12．3．1 概率的加法公式
2．任意事件概率的加法公式
任意事件概率的加法公式为 P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）
公式可以推广到有限个事件的情形。下面给出三个事件的并的概率加法公式：
P （A ∪B ∪C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ）－P （AB ）－P （AC ）－P （BC ）+P （ABC ）
例2 如图12-6（课本）所示的线路中，元件a 发生故障的概率为0.08,元件b 发生故
障的概率为0.05,元件a,b ，同时发生故障的概率为0.004,求线路中断的概率。
解 设A={元件a 发生故障}，B={元件b 发生故障}，C={线路中断}，根据电学知识
可知
C=A ∪B 。根据题意可知，P （A ）=0.08, P(B)=0.05, P(AB)=0.004. 由公式12-4得
P(C)=P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）=0.08+0.05－0.004=0.126.
课堂练习
12．3．2概率的乘法公式
1．条件概率
定义 在事件A 发生的条件下发事件B 发生的概率叫条件概率，记作P （B ︱A ）。
例3 五个球中有三个白球，二个红球，每次任取一个，不放回抽取两次，试求在第
一次取到红球的条件下第二次取到白球的概率。
解 设A={第一次取到红球}，B={第二次取到白球}。
由于事件A 已经发生，而且取出的球不放回，所以5个球中只剩下4个，其中白球仍
有三个，于是由古典概型可知 P （B ︱A ）=
43 条件概率有以下计算公式：
P （B ︱A ）=)()(A P AB P P （A ）≠0 P （A ︱B ）=)
()(B P AB P P （B ）≠0。 （12-6） 课堂练习
2．乘法公式
由条件概率的计算公式可得
P （AB ）=P （A ）P （B ︱A ）=P （B ）P （A ︱B ） （12-7）
公式（12-7）称为概率的乘法公式。
例4 设在一个盒子中装有10只晶体管，4只是次品，6只是正品，从中接连取两次，
每次任取一只，取后不再放回。问两次都取到正品管子的概率是多少？
解 设A={第一次取到的是正品管子}，B={第二次取到的是正品管子}。
则AB={两次都取到正品管子}。
因为 P （A ）=106， P （B ︱A ）=9
5， 所以，由公式（12-7）得 P （AB ）=P （A ）P （B ︱A ）=
3195106=?。 概率的乘法公式，可以推广到有限个积事件的情形，下面给出三个事件积的概率公式：
P （ABC ）=P （A ）P （B ︱A ）P （C ︱AB ）。
12．3．3 事件的独立性
定义 如果事件A （或B ）的发生不影响事件B （或A ）发生的概率，即P （B ︱A ）
=P （B ）或P （A ︱B ）=P （A ），那么事件A 、B 叫做相互独立事件。
如果事件A 、B 相互独立，那么两事件的积AB 的概率等于两个事件概率的乘积，即
P （AB ）=P （A ）P （B ）
反过来，如果上式成立，那么事件A 、B 一定相互独立。
如事件A 和事件B 相互独立，则A 与B A A B B ,与，
与都是相互独立的。 如果事件n A A A ，?,,21中任一事件i A （i=1，2，…，n ）发生的概率不受其他事件发生的影响，那么事件n A A A ，?,,21叫做相互独立事件，并且有
P （n A A A ?21）=P ）（）（）（n A A P A ?21
例5 掷甲、乙两枚硬币，事件A 表示甲币出现“正面向上”，事件B 表示乙币出现“正面向上”，计算P （A ），P （B ），P （B ︱A ）和P （A ︱B ）。
解 根据题意，全集Ω={（正正），（正反），（反正），（反反）}，
所以 P （A ）=,2142)(,2142===B P ，P （B ︱A ）=21，P （A ︱B ）=21。 由例5可以看出，P （B ︱A ）=P （B ），P （A ︱B ）=P （A ），即事件A 、B 相互独立。 例6 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算： （1）两人都击中目标的概率；
（2）其中恰有一人击中目标的概率； （3）至少有一人击中目标的概率。
解 设A={甲击中目标}，B={乙击中目标}。由于甲（或乙）是否击中目标，对乙（或
甲）是否击中的概率是没有影响的，因此A 与B 是相互独立的事件，A 与B A B A B 与，
与,都是相互独立事件。
（1）“两人都击中目标”就是事件AB ，由公式（12-9）得
P （AB ）=P （A ）P （B ）=0.6×0.6=0.36
(2)事件”恰有1人击中目标”就是事件B A B A ?，所以
P （B A B A ?）=)()()()()()(B P A P B P A P B A P B A P +=+=0.6×（1－0.6）+(1－0.6)×0.6=0.48
(3)事件“至少有1人击中目标”即事件A ∪B,
所以 P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P （AB ）=P （A ）+P （B ）－P （A ）P （B ）=0.6+0.6－0.6×0.6=0.84
或用A ∪B 的逆事件“两人都未击中目标”也就是B A 来计算
P （A ∪B ）=1－P （B A ）=1－P （)()B P A =1－（1-0.6）×(1－0.6)=0.84
课堂练习：p183.1.2.3.
