浙教版九年级数学上册第三章圆的基本性质教材分析
九年级数学圆的有关性质圆属于空间与图形这部分内容，在前面学生已经学习了直线形图形的有关的性质，会借助于变换、坐标、证明等手段去认识图形的性质，并在小学的基础上，学生已经积累了大量有关圆的经验，本章是在此基础上，对圆的概念及其有关的性质进行系统的梳理，从圆的概念形成，圆本身的性质，圆中的量之间的关系以及圆中有关量的计算等方面，加强对圆的认识．
圆是一种特殊的图形，它对于培养学生的数学能力，形成数学的思想方法具有重要的价值．由于圆既是中心对称图形又是轴对称图形,学生可以通过多种方式来认识它，这样有助于培养学生的数学能力．同时，圆的有关性质的探索是通过多种方法进行的，这样有助于学生形成基本的数学思想和方法．这些基本的数学思想方法有：
⑴对称思想：圆的轴对称性、中心对称性．
⑵推理思想：由对称性及其他方法来验证圆的有关结论．
⑶分类归纳思想：将圆周角和圆心角之间的关系归结为同弧上圆周角与圆心角的关系，让学生形成分类讨论的思想．
⑷算法思想：弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式不是直接给出的，而是让学生去进行探索、类比、归纳．不仅仅要求学生会计算，而且应该理解公式及其算法的意义．
本章教学时间约需15课时，具体安排如下：
3.1 圆 2课时
3.2 圆的对称性 2课时
3.3 圆心角 2课时
3.4 圆周角 2课时
3.5 弧长及扇形的面积 2课时
3.6 圆锥的侧面积和全面积 1课时
复习、评估3课时，机动使用1课时，
合计 15课时
一、教科书内容和课程教学目标
⑴本章知识结构框图如下：
⑵本章教学要求
①通过日常生活中的实例，让学生感受圆是生活中大量存在的图形．
②理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆的位置关系．
③探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．
④使学生经历探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．
⑤认识圆的轴对称性和中心对称性．
⑥了解三角形的外心．
⑦会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积．
⑶本章教材分析
本章主要学习圆的定义、弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角、扇形和三角形的外接圆等有关概念．
在“圆”这一节，主要是让学生通过圆的形成归纳出圆的定义．虽然在小学阶段，学生已经具有了圆的有关的知识，但还没有抽象出“平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆”的概念．通过探索如何过一点、两点和不在同一条直线上的三点作圆，使学生认识到“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”这一确定圆的条件，它不仅仅是一个画圆的问题，而是使学生体会到在画圆中所体现的归纳的思想．另外，也使学生初步了解三角形的外心等有关知识．本节主要使学生体会圆的概念的形成过程．
圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，这一点在前面学习对称性时，学生已经有所了解．本章安排圆的对称性主要是借助于圆的轴对称性，去探索“垂经定理”；借助于圆的旋转不变性去探索圆中弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系．而且由对称性可以尝试用其他的方法来验证有关的结论．在探索圆周角和圆心角之间的关系时，主要是归结为同弧上圆周角与圆心角的关系(即圆周角定理)，让学生形成分类讨论的思想．
弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式不是直接给出的，而是让学生去进行探索、类比、归纳．弧长的公式是类比圆的周长公式而归纳得出，扇形的面积公式是类比圆的面积公式而得；圆锥的侧面积是通过其侧面展开图是一个扇形，而由扇形的计算公式而得出的．因此，“弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积”这两节不仅仅要求学生会计算，而且应该使他们理解公式的意义，理解算法的意义．
二、本章编写特点
⑴体现数学来源于生活，展示丰富多彩的几何世界
人们生活在三维空间中，丰富多彩的图形世界给“空间与图形”的学习提供了大量现实有趣的素材．其中包含了大量与圆有关的现实物体、现实问题等内容，反映数学在建筑、机械、艺术等方面的广泛应用，体现数学丰富的文化价值的内容，既可以很好地体现圆作为联系数学与现实生活、科技发展的桥梁作用，也可以很好地呈现它丰富的数学内涵．
在本章内容的呈现中，充分体现从生活中的立体图形到平面图形，立足学生已有的生活经验、初步的数学活动经历以及已经掌握的有关数学内容，分别从观察和分析生活中大量存在的圆入手，来探索一种特殊的曲线形----圆的有关性质．学生在已有的大量的空间与图形经验的基础上，通过折纸、对称、平移、旋转、推理等认识图形的性质．在本章设计中，在探索圆的垂径定理、弧、弦、圆心角的关系、圆周角和圆心角之间的关系时，充分利用多种方式来认识、验证有关圆的性质．
⑵从学生的已有知识和经验出发，引导学生探索发现圆的性质等知识，培养学生的探究习惯
本章在内容的编排上都力图提供生动有趣、便于学生活动、交流的问题情境，并通过深入观察、分析、探究等活动，进一步丰富学生对圆的正确理解和准确把握，形成有关对圆比较全面的认识．《数学课程标准》(实验稿)对圆的性质的要求是：使学生经历探索圆的性质．即通过实例去探索，以达到理解的目的．比如，①通过探
