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概率论练习册答案第三章

习题3-1

而且12{0}1P X X ==. 求X 1和X 2的联合分布律.

解由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布

于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律

(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04

P X P X =?==

≠, 所以X 1

和X 2不独立.

2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律.

解从7只球中取4球只有354

7=C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红

球有j 只(余下为白球4i j --只)的取法为

4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4.

于是有

022

322

{0,2}35

35P X Y C C C ===

,111

322

{1,1}3535

P X Y C C C ===

1213226{1,2}3535P X Y C C C ====,2023223

{2,0}3535P X Y C C C ====,

21132212{2,1}3535P X Y C C C ====,220

3223

{2,2}3535P X Y C C C ====,

3013222{3,0}3535P X Y C C C ====, 3103222

{3,1}3535

P X Y C C C ====,

{0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============.

3. (,)(6),02,24,

0,.f x y k x y x y =--<<<

其它

求: (1) 常数k ; (2) {1,3}P X Y <<; (3) { 1.5}P X <; (4) {4}P X Y +≤.

解 (1) 由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞

-∞

, 得

422

11d (6)d (6)d (10)82y k x y x k y x x y k y y k =--=--=-=?????????

, 所以 1

k =

. (2) 312

1,3

1{1,3}d (6)d 8

(,)d d x y P X Y y x y x f x y x y <<<<=

=--??

220

(6)d 82y x x y =--???????321113()d 828y y =-=?. (3) 1.51.5

{ 1.5}d (,)d ()d X P X x f x y y f x x +∞-∞

-∞

<==??

4 1.52

1d (6)d 8

y x y x --=

1.5

1(6)d 82y x x y =

--?

????

?? 421633

()d 882y y =-? 2732

=. (4) 作直线4x y +=, 并记此直线下方区域与(,)0f x y ≠的矩形区域(0,2)(0,4)?的交集为G . 即:02,0G x y <<<≤4x -.见图3-8. 因此

{P X Y +≤4}{(,)}P X Y G =∈

(,)d d G

f x y x y =??4420

d (6)d 8x y x y x -=--?? 44

2201

1(6)d 82x

y x x y -=--?

????

?? 4

2211

[(6)(4)(4)]d 82y y y y =

----? 42211

[2(4)(4)]d 82

y y y =-+-?

23211

(4)(4)86y y =----?

?????2

=. 图3-8 第4题积分区域

4. 二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

2(,),1,01,

f x y kxy x y x =??

?≤≤≤≤其它. 试确定k , 并求2

{(,)},:,01P X Y G G x y x x ∈≤≤≤≤.

解由21

14001(,)d d d (1)d 26

x k k

f x y xdy x kxy y x x x +∞+∞-∞

-∞

==-??

???,

解得6=k .

因而 211

240

{(,)}d 6d 3()d 4

x x

P X Y G x xy y x x x x ∈=

=-=

??. 5. 设二维随机变量(X , Y )概率密度为

4.8(2),01,0,

(,)0,.y x x y x f x y -=??

≤≤≤≤其它求关于X 和Y 边缘概率密度.

解 (,)X Y 的概率密度(,)f x y 在区域:0G ≤x ≤1,0≤y ≤x 外取零值.因而, 有

24.8(2)d ,01,

()(,)d 0,

2.4(2),01,0,

x X y x y x f x f x y y x x x +∞-∞

-<<==-<<=???????

???

其它.其它.

124.8(2)d ,01,

()(,)d 0,2.4(34),01,0,

Y y x x y f y f x y x y y y y +∞-∞

-<<==-+<<=???????

???

其它.其它. 6. 假设随机变量U 在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量 1,1,1,

1,U X U --=>-??

?若≤若 1,

1, 1.

U Y U -=>??

?若≤若

试求：(1) X 和Y 的联合概率分布；(2){P X Y +≤1}.

解

(2){P X Y +≤1}1{1}P X Y =-+>1{1,1}P X Y =-==12133

=. 习题3-2

1. 设(X , Y )的分布律为

求: (1) 在条件X =2下Y 的条件分

布律;

(2)

{22}P X Y ≥≤.

解 (1) 由于6.02.01.003.0}2{=+++==X P ,所以在条件X =2下Y 的条件分布律为

6.03.0}2{}1,2{}2|1{======

==X P Y X P X Y P ,

06.00

}2{}2,2{}2|2{========X P Y X P X Y P ,

6.01.0}2{}3,2{}2|3{========X P Y X P X Y P ,

6.02.0}2{}4,2{}2|4{========X P Y X P X Y P ,

{P Y ≤2}{1}{2}P Y P Y ==+==0.10.3000.20.6++++=. 而

{2,2}{2,1}{2,2}

{3,1}{3,2}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ===+==+==+==≥≤

0.3000.20.5=+++=.

因此

{2,2}

{22}{2}

P X Y P X Y P Y =

≥≤≤≥≤0.55

0.66

=. 2. 设平面区域D 由曲线1

y x

及直线2

0,1,e y x x ===所围成, 二维随机

变量(X , Y )在区域D 上服从均匀分布, 求(X , Y )关于X 的边缘概率密度在x =2处的值.

解由题设知D 的面积为2

e e

1d ln 2D S x x x ===?. 因此, (X ,Y )的密度为 1

,(,),

(,)20x y D f x y ∈=?????，其它.

由此可得关于X 的边缘概率密度 ()(,)d X f x f x y y +∞-∞

显然, 当x ≤1或x ≥e 2时,()0X f x =; 当2

1e x <<时,1

11()d 2

2x X f x y x

故(2)14

X f =

. 3. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为

(,)1,01,02,

0,.

f x y x y x =<<<

?其它

求：(1) (X , Y )的边缘概率密度(),()X Y f x f y ；(2)1

1{}.22

P Y X ≤

≤ 解 (1) 当01x <<时,20

()(,)d d 2x

X f x f x y y y x +∞

-∞

===?

当x ≤0时或x ≥1时, ()0X f x =. 故 2,01,()0,

其它.

X x x f x <<=??

