第十讲 对数的基本概念及运算 一：问题思考
问题1：一尺之棰，日取其半，万世不竭。 （1）取5次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺?
(1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得
(2)可设取x 次,则有
二:新知引入
1. 对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对
数，记作：
，其中叫做对数的底数，
叫做真数。
注意：①是否是所有的实数都有对数呢？
负数和零没有对数
②底数的限制:a>0且a ≠1。
思考：为什么对数的定义中要求底数a>0且a ≠1？
对数的书写格式
2、对数式与指数式的互化
N x N a a x log =?=
幂底数 ← a → 对数底数
指数（指数函数的自变量） ← b → 对数 幂（指数函数的函数值） ← N → 真数
3、对数的形式
①常用对数：以10为底的对数
,简记为: lgN
②自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数
简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e 为底的对数) ③一般对数：（含有常用对数和自然对数）
注意：对数的书写 课堂练习
1 将下列指数式写成对数式： （1）
（2）
（3）
（4）
2 将下列对数式写成指数式： （1） （2）
（3）
3 求下列各式的值： （1）
（2）
2. 对数运算 （1） 基本性质
①0和负数没有对数，即N>0
②1的对数是0，即01log =a ③底数的对数等于1，即1log =a a ④对数恒等式：N a N
a =log
（2） 运算法则
如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=；
2）N M N
M
a a a
log log log -=； 3
）
∈=n M n M a n a (log log R ）。（例题
p111，例
4
，计
算:7log 35log )13(3log )9
71(551lg 4321
-+--+-
）
对数计算练习题
一、选择题
1、以下四式中正确的是（ ）
A 、log 22=4
B 、log 21=1
C 、log 216=4
D 、log 2=
2、下列各式值为0的是（ ） A 、1 B 、log 33 C 、（2－）° D 、log 2∣－1∣
3、2
5
1log 2
的值是（ ）
A 、－5
B 、5
C 、
D 、－
二、填空题
1、用对数形式表示下列各式中的x
10x =25：＿＿＿＿； 2x ＝12：＿＿＿＿；4x
=：＿＿＿＿
2、lg1+lg0.1+lg0.01=_____________
3、2log 510＋log 50.25＝_____________
三、解答题
1、求下列各式的值
⑴2log 28 ⑵3log 39 ⑶2
52
log 1 ⑷3
73
log 1
⑴lg10－
5 ⑵lg0.01 ⑶log 2
(8)51
lg12.5lg
lg 82-+； (2)2lg 2lg 3111lg 0.36lg 823
+++；
三、对数换底公式：
a
N
N m m a log log log =
（0,1,0,1,0>≠>≠>N m m a a ）
四、两个常用推论
（1）
1
log *log *log log 1log 1log *log ==?=a c b a b a b c b a b a b a
（2）b m
n
b a n
a m log log =
上节两道 （a ，b 大于0且均不为1） 【同步练习】 计算题 (1)52log 101
5-= ；
1)
l o (3
2)+= ； 7
65l o g
6l o g 5l o g 4
7= .
(2)已知log 2,log 3a a m n ==，求2m n
a +.
（3）已知632236a
b c ==，求证：123
a b c
+=.
(4)1681log 27log 32； (5)3928(log 2log 2)(log 3log 3)++.
(6)已知3484log 4log 8log log 16m =，求m .
（7）已知lg 2,lg 3a b ==，则lg12
lg15
= . (8)lg 2,lg 7a b ==,则8log 9.8= .
