随机信号分析习题一 1. 设函数???≤>-=-0 , 0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。并求下列 概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。 2. 设),(Y X 的联合密度函数为 (), 0, 0 (,)0 , other x y XY e x y f x y -+?≥≥=? ?， 求{}10,10<<< 8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度 ()Y f y \ 10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 22 2 W X Y Z X ?=+?=? 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。 11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 2() W X Y Z X Y =+?? =+? 已知(,)XY f x y ，求联合概率密度函数(,)WZ f z ω。 12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度1 ,()0X a x b f x b a ?≤≤? =-???， 其它 （1）求X 的特征函数,()X ?ω。 （2）由()X ?ω，求[]E X 。 13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X 和2X 之和的概率密度。 14. 证明若n X 依均方收敛，即 l.i.m n n X X →∞ =，则n X 必依概率收敛于X 。 15. 设{}n X 和{}n Y (1,2,)n = 为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随机变量。若l.i.m n n X X →∞ =，l.i.m n n Y Y →∞ =，求证lim {}{}m n m n E X X E XY →∞→∞ =。 一、实验名称 微弱信号的检测提取及分析方法 二、实验目的 1．了解随机信号分析理论如何在实践中应用 2．了解随机信号自身的特性，包括均值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度等 3．掌握随机信号的检测及分析方法 三、实验原理 1．随机信号的分析方法 在信号与系统中，我们把信号分为确知信号和随机信号。其中随机信号无确定的变化规律，需要用统计特新进行分析。这里我们引入随机过程的概念，所谓随机过程就是随机变量的集合，每个随机变量都是随机过程的一个取样序列。 随机过程的统计特性一般采用随机过程的分布函数和概率密度来描述，他们能够对随机过程作完整的描述。但由于在实践中难以求得，在工程技术中，一般采用描述随机过程的主要平均统计特性的几个函数，包括均值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度等来描述它们。本实验中算法都是一种估算法，条件是N要足够大。 2．微弱随机信号的检测及提取方法 因为噪声总会影响信号检测的结果，所以信号检测是信号处理的重要内容之一，低信噪比下的信号检测是目前检测领域的热点，而强噪声背景下的微弱信号提取又是信号检测的难点。 噪声主要来自于检测系统本身的电子电路和系统外空间高频电磁场干扰等，通常从以下两种不同途径来解决 ①降低系统的噪声，使被测信号功率大于噪声功率。 ②采用相关接受技术，可以保证在信号功率小于噪声功率的情况下，人能检测出信号。 对微弱信号的检测与提取有很多方法，常用的方法有：自相关检测法、多重自相法、双谱估计理论及算法、时域方法、小波算法等。 对微弱信号检测与提取有很多方法，本实验采用多重自相关法。 多重自相关法是在传统自相关检测法的基础上，对信号的自相关函数再多次做自相关。即令： 式中，是和的叠加；是和的叠加。对比两式，尽管两者信号的幅度和相位不同，但频率却没有变化。信号经过相关运算后增加了信噪比，但其改变程度是有限的，因而限制了检测微弱信号的能力。多重相关法将 当作x（t），重复自相关函数检测方法步骤，自相关的次数越多，信噪比提高的越多，因此可检测出强噪声中的微弱信号。 由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解 随机信号分析 第三章习题答案 、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求 （1）证明X(t)是平稳过程。 （2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。 （1） （2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232 ()(16) X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？ 解 [][]()[]2 ()cos 2 11 ,cos 5cos 22 X E X t E A E t B A B R t t EA τττ =++=????+=+=+与相互独立 ()()()2 1521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞??=<∞ ???==?是平稳过程 ()()[]() ()41122 11222222 2 4 2' 4(1)24()()444(0)4 1132 (1 )2244144 14(2)121tan 132 24X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x τ τωωωωω ππωωπωωπω π ωω∞ ----∞∞ -∞-∞∞--∞∞ ?????==?=???+?? ====+==??+ ?== ??