索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆，使学生认识到“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”这一确定圆的条件，它不仅仅是一个画圆的问题，而是使学生体会到在画圆中所体现的归纳的思想．②通过折纸，让学生探索圆的对称性，并在此基础上，让学生再通过折纸探索出圆的有关性质（垂径定理）等有关内容．③利用圆的旋转不变性探索圆中弧、弦、圆心角之间的关系．而在探索圆周角和圆心角之间的关系时，主要是归结为同弧上圆周角与圆心角的关系．④利用“合作学习”“做一做”等让学生自己探索有关的结论，比如通过学生自己合作，把圆锥沿母线剪开、铺平，并探索出圆锥侧面积和全面积的计算公式等等．
整个设计意图，不仅在于引导学生观察和自觉分析生活现实和数学现实中的圆的现象，自觉总结圆的有关性质并自觉地应用到现实之中，逐步形成正确的数学观，并通过圆进一步丰富学生的数学活动经验和体验，在学习中有意识地培养学生积极的情感、态度，认识数学丰富的人文价值，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美意识的发展．从而进一步培养学生探究习惯、把握和研究“空间与图形”的水平．
⑶转换学习方式，强调学生的动手操作和主动参与
学习方式的转变是课程改革的一个重要目标，与其他数学内容相比，“空间与图形”的教学更容易激起学生学习数学的热情．在本章的编写中，注意从学生已有的生活经验和已有的知识出发，给学生提供“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习材料，提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在“做数学”的活动中，在自主探索的过程中获得知识和技能，掌握基本的数学思想方法．
《数学课程标准》中指出：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”．本章非常重视向学生提供充分从事数学活动的机会．课本通过“合作学习”“探究活动”“想一想”“做一做”等栏目中安排了大量的数学活动题材，其中一些重要的数学概念及数学方法，都是需要学生通过数学活动获得．例如，圆的定义、圆的对称性、圆锥的侧面积等等．学生在亲身体验和探索中认识数学解
决问题，理解和掌握数学知识和方法．并通过与他人的合作，学会交流思想，学会表达自己的观点，学会质疑，学会倾听，学会尊重他人，学会评价信息．这种“过程”会改变数学学习的过程和结果，对促进学生的发展具有非常重要的意义．另外，通过这些“探究点”，它可以帮助学生认识图形，丰富直观，验证学生的空间想象能力．
三、教学建议
⑴注意与前两个学段的衔接
这一部分知识与前两个学段联系密切，大多数图形、概念在前两个学段都接触过，要衔接前两个学段，就要深入了解前面两个学段数学中“空间与图形”的内容、要求，了解它们与这一部分内容的联系与区别．
⑵在教学中要注意如下几点：
①要使学生从事观察、测量、折叠、平移、旋转、推理等活动，帮助他们有意识地积累活动经验，获得成功的体验．教学中，应鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的合作交流．
②充分利用现实生活和数学中的素材，使学生探索与圆有关的概念和性质．尽可能地设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．
③本章的一个特点是由圆的旋转不变性、轴对称性导出圆的有关性质（如圆心角定理、垂径定理等），体现了利用运动观点来研究图形的思想和方法．也让学生通过本章的学习，体验用运动观点来研究图形的思想和方法．因此，在圆的对称性、圆周角与圆心角的关系等内容中，要有意识地满足学生多样化的学习要求．
④在观察、探究和推理活动中，使学生有意识地归纳数学思想方法，发展学生的有条理地思考，并能清晰地表达自己的发现．教学中，教师一方面应充分运用好课本已提供的丰富的素材，另一方面也应该选取一些学生身边的、熟悉的材料，丰富教学内容，以帮助学生对圆的概念的认识和圆的性质的理解．
⑤从学习方式上，通过合作学习、探究活动这种形式，促进学生相互交流，从而最大限度获得数学能力的培养和体验数学思想．教学
中应积极鼓励学生，当学生在探究过程中遇到困难时，应给予诱导启发，或给予必要的阶梯．让学生在这过程中体验如何学会学习，千万不能包办代替，过早给学生答案．应鼓励合作学习，从多角度思考，采用多种解决问题的办法，创造积极合作、讨论氛围．
⑥评价时要关注学生思考方式的多样化，注重对学生观察、操作、探索圆的性质、推理等活动进行评价，包括学生在活动中的主动性、参与程度、与同学合作与交流的意识、思考与表
达的条理性等；比如，对有关圆的概念的评价应侧重于通过实例是否理解概念；对于圆的有关性质的评价应看学生是否借助于具体的思考方法去理解．对与圆有关的计算的评价，着重看学生是否懂得了基本的算理．
⑦在日常教学中，不仅仅关注学生是否计算或推出某个结论，而且应该关注学生在各种数学活动中的情感和态度，特别是学生在小组活动中的表现．对于学生在探索过程中出现的新的方法、新的思想，教师要及时帮助学生解决问题过程中的创意．
