1.2.1常数函数与幂函数的导数
预习案
一、自学教材，思考下列问题
1.导数的概念
2.导数的几何意义
二、一试身手
利用导数的定义求下列函数的导数：
（1）f（x）=2 （2）f（x）=x
（3）f（x）=x+1 （4）f（x）=x2
导学案
一、学习目标
（1）知识与技能
能由定义求导数的三个步骤推导常数函数与幂函数的导数
（2）过程与方法
在教学过程中，注意培养学生桂南、探求规律的能力
（3）情感态度价值观
提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索精神
二、学习过程
（1）课内探究
问题1：常数函数的导数是什么？
问题2：运用导数的定义求下列几个幂函数的导数
（1）y=x （2）y=x 2（3）y=x 3（4）1y x
=（5）y
问题3：通过以上五个幂函数的求导过程，你有没有发现求幂函数的导数的规律？
问题4：幂函数a y x =的导数是什么？
（2） 典型例题
例1 求 (1)(x 3)′ (2)(
2
1x )′ (3)(x )′
例2质点运动方程是5
1t s =
, 求质点在2=t 时的速度．
（3） 当堂检测 1．已知语句:p 函数()y f x =的导函数是常数函数；语句:q 函数()y f x =是一次函数，则语句p 是语句q 的（ ）
Ａ．充分不必要条件
Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充要条件
Ｄ．既不充分又不必要条件
2．若函数()f x 的导函数为()sin f x x '=-，则函数图象在点(4(4))f ，处的切线的倾斜角
为（）
Ａ．90°Ｂ．0°Ｃ．锐角Ｄ．钝角3、求下列函数的导数
3
2
1
(1) y2 1 (2)y (3)y
x
x
=+==
2
1
36
3
2
'
)1(x
x
y=
?
=-
解：
3
3
1
2
2
2
2
2
)
(2
)'
(
)'
1
(
'
:
)2(
x
x
x
x
x
y-
=
-
=
-
=
=
=-
-
-
-
解
x
x
x
x
x
y
2
)
(
2
1
)'
(
)'
(
'
)3(2
1
2
1
=
=
=
=-
解：
52
5
2
5
3
53
5
3
)
(
5
3
)'
(
)'
(
'
)4(
x
x
x
x
y=
=
=
=-
解：
（4）课堂小结
本节课学习了常数函数与幂函数的导数.
拓展案
一、选择题
1．()
f x与()
g x是定义在R上的两个可导函数，若()()
f x
g x
，满足()()
f x
g x
''
=，则()
f x与()
g x满足（）
Ａ．()()
f x
g x
=Ｂ．()()
f x
g x
-为常数
Ｃ．()()0
f x
g x
==Ｄ．()()
f x
g x
+为常数
二、填空题
2．设32
()391
f x x x x
=--+，则不等式()0
f x
'<的解集是．
3．曲线
1
y
x
=和2
y x
=在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是．三、解答题
4．求过曲线cos
y x
=上点
π1
32
P
??
?
??
，且与过这点的切线垂直的直线方程．
答案：
典型例题
例1解：(1) (x 3)′=3x 3－1=3x 2；
(2) (21x
)′=(x －2)′=－2x －2－1=－2x －3 (3) x
x x x x 212121)()(2112121
==='='-- 例2解：∵ 51t s =
， ∴ 6555)()1(---='='='t t t
s , ∴ 64
52562-=?-='-=t s ． 答：质点在2=t 时的速度是64
5-． 当堂检测
1.答案：Ｂ
2.答案：Ｃ
3. 3321(1) y 2 1 (2)y (3)y x (4)y x x x
=+===2
13632')1(x x y =?=-解：3
3122222)(2)'()'1(': )2(x x x x x y -=-=-===----解x
x x x x y 2)(21)'()'(')3(2121====-解：5252535353)(53)'()'(')4(x x x x y ====-解：
拓展案
1.答案：Ｂ
2.答案：(13)-，
3.答案：34
4.解： sin y x '=- ，曲线在点π132P ??
