《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19
2.
第一盒中有 4 个红球 6 个白球，第二盒中有 5 个红球 5 个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球， 求取到红球的概率。dvzfvkwMI1
§1 .7 贝叶斯公式
1．
某厂产品有 70%不需要调试即可出厂，另 30%需经过调试，调试后有 80%能出厂，求（1）该厂产品能 出厂的概率， （2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。rqyn14ZNXI
2． 将两信息分别编码为 A 和 B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作 B 的概率为 0.02， B 被误收作 A 的概率为 0.01，信息 A 与信息 B 传递的频繁程度为 3 : 2，若接收站收到的信息是 A，问 原发信息是 A 的概率是多少？EmxvxOtOco
§1 .8 随机事件的独立性
1. 电路如图，其中 A,B,C,D 为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为 p,求 L 与 R 为通路（用 T 表示）的概率。SixE2yXPq5 A L C D B R
3.
甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为 0.4,0.5 和 0.6，是否命中，相互独立， 求下列 概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。6ewMyirQFL
第 1 章作业答案
§1 .1 1： （1） S ? {HHH, HHT, HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT } ； （2） S ? {0, 1, 2： （1） A ? {1,
2, 3}
3, 5} B ? {3, 4, 5, 6} ；
（2） A ? { 正正，正反 }, B ? { 正正，反反 }, C ? { 正正，正反，反正}。 §1 .2 1： (1) ABC ；(2) ABC ；(3) A B C ；(4) A ? B ? C ；(5) AB ? AC ? BC ； (6) A B ? A C ? B C 或 ABC ? ABC ? ABC ? ABC ；
2： (1) A ? B ? {x : 1 ? x ? 4} ；(2) AB ? {x : 2 ? x ? 3}；(3) A B ? {x : 3 ? x ? 4} ；
2 / 19
（4） A ? B ? {x : 0 ? x ? 1或 2 ? x ? 5} ； （5） AB ? {x : 1 ? x ? 4} 。 §1 .3 1： (1) P( AB) =0.3, (2) P( A B) = 0.2, (3) P( A ? B) = 0.7. 2： P( AB) )=0.4.
2 8 10 10 1 9 8 10 10 1 9 10 §1 .4 1：(1) C8 ,(2)( ,(3)1-( C22 . C22 / C30 （C22 ? C8 C22 ? C82C22 ） / C30 ? C8 C22） / C30
2： P43 / 4 3 . §1 .5 1：. 2/6； 2： 1/4。 §1 .6 1： 设 A 表示第一人“中” ，则 P(A) = 2/10 设 B 表示第二人“中” ，则 P(B) = P(A)P(B|A) + P( A )P(B| A ) =
2 1 8 2 2 ? ? ? ? 10 9 10 9 10
两人抽“中‘的概率相同, 与先后次序无关。 2： 随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是 0.5，所求概率为： p = 0.5 × 0.4 + 0.5 × 0.5 = 0.45 §1 .7 1： （1）94% （2）70/94； 2： 0.993； §1 .8. 1： 用 A,B,C,D 表示开关闭合，于是 T = AB∪CD, 从而，由概率的性质及 A,B,C,D 的相互独立性 P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) = P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)
? p2 ? p2 ? p4 ? 2 p2 ? p4
2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38；kavU42VRUs (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.
第 2 章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量的概念，离散型随机变量
1 一盒中有编号为 1，2，3，4，5 的五个球，从中随机地取 3 个，用 X 表示取出的 3 个球 中的最大号码., 试写出 X 的分布律. 2 某射手有 5 发子弹，每次命中率是 0.4，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用 X 表示射 击的次数, 试写出 X 的分布律。y6v3ALoS89
§2.2
0 ? 1 分布和泊松分布
1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数 X 是服从λ =4 的泊松分布，求 (1)每分钟恰有 1 次呼叫的概率；(2)每分钟只少有 1 次呼叫的概率； (3)每分钟最多有 1 次呼叫的概率； 2 设随机变量 X 有分布律： X 2 3 , Y～π (X), 试求： p 0.4 0.6 （1）P(X=2,Y≤2)； (2)P(Y≤2)； (3) 已知 Y≤2, 求 X=2 的概率。
§2.3
1
贝努里分布
一办公室内有 5 台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为 0.6，计算机是否被使用相 互独立，问在同一时刻 M2ub6vSTnP (1) 恰有 2 台计算机被使用的概率是多少？ 3 / 19
(2) 至少有 3 台计算机被使用的概率是多少？ (3) 至多有 3 台计算机被使用的概率是多少？ (4) 至少有 1 台计算机被使用的概率是多少？ 2 设每次射击命中率为 0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于 0.9 ？
§2.4
随机变量的分布函数
x ? ?1 ? 0 ? 1 设随机变量 X 的分布函数是： F(x) = ?0.5 ? 1 ? x ? 1 ? 1 x ?1 ?