当0

()(,)d d 12

y Y y f y f x y x x +∞-∞

===-

当y ≤0时或y ≥2时, ()0Y f y =.

故 1,02,

()20,

.Y y

y f y -<<=?????其它

(2) 当z ≤0时,()0Z F z =; 当z ≥2时,1)(=z F Z ;

当0

z f x y x y -=

≤

220

2-2

d 1d d 1d z

z x z

x y x y =?+?????

z z =-

故 1,02,()20,

.()其它Z z z

z f z F z -<<'==?????

(3) {

}

{}

113

11322

161122442

≤，≤

≤≤≤

P X Y P Y X P X =

==??????. 4. 设G 是由直线y =x , y =3,x =1所围成的三角形区域, 二维随机变量(,)X Y 在G 上服从二维均匀分布.求:

(1) (X , Y )的联合概率密度；(2) {1}P Y X -≤；(3) 关于X 的边缘概率密度. 解 (1)由于三角形区域G 的面积等于2, 所以(,)X Y 的概率密度为

??????∈=.

),(,0,

),(,2

1),(G y x G y x y x f (2)记区域x y y x D -=|),{(≤}1与G 的交集为0G ,则

{1}P Y X -≤00

11113

d d (2)22224G G x y S ===-=??.

其中0G S 为G 0的面积.

(3) X 的边缘概率密度()(,)d X f x f x y y +∞-∞=

. 所以,

当]3,1[∈x 时, 311

()d (3)22

X x

f x y x =

=-?

. 当1x 时, 0)(=x f X .

因此 ?????∈-=.,

0],

3,1[),1(21

)(其它x x x f X

习题3-3

1. 设X 与Y 相互独立, 且分布律分别为下表:

求二维随机变量(,)X Y 的分布律.

解由于X 与Y 相互独立, 所以有

}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P =?====,6,5,2,0;0,2

,1=--=j i .

因此可得二维随机变量(,)X Y 的联合分布律

2. 设(X , Y )的分布律如下表:

问,αβ为何值时X 与Y 相互独立? 解

由于边缘分布满足2

1,1i j i j p p ??====∑∑, 又X , Y 相互独立的等价条件为 p ij = p i . p .j (i =1,2; j =1,2,3).

故可得方程组 2

1,3

111().939

αβα++==?+???????

解得29α=,1

β=.

经检验, 当29α=,1

β=时, 对于所有的i =1,2; j =1,2,3均有p ij = p i . p .j 成立.

因此当29α=,1

β=时, X 与Y 相互独立..

3. 设随机变量X 与Y 的概率密度为

()e (,)0,

.,01,0,

x y b f x y x y -+=?<<>??其它

(1) 试确定常数b .

(2) 求边缘概率密度()X f x , ()Y f y . (3) 问X 与Y 是否相互独立？解 (1) 由

()10

1(,)d d e d d e d e d (1e )x y y x f x y x y b y x b y x b +∞+∞+∞+∞-+----∞

-∞

====-?

得 1

11e

b -=

(2) ()(,)d X f x f x y y ∞-∞

=?1e ,01,1e 0,

x --<<=-??

???其它.

()(,)d Y f y f x y x ∞-∞

=?e ,0,

0,y y ->=???

其它.

(3) 由于(,)()()X Y f x y f x f y =?，所以X 与Y 相互独立.

4. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布, Y 的

概率密度为

21e ,

0,()2

Y y

y f y y ->=?????，

≤0.

(1) 求X 和Y 的联合概率密度.

(2) 设关于a 的二次方程为2

20a Xa Y ++=, 试求a 有实根的概率.

解 (1) 由题设知X 和Y 的概率密度分别为

1,01,()0,X x f x <<=??

?其它， 2

1e ,0,

()20,

Y y f y ->=?????其它因X 和Y 相互独立, 故(X , Y )的联合概率密度为

1e ,01,0

(,)()()2

X Y x y f x y f x f y -<<>==?????其它 (2) 方程有实根的充要条件是判别式大于等于零. 即

244X Y ?=-≥20X ?≥Y .

因此事件{方程有实根}2

{X =≥}Y .

下面计算2

{P X ≥}Y (参见图3-3).

2{P X ≥}Y 2

1122

1(,)d d e d (1e

)d 2

x D

f x y xdy x y x -

===-????

d 12[(1)(0)]0.1445x

x πΦΦ-

=-=--≈?.

图3-3 第6题积分区域习题3-4

1. 设二维随机变量(X ,Y )的概率分布为

0 1

若随机事件{X =0}与{X +Y =1}相互独立, 求常数a , b .

解首先, 由题设知0.40.11a b +++=. 由此得0.5a b +=. 此外,

{0}0.4P X a ==+,

{1}{0,1}{1,0}0.5P X Y P X Y P X Y a b +====+===+=, {0,1}{0,1}P X X Y P X Y a =+=====. 根据题意有

{0,1}{0}{1}P X X Y P X P X Y =+===+=,

即(0.4)0.5a a =+?. 解得0.4,0.1a b ==.

2. 设两个相互独立的随机变量X ,Y 的分布律分别为

求随机变量Z = X + Y 的分布律. 解随机变量Z = X + Y 的可能取值为7,5,3.

Z 的分布律为

18.06.0.03}2,1{}3{=?=====Y X P Z P , {5}{1,4}{3,2}

0.30.4070.60.54

P Z P X Y P X Y ====+===?+?=,

28.04.07.0}4,3{

}7{=?=====Y X P Z P ,

或写为

3. 随机变量X 与Y 相互独立, 且均服从区间[0,3]上的均匀分布, 求{}max{,}1P X Y ≤.

解由题意知, X 与Y 的概率密度均为

,03,()30x f x =?????≤≤，其它.

又由独立性, 有

P {max{X +Y }≤1}=P {X ≤1,Y ≤1}= P {X ≤1} P {Y ≤1}.

而 P {X ≤1}= P {Y ≤1}11

011()d d 33

f x x x -∞

==?

