R ，求：(1)每个星球所受到的合力；(2)每个星球的运行周期。
[解] 因为两个星球在同一轨道上作圆周运动，因此，他们受到的合力必须指向圆形轨道的圆心，又因星球不受其他星球的作用，因此，只有这两个星球间的万有引力提供向心力。
所以两个星球必须分布在直径的两个端点上，且其运行的速度周期均相同
(1)每个星球所受的合力
()
2
22
2142R
m
G
R mm
G
F F ===
(2) 设运动周期为T
R
v
m
F 2
1= v
R T π2=
联立上述三式得 Gm
R R T π4=
所以，每个星球的运行周期
Gm
R R
T T T π421===
2-7 2-8
2-9 一根线密度为λ的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面。现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离s 时对桌面的瞬时作用力。
[解] 链条对桌面的作用力由两部分构成：一是已下落的s 段对桌面的压力1N ，另一部
分是正在下落的x d 段对桌面的冲力2N ，桌面对x d 段的作用力为2
N '。显然 sg N λ=1
t 时刻，下落桌面部分长s 。设再经过t d ，有x d 落在桌面上。取下落的x d 段链条为研
究对象，它在t d 时间之内速度由gs v 2=变为零，根据动量定理
p t N d d 2
=' (1) x v p d 0d λ-= (2) t v x d d = (3)
由(2)、(3)式得 λsg N 22
-=' λsg N N 22
2='-= 故链条对桌面的作用力为
sg N N N λ321=+=
2-10 一半径为R 的半球形碗，内表面光滑，碗口向上固定于桌面上。一质量为m 的小球正以角速度ω沿碗的内面在水平面上作匀速率圆周运动。求小球的运动水平面距离碗底的高度。
[分析] 小钢球沿碗内壁作圆周运动，其向心力是由内壁对它的支承力的分力提供的，而支承力的方向始终与该点内壁相垂直，显然，不同的角速度对应不同大小和方向的支承力。
[解] 设小球的运动水平面距碗底的高度为h ，小球受力如图所示，则
mg N =θsin
r m N 2
cos ωθ=
R h R -=θsin
R
r =
θcos
由以上四式得 ??? ?
?
-
=R g
R h 2
1ω 2-11 自动步枪连发时每分钟射出120发子弹，每颗子弹的质量为m ＝7.90g ，出口速率为735s m ，求射击时(以分钟计)抢托对肩的平均压力。
[解] 取t ?时间之内射出的子弹为研究对象，作用在子弹上的平均力为N '，根据动量定理得
p t N ?=?'
所以 N 6.1173510
90.722060
1203
=???==?-?=
??=
'-mv t
tv m t
p N
故枪托对肩部的平均压力为
N 6.11='=N N
2-12 水力采煤是利用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层。设水柱直径为D =30mm ，水速v =56m ，水柱垂直射到煤层表面上，冲击煤层后速度变为零。求水柱对煤层的平均冲力。
[解] 取长为dx 的一段水柱为研究对象，设它受到的煤层的作用力为N '，根据动量定理 p t N d d ='
所以 ()2
2
2
4
d 2d 0d d v D t
v
D x t
p N ρπ
ρπ-=??-=
=
'
()N 1022.256
10
14
10303
2
3
2
3?-=?????
-=-π
故水柱对煤层的平均冲力
N 1022.23
?='-=N N
2-13 F ＝30+4t 的力作用在质量为10kg 的物体上，求： (1)在开始两秒钟内，此力的冲量是多少?(2)要使冲量等于 300s N ?，此力作用的时间为多少?(3)若物体的初速度为10 s m ，方向与F 相同，在t =6.86s 时，此物体的速度是多少?
[解] 根据冲量定义
()2
00
230d 430
d t t t t t F I t
t
+=+=
=
??
(1)开始两秒钟此力的冲量
s N 682
22302302
2
2?=?+?=+=t
t I
(2) 当s N 300?=I 时
3002302
=+t
t
解得 s 86.6=t
(3) 当s 86.6=t 时，s N 300?=I ，根据动量定理
0mv mv p I -=?=
因此 s m 4010
10
103000
=?+=
+=
m
mv I v
2-14 质量为m 的质点，以不变速率v 沿图示三角形ABC 的水平光滑轨道运动。求质点越过角A 时，轨道作用于质点冲量的大小。
[解] 如图所示，质点越过A 角时动量的改变为
()12v v p -=?m
由图知p ?的大小
mv mv p 360
sin 20
=
=?
根据动量定理 mv p I 3=?=
2-15 质量为m 的质点在xOy 平面内运动，其运动方程j i r t b t a ωωsin cos +=，试求：(1)质点的动量；(2)从t ＝0到ω
π
2=t 这段时间内质点受到的合力的冲量；(3)在上述时间内，
质点的动量是否守恒?为什么?
[解] 质点的速度
j i r v t b t a t
ωωωωcos sin d d +-==
(1)
(1) 质点的动量
()j i v p t b t a m m ωωωcos sin +-==
(2) 由(1)式得0=t 时，质点的速度
j v ωb =0
ω
π
2=
t 时，质点的速度为
j j i v ωπωπωb b a =+-=2cos 2sin t
根据动量定理
00t =-=?=mv mv p I
解法二：
j
i a F j
i v a j i r v t mbw
t ma m t bw t a t
t b t a t ωωωωωωωωωωsin cos sin cos d d cos sin d d 2
2
2
2
--==--==
+-==
()0d sin cos d 202
220
=--=
=
??ωπ
ω
π
ωωωt t mbw t ma t j i F I
(3) 质点的动量不守恒，因为由第一问结果知动量随时间t 变化。
2-16 将一空盒放在台秤盘上，并将台秤的读数调节到零，然后从高出盒底h 处将石子以每秒n 个的速率连续注入盒中，每一石子的质量为m 。假定石子与盒子的碰撞是完全非弹性的，试求石子开始落入盒后t 秒时，台秤的读数。
[解] t 秒钟后台秤的读数包括下面两部分，一部分是已落入盒中的石子对称盘的压力
1N ，另一部分是正下落的石子对秤的冲力2N ，显然
nmgt N =1
取t ?时间下落的石子为研究对象，设它们所受到的平均冲力为N '，根据动量定理
gh t nm tv nm p t N 2002
?-=?-=?=?' 所以 gh nm N 22
-=' 故t ?时间下落的石子对称的冲力
gh nm N N 22
2='-=
因此秤的读数为
gh nm
nmgt N N N 221+=+=
2-17 一质点的运动轨迹如图所示。已知质点的质量为20g ，在A 、B 两位置处的速率都是20s m ，A v 与x 轴成045角，B v 与y 轴垂直，求质点由 A 点运动到B 点这段时间内，作用在质点上外力的总冲量。
[解] 由题意知，质点由A 点到B 点动量的改变为
s m kg 683.02
22010
202010
2045
cos 3
3
A
B
x ?-=?
