第四节 万有引力理论的成就 一、天体质量的求解 1、思路一：“地上公式”法（亦称为自力更生法） 已知中心天体的半径R 和中心天体的重力加速度g ：；，G g R M mg R GMm 22== 2、思路二：“天上公式”法（亦称为借助外援法） ①已知中心天体匀速圆周运动的周期T 、轨道半径r 、 ；，）、、（23 222244:GT r M r T m r GMm R r T ππ== ②已知中心天体匀速圆周运动的线速度v 、轨道半径r 、 ；，）、、（G r v M r v m r GMm R r v 222:== ③中心天体匀速圆周运动的线速度v 、公转周期T 、 ；，，）、、（G T v M T v r v m r GMm R T v ππ22:322=== 3、说明： ①环绕天体的质量只能给出不能求出。 ②要想求某天体的质量只能将其作为中心天体来研究。 ③求中心天体质量的几种情景。 A 已知环绕天体的轨道半径、线速度、周期（线速度、频率）中的任意两个。 B 已知中心天体的重力加速度和半径。 二、天体密度的求解 1、思路一：“地上公式”法 已知中心天体的半径R 和中心天体的重力加速度g ： GR g R V G g R M mg R GMm R g πρπ4334:322====，；，）、（ 2、思路二：“天上公式”法 ①已知中心天体匀速圆周运动的周期T 、轨道半径r 、天体半径为R 3 23 323222233444:R GT r R V GT r M r T m r GMm R r T πρπππ====，；，）、、（ 特别注意：吐过卫星绕天体表面运行时，天体密度ρ＝3πGT 2 ，即只要测出卫星环绕天体表面运动周期T ，就可算中心天体的密度。 ②已知中心天体匀速圆周运动的线速度v 、轨道半径r 、天体半径为R 3 232224334:GR r v R V G r v M r v m r GMm R r v πρπ====，；，）、、（ ③中心天体匀速圆周运动的线速度v 、公转周期T 、天体半径为R 3 23322833422:GR T v R V G T v M T v r v m r GMm R T v πρπππ=====，；，，）、、（
高中物理万有引力公式大全 1.开普勒第三定律：T2/R3＝K＝4π2/GM｛R：轨道半径，T：周期，K：常量与行星质 量无关，取决于中心天体的质量｝ 2.万有引力定律：F＝Gm1m2/r2 （G＝6.67×10-11N•；m2/kg2，方向在它们的 连线上） 3.天体上的重力和重力加速度：GMm/R2＝mg；g＝GM/R2 ｛R：天体半径m，M：天体质量（kg）｝ 4.卫星绕行速度、角速度、周期：V＝GM/r1/2；ω＝GM/r31/2；T＝2πr3/GM1/2｛M：中心天体质量｝ 5.第一二、三宇宙速度V1＝g地r地1/2＝GM/r地1/2＝7.9km/s；V2＝11.2km/s；V3＝1 6.7km/s 6.地球同步卫星GMm/r地+h2＝m4π2r地+h/T2｛h≈36000km，h：距地球表面的高度，r地：地球的半径｝ 注： 1天体运动所需的向心力由万有引力提供，F向＝F万； 2应用万有引力定律可估算天体的质量密度等； 3地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期和地球自转周期相同； 4卫星轨道半径变小时，势能变小、动能变大、速度变大、周期变小（一同三反）； 5地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9km/s。 万有引力定律是艾萨克·牛顿在1687年于《自然哲学的数学原理》上发表的。牛顿 的普适的万有引力定律表示如下： 任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。该引力大小与它们质量的乘积成正 比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。 伽利略在1632年实际上已经提出离心力和向心力的初步想法。布里阿德在1645年提 出了引力平方比关系的思想.牛顿在1665～1666年的手稿中，用自己的方式证明了离心力 定律，但向心力这个词可能首先出现在《论运动》的第一个手稿中。一般人认为离心力定 律是惠更斯在1673年发表的《摆钟》一书中提出来的。根据1684年8月～10月的《论回转物体的运动》一文手稿中，牛顿很可能在这个手稿中第一次提出向心力及其定义。
考点精讲 一、万有引力定律及其应用 1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。 2. 表达式：F ＝2 21r m Gm ，G 为引力常量：G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2。 3. 适用条件： （1）公式适用于质点间的相互作用，当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点； （2）质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。 二、天体质量和密度的计算 1. 