第十二讲对数与对数函数
一、知识要点
1.对数
(1)对数的定义:
如果a b =N (a >0,a ≠1),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N =b . 指数式与对数式的关系:
a b =N ?log a N =b (a >0,a ≠1,N >0).
两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的,并且可以互化. (2)对数运算性质:(M 、N 、a 、b 都是正数,a ≠1,b ≠1)
2.对数函数
(1)对数函数的定义
函数y =log a x (a >0,a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). (2)对数函数的图象
O
x
y
y= log x a> O
x
y
y= log x a 111 1 0( ( )) 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. (3)对数函数的性质: ①定义域:(0,+∞). ②值域:R . ③过点(1,0),即当x =1时,y =0. ④当a >1时,在(0,+∞)上是增函数;当0<a <1时,在(0,+∞)上是减函数. 二、典型例题 例1、比较下列各组数的大小:(1);3log 3.0log 2 12与 (2)3log 2log 23与 例2、选择题:若03log 3log < 例3 、函数)352(log 2 2 1++-=x x y 在什么区间上是增函数?在什么区间上是减函数? 例4 求下列函数的值域: (1))23(log 2 2x x y -+=;(2)3log 3 2 log 23+-=x x y 。 例5已知f (x )的定义域为[0,1],则函数y =f [log 2 1(3-x )]的定义域是__________. 例6.若log x 7y =z ,则x 、y 、z 之间满足 A.y 7=x z B.y =x 7z C.y =7x z D.y =z x 例7.已知1<m <n ,令a =(log n m )2,b =log n m 2,c =log n (log n m ),则 A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <c D.c <a <b 例8已知函数f (x )=?????<+≥, 4),1(, 4,)21(x x f x x 则f (2+log 23)的值为 A. 31 B.61 C.121 D.24 1 例9求函数y =log 2|x |的定义域,并画出它的图象,指出它的单调区间. 已知y =log 2 1[a 2x +2(ab )x -b 2x +1](a 、b ∈R +),如何求使y 为负值的x 的取值范围? 例10 已知f (x )=log 3 1[3-(x -1)2],求f (x )的值域及单调区间. 例11已知函数]4 5 )2()2lg[(2 ++++=x k x k y 的定义域为R ,求实数k 的取值范围。 例12判断函数)10(11log ≠>+-=a a x x y a 且的奇偶性。 例13求x 取何值时,)25(log 3-x x 的值为正值。 例14根据a 的取值情况x 的取值范围,使得2 2log )3(log x x a a >+。 例15当x 为何值时,9 log 3log 33x x y ?=有最小值,最小值为什么? 例16解方程 )62(l o g )96(l o g 22 2-=+-x x x 例17解方程: 1、)12(log )1(log )3(log )3(log 25.0425.04++-=++-x x x x 2、x x x 10lg 2= 3、01lg 21lg 222 =-- x x 4、1log 325log 225=-x x 5、227 log 9log 33=?x x 例18求下列各式中的实数x : (1)若4 1 log 36=x ,则x=______________;(2)若1)23(log -=+x ,则x=___________。 例19计算 (1)8log 4 (2)2 2 )23(9 )23(4 log 3log 2+-+ (3)14log 501log 2log 235log 55 2 1 5--+ (4)3log 6 log 4log 2 61836+ (5) 215515)3(log 15 log 45 log + (6)5lg 2lg 25lg 2lg 22??++ (7)2 .1lg 3.0lg 1000 lg 8lg 27(lg 19lg 3lg 2?-++- 例20已知175log ,65log ,37log 8133求==a 的值。 2、已知135log ,5log 8115求m =的值。 例21证明:(1)c c c c abc b a b a log log log log log +?= ;(2)b c c a a b a log 1log log += 三、高考点击试题 1方程lg x +lg (x +3)=1的解x =___________________. 2已知函数f (x )=3x +k (k 为常数),A (-2k ,2)是函数y = f - 1(x )图象上的点. (1)求实数k 的值及函数f - 1(x )的解析式; (2)将y = f - 1(x )的图象按向量a =(3,0)平移,得到函数y =g (x )的图象,若2 f -1 (x +m -3)-g (x )≥1恒成立,试求实数m 的取值范围. 