4.4 对数概念及其运算（1）
一、教学内容解析
《对数概念及其运算（1）》是沪教版高中数学课本，高一年级第二学期第四章（下）第一节，属概念性知识，承接第四章（上）指数函数，对数概念及运算是在学习了“指数幂x a的意义及运算性质”、“指数函数的性质”基础上进行的，同时本节也是学习对数函数的准备知识.
对数既可以看作是一个算式，又可以看作是一个数值. 与指数幂具有共同的本质——指数（对数）与幂（真数）之间的对应关系. 对数作为重要而简便的计算技术，被恩格斯誉为17世纪三大重要数学成就之一，在数学和其他许多知识领域都有广泛的应用. 虽然随着计算工具的飞速发展，它的地位已由计算机（器）逐步代替，但对数函数在数学中的地位是不可动摇的.
对数概念及其运算性质的学习过程，可以提升学生的数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养，可以融合数学史的发展过程提升数学课堂的人文情怀.
【教学重点】
理解和掌握对数的概念，掌握对数式与指数式的互化.
二、教学目标设置
理解对数的意义，掌握底数、真数、对数的允许值范围；
知道常用对数、自然对数的概念；
掌握对数式与指数式的互化，理解同底的对数式与指数式之间的关系；
经历计算-观察-猜想-论证的过程，掌握对数的常用性质；
会使用计算器计算对数的值；
经历“由具体到抽象”、“从特殊到一般”的研究过程，提升数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养.
三、学生学情分析
本节课为借班上课，课前未与学生有过接触．授课对象为上海市一所普通高中的高一普通班，该年级经过入学前的分流，资优生集中在两个“特色班”，普通班学生相对底子比较薄，对待抽象的数学概念往往接受起来比较困难. 授课学
段为高一学年上学期，学生曾利用暑假复习了幂指数的运算性质，已经知道指数幂()x a x Q ∈的意义及其运算性质，但并不理解指数幂()x a x R ∈的意义，不知道指数函数(01)x y a a a =>≠且 的性质，这些不足可能导致学生难以理解对数的意义，以及难以掌握底数、真数、对数的允许值范围. 学生缺乏以函数知识为载体的学习 “对应关系”的经历，缺乏运用“观察-归纳-猜想-论证”的学习经验.
【教学重点】
理解和掌握对数的概念.
四、教学策略分析
张奠宙先生曾提出“概念教学要揭示数学的本质”、“数学概念教学的核心是它的价值、意义和作用”. 本节课是一节概念课，教学策略的制定也是遵循以上基本原则.
1. 基于知识本原的问题设计
对数的发明并非来源于指数，而是源于数学家对简化大数运算的有效工具的追求. 其关键是利用对应关系k q k →：
[]012,,,,,0,1,2,,,n q q q q n ??→??
并建立起如下对应法则：
（1）m n q q m n ?→+；（2）m n q q m n ÷→-；
（3）()n m q m n →?；（4）m n
→. 利用上述对应法则降低运算层级，达到简化运算的目的.
以“对应关系k q k →”（而不是运算）为依据引入对数概念，虽然观点高，但“自然度”不够，难度大.
因而，本节课的引入借助历史发展背景——“简化大数运算”的需求——创设情境，但在生成对数概念的过程中，通过数学内外的发展需要，先抽象出数学问题“一般地，我们要找到x ，使得x a N =成立，这样的x 存在吗？”；
再类比为了解决“在n x a = 中，已知,n a ，如何表示x ？”而引入引入符号log a N 表示()0,1b a N a a =>≠且中的b ，从而得到一个数学的研究对
象；接下来从“对应”、“指数幂的逆运算”、“数的表示”这三个角度设计问题，深化理解对数的概念；再通过计算-观察-猜想-论证的过程，应用对数的概念，得出对数的基本性质；最后再回到对数产生的历史，站在现代的视角下，体会对数的应用及其意义.
其中驱动课堂活动的问题设计，遵循以下思维导图：
2.符合学生认知规律的教学活动
一个新概念的生成和掌握不是一蹴而就的，是在充分激发学生探究的兴趣的前提下，不断启发学生对知识的理解，以旧引新，以新强旧，层层递进，体现的是理性思维的作用.
本节课借鉴已有经验，抽象出“对数”这一数学研究对象，发现和提出对数的研究内容，构建研究路径，得出结论，并用于解决问题. 学生经历“现实背景——定义——性质——应用”过程，鼓励学生采用独立思考、自主探究、合作交流等方式展开学习. 具体来说，在充分尊重学生的认知规律下，本节课设置以下四个教学环节：
【环节1：创设情境引入问题】
在环节1中，为了充分激发学生研究的兴趣，借助“光年”计算引入“简化大数运算”的实际需求，但考虑到若是以“对应关系”为依据引入对数概念而不是从运算体系出发而得到，与中学生的认知水平不适应. 故而“简化大数运算”只作为历史背景，在引例中从特殊问题出发，例如28192x =则13x =；一般地，当0M N >、时，满足方程2,10x x M N ==，x =？再抽象出数学问题：01,0,?x a a a N a N x >≠>==当且时，已知方程中，
在环节2中，考虑到学生缺少必要的指数函数作为前继知识，但要回答上述问题，就必须要承认事实：
010,.x a a N a N >≠>=在且时，只要方程总有唯一解
本节课设计了两个具体的教学活动，目的是用比较生动、具象的方式让学生体会结论的正确性. 一个是在研究例子“102018,?x x ==”时用“逐步细分”的想法，借助表格，初步体会x 的存在性；另一个是用几何画板展示指数函数的图像性质.