（1）求 P(X≤0 )； P ?0 ? X ? 1? ；P(X≥1)，(2) 写出 X 的分布律。
2 设随机变量 X 的分布函数是：F(x) = ?1 ? x
? Ax ? ? ?0
x?0 x?0
, 求（1）常数 A, (2) P ?1 ? X ? 2? .
§2.5
连续型随机变量
1 设连续型随机变量 X 的密度函数为： f ( x) ? ?
?kx 0 ? x ? 1 ?0 其 他
（1）求常数 k 的值； （2）求 X 的分布函数 F(x)，画出 F(x) 的图形， （3）用二种方法计算 P(- 0.5
(1)求 X 的密度函数 f ( x) ，画出 f ( x) 的图形，(2)并用二种方法计算 P(X>0.5).
§2.6
均匀分布和指数分布
4 / 19
1 设随机变量 K 在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 4 x + 4Kx + K + 2 = 00YujCfmUCw 有实根的概率。 2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从 ? ? 0.2 的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试 求你等待： （1）超过 10 分钟的概率； （2）10 分钟 到 20 分钟的概率。eUts8ZQVRd
2
§2.7
正态分布
P(X>3)；sQsAEJkW5T
1 随机变量 X～N (3, 4), (1) 求 P(2
随机变量函数的分布
X p 0 0.3 1 0.4 2 0.3
1 设随机变量 X 的分布律为；
Y = 2X – 1, 求随机变量 X 的分布律。
2 设随机变量 X 的密度函数为： f ( x) ? ?
?2(1 ? x) 0 ? x ? 1 ， 其 他 ?0
Y ? X 2 ；求随机变量 Y 的密度函数。
3. 设随机变量 X 服从（0， 1）上的均匀分布， Y ? ?2 ln X ，求随机变量 Y 的密度函数。
第 2 章作业答案 §2.1 1： X 3
p 0.1 0.3
4 0.6
5
2： X 1 2 3 4 5 TIrRGchYzg p 0.4 0.6× 0.4 0.6× 0.6× 0.4 0.6× 0.6× 0.6× 0.4 0.6× 0.6× 0.6× 0.6× 17EqZcWLZNX §2.2 1： (1) P(X = 1) = P(X≥1) – P(X≥2) = 0.981684 – 0.908422 = 0.073262,lzq7IGf02E
5 / 19
(2) P(X≥1) = 0.981684, (3) P(X≤1) = 1 - P(X≥2) = 1 – 0.908422 = 0.091578。 2：(1) 由乘法公式：
P(X=2,Y≤2) = P(X=2) P(Y≤2 | X=2)= 0.4× ( e
?2
? 2e ?2 ? 2e ?2 )= 2 e ?2
（2）由全概率公式：P(Y≤2) = P(X=2) P(Y≤2 | X=2) + P(X=3) P(Y≤2 | X=3)zvpgeqJ1hk = 0.4× 5e
?2
+ 0.6×
17 ?3 e = 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 2
（3）由贝叶斯公式：P(X=2|Y≤2)=
P( X ? 2, Y ? 2) 0.27067 ? ? 0.516 P(Y ? 2) 0.52458
§2.3 1： 设 X 表示在同一时刻被使用的台数，则 X ～B(5, 0.6),
2 (1) P( X = 2 ) = C5 0.6 2 0.43 3 4 (2) P(X ≥3 ) = C5 0.630.4 2 ? C5 0.6 4 0.4 ? 0.65
4 (3) P(X ≤3 ) = 1 - C5 0.64 0.4 ? 0.65
(4)P(X ≥1 ) = 1 - 0.4
5
2： 至少必须进行 11 次独立射击.