小结：1、互斥事件概率的加法公式
2、任意事件概率的加法公式
3、条件概率及其求法
4、概率的乘法公式
5、事件的独立性
班级：___ 姓名：________ 一、新知导学 1．互斥事件、事件的并、对立事件 不可能同时发生的两个事件叫做__________ (或称为_________事件)。由事件A 和B 至少有一个发生(即A 发生，或B 发生，或A 、B 都发生)所构成的事件C ，称为____________ (或和)。记作_________(或C=A+B)。 事件A B 是由事件A 或B 所包含的基本事件所组成的集合。 不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为__________。 事件A 的对立事件记作A 。 2.若A 、B 是互斥事件。在n 次试验中，事件A 出现的频数是n 1，事件B 出现的次数是n 2，则事件A B 出现的频数为________，所以事件A B 的频率为_________。 用n μ表示在n 次试验中事件出现的频率，则总有n μ(A B)=_____________，由概率的统计定义可知P(A B)=____________。 3.如果事件n A A A ,,,21 两两互斥，那么事件12n A A A 发生(是指事件n A A A ,,,21 中至少有一个发生)的概率，等于这n 个事件分别发生的_______，即P(12n A A A )=______________，称为互斥事件的概率加法公式。 4.一般地，两个事件对立，则两个事件必是互斥事件；反之，两个事件是互斥事件，但未必是对立事件。对立事件的概率公式为__________________________。 二、课前自测 1、判断下列各对事件是否为互斥事件。 某小组有3名男生和5名女生,从中任选2名同学去参加英语竞赛, (1)恰有1名男生与恰有2名男生；______；(2)至少有1名女生与全是女生。 _______ 2、给出以下四个命题： (1)将一枚硬币抛掷二次，设事件A ：“二次都出现正面”，事件B ：“二次都出现反面”．则事件A 与事件B 是对立事件；(2)在命题(1)中，事件A 与事件B 是互斥事件； (3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件．事件A ：“所取3件中最多有2件是次品”．事件B ：“所取3件中至少有2件是次品”．则事件A 与事件B 是互斥事件． 其中真命题的个数是（ ）. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
概率的加法公式及应用 概率的加法公式是计算概率的一个最基本的公式，根据它可以计算一些复杂事件的概率．在学习时，要注意把握以下几点： 一、注意区分互斥事件与对立事件 互斥事件与对立事件既有联系又有区别．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．明确了事件间的关系，解复杂事件的概率问题就会有的放矢． 例1 从1 29，，，中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是（ ）． （Ａ）① （Ｂ）②④ （Ｃ）③ （Ｄ）①③ 解析：首先看是否为互斥事件，然后再看两事件是否必有一个发生，若必有一个发生，则为对立事件，否则，不是对立事件． 因为从1，2，…，9中任取两数，有以下三种情况：两个奇数；两个偶数；一个奇数和一个偶数，所以“至少有一个奇数”的对立事件显然是“两个都是偶数”，故选（Ｃ）． 二、准确应用互斥事件的概率加法公式 若事件A 与B 互斥，则()()()P A B P A P B =+（推广情况1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++） ，利用这一公式解题体现了化整为零、化难为易的思想．但要注意用此公式时，首先要判断事件是否互斥，如果事件不互斥，就不能用此公式． 例2 甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为0.65，乙的命中率为0.60，那么能否得出结论，目标被命中的概率为0.650.60 1.25+=，为什么？ 解析：不能．因为甲命中目标与乙命中目标两事件不是互斥事件，故不能使用概率加法公式计算，且概率不可能大于１，结论显然不对． 例3 某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下： 计算在同一时期内，河流此处的年最高水位在下列范围内的概率：（1）[)1018m ，；（2）[)814 m ，． 解析：记此处河流的年最高水位在[)810，，[)1012，，[)1214，，[)1416，，[)1618(m) ，范围内分别为事件A B C D E ，，，，，则这5个事件是彼此互斥的，据互斥事件概率加法公式： （1）此处河流的年最高水位在[)1018(m )，的概率是()()()()()0.90P B C D E P B P C P D P E =+++=． （2）此处河流的年最高水位在[)814(m)，的概率是
3．2.1 & 3.2.2 古典概型 概率的一般加法公式(选学) 预习课本P102～107，思考并完成以下问题 (1)古典概型的特征是什么？ (2)古典概型的概率计算公式是什么？ [新知初探] 1．古典概型的概念 (1)定义：如果一个概率模型满足： ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个基本事件发生的可能性是均等的． 那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (2)计算公式：对于古典概型，任何事件A 的概率 P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数. 2．概率的一般加法公式(选学) (1)事件A 与B 的交(或积)： 由事件A 和B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与B 的交(或积)，记作D ＝A ∩B (或D ＝AB )． (2)概率的一般加法公式： 设A ，B 是Ω的两个事件，则有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )． [小试身手] 1．下列关于古典概型的说法中正确的是( ) ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n ，随机事件A 若包含k 个基本事件，则P (A )＝k n . A ．②④ B ．①③④ C ．①④ D ．③④
解析：选B 根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B. 2．下列试验是古典概型的是( ) A ．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{}取中白球和{}取中黑球 B ．在区间[－1,5]上任取一个实数x ，使x 2－3x ＋2＞0 C ．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面 D ．某人射击中靶或不中靶 解析：选C A 中两个基本事件不是等可能的；B 中基本事件的个数是无限的；D 中“中靶”与“不中靶”不是等可能的；C 符合古典概型的两个特征，故选C. 3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( ) A.1 2 B.1 3 C.2 3 D ．1 解析：选C 从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P ＝2 3 . 4．两个骰子的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个实根的概率为( ) A.12 B.1536 C.1936 D.56 解析：选C (b ，c )共有36个结果，方程有解，则Δ＝b 2－4c ≥0，∴b 2≥4c ，满足条件的数记为(b 2,4c )，共有(4,4)，(9,4)，(9,8)，(16,4)，(16,8)，(16,12)，(16,16)，(25,4)，(25,8)，(25,12)，(25,16)，(25,20)，(25,24)，(36,4)，(36,8)，(36,12)，(36,16)，(36,20)，(36,24)，19个结果，P ＝19 36 . 基本事件的计数问题 [典例] (1)42张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 (2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．