??-??-=--=?--mv
mv
p
s m kg 283.02
220102045sin 03
A
y ?-=?
??-=-=?-mv
p
根据动量定理，作用在质点上的外力的冲量
x x p I ?= y y p I ?=
所以 ()()
()()s N 739.0283.0683.02
22
y
2
x 2
y 2x ?=-+-=
?+?=
+=
p p I I I
冲量与x 轴之间的夹角
x
g 5.202683
.0283.0arctan
arctan
=--==I I θ
2-18 若直升飞机上升的螺旋浆由两个对称的叶片组成，每一叶片的质量m ＝136kg ，长l =3.66m 。当它的转速n =320m in r 时，求两个叶片根部的张力(设叶片是均匀薄片)。
[解一] 设叶片的根部为原点O ，作径向Or 轴，在叶片上距O 点为r 处取一线元r d ，则r m d d λ=，其两边所受的张力如图所示。根据圆周运动沿径向的动力学方程，有
()r r l
m m r T T T d d d 2
2
ωω=
=-+
即 r r l
m T d d 2
ω=
对上式积分，并考虑到叶片的外端r 趋近于l 时，张力0=T ，则
??=
l
r
T
r r l
m T d d 2
ω
因此距O 点为r 处叶片中的张力为
()()2
2
2
22
2
2
22r
l
l
mn
r
l
l
m T --
=--
=πω
式中负号表明T 指向O 点。取r =0，代入题中所给数据，得叶片根部张力
N 1079.225
2
2
0?-=-=l mn T π
[解二] 任意时刻t 叶片的动量
ml n
l m n r l
m r
n r l
m r
m v p l
l
60
2
60
2d 60
2d d 0
t πππω=
=
=
==
???
经过d t 时间，叶片动量的改变
t n p t p p p d 60
2d d d t
t t πωθ===
叶片根部所受的作用力
ml n n p t p F 22
2
t
60
260
2d d ππ===
'N 1079.266.313660
320
25
2
2
2?=???=
π
2-19 如图所示，砂子从h ＝0.8m 处下落到以=0v 3m 的速率沿水平向右运动的传输带上，若每秒钟落下100kg 的砂子，求传输带对砂子作用力的大小和方向。
[解] 如图所示，设t ?时间内落下的砂子的质量为m ?，则m ?的动量改变
()10v v p -?=?m
显然有 gh v 21=
由图可知
()()2
02
12
021v v m mv mv p +?=?+?=
?
根据动量定理 p F ?=?t 所以
20
20
21
2v gh t
m v v t
m t
p F +
??=
+
??=??=
N 49738.08.921002
=+???=
2-20 矿砂从传输带A 落到另一传输带B ，其速度大小为1v ＝4m ，2v ＝2m 方向如图所示。设传输带的运送量t m ??＝2000h kg ，求矿砂作用在传输带B 上的力的大小和方向。
[解] 取t ?时间内落下的矿砂m ?为研究对象，建立如图所示的坐标系，其动量的改变为 ()22111122x c o s s i n s i n c o s θθθθv v m mv mv p -?
=?+?-=?
?m v
?m
v
()22111122
y sin cos cos sin θθθθv v m mv mv
p +?=?+?=?
根据动量定理 p F ?=?t
x x p t F ?=? y y p t F ?=?
所以 ()()N 10
79.315
cos 230
sin 436002000cos sin 2
221
1x x -?=-=-??=??=
θθv v t m t p F
()()N 21.230
cos 415
sin 23600
2000cos sin 0
112
2y y =+=
+??=
??=
θθv v t
m t
p F
故矿砂作用在传输带B 上的力
(
)
N 22.210
79.311
.22
32
2
y 2
x =?+=
+=
-F F F
与竖直方向的夹角
3
y
x 111
.210
79.3arctg
arctg
=?==-F F θ
2-21 质量为m 的质点，当它处在r =-2i +4j +6k 的位置时的速度v =5i +4j +6k ，试求其对原点的角动量。
[解] 质点对原点的角动量为 v r p r L ?=?=m
)2842(6
4
5
642
k j k
j i
-=-=m m
2-22 一质量为m ＝2200kg 的汽车v =60h km 的速率沿一平直公路行驶。求汽车对公路一侧距公路为d ＝50m 的一点的角动量是多大?对公路上任一点的角动量又是多大? [解] 根据角动量的定义式v r L m ?=
(1) s m kg 1083.150360*********sin 263??=???===mvd rmv L θ (2) 对公路上任一点r ∥v ，所以 0=L
2-23 某人造地球卫星的质量为m ＝l802kg ，在离地面2100km 的高空沿圆形轨道运行。试求卫星对地心的角动量(地球半径61040.6?=地R m)。
[解] 设卫星的速度为v ，地球的质量为M ，则
()
h
R v
m
h R Mm
G
+=+地地2
2
(1)
又 g R M G
=地
(2)
联立两式得 地地R h
R g v +=
卫星对地的角动量 ()()地地地?+=?+=h R g m v h R m L
(
)6
6
6
10
40.610
10.210
40.68.91802
???+??=
s m
kg 10
05.12
14
??=
2-24 若将月球轨道视为圆周，其转动周期为27.3d ，求月球对地球中心的角动量及面积速度(221035.7?=月m kg ，轨道半径R =81084.3?m)。
[解] 设月球的速度为v ，月球对地球中心的角动量为L ，则
T R v /2π=
T
R m Rv m L π2月
月==
3600
243.2714
.32)1084.3(10
35.72
8
22
???????=
/s m kg 10
89.22
34
??=
月球的面积速度为
/s m 10
96.1/2
11
2
?==T R
v π面
2-25 氢原子中的电子以角速度s rad 1013.46?=ω在半径10103.5-?=r m 的圆形轨道上绕质子转动。试求电子的轨道角动量，并以普朗克常数h 表示之(s J 1063.634??=-h )。
[解] 电子的轨道角动量
(
)
s J 10
6.110
06.110
13.410
3.510
1.99
42
6
2
10
31
2
??=?=?????==----ωmr L
2-26 海王星的轨道运动可看成是匀速率圆周运动，轨道半径约为km 1059?=R ，绕太阳运行的周期为T =165年。海王星的质量约为kg 100.126?=m ，试计算海王星对大阳中心的角动量的大小。
[解] 海王星对太阳中心的角动量
mRv L =
T
R v π2=
联立两式得到
(
)
s m
kg 10
02.33600
2436516510
10
0.5210
0.122
42
2
39
26
2
??=???????