浙教版数学九年级上册《3.4圆周角(1)》教学设计 温州外国语学校章才岔 一、教学内容解析 本节教材选自浙教版数学九年级上册第三章《圆的基本性质》，《3.4圆周角（1）》一节是继圆心角之后又一个圆的重要内容。当圆心角的顶点从圆心移到圆周上就得到圆周角，圆周角与圆心角、弦切角及圆内接四边形等知识有内在联系，它在航海领域、土木建筑、日常生活和科学技术中有广泛应用。本课内容不但能为学生进一步研究圆的性质奠定基础，而且圆周角概念的形成和定理的证明，能使学生领悟分类、归纳等思想方法，不但对培养学生观察、比较、分析、综合、抽象和概括等思维能力有帮助，而且对培养学生运动变化等辩证唯物主义观点和形成良好的个性品质也有作用。 本节课概括起来有三部分内容：圆周角概念（本课内容的出发点），圆周角定理（本课内容的中心），圆周角定理的应用（本课内容的延伸与扩展）。由于圆周角与圆周角定理是圆的基本性质，在进一步学习中有广泛应用，“问题解决”过程中所用的观点和方法在进一步学习中也是常用的，因此可确定本节的重难点如下： 重点：圆周角定理。 难点：圆周角的证明要分三种情况讨论，而且分类标准的确定学生不易想到，是本节教学的难点。 关键：抓住圆周角与圆心角之间的关系，因为它是新旧知识之间联系的桥梁。 二、教学目标分析 （一）根据课程标准的学段目标要求，可将本课的学习结果可分为以下几类： 1．圆周角——数学事实和数学概念 2．圆周角定理及推论——数学原理 3．圆周角定理的证明——数学技能及数学思想法 4．例题及拓展——数学技能 （二）结合学生的实际情况（起点能力、学习数学的心理特点、学习风格等），确定本节课的目标如下： 1．知识与技能 （1）理解圆周角的概念，能指出具体图形中出现的圆周角； （2）会叙述并证明圆周角定理； （3）能运用圆周角定理及推论解决简单的几何问题。 2．过程与方法 （1）经历探索圆周角定理的过程，了解分类与化归的数学思想方法； （2）通过观察、讨论、类比、操作、合作探究、交流反思等教学活动，培养学生分析问题，解决问题的能力。 3．情感态度价值观 （1）通过定义、定理、例题的教学，提高分析、抽象、概括等思维能力，培养科学的思维方法和良好的数学品质，激发勇于探索、创新的精神； （2）在圆周角产生、圆周角定理的发现过程中，初步形成事物是运动变化、相互联系、相互转化的观点，能用辩证唯物主义观点分析问题、认识问题，能用从特殊到一般、从个性到共性的思想方法发现和处理复杂问题。 三、学生学情分析 1．学生已有的认知基础 在学习本节课之前，学生已经学习了圆的概念，圆的轴对称性，垂径定理，圆心角定理等，这些知识既有本节课的基础，又有与本节课关联的横向联系。在认知能力方面，经历了
九年级数学圆的基本性质 九年级数学：圆的基本性质及其应用 圆的性质是九年级数学中的一个重要内容，它在实际生活和后续数学知识中都具有重要的地位。本文将详细介绍圆的基本性质，并通过实例阐述其应用。 一、圆的基本定义 圆是一种几何图形，由一条固定长度的线段（称为半径）围绕一个定点（称为圆心）旋转一周所形成的封闭曲线。圆具有如下基本元素： 1、圆心：定义圆的中心点，用符号“O”表示。 2、半径：连接圆心与圆上任意一点的线段，用符号“r”表示。 3、直径：通过圆心的线段，其长度为半径的两倍，用符号“d”表示。 4、周长：圆的所有边界点组成的封闭曲线长度，用符号“C”表示。 5、面积：圆所占平面的大小，用符号“S”表示。 二、圆的基本性质 1、圆的确定：到一个定点距离等于定长的所有点组成的图形是一个圆。
2、圆心与半径的关系：在同圆或等圆中，半径等于直径的一半。 3、圆的基本性质：圆是轴对称图形，其对称轴有无数条，任何一条直径所在的直线都是其对称轴。 4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 5、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 6、圆周角定理：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等。 7、弦切角定理：在圆中，与圆相交的直线被圆截得的线段相等。 三、圆的性质的应用 1、日食和月食：当月球绕地球运动时，太阳、地球和月球在同一直线上，太阳照射在月球的背面，地球上的观察者会看到月偏食或月全食。这是由于太阳照射在月球的背面，使得月球背面的影子投射在地球上，形成了月食。 2、汽车轮胎：汽车轮胎的设计考虑了圆的性质。因为车轮是由一个圆柱体和两个半圆形组成的，所以当车轮转动时，可以平稳地行驶。 3、计算圆的周长和面积：圆的周长和面积是圆的两个基本量，可以
《圆的基本性质》全章复习与巩固（提高） 【学习目标】 1．理解圆及其有关概念，了解点与圆的位置关系. 2.认识图形的旋转，理解图形的旋转的性质. 3.理解圆的性质，垂径定理，圆心角定理，圆周角定理. 4.理解圆内接四边形的性质. 5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积. 6.会初步综合应用圆的有关知识，解决一些简单的实际问题. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义 （1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. （2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合. （3）不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. 2.点与圆的位置关系 判定一个点P是否在⊙O上 设⊙O的半径为，OP=，则有 点P在⊙O外；点P在⊙O上；点P在⊙O内. 要点诠释： 点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系. 3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦. 4．与圆有关的角
圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等. 5.圆内接四边形 圆内接四边形的对角互补. 要点二、图形的旋转 在平面内，一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转.这个定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角. 图形经过旋转所得的图形和原图形全等. 对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度. 要点三、正多边形 各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 要点四、弧长及扇形的面积 圆心角为、半径为R的弧长. . 圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积 要点诠释： (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 【典型例题】