概率计算公式 加法法则 P(A∪B)＝P（A）+Ｐ（B)－P(AB 条件概率 当P(A)>0，P(B|A）=P(AＢ）/P（A） 乘法公式 P(AＢ）＝P（Ａ)×Ｐ（B|Ａ)=Ｐ（B）×Ｐ（A|Ｂ) 计算方法 “排列组合”的方法计算 记法 P（Ａ)=Ａ 加法法则 定理:设Ａ、B是互不相容事件（ＡＢ=φ),P（AB)=0。则Ｐ（Ａ∪B)=P（A）＋P(B）-Ｐ（AB)=p（Ａ)+P（B） 推论1:设Ａ1、A2、…、An互不相容,则:Ｐ(Ａ1+A2+.。.＋An)= P（Ａ1） +P（A2) +…+ P（An) ...文档交流仅供参考... 推论2:设Ａ１、 A2、…、 Aｎ构成完备事件组，则:P （A1＋A2+。．.＋Ａn）＝1 推论3：P（A）=1—Ｐ(A＇) 推论4：若Ｂ包含A，则P（B—A）＝ P（B）—P(A) 推论５(广义加法公式):
对任意两个事件A与Ｂ，有P（A∪B)=Ｐ(A）+Ｐ(B)—Ｐ（ＡＢ） 折叠条件概率 条件概率:已知事件B出现的条件下A出现的概率，称为条件概率,记作：P(Ａ|B） 条件概率计算公式： 当P(A）＞0,P（B｜A)＝P(ＡB)/P（A) 当Ｐ（Ｂ)＞0，Ｐ(A|B）=P（AB）/P(B） 折叠乘法公式 Ｐ(AB)=Ｐ（A）×P(B|A）＝P（B）×P(Ａ|Ｂ) 推广:P(ABＣ)=P（A）Ｐ（B｜A）P(C｜AB) 折叠全概率公式 设：若事件A1,A2，…,Ａn互不相容,且Ａ1+A２＋…+Ａn=Ω,则称A1，A２，…，Ａn构成一个完备事件组....文档交流仅供参考... 全概率公式的形式如下: 以上公式就被称为全概率公式。
12．3．1 概率的加法公式 2．任意事件概率的加法公式 任意事件概率的加法公式为 P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ） 公式可以推广到有限个事件的情形。下面给出三个事件的并的概率加法公式： P （A ∪B ∪C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ）－P （AB ）－P （AC ）－P （BC ）+P （ABC ） 例2 如图12-6（课本）所示的线路中，元件a 发生故障的概率为0.08,元件b 发生故 障的概率为0.05,元件a,b ，同时发生故障的概率为0.004,求线路中断的概率。 解 设A={元件a 发生故障}，B={元件b 发生故障}，C={线路中断}，根据电学知识 可知 C=A ∪B 。根据题意可知，P （A ）=0.08, P(B)=0.05, P(AB)=0.004. 由公式12-4得 P(C)=P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）=0.08+0.05－0.004=0.126. 课堂练习 12．3．2概率的乘法公式 1．条件概率 定义 在事件A 发生的条件下发事件B 发生的概率叫条件概率，记作P （B ︱A ）。 例3 五个球中有三个白球，二个红球，每次任取一个，不放回抽取两次，试求在第 一次取到红球的条件下第二次取到白球的概率。 解 设A={第一次取到红球}，B={第二次取到白球}。 由于事件A 已经发生，而且取出的球不放回，所以5个球中只剩下4个，其中白球仍 有三个，于是由古典概型可知 P （B ︱A ）= 43 条件概率有以下计算公式： P （B ︱A ）=)()(A P AB P P （A ）≠0 P （A ︱B ）=) ()(B P AB P P （B ）≠0。 （12-6） 课堂练习 2．乘法公式 由条件概率的计算公式可得 P （AB ）=P （A ）P （B ︱A ）=P （B ）P （A ︱B ） （12-7） 公式（12-7）称为概率的乘法公式。 例4 设在一个盒子中装有10只晶体管，4只是次品，6只是正品，从中接连取两次， 每次任取一只，取后不再放回。问两次都取到正品管子的概率是多少？ 解 设A={第一次取到的是正品管子}，B={第二次取到的是正品管子}。 则AB={两次都取到正品管子}。 因为 P （A ）=106， P （B ︱A ）=9 5， 所以，由公式（12-7）得 P （AB ）=P （A ）P （B ︱A ）= 3195106=?。 概率的乘法公式，可以推广到有限个积事件的情形，下面给出三个事件积的概率公式： P （ABC ）=P （A ）P （B ︱A ）P （C ︱AB ）。 12．3．3 事件的独立性 定义 如果事件A （或B ）的发生不影响事件B （或A ）发生的概率，即P （B ︱A ） =P （B ）或P （A ︱B ）=P （A ），那么事件A 、B 叫做相互独立事件。 如果事件A 、B 相互独立，那么两事件的积AB 的概率等于两个事件概率的乘积，即
2．1 古典概型的特征和概率计算公式 整体设计 教学分析 本节课是高中数学(必修3)第三章“概率”的第二节“古典概型”的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的．古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位．学好古典概型可以为其他概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题．概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例．使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神．三维目标 1．根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，正确理解古典概型的两大特点；树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生用随机的观点来理性地理解世界，使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神． 2．鼓励学生通过观察、类比，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，归纳总结出古典概型的概率计算公式，掌握古典概型的概率计算公式；注意公式：P(A)＝事件A包含的可能结果数 的使用条件——古典概型，体现了化归的重要思想．掌握列举法，试验的所有可能结果数 学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度． 重点难点 教学重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率． 教学难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(1)掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件．
