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王向东数学实验课本(可编辑)2-5

实验五二元函数的图形

【实验目的】

1．了解二元函数图形的制作。 2．空间曲面等高线的制作。 3．了解多元函数插值的方法。

4．学习掌握MATLAB 软件有关的命令。

【实验内容】

画出函数22y x z +=

的图形,并画出其等高线。

【实验准备】

1．曲线绘图的MATLAB 命令

MATLAB 中主要用mesh,surf 命令绘制二元函数图形。

可以用help mesh, help surf 查阅有关这些命令的详细信息

【实验方法与步骤】

练习1 画出函数22y x z +=

的图形,不妨将区域限制在]3,3[]3,3[),(-?-∈y x 。用

MATLAB 作图的程序代码为：

>>clear;

>>x=-3:0.1:3; %x 的范围为[-3,3] >>y=-3:0.1:3; %y 的范围为[-3,3]

>>[X,Y]=meshgrid(x,y); %将向量x,y 指定的区域转化为矩阵X,Y >>Z=sqrt(X.^2+Y.^2); %产生函数值Z >>mesh(X,Y,Z)

结果如图5.1。图5.1是网格线图,如果要画完整的曲面图,只需将上述的MATLAB 代码mesh(X,Y,Z)改为surf(X,Y,Z), 结果如图5.2

图5.1 锥面图5.2 锥面

要画等高线,需用contour,contour3命令.其中contour为二维等高线, contour3为三维等高线,如画图5.1的三维等高线, MA TLAB代码为：

>>clear;

>>x=-3:0.1:3;

>>y=-3:0.1:3;

>>[X,Y]=meshgrid(x,y);

>>Z=sqrt(X.^2+Y.^2);

>>contour3(X,Y,Z,10) %画10条等高线

>>xlabel('X-axis'),ylabel('Y-axis'),zlabel('Z-axis') %三个坐标轴的标记

>>title('Contour3 of Surface') %标题

>>grid on %画网格线

结果如图5.3.

图5.3 等高线

如画图5.1的二维等高线, MATLAB代码为：

>>clear; x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;

>>[X,Y]=meshgrid(x,y); Z=sqrt(X.^2+Y.^2);

>> contour(X,Y,Z,10)

>>xlabel('X-axis'),ylabel('Y-axis')

>>title('Contour of Surface') >>grid on

结果如图5.4.

图5.4 等高线

如果要画1=z 的等高线，则用命令

>>clear; x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3;

>>[X,Y]=meshgrid(x,y); Z=sqrt(X.^2+Y.^2); >> contour(X,Y,Z,[1 1])

结果如图5.5。

图5.5 等高线

练习1中，函数值22y x z +=

可简单算出。在有些情况下，函数值),(y x f z =不能

简单算出。这是因为x 和y 的值可能是非均匀间隔的甚至是随机分布的，也可能使用了不同的坐标系，比如非长方形的网。出现这些情况时,MATLAB 中的函数griddata 就用来产生经查值后的均匀间隔数据以作图。

练习２二次曲面的方程如下

d c z b y a x =++2

2222

讨论参数c b a ,,对其形状的影响。

本练习的关键在于如何作出三维曲面图形，特别注意在给定y x ,值求z 时，若有开方运算，一是会出现虚数，二是对实数也有正负两个解。为了使虚数不出现在绘图中，采用了一种技巧，就是将虚数都换成非数(NaN). MATLAB 代码为：

>>a=input('a='); b=input('b='); c=input('c=');

>>d=input('d='); N=input('N='); %输入参数，N 为网格线数目 >>xgrid=linspace(-abs(a), abs(a),N); %建立x 网格坐标 >>ygrid=linspace(-abs(b), abs(b),N); %建立y 网格坐标

>>[x,y]=meshgrid(xgrid,ygrid); %确定N N ?个点的x,y 网格坐标 >>z=c*sqrt(d-y.*y/b^2-x.*x/a^2); u=1; %u=1，表示z 要取正值 >>z1=real(z); %取z 的实部z1

>>for k=2:N-1 %一下7行程序的作用是取消z 中含虚数的点 >>for j=2:N-1

>>if imag(z(k,j))~=0 z1(k,j)=0; end

>>if all(imag(z([k-1:k+1],[j-1:j+1])))~=0 za(k,j)=NaN; end >>end >>end

>>surf(x,y,z1), hold on %画空间曲面

>>if u==1 z2=-z1; surf(x,y,z2); %u=1时加画负半面

>>axis([-abs(a),abs(a), -abs(b), abs(b), -abs(c), abs(c)]); >>end

>>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z') >>hold off

运行程序，当20,1,3,4,5=====N d c b a 时的结果见图5.6, 当15,1,3,4,5=====N d c b i a 时的结果见图5.7, 当10,1.0,3,4,5=====N d c i b i a 时的结果见图5.8,

图5.6 椭球面

图5.7 双曲面

图5.8 椭球双曲面

练习3列出求空间两任意曲面的交线的程序。

两空间曲面方程连立起来，就形成一个空间曲线的方程。这个曲线能满足两个曲面的方程，因而也就是这两个空间曲面的交线。显示这两个曲面并不难，用两次mesh语句即可,但要显示其交线，必须先找到各个交点，因为数值计算得到的是离散点，难以找到两个曲面上完全重合的点，本程序采用了设置门限的方法，只要在同一网格点处，两曲面的z之之差小于设定门限，就认为它是交点，门限值设定几次要才能定的好。

下面MA TLAB程序给出两个空间曲面的交线（当然是空间曲线），给出不同的z1,z2方程可绘出不同的空间曲线和其交线。

>>[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2); %设定计算和绘图的定义域网格

>>z1=x.^2-2*y.^2; %第一个曲面方程

>>z2=2*x-3*y; %第二个曲面方程

>>mesh(x,y,z1); hold; mesh(x,y,z2); %再一个图上同时画出两个曲面

>>r0=(abs(z1-z2)<=0.1); %求两曲面z坐标差小于0.1的网格矩阵

>>zz=r0.*z1; yy=r0.*y; xx=r0.*x; %求这些网格上的坐标值，即交线坐标

>>plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),yy(r0~=0),'*'); %画出这些点 >>colormap(gray), hold off %不用彩色而用灰度表示曲面

执行此程序得出的曲面见图5.9.