在这一部分，学生经历从具体到抽象的过程，对培养发现和提出数学问题的能力，发展数学抽象素养都有作用.
【环节2：对数概念的初步认识】
在环节2中，通过类比根号这一数学符号的引入，自然的引入对数这一新的数学符号， 一方面降低了新的数学符号给学生带来的陌生感；另一方面让学生能从对数符号的引入中初步体会对数也是指数幂的逆运算. 此时教师介绍《算法精蕴》中对数、真数名称的由来，从“对应”的角度，让学生初步理解对数概念.
例1及其变式是从“对数是指数幂的逆运算”这个角度让学生理解对数的概念，通过指数到对数、对数到指数的改写，使学生逐渐认识到：01a a >≠当且时，指数式b a N =与对数式log a N b =只是对同一个事实的不同表示形式而已. 例1的前3小题来源自课本例题，第4小题为自编题，除了引出常用对数的概念，还恰好与引入对数概念时所举的例子相同，既解决了
之前如何表示x的问题，又为最后介绍常用对数表埋下伏笔.
例2是从“对数是数的表示”这个角度让学生进一步理解对数的概念，通过求对数的值，进一步强化认识：对数值即为指数幂中的指数，解决陌生对数问题就是化归为熟悉的指数幂问题，二者本质是相同的.
在这一部分，学生从三个角度来逐步认知并掌握对数的概念，在例题的总结与反思中形成对“同底的对数式与指数式”关系的认识，对数的概念从形式的改写，到数值的计算，再到与已有知识的联系，学生的思维水平螺旋上升.
【环节3：对数概念的再认识】
在环节3中，对例2的回顾与反思，既是学生利用对数概念从特殊到一般抽象出对数基本性质的过程，又是检验学生是否确实理解并掌握了“对数与同底幂指数的本质相同”这一事实.
这一环节学生采取自主探究、合作交流的方式展开学习，学生在对数概念的应用中再一次加深对定义的理解，在计算-观察-猜想-论证的过程中增强了研究问题、解决问题的能力.
【环节4：总结与思考】
在环节4中，用计算器计算对数的值，既是对“对数是数的表示”再一次的感知，又启发学生利用现有的计算工具继续提出问题，思考并探究对数的其他性质，培养学生发现和提出问题的能力，提升数学抽象、直观想象素养.
最后的总结，除了让学生从知识上、方法上对本节课的收获进行梳理，总结研究一个代数对象的基本过程，又回到了“简化大数运算”的历史背景中，在现代数学的观点下辩证的认识对数概念及其性质具有怎样的作用和意义，提升人文情怀.
五、教学过程
1.创设情境、引入问题
对数的产生源于天文学的发展.
【引例】一光年到底有多远？
已知299792.468(/)
km s是光在真空中的速度，31536000是一年的总秒数（假
?9,454,255,270,848即为设一年365天），因此两数的乘积299792.46831536000=
所求.
“光年”是天文学中的距离单位. 在16至17世纪，天文学开始迅速发展，天文学家为了计算一个行星的位置，时常需要耗费几个月甚至几年的时间，问题主要就集中在复杂的数据运算上. 因此，改进运算方法成为了天文学家们的当务之急.
设计意图：结合历史发展中对数发明的本源问题——“简化大数运算”
的需要，激发学生的研究兴趣.
设计意图：初步体会简化运算的核心——对应关系k q k
→.
【问题2】在不用计算器的前提下，如何计算299792.46831536000?=？ 这里的关键是，当0M N >、时，满足方程2,10x x M N ==，x 是否存在？如何表示？
例如102018x =，借助不断的“细分”，可以观察到，确实存在这样的x . 设计意图：从特殊到一般，由具体到抽象，引导学生抽象出数学问题.
”是为了表示方程32018x =的解，
自然的引入对数概念.
【定义】一般地，如果()01a a a >≠，的b 次幂等于N ，即b a N =，那么数b 叫做以a 为底N 的对数（logarithm ），记作log a N b =，其中a 叫做对数的底数（base ），简称底，N 叫做真数.
《数理精蕴》中把对数称为“假数”取“借来用一下”之意，N 称为“真数”. “真数”一直沿用至今，而“假数”后来被称为“对数”取“对应”之意.
设计意图：介绍对数名称的史书记载，引例中渗透的“对应”之意.
例 1 把下列指数式写成对数式：
（1）45625=；（2）51232-=；（3）1 5.733m
??= ???； （4）102018x = . 解：（1）5log 6254=；（2）21log 532=-；（3）13
log 5.73m =；（4）10log 2018x = . 例1’把下列对数式写成指数式：
（1）5log 6254=；（2）21log 532=-；（3）13
log 5.73m =；（4）10log 2018x = 解：（1）45625=；（2）51232
-=；（3）1() 5.733m =； （4）102018x =. 设计意图：巩固新学概念，熟悉各部分的名称及读法，能够从“指数幂
运算的逆运算”角度，将对数式和指数式进行互换.
【小结】由对数的定义，log a N b =()01a a >≠， 也就是b a N =.
通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithms ），10log N 简记作lg N . 科学技术中，常用到以无理数 2.71828e =为底的对数，以e 为底的对数叫做自然对数（natural logarithms ）,log e N 简记作ln N .
设计意图：通过例1及其变式的比较，小结对数概念与同底的指数幂的
关系；给出常用对数和自然对数的规定，简单介绍其应用.