《对数与对数运算》（第一课时） 一、教学内容解析 《对数与对数运算》选自人教A版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容． 16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数. 与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质. 基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化. 二、教学目标设置 1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念； 2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值； 3.感受数学符号的抽象美、简洁美. 本课时落实以上三个教学目标： 通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念. 通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用.对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值. 恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性. 三、学生学情分析
《对数的概念》教学设计 一、教材分析 《课程标准》指出，通过必要地数学学习，获得必要的基础知识和基本技能，理解基本的数学概念，数学结论的本质，了解概念，结论等产生的背景，体会所蕴含的数学思想方法。通过探究活动，体会数学发现和创造的历程。提高运算，处理数据，分析、解决问题的能力。 本节课是新课标高中数学A版必修①中第二章对数函数容的第一课时，也就是对数函数的入门。在本模块中，对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。而对数函数又是本章的重要容，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用。通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。 二、学情分析 必修一是学生进入高中接触的第一本数学教材，高中开始阶段，学生还不太适应高中的学习生活，学习的主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，所以通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、等价转化、归纳等数学思想方法的学习。 三、设计思路 学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性。在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。 结合高一数学组承担的课题《教师课堂教学行为的评价、反思及有效教学研究》通过教师的课堂教学行为，使学生充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权，提高课堂教学效率。 四、三维教学目标 知识目标：1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系；2.掌握对数式与指数式的互化；理解
【高中数学专项突破】 专题25 对数的概念及运算 题组1 对数的概念 1.在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A.a >5或a <2 B.2 且1a ≠ B.102 a << C.0a >且1a ≠ D.12 a < 3.使对数()log 21a a -+有意义的a 的取值范围为（ ） A.()1,11,2??+∞ ??? B.10,2?? ??? C.()()0,11,+∞ D.1,2? ?-∞ ?? ? 题组2 对数式与指数式的互化 4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A.0 1e =与ln10= B.1 3 1 8 2 - = 与811log 23=- C.3log 92=与12 93= D.7log 71=与177= 5.若1 log 2 m n =，则下列各式正确的是（ ） A.1 2 n m = B.2m n = C.2n m = D.2n m = 6.将指数式bc a N =转化为对数式，其中正确的是（ ） A.log c a b N = B.log ab c N = C.log c a b N = D.log b a c N = 7.若7 log x y z =，则（ ） A.7z y x = B.7z y x = C.7z y x = D.7x y z = 8.若实数a ，b 满足3412a b ==，则11 a b +=（ ） A.1 2 B.15 C.16 D.1
432211log (4443)x x x x x =++++例．当时，求的值． 912162()q p q R log p log q log p q p +∈==+=例．设，且有，则． 23()(2)(1)2()2f x x lga x lgb f f x x x R a b =+++-=-≥∈+=例．已知，且，又对一切都成立，则． 124()(2)()(01)()2(18)x f x f x f x x f x f log +=-∈=例．已知奇函数满足，且当，时，，则的值为 ． 21234541515()lgx lgx lgx lgx lgx lgx lgx lgx x
111211(2)[()(]4 lg log --+．化简： ． 7．已知函数()( )1(4)21(4)x x f x f x x ???≥? ?=????+，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值。
2.2.1 对数与对数运算（一） 教学目标 （一） 教学知识点 1． 对数的概念； 2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求 1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题； ３．了解对数在生产、生活实际中的应用． 教学重点 对数的定义． 教学难点 对数概念的理解． 教学过程 一、复习引入： 假设 20XX 年我国国民生产总值为 a 亿元，如果每年平均增长 8%，那么经过多少年国民生产总值是 20XX 年的 2 倍？ 1 8% = 2 x=? 也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？ 二、新授内容： aa 0,a 1 的b 次幂等于 N ,就是a b N ，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对 ⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 ⑵ log a 1 0 ， log a a 1 ； ∵对任意 a 0且 a 1, 都有 a 0 1 ∴log a 1 0 同样易知： log a a 1 ⑶对数恒等式 如果把 a b N 中的 b 写成 log a N , 则有 a logaN N ． 定义：一般地，如果 数，记作 log a N b ， a 叫做对数的底数， N 叫做真数． a b log a Nb 例如： 42 16 log 4 16 2 2 102 100 log 10 100 2 ； 探究： 1。 1 42 2 log 42 12 ； 是不是所有的实数都有对数？ 10 2 0.01 log 10 0.01 2． log a N b 中的 N 可以取哪些值？ 2． 根据对数的定义以及对数与指数的关系， log a 1 ？ log a a ？