???，处的切线的斜率是πsin 32
-=-． ∴过点P
． ∴所求的直线方程为1π
23y x ?-=-??，
即2π2032x -
+=．
2019-2020年高二数学导数与导函数的概念教案 苏教版 教学目标： 1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义； 理解导函数的概念和意义； 2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转 化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力 3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。 教学重点： 1、导数的求解方法和过程； 2、导数符号的灵活运用 教学难点： 1、导数概念的理解； 2、导函数的理解、认识和运用 教学过程： 一、情境引入 在前面我们解决的问题： 1、求函数在点（2，4）处的切线斜率。 x x x f x f x y ?+=?-?+=??4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是，求时的瞬时速度。 t t t t v t t v t V o o o ?+=?-?+=??2)()(，故斜率为4 二、知识点讲解 上述两个函数和中，当()无限趋近于0时，()都无限趋近于一个常数。 归纳：一般的，定义在区间（，）上的函数，，当无限趋近于0时，x x f x x f x y o o ?-?+=??)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称在处可导，并称A 为在处的导数，记作或， 上述两个问题中：（1），（2） 三、几何意义：我们上述过程可以看出 在处的导数就是在处的切线斜率。 四、例题选讲 例1、求下列函数在相应位置的导数 （1）， （2）， （3）， 例2、函数满足，则当x 无限趋近于0时， （1） （2）
变式:设f(x)在x=x0处可导， 1.无限趋近于1，则=___________ （4）无限趋近于1，则=________________ （5）当△x无限趋近于0， x x x f x x f ? ?- - ? +) 2 ( ) 2 ( 0所对应的常数与的关系。 总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。 例3、若，求和 注意分析两者之间的区别。 例4：已知函数，求在处的切线。 导函数的概念涉及：的对于区间（,）上任意点处都可导，则在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为的导函数，记作。 五、小结与作业
高中高考数学专题复习<函数与导数> 1．下列函数中，在区间()0,+∞上是增函数的是 （ ） A ．1y x = B. 12x y ?? = ??? C. 2log y x = D.2x y -= 2．函数()x x x f -= 1 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称 3．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ．y y C ．y ＝4lgx 与y ＝2lgx 2 D ．y ＝lgx －2与y ＝lg x 100 4．下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数，且在)0,(-∞上为减函数的是（ ） A ．x x f ?? ? ??=23)( B ．1)(2+=x x f Ｃ．3)(x x f -= Ｄ．)lg()(x x f -= 5．已知0,0a b >>，且12 (2)y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为 A ． 18 B ．14 C ．12 D ．34 6．下列函数中哪个是幂函数（ ） A ．3 1-??? ??=x y B ．2 2-?? ? ??=x y C ．3 2-=x y D ．()3 2--=x y 7．)43lg(12x x y -++=的定义域为（ ） A. )43 ,21(- B. )43 ,21[- C. ),0()0,2 1(+∞?- D. ),43 []21 ,(+∞?-∞ 8．如果对数函数(2)log a y x +=在()0,x ∈+∞上是减函数，则a 的取值范围是 A.2a >- B.1a <- C.21a -<<- D.1a >- 9．曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）
高二数学函数与导数综合复习 一、知识梳理： 1．基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则： 常用函数导数公式：='x ； =')(2 x ；=')(3 x ；=')1 (x ； 初等函数导数公式：='c ； =')(n x ；=')(sin x ；=')(cos x ； =')(x a ； =')(x e ；=')(log x a ；=')(ln x ； 导数运算法则：（1）/ [()()]f x g x ±= ；（2）)]'()([x g x f ?= ； （3）/ ()[ ]() f x g x = [()0].g x ≠ 2．导数的几何意义：______________________________________________________________________； 曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为________________________________________． 3．用导数求函数单调区间的一般步骤： （1）__________________________________; （2）________的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；_______的解集与定义域的交集的对应区间为减区间 4. 利用导数求函数的最值步骤: ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值； ⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值. 二．巩固练习： 1．一个物体的运动方程为21s t t =-+ 其中S 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时 速度是 （ ） A 、 7米/秒 B 、6米/秒 C 、 5米/秒 D 、 8米/秒 2. 在0000()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?中，x ?不可能 （ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．大于0或小于0 3. 已知曲线3 2x y =上一点)2,1(A ，则A 处的切线斜率等于 ( ) A ．2 B ．4 C ．6＋6x ?＋2(x ?)2 D ．6 4. 设)(x f y =存在导函数，且满足12) 21()1(lim 0 -=??--→?x x f f x ，则曲线)(x f y =上点))1(,1(f 处的切线 斜率为（ ） A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2
高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△ y=f(x 0+△x)-f(x )，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从 到的平均变化率。 注意： ①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。 ③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。 （2）平均变化率的几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。 事实上，。 作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的概念： 1．导数的定义： 对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或） 注意： ①增量可以是正数，也可以是负数； ②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数： 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在 处的函数值，反映函数在附近的变化情况。 3．导数几何意义： （1）曲线的切线 曲线上一点P(x 0，y )及其附近一点Q(x +△x,y +△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ， 其倾斜角为当点Q(x 0+△x,y +△y)沿曲线无限接近于点P(x ，y )， 即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。 若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。 即：。