解决天体（卫星）运动问题的基本思路 （1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 G 2r Mm ＝ma n ＝m r v 2＝mω2 r ＝m 2 24T r π； （2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G 2R Mm ＝mg （g 表示天体表面的重力加速度）。 2. 天体质量和密度的计算 （1）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。 由于G 2R Mm ＝mg ，故天体质量M ＝G gR 2， 天体密度ρ＝33 4R M V M π= ＝GR g π43。 （2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r 。 ①由万有引力等于向心力，即G 2r Mm ＝m 224T πr ，得出中心天体质量M ＝2 324GT r π； ②若已知天体半径R ，则天体的平均密度 ρ＝3 3 4R M V M π=＝323 R GT r 3π； ③若天体的卫星在天体表面附近做环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝2 3GT π 。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。
第23讲 应用万有引力定律估算天体质量和密度 1．（2021·全国）卡文迪许用扭秤实验测定了引力常量，以实验验证了万有引力定律的正确性。应用引力常量还可以计算出地球的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。已知引力常量G ＝6.67×10 ﹣11 N •m 2/kg 2，地面上的重力加速度g ＝9.8m/s 2，地球 半径R ＝6.4×106m ，则地球质量约为（ ） A ．6×1018kg B ．6×1020 kg C ．6×1022 kg D ．6×1024 kg 【解答】解：根据公式GMm R 2 =mg 可得M =gR 2G =9.8×(6.4×106) 2 6.67×10 −11kg ＝6×1024kg ，故ABC 错误，D 正确。 故选：D 。 2．（2021·乙卷）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU （太阳到地球的距离为1AU ）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M ，可以推测出该黑洞质量约为（ ） A ．4×104M B ．4×106M C ．4×108M D ．4×1010M 【解答】解：设地球的质量为m ，地球到太阳的距离为r ＝1AU ，地球的公转周期为T ＝1年； 由万有引力提供向心力可得：GMm r 2 =mr 4π2T 2 ， 解得：M = 4π2r 3 GT 2 ； 对于S2受到黑洞的作用，椭圆轨迹半长轴R ＝1000AU ， 根据图中数据结合图象可以得到S2运动的半周期 T′2 =（2002﹣1994）年＝8年，则周期
求天体的加速度、质量、密度 一．知识聚焦 1。加速度： 表面上 mg Mm G =2 R 得2g R GM = 非表面 ()m a R Mm G =+2 h 得)(2R a h GM += 万有引力与航天 ） 基础知识： 一、研究对象：绕中心天体的行星或卫星 r m v r Mm G 22= G r v M 2= (已知线速度与半径） 2 2ωmr r Mm G = G r M 32ω= （已知角线速度与半径） 22)2(T mr r Mm G π= G T r M 2 32)2(π= (已知周期与半径） 总结： 线速度v r ，这三个物理量中，任意组合二个,一定能求出中心天体的质量M 。 或者说：中心天体的质量M 、及三个物理量中，只要知道其中的两个，可求出其它物理量。 二、研究对象：绕中心天体表面运行的行星或卫星 R m v R Mm G 22= G R v M 2= (已知线速度与半径） 2 2ωmR R Mm G = G R M 32ω= （已知角线速度与半径) G πωρ432=(已知角速度） 22)2(T mR R Mm G π= 已知周期与半径 已知周期)
如果绕中心天体表面运转, 三、研究对象：距离地面h 高处的物体，万有引力等于重力 mg h R Mm G =+2 ) ( G h R g M 2)(+= （已知某高度处的重力加速度与距离) 四、研究对象：地球表面的物体，万有引力等于重力 mg R Mm G =2 G gR M 2= （已知中心天体表面的重力加速度与半径) GR g πρ43= 训练题(真题） 1宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t,小球落在星球表面,测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为 3L ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常量为G,求该星球的质量M 和密度ρ. 图21