?==ππT
R m
L
2-27 质量为m 的质点开始处于静止状态，在外力F 的作用下沿直线运动。已知
T
t F F π2sin
0=，方向与直线平行。求：(1)在0到T 的时间内，力F 的冲量的大小；(2)在0
到2T 时间内，力F 冲量的大小；(3)在0到2T 时间内，力F 所作的总功；(4)讨论质点的运动情况。
[解]由冲量的定义?=1
2
d t t
t F I ，在直线情况下，求冲量I 的大小可用代数量的积分，即
?=
1
2
d t t
t F I
(1) 从t ＝0到 t=T ，冲量的大小为： ?=
=
T
t F I 0
1d ?-=T
T
T t T F t T t F 0000]2c o s [2d 2s i n πππ=0
(2) 从t =0到 t =T /2，冲量的大小为 ππππ0000
00
22
2
2
]2c o s [2d 2s i n d TF T t T F t T t F t F I T T T
=
-==
=
??
(3) 初速度00=v ，由冲量定理 0mv mv I -=
当 t =T /2时，质点的速度m TF m I
v π0==
又由动能定理，力F 所作的功
m
F T m
F mT
mv
mv
mv
A 2
2
22
2
2
22
20
2
222
12
121ππ=
=
=
-
=
(4) 质点的加速度)/2sin()/(0T t m F a π=，在t =0到t =T /2时间内，a >0，质点作初速度为零的加速运动，t =T /2时，a =0，速度达到最大；在t =T /2到t =T 时间内，a <0，但v >0，故质点作减速运动，t =T 时 a =0，速度达到最小，等于零；此后，质点又进行下一周期的相似运动。总之，质点作速度方向不变的变速直线运动。
2-28 角动量为L ，质量为m 的人造地球卫星，在半径为r 的圆形轨道上运行，试求其动能、势能和总能量。
[解] 将人造地球卫星看作质点，因为卫星作圆周运动，所以v r ⊥，由()v r L m ?=知，
rmv L = rm
L v =
所以卫星的动能 m
r L
rm L m mv
E 22
2
2
k 2121
2
1=
??
?
??==
选无穷远处为势能零点，由牛顿运动定律得：
2
2
n r
GMm r
v
m
F =
=
所以 r
G M m mv
E 22
12
k =
=
又 r
G M m E -
=p
所以 2
2k p 2mr
L
E E -
=-=
所以 2
2p k 2mr
L
E E E -=+=
2-29 一质量为1m 与另一质量为2m 的质点间有万有引力作用。试求使两质点间的距离由1x 增加到d x x +=1时所需要作的功。
[解] 万有引力 02
21r F r
m m G
-=
两质点间的距离由x 增加到d x x +=1时，万有引力所作的功为
???
?
??-+=-=?=
?
?++11212
2111d d 11
11
x d x m Gm r
m m G
A d
x x d
x x r r F 故外力所作的功
()d x x d
m Gm d x x m Gm A A d
x x
+=???
? ??+-=?=
-='?+1121112111d 11
r F 此题也可用功能原理求： ＝外p E E A ?=?=
2-30 设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为2r k f =，k 为常数。若取无穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为r 时的势能。
[解]由势能的定义知r 处的势能p E 为:
???∞
∞
∞
=
=
?=
r
r
r
r r
k r f E d d d 3
p r f 2
2
221r
k r
k
r
=
-=∞
2-31 设地球的质量为M ，万有引力恒量为0G ，一质量为m 的宇宙飞船返回地球时，可认为它是在地球引力场中运动(此时飞船的发动机已关闭)。求它从距地心1R 下降到2R 处时所增加的动能。
[解] 由动能定理，宇宙飞船动能的增量等于万有引力对飞船所作的功，而此功又等于这一过程中地球与飞船系统势能增量的负值，即：
2
1210
1
2
p k )
()]
([R R R R Mm G R Mm G R Mm G E E -=----=?-=?
2-32 双原子中两原子间相互作用的势能函数可近似写成()6
12
p x
b x
a x E -
=
，式中a 、b
为常数，x 为原子间距，两原子的势能曲线如图所示。(1)x 为何值时()0p =x E ?x 为何值时
()x E p 为极小值?(2)试确定两原子间的作用力；(3)假设两原子中
有一个保持静止，另一个沿x 轴运动，试述可能发生的运动情况。
[解] (1) 当()x E p =0时，有：
06
12
=-
x
b x
a
即 b
a x =
6 或
016
=x
故 0)
(p 16
1
=∞→=）（时，或x E x b
a
x
p E (x )为极小值时，有
0d )(d p =x
x E
即 06
12
7
13
=+-x
b x
a
所以 ∞=??
?
??=26
121x b a x 或
(2)设两原子之间作用力为()x f ，则
)(grad )(p
x E x -=f
在一维情况下，有
7
13
p 6
12
d )(d )(x
b x
a x
x E x f -=-
= (3)由原子的受力情况可以看出可能发生的运动情况为:当x 时，两原子间的作 用f (x )>0，它们互相排斥，另一原子将远离；当x >x 2 时f (x )<0，它们又互相吸引，另一 原子在远离过程中减速，直至速度为零，然后改变方向加速靠近静止原子，再当x 时， 又受斥力，逐渐减速到零，原子又将远离。如此循环往复。若开始时两原子离得很远，则f (x )趋于零，两原子互不影响。 2-33 两核子之间的相互作用势能，在某种准确程度上可以用汤川势 ()0 00p r r e r r E r E -?? ? ??-=来表示，式中0E 约为50MeV ，0r 约为m 105.115-?。(1)试求两个柱 子之间的相互作用力F 与它们之间距离r 之间的函数关系；(2)求0r r =时相互作用力的值； (3)求02r r =，05r r =，010r r =时作用力的值，并通过比较解释什么是短程力。 [解] (1) ()()0 00000p 11 d d d r r r r e r r r r E e r r E r r r dE r f --???? ??+??? ??-=?? ?????? ? ??-- =- = ()r f <0为引力 (2) 当0r r =时，N 1092.32223 01 0?== =-r E e r E F (3) 当02r r =时，N 1054.0834312123 0020200000 2?===???? ??+=-F e r e E e r r r r E F 当05r r =时，040 50500000 52532561515F e r e E e r r r r E F ==???? ??+=- 当010r r =时，0701******** 520011 10011110110F e r e E e r r r r E F ==???? ??+=- 由以上的计算结果知，当r 增大时，F 值迅速减小，即F 只在r 比较小的范围内(数量级均为m 1014-)有明显作用，这种力就叫做短程力。 大学物理(第四版)课 后习题及答案质点 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 题1.1：已知质点沿x 轴作直线运动，其运动方程为 3322)s m 2()s m 6(m 2t t x --?-?+= 。求（l ）质点在运动开始后s 0.4内位移的大小； （2）质点在该时间内所通过的路程。 题1.1解：（1）质点在4.0 s 内位移的大小 m 3204-=-=?x x x （2）由 0)s m 6()s m 12(d d 232=?-?=--t t t x 得知质点的换向时刻为 ｓ2=P t （t 0不合题意） 则：m 0.8021=-=?x x x m 40x 242-=-=?x x 所以，质点在4.0 s 时间间隔内的路程为 m 4821=?+?=x x s 题1.2：一质点沿x 轴方向作直线运动，其速度与时间的关系如图所示。设0=t 时，0=x 。试根据已知的图t v -，画出t a -图以及t x -图。 题1.2解：将曲线分为AB 、BC 、CD 三个过程，它们对应的加速度值分别为 2A B A B AB s m 20-?=--= t t v v a （匀加速直线运动） 0BC =a （匀速直线） 2C D C D CD s m 10-?-=--= t t v v a （匀减速直线运动） 根据上述结果即可作出质点的a －t 图 在匀变速直线运动中，有 2002 1at t v x x + += 由此，可计算在0~2和4~6 s 时间间隔内各时刻的位置分别为 t /s 0 0.5 1 1.5 2 4 4.5 5 5.5 6 x /m 5.7- 10- 5.7- 0 40 48.7 55 58.7 60 用描数据点的作图方法，由表中数据可作0~2 s 和4~6 s 时间内的x －t 图。