高中数学（函数和导数）综合练习含解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 1．已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈．3253()422 g x x x x =-+-+ （1）当1a =时，求证：()12,1,x x ?∈+∞，均有12()()f x g x ≥ （2）当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 2．已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'x x f x f ，若)1(f a =，)2(2--=f b ， )21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ） A ．b c a << B ．a c b << C ．c b a << D ．b a c << 3．函数3()3f x x ax a =-+在()0,2内有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,4 B ．()0,1 C ．()0,4 D ．()4,4- 4．在函数()y f x =的图象上有点列(),n n x y ，若数列{}n x 是等差数列，数列{}n y 是等比数列，则函数()y f x =的解析式可能为（ ） A ．()21f x x =+ B ．()2 4f x x = C ．()3log f x x = D ．()34x f x ??= ??? 5．设:x p y c =是R 上的单调递减函数；q ：函数()() 2lg 221g x cx x =++的值域为R ．如果“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则正实数c 的取值范围是（ ） A ．1,12?? ??? B ．1,2??+∞ ??? C ．[)10,1,2??+∞ ??? D ．10,2?? ??? 6．如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围 是（ ） A ．{2}∪(4,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．{2,4} D ．(4,)+∞
目 录 目 录............................................................................................................................................... 0 摘 要............................................................................................................................................... 1 Abstract ........................................................................................................................................... 2 1.幂指函数的概念 ........................................................................................................................... 3 2.幂指函数的求极限 .. (3) 2.1 )(x f ，)(x g 的极限均为有限常数，即B A 型的极限求法 ...................................... 3 2.2 利用重要极限 .. (4) 2.3 应用洛必达法则求极限 ................................................................................................ 6 2.4 用等价无穷小 .. (7) 2.4.1 0 0中的等价无穷小代换 .................................................................................... 7 2.4.2 0 ∞中的等价无穷小代换 ................................................................................... 8 2.4.3 ∞1中的等价无穷小代换. . (9) 2.5 利用微分中值定理 ....................................................................................................... 10 3.幂指函数的求导 . (11) 3.1 复合函数求导法 ........................................................................................................... 11 3.2 对数求导法 ................................................................................................................... 12 3.3 多元函数求导法 ........................................................................................................... 13 总 结............................................................................................................................................. 16 参考文献 .. (17)
一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即 0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义: 当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的 斜率k ，即 000 ()() lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数 二．导数的计算 1. 基本初等函数的导数公式 2. 导数的运算法则 3. 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是: (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系. 求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值； （2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 四.生活中的优化问题
高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ???? 0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ?? 1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ?? ??1a ＝ln 1 a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ?? 1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.
