第一章 事件与概率
1．写出下列随机试验的样本空间。
（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数
（设以百分制记分）。
（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产
品的总件数。
（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上
“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品
就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的
结果。
（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。
（6）实测某种型号灯泡的寿命。
解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。
（2）}18,,4,3{ =Ω。
（3）},11,10{ =Ω。
（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，
1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中
0表示次品，1表示正品。
（5）=Ω{(x,y)| 0 （6）=Ω{ t | t ≥ 0}。 2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关 系表示下列各事件，。 （1）A 发生，B 与C 不发生。 （2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?， 则Φ=BC 解 : (1) 成立，因为 B A B B B A B B A ==))((。 (2) 不成立，因为B A B A AB ≠+=。 (3) 成立， AB B B AB AB B A B =∴??∴?,,,又 。 (4) 成立。 (5) 不成立，因左边包含事件C ，右边不 包含事件C ，所以不成立。 (6) 成立。因若BC ≠φ，则因C ?A ，必 有BC ?AB ，所以AB ≠φ与已知矛 盾，所以成立。 图略。 4．简化下列各式： （1） ))((C B B A ++（2） ))((B A B A ++（3）))()((B A B A B A +++ 解:（1）BC B AC AB C B B A +++=++))((，因为 B B C AB ?+， 所以，AC B C B B A +=++))((。 （2）B B BA B A A B A B A +++=++))((，因 为A A BA B A =Ω=+， Φ=B B 且C C =Φ+，所以 ))((B A B A ++A =。 （3） ) )()((B A B A B A +++AB AB B A A =+Φ=+=)(。 5．设A ，B ， C 是三事件，且P （A ）＝P （B ）＝ P （C ）＝41， ,81)(,0)()(===AC P BC P AB P 求A ，B ，C 至 少有一个发生的概率。 解∵ABC ?AB ∴0∠P(ABC)∠P(AB)=0，故 P(ABC)=0 ∴所求概率为 P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 8700810214141=+---++ 6．从1、2、3、4、5这5个数中，任取其三，构 成一个三位数。试求下列事件的概率： （1）三位数是奇数；（2）三位数为5的倍数； （3）三位数为3的倍数；（4）三位数小于350。 解设A 表示事件“三位数是奇数”， B 表示事件“三 位数为5的倍数”， C 表示事件“三位数为3的倍数”， D 表示 事件“三位数小于350”。 基本事件总数为3 5A V =Ω， (1) 6.060363)(,335 2424==?=?=A A A P A V A ； (2) 2.060121)(,135 2424==?=?=A A B P A V B ； (3) 4.06024!34)(,!3435 ==?=?=A A P V C ； (4) 55.060332)(, 235 131324131324==?+?=?+?=A A A A D P A A A V D 。 7．某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、 黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交贷人 随意将这些油漆发给顾客。问一个定货4桶白漆、3桶 黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的 概率是多少？ 解随机试验E 为任意取9桶交与定货人，共有 917C 种交货方式。其中符合定货要求的有410C ·34C ·23C 种， 故所求概率为 2431252917 2334410==C C C C P 8．在1700个产品中有500个次品、1200个正品。 任取200个。（1）求恰有90个次品的概率；（2）求至 少有2个次品的概率。 解（1）试验E 为1700个产品中任取200个，共有 2001700C 种取法，其中恰有90个次品的取法为90500C ·1101200C ， 故恰有90个次品的概率为 20017001101200905001C C C P ?= （2）设事件A 表示至少有2个次品，B 表示恰有 1个次品，C 表示没有次品，则A=S-(B ∪C)，且BC= φ，B ∪C ?S ∴P(A)=P[S-(B ∪C)]=P(S)-[P(B)+P(C)]20017002001200199120015001C C C C +?-= 9．把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三 本书放在一起的概率。 解 V Ω=P 10=10！，设所论事件为A ，则 V A =8！×3！067.0!10!3!8)(≈?=∴A P 10．从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中 至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？ 解V Ω=C 410，设A 表示事件“4只鞋中至少有2只配 成一双”，则 A 表示“4只鞋中没有2只能配成一双”。 先求出P(A )，再求P(A)。 有利于A 的情形共有!44 6810???种（因为不考虑 取4只鞋的次序，所以被4！除）。 381.021 8!446810)(410≈=???