求天体的加速度、质量、密度 一．知识聚焦 1. 加速度： 万有引力与航天） 基础知识：一、研究对象：绕中心天体的行星或卫星 总结： 线速度v、角速度ω（周期T 、频率f、转速n）、轨道半径r，这三个物理量中，任意组合二个，一定能求出中心天体的质量M。 或者说：中心天体的质量M、及三个物理量中，只要知道其中的两个，可求出其它物理量。 表面上 Mm G M R m2 mg 得g G R M2 R 非表面 Mm ma 得a GM Mm mv2 2 rr 2 vr （已知线速度与半径） Mm G 2 mr r 2 r 3 （已知角线速度与半径） Mm 2 r mr(2 T )2 (2 )2r3 T 2 G （已知周期与半径） Mm 2 mv v2R （已知线速度与半径） G R2R M G G Mm mR 2 2 R 3 R （已知角线速度与半 径） 2M R2 G4G 已知角速、研究对象：绕中心天体表面运行的行星或 卫星 度） 32
四、研究对象：地球表面的物体，万有引力等于重力 4 GR Mm R 2 mR(2T ) 2 (2 )2 R 3 T 2G （已知周期与半径 ） GT 2 （已知周期 ） 如果绕中心天体表面运转，中心天体的密度与周期的平方即： 任何因数都无关。 2 3 T 是一个常量，与 G 三、研究对象：距离地面 h 高处的物体，万有引力等于重力 （已知某高度处的重力加速度与距离 ） Mm R 2 mg M gR 2 G 3g （ 已知中心天体表面的重力加速度与半径 ）
训练题(真题) 1 宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间 表面，测得抛出点与落地点之间的距离为 L ，若抛出时的初速度增大到 地点间的距离为 3 L ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为 R ，引力常量为 G ，求该星球的质量 M 和密度ρ ［解析 ］此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速 度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密 度． 12 根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为 y 1 gt 2 2 设初始平抛小球的初速度为 v ，则水平位移为 x=vt ．有 (1 gt 2) 2 (vt)2 L 2 ○1 1 当以 2v 的速度平抛小球时， 水平位移为 x'= 2vt ．所以有 (1 gt 2)2 (2vt)2 ( 3L)2 2 在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有 mg=G Mm 2 ③ R 2 160N ，把此物体放在航天器中，若航天器 以加速度 a g ( g 为地球表面的重力加速度)垂直地面上升，这时再用同一弹簧测力计 2 测得物体的重力为 90N ，忽略地球自转的影响， 已知地球半径 R ，求此航天器距地面的高度。 在距地面某一高度 h 时，由牛顿定律得 F N mg ma ③根据万有引力定律，得 2 某一物体在地球表面时，由弹簧测力计测得重 联立以上三个方程解得 M 2 3LR 2 3Gt 2 4 3 而天体的体积为 V R 3 ，由密度公式 M 得天体的密度为 3 V 3L 2 Gt 2 R t ，小球落在星球 2 倍，则抛出点与 落 解析： 物体在地球表面时，重力为 mg 160N ①根据万有引力定律，在地面附近有 mg GMm R 2
高中物理万有引力公式归纳 高中物理万有引力公式 1.开普勒第三定律：T2/R3=K(=4π2/GM){R:轨道半径，T:周期，K:常量(与行星质量无关，取决于中心天体的质量)｝ 2.万有引力定律：F=Gm1m2/r2 (G=6.67×10-11N m2/kg2，方向在它们的连线上) 3.天体上的重力和重力加速度：GMm/R2=mg;g=GM/R2 {R:天体半径(m)，M：天体质量(kg)｝ 4.卫星绕行速度、角速度、周期： V=(GM/r)1/2;ω=(GM/r3)1/2;T=2π(r3/GM)1/2{M：中心天体质量｝ 5.第一(二、三)宇宙速度V1=(g地r地)1/2=(GM/r 地)1/2=7.9km/s;V2=11.2km/s;V3=16.7km/s 6.地球同步卫星GMm/(r地+h)2=m4π2(r地 +h)/T2{h≈36000km，h:距地球表面的高度，r地:地球的半径｝ 注: (1)天体运动所需的向心力由万有引力提供,F向=F万; (2)应用万有引力定律可估算天体的质量密度等; (3)地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期和地 球自转周期相同; (4)卫星轨道半径变小时,势能变小、动能变大、速度变
大、周期变小(一同三反); (5)地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为 7.9km/s。 高中物理万有引力知识点 万有引力定律是艾萨克·牛顿在1687年于《自然哲学的数学原理》上发表的。牛顿的普适的万有引力定律表示如下： 任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。该引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。 两个可看作质点的物体之间的万有引力，可以用以下公式计算：F=GmM/r^2,即万有引力等于引力常量乘以两物体质量的乘积除以它们距离的平方。其中G代表引力常量，其值约为6.67×10的负11次方单位 N·m2 /kg2。为英国科学家卡文迪许通过扭秤实验测得。 万有引力的推导：若将行星的轨道近似的看成圆形，从开普勒第二定律可得行星运动的角速度是一定的，即：ω=2π/T(周期) 如果行星的质量是m，离太阳的距离是r，周期是T，那么由运动方程式可得，行星受到的力的作用大小为mrω^2=mr(4π^2)/T^2 另外，由开普勒第三定律可得