图5.9 两曲面的交线

如果想改表曲面方程，可以在程序中改动第二行和第三行。但这样的程序还不是通用的，最好程序运行时能向用户提问，允许用户输入曲面方程。此时就要用到字符串功能和eval 命令。

s1=input(‘输入第一个方程’,’s ’);

在原来的z1方程语句处改为z1=eval(s1);类似地输入第二个方程。此外，应使用户能给出定义域和间隔。这实现起来比较简单，只要把第一句改为

[x,y]=meshgrid(xmin:dx:xmax,ymin:dy:ymax);

其中，xmin ，dx ，xmax ，ymin ，dy ，ymax 可由程序给出屏幕提问，让用户用键盘输入。当然，这样又增加了运行时的麻烦，所以编程时要找一个折衷的选择，要有一定的灵活性又不能太麻烦，应恰到好处。

练习4 用平行界面法讨论由方程2

2y x z -=构成的马鞍面形状。我们只需对练习3种的程序作如下修改：

定义域网格改为[x,y]=meshgrid(-10:0.2:10, -10:0.2:10);

第一个曲面方程改为z1=(x.^2-2*y.^2)+eps;

第二个曲面（平面）方程改为与z 州正交的水平面，z2=a;

为了画z2的曲面图，应使得z2与x,y 有同样的维数，故写为z2=a*ones(size(x));

a 可由用户输入,另外用subplot 把曲面和交线分别画在两张图上,并注意把两个分图取成同样比例,便于比较.因为z 的范围增大,必须把两曲面交点处z1和z2的容差放大到1.

>>[x,y]=meshgrid(-10:0.2:10, -10:0.2:10); %设定计算和绘图的定义域网格 >>z1=(x.^2-2*y.^2)+eps; %第一个曲面方程

>>a=input('a=(-50>subplot(1,2,1),mesh(x,y,z1);hold on;mesh(x,y,z2); %分别划出两个曲面 >>v=[-10,10,-10,10,-100,100]; axis(v), grid %确定第一个分图的坐标系 >>colormap(gray), hold off, %取消彩色,改为灰度 >>r0=abs(z1-z2)<=1; %求两曲面z 坐标差小于1的网格

>>zz=r0.*z2; yy=r0.*y; xx=r0.*x; %求这些网格上的坐标值，即交线坐标

>>subplot(1,2,2),plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),zz(r0~=0),'x');%画出交线>>axis(v), grid %使得第二个分图取第一个分图的坐标系

执行此程序,并输入a=8,得到的三维图形及交线见图5.10, 当a=-20,得到的三维图形及交线见图5.11,可见从上而下,其横切面交线发生了很大的变化.

图5.10 按兴面的水平截面(a=8)

图5.11 按兴面的水平截面(a=-20)

练习5已经知道曲面上一些点的数据(2,2,80), (3,2,82), (4,2,84), (0,3,79), (2,3,61), (3,3,65), (0,4,84), (1,4,84), (4,4,86), 将这些数据用二元函数插值的方法画出完整的曲面。

首先看这些原始数据的柄图，相应的MA TLAB程序代码为：

>>clear;

>>x=[2,3,4,0,2,3,0,1,4];

>>y=[2,2,2,3,3,3,4,4,4];

>>z=[80,82,84,79,61,65,84,84,86];

>>stem3(x,y,z); %画柄图命令

>>title('Raw data');

>>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')

结果如图5.12.

图5.12 柄图

显然上面数据是残缺不全的，下面用插值的方法画出完整的曲面，相应的MATLAB 程序代码为：

>>xi=0:0.2:3; yi=2:0.2:4; %选定x,y 的范围 >>[X,Y]=meshgrid(xi,yi); %产生网格向量X,Y

>>Z=griddata(x,y,z,X,Y,'cubic'); %’cubic ’采用三角形三次插值 >>mesh(X,Y,Z); title('Griddata'); >>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')

结果如图

练习6 （海底测量）表5-1给出水面直角坐标(x,y)处水深z,这时在低潮时测得的。如果船的吃水深度为5米，试问在矩形域15050,20075<<-<

表5-1 水深数据

>>clear; close;

>>x=[129 140 108 88 185 195 105 157 107 77 145 162 162 117]; >>y=[7 141 28 147 22 137 85 -6 -81 3 45 -66 84 -38]; >>plot(x,y,'o');

结果如图

5.8.

图5.14 测量点的位置

由图5.8可见，这是一批不规则数据。由于没有先验函数，我们使用插值法。为了使结果更直观，考虑将z 的数据转化为相对于海面的高度。相应的MA TLAB 程序代码为：

>>z=[4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9]; >>h=-z; %数据转化为相对于海面的高度 >>xi=75:5:200; yi=-50:10:150; >>[X,Y]=meshgrid(xi,yi);

>>H=griddata(x,y,h,X,Y,'cubic'); >>mesh(X,Y,H);

>>view(-60,30); %改变视点

结果如图5.15

图5.15 海底地形图

由图5.15可见，在(129,7.5)和(162,84)附近各有一块暗礁。进一步，求水深不到5米的两个危险区域：

>>contour(X,Y,H, [-5,-5],'k') %’k ’表示等高线的颜色为黑色

图5.16 两个危险区域

【练习与思考】

1. 画出空间曲面2

21sin 10y

x y x z +++=

在30,30<<-y x 范围内的图形，并画出相应

的等高线。

2. 根据给定的参数方程，绘制下列曲面的图形。

（1）椭球面u z v u y v u x sin ,cos cos 2,sin cos 3===

（2）椭圆抛物面2

4,cos 2,sin 3u z v u y v u x ===

（3）单叶双曲面u z v u y v u x tan 4,cos sec 2,sin sec 3=== （4）双曲抛物面3

,,2

2v u z v y u x -===

（5）旋转面u z v u y v u x ===,cos ln ,sin ln （6）圆锥面u z v u y v u x ===,cos ,sin

（7）环面v z v u y v u x sin 4.0,sin )cos 4.03(,cos )cos 4.03(=+=+= （8）

正螺面v z v u y v u x 4,cos ,sin ===

3. 在一丘陵地带测量搞程,x 和y 方向每隔100米册一个点,,得搞程见表5-2,试拟合一曲

面,确定合适的模型,并由此找出最高点和该点的高程.