1.2.1常数函数与幂函数的导数 预习案 一、自学教材，思考下列问题 1.导数的概念 2.导数的几何意义 二、一试身手 利用导数的定义求下列函数的导数： （1）f（x）=2 （2）f（x）=x （3）f（x）=x+1 （4）f（x）=x2 导学案 一、学习目标 （1）知识与技能 能由定义求导数的三个步骤推导常数函数与幂函数的导数 （2）过程与方法 在教学过程中，注意培养学生桂南、探求规律的能力 （3）情感态度价值观 提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索精神 二、学习过程 （1）课内探究 问题1：常数函数的导数是什么？ 问题2：运用导数的定义求下列几个幂函数的导数
（1）y=x （2）y=x 2（3）y=x 3（4）1y x =（5）y 问题3：通过以上五个幂函数的求导过程，你有没有发现求幂函数的导数的规律？ 问题4：幂函数a y x =的导数是什么？ （2） 典型例题 例1 求 (1)(x 3)′ (2)( 2 1x )′ (3)(x )′ 例2质点运动方程是5 1t s = , 求质点在2=t 时的速度． （3） 当堂检测 1．已知语句:p 函数()y f x =的导函数是常数函数；语句:q 函数()y f x =是一次函数，则语句p 是语句q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件 2．若函数()f x 的导函数为()sin f x x '=-，则函数图象在点(4(4))f ，处的切线的倾斜角
为（） Ａ．90°Ｂ．0°Ｃ．锐角Ｄ．钝角3、求下列函数的导数 3 2 1 (1) y2 1 (2)y (3)y x x =+== 2 1 36 3 2 ' )1(x x y= ? =- 解： 3 3 1 2 2 2 2 2 ) (2 )' ( )' 1 ( ' : )2( x x x x x y- = - = - = = =- - - - 解 x x x x x y 2 ) ( 2 1 )' ( )' ( ' )3(2 1 2 1 = = = =- 解： 52 5 2 5 3 53 5 3 ) ( 5 3 )' ( )' ( ' )4( x x x x y= = = =- 解： （4）课堂小结 本节课学习了常数函数与幂函数的导数. 拓展案 一、选择题 1．() f x与() g x是定义在R上的两个可导函数，若()() f x g x ，满足()() f x g x '' =，则() f x与() g x满足（） Ａ．()() f x g x =Ｂ．()() f x g x -为常数 Ｃ．()()0 f x g x ==Ｄ．()() f x g x +为常数 二、填空题 2．设32 ()391 f x x x x =--+，则不等式()0 f x '<的解集是． 3．曲线 1 y x =和2 y x =在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是．三、解答题 4．求过曲线cos y x =上点 π1 32 P ?? ? ?? ，且与过这点的切线垂直的直线方程．
导数与导函数的概念 教学目标： 1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义； 理解导函数的概念和意义； 2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义， 培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力 3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。 教学重点： 1、导数的求解方法和过程； 2、导数符号的灵活运用 教学难点： 1、导数概念的理解； 2、导函数的理解、认识和运用 教学过程： 一、情境引入 在前面我们解决的问题： 1、求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。 x x x f x f x y ?+=?-?+=??4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12 -=t V ，求o t t =时的瞬时速度。 t t t t v t t v t V o o o ?+=?-?+=??2)()(，故斜率为4 二、知识点讲解 上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ?(t ?)无限趋近于0时， t V ??(x V ??)都无限趋近于一个常数。 归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ?无限趋近于0时，x x f x x f x y o o ?-?+=??)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)('， 上述两个问题中：（1）4)2('=f ，（2）o o t t V 2)('= 三、几何意义： 我们上述过程可以看出
摘要 幂指函数是一类重要的函数，但在教材中涉及幂指函数的内容非常有限，系统的研究幂指函数的性质及应用是非常有必要的。本文先利用微积分的相关知识论述幂指函数的分析性质；再用这些性质研究两个特殊的幂指函数；最后探讨幂指函数的性质在求极限、导数、微分和积分等问题中的应用。 关键词:幂指函数；极限；导数；微分；积分
Abstract Exponential function is a kind of important function, but the content of the exponential function involved in the teaching material is very limited, the exponential function of the nature of the research and application of system is very necessary. This paper, using relevant knowledge of calculus, first analysis the power properties; With these two special properties research of exponential function; Finally discusses the nature of the exponential function limit, derivative, differential and integral application problems. Key words: Power exponent function; Limit; Derivative; Differential; Integral
高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二 9．已知函数f（x）＝x（e2x﹣a）． （1）若y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，求a的值； （2）若f（x）≥1+x+lnx，求a的取值范围． 10．已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝e x（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2． （Ⅰ）求a，b，c，d的值； （Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围． 11．已知函数f（x）=alnx x+1 +b x，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3 ＝0． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnx x?1．