= ++?? =? ????P P P P 方法一() 方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功) 2 d ω = 1 第一次作业：练习一之1、2、3题 1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。 解：875.087 813812411210)(][4 1 ==?+?+?+?===∑=i i i x X P x X E 81 )873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224 1 22?-+?-+?-+?-=-=∑=i i i P X E x X D 109.164 71 == 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为 ? ????≥<≤-+<=21 201)](2π Αsin[0.500 )(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(< 随机信号分析课程设计 报告 标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N] 随机信号分析课程设计报告 题目 学院信息电子技术 专业电子信息工程 班级 15级1班 学籍号 1 姓名朱李伟 指导教师刘文科 信息电子技术学院 2018年6月18日 实验二随机过程的模拟与数字特征 一、实验目的 1. 学习利用MATLAB模拟产生随机过程的方法。 2. 熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB 实现。 二、实验原理 1.正态分布白噪声序列的产生 MATLAB提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数，其中产生正态分布白 噪声序列的函数为randn。 函数：randn 用法：x = randn(m,n) 功能：产生 m×n 的标准正态分布随机数矩阵。 如果要产生服从N (,) 分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列 产生。如果X ~ N(0,1)，则N (,)。 2.相关函数估计 MATLAB提供了函数 xcorr用于自相关函数的估计。 函数：xcorr 用法：c= xcorr (x,y) c= xcorr (x) c= xcorr (x,y ,'opition') c= xcorr (x, ,'opition') 功能：xcorr(x,y) 计算X (n ) 与Y (n)的互相关，xcorr(x)计算X (n )的自相关。 option 选项可以设定为： 'biased' 有偏估计。 'unbiased' 无偏估计。 'coeff' m = 0 时的相关函数值归一化为1。 'none' 不做归一化处理。 3.功率谱估计 对于平稳随机序列X(n)，如果它的相关函数满足那么它的功率谱定义为自相关函数R X(m)的傅里叶变换： 功率谱表示随机信号频域的统计特性，有着重要的物理意义。我们实际所 能得到的随机信号的长度总是有限的，用有限长度的信号所得的功率谱只是真实功率谱的估计，称为谱估计或谱分析。功率谱估计的方法有很多种，这里我们介绍基于傅里叶分析的两种通用谱估计方法。 （1）自相关法 本科实验报告实验名称：随机信号分析实验 实验一 随机序列的产生及数字特征估计 一、实验目的 1、学习和掌握随机数的产生方法。 2、实现随机序列的数字特征估计。 二、实验原理 1、随机数的产生 随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。 在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。 (0，1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。(0，1)均匀分布指的是在[0，1]区间上的均匀分布，即 U(0，1)。实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0，1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下： )(m od ,110N ky y y n n -= N y x n n /= 序列{}n x 为产生的(0，1)均匀分布随机数。 下面给出了上式的3组常用参数： 1、10 N 10,k 7==，周期7 510≈?； 2、（IBM 随机数发生器）31 16 N 2,k 23,==+周期8 510≈?； 3、（ran0）31 5 N 21,k 7,=-=周期9 210≈?； 由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。 定理 1.1 若随机变量 X 具有连续分布函数F X (x)，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有 )(1R F X x -= 由这一定理可知，分布函数为F X (x)的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按上式进行变 1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数： （1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++ 解：（1） ()121222()jv X X jvX jv X jvX X v E e E e E e e φ+??????===??????? （2） ()1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++????==?????? 2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问： （1） 信号的均值函数()E X t ????； （2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+； （3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。 