高中数学-对数教案 教学目的：（1）理解对数的概念； （2）能够说明对数与指数的关系； （3）掌握对数式与指数式的相互转化． 教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化 教学难点：对数概念的理解． 教学过程： 一、 引入课题 介绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性； 二、 新课教学 1．对数的概念 一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数（Logarithm ），记作： N x a log = a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式 说明：○ 1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ○3 注意对数的书写格式． 思考：○ 1 为什么对数的定义中要求底数0>a ，且1≠a ； ○ 2 是否是所有的实数都有对数呢？ 设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备． 两个重要对数： ○1 常用对数（common logarithm ）：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数（natural logarithm ）：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数
N ln ． 2． 对数式与指数式的互化 x N a =log ? N a x = 对数式 ? 指数式 对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数 ← N → 幂 例1．（教材P 73例1） 巩固练习：（教材P 74练习1、2） 设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念． 说明：本例题和练习均让学生独立阅读思考完成，并指出对数式与指数式的互化中应注意哪些问题． 3． 对数的性质 （学生活动） ○ 1 阅读教材P 73例2，指出其中求x 的依据； ○ 2 独立思考完成教材P 74练习3、4，指出其中蕴含的结论 对数的性质 （1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：01log =a ； （3）底数的对数是1：1log =a a ； （4）对数恒等式：N a N a =log ； （5）n a n a =log ． 三、 归纳小结，强化思想 ○ 1 引入对数的必要性； ○ 2 指数与对数的关系；
高中数学复习：对数的概念及运算练习及答案 题组1 对数的概念 1.在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A.a >5或a <2 B.2 且1a ≠ B.102 a << C.0a >且1a ≠ D.12 a < 3.使对数()log 21a a -+有意义的a 的取值范围为（ ） A.()1,11,2??+∞ ??? B.10,2? ? ??? C.()()0,11,+∞ D.1, 2??-∞ ??? 对数式与指数式的互化 4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A.0 1e =与ln10= B.13 1 8 2 - = 与811log 23=- C.3log 92=与1 293= D.7log 71=与177= 5.若1 log 2 m n =，则下列各式正确的是（ ） A.12 n m = B.2m n = C.2n m = D.2n m = 6.将指数式bc a N =转化为对数式，其中正确的是（ ） A.log c a b N = B.log ab c N = C.log c a b N = D.log b a c N = 7.若log x z =，则（ ） A.7 z y x = B.7z y x = C.7z y x = D.7x y z = 8.若实数a ，b 满足3412a b ==，则11 a b +=（ ） A. 12 B. 15 C.16 D.1 9.将下列指数式改为对数式： （1）2 1 3 9 -= ，对数式为_____________；
《对数的概念》教学设计 一、教学内容分析 本节课是中等职业教育数学（基础模块）第一册第四章对数函数内容的第一课时，也就是对数函数的入门。对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用。通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。 二、学生学习情况分析 现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。 三、设计思想 学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性。在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。 四、教学目标 1、理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能。 2、通过事例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。 3、通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一。 4、培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识。 五、教学重点与难点 重点：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的相互转化。 难点：（1）对数概念的理解；（2）对数性质的理解。 六、教学过程设计
《对数与对数运算》（第一课时） (人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节) 一、教学内容解析 《对数与对数运算》选自人教A版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容． 16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数. 与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质. 基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化. 二、教学目标设置 1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念； 2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值； 3.感受数学符号的抽象美、简洁美. 本课时落实以上三个教学目标： 通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念. 通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用.对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值. 恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性.