§2.4 1： （1）P(X≤0 )=0.5； P ?0 ? X ? 1? = 0.5；P(X≥1) = 0.5，
(2) X 的分布律为： X P -1 0.5 1 0.5
2： (1) A = 1,
(2) P ?1 ? X ? 2? =1/6
x?0 0 ? x ?1； x ?1
0 0.5 ? 0.5 0
?0 ? 2 §2.5 1： （1） k ? 2 ， （2） F ( x ) ? ? x ?1 ?
（3）P(- 0.5
0.5
? 0.5
f ( x)dx ? ? 0dx ? ? 2 xdx ? 1 1 ?0 ? 。 4 4
1 ； 4
或= F(0,5) – F(-0.5) = 2： （1） f ( x) ? ?
?1 / x 1 ? x ? e （2） P( X ? 2) ? 1 ? ln 2 其 他 ?0
?2
§2.6
1：
3/5
2： (1) e
(2) e ?2 ? e ?4
2：σ ≤31.25。NrpoJac3v1
§2.7 1：(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5；(2) c = 3， §2.8 1： Y -1 1 3
p 0.3 0.4 0.3
? 1 ?1 ?y / 2 (1 ? y ) 0 ? y ? 1 ? ? e 2： f Y ( y ) ? ? y ， 3： f Y ( y) ? ? 2 ?0 ? 其 他 ?0 ?
y ? 0； y?0
6 / 19
第 3 章 多维随机变量
§3.1
1.
二维离散型随机变量
设盒子中有 2 个红球，2 个白球，1 个黑球，从中随机地取 3 个，用 X 表示取到的红球个数，用 Y 表示 取到的白球个数，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。1nowfTG4KI
2. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律为： X Y 试根椐下列条件分别求 a 和 b 的值； (1) P( X ? 1) ? 0.6 ； (2) P( X ? 1 | Y ? 2) ? 0.5 ； 0 1
0 0.1 0.1
1 0.2 b
2 a 0.2fjnFLDa5Zo
(3)设 F ( x) 是 Y 的分布函数， F (1.5) ? 0.5 。
§3.2
1.
二维连续型随机变量
?k ( x ? y) 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 ( X、Y ) 的联合密度函数为： f ( x, y) ? ? 其 他 ? 0
求（1）常数 k； （2）P(X<1/2,Y<1/2)；(3) P(X+Y<1)；(4) P(X<1/2)。tfnNhnE6e5
2． ( X、Y ) 的联合密度函数为： f ( x, y) ? ?
?kxy 0 ? x ? 1, 0 ? y ? x 其 他 ?0
求（1）常数 k； （2）P(X+Y<1)；(3) P(X<1/2)。
§3.3
边缘密度函数
1 ? (1 ? x 2 )(1 ? y 2 )
2
1. 设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求 X 与 Y 的边缘密度函数。
f ( x, y) ?
? ? ? x ? ??, ? ? ? y ? ??
2.
设(X, Y) 的联合密度函数如下，分别求 X 与 Y 的边缘密度函数。
?e ? x f ( x, y ) ? ? ?0
0? y? x 其 他
§3.4
随机变量的独立性
7 / 19
1. (X, Y) 的联合分布律如下， 试根椐下列条件分别求 a 和 b 的值； (1) P(Y ? 1) ? 1 / 3 ；
X Y 1 2
1 1/6 a
2 1/9 b
3 1/18 1/9
(2) P( X ? 1 | Y ? 2) ? 0.5 ； （3）已知 X 与 Y 相互独立。
2. (X,Y) 的联合密度函数如下，求常数 c，并讨论 X 与 Y 是否相互独立？
2 ?c x y 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 f ( x, y ) ? ? 其 他 ?0
第 3 章作业答案
§3.1 X Y 1 2 2： (1) a=0.1 b=0.3HbmVN777sL 1 0.4 0.3 0.7 (2) a=0.2 b=0.2 2 0.3 0. 0.3 (3) a=0.3 b=0.1 0.7 0.3 1 §3.2 1：(1) k = 1；(2) P(X<1/2, Y<1/2) = 1/8；(3) P(X+Y<1) = 1/3；(4) P(X<1/2) = 3/8。V7l4jRB8Hs 2：(1) k = 8；(2) P(X+Y<1) = 1/6；(3) P(X<1/2) = 1/16。83lcPA59W9 §3.3 1： 1：
f X ( x) ? ? f Y ( y) ? ?