表5-2 高程数据

实验室建设规划

计算机应用技术系实验室、实训基地建设规划 1、实验室建设现状：包括：专业设置、学科建设情况、实验室设置、实验室设备拥有量、资金额、基本实验开出情况、组数、创新性实验开出率、现有实验用房面积、实验人员队伍现状等。 2、实验室建设的指导思想 3、2005-2007年的建设目标。 4、各实验室的具体发展规划：基础实验室目标定位、新增哪些实验完善哪些实验专业实验室淘汰哪些特色实验事例；创造什么品牌； 5、实现发展规划的资金预算安排（按现有仪器设备总额每年递增10%计算）必须完善补充的实验装备主要设备的名称、功能、实验形成特色的实验装备内容、预计机时数、服务的学更新换代的实验装备达到何种水平具有较高展示度的实验装备预计所需资金。 6、实验室队伍建设、人员配备情况、通过培训进修使现有人员达到何种水平，拟采取稳定实验人员队伍具体措施。 7、实验室环境建设。供参考实验室建设规划书系部：计算机应用技术系

单位负责人签字：填表日期： 2004年7月1日实验设备处制填表日期：2004年7月1日目录（成稿后编制）一、数学与信息科学学院专业实验室现有情况现有建制实验室名称及发展沿革：现有两个实验室：计算科学实验室（三个分室）、数学建模实验室建立于2001年。人员情况：兼职教师2人，具有高级职称的1人。场地情况：计算科学实验室（三个分室）位于15号教学楼502、504、506室；数学建模实验室位于15号教学楼501室。设备情况：计算科学实验室现有三个分室，共有140台微机，其中两个网络机房，一个普通机房（机器老化，不能使用）。两个网络机房中有一个能够用于专业上机，另一个只能用于基础课上机。数学建模实验室现有一个网络机房，共有50台微机，可用于专业上机。两个实验室能用于专业上机的只有两个机房，共100台微机。承担实验教学内容及工作量：计算科学实验室服务课程有：计算机语言、算法与数据结构、数学实验、数学模型、计算机辅助教学、程序设计、软件工程、数值分析、操作系统、计算机网络、计算机图形学、数据库原理、计算机集中训练和毕业设计等。数学建模实验室服务课程有：数学实验、数学模型、计算机辅助教学、计算机网络、计算机图形学、计算机集中训练和课程设计等。二、数学与信息科学学院专业实验室建设目标与规划论证 1. 规划依据（必要性）实验室是进行教学、科学研究和技术开发的重要基地，是课堂教学的延伸，是理论联系实际的重要手段，是学校教学和科研工作的重要组成部分，是体现学校办学水平的重要标志之一，是培养学生的素质和能力的主要实践基地，因此实验室的建设是专业建设的重要组成部分。 2. 建设基础及方案根据学院整体发展规划及本系目前专业设置情况并考虑到下一步的发展需要，计划将计算科学实验室的三个分室进行改造，保留两个分室，撤销第三分室（第三分室现只有30台微机，全部不能用于正常上机，只能用于部分语言类课程设计和毕业设计）。将“数学建模实验室”更名为“应用数学实验室”。为满足新上统计学本科专业的教学需要，需新建“应用统计实验室”。各实验室的具体规划如下： 1) 计算科学实验室

(完整word版)部编版小学二年级数学下册第一单元

部编版小学二年级数学下册第一单元《有余数的除法》测试题一、算一算。（共36分） 1.直接写出得数。（20分） 56÷8= 42÷7= 27÷3= 77＋8= 8×7-7= 4×7= 20÷4= 48÷6= 5×9= 45÷5×6= 36÷4= 15÷5= 16÷4= 54-6= 9×3+4= 26-8= 35-7= 30÷6= 72÷9= 63÷7+8= 2.用竖式计算。（16分） 56÷9= 45÷7= 52÷6= 23÷3= 61÷8= 27÷5= 29÷5= 67÷8= 二、填一填。（第2题3分，第3题4分，其余每空1分，共27分） 1.画一画，填一填。（1）17个?，平均分成2份，每份是（）个，还剩（）个。画一画：（）算式：（）（2）17个?，每3个1份，可以分成（）份，还剩（）个。画一画：（）算式：（） 2.在有余数的除法算式 ÷8=?……?中，符合条件的?有（）。 3.你能写出哪些不同的算式？ ÷4=8...... ÷4=8...... ÷ =8......4 ÷ =8 (4) 4.书架上原有37本故事书，最少添上（）本，正好能平均分给8个小朋友；最少拿走（）本，正好能平均分给7个小朋友。

5.一些糖果，平均分给二（1）班第一小组的小朋友，每人分6块，还余了7块，第一小组至少有（）名小朋友。 6.有48个桃，每7个装一大盘，剩下的每2个装一小盘，可以装（）个大盘和（）个小盘。 7.有一列图形，排列规律如下： ??? ? ? ? …… （1）第16个图形是（）。（2）第30个图形是（）。 8.（1）今年5月1日是星期三，5月30日是星期（）。（2）今天是星期一，妈妈要出差16天（包含今天和妈妈回来的那天），妈妈回来的那天是星期（）。 9.有30只鸽子，每4只装1个笼子，装这些鸽子一共需要（）个笼子。 10.一本故事书9元，67元最多可以买（）本，再加（）元可以再买一本。三、判断题。（对的打“√”，错的打“×”）（共4分） 1.（）×6<39，（）里最大填6. （） 2.55÷6=8……7 （） 3.40÷9和44÷8的余数都是 4. （） 4.20棵树苗，至少拿走5棵树苗，就能够平均分给3个小朋友栽。（）四、选一选。（填序号）（每题1分，共4分） 1.1壶茶能倒4杯，妈妈邀请了13位客人，至少要沏（）壶茶。 ①3 ②4 ③5 2.妈妈买了十几个苹果，4个4个地数多1个，5个5个地数多2个，妈妈买了（）个苹果。①12 ②13 ③17 3.王阿姨准备了三十几块巧克力，每个小朋友领走5块，最后还剩3块。这些巧克力可能有（）块。①31 ②38 ③35 4.12月份有31天，是（）个星期零（）天。①3 ②4 ③5 五、解决问题。（共29分） 1.学校买回73棵树苗，已经栽了25棵。剩下的树苗每行栽7棵，可以栽几行？（4分） 2.把56本书平均分给明明和他的5个朋友，每人分到几本？还剩几本？（4分）