, 故 P {max{X +Y }≤1}=111

339

?=.

4. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X 服从正态分布N (μ, σ2), Y 服从均匀分布U (-a , a )( a >0), 试求随机变量和Z =X +Y 的概率密度.

解已知X 和Y 的概率密度分别为

()2()e

2x X f x μσπσ

=, ),(+∞-∞∈x ; ?????-?-∈=).

,(,

0),,(,

21)(a a y a a y a

y f Y .

由于X 和Y 相互独立, 所以

()21()()()d e d 22z y a

Z X Y a f z f z y f y y y a μσπσ

---

+∞

-∞-=-=

=1[()()]2z μa z μa ΦΦa σσ

-+---. 10. 设随机变量X 和Y 的联合分布是正方形G={(x,y )|1≤x ≤3, 1≤y ≤3}

上的均匀分布, 试求随机变量U=|X -Y|的概率密度f (u ).

解由题设知, X 和Y 的联合概率密度为

111

,3,3,

(,)40,

x y f x y =?????≤≤≤≤其它

记()F u 为U 的分布函数, 参见图3-7, 则有当u ≤0时,(){||F u P X Y =-≤u }=0; 当u ≥2时,()1F u =;

当0< u <2时, 图3-7 第8题积分区域

||(){}(,)d d x y u

F u P U u f x y x y -==

≤≤

21[42(2)]41

2u =-?- 21

1(2)4

u =--.

故随机变量||U X Y =-的概率密度为

(2),02,()20,

u u p u -<<=?????其它..

总习题三

1. 设随机变量(X , Y )的概率密度为

<<<=.,0,

10,||,1),(其它x x y y x f 求条件概率密度)|()|(||y x f x y f Y X X Y 和.

解首先

2,01,

()0,.(,)其它X x x f x f x y dy +∞

-∞

<<=

=??

1,01,()1,10,

0,(,)≤其它.Y y y f y y y f x y dx +∞

-∞

-<<=

=+-

???

图3-9第1题积分区域

当01y <<时, |1

,1,1(|)0,X Y y x y f x y x <<-=??

???

取其它值.

当1y -<≤0时, |1

,1,1(|)0,X Y y x y f x y x -<<+=??

???取其它值.

当10<

,||,

(|)20,

Y X y x f y x x y <=?????取其它值.

2. 设随机变量X 与Y 相互独立, 下表列出二维随机变量(,)X Y 的分布律及

关于X 和关于Y 的边缘分布律中部分数值, 试将其余数值填入表中空白处 .

解首先, 由于

11121{}{,}{,}P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==, 所以有

11121111{,}{}{,}6

P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-

在此基础上利用X 和Y 的独立性, 有

11111

{,}

24{}1{}46P X x Y y P X x P Y y ====

===.

于是 2113

{}1{}144

P X x P X x ==-==-=.

再次, 利用X 和Y 的独立性, 有

12211

{,}1

8{}1{}

P X x Y y P Y y P X x =======.

于是 312111{}1{}{}16

P Y y P Y y P Y y ==-=-==-

最后, 利用X 和Y 的独立性, 有

2222313

{,}{}{}428P X x Y y P X x P Y y ======

?=; 2323311

{,}{}{}434P X x Y y P X x P Y y ======?=;

1313111

{,}{}{}4312

P X x Y y P X x P Y y ======?=.

因此得到下表

3. (34)e (,)0,.,0,0,

x y k f x y x y -+=?>>?

其它 (1) 求常数k ；(2) 求(X ,Y )的分布函数；(3) 计算{01,02}P X Y <<≤≤; (4) 计算(),x f x ()y f y ；(5) 问随机变量X 与Y 是否相互独立? 解 (1)由340

1(,)d d e d e d 12

y k

f x y x y k x y +∞

+∞+∞+∞---∞-∞

,可得12=k .

(2) (X ,Y )的分布函数(,)(,)d d x y F x y f u v x y -∞

-∞

当x <0或y <0时,有 0),(=y x F ; 当0,0x y ≥≥时, 34340

(,)12

e d e d (1e )(1e )x y

v x y F x y u v ----==--?

即 34(1e )(1e ),0,0,

(,)0,

.x y x y F x y --?--≥≥=??其它

(3) {01,02}P X Y <<≤

≤38

(1,2)(0,0)(1e )(1e )F F --=-=--. (4) (34)012e

d ,0,()(,)d 0,

其它.x y X y x f x f x y y +∞

-++∞

-∞

?>?==?????

所以 33e ,0,

()0,

其它.x X x f x -?>=??

类似地, 有

44e ,0,

()0,其它.y Y y f y -?>=?

显然2

),(),()(),(R y x y f x f y x f Y X ∈??=, 故X 与Y 相互独立. 4.解已知

的分布律为

注意到4

1260}1{}1{=++

====Y P X P , 而0}1,1{===Y X P ,可见P {X =1, Y =1}≠P {X =1}P {Y =1}. 因此X 与Y 不相互独立.

(2) Z X Y =+的可能取值为3, 4, 5, 6, 且

16161}1,2{}2,1{}3{=+=

==+====Y X P Y X P Z P , }1,3{}2,2{}3,1{}4{==+==+====Y X P Y X P Y X P Z P

3112161121=++=

, 3

16161}2,3{}3,2{}5{=+=

==+====Y X P Y X P Z P . 即Z X Y =+(3) V =2

1}2,2{}1,2{}2,1{}2{===+==+====Y X P Y X P Y X P V P , 2

1}2{1}3{=

=-==V P V P . 即max(,)V X Y =的分布律为

(4) min{U =}3,1{}2,1{}1{==+====Y X P Y X P U P

}1,2{}1,3{==+==+Y X P Y X P 2

, 2

1}1{1}2{=

=-==U P U P . 即min{,}U X Y =的分布律为

(5) W U V =+3

}1,2{}2,1{}2,1{}3{===+=======Y X P Y X P V U P W P ,

}2,2{}3,1{}4{==+====V U P V U P W P

}2,2{}1,3{}3,1{===+==+===y X P Y X P Y X P ,

}2,3{}3,2{}3,2{}5{===+=======Y X P Y X P V U P W P .