例 2 试计算：
（1）12log 16；（2）2
1log 128
；（3）lg1；（4）ln e . 解：（1）因为4
1162-??= ???，所以12log 16=4-； （2）因为712128-=，所以21log 7128
=-； （3）因为0101=，所以lg10=；
（4）因为1=e e ，所以ln 1e =.
设计意图：理解对数是“数的表示”，再次体会解决陌生的对数问题就
是转化为求同底的幂的指数问题，即同底的对数与指数幂相互等价.
3. 对数概念的再认识
【问题4】回顾例2的（1）、（2），把它们写成4
121log 42-??=- ???， ()72log 27-=-，
你还有什么发现吗？试着归纳，并解释理由.
由定义，因为,log b a a N N b ==，则 log b a a b =()0,1a a >≠.
类比得到，log a N a N =()0,1,0a a N >≠>.
由定义，因为,log b a a N N b ==，则log a N a N =()0,1,0a a N >≠>.
上面的式子称为对数恒等式，它看起来很玄妙，但不过是对数定义的另一个表达方式而已.
设计意图：在已得到结果上反思，从具体到抽象，从特殊到一般，归纳
并证明对数恒等式，并在证明过程中再次认识对数概念.
【问题5】再回顾例2的（3），算一算，2log 1，3log 1等，你有什么发现？试着归纳一下.
因为()010,1a a a =>≠ ，所以log 10a = .
【问题6】0的常用对数存在吗？负数的常用对数存在吗？为什么？
不存在. 在讨论对数的时候，我们总是假设底是不等于1的正实数，可知，零和负数没有对数，真数为正数，即0N >.
【问题7】回顾例2的（4），算一算，2log 2，3log 3，lg10的值是多少？你有什么发现？试着归纳，并解释理由.
log 1a a =，因为1a a =.
设计意图：学生能够通过自主探究、合作交流，经历计算-归纳-猜想-
证明的研究过程，在解决问题的过程中理解并掌握对数的概念，得到对
数的常用性质.
设计意图：在对数是“数的表示”的角度下，引导学生用现有计算工具
计算对数的值，培养发现和提出问题的能力，提升数学抽象、直观想象
的素养，为后续学习留下伏笔.
5.课堂小结
在本节课，我们体验了对数的产生和发展历程，理解了对数的概念和它的常用性质.
在对数的发展历史中，确实是受到当时天文、航海等实际问题中简化复杂运算的需要，而当数学家们意识到对数的意义，他们就迫切的需要一张《对数表》，这样就可以将复杂的数对应到一个比较简洁易操作的数据. 但造表的难度却相当大，不过一旦做好了，就能一劳永逸. 500年前苏格兰数学家约翰·纳皮尔，用了20年时间，研究运算规律，并制作了一张可查的表格. 数学家拉普拉斯说：“对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍. ”
现在，我们可以用计算机（器）方便快捷地进行多位数的计算，对数用于简化计算的功能已经完成了其历史任务，但对数这个概念及其种种性质在现代数学和其他科学领域中的作用却有增无减，一直占据着重要的位置，并被广泛使用.
设计意图：在现代数学的观点下，回顾对数发展的历史，总结研究一个代数对象的基本过程，辩证的理解对数的意义和作用，提升数学课堂的
人文情怀.
6.作业
1)练习册4.4,A组1-4题；
2)探究对数的运算性质.
设计意图：检验学生是否理解并掌握对数的概念，是否能够掌握对数式与指数式的转化；进一步启发学生的研究兴趣，为下节课学习对数的运
算性质做铺垫.
点评：
这是一节关注知识本原、尊重认知规律、具有丰富数学内涵的课。
在本节课中，对数概念是核心，什么是对数？它是怎么来的？为什么要学习对数？这是首先应该思考的问题。在教学过程中，教师首先结合有关的数学史实，对概念的产生作了简明的交代：对数的产生源于天文学简化运算的需要；接着模拟展现了对数的产生过程：如何化乘除运算为加减运算，阐明问题思考的出发点；最后通过对数概念的再创造过程，引导学生经历对数概念的形成过程，体验其中蕴含的数学思想。
面对学生没有学过《指数函数的图像和性质》这一现实，教师没有将相关知识强加给学生，而是借助Excel 表格，通过不断细分，让学生体会：()=0,1b a N a a >≠，当a 取确定的值时，对于每一个N 的值，存在唯一的b 的值与之对应。同时，又借助画图软件，作出指数函数的图像，结合图像说明值域中的每一个y 值被唯一的一个x 值对应。这是充分考虑学生认知基础的设计，这个过程对于学生补充学习指数函数也会有帮助的。
对数概念具有二重性：log a b 既可以看作一个运算（过程），也可以看作一个结果（对象）。对于具有二重性的数学概念，其认知发展的方向通常是先操作，再抽象，在运算过程中完成对象的抽象，纳入认知结构。本节课的教学设计和实施充分体现了这样的规律。例如，对数概念生成后，如何帮助学生建构对概念的理解？例题1与例1‘的设置，充分尊重了这一认知规律，引导学生在指数运算和对数运算的互相转化的过程中进一步完成对数概念的抽象和理解。
数学课最重要的是教会学生科学地思维，如何数学地分析、思考和解决问题。这节课很好的展现了数学的思维过程，如：面对大数运算如何简化的思考过程，对数的产生过程，对数的认知过程，均很好地体现了面对问题如何分析和思考，面对新知识如何认识和研究。在思考和解决问题的过程中，引导学生体验由具体到抽象，由特殊到一般的分析过程，体验”归纳--猜想--证明”的思维过程；在例题的分析和解决中，均不满足于问题的解决，还继续引导学生反思解题过程，发现一般结论。这样设计和实施，很好地落实了本学科的核心素养，有利于学生良好思维习惯的养成。所以，这也是一节具有丰富数学内涵，有效落实数学核心素养，关注学生数学能力提升的好课。
《对数与对数运算》（第一课时） 一、教学内容解析 《对数与对数运算》选自人教A版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容． 16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数. 与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质. 基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化. 二、教学目标设置 1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念； 2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值； 3.感受数学符号的抽象美、简洁美. 本课时落实以上三个教学目标： 通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念. 通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用.对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值. 恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性. 三、学生学情分析