2020最新部编版二年级数学下册第一单元测试题及答案

[时限:60分钟满分:100分] 班级姓名学号成绩温馨提示：小朋友，经过本单元的学习，你一定积累了很多知识，现在请认真、仔细地完成这张试卷吧。加油！题号一二三四总分得分一、选择题。（8分） 1、从36与24的和中去掉12，差是多少？正确列式是（）。 A. 36＋12－24 B. 36＋（24－12） C.36＋24－12 2、16与9的和除以5，商是多少？正确列式是（）。 A.16＋9÷5 B.（16＋9）÷5 C.（16－9）÷5 二、填空。（8分） 1、在含有小括号的算式里，要先算（）。 2、下面是田径队人数的统计表，请完成以下表格（单位：人）项目男生人数女生人数总人数跳远20 比男生少12人

跑步是女生的3倍8 跳高比女生少4人20 三、计算题。（18分） 1、看谁算得又对又快． 78－50－9＝72－2－30＝35＋6＋40＝ 47＋9－20＝ 17＋3＋15＝ 75－50＋14＝ 49－9－30＝ 28＋20＋2＝ 99－20＋6＝ 100－30－7＝16＋15－7＝ 70－30＋33＝ 2、在（）里填上“＞”“＜”或“＝”． 43＋7＋16（）65 27＋（50－5）（）70 36＋40－35（）38 75－（85－25）（）20 54－（24－14）（）44 67－60＋9（）16 四、解决问题。（66分） 1、果园里有8行苹果树，每行9棵，一共有多少棵？又种了20棵，一共有多少棵？ 2、每个人做6朵小红花，4个人一共做多少朵？

3、小光的爸爸买来24个苹果，妈妈买来16个苹果，一共买来了多少个？ 4、王刚看一本故事书，每天看6页，看了8天，还剩20 页，这本书一共有多少页？ 5、买来28米布，做上衣用去15米，做裤子用去9米，还剩多少米？ 6、小朋友分巧克力糖，每4人分1块巧克力，有5块巧

部编版一年级数学下册知识要点归纳

第一单元认识图形 3、缺了几块砖的方法缺了（8 ）块

4、沿虚线折一折，它变成正方体。其中①号面与( )号面相对。方法：中间隔一个 ①对③，②对⑥，④对⑤ 第二单元20以内的退位减法1、计算方法 11-9=□ 方法一：破十法 11-9=2 先算：10-9=1，再算：1+1=2 方法二：想加法算减法 11-9=2 因为：9+2=11，所以：11-9=2 方法三：连减法 11-9=2 11-1-1-1-1-1-1-1-1-1=2 2、解决问题（1）选择有效信息，排除干扰信息。

解决问题需要两个条件和一个问题。例：小明家有14只鸡和5只鸭。公鸡有6只，母鸡有几只？分析：两个条件是14只鸡和公鸡有6只。问题是母鸡有几只？干扰信息：5只鸭。 14-6=8（只）口答：母鸡有8只。（2）求一个数比另一个数多几或求一个数比另一个数少几？（减法）例1：小华有12个苹果，小芳有7个苹果，小华比小芳多几个？ 12-7=5（个）口答：小华比小芳多5个。例2：小华有12个苹果，小芳有7个苹果，小芳比小华少几个？ 12-7=5（个）口答：小芳比小华少5个。第三单元分类与整理（要求：会填和画表格，自己能给出分类标准，进行分类。）分类的标准一致，分类的结果就一致。

第四单元100以内数的认识

1、 45、46、47、（）、（）、（）、（）、（） 10、20、30、（）、（）、（）、（）、（）三十五接着数5个数是（）、（）、（）、（）、（） 2、10个一（），10个十（）；我是由8个一和3个十组成（），我是由5个十和8个一组成（）；我是79，我的前面是（），后面是（）；我是85，比我少3是（）。 3、五十二写作（），三十七写作（）；89读作（） 68读作（），读数和写数都是从高位起。从右边起，第一位是（），第二位是（），第三位（）。 4、比较大小 (1)先比较十位，十位大的数就大。例如：34○58 (2)十位相同再比较个位，个位大的数就大。 62○69 5、学会用多一些、少一些、多得多和少得多等语言来描述两个数之间的大小关系。例如：18比16多一些，16比18少一些； 99比10多得多，10比99少得多。

建设初中数学实验室的可行性探究

建设初中数学实验室的可行性探究 1数学实验室建设的必要性长期以来，数学教学除了计算就是证明.无论是概念的导入、定理的证明还是公式的推导，教师主要是凭借粉笔、直尺等教学辅助工具为学生讲授，这样的口头讲授，单一乏味，很难勾起学生的想象、激发学生的思维，更缺乏数学的情感体验；教学过程中，由于教师画出的静态图形不能很好地展现变化过程中图形的基本特征，影响了学生的观察和理解，影响了教学效果.因此，改善数学内容的处理方式和呈现方式，成为数学教学的当务之急。国内外的有关研究表明，将数学中的实验作为一个系统并且建立实验室，是学生进行数学学习的一种方法和手段，可以有效地改变学生的数学学习方式。 1.1课程标准的要求《义务教育数学课程标准（2011年版)》提出了“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”，