5. 2,01,01,

(,)0,x y x y f x y --<<<

?其它. (1) 求P {X >2Y }; (2) 求Z = X +Y 的概率密度f Z (z ).

解 (1) 1

227{2}(,)d d d (2)d 24

x y

P X Y f x y x y y x y x >>=

=--=

????. (2) 方法一: 先求Z 的分布函数:

()()(,)d d Z x y z

F z P X Y Z f x y x y +=+=

≤≤.

当z <0时, F Z (z )<0; 当0≤z <1时, 1

()(,)d d d (2)d z

z y

Z D F z f x y x y y x y x -=

=--???

= z 2-13

z 3; 当1≤z <2时, 2

()1(,)d d 1d (2)d Z z z y

D F z f x y x y y x y x --=-=---??

= 1-1

(2-z )3; 当z ≥2时, F Z (z ) = 1.

故Z = X +Y 的概率密度为

222,01,()()(2),12,0,Z Z z z z f z F z z z ?-<

'==-

≤其它.

方法二: 利用公式()(,)d :Z f z f x z x x +∞

-∞

2(),01,01,

(,)0,

x z x x z x f x z x ---<<<-

?其它 2,01,1,0,

.z x x z x -<<<<+?=??其它

当z ≤0或z ≥2时, f Z (z ) = 0; 当0

Z f z z x z z =-=-?

当1≤z <2时, 1

()(2)d (2).Z

z f z z x z -=-=-?

故Z = X +Y 的概率密度为

222,01,()(2),12,0,.Z z z z f z z z ?-<

≤其它.

6. 设随机变量(X , Y )得密度为

01,02,

(,)3

其它x xy x y x y ??+?=???≤≤≤≤

试求: (1) (X , Y )的分布函数; (2) (X , Y )的两个边缘分布密度; (3) (X , Y )的两个条

件密度; (4) 概率P {X +Y >1}, P {Y >X }及P {Y <12|X <1

解 (1) 当x<0或y <0时, φ(x , y ) = 0, 所以 F (x , y ) = 0.

当0≤x <1, 0≤y <2时, φ(x , y ) = x 2+1

3xy ,

所以 20

1(,)(,)d d [()d ]d 3

x y

F x y u v u v u uv v u -∞-∞

=+??

???

32211

312

x y x y =

+. 当0≤x <1, 2≤y 时,

(,)(,)d d [(,)d ]d [(,)d ]d x

x y x F x y u v u v u v v u u v v u -∞-∞

===?

????????

2200

1[()d ]d 3x

u uv v u =

+??2

1(21)3x x =+. 当1≤x , 0≤y <2时,

(,)(,)d d [(,)d ]d x

F x y u v u v u v v u -∞-∞

==?

?????

200

1[()d ]d 3y

u uv v u =

+??1(4)12

y y =+. 当1≤x , 2≤y 时,

122001

(,)[()d ]d 13

F x y u uv v u =+=??.

综上所述, 分布函数为

220,00,1

(),01,02,

(,)(21),01,2,

(4),

1,02,121,

1, 2.x y y x y x x y F x y x x x y y y x y x y <

≥≥??或≤≤≤≤≤< (2) 当0≤x ≤1时,

220

()(,)d ()d 2,33

X xy x x y y x y x x ??+∞-∞

==+

=+??

概率论与数理统计第三章课后习题答案

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X<1.5}；（4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有

中北大学概率统计习题册第四章完整答案(详解)资料

中北大学概率统计习题册第四章完整答案 (详解)

1. 填空 1）设~(,)X B n p ,则EX =np ，DX = npq 。 2）设~()X P λ,则EX =λ， DX =λ。 3）设~()X E λ,则EX = 1λ ，DX = 2 1 λ。 4）设[]~,X U a b ,则EX = 2 a b +，DX = () 2 12 b a -。 5)设2~(,)X N μσ,则EX =μ， DX =2σ。 6）设(,)~(1,1;2,9;0.5)X Y N ,则 EX =1，DX = 1 ，EY = 2，DY = 9 ，(,)Cov X Y = 1.5 。 7）已知螺钉的重量服从()250, 2.5N ，则100个螺钉总重量服从分布()5000, 625N 。 2. 已知在一定工序下，生产某种产品的次品率0.001。今在同一工序下，独立生产5000件这种产品，求至少有2件次品的概率。解：设X 表示5000件产品中的次品数，则 ()~5000,0.001X B 。 50000.0015λ=?=，则 ()()()2100P X P X P X ≥=-=-= 5000499910.99950000.0010.999=--?? 0155 5510!1! e e --≈--10.006740.033690.95957=--= 注：实际上 5000499910.99950.9990.95964--?= 3. 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的泊松分布，问在月初进货时应至少进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。解：设进货数件数为N ，当月销售需求为X ，则由题意知()~7X P ，且 {}7 07e 0.999! k N k P X N k -=≤=≥∑ 查泊松分布的数值表，可得16N ≥. 4 . 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。解：设旅客在地铁进站之前的X 时刻到达，即旅客候车时间也为X ；其数学期望和分别为()~[0,5]X U ， 52EX = ；2512 DX =。 5.设(){ }3.02010,,10~2=<

概率论与数理统计第四章习题及答案

概率论与数理统计习题第四章随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）. 解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξ P =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)] 查二项分布表 1－=. 因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, . P (X =0)=??? ? ??04×× =. P (X =1)=???? ??14××=, P (X =2)= ???? ??24××=. P (X =3)=???? ??34××=, P (X =4)= ??? ? ??44××=. 从而 E (X )=np =4×= 习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==???? ??-=+j j X P j j j ,说明X 的数学期望不存在. 解：由于 1 11 1133322(1) ((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞ ∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数1 12j j ∞ =∑发散，故级数1 11 33(1) ((1))j j j j j P X j j ∞ ++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题X -2 0 2 k p 求)53(),(),(2 2 +X E X E X E . 解 E (X )=(-2)+0+2= 由关于随机变量函数的数学期望的定理，知 E (X 2)=(-2)2+02+22= E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[3 22 +5] = 如利用数学期望的性质，则有 E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5=