第3章《圆的基本性质》解答题专练 2022-2023学年浙教版九年级数学上册 一．解答题（共23小题） 1．（2021秋•鹿城区校级期末）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，连接CO ，CB ． （1）若AM ＝2，BM ＝8，求CD 的长度； （2）若CO 平分∠DCB ，求证：CD ＝CB ． 2．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 为直径，点C 是弧AD 的中点，连接OC ，BC 分别交AD 于点F ，E ． （1）求证：∠ABD ＝2∠C ． （2）若AB ＝10，BC ＝8，求BD 的长． 3．（2021春•永嘉县校级期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，延长CA 交⊙O 于点E ．连接ED 交AB 于点F ． （1）求证：△CDE 是等腰三角形． （2）当CD ：AC ＝2：√5时，求 AE AC 的值．
4．（2022秋•瑞安市校级期中）如图，AB为⊙O直径，CD是弦，以AC，CD为边构造▱ACDE，点E在半径OB上． ̂=4AĈ． （1）已知∠D＝75°．求证：CD （2）延长CO分别交DE，⊙O于点F，G．求证：EB＝FG． 5．（2021秋•温州期中）已知：如图，在⊙O中，∠ABD＝∠CDB． 求证：AB＝CD． 6．（2021春•鹿城区校级期中）如图，在9×9的方格纸中每个小方格的顶点称为格点．请按要求画格点四边形ABCD（端点在格点上）． （1）请在图1中画▱ABCD，使点P是它的对称中心． （2）请在图2中画四边形ABCD，使∠D＝90°且AP平分∠BAD．
浙教版九年级上册第三章圆的基本性质《3.7正多边形》
《3.7正多边形》 《正多边形》是新教材九年级（上）第三章的内容。学生已经学习了圆的性质和与圆有关的三种位置关系，这些知识都将为本节的学习起着铺垫作用。本节内容正多边形和圆也是今后进一步研究圆的性质的基础，在教才中有着承上启下的重要地位。在当今的改革大潮中，我们应以《新课标》的眼光来重新审视它。《新课标》对数学学习内容的要求是：现实的、有意义的、富有挑战性的。数学作为一种普遍适用的技术，要有助于人们收集信息、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。本节课从定性、定量的两个角度去探讨，挖掘蕴涵的数学知识，把感性认识转化成理性认识，具体到抽象，让学生主动参与，亲身体验知识的发生与发展的过程。利用正多边形和圆的位置关系探究数量关系，把形的问题转化成了数的问题，体现了数形结合的思想。 【知识与能力目标】 了解正多边形和圆的有关概念； 理解并掌握正多边形半径、中心角、弦心距、边
长之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识解决实际问题． 【过程与方法目标】 学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力。【情感态度价值观目标】 通过本节知识的学习，体验数学与生活的紧密相连，感受圆的对称美，正多边形与圆的和谐美，从而更加热爱生活，珍爱生命。 【教学重点】 讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系． 【教学难点】 通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系 教师准备：圆规，三角尺，PPT课件，多媒体学生准备：圆规，三角尺，练习本 教学过程
第1章 反比例函数 我们把函数()k y k x = ≠为常数，k 0叫做反比例函数。这里x 是自变量，y 是x 的函数，k 叫做比例系数。 反比例函数(0)k y k x =≠的图象是由两个分支组成的曲线。当0k 时，图象在一、三象限；当0k 时，图象在二、四象限。 反比例函数(0)k y k x =≠的图象关于直线坐标系的原点成中心对称。 当0k 时，在图象所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小；当0k 时，在图象所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大。 第2章 二次函数 我们把形如2y ax bx c =++（其中a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数叫做二次函数。 二次函数2y x =的图象是一条关于y 轴对称，过坐标原点并向上伸展的曲线，像这样的曲线通常叫做抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。 二次函数2(0)y ax a =≠的图象是一条抛物线，它关于y 轴对称，顶点是坐标原点。当0a 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最低点；当0a 时， 抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线 2b x a =-，顶点坐标是（2b a -，244ac b a -）。当0a 时，抛物线的开口向上，顶 点是抛物线上的最低点；当0a 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最 高点。 