∴C A P 故619.021132181)(1)(≈=- =-=A P A P 另一解法：有利于事件A 的总数为 )(25252815是重复的数目 C C C C - 619.02113)(410252815≈=-=∴C C C C A P 11．将3鸡蛋随机地打入5个杯子中去，求杯子中 鸡蛋的最大个数分别为1，2，3的概率。 解依题意知样本点总数为53个。 以A i (i=1, 2, 3)表示事件“杯子中鸡蛋的最大个数为 i ”，则A 1表示每杯最多放一只鸡蛋，共有35A 种放法， 故 25125)(3351==A A P A 2表示由3个鸡蛋中任取2个放入5个杯中的任一 个中，其余一个鸡蛋放入其余4个杯子中，放法总数为 141523C C C 种 25125)(3 1415232=??=C C C A P A 3表示3个鸡蛋放入同一个杯中，共有1 5C 种放 法，故 2515)(3153==C A P 12．把长度为a 的线段在任意二点折断成为三线段， 求它们可以构成一个三角形的概率。 解设所论事件为A ，线段a 被分成的三段长度分别 用x ，y 和a-x-y 表示，则样本空间Ω为：0＜x ＜a ，0 ＜y ＜a ，0＜x+y ＜a ，其面积为 ,2)(2 a L =Ω而有利于A 的情形必须满足构成三角形的条件，即 .2,20,20a y x a a y a x <+<<<< < 其面积为 ,)2 (21)(2a A L =25.04121)2(21)()()(22===Ω=∴a a L A L A P 。 13．甲乙两艘轮船要在一个不能同时停泊两艘轮船 的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。 若甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小 时，求它们中任何一艘都不需等候码头空出的概率。 解设自当天0时算起，甲乙两船到达码头的时刻分 别为x 及y ，则Ω为：0≤x ≤24，0≤y ≤24，∴L(Ω)=242， 设所论事件为A ，则有利于A 的情形分别为： （1）当甲船先到时，乙船应迟来一小时以上， 即y-x ≥1或y ≥1+x ； （2）当乙船先到时，甲船应迟来两小时以上， 即x-y ≥2或y ≤x-2； ∴事件A 应满足关系：y ≥1+x ，y ≤x-2， L(A) 22)224(21)124(21-+-= 879.024)2223(21)()()(222≈+=Ω=∴L A L A P 。 14．已知 ,21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P 求)(),(B A P B P 。 解由乘法公式知 1214131)()|()(=?= =A P A B P AB P )()|()(B P B A P AB P = ∴ 612/112/1)|()()(===B A P AB P B P ∴311216141)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P 15．已知在10只晶体管中有2只次品，在其 中取两次，每次任取一只，作不放回抽样。求下列事件 的概率。 （1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一 只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品。 解设以A i (i=1,2)表示事件“第i 次取出的是正品“， 因为不放回抽样，故 （1） 452897108)|()()(12121=?= =A A P A P A A P （2）45191102)|()()(12121=?==A A P A P A A P （3） 45169810292108)|()()|()() ()()(12112121212121=?+?= +=+=A A P A P A A P A P A A P A A P A A A A P （4） 45 99 110292108)()()()(212121212=?+?=+==A A P A A P A A A A P A P 16．在做钢筋混凝土构件以前，通过拉伸试验，抽样检 查钢筋的强度指标，今有一组A3钢筋100根，次品率 为2%，任取3根做拉伸试验，如果3根都是合格品的 概率大于0．95，认为这组钢筋可用于做构件，否则作 为废品处理，问这组钢筋能否用于做构件？ 解设i A 表示事件“第i 次取出的钢筋是合格品”， 则 9896 )(,9997 )(,10098 )(213121===A A A P A A P A P 所以 95.09406.0)()()()(213121321<≈=A A A P A A P A P A A A P 故这组钢筋不能用于做构件。 17．某人忘记了密码锁的最后－个数字，他随意地 拨数，求他拨数不超过三次而打开锁的概率。若已知最 后一个数字是偶数，那么此概率是多少？ 解 设以A i 表示事件“第i 次打开锁”（i=1,2,3）， A 表示“不超过三次打开”，则有 321211A A A A A A A = 易知：321211,,A A A A A A 是互不相容的。 ∴ 10 3819810991109101)|)()|()()|()()() ()()()()(2131211211321211321211=??+?+=++=++==A A A P A A P A P A A P A P A P A A A P A A P A P A A A A A A P A P 同理，当已知最后一个数字是偶数时，所求概率是 53314354415451=??+?+=P 18．袋中有8个球，6个是白球、2个是红球。 8 个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋 中。问第一人，第二人，……，最后一人取得红球的概 率各是多少个。 解设以A i (i=1,2,…8)表示事件“第i 个人取到的是 红球”。则41 )(1=A P 又因A 2=2121A A A A +，由概率的全概公式得 4171827286) |()()|()()()()(12112121212=?+?= ?+?=+=A A P A P A A P A P A A P A A P A P 类似地有 )8,,4,3(41)( ==i A P i 19．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两 件，已知两件中有一件是不合格品，问另一件也是不合 格品的概率是多少？ 解设A ，B 分别表示取出的第一件和第二件为正品， 则所求概率为 51)1()(1)()()()(210 2621024=-=-=+=+A A A A AB P B A P B A P B A P B A B A P 20．