概率论第4章习题参考解答

概率论第4章习题参考解答 1. 若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮, 命中3炮的概率, 至少命中3炮的概率, 最可能命中几炮. 解: 设ξ为射击10炮命中的炮数, 则ξ~B (10,0.7), 命中3炮的概率为 =??==733 103.07.0}3{C P ξ0.0090 至少命中3炮的概率, 为1减去命中不到3炮的概率, 为 =??-=<-=≥∑=-2 010103.07.01}3{1}3{i i i i C P P ξξ0.9984 因np +p =10×0.7+0.7=7.7不是整数, 因此最可能命中[7.7]=7炮. 2. 在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01, 求生产10件产品中废品数不超过2个的概率. 解: 设ξ为10件产品中的废品数, 则ξ~B (10,0.01), 则废品数不超过2个的概率为 =??=≤∑=-2 0101099.001.0}2{i i i i C P ξ0.9999 3. 某车间有20部同型号机床, 每部机床开动的概率为0.8, 若假定各机床是否开动彼此独立, 每部机床开动时所消耗的电能为15个单位, 求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率. 解: 设每时刻机床开动的数目为ξ, 则ξ~B (20,0.8), 假设这个车间消耗的电能为η个单位, 则η=15ξ, 因此 2061.02.08.0}18{}15 270 {}27015{}270{20 18 2020=??==≥=≥ =≥=≥∑=-i i i i C P P P P ξξξη 4. 从一批废品率为0.1的产品中, 重复抽取20个进行检查, 求这20个产品中废品率不大于0.15的概率. 解: 设这20个产品中的废品数为ξ, 则ξ~B (20,0.1), 假设这20个产品中的废品率为η, 则η=ξ/20. 因此 ∑=-??=≤=≤=≤3 20209.01.0}3{}15.020 { }15.0{i i i i C P P P ξξ η=0.867 5. 生产某种产品的废品率为0.1, 抽取20件产品, 初步检查已发现有2件废品, 问这20 件中, 废品不少于3件的概率. 解: 设ξ为这20件产品中的废品数, 则ξ~B (20,0.1), 又通过检查已经知道ξ定不少于2件的条件, 则要求的是条件概率 } 2{} 23{}2|3{≥≥?≥= ≥≥ξξξξξP P P 因事件}3{}2{≥?≥ξξ, 因此2}23{≥=≥?≥ξξξ 因此

概率论与数理统计统计课后习题答案-总主编-邹庭荣-主编-程述汉-舒兴明-第四章

第四章习题解答 1．设随机变量X ～B （30， 6 1），则E （X ）＝( D ). A.6 1 ； B. 65； C.6 25； D.5. 1 ()3056 E X np ==?= 2．已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E (XY )=（ A ）. A. 3； B. 6； C. 10； D. 12. ()1()3E X E Y == 因为随机变量X 和Y 相互独立所以()()()3E XY E X E Y == 3．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则X 2的数学期望E (X 2)＝____18.4______． (10,0.4)()4() 2.4X B E X D X ==: 22()(())()18.4E X E X D X =+= 4．某射手有3发子弹，射一次命中的概率为3 2，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽．设表示X 耗用的子弹数．求E （X ）. 解： X 1 2 3 P 2/3 2/9 1/9 22113()233999 E X = +?+?= 5．设X 的概率密度函数为 , 01()2,120,x x f x x x ≤≤?? =-<≤??? 其它求2() ,().E X E X 解：12 20 1 ()()(2)1E X xf x dx x dx x x dx +∞-∞ ==+-=? ??, 12 22320 1 7 ()()(2)6 E X x f x dx x dx x x dx +∞ -∞ ==+-= ? ??.

概率统计第三章答案

概率统计第三章答案概率论与数理统计作业8 (§ 3.1?§ 3.3 ) 一、填空题 1.X,Y 独立同分布X L03 2：3，则P(X+YW1)=?E(XY)=4? 2.设X的密度函数为5= 2(10x) 0其它1，则 2 E(X) = 1/3,E(X ) = 1/6 . 3.随机变量X的分布率为P|0；00303，则E(X) = -0.2 ________ , 2 E(3X 5)= 13.4 ________________ 。 4.已知随机变量X的分布列为P ( X=m )= 1 , m = 2,4,…,18,20 ”则 E( X ) = ___________

5.对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为P I，第二台仪器发生故障的概率为P2 ?令X表示测试中发生故障的仪器数，则 E x A P1 P2 二、计算题 1.连续型随机变量X的概率密度为 a f(x)= kx穿",「0)又知 E(X)=0.75 ，求k 和 a 的值。 0 其它解：由［3 (x dx = Jkx a dx = 1,得_^=1, . o a 1 又E(X)匚0.75，则有xf xdx 二：x kx a dx =0?75,得—= 0.75, 0 a 2 故由上两式解得k=3,a=2?

2.对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。如果发现次品，则立即停止检查而认为这批产品不合格；如果连续检查5个产品，都是合格品，则也停止检查而认为这批产品合格。设每批产品的次品率为p,求每批产品抽查样品的平均数。解：设随机变量X表示每批产品抽查的样品数，则：P( X =m ) = pq m」(m =1,2,3,4); P( X = 5) = pq4 q5二q4 ( p q = 1) ???X的概率分布表如下: EX = p 2pq 3pq2 4 pq3 5q4 = 5 TO p 10 p2_5p3 p4 3 ?设二维随机变量X, Y的联合密度函数为I 21 2 2 . f(x，y)J匸x y X —y —1 [0其它 1)求EX，EY 及EXY ；