12b x x a +=-， 12c x x a = 第3章 圆的基本性质 圆 圆心 半径 弦 直径 圆弧简称弧 半圆 略弧 优弧（大于半圆） 半径相等的两个圆能够完全重合。我们把半径相等的两个圆叫等圆。 d r ⇔点在圆外；d r =⇔点在圆上；d r ⇔点在圆内。 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 垂直于弦的直径平方这条弦，并且平分弦所对的弧。 分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。 圆心到圆的一条弦的距离叫弦心距。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 平方弧的直径垂直平分弧所对的弦。 顶点在圆心的角叫做圆心角。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 我们把1°圆心角所对的弧叫做1°的弧。 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。 顶点在圆上，它的两边都和圆相交，像这样的角叫做圆周角。 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 弧长计算公式：r 180 n l π= 扇形面积计算公式：213602 n r s lr π== 圆锥的侧面 母线（斜边） 圆锥的底面 圆锥的全面积（侧面积与底面积的和） =r s l π侧 2=r s l r ππ+全
3.1圆(一) 1．理解圆、弧、弦等有关概念，学会圆、弧、弦等的表示方法． 2．理解直径和半径的关系、点与圆的位置关系并能正确判断． 3．通过学生动手、观察、比较、分析、概括等活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力． 4．通过对圆的进一步认识，加深对圆的完美性的体会，激发学生的学习热情． 重点：弦和弧的概念、弧的表示方法、点与圆的位置关系． 难点：点与圆的位置关系及判定． 一、新课导入 1．展示一些类似圆的形状的物体图片，例如，压力锅封圈、玉手镯……你觉得这些物体与哪种图形相类似呢？你能再举出一些例子吗？ 2．你知道圆是怎样定义的吗？怎样作出适合某种需要的圆？ 说明：通过展示图片，让学生感受圆是生活中大量存在的图形，从而激发学生的学习兴趣． 二、新知学习 活动1 (一)自主探索： 1．师生一起用圆规画一个圆，其圆心为点O. 2．教师示范：取一根绳子，把它的一端用图钉固定在画板上，另一端系一支铅笔，然后拉紧绳子，并使它绕固定的一端旋转一周，这样就得到一个圆．(课本图3－1) 3．圆上的任意一点P(铅笔尖)到定点O(图钉)的距离相等吗？ 【解】相等
(二)概念形成 1．圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点旋转一周(如图)，另一端点P 所经过的封闭曲线叫做__圆__，定点O 叫做圆心，线段OP 叫做圆的__半径__． 2．圆的表示方法：以点O 为圆心的圆，记做“⊙O”，读作“圆O”． 3．弦的定义：连结圆上任意两点的__线段__叫做__弦__(如图中的AB )．经过圆心的弦叫做__直径__，显然，直径等于半径的__2__倍(如图所示)． 活动2 (一)做一做 已知点O 和线段a(如图所示)，请以O 为圆心，线段a 为半径作一个圆，并在圆上画出一条半径、一条直径和一条不是直径的弦． (二)概念形成 1．弧的定义：圆上任意两点间的__部分__叫做__圆弧__，简称弧． 2．半圆、劣弧、优弧的概念及表示方法：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做__半圆__．小于半圆的弧叫做__劣弧__，劣弧用符号“⌒”和弧两端的字母表示，右图中的劣弧BC 记作BC ︵ ，读作“弧BC ”；大于半圆的弧叫做__优弧__，优弧用
浙教版数学九年级上册全册教案 备课本 浙教版九年级上册 数学 全册教案班级______ 教师______ 日期______ 浙教版数学九年级上册教学计划 教师_______日期_______ 【指导思想】 通过十几年数学的教学，提供进一步学习所必需的数学基础知识与基本技能，进一步 培养学生的运算能力、思维能力和空间想象能力，能够运用所学知识解决简单的实际问题，教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解 决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理地进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理。提高学习数学的兴趣，逐步培养 学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度。顽强的学习毅力和独立思考、探索的新思想。培养学生应用数学知识解决问题的能力。【学情分析】 学生已经初步掌握二次根式的运算，能利用一元二次方程来解一般的应用题，对数据 的频数及其分布有了初步的认识，大多数学生能掌握平行四边形与特殊平行四边形的性质 与判定，具备了一定的逻辑推理能力。在数学的思维方面，学生正处于形象思维向逻辑抽 象思维的过度提升期，教学中提倡数形结合，让学生适当思考部分有利于思维提高的练习，无疑是对学生终身有用的；在学习习惯方面，部分学生的不良习惯得到了纠正，良好的习 惯要得到巩固，如独立思考，认真进行总结，及时改正作业等，都应得到强化；在学习兴 趣方面，大部分学生对数学学习的积极性较高，但仍有部分学生对数学信心不足，因此开 学初要给学生树信心，刚开始起点宜低，讲解宜慢，使学生适应九年级的数学学习。 【教材分析】 .第一章二次函数 本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、性质和应用，它们在日常生活 和生产实际中有着广泛的应用. 本章的重点是二次函数的图象与性质的理解和掌握；二次 函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换以及二次函数性质的灵活 应用是本章教学的难点.本章教学时要充分运用实例帮助学生正确理解二次函数的概念， 体会函数思想. 第二章简单事件的概率第三章圆的基本性质