§3.1.3 概率的基本性质 一、教材分析 教科书通过掷骰子试验,定义了许多事件,及其事件之间的关系,事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念. 教科书通过类比频率的性质,利用频率与概率的关系得到了概率的几个基本性质,要注意这里的推导并不是严格的数学证明,仅仅是形式上的一种解释,因为频率稳定在概率附近仅仅是一种描述,没有给出严格的定义,严格的定义,要到大学里的概率统计课程中才能给出. 二、教学目标 1、知识与技能： （1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念； （2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) （3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系. 2、过程与方法： 通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。 3、情感态度与价值观： 通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习数学的情趣。 三、重点难点 教学重点：概率的加法公式及其应用. 教学难点：事件的关系与运算.
四、课时安排 1课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路1 体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格,某班50名学生参加了体育考试,结果如下： 在同一次考试中,某一位同学能否既得优又得良？ 从这个班任意抽取一位同学,那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率是多少？ 为解决这个问题,我们学习概率的基本性质,教师板书课题. 思路2 （1）集合有相等、包含关系,如{1,3}={3,1},{2,4} {2,3,4,5}等； （2）在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现1点或2点},C4={出现的点数为偶数}……. 师生共同讨论：观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系与运算吗？这就是本堂课要讲的知识概率的基本性质. 思路3 全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛,她们夺取冠军的概率分别是2/7和1/5,则该省夺取该次冠军的概率是2/7+1/5,对吗？为什么？为解决这个问题,我们学习概率的基本性质. （二）推进新课、新知探究、提出问题
3．1．3概率的基本性质 【课题】：概率的基本性质 【教学目标】： 1、知识与技能：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念； （2）概率的几个基本性质： ①、必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； ②、当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)； ③、若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) （3）利于用集合观点研究事件的关系。 2、过程与方法：在具体教学过程中，教师可在教材的基础上适当拓展，使得内容更为丰富．教师可以运用和学生共同探究式的教学方法，学生可以采取自主探讨式的学习方法． 3、情感态度与价值观：培养学生共同探究式的学习能力． 【教学重点】：概率的基本性质 【教学难点】：概率的加法公式 【课前准备】：课件，Powerpoint或投影片 【教学过程设计】： 教学环节教学活动设计意图 一、复习引入复习相关重要概念，加深对随机事件概率的定义的理解为引入事件的关系 和运算作准备 二、探究新知、例题讲解一、探究新知 （1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С{2，3，4，5} 等； （2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C1={出现1点}，C2={出现 2点}，C3={出现1点或2点}，C4={出现的点数为偶数}…… 师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件 的关系与运算吗？ 教师和学生总结基本本概念如下： 二、基本概念： （1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P112； （2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥； （3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B 引导学生类比集合 与集合的关系、运 算，总结出事件
2．2．1条件概率 寿阳县第一职业中学` 付慧萍 教学目标： 知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。 过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 教学重点：条件概率定义的理解 教学难点：概率计算公式的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体 教学设想：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。 教学过程： 一、复习引入： 探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小. 若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“Y”，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y，Y Y Y和Y Y Y．用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”, 则B 仅包含一个基 本事件Y Y Y．由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 1 () 3 P B=. 思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？ 因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y和Y Y Y．而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y.由古典概型计算公式可知．最后一名同学抽到中奖 奖券的概率为1 2 ，不妨记为P（B|A ) ，其中A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”. 已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？ 在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件A 中，从而影响事件B 发生的概率，使得P ( B|A ）≠P ( B ) . 思考:对于上面的事件A和事件B，P ( B|A）与它们的概率有什么关系呢？ 用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛Y Y Y, Y Y Y,Y Y Y｝．既然已知事件A必然发生，那么只需在A={Y Y Y, Y Y Y}的范围内考虑问题，即只有两个基本事件Y Y Y和Y Y Y．在事件A 发生的情况下事件B发生，等价于事件A 和事件B 同时发生，即AB 发生．而事件AB 中仅含一个基本事件Y Y Y，因此 (|) P B A=1 2 = () () n AB n A .