432211log (4443)x x x x x =++++例．当时，求的值． 912162()q p q R log p log q log p q p +∈==+=例．设，且有，则． 23()(2)(1)2()2f x x lga x lgb f f x x x R a b =+++-=-≥∈+=例．已知，且，又对一切都成立，则． 124()(2)()(01)()2(18)x f x f x f x x f x f log +=-∈=例．已知奇函数满足，且当，时，，则的值为 ． 21234541515()lgx lgx lgx lgx lgx lgx lgx lgx x
111211(2)[()(]4 lg log --+．化简： ． 7．已知函数()( )1(4)21(4)x x f x f x x ???≥? ?=????+，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值。
【高中数学专项突破】 专题25 对数的概念及运算 题组1 对数的概念 1.在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A.a >5或a <2 B.2 且1a ≠ B.102 a << C.0a >且1a ≠ D.12 a < 3.使对数()log 21a a -+有意义的a 的取值范围为（ ） A.()1,11,2??+∞ ??? B.10,2?? ??? C.()()0,11,+∞ D.1,2? ?-∞ ?? ? 题组2 对数式与指数式的互化 4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A.0 1e =与ln10= B.1 3 1 8 2 - = 与811log 23=- C.3log 92=与12 93= D.7log 71=与177= 5.若1 log 2 m n =，则下列各式正确的是（ ） A.1 2 n m = B.2m n = C.2n m = D.2n m = 6.将指数式bc a N =转化为对数式，其中正确的是（ ） A.log c a b N = B.log ab c N = C.log c a b N = D.log b a c N = 7.若7 log x y z =，则（ ） A.7z y x = B.7z y x = C.7z y x = D.7x y z = 8.若实数a ，b 满足3412a b ==，则11 a b +=（ ） A.1 2 B.15 C.16 D.1
2.2.1 对数与对数运算（一） 教学目标 （一） 教学知识点 1． 对数的概念； 2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求 1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题； ３．了解对数在生产、生活实际中的应用． 教学重点 对数的定义． 教学难点 对数概念的理解． 教学过程 一、复习引入： 假设 20XX 年我国国民生产总值为 a 亿元，如果每年平均增长 8%，那么经过多少年国民生产总值是 20XX 年的 2 倍？ 1 8% = 2 x=? 也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？ 二、新授内容： aa 0,a 1 的b 次幂等于 N ,就是a b N ，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对 ⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 ⑵ log a 1 0 ， log a a 1 ； ∵对任意 a 0且 a 1, 都有 a 0 1 ∴log a 1 0 同样易知： log a a 1 ⑶对数恒等式 如果把 a b N 中的 b 写成 log a N , 则有 a logaN N ． 定义：一般地，如果 数，记作 log a N b ， a 叫做对数的底数， N 叫做真数． a b log a Nb 例如： 42 16 log 4 16 2 2 102 100 log 10 100 2 ； 探究： 1。 1 42 2 log 42 12 ； 是不是所有的实数都有对数？ 10 2 0.01 log 10 0.01 2． log a N b 中的 N 可以取哪些值？ 2． 根据对数的定义以及对数与指数的关系， log a 1 ？ log a a ？
《对数与对数运算》（第一课时） (人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节) 一、教学内容解析 《对数与对数运算》选自人教A版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容． 16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数. 与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质. 基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化. 二、教学目标设置 1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念； 2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值； 3.感受数学符号的抽象美、简洁美. 本课时落实以上三个教学目标： 通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念. 通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用.对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值. 恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性.