2019-2020年九年级数学上册第三章圆的基本性质3.1圆第2课时确定圆的条件随堂练习含解析新版浙教版 1．下列命题正确的是( C ) A．三点确定一个圆 B．圆有且只有一个内接三角形 C．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 D．矩形的四边中点在同一圆上 【解析】 A错误，不在同一直线上的三点确定一个圆；B错误，一个圆有无数个内接三角形；C正确，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；D错误，矩形中心到四边中点的距离不一定相等．故选C. 2．如图3－1－10，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( B ) 图3－1－10 A．点P B．点Q C．点R D．点M 3．一个三角形的外心在三角形的内部，则这个三角形是( C ) A．任意三角形B．直角三角形 C．锐角三角形D．钝角三角形 【解析】锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部．故选C. 4．等边三角形的外心在它的( B ) A．外部B．内部 C．边上D．顶点处 【解析】等边三角形是锐角三角形，锐角三角形的外心在三角形的内部．故选B. 5．[xx·永州]小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图3－1－11所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，
则这块玻璃镜的圆心是( B ) 图3－1－11 A．AB，AC边上的中线的交点 B．AB，AC边上的垂直平分线的交点 C．AB，AC边上的高线所在直线的交点 D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点 【解析】本题实质上是要确定三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，故选B. 6．已知线段AB＝6 cm. (1)画半径为4 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__2__个； (2)画半径为3 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__1__个； (3)画半径为2 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画__0__个． 7．如图3－1－12，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是__5__． 图3－1－12 第7题答图 【解析】如答图，O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 5. 8．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图3－1－13中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心(不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹)． 图3－1－13 第8题答图 解：如答图所示．
第3章 圆的基本性质 3.5 圆周角 第2课时 圆周角定理的推论2 知识点 圆周角定理的推论2 1．下列命题是假命题的是( ) A ．同弧或等弧所对的圆周角相等 B ．相等的圆心角所对的弧相等 C ．圆的两条平行弦所夹的弧相等 D ．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 2．如图3－5－17，已知AB ，CD 是⊙O 的两条直径，∠ABC ＝30°，则∠ADC 的度数为( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．30° 3－5－17 3－5－18 3．如图3－5－18，已知AB 是⊙O 的直径，∠D ＝40°，则∠CAB 的度数为( ) A ．20° B ．40° C ．50° D ．70° 4．如图3－5－19，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵ ，点D 在⊙O 上，∠CDB ＝25°，则∠AOB 的度数是( ) A ．45° B ．50° C ．55° D ．60°
3－5－19 3－5－20 5．2017·台州月考如图3－5－20，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，若∠A ＝30°，∠APD ＝70°，则∠B 等于( ) A ．30° B ．35° C ．40° D ．50° 6．如图3－5－21，弦AB ，CD 相交于点O ，连结AD ，BC ，在不添加任何辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角：______________． 3－5－21 3－5－22 7．如图3－5－22，在⊙O 中，直径AB 交CD 于点E ，CE ＝DE ，∠C ＝68°，则∠D ＝________°. 8．如图3－5－23，在△ABE 中，AB ＝AE ，以AB 为直径的半圆O 分别交AE ，BE 于点C ， D .求证：CD ︵＝BD ︵ .