《概率的加法公式》 执教人：魏静 1.教学目标： 知识目标：通过探究式教学，使学生正确理解“互斥事件”，“彼此互斥”和“对立事件”的概念， 能力目标：理解并掌握当A ，B 互斥时“事件AUB ”的含义，了解两个互斥事件的概率加法公式，并会利用两个对立事件的概率和为1的关系，简化一些概率的运算，同时，会应用所学知识解决一些简单的实际问题。 情感目标：培养学生良好的学习习惯，激发学生的学习兴趣 2、教学重点、难点： 本节的教学重点是互斥事件和对立事件的概念以及互斥事件的加法公式，教学难点是互斥事件与对立事件的区别和联系。 3、教学过程： 复习 什么是概率? 在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率 ，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作 预先提问：(学生预习，教师提问) 互斥事件（互不相容事件）：在同一次试验中不可能同时发生的两个事件 针对练习：（检验学生预习成果） 1、下列各组事件中，不是互斥事件的是（ ） A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6 m n ()P A
韦恩图表示： B.统计一个班级数学期中考试成绩，平均分不低于90分与平 均分不高于90。 C.播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒。 D.检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%。 2. 下列各事件中是互斥事件的是( ) A.抽奖活动中抽到二等奖与中奖 B.射击一次命中环数为9环与命中环数大于8 C.小明在一次考试中成绩优秀与成绩良好 D.抛掷骰子出现奇数点与出现3点 两个事件互斥的集合解释： 集合A 表示事件A 的基本事件空间，集合B 表示事件B 的基本事件空间，集合A 与集合B 的关系？ 事件的并（和）： 由事件A 和B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或 A B φ ?=
《概率的加法公式》习题 1.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次射击中： （1）射中10环或9环的概率； （2）至少射中7环的概率； （3）射中环数不足8环的概率. 2．从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中，是对立事件的是（ ） A.① B.②④ C.③ D.①③ 3.甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是 ,乙获胜的概率是 ，则甲不胜的概率是（ ） A . B . C . D . 4. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A .“至少有一个黑球”与“都是黑球” B .“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C .“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D .“至少有一个黑球”与“都是红球” 5.抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为（ ） A . 至多两件次品 B . 至多一件次品 C . 至多两件正品 D . 至少两件正品 6.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85) (g)范围内的概率是（ ） A .0.62 B .0.38 C .0.02 D .0.68 7.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03、丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为（ ） A .0.09 B .0.98 C .0.97 D .0.96 8.为了调整个人所得税征收制度，某机构准备调查了解某市市民的收入情况，随机抽取了n 名市民进行试点调查，其月收入介于1200元和4200元之间，将调查结果按如下方式分为五组：第一组[)1200,1800；第二组[)1800,2400；；第五组[]3600,4200，下表是按 上述分组方式得到的频率分布表： 分组 频数 频率 [)1200,1800 x a [)1800,2400 90 b 12561 6 23121 3
2019-2020学年高中数学第三章概率 3.2.2 概率的一般加法公式（选学） 教案新人教B版必修3 目标导航 了解两个互斥事件的概率加法公式. 重难点突破 重点：了解两个互斥事件的概率加法公式. 难点：学会怎样计算互斥事件的概率. 每课一记 1.一般的，如果n个事件A1、A2、……An彼此互斥，那么事件“A1＋A2＋……＋An”发生的概率，等于这n个事件分别发生的概率之和，即P（A1＋A2＋……＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋……＋P（An） 2.对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件. 