解：（1）()10.410.60.2E X t =-?+?=???? (2) 当,t t τ+在同一个时隙时： 当,t t τ+不在同一个时隙时： （3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++ 3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0 ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。 （1） 试判断()X t 和()Y t 在同一时刻和不同时刻的独立性、相关性及正交性； （2） 试判断()X t 和()Y t 是否联合广义平稳。 解： （1） 由于X (t )和Y(t )包含同一随机变量θ， 因此非独立。 根据题意有12f ()θπ=。 []001sin()02E[X(t )]E t sin(w t )d π πωθθπ -=+Θ= +=?， 由于0XY XY R (t,t )C (t,t )==，X (t )和Y(t )在同一时刻正交、线性无关。 除()012w t t k π-=±外的其他不同时刻12120XY XY R (t ,t )C (t ,t )=≠，所以1X (t )和2Y(t )非正交且线性相关。 随机信号分析实验报告 信息25班 2120502123 赵梦然 作业题三： 利用Matlab 产生一个具有零均值、单位方差的的高斯白噪声随机序列X(n)，并通过一脉冲响应为 (0.8)(0)0 n n h n else =≥??? 的线性滤波器。 (1) 产生一个具有零均值、单位方差的的高斯白噪声随机序列X(n)，检验其一维概率密度函 数是否与理论相符。 (2) 绘出输入输出信号的均值、方差、自相关函数及功率谱密度的图形，讨论输出信号服从 何种分布。 (3) 试产生在[-1,+1]区间均匀分布的白噪声序列，并将其替换高斯白噪声通过上述系统。 画出此时的输出图形，并观察讨论输出信号服从何种分布。 作业要求 (1) 用MATLAB 编写程序。最终报告中附代码及实验结果截图。 (2) 实验报告中必须有对实验结果的分析讨论。 提示： (1) 可直接使用matlab 中已有函数产生高斯白噪声随机序列。可使用hist 函数画出序列的 直方图，并与标准高斯分布的概率密度函数做对比。 (2) 为便于卷积操作，当N 很大时，可近似认为h(N)=0。卷积使用matlab 自带的conv 函 数。 (3) 分析均值、方差等时，均可使用matlab 现有函数。功率谱密度和自相关函数可通过傅 里叶变换相互获得。傅里叶变换使用matlab 自带的fft 函数。 (4) 作图使用plot 函数。 一、作业分析： 本题主要考察的是加性高斯白噪声相关问题，因此构造一个高斯白噪声十分重要，故在本题中使用randn函数随机生成一个个符合高斯分布的数据，并由此构成高斯白噪声；而且由于白噪声是无法完全表示的，故此根据噪声长度远大于信号长度时可视为高斯白噪声，构造了一个长度为2000的高斯白噪声来进行试验。 二、作业解答： （1）matlab程序为： x-1000:1:1000; k=1*randn(1,length(x));% 生成零均值单位方差的高斯白噪声。 [f,xi]=ksdensity(x);%利用ksdensity函数估计样本的概率密度。 subplot(1,2,1); plot(x,k); subplot(1,2,2); plot(xi,f); 实验结果为： 第一章 1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？ 解：()0.3P A =()0.2P B =()0.1P C =()0.4 P D = E －迟到，由已知可得 (|)0.25(|)0.4(|)0.1(|)0 P E A P E B P E C P E D ==== 全概率公式： ()()()()(P E P E A P E B P E C P E D =+++ 贝叶斯公式： ()(|)()0.075 (|)0.455()()0.165(|)()0.08 (|)0.485 ()0.165 (|)()0.01 (|)0.06 ()0.165(|)() (|)0 ()P EA P E A P A P A E P E P E P E B P B P B E P E P E C P C P C E P E P E D P D P D E P E ?= ===?===?===?== 综上：坐轮船 3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为2 2 22,0 ()0,0X x x X x e x f x x σσ-??>=?? ，求期望()E X 和方差()D X 。 考察： 已知()x f x ，如何求()E X 和()D X ？ 2 2222 2()()()[()]()()()()()()()x x E X x f x dx D X E X m X m f x dx D X E X E X E X x f x dx ∞ -∞ ∞ -∞ ∞ -∞ =?=-=-=-?=???? 6、已知随机变量X 与Y ，有1,3, ()4,()16,0XY EX EY D X D Y ρ=====， 令3,2,U X Y V X Y =+=-试求EU 、EV 、()D U 、()D V 和(,)Cov U V 。 考察随机变量函数的数字特征 1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数： （1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++ 解：（1）() 121222()jv X X jvX jv X jvX X v E e E e E e e φ+???? ??===?????? ? 12 21212()(2)jvX jv X X X E e E e v v φφ????=????和独立 （2）() 1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++???? ==????? ? 