微专题__圆周角定理的综合运用_ 一巧作辅助线 教材P91作业题第5题) 如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°.求∠CAD的度数． 图1 教材母题答图 解：如答图，连结DC. ∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°. ∵∠ABC＝50°，∴∠ADC＝50°， ∴∠CAD＝90°－∠ADC＝40°. 【思想方法】利用圆周角定理，常见的辅助线作法有：①作半径，构造圆心角；②作弦，构造圆周角． [2016·泰安]如图2，点A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于( B ) A．12.5°B．15° C．20°D．22.5° 图2 变形1答图 【解析】如答图，连结OB. ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴OC＝AB，OC∥AB， 又∵OA＝OB＝OC，∴OA＝OB＝AB， ∴△AOB是等边三角形， ∵OF⊥OC，OC∥AB， ∴OF⊥AB，∴∠BOF＝∠AOF＝30°，
由圆周角定理得∠BAF ＝1 2 ∠BOF ＝15°.故选B. 如图3，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是( A ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 图3 变形2答图 【解析】 如答图，连结OB ，OC ，则∠BOC ＝90°， 根据圆周角定理，得∠BPC ＝1 2 ∠BOC ＝45°. 如图4，已知AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，则∠CAD 的度数为( B ) A ．68° B ．88° C ．90° D ．112° 图4 变形3答图 【解析】 如答图，以A 为圆心，AB 为半径画圆，则点C ，D 都在圆上， ∵∠CBD ＝2∠BDC ，∴CD ︵＝2BC ︵， ∵∠BAC ＝44°，∴∠CAD ＝2∠BAC ＝88°.故选B. 如图5，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB ＝AC ＝13，BC ＝24，求⊙O 的半径． 图5 变形4答图 解：如答图，连结AO ，BO ，AO 交BC 于点D . 则根据垂径定理的逆定理，得OA ⊥BC ，
第3章圆的基本性质 一、选择题 1.已知⊙O的半径为5cm，若OP=3cm，那么点P与⊙O的位置关系是（） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 都有可能 2.一个点到圆的最小距离为3cm,最大距离为8cm，则该圆的半径是（） A. 5cm或11cm B. 2.5cm C. 5.5cm D. 2.5cm或5.5cm 3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1），将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△AB′C′，则点B′的坐标为（） A. （2，1） B. （2，3） C. （4，1） D. （0，2） 4.如图，A是BD的中点，△ABC和△ADE均为等边三角形，则要想由△ABC得到△ADE，（） A. 仅能由平移得到 B. 仅能由旋转得到 C. 既能由平移得到，又能由旋转得到 D. 平移旋转都不能得到 5.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），拱的半径为13米，拱高CD为8米，则拱桥的跨度AB 的长为（） A. 20米 B. 24米 C. 28米 D. 24米
6.如图CD是⊙O的直径，CD=10，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为的中点，P是直径CD上一动点，则PA+PB的最小值为（） A. 5 B. C. 5 D. 7.如图，△ABC内接于圆O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是圆O的直径，BD交AC于点E，连接DC，则∠AEB 等于( ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 110° 8.如图，在⊙O中，弦AB，AC互相垂直，D，E分别为AB，AC的中点，则四边形OEAD为（） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 直角梯形 9. 如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2019次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（） A. 2019π B. 3019.5π C. 3018π D. 3024π
浙教版九年级上册数学第3章圆的基 本性质含答案 一、单选题(共15题，共计45分) 1、如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB 1C 1 ，若点B 1 在 线段BC的延长线上，则∠BB 1C 1 的大小为（） A.70° B.80° C.84° D.86° 2、如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若 ，则∠C等于（） A.36 B.54 C.60 D.27 3、如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图 ②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（） A.2π+2 B.3π C. D. +2 4、如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，若∠CBD＝55°，则∠AOC的度数为（）
A.100° B.105° C.110° D.125° 5、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则 的长（） A.2π B.π C. D. 6、如图，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在直线BC上，则旋转角的度数为( ) A.70° B.80° C.90° D.100° 7、一个图形无论经过平移还是旋转，有以下说法（） ①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 8、有一边长为2的正三角形，则它的外接圆的面积为（） A.2 π B.4 π C.4π D.12π 9、如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为的中点，AC交OD于点E，OB＝2，则AE的长为( )
圆中新定义问题 1、对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使△PMN为正三角形，则称图形G为点P的τ型线，点P为图形G的τ型点，△PMN为图形G关于点P的τ型三角形． （1）如图1，已知点，，以原点O为圆心的⊙O的半径为1．在A，B两点中，⊙O的τ型点是____，画出并回答⊙O关于该τ型点的τ型三角形；（画一个即可） （2）如图2，已知点，点（其中m＞0）．若线段EF为原点O的τ型线，且线段EF关于原点O的τ型三角形的面积为，求m的值； （3）若是抛物线的τ型点，直接写出n的取值范围．
2、在平面直角坐标系xOy中，已知，，于点A，， 于点B，，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示． （1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积； （2）如图3，连接CD、OC、OD，判断的形状，并加以证明； （3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.