对某种水泥进行强度试验，已知该水泥达到 500#的概率为0．9，达到600#的概率为0.3，现取一水 泥块进行试验，已达到500#标准而未破坏，求其为600# 的概率。 解设A 表示事件“水泥达到500#”， B 表示事件 “水泥达到600#”。 则 P(A)=0.9, P(B)=0.3, 又A B ? ,即P(AB)=0.3, 所以 319.3.0)()()(===A P AB P A B P 。 21．以A ，B 分别表示某城市的甲、乙两个区在某 一年内出现的停水事件，据记载知 P （A ）＝0.35，P （B ）＝0.30，并知条件概率为P （A B ）＝0.15，试求： （1）两个区同时发生停止供水事件的概率； （2）两个区至少有一个区发生停水事件的概率。 解（1）由题设，所求概率为 045.015.03.0)()()(=?==B A P B P AB P ； （2）所求概率为 605.0045.030.035.0)()()()(=-+=-+=+AB P B P A P B A P 。 22．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n 只白球、，m 只红球；乙袋中装有N 只白球、M 只红球，今从甲袋 中任意取一只球放人乙袋中，再从乙袋中任意取－只 球。问取到白球的概率是多少？ 解 设A 1、A 2分别表示从甲、乙袋中取到白球，则 m n n A P +=)(1m n m A P +=)(1 1 1 )|(12+++=M N N A A P 1)|(12++=M N N A A P 由全概率公式 ))(1()1(111) ()|()()|()(1121122m n M N N n m N n m m M N N m n n M N N A P A A P A P A A P A P +++++=+?++++?+++= += 23．盒中放有12只乒乓球，其中有9只是新的。 第一次比赛时从其中任取3只来用，比赛后仍放回盒中。 第二次比赛时再从盒中任取3只，求第二次取出的球都 是新球的概率。 解设)3,2,1,0(=i B i 表示事件“第一次比赛时用了 i 个新球”，用A 表示事件“第二次比赛时取出的球都是 新球”。则有 31239312339)(,)(C C B A P C C C B P i i i i i --==。 由 全概公式有416.03025441)()()()(23123933930====∑∑--=C C C C B A P B P A P i i i i i i 。 24．将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收 站收到时，A 被误收作B 的概率为0．02．而B 被误收 作A 的概率为0．01．信息A 与信息B 传送的频繁程 度为2：l ．若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？ 解设事件H 表示原发信息为A ，C 表示收到信息为 A ，则H 表示原发信息是 B 。H ，H 是S 的一个划分。 依题意有 01.0)|(,98.0)|(,31)(,32)(==== H C P H C P H P H P 由贝叶斯公式有 1971963101.03298.03298.0)()|()()|()()|()|(=?+??=+=H P H C P H P H C P H P C H P C H P 25．甲、乙、丙三组工人加工同样的零件，它们出 现废品的概率：甲组是0.01，乙组是0.02，丙组是0.03， 它们加工完的零件放在同一个盒子里，其中甲组加工的 零件是乙组加工的2倍，丙组加工的是乙组加工的一半， 从盒中任取一个零件是废品，求它不是乙组加工的概 率。 解设321,,A A A 分别表示事件“零件是甲、乙、丙 加工的”，B 表示事件“加工的零件是废品”。 则 03.0)(,02.0)(,01.0)(321===A B P A B P A B P 71 )(,72)(,74)(321===A P A P A P 11 403.004.004.004.07/)03.0102.0201.04(7/02.02)() ()()(222=++=?+?+??==B P A B P A P B A P 所以1171141)(1)(22=- =-=B A P B A P 。 26．有两箱同种类的零件。第一箱装50只，其中 10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。 解设事件A 表示“取到第一箱”，则A 表示“取到第二箱”，B 1，B 2分别表示第一、二次取到一等品。 （1）依题意有： 21)()(= =A P A P ，515010)|(1==A B P ，533018)|(1==A B P 由全概率公式 5221532151)()|()()|()(11=?+?=+=A P A B P A P A B P B P （2）4950910)|(21??= A B B P 29301718)|(21??=A B B P 由全概率公式 21295173214959)()|()()|()(212121???+??= +=A P A B B P A P A B B P B B P ∴ 4856.052/212951734959)()()|(12112=???? ????+?==B P B B P B B P 27．设有四张卡片分别标以数字1，2，3．4．今任取一张．设事件A 为取到4或2，事件B 为取到4或3，事件C 为取到4或1，试验证 P （AB ）＝P （A ）P （B ）， P （BC ）＝P （B ）P （C ）， P （CA ）＝P （C ）P （A 〕， P （ABC ）≠P 〔A 〕P （B ）P （C ）。 证样本空间Ω中有4个样本点，而A 、B 、C 中均含有2个样本点，故 2142)()()(== ==C P B P A P 又AB 、AC 、BC 中均含有1个样本点“取到4” 故41)()()(= ==BC P AC P AB P ∴ 41 )()()(==B P A P AB P 同理 P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) 又ABC 中有1个样本点取到4 ∴)()()(8141)(C P B P A P ABC P ??=≠= 28．假设21,B B 关于条件A 与A 都相互独立，求证 P AB B P AB P B A P AB P B A P A B P B A ()()()()()()()12121212=+ 证由21,B B 关于条件A 与A 是相互独立的，故有 )()()(),()()(21212121A B P A B P A B B P A B P A B P A B B P ?