对立事件性质：P（A）＋P（A）＝1或P（A）＝1－P（A） 经典例题 [例1]今有标号为1、2、3、4、5的五封信，另有同样标号的五个信封，现将五封信任意地装入五个信封中，每个信封一封信，试求至少有两封信与信封标号一致的概率. [解析]至少有两封信与信封的标号配对，包含了下面两种类型：两封信与信封标号配对；3封信与信封标号配对；4封信与信封标号配对，注意：4封信配对与5封信配对是同一类型.现在我们把上述三种类型依次记为事件A1、A2、A3，可以看出A1、A2、A3两两互斥，记“至少有两封信与信封标号配对”为事件A，事A发生相当于A1、A2、A3有一个发生，所以用公式P（A）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）可以计算P(A). [答案]设至少有两封信配对为事件A，恰好有两封信配对为事件A1，恰有3封信配对为事件A2，恰有4封信（也就是5封信）配对为事件A3，则事件A 等于事件A1＋A2＋A3，且A1、A2、A3事件为两两互斥事件，所以P（A）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）. 5封信放入5个不同信封的所有放法种数为，其中正好有2封信配对的不同结果总数为；正好有3封信配对的不同结果总数为；正好有4封信（5封信）全配对的不同结果总数为1；而且出现各种结果的可能性相同
《概率的加法公式》教学设计 1、教学目标： （1）知识与技能目标：通过探究式教学，使学生正确理解“互斥事件”，“彼此互斥”和“对立事件”的概念，理解并掌握当A，B互斥时“事件AUB”的含义，了解两个互斥事件的概率加法公式，并会利用两个对立事件的概率和为1的关系，简化一些概率的运算，同时，会应用所学知识解决一些简单的实际问题。 （2）过程与方法目标：在本节教学中，通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，引导学生学会如何观察、推理、归纳、类比、引申、反思和评价，注重培养学生的数学交流表达的能力，知识间纵横迁移的视角转换能力，提高直觉思维能力。 （3）情感态度与价值观目标：增强学生合作学习交流的机会，感受与他人合作的重要性，同时养成手、口、眼、耳、脑五官并用的良好习惯。 2、教学重点、难点： 本节的教学重点是互斥事件和对立事件的概念以及互斥事件的加法公式，教学难点是 互斥事件与对立事件的区别和联系。 3、教学过程： 新授课之前的准备工作：（1）将全班学生分成若干组，每组8人，原则是自愿组合，老师适当调整，使每个小组尽可能具备讨论问题的氛围基础。（2）精选出9个合适的题目制成思考题单，课前发到各个小组，各小组就自己感兴趣的问题分析思考，以奠定上课时各组之间研究问题的基础。（3）做好相应的多媒体演示课件，根据教学情况之需适时演示。 师：1个盒内放有10个大小相同的乒乓球，其中5个红球，3个绿球，2个黄球，若从中任取一个球，得到红球记为“事件A”，从中任取一个球，得到绿球记为“事件B”，从中任取一个球，得到黄球记为“事件C”，则事件A、B、C之间存在什么关系？ （学生暂时还不能解决这个问题。） 师：请同学们首先思考这样一个问题：如果从盒中摸出一个球是红球，则说明事件A 怎样？ 生：事件A发生。 师：很好，那么如果从盒中摸出一个球是绿球，即事件B发生，则说明事件A又怎样？ 生：事件A没有发生。
3.2.2概率的一般加法公式 (选学) 自主学习 学习目标 了解概率的一般加法公式，会进行简单的应用． 自学导引 1．事件A与B的交(或积)由事件A和B____________所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作D＝________(或D＝________)． 2．事件A∩B是由事件A和B________________________组成的集合． 3．概率的一般加法公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 对点讲练 知识点一事件的交的概念 例1写出下列事件的交事件． (1)某人射击，事件A：“击中的环数大于3”，事件B：“击中的环数小于7”； (2)抛掷一颗骰子，事件A：“出现奇数点”，事件B：“出现3点”，事件C：“出现偶数点”． 变式迁移1从15件产品(其中有2件次品)中任取2件产品，记A为“至少有1件正品”，B为“至少有1件次品”，则A∩B＝________________________________________________. 知识点二概率的一般加法公式应用 例2甲、乙两人各射击1次，命中率各为0.8和0.5，两人同时命中的概率为0.4，求“甲、乙至少有1人命中”的概率．
点评 两个相容事件至少有一个发生时用概率的一般加法公式求解． 变式迁移2 四人参加4×100接力，求“甲跑第一棒或乙跑第四棒”的概率． 1．事件的交、事件的并的概念． 2．概率的一般加法公式的应用，注意分析事件之间的关系. 课时作业 一、选择题 1．连续抛掷两次硬币，记事件A 为“至少有一次正面朝上”，B 为“至少有一次反面朝上”，则P (A ∪B )为( ) A.23 B.12 C ．1 D ．0 2．已知事件A 、B ，则下列式子正确的是( ) A ．P (A ∪ B )＝P (A )＋P (B ) B ．P (A ∩B )＝P (A )－P (B ) C ．P (A ∩B )