概率统计第三章答案

概率论与数理统计作业班级姓名学号任课教师第三章多维随机变量及其分布教学要求：一、了解多维随机变量的概念，了解二维随机变量的分布函数；二、了解二维离散型随机变量分布律的概念，理解二维连续型随机变量概率密度的概念；三、理解二维随机变量的边缘概率分布；四、理解随机变量的独立性概念；五、会求两个独立随机变量的简单函数的分布（和、极大、极小）. 重点：二维离散型随机变量的联合分布律及二维连续型随机变量的边缘概率密度，随机变量的独立性. 难点：边缘分布，随机变量的独立性，随机变量的函数的分布. 练习一二维随机变量及其分布 1．填空题 (1)设二维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则 =≤}{a X P ()+∞,a F ； =≥}{d Y P ()d F ,1∞+-； =≤<≤<},{d Y c b X a P ),(),(),(),(c a F c b F d a F d b F +--. (2)设二维连续型随机变量),(Y X 的概率密度为),(y x f ，则其分布函数),(y x F = ?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f ),(；若G 是xoy 平面上的区域，则点),(Y X 落在G 内的概率，即 }),{(G Y X P ∈??=G dxdy y x f ),( （3）若二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ) 1)(1(),(22y x A y x f ++= )0,0(>>y x ，则系数A = ,4 2 π= <}1{X P 2 1. （4）设二维随机变量),(Y X 的分布函数(),3arctan 2arctan ,?? ? ??+??? ? ?+=y C x B A y x F

概率论第四章课后习题解答

概率论第四章习题解答 1（1）在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X 的分布律并求数学期望()E X 。 “THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT ” （2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求()E Y （3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次得到的点数；否则得分为第一次得到的点数，且不能再掷，求得分X 的分布律。解（1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X 的取值为：2,3,4，9，其分布律为所以 151115()234988884 E X =?+?+?+?=。（2）因为Y 的取值为2,3，4，9 当2Y =时，包含的字母为“O ”，“N ”，故 1 21 {2}3015 C P Y == =；当3Y =时，包含的3个字母的单词共有5个，故当4Y =时，包含的4个字母的单词只有1个，故当9Y =时，包含的9个字母的单词只有1个，故

112314673 ()234915215103015 E Y =? +?+?+?== 。（3）若第一次得到6点，则可以掷第二次，那么他的得分为：X ＝7,8，9,10，11,12；若第一次得到的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。由此得X 的取值为： 1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。 2 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。（设诸产品是否为次品是相互独立的。）解（1）求每次检验时产品出现次品的概率因为每次抽取0件产品进行检验，且产品是否为次品是相互独立的，因而可以看作是进行10次独立的贝努利试验，而该产品的次品率为，设出现次品的件数为 Y ，则(10,0.1)Y B :，于是有 1010{}(0.1)(0.9)k k k P Y k C -== （2 ）一次检验中不需要调整设备的概率则需要调整设备的概率 {1}1{}10.73610.2639P Y P Y >=-≤=-= （3）求一天中调整设备的次数X 的分布律

(完整版)概率论第四章答案

习题4-1 1. 设随机变量X 求()E X ；E (2－3 X ); 2()E X ；2(35)E X +. 解由定义和数学期望的性质知 2.03.023.004.0)2()(-=?+?+?-=X E ; (23)23()23(0.2) 2.6E X E X -=-=-?-=; 8.23.023.004.0)2()(2222=?+?+?-=X E ; 4.1358.235)(3)53(22=+?=+=+X E X E . 2. 设随机变量X 的概率密度为 ,0,()0, 0.x e x f x x -?>?=???≤ 求X e Z X Y 22-==和的数学期望. 解 ()(2)2()22x E Y E X E X x x ∞ -====?e d , 220 1 ()()3 X x x E Z E e e e dx ∞ ---==?= ?. 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第 55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60] 上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望. 解已知X 在[0,60]上服从均匀分布, 其概率密度为 1 ,060,()600, .x f x =?????≤≤其它记Y 为游客等候电梯的时间,则 5,05,25,525,()55,2555,65, 5560. X X X X Y g X X X X X -<-<==-<-

概率论与数理统计修订版第三章练习答案郝志峰,谢国瑞

概率论与数理统计第三章习题率分布。，试写出命中次数的概标的命中率为目；设已知射手每次射击射击中命中目标的次数指示射手在这三次独立以本空间上定义一个函数验的样本空间；试在样作为试验，试写出此试察这些次射击是否命中三次独立射击，现将观一射手对某目标进行了7.0.1 。出的废品数的概率分布前已取个，求在取得合格品之不再放回而再取来使用，若取得废品就个这批零件中任取个废品，安装机器时从个合格品、一批零件中有1139.2

11880 54 99101112123)3(132054 109112123)2(132 27 119123)1(12 9 )0(3 210191911011111121121311019111121121311119112131121 9= ???=???=== ??=??=== ?=?=== ==C C C C C C C C P C C C C C C P C C C C P C C P ξξξξξξ，，，可能取值为：代表废品数，则解：令 .1188054132054132271293210 ??? ? ??的分布列为所以，ξ 废品数的概率分布。况，求出取得）取后放回两种不同情）取后不放回；（个，试分别就（件，每次取个废品，现从中任取混有个同类型的一堆产品内设在2113210.3 .008.0096.0384.0512.03210 008.0)3(096.0)2(384.0)1(512.0)0(32102210)2()1()0(2 1013 1101 22 1101211018231101 22 1101 8133 1101831022183101228310383 10 2 2 18310122831038??? ? ??=??? ? ??===???? ?????? ??===??? ? ????? ? ??===???? ??==???? ? ?????==?====的分布列为所以，，，，有，，，，则可能取值有：）设废品数为（的分布列为所以，，，，，的可能值有：代表废品数，则）令解：（ηηηηηηξξξξξξC C P C C C C C P C C C C C P C C P C C C C C C C C C C C P C C C P C C P