高中数学复习：对数的概念及运算练习及答案 题组1 对数的概念 1.在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A.a >5或a <2 B.2 且1a ≠ B.102 a << C.0a >且1a ≠ D.12 a < 3.使对数()log 21a a -+有意义的a 的取值范围为（ ） A.()1,11,2??+∞ ??? B.10,2? ? ??? C.()()0,11,+∞ D.1, 2??-∞ ??? 对数式与指数式的互化 4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A.0 1e =与ln10= B.13 1 8 2 - = 与811log 23=- C.3log 92=与1 293= D.7log 71=与177= 5.若1 log 2 m n =，则下列各式正确的是（ ） A.12 n m = B.2m n = C.2n m = D.2n m = 6.将指数式bc a N =转化为对数式，其中正确的是（ ） A.log c a b N = B.log ab c N = C.log c a b N = D.log b a c N = 7.若log x z =，则（ ） A.7 z y x = B.7z y x = C.7z y x = D.7x y z = 8.若实数a ，b 满足3412a b ==，则11 a b +=（ ） A. 12 B. 15 C.16 D.1 9.将下列指数式改为对数式： （1）2 1 3 9 -= ，对数式为_____________；
第十讲 对数的基本概念及运算 一：问题思考 问题1：一尺之棰，日取其半，万世不竭。 （1）取5次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺? (1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得 (2)可设取x 次,则有 二:新知引入 1. 对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对 数，记作： ，其中叫做对数的底数， 叫做真数。 注意：①是否是所有的实数都有对数呢？ 负数和零没有对数 ②底数的限制:a>0且a ≠1。 思考：为什么对数的定义中要求底数a>0且a ≠1？ 对数的书写格式 2、对数式与指数式的互化 N x N a a x log =?= 幂底数 ← a → 对数底数 指数（指数函数的自变量） ← b → 对数 幂（指数函数的函数值） ← N → 真数
3、对数的形式 ①常用对数：以10为底的对数 ,简记为: lgN ②自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数 简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e 为底的对数) ③一般对数：（含有常用对数和自然对数） 注意：对数的书写 课堂练习 1 将下列指数式写成对数式： （1） （2） （3） （4） 2 将下列对数式写成指数式： （1） （2） （3） 3 求下列各式的值： （1） （2） 2. 对数运算 （1） 基本性质 ①0和负数没有对数，即N>0 ②1的对数是0，即01log =a ③底数的对数等于1，即1log =a a ④对数恒等式：N a N a =log （2） 运算法则 如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N M a a a log log log -=； 3 ） ∈=n M n M a n a (log log R ）。（例题 p111，例 4 ，计
指数函数及对数函数重难点 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值
（1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5 ）= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为
课题： 2.2.1 对数与对数运算 科目：数学教学对象：高一年级学生课时：第一课时 提供者：赵晓云单位：阳泉一中 一、教学内容分析 让学生在实际背景中认识对数概念，既是本节的重点又是难点。要通过适当的素材创设情境，使学生认识到引入对数的必要性，从而调动学生学习对数的积极性。 根据底数、指数与幂之间的关系，从已知底数和幂如何求指数入手，引导学生借助指数函数的图像，分析问题中幂指数的存在性，从而引出对数的概念。 通过对指数式与对数式中各字母进行对比分析，引导学生认识对数与指数的相互联系，利用指数式与对数式的互化，帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数运算中的作用。 二、教学目标 1、知识技能 理解对数的概念，了解对数与指数的关系；理解和掌握对数的性质；掌握对数式与指数式的关系。 2、过程与方法 通过与指数式的比较，引出对数的定义和性质；由易到难。 3、情感、态度、价值观 通过对数式与指数式的互化，培养学生分析、类比、归纳的能力；在学习过程中，培养学生探究的意识；培养学生了解事物间的联系，培养学生用已有知识解决未知问题的能力。 三、学习者特征分析 通过平时的观察发现，高一学生通过前段时间的学习，已经基本上学会了自学，并能自主学习，能够从课本中学习并总节所学知识点，但有部分学生只看不动笔，所以第一课时主要以书本内容为主。 四、教学策略选择与设计 利用多媒体：学生喜欢自己上网，并喜欢去了解未知的东西，所以提前布置任务，让学生阅读课本68页的阅读材料，并上网查找有关对数的介绍，了解对数的重要性。 采用“学案导学”的教学方法：高一学生通过前段时间的学习，已经基本上学会了自学，并能自主学习，所以学生完全可以学懂课本的有关知识，所以，以问题与练习的形式制成学案，让学生自学课本62页——63页后完成，达到进一步理解对数概念，并体会转化思想在对数运算中的目的。 小组讨论：对数恒等式的得出，即较难的对数求解问题，让学生讨论得出，培养学生合作学习的能力。 五、教学重点及难点 教学重点：指数式与对数式的互相转化，对数性质的推导。 教学难点：对数概念以及对数符号的理解,对数性质的 六、教学过程 教师活动学生活动设计意图 这些式子，都是已知底数和幂的值，求指数，而且我们不能根据熟悉的数据解出来。要解决这个问题，就要用到我们这节课将要 思考问题一：截止到1999年底，我国 人口约13亿,如果今后能将人口平均增长 率控制在1%,那么经过20年后我国人口数 最多为多少亿？ 让学生在实际背 景中认识对数概念，通 过适当的素材创设情 境，使学生认识到引入