3在f 1(x )=x 2 1,f 2(x )=x 2,f 3(x )=2x ,f 4(x )=log 2 1x 四个函数中,x 1>x 2>1时,能使 2 1 [f (x 1)+f (x 2)]<f ( 2 2 1x x +)成立的函数是 A.f 1(x )=x 2 1 B.f 2(x )=x 2 C.f 3(x )=2x D.f 4(x )=log 2 1x 四、练习题 1、比较下列各对数大小 (1)22log _______12log 33??;(2)2.0log ______3.0log 2 12 1 2、利用对数函数的性质,判断下各对数哪个大于1,等于1,还是小于1? (1)1______5 2 log 2 1 ; (2)1_______5log 8 (3)1______14.3log π;(4)1______30cos log 0 2 π 3、利用对数函数的性质,比较下列各对数的大小。 (1)3log ______4log 73;(2)2 1 log _____21lg 2; (3)31log _____31log 212 ; (4)71 log ____71log 2 110。 4、(1)函数)12(2 1 log 2+-=x x y 的单调增区间是______________,值域是______________。 (2)若5l o g )(l o g )(24 124 1+-=x x x f 的定义域为}086{2≤+-x x x , 那么它的最大值是__________。 5、(1)如图分别是四个函数①x y a log =②x y b log =③x y c log =④x y d log =的图像,那么a 、b 、c 、d 的大小关系是( ) A 、d>c>b>a B 、a>b>c>d C 、b>a>d>c D 、b>c>a>d (2)“ x=y ”是“y x 22log log =”成立的( ) A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充分必要条件 D 、非充分非必要条件 6、求下列函数的定义域 (1))35lg(lg x x y -+= (2))3(log )1(x y x -=- 7、求下列函数的定义域和值域 (1)22321log x x y --= (2)x y lg 11 -= 8、 若15log -=x ,则x=____________,若2log 28=x ,则x=_______________。 若2 1 3log ,log 2= =x x y ,则x=_____________,y=_____________。 9、解不等式:(1)0)231(log 2 2>-+x x (2)x x 42log )1(log >- 10、(1)设不等式09log 9)(log 22 12 2 1≤++x x 的解集是M ,当M x ∈时,函数8 log 2log 22 x x y ?= 的最大值与最小值。 (2)求函数)42(5log )(log 2 4 12 4 1≤≤+-=x x x y 的值域。 11、计算 (1)4log 3log 8log 2 9 14-- (2)5 1 log 3log 2151527 log 8-+ (3) 2 1log 33 13335 ) 5 1 (2log 23log 8log 31 )2log 1(4log 21-++-?? (4)8 lg 20lg 2 lg 5lg ) 3(25.0log )8 1(221 lg 2 3 2 --- +++-π (5)9log 8log 7log 6log 5log 4log 876543????? 6) 8 .1lg 1000 lg 27lg 8lg -+ 12、求 1、设3 15 255 1518log 2log ,3log 求n ,m ==的值。2、已知8log 1 12log 627求,a =的值。 13、1、已知△ABC 中,∠C=900,三条边长分别为a 、b 、c 。 求证:a a a a b c c b b c c b )()()()(log log 2log log -+-+?=+ 2、已知:正数m 、n 满足m 2+n 2=7mn ,求证:)00)(log (log 2 1 3log ≠>+=+a a n m n m a a a 且 14、 求下列各式中的实数x : (1)若15log -=x ,则x=____________,若2log 28=x ,则x=_______________。 (2)若2 1 3log ,log 2==x x y ,则x=_____________,y=_____________。 专练9 对数与对数函数 命题范围:对数的意义与运算;对数函数的定义、图象与性质. [基础强化] 一、选择题 1.lg 52+2lg 2-? ?? ??12-1=( ) A .1 B .-1 C .3 D .-3 2.函数y =log 1 2(3x -2)的定义域是( ) A .[1,+∞] B.? ?? ??23,+∞ C.??????23,1 D.? ?? ??23,1 3.函数f (x )=log 12(x 2-2x )的单调递增区间是( ) A .(-∞,0) B .(1,+∞) C .(2,+∞) D .(-∞,1) 4.若函数f (x )=(m -2)x a 是幂函数,则函数g (x )=log a (x +m )(a >0且a ≠1)的图象过点( ) A .(-2,0) B .(2,0) C .(-3,0) D .(3,0) 5.[2020·全国卷Ⅲ]已知55<84,134<85,设a =log 53,b =log 85,c =log 138,则( ) A .a b ,则( ) A .ln(a -b )>0 B .3a <3b C .a 3-b 3>0 D .|a |>|b | 7.已知函数f (x )=ln x +ln(2-x ),则( ) A .f (x )在(0,2)单调递增 B .f (x )在(0,2)单调递减 C .y =f (x )的图象关于直线x =1对称 D .y =f (x )的图象关于点(1,0)对称 8.[2020·益阳一中测试]若函数y =log a x (a >0且a ≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( ) 9.