=?=，以及 )()()()()(1111B A P B P AB P A B P A P ==，从而 )()()()() ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(21212121121121121212121A B P B A P A B P B A P A B P B A P A B P B A P B P A B P B A P B P A B P B A P B P A B P A B P A P A B P A B P A P A B P A B P A P B B A P +=+= += 29．如果一危险情况C 发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关井联以改善可靠性，在C 发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出，如果两个这样的开关并联联接，它们每个具有0．96的可靠性（即在情况C 发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为0．9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？这里设各开关闭合与否都是相互独立的。 解设n 只开关并联，以 A i 表示事件“在C 发生时，第i 只开关闭合“，则由已知条件诸A i 相互独立，且P(A i )=0.96，从而知，当n=2时，系统的可靠性为 9984 .0)96.01(1) ()(1)(1)(2212121=--=-=-=A P A P A A P A A P 又若使系统可靠性至少为0.9999，则必须 0.9999≤ n n i n i i n i i n i i A P A P A P A P )04.0(1)]([1)(1)(1)(1 11-=-=-=-==== 即 86.204.0lg )9999.01(lg =-≥n 故至少需用3只开关才能使系统的可靠性至少为0.9999。 30．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人中的概率分别为0.4，0.5，0.7．飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。 解设321,,A A A 分别表示甲、乙、丙击中飞机，)3,2,1,0(=i B i 表示有i 个人击中飞机，H 表示飞机被击落。 则321,,A A A 独立，且 321332132132123 2132132113210, ,A A A B A A A A A A A A A B A A A A A A A A A B A A A B =++=++== 于是09.0)7.01)(5.01)(4.01()(0=---=B P 36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0)(1=??+??+??=B P 41.07.05.06.07.05.04.03.05.04.0)(2=??+??+??=B P 14.07.05.04.0)(3=??=B P 依题意有： 1)(,6.0)(,2.0)(,0)(3210====B H P B H P B H P B H P 于是，由全概公式有 458.0114.06.041.02.036.0009.0)(=?+?+?+?=H P 。 31．在装有6个白球，8个红球和3个黑球的口袋中，有放回地从中任取5次，每次取出一个。试求恰有3次取到非白球的概率。 解由题设知，取一个非白球的概率 p=11/17，于是 3375.0)17/6()17/11()17/11,5;3(2335≈=C b 。 若视65.017/11≈，则可查表得3364.0)65.0,5;3()17/11,5;3(≈=b b 。 32．电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时后最多只有一只坏了的概 率。 解设A 表示事件“一个灯泡可使用1000小时以上”，则A 的概率为p=0.2,q=0.8。 考察三个灯泡可视为n=3 的贝努利试验，于是所求概率为 104 .08.0)2.0(3)2.0(232230333=??+=+=q p C q p C P 。 33．某地区一年内发生洪水的概率为0.2，如果每年发生洪水是相互独立的，试求： （1） 洪水十年一遇的概率； （2） 至少要多少年才能以99%以上的 概率保证至少有一年发生洪水。 解这是贝努利概型， p=0.2. (1) n=10,设A 表示事件“洪水十年一 遇”，则 2684.0)8.0(2.010)1()(99110=??=-=p p C A P （2）由题设，即要99.0)8.0(1≥-n 成立，解此不等式得21≥n ， 即至少要21年才能以99%以上的概率保证至少有一年发生洪水。 34．在打桩施工中，断桩是常见的，经统计，甲组断桩的概率为3%，乙组断桩的概率为1.2%。某工地准备打15根桩，甲组打5根，乙组打10根，问： （1） 产生断桩的概率是多少？ （2） 甲组断两根的概率是多少？ 解设A 表示事件“所打桩是甲组的”，B 表示事件“所打桩是乙组的”， C 表示事件“在打桩施工中产生断桩”。 则 15/10)(,15/5)(,012.0)(,03.0)(====B P A P B C P A C P 。 （1） 由全概公式有 018 .0)()()()()(≈+=B C P B P A C P A P C P ； （2） 是贝努利概型，这里 5,03.0)(===n A C P p ，于是所求概率 为 0082 .0)97.0()3.0(10)1(323225≈??=-=p p C P 。 35．某养鸡场一天孵出n 只小鸡的概率为 ?????=--≥=. 011,1n p ap n ap P n n 其中p p a p -< <<<10,10,若认为孵出一只公鸡和一只母鸡是等可能的,求证:一天孵出k 只母鸡的概率1)2(2+-k k p aP ,又已知一天已孵出母鸡,问还能孵出一只 公鸡的概率是多少? 概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________. 