12536 12jv X jv X jv X X E e E e E e ?????? ??????和独立 6 12(5)(3)jv e v v φφ= 2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问： （1） 信号的均值函数()E X t ????； （2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+； （3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。 解：（1）()10.410.60.2E X t =-?+?=???? (2) 当,t t τ+在同一个时隙时： []222(,)()()[()]10.6(1)0.41X R t t E X t X t E X t ττ+=+==?+-?= 当,t t τ+不在同一个时隙时： [][][](,)()()()()0.20.20.04 X R t t E X t X t E X t E X t τττ+=+=+=?= （3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++ 3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0 ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。 随机信号分析 实验报告 目录 随机信号分析 (1) 实验报告 (1) 理想白噪声和带限白噪声的产生与测试 (2) 一、摘要 (2) 二、实验的背景与目的 (2) 背景： (2) 实验目的: (2) 三、实验原理 (3) 四、实验的设计与结果 (4) 实验设计: (4) 实验结果: (5) 五、实验结论 (12) 六、参考文献 (13) 七、附件 (13) 1 理想白噪声和带限白噪声的产生与测试一、摘要 本文通过利用MATLAB软件仿真来对理想白噪声和带限白噪声进行研究。理想白噪声通过低通滤波器和带通滤波器分别得到低通带限白噪声和帯通带限白噪声。在仿真的过程中我们利用MATLAB工具箱中自带的一些函数来对理想白噪声和带限白噪声的均值、均方值、方差、功率谱密度、自相关函数、频谱以及概率密度进行研究，对对它们进行比较分析并讨论其物理意义。 关键词：理想白噪声带限白噪声均值均方值方差功率谱密度自相关函数、频谱以及概率密度 二、实验的背景与目的 背景： 在词典中噪声有两种定义：定义1：干扰人们休息、学习和工作的声音，引起人的心理和生理变化。定义2：不同频率、不同强度无规则地组合在一起的声音。如电噪声、机械噪声，可引伸为任何不希望有的干扰。第一种定义是人们在日常生活中可以感知的，从感性上很容易理解。而第二种定义则相对抽象一些，大部分应用于机械工程当中。在这一学期的好几门课程中我们都从不同的方面接触到噪声，如何的利用噪声，把噪声的危害减到最小是一个很热门的话题。为了加深对噪声的认识与了解，为后面的学习与工作做准备，我们对噪声进行了一些研究与测试。 实验目的: 了解理想白噪声和带限白噪声的基本概念并能够区分它们，掌握用MATLAB 或c/c++软件仿真和分析理想白噪声和带限白噪声的方法，掌握理想白噪声和带限白噪声的性质。 第二次作业：练习一之4、5、6、7题 1.4 随机变量X 在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。 解：因X 在[α，β]上均匀分布 ??? ??β≤≤αα -β=其他 下0 1)(x f ?? β α ∞ ∞ β+α= α -β= = 2d d )(]E[-x x x x xf X )2(3 1d d )(]E[2 2 2 -2 2 β+β+α= α -β= = ?? β α ∞ ∞ x x x x f x X 2 2 2 -2 )(12 1]) X [E (]X [E d )(])X [E (]D[α-β= -=-= ?∞ ∞ x x f x X 1.5 设随机变量X 的概率密度为 ?? ?<≤=其他 1 01 )(x x f X ，求Y =5X +1的概率密度函 数。 解：反函数X = h (y ) = (Y -1)/5 h ′(y ) = 1/5 1≤y ≤6 f Y (y ) = f X (h (y ))｜h ′(y )∣= 1 ×1/5 = 1/5 于是有 ?? ?≤≤=其他 615 /1)(y y f Y 1.6 设随机变量]b ,a [,,,21在n X X X ???上均匀分布，且互相独立。若∑== n 1 i i X Y ,求 （1）n=2时，随机变量Y 的概率密度。 （2）n=3时，随机变量Y 的概率密度。 解：n i b x a a b x f i i ,,2,101)(???=??? ? ?? ?≤≤-=其它 n=2时，)()()(2 1 y f y f y f X X Y *= 111)()()(21dx x y f x f y f X X Y ? ∞ ∞ --= ?-? -= b a dx a b a b 111 a b -= 1 随机信号分析实验报告 ——基于MATLAB语言 姓名： _ 班级： _ 学号： 专业： 目录 实验一随机序列的产生及数字特征估计 (2) 实验目的 (2) 实验原理 (2) 实验内容及实验结果 (3) 实验小结 (6) 实验二随机过程的模拟与数字特征 (7) 实验目的 (7) 实验原理 (7) 实验内容及实验结果 (8) 实验小结 (11) 实验三随机过程通过线性系统的分析 (12) 实验目的 (12) 实验原理 (12) 实验内容及实验结果 (13) 实验小结 (17) 实验四窄带随机过程的产生及其性能测试 (18) 实验目的 (18) 实验原理 (18) 实验内容及实验结果 (18) 实验小结 (23) 实验总结 (23) 实验一随机序列的产生及数字特征估计 实验目的 1.学习和掌握随机数的产生方法。 2.实现随机序列的数字特征估计。 实验原理 1.随机数的产生 随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。 在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。 (0,1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。(0,1)均匀分布指的是在[0,1]区间上的均匀分布， U(0,1)。即实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0,1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下： y0=1，y n=ky n(mod N) ? x n=y n N 序列{x n}为产生的(0,1)均匀分布随机数。 定理1.1若随机变量X 具有连续分布函数F x(x)，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有 X=F x?1(R) 2.MATLAB中产生随机序列的函数 (1)(0,1)均匀分布的随机序列函数：rand 用法：x = rand(m,n) 功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。 (2)正态分布的随机序列 函数：randn 用法：x = randn(m,n) 功能：产生m×n 的标准正态分布随机数矩阵。 如果要产生服从N(μ,σ2)分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。 (3)其他分布的随机序列 分布函数分布函数 二项分布binornd 指数分布exprnd 泊松分布poissrnd 正态分布normrnd 离散均匀分布unidrnd 瑞利分布raylrnd 均匀分布unifrnd X2分布chi2rnd 3.随机序列的数字特征估计 对于遍历过程，可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特征。这里我们假定随机序列X(n)为遍历过程，样本函数为x(n)，其中n=0,1,2,……N-1。那么， 电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____ 分钟 课程成绩构成：平时 %， 期中 %， 实验 %， 期末 % 本试卷试题由_____部分构成，共_____页。 计算、简答、论述、证明、写作等试题模板如下 一、若信号00()cos()X t X t ω=++Θ输入到如下图所示的RC 电路网络上， 其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Θ为[0,2]π上均匀分布的随机变量，并且0X 与 Θ彼此独立，Y (t )为网络的输出。（ 共10分） （1）求Y (t )的均值函数。(3分) （2）求Y (t )的功率谱密度和自相关函数。(4分) （3）求Y (t )的平均功率。(3分) 图 RC 电路网路 （1）RC 电路的传输函数为()1(1)H j j RC ωω=+ ()X t 的均值函数为 ∴ Y (t )的均值函数为 （2） ∴()X t 是广义平稳的。 ∴()X t 的功率谱为： 功率谱传递函数：22 1 |()|H j RC ωω= 1+（） 根据系统输入与输出信号功率谱的关系可得： 求()Y S ω的傅立叶反变换，可得： （3）2222 011 (0)328Y Y P R f R C ==++π 二、若自相关函数为()5()X R τδτ=的平稳白噪声X (t )作用于冲激响应为 ()e ()bt h t u t -=的系统，得到输出信号Y (t )。（ 共10分） （1）求X (t )和Y (t )的互功率谱()YX S ω和()XY S ω。(5分) （2）求Y (t )的矩形等效带宽。(5分) （1）1 ()() ()bt h t e u t H j b j ωω -=?= + （2） 2 2222 552() ()()2Y X b S S H j b b b ωωωωω=?= =?++，25(0)Y S b = 求()Y S ω的傅里叶反变换，得到()Y t 的自相关函数为： 5()2b Y R e b τ τ-= ，5(0)2Y R b = ∴ ()()()()20015/2202025/4 Y eq Y Y Y R b b B S d S S b ωωπ∞= ===?? 三、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布 的随机变量。（共10分） （1）确定4t π ω= 时随机变量()X t 的概率密度函数，并画出其图形；（4分） （2）当2t π ω =时，求()X t 的概率密度函数。（3分） （3）该信号是否严格平稳？（3分） 解：（1）随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示： 随机过程在不同时刻是不同的随机变量，一般具有不同的概率密度函数： 当4t πω= 时，()4X πω= ，0(;)240,X x f x others πω<< =?? （2分） 在,4i t ππωω =各时刻，随机变量()i X t 的概率密度函数图形如题解图(b) 所示： 1 10 3π π0 - 1 （2分） 实验一 随机序列的产生及数字特征估计 一、实验目的 1、学习和掌握随机数的产生方法； 2、实现随机序列的数字特征估计。 二、实验原理 1. 随机数的产生 随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。 在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。 (0，1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。(0，1)均匀分布指的是在[0，1]区间上的均匀分布，即U(0，1)。实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0，1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下： N y x N ky Mod y y n n n n /)) ((110===-， （1.1） 序列{}n x 为产生的(0，1)均匀分布随机数。 