??
?? ??
1 2 dy ? 2 2 ? (1 ? x )(1 ? y ) ? (1 ? x 2 )
2
? ? ? x ? ?? ；
1 2 dx ? 2 2 ?? ? (1 ? x )( 1? y ) ? (1 ? y 2 )
2
? ? ? y ? ?? ；
2：
?xe? x f X ( x) ? ? ?0
x?0 x?0
；
?e ? y f Y ( y) ? ? ?0
y?0 y?0
；
mZkklkzaaP
§3.4 1： （1）a=1/6 b=7/18； (2) a=4/9 b=1/9； （3）a = 1/3, b = 2/9。 2： c = 6, X 与 Y 相互独立。
第 4 章 随机变量的数字特征
§4.1 数学期望
1．盒中有 5 个球，其中 2 个红球，随机地取 3 个，用 X 表示取到的红球的个数，则 EX 是： （A）1； （B）1.2； （C）1.5； （D）2.
2
? 3x 2 ? 设 X 有密度函数： f ( x) ? ? 8 ?0 ?
望 E ( X ) 的概率。
2? x?4 其 他
,
求 E ( X ), E ( 2 X ? 1), E (
1 ) ,并求 X 大于数学期 X2
8 / 19
3. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律为： X Y 已知 E ( XY ) ? 0.65， 0
0 0.1
1 0.2
2 a
则 a 和 b 的值是： 1 0.1 b 0.2AVktR43bpw （A）a=0.1, b=0.3； （B）a=0.3, b=0.1； （C）a=0.2, b=0.2； （D）a=0.15, b=0.25。ORjBnOwcEd
4．设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下：求 EX , EY , E ( XY ? 1) 。
? xy 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2 f ( x, y) ? ? 他 ?0 其
§4.2
数学期望的性质
0 1 2 3 0.4 （D）4. 则 E ( X 2 ? 2 X ? 3) 是：
1．设 X 有分布律： X
（A）1；
p 0.1 （B）2；
0.2 0.3 （C）3；
?5 ? y x2 ? y ? 1 f ( x , y ) ? 2. 设 ( X , Y ) 有 ，试验证 E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ，但 X 与 Y 不 ?4 ? 其 他 ?0
相互独立。
§4.3
方差
1．丢一颗均匀的骰子，用 X 表示点数，求 EX , DX .
2． X 有密度函数： f ( x) ? ?
?( x ? 1) / 4 ?0
0? x?2 其 他
，求 D(X).
9 / 19
§4.4
常见的几种随机变量的期望与方差
1． 设 X ~ ? (2) , Y ~ B(3, 0.6) ,相互独立，则 E( X ? 2Y ), D( X ? 2Y ) 的值分别是： 3． -1.6 和 4.88； （B）-1 和 4； （C）1.6 和 4.88； （D）1.6 和-4.88.
2. 设 X ~ U (a, b), Y ~ N (4, 3) ， X 与 Y 有相同的期望和方差，求 a, b 的值。 （A） 0 和 8； （B） 1 和 7； （C） 2 和 6； （D） 3 和 5.
§4.6
独立性与不相关性
矩
1．下列结论不正确的是（ ） （A） X 与 Y 相互独立，则 X 与 Y 不相关； （B） X 与 Y 相关，则 X 与 Y 不相互独立； （C） E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ，则 X 与 Y 相互独立； （D） f ( x, y) ? f X ( x) f Y ( y) ，则 X 与 Y 不相关； 2．若
COV ( X , Y ) ? 0 ，则不正确的是（
）
（A） E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ； （B） E ( X ? Y ) ? E ( X ) ? E (Y ) ； （C） D( XY ) ? D( X ) D(Y ) ； （D） D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) ； 3． （ X , Y ）有联合分布律如下，试分析 X 与 Y 的相关性和独立性。 X －1 0 1 Y －1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 ） 1 1/8 1/8 1/8 .