33、万有引力（1）天体的质量、密度和重力加速度的计算 1．(多选) “雪龙号”南极考察船在由我国驶向南极的过程中，经过赤道时测得某物体的重力是G 1；在南极附近测得该物体的重力为G 2；已知地球自转的周期为T ，引力常量为G ，假设地球可视为质量分布均匀的球体，由此可知( ) A ．地球的密度为3πG 1 GT 2(G 2－G 1) B ．地球的密度为3πG 2 GT 2(G 2－G 1) C ．当地球的自转周期为G 2－G 1 G 2T 时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力 D ．当地球的自转周期为 G 2－G 1 G 1 T 时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力 2．(多选) 假设地球可视为质量分布均匀的球体．已知地球表面重力加速度的大小在两极为g 0，在赤道为g ，地球的自转周期为T ，引力常量为G ，则( ) A ．地球的半径R ＝(g 0－g )T 2 4π2 B ．地球的半径R ＝g 0T 2 4π 2 C ．假如地球自转周期T 增大，那么两极处重力加速度g 0值不变 D ．假如地球自转周期T 增大，那么赤道处重力加速度g 值减小 3．(多选) 一探测器探测某星球表面时做了两次测量．探测器先在近星轨道上做圆周运动测出运行周期为T ；着陆后，探测器将一小球以不同的速度竖直向上抛出，测出了小球上升的最大高度h 与抛出速度v 的二次方的关系，如图1所示，图中a 、b 已知，引力常量为G ，忽略空气阻力的影响，根据以上信息可求得( ) 图1 A ．该星球表面的重力加速度为2b a B ．该星球的半径为bT 2 8a π2 C ．该星球的密度为3π GT 2 D ．该星球的第一宇宙速度为4aT πb 4． 美国国家航天局(NASA)曾宣布在太阳系外发现“类地”行星Kepler －186f.假设宇航员
万有引力理论的成就之天体的计算方法 一、计算天体的质量基本思路 1.地球质量的计算 利用地球表面的物体，若不考虑地球自转，质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg=^,则譽，由于g、R已经测岀，因此可计算出地球的质量. 2.太阳质量的计算 利用某一行星：由于行星绕太阳的运动，可看做匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G^=mu)2r,而3 =罕则可以通过测岀行星绕太阳运转的周期和轨道半径，得到太阳质攀. 3.其他行星质量的计算 利用绕行星运转的卫星，若测出该卫星绕行星运转的周期和轨道半径同样可得出行星的质量. 二、讣算天体的质量具体方法 1.“称量”地球的质量 如果不考虑地球自转的影响，地球上的物体所受重力等于地球对它的万有引力. 由万有引力左律m鉀瞥 得恋=譬，苴中g为地球表面的重力加速度，R为地球半径，G为万有引力常量. 从而得到地球质星:M=5.96x10“ kg. 通过上而的过程我们可以计算地球的质量，通过其它的方法，或者说已知另外的一些条件能否测出地球质量. 2.天体质量计算的几种方法 (1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T,半径为r,根据万有引力等于向心力, 即"恋严111 =m月罕P，可求得地球质量M地=¥?"・
(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径I•和月球运动的线速度v,由于地球对月球
的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二圧律，得 也・HH V 2 G~p —=m n~. 解得地球的质量为M 地=W/G ・ (3) 若已知月球运行的线速度v 和运行周期T,由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆 周运动的向心力，根据牛顿第二宦律，得 ^Mifeinu v 2 G —p —=m 以上两式消去门解得 M^=vT7(2nG)・ (4) 若已知地球的半径R 和地球表而的重力加速度由 根据物体的重力近似等于地球对 物体的引力，得 解得地球质量为"地=野. 由以上论述可知，在万有引力泄律这一章中，求天体质量的方法主要有两种：一种方法 是根据天体表面的重力加速度来求天体质量，即g=G 帶，则譽，另一种方法是根据天 体的圆周运动，即根据天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，列岀方程： 4/J 2 v 2 , “士4nV v 2 r 3 h G-p-=m-^rr =in-=mo)午来、k 得质量 M= 面厂=否=飞一 用第二种方法只能求出圆心处天体质量(即中心天体). 3・天体密度的计算 (1) 利用天体表而的重力加速度来求天体的自身密度. 由卑严和M = p -^nR\ 得P 二爲 其中g 为天体表面重力加速度，R 为天体半径. (2) 利用天体的卫星来求天体的密度. 设卫星绕天体运动的轨道半径为r ，周期为T ，天体半径为R ，则可列出方程: =m ；rv- 2/7 〒•