在2~4 s 时间内，质点是作v = 201s m -?的匀速直线运动，其x －t 图是斜率k = 20的一段直线。 题1.3：如图所示，湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为h ，滑轮到原船位置的绳长为0l ，试求：当人以匀速v 拉绳，船运动的速度v '为多少？ 题1.3解1：取如图所示的直角坐标系，船的运动方程为 ()()()j i r h t x t -+= 船的运动速度为 ()i i i r v t r r h h r t t t x t d d 1d d d d d d 2 /12 2 2 2 -??? ? ? ?-=-= ==' 而收绳的速率t r v d d - =，且因vt l r -=0，故 ()i v 2 /12 021-??? ? ? ?-- -='vt l h v 题1.3解2：取图所示的极坐标(r ,θ)，则 θr r r d d d d d d d d d d e e e e r v t r t r t r t r t θ+=+== ' r d d e t r 是船的径向速度，θd d e t r θ是船的横向速度，而 t r d d 是收绳的速率。由于船速v '与径向速度之间夹角位θ ，所以 习 题 二 2-1 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。 [解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv (1) 由牛顿第二定律 t v m ma f d d == 即 t v m kv d d ==- 所以 t m k v v d d -= 对等式两边积分 ??-=t v v t m k v v 0 d d 0 得 t m k v v -=0ln 因此 t m k e v v -=0 (2) 由牛顿第二定律 x v mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即 x v mv kv d d =- 所以 v x m k d d =- 对上式两边积分 ??=-00 0d d v s v x m k 得到 0v s m k -=- 即 k mv s 0 = 2-2 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为 [证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 即 t v m ma kv F mg d d ==-- 整理得 m t kv F mg v d d =-- 对上式两边积分 ? ?=--t v m t kv F mg v 00 d d 得 m kt F mg kv F mg -=---ln 即 ??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。 [解] 设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。 此时 2 T kv mg = 即 k mg v = T 有牛顿第二定律 t v m kv mg d d 2=- 整理得 m t kv mg v d d 2= - 对上式两边积分 mgk m t kv mg v t v 21d d 00 2??=- 得 m t v k mg v k mg = +-ln 整理得 T 22221 111v e e k mg e e v kg m t kg m t kg m t kg m t +-=+-= 2-4 一人造地球卫星质量m =1327kg ，在离地面61085.1?=h m 的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力f 的大小；(2)卫星的速率v ；(3)卫星的转动周期T 。 [解] 卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力 由上面两式得() () () N 1082.710 85.110 63781063788.9132732 63 2 32 e 2 e ?=?+??? ?=+=h R R mg f (2) 由牛顿第二定律 h R v m f +=e 2 、选择题 练习十三 (简谐振动、旋转矢量、简谐振动的合成) 1. 一弹簧振子，水平放置时，它作简谐振动。若把它竖直放置或放在光滑斜面上，试判断下列情况正确的是 (A) 竖直放置作简谐振动，在光滑斜面上不作简谐振动; (B) 竖直放置不作简谐振动，在光滑斜面上作简谐振动; (C) 两种情况都作简谐振动； (D)两种情况都不作简谐振动。 d2x 解：(C)竖直弹簧振子：m—2k(x I) mg kx( kl dt 弹簧置于光滑斜面上：m吟 dt2k(x I) mg sin kx ( )d 2x mg), 勞dt2 d2x kl mg),可 dt2 2 . 两个简谐振动的振动曲线如图所示，则有(A) n n (A) A超前一；(B) A落后一；(C) A超前n; 2 2 (D) A落后It 。 2 x 3. 一个质点作简谐振动，周期为T，当质点由平衡位置向x轴正方向运动时，由 之一最大位移这段路程所需要的最短时间为 (B) /、T/、T T /、T (A) (B) ; (C) (D) 。 41268 解：(A)X A A cos t, X B Acos( t /2) 解：(B)振幅矢量转过的角度/6 ,所需时间t 平衡位置到二分 4.分振动表式分别为x13cos(50 n 0.25 n 和x2 为: (A) x 2cos(50 n t 0.25 u);(B) (C) x 5cos(50 n 1 arcta n —)； 2 7 (D 解：(C)作旋转矢量图或根据下面公式计算5 . /6 T 2 /T 12 4cos(50 n 0.75 n (SI 制)则它们的合振动表达式x 5cos(50 n); A A 2AA COS(20 10) . 32 42 2 3 4cos(0.75 0.25 丄1 Asin 10 A2sin 20丄1 3sin(0.25 ) 4sin(0.75 ) tg - _ - — tg 3cos(0.25 ) cos 10 A? cos 20 4cos(0.75 ) 2 tg 两个质量相同的物体分别挂在两个不同的弹簧下端, 弹簧的伸长分别为5; l2，且h 2 l2，则 两弹簧振子的周期之比T1 :T2为(B) (A) 2 ; ( B) 2 ; ( C) 1/2 ; ( D) 1/、2。 第二章 牛顿运动定律 一、选择题 1.下列说法中哪一个是正确的？（ ） （A ）合力一定大于分力 （B ）物体速率不变，所受合外力为零 （C ）速率很大的物体，运动状态不易改变 （D ）质量越大的物体，运动状态越不易改变 2.用细绳系一小球，使之在竖直平面内作圆周运动，当小球运动到最高点时（ ） （A ）将受到重力，绳的拉力和向心力的作用 （B ）将受到重力，绳的拉力和离心力的作用 （C ）绳子的拉力可能为零 （D ）小球可能处于受力平衡状态 3.水平的公路转弯处的轨道半径为R ，汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ，要使汽车不致于发生侧向打滑，汽车在该处的行驶速率（ ） （A ）不得小于gR μ （B ）不得大于gR μ （C ）必须等于 gR μ2 （D ）必须大于 gR μ3 4.一个沿x 轴正方向运动的质点，速率为51 s m -?，在0=x 到m 10=x 间受到一个如图所示的y 方向的力的作用，设物体的质量为1. 0kg ，则它到达m 10=x 处的速率为（ ） （A ）551s m -? （B ）1751 s m -? （C ）251s m -? （D ）751 s m -? 5.质量为m 的物体放在升降机底板上，物体与底板的摩擦因数为μ，当升降机以加速度a 上升时，欲拉动m 的水平力至少为多大（ ） （A ）mg （B ）mg μ（C ）)(a g m +μ （D ）)(a g m -μ 6 物体质量为m ，水平面的滑动摩擦因数为μ，今在力F 作用下物体向右方运动，如下图所示，欲使物体具有最大的加速度值，则力F 与水平方向的夹角θ应满足（ ） （A ）1cos =θ （B ）1sin =θ 题1.1：已知质点沿x 轴作直线运动，其运动方程为3322)s m 2()s m 6(m 2t t x --?-?+= 。求（l ）质点在运动开始后s 0.4内位移的大小；（2）质点在该时间内所通过的路程。 题1.1解：（1）质点在4.0 s 内位移的大小 m 3204-=-=?x x x （2）由 0)s m 6()s m 12(d d 232=?-?=--t t t x 得知质点的换向时刻为 ｓ2=P t （t = 0不合题意） 则：m 0.8021=-=?x x x m 40x 242-=-=?x x 所以，质点在4.0 s 时间间隔内的路程为 m 4821=?+?