12．已知函数f(x)=(a ?1 x )lnx （a ∈R ）． （1）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x +y ﹣1＝0，求a 的值； （2）若f （x ）的导函数f '（x ）存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； （3）当a ＝2时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式f （x ）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由． 13．已知函数f （x ）＝4lnx ﹣ax +a+3 x （a ≥0） （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性； （Ⅱ）当a ≥1时，设g （x ）＝2e x ﹣4x +2a ，若存在x 1，x 2∈[1 2，2]，使f （x 1）＞g （x 2）， 求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…） 14．已知函数f （x ）＝a x +x 2﹣xlna （a ＞0且a ≠1） （1）求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；
求幂函数y =x μ(μ为任意实数）的导数 要求幂函数y =x μ(μ为任意实数）的导数，宜先证明三个极限: 第一、证明lim α→0log a (1+α) α =log a e (00 ) 证明: log a (1+α) α =log a (1+α)1α, 当α→0时，该式右端对数符号后面的式子(1+α)1 α→e ,根据对数函 数的连续性,lim α→0log a (1+α) α =lim α→0log a (1+α)1α = log a e ,证毕. 若a=e 则有lim α→0ln （1+α） α=lim α→0ln （1+α）1 =lim α→0ln e =ln e =1 .○1 第二、证明lim α→0 a α?1α =ln a (0 0) 证明: 令a α?1=β；根据指数函数的连续性,有lim α→0a α=a 0=1,所以当α→0时，也有β→0. 又a α=β+1所以α=log a (β+1).于是有： lim α→0 a α?1α =lim β→0βlog a (1+β) =lim β→0 1 log a (1+β) β =1 log a e (分母的变化是根据第一证明的结论)， 再用换底公式把1 log a e 转换为1 ln e =ln a ,证毕。 当a=e 时，有lim β→0β ln(1+β)=ln e =1○2 第三、证明lim α→0（1+α）μ ?1 α =μ (0 ) 证明: 令（1+α）μ?1=β；根据幂函数的连续性，有lim α→0（1+α）μ=（1+0）μ =1μ=1.所以当α→0时，有【（1+α）μ?1】→0，即β→0。又（1+α）μ =β+1，对此等式两边取对数，则得：μ?ln （1+α）μ =ln （β+1）。做以下变形： （1+α）μ ?1α =β α= β ln(1+β) *μ? ln （1+α） α 再根据前边○1、○2的结论，就有： lim α→0 （1+α）μ ?1 α =lim β→0 β ln (1+β) *lim α→0μ? ln （1+α） α =μ（证毕） 下边求幂函数y =x μ(μ为任意实数）的导数。 幂函数y =x μ(μ为任意实数），x 的变动区域依赖于μ。当x ≠0时，有 ?y ?x = (x +?x )μ?x μx? = [x (1+?x x )]μ?x μx? = x μ(1+?x x )μ?x μx? = x μ[(1+?x x )μ ?1] x? = x μx [(1+?x x )μ?1]x?=x μ?1* (1+?x x )μ?1 x? 根据第三个极限证明的结论，有： y ,=lim ?x→0?y ?x = μx μ?1
2015专题五：函数与导数 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立。 (3)对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程 ()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。 （若()f x '为二次函数且I=R ，则有0?>）。 (6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ?∈，()f x 0<恒成立，则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ?∈，使得0()f x 0<，则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ?∈、22x I ∈，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. （11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ， 若对11x I ?∈,22x I ?∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ?。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大 于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-（）③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-⑤ ln 1 (1)12 x x x x -<>+⑥ 22 ln 11(0)22x x x x <->
导数的概念、几何意义 及导数公式 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
本讲教育信息】 一. 教学内容： 导数的概念、几何意义及导数公式 ? [学习目标] 了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义；了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。通过函数图象直观地理解导数的几何意义。理解导数的定义，能根据导数的定义，求函数的导数。了解基本初等函数的导数公式；了解导数的四则运算法则；能利用导数公式表的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 ? [考点分析] 1. 的平均变化率：已知函数在点及其附近有定义，令 ， 则当时，比值叫做函数在到之间的平均变化率。 2. 瞬时变化率：设函数在点附近有定义，当自变量在附近改变时，函数值相应地改变，如果当趋近于0 时，平均变化率趋近于一个常数L，则数L称为函数在点的瞬时变化率。 记作：当时， 还可以说，当时，函数平均变化率的极限等于函数在的瞬时变化率 L. 记作：=L 3. 导数的定义：函数在的瞬时变化率，通常就定义为在处的导 数，记作或，即。 注（1）变速运动在的瞬时速度就是路程函数在的导数 （2）在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成 。