全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布， ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： 一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥= 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜 色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ 第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。 1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一． 选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿 命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、 A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X , 一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=< 概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出 现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不 少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2） {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5） {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用 ,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 解 （1）ABC （2）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； （3）A B C U U 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ； （4）ABC ABC ABC U U ； （5）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； 3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3） 123123123A A A A A A A A A U U ；（4）121323A A A A A A U U 。 4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A =‘5只全是好的’，则 537540 ()0.662C P A C =B ； 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5 《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量 probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数: 第一章 随机事件及概率 第一节 样本空间与随机事件 1.试写出下列的样本空间。 {}{} ()()()()()()()()(){}(){} ()(){} 2 2(1)0100,(2)1,(3)(5,0)5,15,25,35,40,51,52,53,54,5(4),02,,5,212,,0,1,2,3,4,5,6s x x x R s x x x z s s x y x y x y R s x y x y x y =≤≤∈=≥∈== ≤+≤∈=≤+≤= 2.化简下列各式： ()()1() 2A Ω整个样本空间 3.设A,B,C 为三个事件，用A,B,C 的运算关系表示下列事件： ()()()()()()()()1234567ABC A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 第二节 随机事件的概率 1. ()()()()1121341c a b c b c a c ---+--+ 2. P(A ∪B ∪C) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC) =1/4+1/4+/4-0-0-1/8+0 =5/8 {}{}()()()()()() ()()( )() ()293101831012=053 10310 1 15331 11(+-) 10101514 115 A B C P A C P B C P AB C p A p AB P A B P A B P A P A B P A B P AB === = == ===-=-===-= 设含含 4. ()()()()()1311011372102321013 10 27 15 1 15 C P A C C C P B C C P C C == == == 设这个球是黑球为事件A 设刚好一个白球一个黑球为事件B ，两个球全是黑球为事件C. 5. ()2 21232 1523 35C C P A C ==设这两件商品来自同一场地为事件A 。 6. ()()()()500 412 411013641=0.746 3652=10.427 12 p A A p A ?? =- ???-=设至少有一个人的生日是月 日为事件A 。设至少有两个人的生日是同一个月的为事件A 。概率论与数理统计期末复习资料(学生)
全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案
(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
概率论与数理统计期末试卷+答案
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
《概率论与数理统计》讲义#(精选.)
概率论与数理统计期末总结
概率论与数理统计课后习题答案
华东师范大学末试卷(概率论与数理统计)复习题
(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案
概率论与数理统计考研复习资料
概率论与数理统计课后习题答案
概率论与数理统计题库及答案
概率论与数理统计期末考试卷答案
《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表
概率论与数理统计试题库
概率论与数理统计基本知识
概率论与数理统计课后习题答案
相关主题
文本预览