计算天体的质量和密度 知识梳理 “天上”法 “地上"法 原理 万有引力提供向心力： 22 m GMm v r r ==2m r ω=224m r T π=n ma 万有引力等于重力： 2 GMm mg R = 质量 M=2 324GT r π=2v r G =23 r G ω=2n a r G 2 gR M G = 需要已知量 G 、r 、T （或ω、v ） G 、g 、R 密度 3233M r V GT R πρ== 特例，当r=R 时: 2 3GT πρ= 34g GR ρπ= 注意：计算天体质量需“一个中心、两个基本点”： “一个中心”即只能计算出中心天体的质量；“两个基本点” 即要计算中心天体的质量，除引力常量G 外，还要已知两个独立的物理量。 例题分析 【例1】下列哪一组数据不能估算出地球的质量。引力常量 G 已知( ) A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B 。地球表面的重力加速度与地球的半径 C 。绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度 【例2】已知引力常量G ．月球中心到地球中心的距离R 和月球绕地球运行的周期T 。仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（ ） A ．月球的质量 B ．地球的密度 C ．地球的半径 D ．月球绕地球运行速度的大小 【例3】（2006北京)一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体,要确定该行星的密度，只需要测量( ) A 。飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度 C.飞船的运行周期 D 。行星的质量 【例4】（2005广东）已知万有引力常量G ，地球半径R,月球和地球之间的距离r ，同步卫星距地面的高度h,月球绕地球的运转周期T 1，地球的自转周期T 2，地球表面的重力加速度g 。某同学根据以上条件,提出一种估算地球质量M 的方法： 同步卫星绕地球作圆周运动，由得 ⑴请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请 给出正确的解法和结果。 ⑵请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。 同步练习 1.已知下面的哪组数据可以计算出地球的质量?引力常量G 已知（ ） A ．月球绕地球运动的周期和月球的半径 B ．地球同步卫星离地面的高度 C ．地球绕太阳运动的周期和地球到太阳中心的距离 D ．人造卫星在地面附近的运动速度和周期 2.下列哪一组数据能够估算出地球的密度.引力常量G 已知（ ） A 。月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与月地之间的距离 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D 。绕地球表面运行卫星的周期 3.（05天津）土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等．线度从1μm 到10m 的岩石．尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7。3×104 km 延伸到1.4×105 km 。已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14h ，引力常量为6.67×10 —11 N •m 2/kg 2 ，则土星的质量约 为(估算时不考虑环中颗粒间的相互作用）( ) Ａ．9。0×1016 kg Ｂ．6.4×1017 kg Ｃ．9.0×1025 kg Ｄ．6。4×1026 kg 4。地球公转的轨道半径是R 1,周期是T 1；月球绕地球运转的轨道半径是R 2，周期是T 2。则太阳质量与地球质量之比是( )
万有引力定律的应用之——计算天体质量与密度 教学目标： 一、知识与技能 1．知道卫星绕地球运动由引力提供向心力，掌握应用引力等于向心力计算地球质量的方法． 2．知道利用引力提供向心力的方法只能计算出被绕的中心天体的质量，这种方法不仅适用于计算地球质量，也适用于计算其他天体的质量。 3．知道在地球表面重力近似等于万有引力，并能根据重力等于万有引力计算地球质量。 4．会计算天体的密度。 二、过程与方法 1．通过自主思考和小组讨论，掌握计算天体质量的思路和方法 2．通过小组讨论与自主推导，掌握计算天体密度的方法。 三、情感态度与价值观 1. 利用万有引力定律计算地球，太阳的质量，发展学生对科学的好奇心与求知欲，体验探索自然规律的艰辛和喜悦． 2．通过物理学史的渗透，培养学生对物理学家的尊敬之情，了解物理学家对物理学发展的贡献。 重点与难点： 1．重点：利用万有引力定律计算天体质量的思路和方法 2．难点：计算天体质量与密度的运算过程 教学方式：讲授，小组合作，小组讨论，自主学习 教具：多媒体课件， 教学过程： 一．知识回顾与复习 1．将卫星绕地球运动看成匀速圆周运动，所需要的向心力由万有引力提供，即： 2．天体都可以看作球体，则球体的体积公式是： 计算密度的公式是： 二．新课学习 （一）计算天体质量（以计算地球质量为例） 1．（小组合作）：利用引力提供向心力的思路，分组计算地球质量： （1）已知卫星的轨道半径r和周期T，求地球质量M