指数函数及对数函数重难点 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值
（1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5 ）= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为
对数的概念 教学目标： 1、理解对数的概念 （1）、理解对数的定义，了解对数式中各字母的取值范围及名称； （2）、理解指数与对数之间的互逆关系，能够进行对数式与指数式的互化； （3）、能够利用对数式与指数式的互化关系完成简单的运算。 2、通过对数概念的学习，使学生认识到指数与对数之间的互化关系，蕴含着数学中相互转化的思想，同时学生体会到类比学习方法在数学学习中的作用。 3、通过对数的学习，能利用相互联系的观点看问题，培养他们利用数学思想分析问题的意识。 教学重点： 1、对数概念的正确理解； # 2、对数式与指数式的相互转化。 教学难点： 1、对数式，指数式中各字母含义的区别理解； 2、应用指数与对数的相互转化求值。 教学过程： 一、问题情境： 若3+2=5，则3=5-2；
若3×2=6,则3=6÷2； 若23=8，则3=。 思考：能否用2和8的来表示3 [ 二、学生活动： 活动1：引导学生观察在上面的几个式子中，都是求3，第一个3根据的加法逆运算用减法求出，第二个3用乘法的逆运算除法求出，那么第三个3能不能用指数式的逆运算求出来呢指数式的逆运算又 是什么呢显然我们以前没有学过，所以今天我们学习一种新的数学运算——对数运算来解决这个问题。 三、构建数学： 1、对数的定义：一般地，如果a(a＞0,a≠1)的b的次幂等于N，即a b=N,那么就称b是以a为底的对数，记作, =其中a叫做对 N log b a 数的底数，N叫做真数。 注意：（1）a＞0,a≠1, （2）a b=N?, = N log b a (3)注意对数的书写格式。 活动2：讨论并写出a,b,N在指数式和对数式中各自的名称两种运算的关系就如同加减法和乘除运算一样，当数字的位置变发生了变化，其含义和名称也随之改变。
第十讲 对数的基本概念及运算 一：问题思考 问题1：一尺之棰，日取其半，万世不竭。 （1）取5次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺? (1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得 (2)可设取x 次,则有 二:新知引入 1. 对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对 数，记作： ，其中叫做对数的底数， 叫做真数。 注意：①是否是所有的实数都有对数呢？ 负数和零没有对数 ②底数的限制:a>0且a ≠1。 思考：为什么对数的定义中要求底数a>0且a ≠1？ 对数的书写格式 2、对数式与指数式的互化 N x N a a x log =?= 幂底数 ← a → 对数底数 指数（指数函数的自变量） ← b → 对数 幂（指数函数的函数值） ← N → 真数
3、对数的形式 ①常用对数：以10为底的对数 ,简记为: lgN ②自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数 简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e 为底的对数) ③一般对数：（含有常用对数和自然对数） 注意：对数的书写 课堂练习 1 将下列指数式写成对数式： （1） （2） （3） （4） 2 将下列对数式写成指数式： （1） （2） （3） 3 求下列各式的值： （1） （2） 2. 对数运算 （1） 基本性质 ①0和负数没有对数，即N>0 ②1的对数是0，即01log =a ③底数的对数等于1，即1log =a a ④对数恒等式：N a N a =log （2） 运算法则 如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N M a a a log log log -=； 3 ） ∈=n M n M a n a (log log R ）。（例题 p111，例 4 ，计
4.3.1 对数的概念 一．教学目标： 1．知识技能： ①理解对数的概念，了解对数与指数的关系； ②掌握对数式与指数式的互化. 2. 过程与方法： 通过与指数式的比较，引出对数定义 . 3．情感、态度、价值观 （1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力. （2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质 . （3）在学习过程中培养学生探究的意识. 二．重点与难点： （1）重点：推导对数的定义及理解与应用 （2）难点：对数式与指数式的互化 三．学法： 讲授法、讨论法、类比分析与发现 四．教学过程： （一）．提出问题 思考： （1）=32 ， （2）若83=x ，则x= ， （3）若82=x ，则x= ，（4）若92=x ，那么x= 。 像上面（3）（4）的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我