明确了“动手实践也是数学学习的一种重要方式并提出“有条件的学校可以建立“数学实验室”供学生使用，以拓宽他们的学习领域，培养他们的实践能力，发展其个性品质与创新精神，促进不同的学生在数学上得到不同的发展”。而数学实验是通过手脑并用“做”数学的一种学习活动，是学生运用有关工具（如纸张、剪刀、模型、测量工具、作图工具以及计算机等)，在数学思维活动的参与下，通过动手动脑，用观察、模仿、实验、猜想等手段获得经验，逐步建构并发展数学认知结构的活动。由此看出，《义务教育数学课程标准（2011年版）》对数学教学的方法手段提出的新要求，可以通过构建“做”数学的教学环境，建立数学实验室，开展数学实验教学，激发学生学习数学的兴趣，使学生的数学潜能得到最大的开发。 1.2初中数学教学内容的要求初中数学的教学内容既包括数学的结果，也包括数学结论的形成过程和蕴涵的数学思想方法.因此，教学中应根据具体的教学内容，注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得直接经验，即从学生实际出发，创设问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》编写的苏科版数学教科书将数学

部编版二年级下学期期末数学试卷

小学二年级下册数学期末试卷（满分100分，时间100分钟）同学们！一学期的学习生活就要结束了，通过自己的努力，你又有了新的进步吧！现在让我们拿起笔，好好读题，认真思考，相信你一定做的很棒。祝你取得好成绩！一、填一填（12题1分，其余每空1分，总分30分） 1.世界最高峰珠穆朗玛峰高度为8848米，读作（）米。 2.一千里有（）个百，3个百和8个十组成的数是（）。 3.24是4的（）倍，是8的（）倍。 4.把30个苹果平均分给6个小朋友，每个小朋友分到（）个，列式计算的算式为（），其中被除数是（），商是（）。 5.用4,2,0,7这四个数字写出一个不读零的四位数是（），写出一个读零的四位数（）。 6.○▲□○▲□○▲□○……第20个图形是（）。

7.小红家到体育场的距离是412米，约是（）米。 8小贝娜买5个日记本需要15元，9元能买（）个日记本。 9.37比63少（），56是（）的7倍。 10.4998后面第三个数是（），前面第二个数是（）。 11.12+8=20 20÷5=4列综合算式是（） 12.填上合适的单位。一个苹果约重200（）。一袋面粉重25（） 13.一袋砂糖重500克，（）袋砂糖正好重2千克。 14. 在○里填上“＞、＜、＝” 6千克○5900克1300克○3千克81÷9○48÷6 6÷2×3○9×4÷6 16÷2○4×2 400克+600克○1千克 2千克300克○2030克1100○1099 849千克○894克二、我是小法官，对错我来判。（对的打“√”，错的打“×”）（10分） 1.32—32÷4=0 （） 2.所有的锐角都比钝角小。（）

王向东数学实验课本3-13

3-13 王向东数学实验课本实验十三商品需求量的预测【实验目的】

1．了解回归分析的基本原理和方法。2．学习用回归分析的方法解决问题，初步掌握对变量进行预测和控制。 3．学习掌握用MATLAB命令求解回归分析问题。【实验内容】现有某种商品的需求量、消费者的平均收入、商品价格的统计数据如表1所示，

试用所提供的数据预测消费者平均收入为1000、商品价格为6时的商品需求量。【实验准备】 206 现实生活中，一切事物都是相互关联、相互制约的。我们将变化的事物看作变量，那么变量之间的相互关系，可以分为两大类：一类是确定性

关系，也叫作函数关系，其特征是一个变量随着其它变量的确定而确定，如矩形的面积由长宽确定；另一类关系叫相关关系，其特征是变量之间很难用一种精确的方法表示出来，如商品销量与售价之间有一定的关联，但由售价我们不能精确地计算出销量。不过，确定性关系与相关关系之间没有一道不可

逾越的鸿沟，由于存在实际误差等原因，确定性关系在实际问题中往往通过相关关系来体现；另一方面，当对事物内部规律了解得更加深刻时，相关关系也可能转化为确定性关系。 1．回归分析的基本概念回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数学方法，它是最常用的数理统计方法，能解决预测、控制、生产工艺化等问题。由相关关系函数确定形式的不同，回归分析一般分为线性回归、非线性回归和逐步回归，在这里我们着重介绍线性回归，它是比较简单的一类回归分析，在实际问题的处理中也是应用得较多的一类。 207 回归分析中最简单的形式是为标＋（、＝＋???yy xx01 1）量）（称自变量固定的未知参数，称为回归系数，??x

(完整版)2019最新部编版二年级下册数学1—8单元试卷

2019最新部编版二年级下册数学1—8单元试卷第一、二单元测试卷（A）一、数一数，填一填。（16分） 1、加法算式：乘法算式： 2、加法算式：乘法算式： 3、每盘有（）个，有（）盘，一共有（）个。4、（）个（）相加。一、直接写得数。（30分） 3×2= 9×2= 8×5= 32+6= 23-5= 7×4= 8+1= 4×9= 5×3= 7×3= 8×2= 81-50= 3×6= 1×8= 2×6= 7+43= 9×5= 45+6= 4×6= 30+27= 二、填一填。（19分） 1、2+2+2+2+2+2+2=（）×（）=（）口诀：（） 6×3=（）+（）+（）=（）口诀：（） 2、“4乘5”写作（），“5乘4”写作（）。 3、在乘法算式7×2=14中，乘数是（）和（），积是（）。 4、不计算，在○里填上“＞”“＜”或“=”。 2 + 2 2 × 2 4 + 4 4 × 4 6 × 4 6 + 4 3 ×2 3 + 2 2×6 3 × 4 8 × 2 2× 8 5、根据“四八三十二”这句口决写两道乘法算式：

三、比一比那个大？将算式从小到大排列。（7分）（）＜（）＜（）＜（）＜（）＜（）＜（）四、用你喜欢的图案画一画。（ 8分）五、解决实际问题。（20分） 1、春游。 2、

第一、二单元测试卷（B）班级数一数与乘法；乘法口诀（一）姓名成绩一、画一画，填一填。（8分） 1、每排画2个○，7排一共画多少个？ 2、第一排画4个4个别，第三排画2个。一共画了多少个？二、看图列式计算。（12分） 1、一共有（）个2。列式： 2、一共多少个，是（）个（）相加。列式： 3、每份有（）颗珠子，有（）份。一共有（）颗珠子，用乘法算是：三、将下表填完整。（16分）１、２、４块香皂装一盒。四、想口决，写乘法算式。（15分）１、（）九十八（）得六２、3×（）＝24 想口决： ()×9 ＝45想口决： 2、找出你学过的只能计算一道乘法算式的口决。辆数１２３４５６７８９人数盒数３４７香皂块数２０２４３２３６