若函数f (x )=????? log a x ,x >3,-2x +8,x ≤3存在最小值,则实数a 的取值范围为( ) A .(1,+∞) B .[3,+∞) C .(1,3] D.? ????0,33 二、填空题 10.已知函数f (x )=log 2(x 2+a ).若f (3)=1,则a =________. 11.函数f (x )=? ?? ??13x -log 2(x +4)在区间[-2,2]上的最大值为________. 12.函数f (x )=log 2(-x 2+22)的值域为________. [能力提升] 13.[2020·全国卷Ⅰ]若2a +log 2a =4b +2log 4b 则( ) A .a >2b B .a <2b C .a >b 2 D .a 0且m ≠1) 在[2,3]上单调递增,则实数m 的取值范围是( ) A .(1,36] B .[36,+∞) C .(1,16]∪[36,+∞) D .(1,16] 15.[2020·荆州一中测试]若函数f (x )= 第6讲对数与对数函数 一、选择题 1.(2015·四川卷)设a,b为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的() A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析因为y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以当a>b>1时,有log2a>log2b>log21=0; 当log2a>log2b>0=log21时,有a>b>1. 答案 A 2.(2017·石家庄模拟)已知a=log23+log23,b=log29-log23,c=log32,则a,b,c的大小关系是() A.a=b 解析 由题意y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象过(3,1)点,可解得a =3.选项A 中,y =3-x =? ? ? ??13x ,显然图象错误;选项B 中,y =x 3,由幂函数图象可知正确;选项C 中,y =(-x )3=-x 3,显然与所画图象不符;选项D 中,y =log 3(-x )的图象与y =log 3x 的图象关于y 轴对称,显然不符.故选B. 答案 B 4.已知函数f (x )=???log 2x ,x >0,3-x +1,x ≤0, 则f (f (1))+f ? ????log 312的值是( ) A.5 B.3 C.-1 D.7 2 解析 由题意可知f (1)=log 21=0, f (f (1))=f (0)=30+1=2, f ? ? ? ??log 312=3-log 312+1=3log 32+1=2+1=3, 所以f (f (1))+f ? ? ? ??log 312=5. 答案 A 5.(2016·浙江卷)已知a ,b >0且a ≠1,b ≠1,若log a b >1,则( ) A.(a -1)(b -1)<0 B.(a -1)(a -b )>0 C.(b -1)(b -a )<0 D.(b -1)(b -a )>0 解析 ∵a >0,b >0且a ≠1,b ≠1. 2. 2.1第一课时 对数的概念教案 【教学目标】 1.理解对数的概念,能够进行对数式与指数式的互化 2.渗透应用意识,培养归纳思维能力和逻辑推理能力,提高数学发现能力【教学重难点】 重点:对数的概念 难点:对数概念的理解. 【教学过程】 一、预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。 二、情景导入、展示目标。 (一)复习引入: 1庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭(1)取4次,还有多长?(2)取多少次,还有0.125尺? 2假设2002年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍? 抽象出:1. =?,=0.125x=? 2. =2x=? 也是已知底数和幂的值,求指数你能看得出来吗?怎样求呢? (二)新授内容: 定义:一般地,如果 的b 次幂等于N, 就是 ,那么数 b 叫做 以 a 为底 N 的对数,记作 ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数 例如: ; ; 探究:⑴负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 ) ⑵, ∵对任意 且 , 都有 ∴ 同样易知: ⑶对数恒等式 如果把 中的 b 写成 , 则有 421??? ??x ?? ? ??21?()x %81+?()1,0≠>a a a N a b =b N a =log 1642=?216log 4=100102 =?2100log 10=242 1=?2 12log 4= 01.0102 =-?201.0log 10-=01log =a 1log =a a 0>a 1≠a 10 =a 01log =a 1log =a a N a b =N a log N a N a =log 对数与对数函数 【考纲要求】 1. 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数,了解对数在简化运算中的作用 2.理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性,掌握函数图像通过的特殊点.会画底数为2,10, 1 2 的对数函数的图象 3.体会对数函数是一类重要的函数模型; 4.了解指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数(0,1a a >≠). 【基础再现】 1.