对数概念及其运算 知识点1 对数 1.对数的定义 如果()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。在对数函数b N a =log 中，a 的取值范围是 ()1,0≠>a a 且，N 的取值范围是0>N ，b 的取值范围是R b ∈。 【注意】根据对数的定义可知 （1）零和负数没有对数，真数为正数，即0>N （2）在对数中必须强调底数0>a 且1≠a 2.常用对数 （1）定义：以10为底的对数叫做常用对数，N 10log 记做N lg 。 （2）常用对数的性质 10的整数指数幂的对数就是幂的指数，即() 是整数n n n =10lg 3.自然对数 （1）定义：以Λ71828.2=e 为底的对数叫做自然对数，N e log 通常记为InN 。 （2）自然对数与常用对数之间的关系：依据对数换底公式，可以得到自然对数与常用对数之间的关系：4343 .0lg lg lg N e N InN == ，即N InN lg 303.2=。 4.指数式与对数式的互化 （1）符号N a log 既是一个数值，也是一个算式，即已知底数和在某一个指数下的幂，求其 指数的算式。对数式b N a =log 的a 、N 、b 在指数式N a b =中分别是底数、指数和幂。 （2）充分利用指数式和对数式的互换，讲述四条规则： ①在b N a =log 中，必须0>N ，这是由于在实数范围内，正数任何次幂都是正数，因而 N a b =中的N 总是正数，须强调零和负数没有对数。 ②因为10 =a ，所以01log =a 。 ③因为,1 a a =所以1log =a a 。 ④因为N a b =，所以b N a =log ，所以N a N g l a =0。 【例1】下列说法错误的是（） (A)负数和零没有对数 （B ）任何一个指数式都可以化为对数式 （C ）以10为底的对数叫做常用对数 （D ）以e 为底的对数叫做自然对数
课题4.4 对数的概念及运算（1）——对数的概念 一、教学内容分析 为了解决“已知底数和幂的值，求指数的问题”，我们引入了新的知识——对数。本节课是对数问题的第一课时，考虑到学生在接受新知识时可能存在的疑惑，因此要在对数概念的形成上重点讲解，和学生共同经历由指数式提出对数概念的过程。由于指对数之间存在着互相转化的关系，所以我们可以结合指数的性质特点考察对数中对于底数、真数以及对数的取值范围的要求。 二、教学目标设计 1．理解对数的意义，掌握底数、真数、对数的允许值范围； 2．掌握对数式与指数式的互化，理解对数式中的底数、真数、对数与指数式中底数、幂、指数之间的对应关系； 3．知道特殊对数的表示方法，会利用计算器计算常用对数值； 4. 经历由指数式提出对数概念的过程； 5. 养成类比、转化的思维习惯； 三、教学重点及难点 对数式与指数式的互化 四、教学用具准备 多媒体课件 六、教学过程设计 一、情景引入 假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长% 8，那么经过多少年国民生产总值是2002年时的2倍？ 解：设经过x年国民生产总值为2002年时的2倍， 根据题意有a x. +，即2 1(= a x2 %) 8 .1= 08 问题：已知底数和幂的值，求指数？该如何描述？ 二、学习新课 1．概念辨析：一般地，如果)1 a b=， a的b次幂等于N，就是N a ,0 (≠ >a
那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做底数，N 叫做真数。 [说明]结合指数的性质特点，以及指对数之间的互化关系发现： N a b = ? b N a =log （R b N a a ∈>≠>,0,1,0） （1）对数的底数必须大于0且不等于1； （2）对数的真数必须大于0，也即负数与0没有对数； （3）对数的值可以为一切实数，也即对数值可正、可负、可为零； （4）通常以10为底的对数，叫做常用对数。为了简便，N 的常用对数N 10log ，简记作N lg ； （5）将以无理数Λ7182.2=e 为底的对数叫做自然对数。为了简便，N 的自然对数N e log 简记作N ln 2．例题分析 例1、将下列指数式化为对数式 ① 62554=； ② 32125= -； ③813=a ； ④73.5)31(=m 例2、将下列对数式化为指数式： ① 416log 21-=； ② 7128 1log 2 -=； ③ 201.0log 10-=； ④ 303.210ln =； 例3、求下列各式的值： ① 49log 7； ② 21log 8； ③ 1log a （1,0≠>a a ）；
对数的概念与对数运算性质 2.2.1对数的概念与对数运算性质 一、内容与解析 (一）内容：对数的概念与对数的基本性质 （二）解析：我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 二、教学目标及解析
(一)教学目标 1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质. 3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;在学习过程中培养学生探究的意识；增加学生的成功感,增强学习的积极性. （二）解析 1、理解对数的概念就是指：一是实际的需要；二是人为规定的一种新的表示数的符号； 2、熟练进行对数式与指数式的互化就是指：一是弄清楚对数与指数，对数式与指数式的含义；二是理解对数式与指数式的互化的实质；三是要把这种互化提升为一种方法，为我们以后解题奠定基础。 3、会求一些特殊的对数式的值就是指能够熟练利用：和对数恒等式。 三、问题诊断分析 对数概念的理解中学生存在问题，所以要结合具体的实例，指出为了解决实际问题，引入对数的概念，体现了数学来源于实际的生活，并服务于实际的生活。 四、教学支持条件分析
课题：2.2.1对数与对数运算 一、教学内容解析 本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书 数学1（必修）》中第二章第二节内容，属于单元教学课。之前学生已经学习了指数的相关内容，对于数的研究思路也有了一定的了解，对数是在指数基础上定义的一种新数，所以这节课既是对指数的概念、运算性质、指数函数的深化与理解，又为学习对数函数打下基础。同时也为今后复数的学习提供了研究思路与方法。 对数与对数运算主要内容包括：对数的概念、对数的运算性质、换底公式，如何将三块内容融合到一节课中，意味要抓住这一节的核心知识，舍弃细枝末节，要从整体上去研究这节课。具体体现为借助已有经验，从“研究一个代数对象”的“基本套路”出发，发现和提出对数的研究内容，构建研究路径，得出结论，并用于解决问题。让学生完整经历“现实背景——定义——性质——运算性质”过程，学生在整体框架下自主探究，合作学习。 基于上述分析，将本节课的教学重点确定为：对数的概念、性质与运算性质。 二、教学目标设置 1．经历对数概念的形成过程，掌握对数的概念； 2．从研究一个数的“基本套路”出发，能够将指数中相关的性质和运算性质转化为对数的性质和运算性质； 3．知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数； 4．感受转化与化归、数形结合、类比、从特殊到一般的数学思想，提升学生的数学抽象，数学运算素养。 三、学生学情分析 知识结构上学生已经学习了指数与指数幂运算，指数函数，经历过研究一种新数的基本套路，这为学生研究“对数与对数运算”提供了理论基础与探究方向。 能力水平上，学生已经具备一定的抽象概括能力以及类比，转化和分析问题的能力，可是如何使学生将已有的知识成功迁移到新知识的学习上，自主探究获得对数的运算性质，从而提高发现问题，探索问题和解决问题的能力，实现学习方式的