4． E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) 是 X 与 Y 不相关的（
（A）必要条件； （B）充分条件： （C）充要条件； （D）既不必要，也不充分。 5. E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) 是 X 与 Y 相互独立的（ ）
3．必要条件； （B）充分条件： （C）充要条件； （D）既不必要，也不充分。 6. 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下：试验证 X 与 Y 不相关，但不独立。 10 / 19
?21x 2 y / 4 x 2 ? y ? 1 f ( x, y) ? ? 其 他 ?0
第 4 章作业答案
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4 §4.5 §4.6 1： B； 2：3/2, 2, 3/4, 37/64； 3： D； 4： 2/3，4/3，17/9；2MiJTy0dTT 1： D； 1：7/2, 35/12； 2：11/36； 1：A； 2： B； 1：0.2， 0.355； 2：－1/144, －1/11； 1：C； 2：C； 3： X 与 Y 不相关，但 X 与 Y 不相互独立；4：C；5：A；
第 5 章 极限定理
*§5.1 大数定理 §5.2 中心极限定理
3.
一批元件的寿命（以小时计）服从参数为 0.004 的指数分布，现有元件 30 只，一只在用，其余 29 只 备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求 30 只元件至少能使用一年（8760 小时）的近似概率。gIiSpiue7A
4.
某一随机试验， “成功”的概率为 0.04，独立重复 100 次，由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成 功”6 次的概率的近似值。uEh0U1Yfmh
第 5 章作业答案
§5.2 2：0.1788； 3：0.889， 0.841；
第 6 章 数理统计基础
§6.1
1．
数理统计中的几个概念
，
有 n=10 的样本；1.2， 1.4， 1.9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8， 1.4，则样本均值 X = 样本均方差 S ?
2
，样本方差 S ?
2
。IAg9qLsgBX 。
2．设总体方差为 b 有样本 X 1 , X 2 ,?, X n ，样本均值为 X ，则 Cov( X 1 , X ) ?
§6.2
数理统计中常用的三个分布
，
2 ?0 .1 (5) =
1. 查有关的附表，下列分位点的值： Z 0.9 =
2
， t 0.9 (10) =
。
2．设 X 1 , X 2 ,?, X n 是总体 ? (m) 的样本，求 E( X ),
D( X ) 。
§6.3
一个正态总体的三个统计量的分布
11 / 19
1．设总体 X ~ N (?, ? 2 ) ，样本 X 1 , X 2 ,?, X n ，样本均值 X ，样本方差 S ，则
2
X ??
?/ n
1
n
~
，
X ?? ~ S/ n
，
，
?
2
?(X
i ?1
i
? X )2 ～
1
?
2
?(X
i ?1
n
i
? ?)2 ～
，
第 6 章作业答案
§6.1 §6.2 1． x ? 1.57,
s ? 0.254, s 2 ? 0.0646； 2. Cov( X 1 , X ) ? b 2 / n ；
2． E( X ) ? m,
1．-1.29， 9.236， -1.3722；
D( X ) ? 2m / n ；
§6.3 1. N (0, 1), t (n ? 1),
? 2 (n ? 1), ? 2 (n) ；
第 7 章 参数估计
§7.1 矩估计法和顺序统计量法
? ? ?x ? ?0
? ?1
1.设总体 X 的密度函数为： f ( x) ? ? 计。
0 ? x ?1 其 他
，有样本 X 1 , X 2 ,?, X n ，求未知参数 ? 的矩估
2.每分钟通过某桥量的汽车辆数 X ~ ? (? ) ，为估计 ? 的值，在实地随机地调查了 20 次，每次 1 分钟，结 果如下：次数： 2 3 4 5 量数： 9 5 试求 ? 的一阶矩估计和二阶矩估计。 6 3
WwghWvVhPE
7
4
§7.2
极大似然估计
? ?( ? ? 1) x ? ?0
?
1.设总体 X 的密度函数为： f ( x) ? ? 极大似然估计。
0 ? x ?1 其 他
，有样本 X 1 , X 2 ,?, X n ，求未知参数 ? 的
§7.3
估计量的评价标准
? ? 2 X ? 1 是 a 的无偏估计。 3. 设总体 X 服从区间 (a, 1) 上的均匀分布，有样本 X 1 , X 2 ,?, X n ，证明 a
4. 设总体 X ～ ? (? ) ，有样本 X 1 , X 2 ,?, X n ，证明 a X ? (1 ? a)S 2 是参数 ? 的无偏估计（ 0 ? a ? 1 ） 。
§7.4
1.
参数的区间估计
测量其纤度为： 1.36， ? 2 ) ,抽取 9 根纤维，
2
纤度是衡量纤维粗细程度的一个量， 某厂化纤纤度 X ~ N (? ,
1.49， 1.43， 1.41， 1.27， 1.40， 1.32， 1.42， 1.47， 试求 ? 的置信度为 0.95 的置信区间， （1） 若?