对数的定义 如果______________,那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作__________,其中____叫做对数的底数,____叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a >0且a ≠1) ①a log a N =____; ②log a 1=____; ③log a a N =____; ④log a a =____. (2)对数的重要公式 ①换底公式:log a N =________________(a ,c 均大于零且不等于1); ②log a b =1 log b a ,推广log a b ·log b c ·log c d =________. (3)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么 ①log a (MN )=__________________; ②log a M N =____________; 3对数函数的定义:函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数 4对数函数的图像及性质 5 指、对函数的关系 ③log a M n=__________(n ∈R); ④log am M n= n m log a M. 【例题选讲】 例1 ⑴27 log 9 ,⑵81 log 43 ,⑶()()3 2 log 3 2 - + ,⑷625 log 34 5 例2 ⑴ = ⑵2 5 log()a -= ⑶ 3 log1= = ⑷2 (lg5)lg2lg50 +?=. ⑸()2 151515 log5log45log3 ?+ 例4 ⑴已知 3 log2a =,35 b=用a b ,表示log 对数函数知识点及典型例题讲解 1.对数: (1) 定义:如果,那么称为,记作,其中称为对数的底,N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数,记作___________. ②以无理数为底的对数称为自然对数,记作_________. (2) 基本性质: ①真数N为 (负数和零无对数);②;③; ④对数恒等式:. (3) 运算性质: ① log a(MN)=___________________________; ② log a=____________________________; ③ log a M n= (n∈R). ④换底公式:log a N= (a>0,a≠1,m>0,m≠1,N>0) ⑤ . 2.对数函数: ①定义:函数称为对数函数,1) 函数的定义域为( ;2) 函数的值域为; 3) 当______时,函数为减函数,当______时为增函数; 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( ),图象在;2) 对数函数以为渐近线(当时,图象向上无限接近y轴;当时,图象向下无限接近y轴); 4) 函数y=log a x与的图象关于x轴对称. ③函数值的变化特征: ①②③①②③ 例1 计算:(1) (2)2(lg)2+lg·lg5+; (3)lg-lg+lg. 解:(1)方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==(2+)-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1. (2)原式=lg(2lg+lg5)+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. (3)原式=(lg32-lg49)-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1:化简求值. (1)log2+log212-log242-1; (2)(lg2)2+lg2·lg50+lg25; (3)(log32+log92)·(log43+log83). 解:(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 (2)原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. (3)原式=( 例2 比较下列各组数的大小. (1)log3与log5;(2)log1.10.7与(3)已知logb<loga<logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解:(1)∵log3<log31=0,而log5>log51=0,∴log3<log5. (2)方法一∵0<<1,<,∴0>, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7<方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7<为减函数,且, ∴b>a>c,而y=2x是增函数,∴2b>2a>2c. 变式训练2:已知0<a<1,b>1,ab>1,则log a的大小关系是() B. C. D. 解: C 例3已知函数f(x)=log a x(a>0,a≠1),如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,试求a的取值范围. 解:当a>1时,对于任意x∈[3,+∞),都有f(x)>0. 所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在[3,+∞)上为增函数, ∴对于任意x∈[3,+∞),有f(x)≥log a3. 因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立. 只要log a3≥1=log a a即可,∴1<a≤3. 