数学探究实验室方案

数学探究实验室装备方案（初中） 2017年1月6日

目录一、数学探究实验室建设的政策背景 (3) 二、数学探究实验室建设意义 (3) 三、数学探究实验室建设功能 (4) 四、数学探究实验室建设要求 (5) （一）专用教室建设要求 (5) （二）环境要求 (6) 五．基本配置与功能要求 (7) 1.数学实验室设备 (7) 2.多媒体及桌椅 (11) 3.数学文化及教具学具 (12) 4.教室装修 (13) 5.效果图：（如下） (14)

一、数学探究实验室建设的政策背景根据国家颁布的《国家中长期教育改革和发展规划纲要》指出：“信息技术对教育发展具有革命性影响，必须予以高度重视。”强调“强化信息技术应用，提高教师应用信息技术水平，更新教学观念，改进教学方法，提高教学效果。鼓励学生利用信息手段主动学习、自主学习，增强运用信息技术分析解决问题能力。”教育部颁布的《数学课程标准（实验稿）》指出：现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等产生深刻的影响．提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合．鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现．《数学课程标准》还指出：“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”。再从《数学新课程标准》内容来看，新增加了数学实习作业、“实践与综合应用”、直观几何、几何变换、概率统计等内容。而这些内容实践性与操作性都很强。数学实验室的设立，可以有效的落实这些新增内容，为教学提供很好的学习研究环境。同时新教材对数学实验也提出了新的要求。例如人教版新教材安排有“阅读与思考”、“探索与发现”、“实习作业”等内容。这些内容的完成同样离不开实验，要实验就必须建立自己的实验室。二、数学探究实验室建设意义义务教育数学课程标准多次强调让学生“动手实践、自主探索、发现创新”的数学教学理念。我们知道理、化、生学科都有自己的实验室，让学生在其中“动手实践、自主探索、发现创新”，数学能不能也像理、化、生一样建立起自己的实验室，让学生在其中“动手实践、自主探索、发现创新”呢？数学能不能实验？数学怎样实验？数学能实验什么？数学探究实验室是怎样的？数学探究实验室的仪器设备或者环境要求是怎样的？数学探究实验室的建立，成为了当今数学教学中的新趋势。 G·波利亚曾指出：“数学像是一门系统的演绎科学；另一方面，创造过程中的数学，看起来却像是一门试验性的归纳科学”。著名的数学家弗赖登塔尔也曾指出：“要实验真正的数学教育，必须从根本上以不同的方式组织教学，否则是不可能的。在传统的课堂里。再创造方法不可能得到自由的发展。它要求有个实验室，学生可以在那儿个别活动或是小组活动”

2020年部编人教版小学二年级数学下册全册教案

二年级下册数学教材分析一、本学期教学的指导思想 1、重视以学生的已有经验知识的生活经验为基础，提供学生熟悉的具体情景，以帮助学生理解数学知识。 2、增加联系实际的内容，为学生了解现实生活中的数学，感受数学与日常生活的密切联系。 3、注意选取富有儿童情趣的学习素材和活动内容，激发学生的学习兴趣，获得愉悦的数学学习体验。 4、重视引导学生自主探索，合作交流学习方式，让学生在合作交流与自主探索的气氛中学习。 5、把握教学要求，促进学生发展适当改进评价学生的方法。二、教材分析本册教材包括下面一些内容：数据收集整理、表内除法、图形的运动、混合运算、有余数的除法、万以内数的认识、克和千克、数学广角——推理、总复习等。三、教学目标 1、了解统计的意义，体验数据的收集、整理、描述和分析的过程；会用简单的方法收集和整理数据，认识条形统计图和简单的复式统计表；能根据统计图表中的数据提出并回答简单的问题，并能进行简单的分析。 2、知道除法的含义，除法算式中各部分的名称，乘法和除法的关系；能够熟练地用乘法口诀求商。 3、认识轴对称、平移和旋转，剪一剪等。帮助学生建立空间观念。培养学生的空间想象能力。

4、使学生经历把平均分后有剩余的现象抽象为有余数除法的过程，初步理解有余数除法的含义。 5、结合生活实际，体会生活中有大数。感受学习大数的必要性，经历数数的过程，能认识万以内的数，结合实际物体知道这些数的组成与分解。 6、认识生活中常见的秤。在实践活动中感知1克、1千克的物体有多重，了解克、千克的实际意义及1千克=1000克。 7、通过一系列的猜测、比较、推理等活动，使学生感受简单推理的过程，找出简单事物的排列数与组合数。四、情感态度 1、通过对周围现实生活中有关事例的调查，激发学生的学习兴趣，培养学生的合作和创新精神。 2、培养学生认真观察，独立思考等良好的学习习惯。 3、通过观察操作活动，发展学生的空间观念，培养学生的观察能力和动手能力，学会欣赏数学美。 4、让学生在学习中体验到成功的喜悦，增强学生学好数学家的信心。 5、使学生在解决实际问题的过程中，培养学习兴趣和敢于探索的科学精神。训练学生养成认真审题，仔细验算的良好习惯。 6、进一步学习用具体的数学描述生活中的事物，经历与他人交流活动，培养学习数学的兴趣和自信心。五、教学措施

王向东数学实验课本(可编辑)2-5

实验五二元函数的图形【实验目的】 1．了解二元函数图形的制作。 2．空间曲面等高线的制作。 3．了解多元函数插值的方法。 4．学习掌握MATLAB 软件有关的命令。【实验内容】画出函数22y x z += 的图形,并画出其等高线。【实验准备】 1．曲线绘图的MATLAB 命令 MATLAB 中主要用mesh,surf 命令绘制二元函数图形。可以用help mesh, help surf 查阅有关这些命令的详细信息【实验方法与步骤】练习1 画出函数22y x z += 的图形,不妨将区域限制在]3,3[]3,3[),(-?-∈y x 。用 MATLAB 作图的程序代码为： >>clear; >>x=-3:0.1:3; %x 的范围为[-3,3] >>y=-3:0.1:3; %y 的范围为[-3,3] >>[X,Y]=meshgrid(x,y); %将向量x,y 指定的区域转化为矩阵X,Y >>Z=sqrt(X.^2+Y.^2); %产生函数值Z >>mesh(X,Y,Z) 结果如图5.1。图5.1是网格线图,如果要画完整的曲面图,只需将上述的MATLAB 代码mesh(X,Y,Z)改为surf(X,Y,Z), 结果如图5.2