下面给出了上式的3组常用参数： (1) 7101057k 10?≈==，周期，N ； (2) （IBM 随机数发生器）8163110532k 2?≈+==，周期，N ； (3) （ran0）95311027k 12?≈=-=，周期，N ； 由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。 定理1.1 若随机变量X 具有连续分布函数F X (x)，而R 为(0，1)均匀分布随机变量，则有 )(1R F X x -= （1.2） 由这一定理可知，分布函数为F X (x)的随机数可以由(0，1)均匀分布随机数按上式进行变换得到。 2. MATLAB 中产生随机序列的函数 (1) (0，1)均匀分布的随机序列 函数：rand 用法：x = rand(m,n) 功能：产生m ×n 的均匀分布随机数矩阵。 (2) 正态分布的随机序列 函数：randn 用法：x = randn(m,n) 功能：产生m ×n 的标准正态分布随机数矩阵。 如果要产生服从2N(,)μσ分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。 1-9 已知随机变量X 的分布函数为 2 0,0(),01 1, 1X x F x kx x x ? 求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。 解： 第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1 第②问 {}{}{} ()() 0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=- 第③问 201 ()()0 X X x x d F x f x else dx ≤ 1-10已知随机变量X 的概率密度为()() x X f x ke x -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求： ①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()1 1 2 f x dx k ∞ -∞==? 第②问 {}()()()21 1221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=? 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。 {}{}()() 1 0101011 12 P X P X f x dx e -<<=<≤==-? 第③问 ()102 10 2 x x e x f x e x -?≤??=? ?>?? ()00()1100 2 2111010 2 22 x x x x x x x x F x f x dx e dx x e x e dx e dx x e x -∞ -∞---∞=??≤≤????==? ? ??+>->????? ??? H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 实验报告 课程名称：随机信号分析 院系：电子与信息工程学院班级： 姓名： 学号： 指导教师： 实验时间： 实验一、各种分布随机数的产生 （一）实验原理 1.均匀分布随机数的产生原理 产生伪随机数的一种实用方法是同余法，它利用同余运算递推产生伪随机数序列。最简单的方法是加同余法 )(mod 1M c y y n n +=+ M y x n n 1 1++= 为了保证产生的伪随机数能在[0,1]内均匀分布，需要M 为正整数，此外常数c 和初值y0亦为正整数。加同余法虽然简单，但产生的伪随机数效果不好。另一种同余法为乘同余法，它需要两次乘法才能产生一个[0,1]上均匀分布的随机数 )(mod 1M ay y n n =+ M y x n n 1 1++= 式中，a 为正整数。用加法和乘法完成递推运算的称为混合同余法，即 )(mod 1M c ay y n n +=+ M y x n n 1 1++= 用混合同余法产生的伪随机数具有较好的特性，一些程序库中都有成熟的程序供选择。 常用的计算语言如Basic 、C 和Matlab 都有产生均匀分布随机数的函数可以调用，只是用各种编程语言对应的函数产生的均匀分布随机数的范围不同，有的函数可能还需要提供种子或初始化。 Matlab 提供的函数rand()可以产生一个在[0,1]区间分布的随机数， rand(2,4)则可以产生一个在[0,1]区间分布的随机数矩阵，矩阵为2行4列。Matlab 提供的另一个产生随机数的函数是random('unif',a,b,N,M)，unif 表示均匀分布，a 和b 是均匀分布区间的上下界，N 和M 分别是矩阵的行和列。 2.随机变量的仿真 根据随机变量函数变换的原理，如果能将两个分布之间的函数关系用显式表达，那么就可以利用一种分布的随机变量通过变换得到另一种分布的随机变量。 若X 是分布函数为F(x)的随机变量，且分布函数F(x)为严格单调升函数，令Y=F(X)，则Y 必为在[0,1]上均匀分布的随机变量。反之，若Y 是在[0,1]上 均匀分布的随机变量，那么)(1 Y F X X -= 即是分布函数为FX(x)的随机变量。式中F X -?1 ()为F X ()?的反函数。这样，欲求某个分布的随机变量，先产生在[0,1]区间上的均匀分布随机数，再经上式变 换，便可求得所需分布的随机数。 3.高斯分布随机数的仿真 广泛应用的有两种产生高斯随机数的方法，一种是变换法，一种是近似法。 如果X1,X2是两个互相独立的均匀分布随机数，那么下式给出的Y1,Y2 随机信号分析习题二： 1. 设正弦波随机过程为 0()cos X t A w t = 其中0w 为常数；A 为均匀分布在[0,1]内的随机变量，即 1,01 ()0,others A a f a ≤≤?=? ? (1) 试求000 30, , , 44t w w w π π π =时，()X t 的一维概率密度； (2) 试求0 2t w π = 时，()X t 的一维概率密度。 2. 