们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）. （二）、对数的概念 一般地，若(0,1)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =， 其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 举例：如：==3,823则log 28，读作3是以2为底，8的对数. 24416,2log 16==则，读作2是以4为底，16的对数. 1 242=，则41log 22 =，读作12是以4为底，2的对数. 92=x ，则x=log 29，读作x 是以2为底，9的对数. 注意：对数式的书写格式 （三）、对数式与指数式的互化 在对数的概念中，要注意： （1）底数的限制a ＞0，且a ≠1 （2）log x a a N N x =?= 指数式?对数式 幂底数←a →对数底数 指 数←x →对数 幂 ←N →真数 互化规则：底数不变，左右交换 提问：（1）、你们还能找到哪些对数的例子？ （2）任何一个指数式都可以化成对数式吗？
教案：（作：数应3班向世威） 《对数与对数运算（第一课时）》教学设计 所用教材：数学必修（一） 目次：人民出版社，2007年1月,第2版第4次印刷 1教材分析 1.1内容与内容解析 《对数函数》是普通高中数学人教A版必修1第二章对数函数内容的第一课时，本节讲对数的概念和运算性质主要是为后面学习对数函数的图像性质作准备。对数概念是在指数概念的基础上定义的，是继研究指数函数之后的另一种重要基本函数，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用。 1.2地位与作用解析 通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。 2学情分析 学生在前面的课程中已学习了函数的基本概念、图像及其基本性质，在第二章又进一步学习了指数函数及其运算、图像和性质，特别是指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，本节课我利用多媒体辅助
教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。 3教学目标 1.能初步判别具体函数是否为对数函数，了解对数的概念并能用语言刻画，以及对数与指数的关系；通过观察、分析掌握指数式与对数式的互化； 2．（经历观察、分析、猜想、验证、证明、概括等数学活动），通过实例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过探究理解对数的性质。领悟从（）的思想方法 3.感知对数的重要性，从“发现”中体验成功，进一步提高学习和探索的兴趣。同时培养严谨的思维品质和探究意识； 4教学重难点 重点：对数函数概念的形成和初步应用，指数式与对数式的互化 难点：对数概念的理解，对数性质的理解 5教法学法 以引导发现法为主，结合直观教学法和讲授法，引导学生学会观察分析、思考探究、合作交流，提高学生分析、解决问题的能力。对数的教学采用讲练结合的教学模式。教学中，采用讲讲练练的教学程序，运用指数式与对数式的转化策略，通过教师的讲，数学家对对数的痴迷激发学生好奇，从实际问题导入对数概念、对数符号，理解对数的意义，通过典型例题的讲授，充分揭示对数式与指数式间的关系，掌握求对数值的方法，通过学生典型习题的练，使学生进一步理解对数式与指数式间的关系，掌握求对数的一些方法，在讲练结合中实现教学目标。 6教学媒体
对数概念及其运算 知识点1 对数 1.对数的定义 如果()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。在对数函数b N a =log 中，a 的取值范围是 ()1,0≠>a a 且，N 的取值范围是0>N ，b 的取值范围是R b ∈。 【注意】根据对数的定义可知 （1）零和负数没有对数，真数为正数，即0>N （2）在对数中必须强调底数0>a 且1≠a 2.常用对数 （1）定义：以10为底的对数叫做常用对数，N 10log 记做N lg 。 （2）常用对数的性质 10的整数指数幂的对数就是幂的指数，即() 是整数n n n =10lg 3.自然对数 （1）定义：以Λ71828.2=e 为底的对数叫做自然对数，N e log 通常记为InN 。 （2）自然对数与常用对数之间的关系：依据对数换底公式，可以得到自然对数与常用对数之间的关系：4343 .0lg lg lg N e N InN == ，即N InN lg 303.2=。 4.指数式与对数式的互化 （1）符号N a log 既是一个数值，也是一个算式，即已知底数和在某一个指数下的幂，求其 指数的算式。对数式b N a =log 的a 、N 、b 在指数式N a b =中分别是底数、指数和幂。 （2）充分利用指数式和对数式的互换，讲述四条规则： ①在b N a =log 中，必须0>N ，这是由于在实数范围内，正数任何次幂都是正数，因而 N a b =中的N 总是正数，须强调零和负数没有对数。 ②因为10 =a ，所以01log =a 。 ③因为,1 a a =所以1log =a a 。 ④因为N a b =，所以b N a =log ，所以N a N g l a =0。 【例1】下列说法错误的是（） (A)负数和零没有对数 （B ）任何一个指数式都可以化为对数式 （C ）以10为底的对数叫做常用对数 （D ）以e 为底的对数叫做自然对数