《概率的加法公式》教学设计 新授课之前的准备工作：（1）将全班学生分成若干组，每组8人，原则是自愿组合，老师适当调整，使每个小组尽可能具备讨论问题的氛围基础。（2）精选出9个合适的题目制成思考题单，课前发到各个小组，各小组就自己感兴趣的问题分析思考，以奠定上课时各组之间研究问题的基础。（3）做好相应的多媒体演示课件，根据教学情况之需适时演示。 师：1个盒内放有10个大小相同的乒乓球，其中5个红球，3个绿球，2个黄球，若从中任取一个球，得到红球记为“事件A”，从中任取一个球，得到绿球记为“事件B”，从中任取一个球，得到黄球记为“事件C”，则事件A、B、C之间存在什么关系？ （学生暂时还不能解决这个问题。） 师：请同学们首先思考这样一个问题：如果从盒中摸出一个球是红球，则说明事件A怎样？ 生：事件A发生。 师：很好，那么如果从盒中摸出一个球是绿球，即事件B发生，则说明事件A又怎样？ 生：事件A没有发生。 师：通过对以上两个问题的探究，你发现事件A和事件B具有怎样的关系？（让学生思考） 生甲：事件A和事件B不能同时发生。 师：事件A和事件B就叫互斥事件，请同学们给互斥事件下个定义。 生乙：在一次试验中事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。 师：很好，那么事件B与事件C是怎样的关系？事件A与事件C又是怎样的关系？ 生：两个都是互斥事件。 师：如果事件A、B、C其中任何两个都是互斥事件（两两互斥），就说A、B、C彼此互斥，那么四个及四个以上的事件是否也能存在这种关系呢？若能请你把它推广到n个。 生丙：能，就以上题为例，把盒中的球的颜色增加到若干种即可，有几种颜色就能有几个互斥事件。 师：很好，我们再来思考另一个问题，请同学们联想集合的知识，思考能否用集合的知识来解释互斥事件的概念？ 生丁：从集合角度看两个互斥事件是指由两个事件所含基本事件组成的集合不相交。 师：若n个事件彼此互斥呢？ 生戊：n个事件彼此互斥是指n个事件所含的基本事件组成的集合彼此都不相交。 师：请同学们看屏幕，用维恩图图（2）、图(3)来深刻理解互斥事件。
§2 随机事件的概率，古典概型与概率的加法公式 2000/7/31 一． 概率的统计定义： １．频率： 随机事件在一次具体的试验是否发生，虽然不能预先知道，但是，当大量重复同 一试验时，随机现象却呈现出某种规律, 即所谓统计规律性． 如：历史上有人作过成千上万次投掷硬币，下表列出他们的试验记录： ２．随机事件 1。随机事件及其概率 2。古典概型 容易看出，投掷次数越多正面向上的频率越接近０．５，其中 事件Ａ发生的次数 频数 事件Ａ发生的频率＝ ＝ 试验总次数 试验总次数 ． 我们将事件发生的可能性大小只停留在定性了解不够的，下面给出事件发生的可能性大小的客观的定量的描述，称为事件发生的概率． ２．随机事件的概率： （１） 定义：在不变的一组条件Ｓ下，重复作n 次试验，记μ是n 次试验中事件A 发生 的次数．当试验的次数n 很大时，如果频率 n μ 稳定在某一数值p 的附近摆动，而且一来随着试验次数增多，这种摆动的幅度越变越小，则称数值p 为事件A 在条件Ｓ下发生的概率，记作 ()P A p = 这里，频率的稳定性是概率一个直观朴素的描述，通常称为概率的统计定义．但必须指出，事件的频率是带有随机性的，这是由事件本身的随机性所决定。而事件的概率，却是一个客观存在的实数，是不变的。 二． 古典概型： １．定义： 如果随机现象满足下列三个条件：
(1) 一次试验可能结果只有有限个，即所有基本事件只有有限个： 12,,,n A A A L ， (2) 每一个基本事件(1,2,,)i A i n =L 发生的可能性是相等的． (3) 基本事件(1,2,,)i A i n =L 是两两互不相容 满足以上三个条件的随机现象模型，称为古典概型． 在古典概型中，如果n 为基本事件总数， m 为事件A 包含的基本事件数, 那么事件A 的概率 ()m P A n = = 法国数学家拉普拉斯(Laplace)在1812年把上式作为概率的一般定义．现在通常称它 为概率的古典概型的定义，因为它只适用于古典概型场合． ２． 古典概型公式的运用举例： 【例1】 袋里有2个白球和3个黑球．从袋任取出一球，求它是白球的概率． 解 ： 容易看出，“从袋里任取一球”这一试验是古典概型的，且 基本事件总数n ＝5，取到白球的基本事件数m ＝2，故 把白球换为合格产品，黑球换为废品，则这个摸球模型就可以描述产品抽样检验问题．这种模型化的方法把表面上不同的问题归类于相同的模型之小中，能使问题更消楚，更易于计算。 【例2】把a, b 两个球随机地放到编号为I, Ⅱ, Ⅲ 的三只盒子里，求盒子I 中没有球的概率。 解：这是一个古典概型问题， 把a, b 两个球随机地放到编号为I, Ⅱ, Ⅲ 的三只盒子里，基本事件总数 2 39n == 设Ａ＝“盒子I 中没有球”，则事件A 包含的基本事件数 2 24m == ∴ 4()9 P A = 【例3】有一个口袋，内装a 只白球，b 只黑球，它们除颜色不同外，外形完全一样, 从袋了中任不同外，外形完全一样. 现任意模出2个球时，求： （１）模出2个球都是白球的概率； （２）模出一个白球一个黑球的概率