当0<a<1时,对于x∈[3,+∞),有f(x)<0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f(x)=log a x在[3,+∞)上为减函数, ∴-f(x)在[3,+∞)上为增函数. ∴对于任意x∈[3,+∞)都有 第6讲 对数与对数函数 基础巩固题组 (建议用时:40分钟) 一、填空题 1.如果 ,那么x ,y,1的大小关系是________. 解析 ∵ 是(0,+∞)上的减函数,∴x >y >1. 答案 1<y <x 2.(2014·深圳调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=log 3(1+x ),则f (-2)=________. 解析 f (-2)=-f (2)=-log 33=-1. 答案 -1 3.函数y =log 12 (3x -a )的定义域是? ????23,+∞,则a =______. 解析 要使函数有意义,则3x -a >0,即x >a 3, ∴a 3=23,∴a =2. 答案 2 4.已知f (x )=??? 2a 2,x <2,log a (x 2-1),x ≥2,且f (2)=1,则f (1)=________. 解析 ∵f (2)=log a (22-1)=log a 3=1, ∴a =3,∴f (1)=2×32=18. 答案 18 5.函数y =log a (x -1)+2(a >0,a ≠1)的图象恒过一定点是________. 解析 当x =2时y =2. 答案 (2,2) 6.(2012·重庆卷改编)已知a =log 23+log 23,b =log 29-log 23,c =log 32,则a ,b ,c 的大小关系是________. 解析 a =log 23+log 23=log 233>log 22=1,b =log 29-log 23=log 233=a >1,c =log 32 高考数学第一轮复习9对数与对数函数 9. 对数与对数函数 班级 姓名 一、选择题 1.记6log ,7.0,67.067.0===c b a ,则c b a 、、的大小关系是 ( ) (A )a c b << (B )c a b << (C )b a c << (D )a b c << 2.函数)1ln(1--=x y 的定义域为 ( ) (A ))1,(e +-∞ (B )(]e +1,1 (C ))1,(-∞ (D )(1,11) 3.当0-=a a ax x x f a 在区间)0,2 1(-内单调递增,则a 的取值范围 是 ( ) (A ))1,41[ (B ) )1,4 3[ (C )),49(+∞ (D ))49,1( 二、填空题 6.(1)计算3log 22450lg 2lg 5lg +?+= . (2)若正整数m 满足m m 102105121<<-,则=m ()3010.02lg ≈ 7.函数x x f )21()(=,则函数y =f -1(2x -x 2)的单调递增区间为 . 8.设方程3lg =+x x 的根为,α[]α表示不超过α的最大整数,则[]α的值为 . 9.设函数)1lg()(2 --+=a ax x x f 给出下列命题:①)(x f 有最小值 ;②当0=a 时,)(x f 的值域为R; ③当0>a 时, )(x f 在区间[)+∞,2上有反函数 ; ④若)(x f 在区间[)+∞,2上单调递增,则实数a 的取值范围为4-≥a .其中正确命题的序号是 . 三、解答题 10.已知函数)32(log )(221++-=x x x f . (1)求)(x f 的单调区间;(2)求)(x f 的值域. 经典例题透析 类型一、指数式与对数式互化及其应用 1.将下列指数式与对数式互化: (1);(2);(3);(4);(5);(6). 思路点拨:运用对数的定义进行互化. 解:(1);(2);(3);(4);(5); (6). 总结升华:对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 举一反三: 【变式1】求下列各式中x的值: (1)(2)(3)lg100=x (4) 思路点拨:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x. 解:(1); (2); (3)10x=100=102,于是x=2; (4)由. 类型二、利用对数恒等式化简求值 2.求值:解:. 总结升华:对数恒等式中要注意格式:①它们是同底的;②指数中含有对数形式;③其值为真数.举一反三: 【变式1】求的值(a,b,c∈R+,且不等于1,N>0) 思路点拨:将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂,再进行运算. 解:. 类型三、积、商、幂的对数 3.已知lg2=a,lg3=b,用a、b表示下列各式. (1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 解:(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b (5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a 举一反三: 【变式1】求值 (1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 解: (1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. 【变式2】已知3a=5b=c,,求c的值. 解:由3a=c得: 同理可得 . 【变式3】设a、b、c为正数,且满足a2+b2=c2.求证:. 证明: . 【变式4】已知:a2+b2=7ab,a>0,b>0. 求证:. 证明:∵a2+b2=7ab,∴a2+2ab+b2=9ab,即(a+b)2=9ab,∴lg(a+b)2=lg(9ab),∵a>0,b>0,∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb 即. 