对数的概念与对数运算性质 2.2.1对数的概念与对数运算性质 一、内容与解析 (一）内容：对数的概念与对数的基本性质 （二）解析：我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 二、教学目标及解析
(一)教学目标 1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质. 3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;在学习过程中培养学生探究的意识；增加学生的成功感,增强学习的积极性. （二）解析 1、理解对数的概念就是指：一是实际的需要；二是人为规定的一种新的表示数的符号； 2、熟练进行对数式与指数式的互化就是指：一是弄清楚对数与指数，对数式与指数式的含义；二是理解对数式与指数式的互化的实质；三是要把这种互化提升为一种方法，为我们以后解题奠定基础。 3、会求一些特殊的对数式的值就是指能够熟练利用：和对数恒等式。 三、问题诊断分析 对数概念的理解中学生存在问题，所以要结合具体的实例，指出为了解决实际问题，引入对数的概念，体现了数学来源于实际的生活，并服务于实际的生活。 四、教学支持条件分析
对数的概念 一、教学内容分析 本节课是新课标高中数学A版必修①中第二章对数函数内容的第一课时，也就是对数函数的入门。对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用。通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。 二、学生学习情况分析 现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。 三、设计思想 学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性。在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。 四、教学目标 1、理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能。 2、通过事例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。 3、通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一。 4、培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识。 五、教学重点与难点 重点：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的相互转化。 难点：（1）对数概念的理解；（2）对数性质的理解。 六、教学过程设计
课题4.4 对数的概念及运算（1）——对数的概念 一、教学内容分析 为了解决“已知底数和幂的值，求指数的问题”，我们引入了新的知识——对数。本节课是对数问题的第一课时，考虑到学生在接受新知识时可能存在的疑惑，因此要在对数概念的形成上重点讲解，和学生共同经历由指数式提出对数概念的过程。由于指对数之间存在着互相转化的关系，所以我们可以结合指数的性质特点考察对数中对于底数、真数以及对数的取值范围的要求。 二、教学目标设计 1．理解对数的意义，掌握底数、真数、对数的允许值范围； 2．掌握对数式与指数式的互化，理解对数式中的底数、真数、对数与指数式中底数、幂、指数之间的对应关系； 3．知道特殊对数的表示方法，会利用计算器计算常用对数值； 4. 经历由指数式提出对数概念的过程； 5. 养成类比、转化的思维习惯； 三、教学重点及难点 对数式与指数式的互化 四、教学用具准备 多媒体课件 六、教学过程设计 一、情景引入 假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长% 8，那么经过多少年国民生产总值是2002年时的2倍？ 解：设经过x年国民生产总值为2002年时的2倍， 根据题意有a x. +，即2 1(= a x2 %) 8 .1= 08 问题：已知底数和幂的值，求指数？该如何描述？ 二、学习新课 1．概念辨析：一般地，如果)1 a b=， a的b次幂等于N，就是N a ,0 (≠ >a