=x x s 题1.2：一质点沿x 轴方向作直线运动，其速度与时间的关系如图所示。设0=t 时，0=x 。试根据已知的图t v -，画出t a -图以及t x -图。 题1.2解：将曲线分为AB 、BC 、CD 三个过程，它们对应的加速度值分别为 2A B A B AB s m 20-?=--=t t v v a （匀加速直线运动） 0BC =a （匀速直线） 2C D C D CD s m 10-?-=--= t t v v a （匀减速直线运动） 根据上述结果即可作出质点的a －t 图 在匀变速直线运动中，有 2002 1at t v x x + += 间内，质点是作v = 201s m -?的匀速直线运动，其x －t 图是斜率k = 20的一段直线。 题1.3：如图所示，湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为h ，滑轮到原船位置的绳长为0l ，试求：当人以匀速v 拉绳，船运动的速度v '为多少？ 大学物理上册课后习题答案 习题解答 习题一 1-1 ｜r ?｜与r ? 有无不同?t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解： （1）r ?是位移的模，?r 是位矢的模的增量， 即r ?1 2r r -=，1 2 r r r ? ?-=?； （2）t d d r 是速度的模，即t d d r = =v t s d d . t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中t r d d 就是速度径向上的分量， ∴ t r t d d d d 与r 不同如题1-1图所示. 题 1-1图 (3) t d d v 表示加速度的模，即 t v a d d ? ?= ，t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ??(v =v 表轨道节线方向单位矢），所以 t v t v t v d d d d d d τ τ???+= 式中dt dv 就是加速度的切向分量. ( t t r d ?d d ?d τ??Θ与的运算较复杂，超出教材规定，故不予 讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r ＝ 2 2 y x +，然后根据v =t r d d ，及a ＝ 2 2d d t r 而求得结果； 又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v =2 2 d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 及a = 2 22222d d d d ??? ? ??+???? ??t y t x 你认为两种 方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 j y i x r ? ??+=， j t y i t x t r a j t y i t x t r v ??? ???? ?222222d d d d d d d d d d d d +==+==∴ 故它们的模即为 2 222 22222 2 2 2d d d d d d d d ? ?? ? ??+???? ??=+=? ? ? ??+??? ??=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y x 质点动力学习题答案 2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向 与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v 方向为X 轴，平行 斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1. 图2-1 X 方向： 0=x F t v x 0= ① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v 2sin 2 1 t g y α= 由①、②式消去t ，得 22 sin 21 x g v y ?= α 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为 常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m ⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律： 合力：f P F += a m f P =+ y 分量：dt dV m KV mg =-- dt KV mg mdV -=+? 即 dt m KV mg dV 1 -=+ ??-=+t v v dt m KV mg dV 01 dt m KV mg KV mg K 1ln 10-=++ )(0KV mg e KV mg t m K +?=+- mg K e KV mg K V t m K 1 )(10-+=?- ① 0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为 )1ln(ln 000mg KV K m mg KV mg K m t +=+= ② ∵ dt dy V = ∴ Vdt dy = dt mg K e KV mg K Vdt dy t t m K t y ??? ?? ????-+==-0000 1)(1 mgt K e KV mg K m y t m K 11)(02-??????-+-=- 021 ()1K t m m mg KV e mgt K K -+--??=???? ③ 0t t = 时，max y y =， )1ln(11)(0)1ln(02max 0mg KV K m mg K e KV mg K m y mg KV K m m K + ?-????????-+=+?- )1ln(1 1)(0 22 02mg KV g K m mg KV mg KV mg K m +-?? ??? ? ?????? +-+= )1ln()(022 0002mg KV g K m KV mg KV KV mg K m +-++= )1ln(0 220mg KV g K m K mV +-= 2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的一 段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的速度. 大学物理第二章习题及 答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第二章 牛顿运动定律 一、选择题 1.下列说法中哪一个是正确的（ ） （A ）合力一定大于分力 （B ）物体速率不变，所受合外力为零 （C ）速率很大的物体，运动状态不易改变 （D ）质量越大的物体，运动状态越不易改变 2.用细绳系一小球，使之在竖直平面内作圆周运动，当小球运动到最高点时（ ） （A ）将受到重力，绳的拉力和向心力的作用 （B ）将受到重力，绳的拉力和离心力的作用 （C ）绳子的拉力可能为零 （D ）小球可能处于受力平衡状态 3.水平的公路转弯处的轨道半径为R ，汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ，要使汽车不致于发生侧向打滑，汽车在该处的行驶速率（ ） （A ）不得小于gR μ （B ）不得大于gR μ （C ）必须等于 gR μ2 （D ）必须大于 gR μ3 4.一个沿x 轴正方向运动的质点，速率为51 s m -?，在0=x 到m 10=x 间受到一个如图所示的y 方向的力的作用，设物体的质量为1. 0kg ，则它到达m 10=x 处的速率为（ ） （A ）551s m -? （B ）1751 s m -? （C ）251s m -? （D ）751 s m -? 5.质量为m 的物体放在升降机底板上，物体与底板的摩擦因数为μ，当升降机以加速度a 上升时，欲拉动m 的水平力至少为多大（ ） （A ）mg （B ）mg μ（C ）)(a g m +μ （D ）)(a g m -μ 6 物体质量为m ，水平面的滑动摩擦因数为μ，今在力F 作用下物体向右方运动，如下图所示，欲使物体具有最大的加速度值，则力F 与水平方向的夹角θ应满足（ ） （A ）1cos =θ （B ）1sin =θ （C ）μθ=tg （D ）μθ=ctg 二、简答题 1.什么是惯性系什么是非惯性系 2.写出任一力学量Q 的量纲式，并分别表示出速度、加速度、力和动量的量纲式。 三、计算题 2.1质量为10kg 的物体，放在水平桌面上，原为静止。先以力F 推该物体，该力的大小为20N ，方向与水平成?37角，如图所示，已知物体与桌面之前的滑动摩擦因数为 0.1，求物体的加速度。 2.2质量M=2kg 的物体，放在斜面上，斜面与物体之间的滑动摩擦因数 2.0=μ，斜面仰角?