（2）已知卫星的轨道半径r 和线速度v ，求地球质量M （3）已知卫星的轨道半径r 和角速度w ，求地球质量M 2．分享结果，小组展示计算过程 3．小组讨论： （1）T,v,w 这三个物理量哪个容易测量？ （2）用引力提供向心力的方法计算地球的质量需不需要知道卫星的质量？为什么？ （3）用引力提供向心力的方法能不能计算太阳的质量？需要测出哪些物理量？ （4）用引力提供向心力计算出的是环绕天体还是被绕中心天体的质量？ 4．总结推广： 结论：在用万有引力等于向心力列式求天体的质量时，只能求出中心天体的质量，这种方法不仅适用于地球，也适用于其他天体质量的计算． 5．自主阅读教材P 41，寻找出在没有卫星的情况下计算地球质量的方法： 在地球表面，物体的重力近似等于地球对物体的引力，即： （二）计算天体的密度 方法小结： 1、 卫星绕行星、行星绕恒星的椭圆运动近似可看成 运动； 2、 匀速圆周运动的向心力由 提供。 3、 根据牛顿第二定律：2 Mm G r =ma 向列方程求解。 4、 若已知表面重力加速度g ，通常要利用mg=2Mm G R 辅助求解。 [达标检测] 1.已知引力常量G 和下列各组数据，能计算出地球质量的是( ) A.月球绕地球运行的周期及月球距地球的距离 B.地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离 C.人造卫星在地面附近运行的速度和运行周期 D.若不考虑地球自转，已知地球的半径及重力加速 2.若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为R ，周期为T ， 万有引力常量为G ，则可求得： A.该行星的质量 B.太阳的质量 C.该行星的密度 D.太阳的平均密度 3．计算天体的密度 若天体的半径为R ，则天体的密度 ρ＝M 43πR 3 将M ＝4π2r 3GT 2代入上式得：ρ＝3πr 3GT 2R 3 特别地，当卫星环绕天体表面运动时其轨道半径r 等于天体半径R ，则ρ＝3πGT 2.
一、计算天体的质量基本思路 1．地球质量的计算 利用地球表面的物体，若不考虑地球自转，质量为m 的物体的重力等于地球对物体的万有引 力，即mg ＝GMm R 2，则M ＝gR 2G ，由于g 、R 已经测出，因此可计算出地球的质量． 2．太阳质量的计算 利用某一行星：由于行星绕太阳的运动，可看做匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引 力充当向心力，即G Mm r 2＝mω2r ，而ω＝2πT ，则可以通过测出行星绕太阳运转的周期和轨道半径，得到太阳质量M ＝4π2r 3GT 2. 3．其他行星质量的计算 利用绕行星运转的卫星，若测出该卫星绕行星运转的周期和轨道半径同样可得出行星的质量． 二、计算天体的质量具体方法 1．“称量”地球的质量 如果不考虑地球自转的影响，地球上的物体所受重力等于地球对它的万有引力． 由万有引力定律mg ＝GMm R 2 得M ＝gR 2G ，其中g 为地球表面的重力加速度，R 为地球半径，G 为万有引力常量． 从而得到地球质量M ＝×1024 kg . 通过上面的过程我们可以计算地球的质量，通过其它的方法，或者说已知另外的一些条件能否测出地球质量． 2．天体质量计算的几种方法 (1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，半径为r ，根据万有引力等于向心力， 即GM 地·m 月r 2＝m 月r ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫2πT 2，可求得地球质量M 地＝4π2r 3GT 2. (2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r 和月球运动的线速度v ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得 G M 地·m 月r 2＝m 月v 2r . 解得地球的质量为M 地＝rv 2/G. (3)若已知月球运行的线速度v 和运行周期T ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得 G M 地·m 月r 2＝m 月·v·2πT . G M 地·m 月r 2＝m 月v 2r . 以上两式消去r ，解得 M 地＝v 3T/(2πG)． (4)若已知地球的半径R 和地球表面的重力加速度g ，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得 mg ＝G M 地·m R 2， 解得地球质量为M 地＝R 2g G .