十、对数的概念与运算 一、选择题 1. 对于且，下列说法中正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. A. B. C. D. 3. 计算：的值是 A. B. C. D. 4. B. C. 5. 实数的值为 A. B. C. D. 6. 对数与互为相反数，则有 A. B. C. D. 7. 如果，那么 A. B. C. D. 8. 已知函数，那么的值为 A. B. D. 9. 下列算式中正确的是 A. B. C. D. 10. 已知，那么等于 11. 设，则用表示的形式是 A. B. C. D. 12. A. B. C. D. 13. 式子的值为 A. C. D. 14. C. D. 15. 计算：的值为
A. B. C. 16. 计算 A. B. 17. 若，则等于 B. C. D. 18. 设，且，则 A. B. C. D. 19. 若，则等于 A. C. D. 20. 已知，，则的值为 A. B. C. D. 二、填空题 21. 计算：． 22. 化简：． 23. ． 24. 计算：． 25. ． 26. ． 27. 计算： （）； （）． 28. ． 29. 的值是． 30. ． 31. 已知，，则． 32. 若，则．
对数的概念与运算答案 第一部分 1. B 【解析】当，A项错误；若，则，即C 项错误；若，则D项错误． 2. C 3. C 【解析】． 4. A 5. A 6. C 【解析】． 7. C 8. D 9. C 10. C 【解析】由对数性质及， 得，，， 所以 11. A【解析】因为，所以． 12. B 【解析】由对数恒等式，得 . 13. A 14. D 【解析】利用对数运算法则求解． 方法一：． 方法二：． 15. C 【解析】 16. B 【解析】． 17. D 18. A 【解析】，，又， ． 19. D 【解析】由换底公式，得，，． 20. A 【解析】， 第二部分 21.
普通高中课程标准试验教科书 (北师大版) 数学 必修一 §3．4．1对数及其运算 教案 江西省崇义中学钟隆敏 2011-10-10
一、教学任务分析 教材分析1．地位与作用：本节在学习指数与指数函数及性质的基础上，通过历史背景、实例等引入对数的概念，探讨对数的运算性质．本节学习的内容蕴含转化化归数学思想，类比与对比等基本数学方法，为以后进一步学习对数函数打下了基础．所以，本节内容起着承上启下的作用． 2．学情分析：学生在初中已学习了指数运算，在上一节学习了指数的扩展与指数函数及性质，已掌握了指数的相关知识，对学习本节课已具备条件． 教学目标1．经历由指数得到对数的过程，理解对数的概念．培养学生观察、对比、分析、概括的合情推理能力． 2．能利用科学计算器进行数值分析，探讨出对数的运算性质．培养学生运用数学语言表述问题的能力和解决问题的能力，培养学生敢于质疑，勇于开拓的创新精神． 3．熟练地进行对数式与指数式的互换，掌握对数的运算性质．激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操． 教学重点对数的定义，对数的运算性质． 教学难点对数的概念．对数的运算性质证明． 教学方法自学、引导、探究、交流、展示、讲解、练习等（突出以学生为主体）．教学教具尺规、多媒体课件、计算器． 二、教学流程安排 活动1 引入(历史背景、实例) 活动2 对数的概念 活动3 例题及练习 活动4 对数的运算性质 活动5 例题及练习 活动6 课堂练习 活动7 课堂小结 活动8 课外作业
三、教学过程 环节教学内容师生互动设计意图 引入1．对数产生的历史背景． 2．实例：2011年9月29号我国成功发射了天 宫一号目标飞行器，假设天宫一号内在太阳能 转化电能系统中某种物质每年总会耗损，每经 过一年就会耗损原来的1%，如果该物质变为原 来的30%时，将无法正常转化，则该系统大约 有多少年转化能力？ 3．学生思考问题，并列出解析式，求解所遇 到的困惑？导出对数的概念． 1．教师讲解． 2．教师课件展示 提出问题．总结、 归纳． 3．学生阅读、思 考． 1．了解对数产生的历 史、对数的用途及影响， 导出数学问题．培养学 习兴趣，激发学习热情． 2．让学生感受实际生活 中的对数问题，结合热 点问题，进行爱国教育． 对数的概念1．对数的概念（注意：条件、记法、读法）． 2．两种特殊的对数：①常用对数②自然对数． 3．指数与对数的关系． 互化b a N =?log a N b = 4．对数性质：log1 a =，log a a=， = N a a log_， 1．教师讲解． 2．学生阅读、思 考、探究导学案探 究1-4． 3．教师课件展示， 点评，总结、归纳． 1．经历由指数得到对数 的学习过程，加深对数 概念的理解． 2．培养学生观察、对比、 分析、概括的合情推理 能力． ． 例题及练习例1下列指数式化为对数式，对数式化为指数 式． （1）45625 =（2）3 1 3 27 -=； （3）a e x =；（4）243 3 log5 =（5）lg0.11 =- 例2求下列各式中的值： （1） 5 log25；（2） 1 2 log32； （3）3log10 3；（4）ln1；（5） 2.5 log 2.5 1．学生训练， 思考，得出结论． 2．教师课件展示， 点评． 1．巩固对数的概念，熟 练进行指数式与对数式 的互化． 2．培养学生运用知识的 能力． 对数的运算性质1．完成导学案表格． 2．小结对数的运算性质． 3．运算性质的证明． 4．强调： （1）运算性质中字母的范围 （2）运算性质的逆用 （3）运算性质不能记错 1．学生计算，观 察，猜想，归纳运 算性质，学生分组 讨论，解决问题, 得出结论． 2．师生共同完成 证明． 3．教师小结（条 件、结构特点、证 明）． 1．让学生探索、研究、 体会、感受对数的概念 的形成和发展的过程． 2．学生计算，观察，进 行猜想，得出规律，再 进行证明，体会化归的 思想． 3．培养学生运用数学语 言表述问题的能力和解 决问题的能力，培养学 生敢于质疑，勇于开拓 的创新精神．