（3）若极限不存在，则称函数在点处不可导。 4. 函数在开区间内的导函数（导数）： 如果函数在开区间内可导，那么对于开区间的每一个确定的值都对应着一个确定的导数，这样在开区间内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做函数在开区间内的导函数（简称导 数），记或；即： 函数在处的导数就是函数在开区间 上的导数在处的函数值，即＝。 注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系 是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值。 5.求函数的导数的一般方法： （1）求函数的改变量。 （2）求平均变化率。 （3）取极限，得导数＝。 6. 与连续的关系：如果函数y=f（x）在点x0处可导，那么函数y=f（x）在点x0处连续，反之不成立。数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。 7. 数的几何意义：函数在点处的导数，就是曲线在点 处的切线的斜率。 由此，可以利用导数求曲线的切线方程。体求法分两步： （1）求出函数在点处的导数，即曲线在点处的切线的斜率； （2）由切点坐标和切线斜率，得切线方程为： 。 特别地，如果曲线在点处的切线平行于y轴，这时导数不存在， 根据切线定义，可得切线方程为： 8. 常见函数的导数： （1）常函数的导数为0，即， （2）幂函数的导数为，与此有关的如下：
《常数函数与幂函数的导数》教学设计 一、教学目标 1、知识与技能 能由定义求导数的三个步骤推导常数函数与幂函数的导数公式，并会利用它们解决简单的问题。 2、过程与方法 在教学过程中，注意培养学生归纳、探求规律的能力，培养学生逻辑推理和数学运算等核心素养。 3、情感、态度与价值观 教学的核心问题是让学生通过定义求导数的三个步骤，推导常数函数与幂函数的导数，通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索精神。 二、教学重点和难点 教学重点：利用前面已学的求导数的三个步骤对常数函数与幂函数进行探究。 教学难点：用从特殊到一般的规律来探究公式。 三、教材分析 教材的地位与作用 本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》人教版B版选修1-1第三章《导数及其应用》第二节《导数的运算》第一课时，其主要内容是常数函数与幂函数的导数公式的推导、应用。 在前面，学生们已经学会利用导数的定义能够求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本初等函数的导数呢？这就是本节要研究的问题。
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简单的求导数的方法，本节我们求几个常用的函数的导数。 教学重点和难点 教学重点：利用前面已学的求导数的三个步骤对常数函数与幂函数进行探究。 教学难点：用从特殊到一般的规律来探究公式。 四、学情分析 本节课授课对象是我校高二年级普通班的学生，数学基础比较薄弱，但是平常一直注重对他们的思想引领，所以对数学还是充满着强烈的求知欲，能够积极参与。 学生还是具备一定的观察、分析能力，具备一些从特殊到一般的归纳能力，而且学生已有导数的定义和导数的几何意义等知识储备。 本节重要是介绍求导数的方法。根据导数定义求导数是最基本的方法。但是，由于最终会归结为求极限，而本章并没有介绍极限知识，因此，教材只是采用这种方法计算y c =、y x =、2y x =、3y x =、 1 y x = 、 y =单函数的导数即可。 五、教学方法 以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认知规律出发，进行启发、诱导、探索，充分调动学生的积极性，发挥学生的主体作用。 六、教学过程
§57 导数的概念及导数的几何意义⑴ 【考点及要求】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解导数的几何意义。 【基础知识】 1．一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为，平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度； 2．不妨设))(,()),(,(0011x f x Q x f x P ，则割线PQ 的斜率为， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，∴=PQ k ，当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+=) ()(00无 限趋近点Q 处切线。 3．曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：x x f x x f k ?-?+= ) ()(00，当 △x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的，记为． 4．瞬时速度与瞬时加速度：位移的平均变化率： t t s t t s ?-?+) ()(00，称为；当无限趋近于0 时， t t s t t s ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的；速度的平均变化率： t t v t t v ?-?+)()(00，当无限趋近于0 时，t t v t t v ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常数 称为t=t 0时的． 【基础练习】 1．已知函数2()f x ax =在区间[1,2]上的平均变化率为,则()f x 在区间[-2,-1]上的平均变化率为 ． 2．A 、B 两船从同一码头同时出发,A 船向北,B 船向东,若A 船的速度为30km/h,B 船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间[t 1,t 2]上,A,B 两船间距离变化的平均速度为____ __ _ 【典型例题讲练】 例1．已知函数f(x)=2x+1, ⑴分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f(x)的平均变化率； ⑵.探求一次函数y=kx+b 在区间[m ，n]上的平均变化率的特点； 练习：已知函数f(x)=x 2+2x ，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率; ⑴[1，2]； ⑵[3，4]； ⑶[－1，1]； ⑷[2，3] 【课堂检测】 1．求函数()y f x == 在区间[1,1+△x]内的平均变化率