高中物理的万有引力定律公式 万有引力定律公式 1.开普勒第三定律：T2/R3=K=4π2/GM{R：轨道半径，T：周期，K：常量与行星质量无关，取决于中心天体的质量｝ 2.万有引力定律：F=Gm1m2/r2 G=6.67×10-11N•m2/kg2，方向在它们的连线上 3.天体上的重力和重力加速度：GMm/R2=mg;g=GM/R2 {R：天体半径m，M：天体质量kg｝ 4.卫星绕行速度、角速度、周期：V=GM/r1/2;ω=GM/r31/2;T=2πr3/GM1/2{M：中心天体质量｝ 5.第一二、三宇宙速度V1=g地r地1/2=GM/r地 1/2=7.9km/s;V2=11.2km/s;V3=16.7km/s 6.地球同步卫星GMm/r地+h2=m4π2r地+h/T2{h≈36000km，h：距地球表面的高度，r 地：地球的半径｝ 注： 1天体运动所需的向心力由万有引力提供，F向=F万; 2应用万有引力定律可估算天体的质量密度等; 3地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期和地球自转周期相同; 4卫星轨道半径变小时，势能变小、动能变大、速度变大、周期变小一同三反; 5地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9km/s。 万有引力定律知识点 1内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。 2适用条件： ①严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用; ②两个质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r是两个球体球心间的距离;
③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离; ④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r为两物体质心间的距离。 3注意： 公式中F是两物体间的引力，F与两物体质量乘积成正比，与两物体间的距离的平方成反比，不要理解成F与两物体质量成正比，与距离成反比。 4对万有引力定律的理解： ①万有引力的普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量物体之间的相互吸引力，它是自然界中物质之间的基本的相互作用之一，任何客观存在的两部分有质量的物质之间都存在着这种相互作用。 ②万有引力的相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力。它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。 ③万有引力的客观性：通常情况下，万有引力非常小，它的存在可由卡文迪许扭秤来观察，只有在质量巨大的天体间，它的作用才有宏观物理意义。 ④万有引力的特殊性：两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量有关，与它们之间的距离有关，和所在空间的性质无关，和周围有无其他物体的存在无关。 感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中物理万有引力公式整理归纳 1.开普勒第三定律：T2/R3＝K＝4π2/GM｛R：轨道半径，T：周期，K：常量与行星质 量无关，取决于中心天体的质量｝ 2.万有引力定律：F＝Gm1m2/r2 （G＝6.67×10-11N?；m2/kg2，方向在它们的连线上） 3.天体上的重力和重力加速度：GMm/R2＝mg；g＝GM/R2 ｛R：天体半径m，M：天体质量（kg）｝ 4.卫星绕行速度、角速度、周期：V＝GM/r1/2；ω＝GM/r31/2；T＝2πr3/GM1/2｛M：中心天体质量｝ 5.第一二、三宇宙速度V1＝g地r地1/2＝GM/r地1/2＝7.9km/s；V2＝11.2km/s；V3＝1 6.7km/s 6.地球同步卫星GMm/r地+h2＝m4π2r地+h/T2｛h≈36000km，h：距地球表面的高度，r地：地球的半径｝ 注意： 1天体运动所需的向心力由万有引力提供,F向=F万; 2应用万有引力定律可估算天体的质量密度等; 3地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期和地球自转周期相同; 4卫星轨道半径变小时,势能变小、动能变大、速度变大、周期变小一同三反; 5地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9km/s。 通常两个物体之间的万有引力极其微小，我们察觉不到它，可以不予考虑。比如，两 个质量都是60千克的人，相距0.5米，他们之间的万有引力还不足百万分之一牛顿，而 一只蚂蚁拖动细草梗的力竟是这个引力的1000倍！但是，天体系统中，由于天体的质量 很大，万有引力就起着决定性的作用。 在天体中质量还算很小的地球，对其他的物体的万有引力已经具有巨大的影响，它把 人类、大气和所有地面物体束缚在地球上，它使月球和人造地球卫星绕地球旋转而不离去。 感谢您的阅读，祝您生活愉快。