图5.1 锥面图5.2 锥面要画等高线,需用contour,contour3命令.其中contour为二维等高线, contour3为三维等高线,如画图5.1的三维等高线, MA TLAB代码为： >>clear; >>x=-3:0.1:3; >>y=-3:0.1:3; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); >>Z=sqrt(X.^2+Y.^2); >>contour3(X,Y,Z,10) %画10条等高线 >>xlabel('X-axis'),ylabel('Y-axis'),zlabel('Z-axis') %三个坐标轴的标记 >>title('Contour3 of Surface') %标题 >>grid on %画网格线结果如图5.3. 图5.3 等高线如画图5.1的二维等高线, MATLAB代码为： >>clear; x=-3:0.1:3; y=-3:0.1:3; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); Z=sqrt(X.^2+Y.^2); >> contour(X,Y,Z,10) >>xlabel('X-axis'),ylabel('Y-axis')

高中数学实验室建设方案

动态数学探究实验室Dynamic Mathematics Lab （高中版）皓骏（广州）数学技术中心 Hawgent Technology Centre in Mathematics 推广中心联系人：廖老师联系电话： QQ：376523142

团队介绍 Hawgent皓骏数学技术团队由数学、计算机、数学教育等学科领域的专业队伍和具有丰富一线教学经验的优秀数学教师共同组成。 Hawgent皓骏数学技术团队中的核心成员从20世纪90年代就开始了动态数学技术的理论研究、技术开发和教学应用等方面的工作。 Hawgent皓骏数学技术团队所开发的动态数学教学软件在国内外数学教育界、教育信息技术等领域都产生了广泛而重要的影响。自2002年起，Hawgent皓骏数学技术团队陆续在北大附中、华南师大附中、广州四十七中等20多所中学开展了动态数学探究实验课程。承担和参与了广州市景中实验中学、广东广雅中学、广州市执信中学等几十多所学校数学实验室的策划、设计、建设和应用工作。出版或编写了《专题数学实验》（小学版、初中版、高中版）、《同步数学实验》（小学版、初中班、高中版）、《动态解析高考数学综合题》、《动态解析中考数学压轴题》、《技术帮你学数学：图形与变换》、《技术帮你学数学：研究与实验》、《技术帮你学数学：运动与关系》、《奇妙的曲线》、《形形色色的曲线》等专著十几种。 Hawgent皓骏数学技术团队的愿景：让更多的人学好数学，喜欢数学。

目录一、项目概述 (4) 1，项目名称 (4) 2，编制依据 (4) 3，建设规模 (4) 4，建设周期 (4) 5，设备清单 (4) 6，投资规模 (5) 二、建设依据 (5) 1，政策依据 (5) 2，现状分析 (6) 三、需求分析 (8) 1，本位要求 (8) 2，教学需求 (8) 3，可行性分析 (9) 4，建设思路 (10) 四、建设内容 (13) 1，数学设备 (13) 2，多媒体设备 (16) 3，通用设备 (19) 4，环境要求 (21) 5，基础设施 (21) 6，平面布置 (22) 7，效果设计 (24) 五、设计原则 (24) 1，先进性 (24) 2，标准化 (24) 3，安全性 (24) 4，可靠性 (25) 5，可扩展性 (25) 6，易操作性 (25) 7，经济性 (25) 8，实用性 (25) 六、项目意义 (25) 1，有助于国家课程理念的落实 (25) 2，有利于提高教学效率和质量 (26) 3，促进教育公平化的进一步发展 (26) 七、附录介绍 (27) 1，Hawgent皓骏动态数学软件 (27) 2，数学文化主题素材 (36)

投针实验计算圆周率的数学分析

投针实验计算圆周率的数学分析王向东投针实验计算圆周率的数学证明方法，初中一般是采取假设针弯成直径等于平行线距离的方法巧妙证明。这个方法是基于不管针弯成什么形状，针上的每一个部位与平行线相交的概率相同，但这是感观上的认识，要把其中原因解释清楚不是很容易。笔者从纯数学的角度来推导这个公式。一、投针问题的由来 1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。这一方法的步骤是： 1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d 的平行线。 2) 取一根长度为()l l d <的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n 次，观察针与直线相交的次数，记为m 3）计算针与直线相交的概率． 18世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为d 的平行线，将一根长度为()l l d <的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率。”布丰本人证明了，这个概率是： 2l p d π=，π为圆周率。二、投针实验的数学证明投针这个动作是由两个事件构成的。事件1：针投下后与平行线构成一定的夹角。我们来分析一下针投下后与平行线之间的成某一特定夹角时的概率。设针投下后与平行线之间的夹角为θ，则θ在0与π之间。针与平行线之间的夹角在θ到θ+θ?之间的概率为1p θ π?=，当0θ?→时，可看作针投下后与平行线之间成某一特定夹角为θ的概率。事件2：针投下后会在平行线垂直的方向形成一个投影，针与平行线相交等于它的垂直投影与平行线相交。这个投影的长度'l 在0到l 之间。