概率论习题第四章答案

第四章大数定律与中心极限定理 4.1 设D(x)为退化分布： D(x)=?? ?≤>, 0,00 ,1x x 讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？ (1){D(x+n)}; （2）{D(x+ n 1)}; (3){D(x-n 1 )}，其中n=1,2,…。解：（1）（2）不是；（3）是。 4.2 设分布函数列Fn(x)如下定义： Fn(x)=?? ?????>≤<-+-≤n x n x n n n x n x ,1 ,2 ,0 问F(x)=∞ →n lim Fn(x)是分布函数吗？解：不是。 4.3 设分布函数列{ Fn(x)}弱收敛于分布函数F(x)，且F(x)为连续函数，则{Fn(x)}在(∞∞-,)上一致收敛于F(x)。证：对任意的ε>0,取M 充分大，使有 1-F(x)<ε，；M x ≥? F(x)<ε, ；M x ≤? 对上述取定的M ，因为F(x)在[-M ，M]上一致连续，故可取它的k 分点：x 1=MN 时有 <-)()(i i n x F x F ε，0≤i ≤k+1 （2）成立，对任意的x ∈(∞∞-,)，必存在某个i （0≤i ≤k ）,使得],(1+∈i i x x x ,由(2)知当n>N 时有 +<≤++)()()(11i i n n x F x F x F ε, (3) ->≥)()()(i i n n x F x F x F ε, (4) 有(1)，(3)，(4)可得 +-<-+)()()()(1x F x F x F x F i n ε)()(1i i x F x F -≤++ε<2ε, )()(x F x F n ->--)()(x F x F i εε2)()(1->--≥+δi i x F x F , 即有<-)()(x F x F n 2ε成立，结论得证。

概率论与数理统计第三章习题及答案

概率论与数理统计习题第三章多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律. （X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }= 35147 2222=C C C P {X=1, Y=1 }=356 47 221213=C C C C P {X=1, Y=2 }= 3564 7 1 2 2213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353 472 223=C C C P {X=2, Y=1 }= 35124 712 1223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353 47 2 223=C C C P {X=3, Y=0 }= 35247 1233=C C C P {X=3, Y=1 }=352 47 1233=C C C P {X=3, Y=2 }=0 习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为 ?? ?<<<<--=其它 , 0, 42,20), 6(),(y x y x k y x f （1）确定常数k ；（2）求{}3,1<

?? ????????<<<<=42,20),(y x y x D o 解：（1）∵??? ? +∞∞-+∞ ∞ ---= = 20 12 )6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴8 1= k （2）8 3 )6(8 1)3,1(32 1 ? ?= --= <

概率论与数理统计习题及答案第三章

《概率论与数理统计》习题及答案第三章 1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以 1 1()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-=L 2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个数X 的分布列。解从a b +个球中任取r 个球共有r a b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有k r k b a C C -，所以X 的分布列为 ()k r k b a r a b C C P X k C -+==，max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+L ，此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。 3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1 (1,2,3)1 i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。解设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。则 1231111 (0)()23424 P X P A A A === ??= ， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1111211136 23423423424 = ??+??+??= ， 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1211131231123423423424 = ??+???+??=，

概率论习题解答(第4章)

第4章习题答案三、解答题 1. 设随机变量X 的分布律为求)(X E ，)(2 X E ，)53(+X E ．解：E (X ) = ∑∞ =1 i i xp = ()2-4.0?+03.0?+23.0?= -0.2 E (X 2 ) = ∑∞ =1 2 i i p x = 44.0?+ 03.0?+ 43.0?= 2.8 E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3()2.0-?+5 = 4.4 2. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望．解：记掷1颗骰子所掷出的点数为X i ，则X i 的分布律为 6 ,,2,1,6/1}{Λ===i i X P 记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验， E (X i ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6 E (X ) =8×21/3=28 3. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p 1，借阅乙种图书的概率为p 2，设每人借阅甲乙

{}k X == λ λ-e k k ! ，k = 1,2,... 又P {}5=X =P {}6=X , 所以 λ λ λλ--= e e ! 6!56 5 解得 6=λ，所以 E (X ) = 6. 6. 设随机变量 X 的分布律为 ,,4,3,2,1,6 }{2 2Λ--== =k k k X P π问X 的数学期望是否存在？解：因为级数∑∑∑∞ =+∞ =+∞ =+-=-=?-1 1 2 1 211 221 1 )1(6)6)1(()6) 1((k k k k k k k k k k πππ，而 ∑∞ =11k k 发散，所以X 的数学期望不存在. 7. 某城市一天的用电量X （十万度计）是一个随机变量，其概率密度为 ?????>=-.0 ,0,9 1)(3 /其它x xe x f x 求一天的平均耗电量．解：E (X ) =??? ∞ -∞ -∞∞ -==0 3/20 3/9191)(dx e x dx xe x dx x f x x x =6. 8. 设某种家电的寿命X （以年计）是一个随机变量，其分布函数为 ?????>-=.0 , 5,25 1)(2 其它x x x F 求这种家电的平均寿命E (X )．

《概率论与数理统计》习题及答案第四章

《概率论与数理统计》习题及答案第四章 1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)X Y 的分布列.解(,)X Y 的分布列为其中(1,1)(1)(1|1)0P X Y P X P Y X ======= 余者类推。 2．将一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。解一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故 1~(3, ).2X B 331 ()(),0,1,2,32 k P X k C k ===，于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为 01013818i p ? 其中(0,1)(0)(1|0)0P X Y P X P Y X =======， 13 313(1,1)(1)(1|1)()128 P X Y P X P Y X C =======?=，

余者类推。 3．设(,)X Y 的概率密度为又（1）{(,)|1,3}D x y x y =<<；（2）{(,)|3}D x y x y =+<。求{(,)}P X Y D ∈ 解（1）1 3 21 {(,)}(6)8P x y D x y dxdxy ∈ = --? =32 1 (6)8 x x y dxdy --- = )落在圆222 ()x y r r R +≤<内的概率. 解（1）222 23 20 1(R x y R C R dxdy C R C r drd ππθ+≤==-??? ? 33 3233R R C R C πππ??=-=??? ?， ∴3 3 C R π=. （2）设2 2 2 {(,)|}D x y x y r =+≤，所求概率为 322 3 23232133r r r Rr R R R πππ???? =-=-?????? ?? . 5．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为求X 和Y 的联合分布函数. 解1设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则解2由联合密度可见，,X Y 独立，边缘密度分别为边缘分布函数分别为(),()X Y F x F y ，则设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则 6．设二维随机变量(,)X Y 在区域:0D x <<求边缘概率密度。解(,)X Y 的概率密度为关于X 和Y 的密度为