万有引力和航天 第一节：计算天体的质量和密度 基础知识填空 1、卡普勒第一定律是： ； 卡普勒第二定律是： ； 卡普勒第三定律是： ， 其表达式是 ，当把轨道近似看作圆时，表达式可改写 为 ，其中常数k 由 决定。 2、通过计算推导可得太阳对行星的引力F ∝2 m r （m 是行星质量），由于太阳与行星间相互作用，两者的地位是相同的，既然太阳吸引行星，行星也必然吸引太阳，所以可推 得行星对太阳的引力F’（设太阳质量为M ）满足 ，而根据作用力 和反作用力的关系，F 和F’的大小是相等的，所以我们可以推得太阳与行星间的引力满 足 ，加入比例系数G ，写成等式就是 ，这就是 定律的表达式，（其中G 是 ，由 通过著名的 实验测量得到的）根据等式，该定律可表述为 。 3、不考虑地球自转时，万有引力等于 ，公式表达 为 ，化简后得到黄金代换式 。 4、环绕模型算中心天体质量： 提供向心力，表达式写作 =F n ，若向心力表达式用2n F m r ω=，则中心天体质量M = ，若向心力表达式用2 2n F m r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则中心天体质量M = ，若向心力表达式用2 n v F m r =，则中心天体质量M = 。若该天体的半径为R ，则以上3种表达式下中心天体的密度可分别写作 ， ， 。（请区分环绕半径r 和星球半径R ） 练习题 （多选为7、8、9） 1、在力学理论建立的过程中有许多伟大的科学家做出了贡献，下列有关科学家和 他们的贡献说法错误的是（ ） A ．卡文迪许通过实验测出了引力常量G B ．惯性定律是可以被实验直接验证的 C ．伽利略斜面实验合理外推解释了自由落体是匀变速运动 D ．开普勒发现了行星运动的规律 2、宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A 、B 两颗均匀球形天体，两天体各有一 颗靠近其表面飞行的卫星，测得两颗卫星的周期相等，以下判断正确的是（ ） A.天体A 、B 的质量一定相等 B.两颗卫星的线速度一定相等 C.天体A 、B 表面的重力加速度一定相等 D.天体A 、B 的密度一定相等
万有引力定律的应用 一、中心天体质量和密度的计算 （1）周期T 和轨道半径r 设中心天体的质量为M ，绕中心天体运动的行星或卫星的质量为m ，据万有引力提供向心力，则有 ，可得中心天体的质量为 。 （2）运行速度v 和轨道半径r 设中心天体的质量为M ，绕中心天体运动的行星或卫星的质量为m ，速度为v ，据万有引力提供向心力，则有 ，可得中心天体的质量为 。 (3).运行角速度w 和轨道半径r 设中心天体的质量为M ，绕中心天体运动的行星或卫星的质量为m ，角速度为w ，，则有 ，可得中心天体的质量为 。 求出天体质量后，再求出天体的体积V=343R π，则：V M =ρ 当卫星环绕天体表面做圆周运动时，r=R ，则=ρ __________________________ 例1 天宫一号于2011年9月29日成功发射，它将和随后发射的神州飞船在空间完成交会对接，实现中国载人航天工程的一个新的跨越。天宫一号进入运行轨道后，其运行周期为T ，距地面的高度为h ，已知地球半径为R ，万有引力常量为G 。若将天宫一号的运行轨道看做圆轨道，求：（1）地球质量M ；（2）地球的平均密度。 例2 地球绕太阳公转周期和公转轨道半径分别为T 和R ，月球绕地球公转周期和公转半径分别为t 和r ，则太阳质量和地球质量的比值为________. 二、研究环绕天体（如人造卫星） 基本方法：把天体（或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供：
G 2R Mm = m r v 2= m ω2r= mr 224T π = m （2πf ）2r ①由r v m r Mm G 2 2=可得：v= r 越大，v 越小． ②由r m r Mm G 22ω=可得：ω= r 越大，ω越小． ③由r T m r Mm G 222⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=π可得：T= r 越大，T 越大． ④由向ma r Mm G =2可得：a= r 越大，a 向越小． 例3、对于绕地球做匀速圆周运动的卫星，以下结论正确的是（ ） A ，卫星距地面越高，线速度越大 B ，卫星距地面越高，角速度越大 C ，卫星距地面越高，周期越长 D ，卫星的线速度可能小于第一宇宙速度 例4、一个小行星环绕太阳做匀速圆周运动，轨道半径是地球公转半径的4倍，则（ ） A ，它的线速度是地球公转线速度的2倍， B ，它的环绕周期是4年 C ，它的线速度是地球公转线速度的1/2 D ，，它的环绕周期是8年 例5、在圆轨道上运动质量为m 的人造地球卫星,与地面的距离等于地球半径R ，地球质量为M ，求：（1）卫星运动速度大小的表达式？ （2）卫星运动的周期是多少 万有引力定律的应用