? 0.0 4 8
2
,
12 / 19
（2）若 ? 未知 asfpsfpi4k
2
2.
2. 为分析某自动设备加工的另件的精度，抽查 16 个另件，测量其长度，得 x ? 12.075㎜，s = 0.0494 ㎜, 设另件长度 X ~ N ( ? , ? 2 ) ,取置信度为 0.95 ， （1） 求 ? 的置信区间， （2） 求 ? 的置信区间。 ooeyYZTjj1
2
第 7 章作业答案
§7.1 1： (
X 2 ) ； 1? X
n
2： 5， 4.97；
§7.2 1： (
? ln X
i ?1
n
? 1) 2 ；
i
§7.3 §7.4
1： （1.377，1.439） ， （1.346，1.454） ； 2： （0.0013，0.0058） ；(0.036, 0.076)BkeGuInkxI
第8章
§8.1
假设检验
假设检验的基本概念
400) ,随机抽取 25 个元件，测得平均电阻值 x ? 992，
, 1. 某种电子元件的阻值（欧姆） X ~ N (1000
试在 ? ? 0.1下检验电阻值的期望 ? 是否符合要求？
2 2. 在上题中若 ? 未知，而 25 个元件的均方差 s ? 25 ，则需如何检验，结论是什么？
§8.2
假设检验的说明
X ~ N (? , 64) ,品质管理部规定在进入下一工序前必需对该质
1. 设第一道工序后，半成品的某一质量指标
量指标作假设检验 H 0 : ? ? ? 0 ， H1 : ? ? ? 0 ； n ? 16 ，当 X 与 ? 0 的绝对偏差不超过 3.29 时，许进入 下一工序，试推算该检验的显著性水平。PgdO0sRlMo
§8.3
一个正态总体下参数的假设检验
1. 成年男子肺活量为 ? ? 3750毫升的正态分布，选取 20 名成年男子参加某项体育锻练一定时期后，测定 他们的肺活量，得平均值为 x ? 3808毫升，设方差为 ? （取 ? ? 0.02 ）？3cdXwckm15
2
? 1202 ，试检验肺活量均值的提高是否显著
第 8 章作业答案
§8.1 §8.2 §8.3 1：拒绝 H 0 : ? ? 1000； 1：0.1； 1：拒绝 H 0 ； 13 / 19 2： 接受 H 0 : ? ? 1000；
14 / 19
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2011 ~2012 学年第一学期《概率论与数理统计》考试试题A卷班级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： --------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 ----------------------- ---- 线 -------------------------------------------- ----- （答题不能超出密封线） 使用班级（老师填写）：数学09-1,3班可以普通计算器 题号一二三四五六七八九总分得分 阅卷 人 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填 在括号中） （本大题共 11 小题，每小题2分，总计 22 分） 1、设A,B为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是(C ). A.P) B.,其中P(B)>0 C. D. 2、为一列随机事件,且,则下列叙述中错误的是(D ). A.若诸两两互斥,则 B.若诸相互独立,则 C.若诸相互独立,则 D. 3、设有个人,,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均 等的,则此个人中至少有某两个人生日相同的概率为( A ). A. B. C. D. 4、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且则的值为( B ）. A. B. C. D.. 解：由于X服从参数为的泊松分布，故.又故，因此 5、设随机变量X的概率密度函数为的密度函数为(B ). A. B. C. D. 解：这里，处处可导且恒有，其反函数为，直接套用教材64页的公式（5.2），得出Y的密度函数为 6、若,且X,Y相互独立,则( C ). A. B.