若随机过程()X t 为 (),X t At t =-∞<<+∞式中，A 为在区间[0,1]上均匀分布的随 机变量，求[()]E X t 及12(,)X R t t 。 3. 设随机振幅信号为 0()sin X t V w t = 其中0w 为常数；V 是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。 4. 设随机相位信号0()cos()X t a w t φ=+式中a 、0w 皆为常数， φ为均匀分布在[0,2]π上的随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。 5. 设()sin(),X t A w t t θ=+-∞<<+∞，()sin(),Y t B w t t θφ=++-∞<<+∞，其中 A ， B ，w ，φ为实常数，~[0,2]U θπ，试求(,)XY R s t 。 6. 数学期望为()5sin X m t t =、相关函数为2 210.5() 12(,)3t t X R t t e --=的随机信号()X t 输入 微分电路，该电路输出随机信号()()Y t X t = 。求()Y t 的均值和相关函数。 7. 设随机信号3()cos 2t X t Ve t =，其中V 是均值为5、方差为1的随机变量。现设新的 随机信号0 ()()t Y t X d λλ= ? 。试求()Y t 的均值、相关函数、协方差函数和方差。 8. 利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程 cos ,()2, t X t t π?=??出现正面 出现反面 4-4设有限时间积分器的单位冲激响应 h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数 ()() ()()() 2 222 1:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωωπ τττ∞ -∞??==????=-==??=*?思路 ()()()10()() 10()10[()(0.5)]()()10[()(0.5)] XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数 000 2 0.0 25 ()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)() 10()()()10()()10101100.55 [()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλ λλλλ μ∞ ∞ ∞∞ ==?====**-=*-=+=+=-=-=?=?==?????时域法 平均功是白噪声，，， 率面积法 ： 22 5 [()][()]5 Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率 ()h t 白噪声 () Y R τ ()()()2 14 12 24 2 22Y 2 (P1313711()2415()()()102 42411 5112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτ ττωωωωωωωωωωωπ π ωωπ - --∞ ∞ ∞ -∞∞--∞??--?? ??? ?? -???= ? ?? ???? === ? ? ???? ?? = ==??= ? ? ?? ?????P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法 ） 频()()22 20000 [()][()][()]5 Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =?=??=-=== P 交直流分量为平均功率：流 计算机与信息工程学院综合性实验报告 一、实验目的 1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。 2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、概率密度函数、相关函数及功率谱密度等。 3、掌握窄带随机过程的分析方法。 二、实验仪器或设备 1、一台计算机 2、MATLAB r2013a 三、实验内容及实验原理 基于随机过程的莱斯表达式 00()()cos ()sin y t a t t b t t ωω=- (3.1) 实验过程框图如下： 理想低通滤波器如图所示： 图1 理想低通滤波器 ()20 A H ?ω ?ω≤ ?ω=? ??其它 (3.2) 设白噪声的物理谱0=X G N ω（） ,则系统输出的物理谱为 2 2 0=()=20 Y X N A G H G ?ω ?0≤ω≤ ?ωωω???（）（） 其它 (3.3) 输出的自相关函数为: 01()()cos 2Y Y R G d τωωτωπ∞ = ? /22 1cos 2N A d ωωτωπ?=? (3.4) 2 0sin 242 N A ωτωωτπ ??=? ? 可知输出的自相关函数()Y R τ是一个振荡函数。计算高斯白噪声x(t)、限带白噪声()a t 、 ()b t 及窄带随机过程()y t 的均值，并绘出随机过程各个随机过程的自相关函数，功率谱密 度图形。 四、MATLAB 实验程序 function random(p,R,C) %产生一个p 个点的随机过程 %--------------------------高斯窄带随机过程代码--------------------------% n=1:p; w=linspace(-pi,pi,p); wn=1/2*pi*R*C; [b,a]=butter(1,wn,'low'); %产生低通滤波器 Xt=randn(1,p); %产生p 个点均值为0方差为1的随机数，即高斯白噪声 at=filter(b,a,Xt); %让高斯白噪声通过低通滤波器随机信号分析实验报告
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