那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做底数，N 叫做真数。 [说明]结合指数的性质特点，以及指对数之间的互化关系发现： N a b = ? b N a =log （R b N a a ∈>≠>,0,1,0） （1）对数的底数必须大于0且不等于1； （2）对数的真数必须大于0，也即负数与0没有对数； （3）对数的值可以为一切实数，也即对数值可正、可负、可为零； （4）通常以10为底的对数，叫做常用对数。为了简便，N 的常用对数N 10log ，简记作N lg ； （5）将以无理数Λ7182.2=e 为底的对数叫做自然对数。为了简便，N 的自然对数N e log 简记作N ln 2．例题分析 例1、将下列指数式化为对数式 ① 62554=； ② 32125= -； ③813=a ； ④73.5)31(=m 例2、将下列对数式化为指数式： ① 416log 21-=； ② 7128 1log 2 -=； ③ 201.0log 10-=； ④ 303.210ln =； 例3、求下列各式的值： ① 49log 7； ② 21log 8； ③ 1log a （1,0≠>a a ）；
课题：2.2.1对数与对数运算 一、教学内容解析 本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书 数学1（必修）》中第二章第二节内容，属于单元教学课。之前学生已经学习了指数的相关内容，对于数的研究思路也有了一定的了解，对数是在指数基础上定义的一种新数，所以这节课既是对指数的概念、运算性质、指数函数的深化与理解，又为学习对数函数打下基础。同时也为今后复数的学习提供了研究思路与方法。 对数与对数运算主要内容包括：对数的概念、对数的运算性质、换底公式，如何将三块内容融合到一节课中，意味要抓住这一节的核心知识，舍弃细枝末节，要从整体上去研究这节课。具体体现为借助已有经验，从“研究一个代数对象”的“基本套路”出发，发现和提出对数的研究内容，构建研究路径，得出结论，并用于解决问题。让学生完整经历“现实背景——定义——性质——运算性质”过程，学生在整体框架下自主探究，合作学习。 基于上述分析，将本节课的教学重点确定为：对数的概念、性质与运算性质。 二、教学目标设置 1．经历对数概念的形成过程，掌握对数的概念； 2．从研究一个数的“基本套路”出发，能够将指数中相关的性质和运算性质转化为对数的性质和运算性质； 3．知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数； 4．感受转化与化归、数形结合、类比、从特殊到一般的数学思想，提升学生的数学抽象，数学运算素养。 三、学生学情分析 知识结构上学生已经学习了指数与指数幂运算，指数函数，经历过研究一种新数的基本套路，这为学生研究“对数与对数运算”提供了理论基础与探究方向。 能力水平上，学生已经具备一定的抽象概括能力以及类比，转化和分析问题的能力，可是如何使学生将已有的知识成功迁移到新知识的学习上，自主探究获得对数的运算性质，从而提高发现问题，探索问题和解决问题的能力，实现学习方式的
十、对数的概念与运算 一、选择题 1. 对于且，下列说法中正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. A. B. C. D. 3. 计算：的值是 A. B. C. D. 4. B. C. 5. 实数的值为 A. B. C. D. 6. 对数与互为相反数，则有 A. B. C. D. 7. 如果，那么 A. B. C. D. 8. 已知函数，那么的值为 A. B. D. 9. 下列算式中正确的是 A. B. C. D. 10. 已知，那么等于 11. 设，则用表示的形式是 A. B. C. D. 12. A. B. C. D. 13. 式子的值为 A. C. D. 14. C. D. 15. 计算：的值为
A. B. C. 16. 计算 A. B. 17. 若，则等于 B. C. D. 18. 设，且，则 A. B. C. D. 19. 若，则等于 A. C. D. 20. 已知，，则的值为 A. B. C. D. 二、填空题 21. 计算：． 22. 化简：． 23. ． 24. 计算：． 25. ． 26. ． 27. 计算： （）； （）． 28. ． 29. 的值是． 30. ． 31. 已知，，则． 32. 若，则．
对数的概念与运算答案 第一部分 1. B 【解析】当，A项错误；若，则，即C 项错误；若，则D项错误． 2. C 3. C 【解析】． 4. A 5. A 6. C 【解析】． 7. C 8. D 9. C 10. C 【解析】由对数性质及， 得，，， 所以 11. A【解析】因为，所以． 12. B 【解析】由对数恒等式，得 . 13. A 14. D 【解析】利用对数运算法则求解． 方法一：． 方法二：． 15. C 【解析】 16. B 【解析】． 17. D 18. A 【解析】，，又， ． 19. D 【解析】由换底公式，得，，． 20. A 【解析】， 第二部分 21.