类型四、换底公式的运用 4.(1)已知log x y=a,用a表示; (2)已知log a x=m,log b x=n,log c x=p,求log abc x. 一、 教学目标: 1.理解对数的概念,掌握对数的运算性质; 2.掌握对数函数的概念、图象和性质;能利用对数函数的性质解题. 二、教学重、难点: 运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题 三、命题规律: 主要考察指数式b a N =与对数式log a N b =的互化,对数函数的图像和性质或由对数函数复合成的函数,主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等,主要以填空为主。 四、教学内容: 【知识回顾】 1.对数的概念 如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作 ,其中a 叫做对数的 ,N 叫做对数的 。 即指数式与对数式的互化:log b a a N b N =?= 2.常用对数:通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数,记作lg N 。 自然对数:通常将以无理数 2.71828e =???为底的对数叫做自然对数,记作ln N 。 3.对数的性质及对数恒等式、换底公式 (1)对数恒等式:①log N a a = (01,0)a a N >≠>且②log N a a = (01,0)a a N >≠>且 (2)换底公式:log a N =log log b b N a (3)对数的性质:①负数和零没有对数 ② 1的对数是零,即log 10a = ③底的对数等于1,即log 1a a = ④log log log a b c b c d ??=log a d 4.对数的运算性质 如果01,0,0a a M N >≠>>且,那么 (1)log ()a MN = ; (2)log a M N = ; (3)log n a M = ; (4)log n a m M = 。 (5)log log a b b a ?= ; (6)log a b =1log b a 5.对数函数 函数log (01)a y x a a =>≠且做对数函数,其定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).、 6.对数函数图像与性质 注:对数函数1log log (01)a a y x y x a a ==>≠与且的图像关于x 轴对称。 7.同真数的对数值大小关系如图 在第一象限内,图像从左到右相应的底逐渐增大, 即01c d a b <<<<< 8.对数式、对数函数的理解 ① 应重视指数式与对数式的互化关系,它体现了数学的转化思想,也往往是解决“指数、对数”问题的关键。 ② 在理解对数函数的概念时,应抓住定义的“形式”,像2log 2,log 2,3ln x y y x y x ===等函数均不符合形式log (01)a y x a a =>≠且,因此,它们都不是对数函数 ③ 画对数函数log a y x =的图像,应抓住三个关键点1(,1),(1.0),(,1)a a - 对数与对数函数-知识点与题型归纳 ●高考明方向 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般 对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数 函数图象通过的特殊点. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数 (a>0,且a≠1). ★备考知考情 通过对近几年高考试题的统计分析可以看出,本节内容在高考中属于必考内容,且占有重要的分量,主要以选择题的形式命题,也有填空题和解答题.主要考查对数运算、换底公式等.及对数函数的图象和性质.对数函数与幂、指数函数结合考查,利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点. 一、知识梳理《名师一号》P27 注意: 知识点一对数及对数的运算性质 1.对数的概念 2 3 一般地,对于指数式a b =N ,我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ,即b =log a N (a >0,且a ≠1).其中,数a 叫做对数的底数,N 叫做真数,读作“b 等于以a 为底N 的对数”. 注意:(补充)关注定义---指对互化的依据 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么 ①log a (MN )=log a M +log a N ; ②log a M N =log a M -log a N ; ③log a M n =n log a M (n ∈R); ④log a m M n =n m log a M . (2)对数的性质 ①a log aN =N ;②log a a N =N (a >0,且a ≠1). (3)对数的重要公式 ①换底公式:log b N =log a N log a b (a ,b 均大于零且不等于1); ②log a b =1 log b a ,推广log a b ·log b c ·log c d =log a d . 注意:(补充)特殊结论:log 10,log 1a a a ==专练9 对数与对数函数
第6讲 对数与对数函数
A1-1-10对数的概念与性质
对数与对数函数
对数函数知识点及典型例题讲解
2015高考数学(理)一轮题组训练:2-6对数与对数函数
高考数学第一轮复习9对数与对数函数
带答案对数与对数函数经典例题.
对数函数讲义(可直接使用).
对数与对数函数-知识点与题型归纳
2020版高考数学新设计大一轮复习-第6节对数与对数函数习题理(含解析)新人教A版