=30α，如图所示，今以大小为19.6N 的水平力F 作用于m ， 求物体的加速度。 题2.2 质点 动力学习题答案 2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α） 上以初速度0v 运动，0v 的方向与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v 方向为X 轴，平行斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1. 图2-1 X 方向： 0=x F t v x 0=① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v 由①、②式消去t ，得 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为常数.求物体升高到最高点 时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m ⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律： 合力：f P F += y 分量：dt dV m KV mg =-- 即dt m KV mg dV 1-=+ mg K e KV mg K V t m K 1)(10-+=?-① 0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为 )1ln(ln 000mg KV K m mg KV mg K m t +=+=② ∵dt dy V = ∴Vdt dy = 021()1K t m m mg KV e mgt K K -+--??=????③ 0t t =时，max y y =， 2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平 桌面，链子的一端由极小的一段长度被推出桌子边 缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌 面时的速度. 解：链条在运动过程中，其部分的速度、加速度均相同， 沿链条方向，受力为 m xg l ，根据牛顿定律，有 图2-4 通过变量替换有 m dv xg mv l dx = 0,0x v ==，积分00 l v m xg mvdv l =?? 由上式可得链条刚离开桌面时的速度为v gl = 2-5 升降机内有两物体，质量分别为1m 和2m ，且2m ＝21m ．用 细绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a ＝ 12 g 上升时，求：(1) 1m 和2m 相对升降机的加速度．(2)在地面上观察1m 和 2m 的加速度各为多少? 解: 分别以1m ,2m 为研究对象，其受力图如图所示． (1)设2m 相对滑轮(即升降机)的加速度为a '，则2m 对地加速 练习一 质点运动学 1、26t dt d +== ，61+= ，t v 261 331+=-=-? ， a 241 31 331=--=- 2、020 22 12110 v Kt v Ktdt v dv t Kv dt dv t v v +=?-?=??-= 所以选（C ） 3、因为位移00==v r ?，又因为,0≠?0≠a 。所以选（B ） 4、选（C ） 5、（1）由,mva Fv P ==dt dv a = ，所以：dt dv mv P =，??=v t mvdv Pdt 0 积分得：m Pt v 2= （2）因为m Pt dt dx v 2==，即：dt m Pt dx t x ??=0 02，有：2 3 98t m P x = 练习二 质点运动学 （二） 1、 平抛的运动方程为 202 1gt y t v x ==，两边求导数有： gt v v v y x ==0，那么 2 22 0t g v v +=， 2 22 022t g v t g dt dv a t +==， = -=22 t n a g a 2 220 0t g v gv +。 2、 2241442s /m .a ;s /m .a n n == 3、 （B ） 4、 （A ） 练习三 质点运动学 1、023 2332223x kt x ;t k )t (a ;)k s (t +=== 2、0321`=++ 3、（B ） 4、（C ） 练习四 质点动力学（一） 1、m x ;912== 2、（A ） 3、（C ） 4、（A ） 练习五 质点动力学（二） 1、m 'm mu v )m 'm (v V +-+-=00 2、（A ） 3、（B ） 4、（C ） 5、（1）Ns v v m I v s m v t t v 16)(,3,/19,38304042=-===+-= （2）J mv mv A 1762 1212 024=-= 练习六、质点动力学（三） 1、J 900 2、)R R R R ( m Gm A E 2 12 1-= 3、（B ） 4、（D ） 5、)(2 1 222B A m -ω 练习七 质点动力学（四） 1、) m m (l Gm v 212 2 12+= 2、动量、动能、功 3、（B ） 第2章作业解 2-2 目前，真空设备内部的压强可达Pa 10 1001.1-?，在此压强下温度为C ?27时，31m 体 积中有多少个气体分子？ 解：将气体看做理想气体，由压强公式：nkT p = 则： 31023 10 1044.2) 27327(1038.11001.1---?=+??==m KT p n 2-3 一个容器内储有氧气，其压强为Pa 5 1001.1?，温度为C ?27，计算：（1）气体分子数密度；（2）氧气的密度；（3）分子平均平动动能。 解：（1）由nkT p =，则：3 2523 51044.2300 1038.11001.1--?=???==m kT p n （2）由T V R M V T V R M m p RT M m pV ρ== = , 则：氧气的密度：33 530.1300 31.810321001.1--?=????==m kg RT pM ρ （3）分子平均平动动能：J kT k 21231021.63001038.12 3 23--?=???==ε 2-4 kg 2 100.2-?的氢气装在3 3 100.4m -?的容器内，当容器内的压强为Pa 5 109.3?时， 氢气分子的平均平动动能为多大？已知氢气的摩尔质量为1 3 102-??mol kg 。 解：由：RT M m pV = ，得：M mR pV T /= 则氢气分子的平均平动动能为： m N pVM m pVM R k kT A 232323= = J 172 24335109.310 0.21002.6102100.4109.323---?=?????????= 2-5 某些恒星的温度可达到K 8 100.1?，这是发生聚变反应（也称热核反应）所需的温度。在此温度下的恒星可视为由质子组成。试求（1）质子的平均动能；（2）质子的方均根速率（提示：大量质子可视为由质点组成的理想气体，质子的摩尔质量为)1011 3 --??mol kg 。 解：可将质子气看做是单原子气体，其自由度3=i ，则： x O 1A 2 2 练习 十三 (简谐振动、旋转矢量、简谐振动的合成) 一、选择题 1． 一弹簧振子，水平放置时，它作简谐振动。若把它竖直放置或放在光滑斜面上，试判断下列情况正确的是 （C ） （A ）竖直放置作简谐振动，在光滑斜面上不作简谐振动； （B ）竖直放置不作简谐振动，在光滑斜面上作简谐振动； （C ）两种情况都作简谐振动； （D ）两种情况都不作简谐振动。 解：(C) 竖直弹簧振子:kx mg l x k dt x d m )(22(mg kl ),0222 x dt x d 弹簧置于光滑斜面上:kx mg l x k dt x d m sin )(22 (mg kl ),0222 x dt x d 2． 两个简谐振动的振动曲线如图所示，则有 （A ） （A ）A 超前 2π； （B ）A 落后2π；（C ）A 超前π； （D ）A 落后π。 解：(A)t A x A cos ,)2/cos( t A x B 3． 一个质点作简谐振动，周期为T ，当质点由平衡位置向x 轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的最短时间为： （B ） （A ）4T ； （B ）12T ； （C ）6T ； （D ）8 T 。 解：(B)振幅矢量转过的角度6/ ,所需时间12 /26/T T t , 4． 分振动表式分别为)π25.0π50cos(31 t x 和)π75.0π50cos(42 t x （SI 制）则它们的合振动表达式为： （C ） （A ）)π25.0π50cos(2 t x ； （B ）)π50cos(5t x ； （C ）π1 5cos(50πarctan )27 x t ； （D ）7 x 。 