3、如图1，⊙C的半径为r（r＞0），若点P′在射线CP上，满足CP′·CP＝r2，则称点P′是点P关于⊙C的“反演点”． （1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，当⊙O半径为1时，分别直接写出点M（1，0）、N（0，2）关于⊙O的反演点M′、N′的坐标________． （2）如图3，⊙C的半径为4，点B在⊙C上，∠BCA＝60°，CA＝8，若点A′、B′分别是点A、B关于⊙C的反演点，请直接写出A′B′的长________． （3）在平面直角坐标xOy中，⊙O半径为1时，点P在直线y＝－x＋1上，若点P关于⊙O的反演点P′在⊙O的外部，求点P的横坐标的取值范围 （4）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线与 x轴、y轴分别交于点E、F．若线段EF上存在点P，使得点P关于⊙C的反演点P′在⊙C 的外部，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
专题：四点共圆 一．选择题 1.如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，下列说法： ①当AC=BD时，M、E、N、F四点共圆． ②当AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆． ③当AC=BD且AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆． 其中正确的是（） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 2. 如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（） A. 40° B. 60° C. 70° D. 80° 3. 如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（） A. AB=AE B. AB=BE C. AE=BE D. AB=AC 4. 如图，以△ABC的一边AB为直径的圆交AC边于D，交BC边于E，连接DE，BD与AE交 于点F．则sin∠CAE的值为（） A．B．C．D．
5. 如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，且BC=CD，过点C作CE⊥AD，交AD延长线于E，交AB延长线于F点．若AB=4ED，则cos∠ABC的值是（） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，BC=6-2，点P是BC上一动点，PE⊥AB于E，PD⊥AC于D．无论P的位置如何变化，线段DE的最小值为（） A. 3-3 B. C. 4-6 D. 2 7. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB：BC=2：3，AD=DC，点P在对角线BD上， 已知△ABP的面积等于6cm2，则△BCP的面积等于（）cm2． A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 8.四边形ABCD内接于圆，且CD=1，AB=√2，BC=2，∠ABC=45°，则四边形ABCD的面积是（） A. 3+√3 3B. √3+2√2 4 C. √3+2√2 3 D. 3+√3 4 9. 在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN=（）
2021-2022学年浙江九年级数学上册第3章《圆的基本性质》 竞赛题精选 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（2019•菏泽）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（） A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD 【分析】由圆周角定理和角平分线得出∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，由等腰三角形的性质得出∠OCB＝∠OBC，得出∠DBC＝∠OCB，证出OC∥BD，选项A成立； 由平行线的性质得出AD⊥OC，选项B成立； 由垂径定理得出AF＝FD，选项D成立； △CEF和△BED中，没有相等的边，△CEF与△BED不全等，选项C不成立，即可得出答案． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD， ∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC， ∴AD⊥BD， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴∠DBC＝∠OCB， ∴OC∥BD，选项A成立； ∴AD⊥OC，选项B成立； ∴AF＝FD，选项D成立； ∵△CEF和△BED中，没有相等的边， ∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；
故选：C． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理． 2．（5分）（2018•武侯区校级自主招生）已知如图，△ABC中，AB＝m，AC＝n，以BC为边向外作正方形BCDE，连接EA，则EA的最大值为（） A．m+n B．m+n C．m+n D．m+n 【分析】以AB为边，作正方形ABFG，连接AF，FC，由“SAS”可证△ABE≌△FBC，可得AE＝FC，由三角形的三边关系可得AE＝FC≤AF+AC，即可求AE的最大值． 【解答】解：如图，以AB为边，作正方形ABFG，连接AF，FC， ∵四边形ABFG，四边形BCDE是正方形 ∴AB＝BF，BC＝BE，∠ABF＝∠EBC＝90° ∴∠FBC＝∠EBA，且AB＝BF，BC＝BE ∴△ABE≌△FBC（SAS） ∴AE＝FC， ∵FC≤AF+AC， ∴AE≤AF+AC＝m+n ∴AE的最大值为m+n 故选：A．
专题：圆内接四边形与正多边形 一．选择 1. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，BC=DC，∠BOC=130°，则∠BAD的度数是（） A.120° B.130° C.140° D.150° 2. 如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点.若∠BOC=40°，则 ∠D的度数为（） A.100° B.110° C.120° D.130° 3. 如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）cm A． 6cm B． 12cm C． 6cm D． 4cm 4. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为 点F，则EF的长为（） A.1 B. C.4-2 D.3-4
5. 已知⊙的半径为1,以它的内接正三角形,正方形,正六边形的边心距为三边作三角形,则() A. 这个三角形是锐角三角形 B. 这个三角形是直角三角形 C. 这个三角形是钝角三角形 D. 不能构成三角形 6. 以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（） A. B. C. D. 7. 如图,六边形 ABCDEF内接于⊙O,则∠A+∠C+∠E的值为( ） A.90° B.180° C.270 D.360 8. 如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为（） A.16 B.12 C.8 D.6 9. 如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（） A.55° B.60° C.65° D.70° 10. 如图，⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E=α，∠F=β，则∠A等于( )