改后第四章概率论习题-奇数答案

第四章概率论习题__奇数.doc 1 某批产品共有M 件，其中正品N 件（0N M ≤≤）。从整批产品中随机的进行有放回抽样，每次抽取一件，记录产品是正品还是次品后放回，抽取了n 次（1n ≥）。试求这n 次中抽到正品的平均次数。解每次抽到正品的概率为： N M ，放回抽取，抽取n 次，抽到正品的平均次数为：N n M 3设随机变量X 的概率密度为()() 21,1f x x R x π=∈+ ，这时称X 服从标准柯西分布。试证X 的数学期望不存在。解由于： 202 1()2ln(1)|(1)x x f x dx dx x x ππ +∞ +∞ +∞ -∞ ==+=+∞+? ? 所以X 的数学期望不存在。 5 直线上一质点在时刻0从原点出发每经过一个单位时间向左或者向右移动一个单位，若每次移动是相互独立的，并且向右移动的概率为p （01p <<）。n η表示到时刻n 为止质点向右移动的次数，n S 表示在时刻n 时质点的位置，1n ≥。求n η与n S 的期望。解每次向右移动的概率为p ，到时刻n 为止质点向右移动的平均次数，即n η的期望为： ()n E np η= 时刻n 质点的位置n S 的期望为：()(1)(21)n E S np n p n p =--=- 7 某信号时间长短T （以秒计）满足：{}()112 t t P T t e e -->= +，0t ≥。用两种方法求出()E T 。解方法 1：由于(0)1P T ≥=，所以T 为非负随机变量。于是有： 13()(1())()(1)24 t t E T F t dt P T t dt e e dt +∞+∞ +∞ --=-=>=+=?? ? 方法二：由于(0)1P T ≥=，所以，可以求出T 的概率函数： 0,0 ()1(12),02 t t t f t e e t --

概率统计第三章答案

概率论与数理统计作业8（§3.1～§3.3）一、填空题 1. Y X ,独立同分布 323110//P X ，则()().XY E ,Y X P 9 4 951==≤+ 2. 设X 的密度函数为2(1)01 ()0 x x f x -<=? ?其它又知()0.75E X =，求k 和a 的值。解：由 (),dx kx dx x f a 11 ==?? +∞ ∞ -得 ,a k 11 =+ 又 ()0.75E X =，则有 (),.dx kx x dx x xf a 75010 =?=?? +∞ ∞ -得 ,.a k 7502 =+ 故由上两式解得k =3,a =2.

2. 对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。如果发现次品，则立即停止检查而认为这批产品不合格；如果连续检查5个产品，都是合格品，则也停止检查而认为这批产品合格。设每批产品的次品率为p ，求每批产品抽查样品的平均数。解：设随机变量X 表示每批产品抽查的样品数，则: ∴X 的概率分布表如下： 3．设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为 ()?????≤≤=其它，0 1 42122 y x y x y x f 1）求()X E ，()Y E 及()XY E ； 2）求X 与Y 的边缘密度函数；解：1）()() ;dx x x dy y x x dx dxdy y ,x xf EX x 08214 2111731 2 112=-=? == ???? ?--+∞ ∞ -+∞∞ - ()() ;dx x x dy y x y dx dxdy y ,x yf EY x 9 7 4742111821 21 1 2=-=? ==???? ? --+∞ ∞ -+∞ ∞ - ()()() ;dx x x dy y x xy dx dxdy y ,x xyf XY E x 0474 2111931 2 11 2=-=? ==???? ? --+∞ ∞ -+∞ ∞ - 2）当时，1≤x ()()() ;x x ydy x dy y ,x f x f x X 62 21 8 214212 -=== ? ? +∞ ∞ - 当时，1≥x ().x f X 0= 当时，10≤≤y ()();y ydx x dx y ,x f y f y y Y 25 22 7 421=== ? ? - ∞ +∞ - 当时，或01<>y y ().y f Y 0= X ) m X (P =4 q 5 21p pq 4 3 2 pq 3 pq ；),,,m (pq )m X (P m 43211===-) q p (1=+4 545q q pq )X (P =+==4 324325101055432p p p p q pq pq pq p EX +-+-=++++=∴()() ?? ? ??>≤-=∴. x ,;x ,x x x f X 10182162

李贤平_《概率论与数理统计_第四章》答案

概率论数字特征与特征函数 2、袋中有k 号的球k 只，n k ,,2,1 =，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。 3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为!/n AB p n n =，已知a E =μ，试决定A 与B 。 7、袋中有n 张卡片，记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来，求所得号码之和μ的数学期望及方差。 9、试证：若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在，则∑∞ =≥= 1 }{k k P E ξξ。 11、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为,,21)(| |∞<<∞-=--x e x p x λ μλ 0>λ。试求 ξE ，ξD 。 13、若21,ξξ相互独立，均服从),(2 σa N ，试证π σξξ+ =a E ),max (21。 17、甲袋中有a 只白球b 只黑球，乙袋中装有α只白球β只黑球，现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。 20、现有n 个袋子，各装有a 只白球b 只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ，求 n S 。 21、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体质重量，试说明这样做的道理。 24、若ξ的密度函数是偶函数，且2 E ξ<∞，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立。 25、若,ξη的密度函数为22 221,1 (,)0,1 x y p x y x y π?+≤?=??+>?，试证：ξ与η不相关，但它们不独立。 27、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。 26、若,U aX b V cY d =+=+，试证,U V 的相关系数等于,X Y 的相关系数。 28、若123,,ξξξ是三个随机变量，试讨论（1）123,,ξξξ两两不相关；

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