中小学实验室建设标准

实验室建设第一章实验室建设实验室是学校科学教育的重要基地和开展实验教学与实践教育的重要场所。实验教学是学校开展科学教育和理科教学过程中的一个十分重要的实践教学环节～是培养学生创新精神和动手操作能力的重要途径～也是学生学习理科知识的主要方法之一和学校总体办学条件的重要内容之一。因此～加强实验室建设和管理具有十分重要的意义。第一节实验室建筑设计一、实验室建筑设计要求实验室建筑设计要求包含三个方面的内容:择址、设计和建筑施工。 1、择址:中小学实验室是专用教室～应建在教学区内～与教室毗邻。若建专用的实验楼～宜建于教学楼附近较僻静的一方～与教学楼对应相衬。若建在教学楼内～其用房应相对集中地安排在教学楼的一端或较低楼层～这样仪器运送方便～可避免对课堂教学的干扰～有利于实验教学计划的落实和工作联系。根据实际需要～实验室面积 2一般不得小于90m～建设时应注意选择较新较大的教室～且应朝南北方向～尽量避免朝东或朝西。 2、设计:建设实验楼,室,～其外观造型、楼层布局、通风排污、采光照明、安全设施的设计都应符合教育学心理学的要求～具有科学性和艺术性。实验室的内部设施～如水电、桌、凳、柜等～既要方便教学～又要有利于管理和维修。在具体的建筑设计中～要注意适应、经济～并要有超前意识。一般要求水电到桌的实验室,特别是化学实验室,建在一楼,底层,～这样有如下优点:?上下水管,道,的安装、检修方便～即使有腐蚀、漏水情况～也不致影响别的房间使用～同时节省管道,?有利

于排除有害气体,如二氧化碳、二氧化硫等都比空气重,,?当实验过程中发生紧急情况时～便于安全疏散。实验室与仪器室、准备室等配套房间～要联在一起～处于同一层楼～便于管理和教学。仪器室与实验室之间宜设门相通～以便于仪器的搬运。具体应从以下五个方面进行考虑: ?地面:各室与走廊的地面不宜设台阶。地面应防尘易清洁、耐磨、防滑～化学实验室的地面应耐酸碱腐蚀。化学实验室、化学准备室和生物实验室的地面应设地漏。 1 ?门窗:应根据人流安全疏散的要求设臵前后门～门洞的宽度不应小于1200mm。实验室的窗台适宜高度900mm，1000mm～实验室的窗间墙宽度不应大于1200mm。门窗开启后不应影响室内空间的使用和走廊通行的便利与安全。 ?综合布线系统:室内有水源、电源的应设总控制阀。实验室内电源插座与照明用电应分路设计、分别控制。新建实验室应预留综合布线系统的竖向贯通井道及设备位臵。 ?采用通风到桌的化学实验室～应单独设臵三相动力电源～独立控制。 ?用电负荷:实验室的配电线路和设备功率容量应留有余地～以满足不断采用现代化教学手段及教学设备逐步增多的需要。 3、建筑施工:实验室的建设和内部施工、水电安装要求较高～技术性较强～应选择水平较高的基建队承担施工任务～同时学校应选派工作责任感强、懂得实验室建设规范的同志督促施工方严格按专业厂家或主管部门提供的图纸施工～确保施工质量～避免因不合要求而返工～造成不必要的损失。二、实验室家具设计

部编人教版小学二年级数学下册期末考试卷及答案

本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！部编人教版小学二年级数学下册期末考试卷及答案一．选择题。（把正确答案的序号填在括号里。每题2分，共10分） 1. 下面各数一个0都不需要读出来的数是（） A．5007 B. 6090 C.9000 2. 把20－15=5、 5×6=30这两个算式合并成一个综合算式正确的是（） A.20－15×6 B. 5×6－20 C.（20－15）×6 按规律往后画，第24图形应画（） A. B. C. 4.小红、小芳和小兰进行跳绳比赛，她们跳了100、112、135下，小红说：“我跳的不是最高”。小芳说：“我刚好跳到100下”。小兰跳了（）下。

A.100 B.112 C.135 5.把3298、4326、2983从小到大排列正确的是（）。 A. 2983＜3298＜4326 B.2983＜4326＜3298 C. 3298＜2983＜4326 二．填空题。（每空1分，共28分） 1.由5个千、8个百和2个一组成的数是（） 2.8050读作：（）；二千零二写作：（） 3.一个数的最高位是百位，它是一个（）位数。 4.最大的三位数是（），最小的四位数是（）它们相差（）。 5.小丽同学的体重是25（）；一个梨子约重200（）。 6.写出两道商是5的除法算式（）和（）。 7.升旗时，国旗的运动是（）现象。 8. 800里面有（）个百，700是由（）个十组成的。 9.在一个有余数的除法算式里，除数是7，那么余数最大是( )。 10.用2、0、9、3组成一个四位数，其中最大的数（），最小的是（）。 11.一个四位数，它的最高位上的数是6，个位上是最大的一位数，其余各位都是0，这个数是（）。 12. 5050中，从左边数的第一个5表示（），第二个5表示（）。

2020最新部编版小学二年级数学下册全册教案

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二年级下册数学教材分析一、本学期教学的指导思想

1、重视以学生的已有经验知识的生活经验为基础，提供学生熟悉的具体情景，以帮助学生理解数学知识。 2、增加联系实际的内容，为学生了解现实生活中的数学，感受数学与日常生活的密切联系。 3、注意选取富有儿童情趣的学习素材和活动内容，激发学生的学习兴趣，获得愉悦的数学学习体验。 4、重视引导学生自主探索，合作交流学习方式，让学生在合作交流与自主探索的气氛中学习。 5、把握教学要求，促进学生发展适当改进评价学生的方法。二、教材分析本册教材包括下面一些内容：数据收集整理、表内除法、图形的运动、混合运算、有余数的除法、万以内数的认识、克和千克、数学广角——推理、总复习等。三、教学目标

1、了解统计的意义，体验数据的收集、整理、描述和分析的过程；会用简单的方法收集和整理数据，认识条形统计图和简单的复式统计表；能根据统计图表中的数据提出并回答简单的问题，并能进行简单的分析。 2、知道除法的含义，除法算式中各部分的名称，乘法和除法的关系；能够熟练地用乘法口诀求商。 3、认识轴对称、平移和旋转，剪一剪等。帮助学生建立空间观念。培养学生的空间想象能力。 4、使学生经历把平均分后有剩余的现象抽象为有余数除法的过程，初步理解有余数除法的含义。 5、结合生活实际，体会生活中有大数。感受学习大数的必要性，经历数数的过程，能认识万以内的数，结合实际物体知道这些数的组成与分解。 6、认识生活中常见的秤。在实践活动中感知1克、1千克的物体有多重，了解克、千克的实际意义及1千克=1000克。

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