数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材：四川大学数学学院邹述超、何腊梅：《概率论与数理统计》，高等教育出版社出，2002年8月。 参考书：袁荫棠：《概率论与数理统计》（修订本），中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室：《概率论与数理统计学习指导》 总学时：60学时，其中：讲课50学时，习题课10学时。 学分：3学分。 说明： 1.生源结构：数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生（如：旅游管理，行政管理），有些专业约占1/4～1/3的理科生（国贸，财政学，经济学），有些专业全是理科生（如：国民经济管理，金融学）。 2.高中已讲的内容：高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率，即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外，其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布（包括二项分布、几何分布）和离散型随机变量的期望与方差，统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求：学生的数学基础差异大，不同专业学生对数学课重视程度的差异大，这就给讲授这门课带来一定的难度，但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解，学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时，既要照顾数学基础差的学生，多举基本例子，使他们掌握大纲要求的基本概念和方法；也要照顾数学基础好的学生，使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程（如：计量经济学），将用到较多的概率统计知识；还有一部分学生要考研，数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法，习题(A)是针对基本方法的训练而编写的，因此，这一部分内容须重点讲解，并要求学生必须掌握；每一章的最后一节是综合例题，习题(B)具有一定的综合性和难度，可以选讲部分例题，数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时)： 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性，独立随机试验、
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.
模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为
5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：
概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。
第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它
概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．
<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率
为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，
《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号：450006 课程名称：概率论与数理统计 课程类别：公共基础课（必修） 学时学分：理论48学时/3学分 适用专业：计算机、自动化、经管各专业 开课学期：第一学期 先修课程：高等数学 后续课程： 执笔人： 审核人： 制（修）订时间：2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 （一）概率论的基本概念
1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念，掌握事件的关系与运算，掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念； ② 加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。 （2）教学难点 ① 古典概型的有关计算；② 全概率公式的应用； ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式，以课堂讲授为主，课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学，学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 （1）理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念；熟练掌握事件的关系及运算 （2）理解频率和概率定义；熟练掌握概率的基本性质 （3）理解等可能概型的定义性质；,会计算等可能概型的概率 （4）理解条件概率的定义；熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式（5）理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 （二）随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念；理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质，会利用性质确定分布律和概率密度；理解分布函数的概念及性质，会利用此概念和性质确定分布函数，会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布，会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念； ② 离散型随机变量分布律的求法；
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??
8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<??
概率论与数理统计复习题--带答案
;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；
9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000
《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的
进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配
概率论与数理统计 答案 一．1．（D ）、2.（D ）、3.（A ）、4.（C ）、5.（C ） 二．1．0.85、2. n =5、3. 2 ()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4 三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分 （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P (A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5 分 (2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有 302415=C C 种方法----------------------------------------------------7 分 4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故 125 72625360)(== B P --------------------------------------------------10分 四．解：（1） ?? ∞∞-==+=3 04ln 1,4ln 1)(A A dx x A dx x f ---------------------3分 （2）? ==+=<10 212ln 1)1(A dx x A P ξ-------------------------------6分 （3）3 300()()[ln(1)]1Ax E xf x dx dx A x x x ξ∞-∞= ==-++?? 13(3ln 4)1ln 4ln 4 =-=-------------------------------------10分 五．解：（1）ξ的边缘分布为 ??? ? ??29.032.039.02 1 0--------------------------------2分 η的边缘分布为 ??? ? ??28.034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分 因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ,故ξ与η不相互独立-------5分 （2）ξη?的分布列为