解：(C)作旋转矢量图或根据下面公式计算 )cos(210202122 2 1 A A A A A 5)25.075.0cos(432432 2 ; 7 1 2)75.0cos(4)25.0cos(3)75.0sin(4)25.0sin(3cos cos sin sin 112021012021011 0 tg tg A A A A tg 5． 两个质量相同的物体分别挂在两个不同的弹簧下端，弹簧的伸长分别为1l 和2l ，且212l l ，则两弹簧振子的周期之比21:T T 为 （B ） （A ）2； （B ）2； （C ）2/1； （D ）2/1。 解：(B) 弹簧振子的周期k m T 2 ,11l mg k , 22l mg k ,22 121 l l T T 6. 一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为m 的重物，其自由振动的周期为T ．今已知振子离开平衡位置为 x 时，其振动速度为v ，加速度为a ．则下列计算该振子劲度系数的公式中，错误的是： （B ） (A) 2 max 2max /x m k v ； (B) x mg k / ； (C) 2 2/4T m k ； (D) x ma k / 。 解：B 7. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动表式为x 1 = A cos(t + )．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．则第二个质 点的振动表式为 （B ） (A) )π21 cos( 2 t A x ； (B) )π2 1cos(2 t A x ； x t o A B 1 A 4 / 4 /3 2 A A x O )0(A )(t A 3/ 6/ 第一章 质点运动学 1–1 描写质点运动状态的物理量是 。 解：加速度是描写质点状态变化的物理量，速度是描写质点运动状态的物理量，故填“速度”。 1–2 任意时刻a t =0的运动是 运动；任意时刻a n =0的运动是 运动；任意时刻a =0的运动是 运动；任意时刻a t =0，a n =常量的运动是 运动。 解：匀速率；直线；匀速直线；匀速圆周。 1–3 一人骑摩托车跳越一条大沟，他能以与水平成30°角，其值为30m/s 的初速从一边起跳，刚好到达另一边，则可知此沟的宽度为 （)m/s 102=g 。 解：此沟的宽度为 m 345m 10 60sin 302sin 220=??==g R θv 1–4 一质点在xoy 平面内运动，运动方程为t x 2=，229t y -=，位移的单位为m ，试写出s t 1=时质点的位置矢量__________；s t 2=时该质点的瞬时速度为__________，此时的瞬时加速度为__________。 解：将s t 1=代入t x 2=，229t y -=得 2=x m ，7=y m s t 1=故时质点的位置矢量为 j i r 72+=（m ） 由质点的运动方程为t x 2=，229t y -=得质点在任意时刻的速度为 m/s 2d d ==t x x v ，m/s 4d d t t x y -==v s t 2=时该质点的瞬时速度为 j i 82-=v （m/s ） 质点在任意时刻的加速度为 0d d ==t a x x v ，2m/s 4d d -==t a y y v s t 2=时该质点的瞬时加速度为j 4-m/s 2。 大学物理-质点运动学 (答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第一章 力和运动 （质点运动学） 一. 选择题: ［ B ］1、一质点沿x 轴作直线运动，其v t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t =4.5 s 时，质点在x 轴上的位置为 (A) 5m ． (B) 2m ． (C) 0． (D) -2 m ． (E) -5 m. (1 2.5)22(21)122()x m =+?÷-+?÷=提示： ［ C ］2、如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 (A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动． (C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (E) 匀速直线运动． 提示：如图建坐标系，设船离岸边x 米， 222l h x =+ 22dl dx l x dt dt = 22dx l dl x h dl dt x dt x dt +== 0dl v dt =- 22 0dx h x v i v i dt x +==- 2203v h dv dv dx a i dt dx dt x ==?=- ［ D ］3、一运动质点在某瞬时位于矢径()y x r , 的端点处, 其速度大小为 (A) t r d d (B) t r d d (C) t r d d (D) 22d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 1 4.54 32.52 -1 12t (s) v (m/s) v x o 第二章 质点动力学 2－1一物体从一倾角为30的斜面底部以初速v 0=10m·s 1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v =7m·s 1,求该物体与斜面间的摩擦系数。 解：物体与斜面间的摩擦力f ＝uN ＝umgcos30 物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得 22011 2(1) 22 mv mv f s -=-? 物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得 201 0sin 302 mv f s mgh f s mgs -=-?-=-?- 20 (2) (31) s g u ∴= - 把式（2）代入式（1）得， () 22 2 20 0.198 3u v v = + 2－2如本题图，一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点，然后沿圆弧ADCB 下滑，试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。 解：小球在运动的过程中受到重力G 和轨道对它的支持力T .取 如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得 2 2 sin (1) cos (2) t n dv F mg m dt v F T mg m R αα=-==-= 由,,1ds rd rd v dt dt dt v αα = ==得代入式（）， A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有， 90 2 n (sin )2cos 2cos /m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v gr v g r r v mg mg r mg α αα αωααα α=-===+==-=-? ?得则小球在点C 的角速度为 ＝由式（2）得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为T T 方向与反向 2－3如本题图，一倾角为 的斜面置于光滑桌面上，斜面上放 一质量为m 的木块，两者间摩擦系数为，为使木块相对斜面静止， 求斜面的加速度a 应满足的条件。 解：如图所示 大学物理练习 十六 一、选择题 1．一束波长为λ的平行单色光垂直入射到一单缝AB 上，装置如图，在屏幕D 上形成衍射图样，如果P 是中央亮纹一侧第一个暗纹所在的位置，则 BC 的长度为 [A ] (A) λ (B)λ/2 (C) 3λ/2 (D) 2λ 解: P 是中央亮纹一侧第一个暗纹所在的位置,λθk a C B ==sin (k=1) 2．单缝夫琅和费衍射实验中，波长为λ的单色光垂直入射在宽度为a=4λ的单缝 上，对应于衍射角为300的方向，单缝处波阵面可分成的半波带数目为 (A) 2个 (B) 4个 (C) 6个 (D) 8个 [ B ] 解: 0 304sin ===θλλθa k a 可得k=2, 可分成的半波带数目为4个. 3．根据惠更斯—菲涅耳原理，若已知光在某时刻的波阵面为S ，则S 的前方某点P 的光强度决定于波阵面S 上所有面积元发出的子波各自传到P 点的 （A ） 振动振幅之和。 （B ）光强之和。 （B ） 振动振幅之和的平方。 （D ）振动的相干叠加。 [D ] 解: 所有面积元发出的子波各自传到P 点的振动的相干叠加. 4．在如图所示的单缝夫琅和费衍射装置中，设中央明纹的衍射角范围很小。若使单缝宽度a 变为原来的 2 3，同时使入射的单色光的波长λ变为原来的3/4，则 屏幕C 上单缝衍射条纹中央明纹的宽度x ?将变为原来的 (A) 3/4倍。 (B) 2/3倍。 (C) 9/8倍。 (D) 1/2倍。 （E ）2倍。 [ D ] 解:a f x λ 2=? C 屏 f D L A B λ 5．在如图所示的单缝夫琅和费衍射装置中，将单缝宽度a 稍稍变宽，同时使单 缝沿y 轴正方向作微小位移，则屏幕C 上的中央衍射条纹将 [ C ] (A) 变窄，同时向上移； (B) 变窄，同时向下移； (C) 变窄，不移动； (D) 变宽，同时向上移； (E) 变宽，不移动。 解 ↑a ↓ ?x 6．某元素的特征光谱中含有波长分别为λ1=450nm 和λ2=750nm （1nm=10-9m ）的光谱线。在光栅光谱中，这两种波长的谱线有重叠现象，重叠处λ2的谱线的级数将是 [D ] (A) 2,3,4,5……… (B) 2,5,8,11…….. (C) 2,4,6,8……… (D) 3,6,9,12…….. 解: 2211sin λλθk k d == 6,103 ,521 21====k k k k 当.....)3,2,1( 32==n n k 7．设星光的有效波长为55000 A ，用一台物镜直径为1.20m 的望远镜观察双星时，能分辨的双星的最小角间隔δθ是 [ D ] (A) rad 3102.3-? (B) rad 5104.5-? (C) rad 5108.1-? (D) rad 7106.5-? λ 第一章 力和运动 （质点运动学） 一. 选择题: ［ B ］1、一质点沿x 轴作直线运动，其v t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t = s 时， 质点在x 轴上的位置为 (A) 5m ． (B) 2m ． (C) 0． (D) 2 m ． (E) 5 m. (1 2.5)22(21)122()x m =+?÷-+?÷=提示： ［ C ］2、如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖 中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 (A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动． (C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (E) 匀速直线运动． 提示：如图建坐标系，设船离岸边 x 米， 222l h x =+ 22dl dx l x dt dt = 22 dx l dl x h dl dt x dt x dt +== 0dl v dt =- 220dx h x v i v i dt x +==-r r r 2203v h dv dv dx a i dt dx dt x ==?=-r r r r ［ D ］3、一运动质点在某瞬时位于矢径()y x r ,? 的端点处, 其速度大小为 1 4.5432.52-112 t (s) v (m/s) v ? x o (A) t r d d (B) t r d d ? (C) t r d d ? (D) 2 2 d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 提示：22 , dx dy dx dy v i j v dt dt dt dt ??????=+ ∴=+ ? ? ???????r r v ［ B ］4、质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每T 秒转一圈．在2T 时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为 (A) 2R /T , 2R/T ． (B) 0 , 2R /T (C) 0 , 0． (D) 2R /T , 0. 提示：平均速度大小：0r v t ?==?v r 平均速率：2s R v t T ?= =?π ［ B ］5、在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以2 m/s 速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向．今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x 、y 方向单位矢用i ?、j ? 表示)，那么在A 船上的坐标系中，B 船的速度（以m/s 为单位）为 (A) 2i ?＋2j ?． (B) 2i ?＋2j ?． (C) －2i ?－2j ?． (D) 2i ?－2j ? ． 提示：2(2)B A B A v v v j i →→→=+=+-r r r r r 地地 ［ D ］6、某人骑自行车以速率v 向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30o 方向 吹来，人感到风从哪个方向吹来 (A)北偏东30 (B)北偏西60 (C) 北偏东60 (D) 北偏西30 提示：根据v r 风对人=v r 风对地+v r 地对人，三者的关系如图所示：这是个等边三角形，∴人感到风从北偏西300方向吹来。 二. 填空题 v r 风对人 v r 地对人 v r 风对地 O A 2 练习 十三 (简谐振动、旋转矢量、简谐振动的合成) 一、选择题 1． 一弹簧振子，水平放置时，它作简谐振动。若把它竖直放置或放在光滑斜面上，试判断下列情况正确的是 （C ） （A ）竖直放置作简谐振动，在光滑斜面上不作简谐振动； （B ）竖直放置不作简谐振动，在光滑斜面上作简谐振动； （C ）两种情况都作简谐振动； （D ）两种情况都不作简谐振动。 解：(C) 竖直弹簧振子:kx mg l x k dt x d m )(22(mg kl ),022 2 x dt x d 弹簧置于光滑斜面上:kx mg l x k dt x d m sin )(22 (mg kl ),0222 x dt x d 2． 两个简谐振动的振动曲线如图所示，则有 （A ） （A ）A 超前 2π； （B ）A 落后2π ；（C ）A 超前π； （D ）A 落后π。 解：(A)t A x A cos ,)2/cos( t A x B 3． 一个质点作简谐振动，周期为T ，当质点由平衡位置向x 轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的最短时间为： （B ） （A ）4T ； （B ）12T ； （C ）6T ； （D ）8T 。 解：(B)振幅矢量转过的角度6/ ,所需时间12 /26/T T t , 4． 分振动表式分别为)π25.0π50cos(31 t x 和)π75.0π50cos(42 t x （SI 制）则它们的合振动表达式为： （C ） （A ）)π25.0π50cos(2 t x ； （B ）)π50cos(5t x ； （C ）π1 5cos(50πarctan )27 x t ； （D ）7 x 。 解：(C)作旋转矢量图或根据下面公式计算 )cos(21020 2122 2 1 A A A A A 5)25.075.0cos(432432 2 5． 两个质量相同的物体分别挂在两个不同的弹簧下端，弹簧的伸长分别为1l 和2l ，且212l l ，则两弹簧振子的周期之比21:T T 为 （B ） （A ）2； （B ）2； （C ）2/1； （D ）2/1。 解：(B) 弹簧振子的周期k m T 2 ,11l mg k , 22l mg k ,22 121 l l T T 6. 一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为m 的重物，其自由振动的周期为T ．今已知振子离开平衡位置为x 时，其振动速度为v ，加速度为a ．则下列计算该振子劲度系数的公式中，错误的是： （B ） (A) 2 max 2 max /x m k v ； (B) x mg k / ； (C) 2 2 /4T m k ； (D) x ma k / 。 解：B 7. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动表式为x 1 = A cos( t + )．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．则第二个质点的振动 表式为 （B ） (A) )π21cos(2 t A x ； (B) )π2 1 cos(2 t A x ； (C) )π2 3 cos( 2 t A x ； (D) )cos(2 t A x 。解：(B)作旋转矢量图 8. 一质点沿x 轴作简谐振动，振动表式为 )312cos(1042 t x (SI 制)。从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 （A ）18s ； （B ）16s ； （C ）12s ； （D ）1 4s 。 解：(C)作旋转矢量图s t 2/12//min A ) (t A 4大学物理(第四版)课后习题及答案质点
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