《对数与对数运算》（第一课时） （人教A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修1 第二章第二节） 一、教学内容解析 《对数与对数运算》选自人教A 版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容．16、17 世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急. 苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数. 与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质. 基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化. 二、教学目标设置 1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念； 2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值； 3.感受数学符号的抽象美、简洁美. 本课时落实以上三个教学目标：通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念. 通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用. 对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值. 恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性 三、学生学情分析 1. 认知基础从运算的角度来讲，加、乘、乘方运算中只有乘方的逆运算对数运算还没有学习. 从函数的角度来说，高一的学生刚刚学习了集合、函数的概念、函数的表示方法和函数的一般性质， 对函数有了初步的认识，在此基础上又学习了指数运算和指数函数，了解了研究函数的一般方法，经
4.4 对数概念及其运算（1） 一、教学内容解析 《对数概念及其运算（1）》是沪教版高中数学课本，高一年级第二学期第四章（下）第一节，属概念性知识，承接第四章（上）指数函数，对数概念及运算是在学习了“指数幂x a的意义及运算性质”、“指数函数的性质”基础上进行的，同时本节也是学习对数函数的准备知识. 对数既可以看作是一个算式，又可以看作是一个数值. 与指数幂具有共同的本质——指数（对数）与幂（真数）之间的对应关系. 对数作为重要而简便的计算技术，被恩格斯誉为17世纪三大重要数学成就之一，在数学和其他许多知识领域都有广泛的应用. 虽然随着计算工具的飞速发展，它的地位已由计算机（器）逐步代替，但对数函数在数学中的地位是不可动摇的. 对数概念及其运算性质的学习过程，可以提升学生的数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养，可以融合数学史的发展过程提升数学课堂的人文情怀. 【教学重点】 理解和掌握对数的概念，掌握对数式与指数式的互化. 二、教学目标设置 理解对数的意义，掌握底数、真数、对数的允许值范围； 知道常用对数、自然对数的概念； 掌握对数式与指数式的互化，理解同底的对数式与指数式之间的关系； 经历计算-观察-猜想-论证的过程，掌握对数的常用性质； 会使用计算器计算对数的值； 经历“由具体到抽象”、“从特殊到一般”的研究过程，提升数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养. 三、学生学情分析 本节课为借班上课，课前未与学生有过接触．授课对象为上海市一所普通高中的高一普通班，该年级经过入学前的分流，资优生集中在两个“特色班”，普通班学生相对底子比较薄，对待抽象的数学概念往往接受起来比较困难. 授课学
指数函数及对数 函数重难点 令狐采学 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，? ? ?<-≥==)0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n ( N*， 2）)0(10≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N* 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）
（注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1）3 28 （2）2 125- （3） () 52 1- （4） () 4 3 81 16- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43 a a ? （２） a a a （３）32 )(b a - （４）43)(b a + （５）322b a ab + （6）42 33)(b a + 例.化简求值 （1）0 121 32 322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）24y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.73 ( 2 )0.10.8-与0.20.8-
2.2.1对数与对数运算 一、教材分析 本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.2对数函数的内容 二、三维目标 1．知识与技能 （1）．理解对数的概念，了解对数与指数的关系； （2）．理解和掌握对数的性质； （3）．掌握对数式与指数式的关系。 2．过程与方法 （1）通过实例认识对数模型，体会引入对数的必要性； （2）通过观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化； （3）通过分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。 3．情感、态度与价值观 （1）通过本节的学习体验数学的严谨性，培养细心观察、认真分析分析、严谨认真的良好思维习惯和不断探求新知识的精神； （2）感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性认知过程； （3）体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质． 三、教学重点 教学重点：（1）对数的定义； （2）指数式与对数式的互化 四、教学难点
教学难点：推导对数性质 五、教学策略 讲练结合 掌握对数的双基，即对数产生的意义、概念等基础知识，求对数及对数式与指数式间转化等基本技能的掌握 六、教学准备 （对数教学目标）—对数的文化意义、对数概念（讲一讲）—对数式与指数式转化（做一做）—例题（讲一讲）、习题（做一做）—两种特殊的对数（讲一讲）—求值（做一做）—评价、小结—作业。 七、教学环节
八、板书设计 第二章基本初等函数（I） 2.2对数函数 2.2.1对数与对数运算 九、教学反思 对数的教学采用讲练结合的教学模式。教学中，以双基为教学主题，采用讲讲练练的教学程序，运用指数式与对数式的转化策略，通过教师的讲，数学家对对数的痴迷激发学生好奇，从实际问题导入对数概念、对数符号，理解对数的意义，通过典型例题的讲授，充分揭示对数式与指数式间的关系，掌握求对数值的方法，通过学生典型习题的练，使学生进一步理解对数式与指数式间的关系，掌握求对数的一些方法，在讲练结合中实现教学目标。