《概率论与数理统计》课程重点与难点要记 第一章：随机事件及其概率 题型一：古典概型 1．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，求最小号码为5的概率，及最大号码是5的概率。 2．设袋中有5个白球，3个黑球，从袋中随机摸取4个球，分别求出下列事件的概率： 1）采用有放回的方式摸球，则四球中至少有1个白球的概率； 2）采用无放回的方式摸球，则四球中有1个白球的概率。 3．一盒子中有10件产品，其中4件次品，每次随机地取一只进行检验， 1）求第二次检验到次品的概率； 2）求第二才次检验到次品的概率。 4．在1－2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除 的概率是多少？（合理的设置事件，通过概率的性质解题也很重要） 课后习题：P16：2，3，4，5， 7，9，10，11，12，13，14 P30：8，9，10，16 题型二：利用条件概率、乘法公式及事件的独立性计算事件的概率 1。3人独立去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1/5、1/4、1/3，问能将此密码译出的概率。 2。设口袋有2n-1只白球，2n 只黑球，一次取出n 只球，如果已知取出的球都是同一种颜色，试计算该颜色是黑色的概率。 3。设袋中装有a 只红球，b 只白球，每次自袋中任取一只球，观察颜色后放回，并同时放入m 只与所取出的那只同色的球，连续在袋中取球四次，试求第一、第二次取到红球且第三次取到白球，第四次取到红球的概率。 课后习题：P23：1，2，3，4，6，10，11 P28：1，2，4，5，6，7，9，10，12， 13 题型三：全概率与贝叶斯公式 1．在一个每题有4个备选答案的测验中，假设有一个选项是正确的，如果一个学生不知道问题的正确答案，他就作随机选择。知道正确答案的学生占参加测验者的90%，试求： （1）学生回答正确的概率； （2）假如某学生回答此问题正确，那么他是随机猜出的概率。 2．一通讯通道，使用信号“0”和“1”传输信息。以A 记事件收到信号“1”，以B 记事件发出信号“1”。已知()0.4,(/)0.95,(/)0.90P B P A B P A B ===。 1）求收到信号“1”的概率？ 2）现已收到信号“1”，求发出信号是“1”的概率？ 课后习题：P23：7，8，9，12 P31：19，26，27，28 第二章：随机变量及其分布 题型一：关于基本概念：概率分布律、分布函数、密度函数 1．一房间有三扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了
概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9 5 )1(= ≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本，则统计量∑==n 1 i i X Y 服从 分布。 6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。（按下侧分位数） 二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、 若A 与自身独立，则（ ） (A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0< 第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数 一、随机变量 随机试验的结果是事件，就“事件”这一概念而言，它是定性的。要定量地研究随机现象，事件的数量化是一个基本前提。很自然的想法是，既然试验的所有可能的结果是知道的，我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值，在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系，从而对一个随机试验进行定量的描述。 例2-1 将一枚硬币掷一次，观察出现正面H、反面T的情况。这一试验有两个结果：“出现H”或“出现T”。为了便于研究，我们将每一个结果用一个实数来代表。比如，用数“1”代表“出现H”，用数“0”代表“出现T”。这样，当我们讨论试验结果时，就可以简单地说成结果是1或0。建立这种数量化的关系，实际上就相当于引入一个变量X，对于试验的两个结果，将X的值分别规定为1或0。如果与样本空间 { } {H,T}联系起来，那么，对于样本空间的不同元素，变量X可以取不同的值。因此，X是定义在样本空间上的函数，具体地说是 1,当 H X X( ) 0,当 T 由于试验结果的出现是随机的，因而X(ω)的取值也是随机的，为此我们称 X( )X(ω)为随机变量。 例2-2 在一批灯泡中任意取一只，测试它的寿命。这一试验的结果（寿命）本身就是用数值描述的。我们以X记灯泡的寿命，它的取值由试验的结果所确定，随着试验结果的不同而取不同的值，X是定义在样本空间 {t|t 0}上的函数 X X(t) t,t 因此X也是一个随机变量。一般地有 定义2-1 设 为一个随机试验的样本空间，如果对于 中的每一个元素 ，都有一个实数X( )与之相对应，则称X为随机变量。 一旦定义了随机变量X后，就可以用它来描述事件。通常，对于任意实数集合L,X在 L上的取值，记为{X L}，它表示事件{ |X( ) L}，即 。 {X L} { |X( ) L} 例2-3 将一枚硬币掷三次，观察出现正、反面的情况。设X为“正面出现”的次数，则X是一个随机变量。显然，X的取值为0，1，2，3。X的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。 表2-1 表2-1 概率论与数理统计课程总结报告——概率论与数理统计在日常生活中的应用 姓名： 学号： 专业：电子信息工程 摘要：数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。概率论与 数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛，近些年来，概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学，心理学，遗传学等学科中，另外在我们的日常生活之中，赌博，彩票，天气，体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。本文着眼于概率论与数理统计在我们生活中的应用，通过前半部分对概率论与数理统计的一些基本知识的介绍，包括概率的基本性质，随机变量的数字特征及其分布，贝叶斯公式，中心极限定理等，结合后半部分的事例分析讨论了概率论与数理统计在我们生活中的指导作用，可以说，概率论与数理统计是如今数学中最活跃，应用最广泛的学科之一。 关键词：概率论 数理统计 经济生活 随机变量 贝叶斯公式 基本知识 §1.1 概率的重要性质 1.1.1定义 设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率。 概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P （3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） 1.1.2 概率的一些重要性质 （i ） 0)(=φP （ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） （iii ）设A ，B 是两个事件若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率） （vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=? . 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥= 10 αμ-= ，由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域）概率论与数理统计课本_百度文库
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概率论与数理统计教程(魏宗舒)第七章答案
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