概率公式整理 1．随机事件及其概率 吸收律：A AB A A A A =?=??Ω =Ω?)(A B A A A A A =??? =??=Ω?)( 反演律：B A B A =?B A AB ?= 2．概率的定义及其计算 若B A ?)()()(A P B P A B P -=-? 对任意两个事件A ,B ,有)()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A ,B ,有 )()1()() ()()(2 1 1 111 1 n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++ - =∑∑∑3．条件概率()= A B P ) () (A P AB P 乘法公式 ()() )0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式 Bayes 公式 4．随机变量及其分布 分布函数计算 5．离散型随机变量 (1)0–1分布 (2)二项分布),(p n B 若P (A )=p *Possion 定理 有 ,2,1,0!)1(lim ==---∞ →k k e p p C k k n n k n k n n λ λ (3)Poisson 分布)(λP 6．连续型随机变量 (1)均匀分布),(b a U (2)指数分布)(λE (3)正态分布N (?,?2) *N (0,1)—标准正态分布 7.多维随机变量及其分布 二维随机变量(X,Y )的分布函数 边缘分布函数与边缘密度函数 8.连续型二维随机变量 (1) 区域G 上的均匀分布，U (G ) (2)二维正态分布 +∞<<-∞+∞<<∞-?-= ?????? ? ???????-+------y x e y x f y y x x ,121),(2 222212121212) ())((2)()1(212 21σμσσμμρσμρρ σπσ9.二维随机变量的条件分布 10.随机变量的数字特征 数学期望 随机变量函数的数学期望 X 的k 阶原点矩)(k X E X 的k 阶绝对原点矩)|(|k X E X 的k 阶中心矩)))(((k X E X E - X 的方差)()))(((2X D X E X E =- X,Y 的k+l 阶混合原点矩)(l k Y X E X,Y 的k+l 阶混合中心矩 X,Y 的二阶混合原点矩)(XY E
《概率的加法公式》教案 教学目标： 通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式. 教学重点： 通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式. 教学过程： 1．在10个杯子里，有5个一等品，3个二等品，2个三等品.现在我们从中任取一个. 设：“取到一等品”记为事件A “取到二等品”记为事件B “取到三等品”记为事件C 分析：如果事件A 发生，事件B 、C 就不发生，引出概念. 概念：在一次随机事件中，不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件.（如上述中的A 与B 、B 与C 、A 与C ） 一般的：如果事件A1、A2……An 中，任意两个都是互斥事件，那么说A1、A2……An 彼此互斥. 例1某人射击了两次.问：两弹都击中目标与两弹都未击中，两弹都未击中与至少有一个弹击中，这两对是互斥事件吗？ 例2：P106，例1 2．再回想到第一个例子：P （A ）=105 P （B ）=103 P （C ）=102 问：如果取到一等品或二等品的概率呢？ 答：P （A+B ）=1035 =105+103 =P （A ）+P （B ） 得到下述公式： 一般的，如果n 个事件A1、A2、……An 彼此互斥，那么事件“A1+A2+……+An ”发 生的概率，等于这n 个事件分别发生的概率之和，即P （A1+A2+……+An ）=P （A1）+P （A2） +……+P （An ） 3．对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件. 对立事件性质：P （A ）+P （A ）=1或P （A ）=1-P （A ） 例3：袋中有20个球，其中有17个红球，3个黄球，从中任取3个.求，至少有一个黄球的概率？ 析：在上述各问题都理解后，这道题就可以多渠道来解.
概率的一般加法公式教 案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
3.2.2概率的一般加法公式 (选学) 自主学习 学习目标 了解概率的一般加法公式，会进行简单的应用． 自学导引 1．事件A与B的交(或积)由事件A和B____________所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作D＝________(或D＝________)． 2．事件A∩B是由事件A和B________________________组成的集合． 3．概率的一般加法公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 对点讲练 知识点一事件的交的概念 例1写出下列事件的交事件． (1)某人射击，事件A：“击中的环数大于3”，事件B：“击中的环数小于7”； (2)抛掷一颗骰子，事件A：“出现奇数点”，事件B：“出现3点”，事件C：“出现偶数点”． 变式迁移1从15件产品(其中有2件次品)中任取2件产品，记A为“至少有1件正品”，B为“至少有1件次品”，则A∩B＝________________________________________________. 知识点二概率的一般加法公式应用
例2甲、乙两人各射击1次，命中率各为0.8和0.5，两人同时命中的概率为0.4，求“甲、乙至少有1人命中”的概率． 点评两个相容事件至少有一个发生时用概率的一般加法公式求解． 变式迁移2四人参加4×100接力，求“甲跑第一棒或乙跑第四棒”的概率． 1．事件的交、事件的并的概念． 2．概率的一般加法公式的应用，注意分析事件之间的关系. 课时作业 一、选择题