习题五: 阿贝尔群与循环群
1．设*??,G 是一个独异点，并且对于G 中的每一个元素x 都有e x x =*，其中e 是幺元，证明*??,G 是一个阿贝尔群。
2．证明任何阶数分别为1，2，3，4的群都是阿贝尔群。并举一个6阶群，它不是阿贝尔群。
3．设*??,G 是一个群，证明：如果对任意的G b a ∈,都有
555444333)()(,)(b a b a b a b a b a b a *=**=**=*和，则*??,G 是一个阿贝尔群。
4．设[][][][][][]{}6,5,4,3,2,1=G ，G 上的二元运算7?，如表5-5.3所示。 问???7,G 是循环群吗？若是，试找出它的生成元。
5．证明：循环群的任何子群必定也是循环群。
表 5-5.3
石家庄铁道学院2005-2006学年第2学期 2002级本科班期末考试试卷 课程名称：离散数学考试时间：120 分钟 学号：姓名：班级： 考试性质（学生填写）：正常考试（）缓考补考（）重修（）提前修读（） 一．选择题： 1．若f、g是满射，则复合函数f。g必是（） A．映射 B. 单射C．满射D．双射 2.任意一个具有多个等幂元的半群，它（） Ａ．不能构成群Ｂ．不一定能构成群Ｃ．必能构成群Ｄ．能构成交换群３．设S={a,b},则S上总共可定义的二元运算的个数是（） Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．32 ４．R为实数集，运算*定义为：a,b∈R,a*b=a·|b|,则代数系统（R,*）是（） A．半群 B. 独异点C．群D．阿贝尔群 ５．在代数系统中整环和域的关系为（） A．整环一定是域 B.域不一定是整环 C．域一定是整环 D.域一定不是整环 ６．图G和H的结点和边分别存在一一对应关系是G和H同构的（） A .充分条件 B。必要条件 C。充要条件 D。既不充分也不必要 ７．设G=
第4章 数论与有限域的基本概念
1
课程内容大纲
1. 引言
第一部分：对称密码
2. 传统加密技术
第三部分：密码学数据完整性算法
11.密码学与Hash函数
3. 分组密码与数据加密标准（DES） 12.消息认证码（MAC） 4. 数论与有限域的基本概念 13.数字签名 5. 高级加密标准（AES） 6. 分组密码的工作模式 7. 伪随机数的产生和流密码
第四部分：相互信任
14.密钥管理与分发 15.用户认证
第二部分：公钥密码
8. 数论入门 9. 公钥密码学与RSA 10. 密钥管理和其他公钥密码体制
2
讲课内容
? 整除性和除法 ? Euclid算法 ? 模运算 ? 群、环和域 ? 有限域G(p) ? 多项式运算 ? 有限域GF(2n)
3
简介
? 有限域（finite fields） ? 在密码领域的重要性日益突出
?AES, Elliptic Curve, IDEA, Public Key
? 对“数”的操作 ? 概念：群(group)、环(ring)和域(field)
4
群
? Group,定义了二元运算的集合，记为{G, ·} ? 集合上的二元运算结果仍在该集合中(封闭性) ? 遵循:
?封闭性：a,b属于G，则a.b属于G ?结合律: (a.b).c = a.(b.c) ?单位元 e: e.a = a.e = a ?逆元 a-1: a.a-1 = e
? 有限群、无限群 ? 如果满足交换律
a.b = b.a
5
则构成阿贝尔群(Abelian group)
阿贝尔群、循环群、置换群：各种不同的群。
?什么是阿贝尔群 ?若群
知识回顾 ?生成子群 设G为群, a G, 即a的所有的幂构成的集合, 为G的子群, 称为由a生成的子群.
循环群的定义 定义8.10 设G是群，若存在a∈G使得 G={a k| k∈Z} 则称G是循环群，记作G=，称a 为G 的生成元. 循环群的分类：n 阶循环群和无限循环群. 设G=是循环群，若a是n 阶元，则 G = { a0=e, a1, a2, … , a n-1 } 那么|G| = n，称G 为n 阶循环群. 若a 是无限阶元，则 G = { a0=e, a±1, a±2, … } 称G 为无限循环群. 实例：
例10 (1) 设G={e, a, … , a11}是12阶循环群，则φ(12)=4. 小于12且与12互素的数是1, 5, 7, 11, 由定理8.13可知a, a5, a7和a11是G的生成元. (2) 设G=
近世代数作业 学院：数学与统计学院 班级：09级（1）班 姓名：崔新林 学号：090901103
一、抽象代数简介及其发展史 抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。 抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。 被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。 1843年，哈密顿发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。第二年，Grassmann 推演出更有一般性的几类代数。1857年，凯莱设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定(与其余假定是兼容的)，就能研究出许多种代数体系。 1870年，克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义；狄德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；狄德金和克隆尼克创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代数学。 有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为代数女皇，她就是诺特, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。 诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响。1907-1919年，她主要研究代数不变式及微分不变式。她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组。还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题。对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式，在格丁根大学的就职论文中，讨论连续群(李群)下不变式问题，给出诺特定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起。 1920-1927年间她主要研究交换代数与「交换算术」。1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已引入「左模」、「右模」的概念。1921年写出的<<整环的理想理论>>是交换代数发展的里程碑。建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理。1926年发表<<代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造>>，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。 1927－1935年，诺特研究非交换代数与「非交换算术」。她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上。后又引进交叉积的概念并用决定有限维枷罗瓦扩张
近世代数 近世代数即抽象代数。代数是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某一方程组是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性质等问题。法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。 基本信息 中文名称 近世代数 理论构成 全部现代数学有重要的影响 概述 抽象代数 发展历史 抽象代数1843年 近世代数 图书详细信息 目录版权信息内容简介印刷时间:2009-2-1 理论构成 抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响。抽象代数学随着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展。经过伯克霍夫、冯.诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格论确定了在代数学的地位。而自20世纪40年代中叶起，作为线性代数的推广的模论得到进一步
的发展并产生深刻的影响。泛代数、同调代数、范畴等新领域也被建立和发展起来。抽象代数在上一个世纪已经有了良好的开端，伽罗瓦在方程求根中就蕴蓄了群的概念。后来凯利对群作了抽象定义(Cayley，1821~1895)。他在1849年的一项工作里提出抽象群的概念，可惜没有引起反响。"过早的抽象落到了聋子的耳朵里"。直到1878年，凯利又写了抽象群的四篇文章才引起注意。1874年，挪威数学家索甫斯·李(Sophus Lie, 1842~1899)在研究微分方程时，发现某些微分方程解对一些连续变换群是不变的，一下子接触到连续群。1882年，英国的冯·戴克(von Dyck,1856~1934)把群论的三个主要来源-方程式论，数论和无限变换群-纳入统一的概念之中，并提出"生成元"概念。20世纪初给出了群的抽象公理系统。 群论的研究在20世纪沿着各个不同方向展开。例如，找出给定阶的有限群的全体。群分解为单群、可解群等问题一直被研究着。有限单群的分类问题在20世纪七、八十年代才获得可能是最终的解决。伯恩赛德(Burnside，1852~1927年)曾提出过许多问题和猜想。如1902年问道一个群G是有限生成且每个元素都是有限阶，G是不是有限群?并猜想每一个非交换的单群是偶数阶的。前者至今尚未解决，后者于1963年解决。 舒尔(Schur，1875~1941)于1901年提出有限群表示的问题。群特征标的研究由弗罗贝尼乌斯首先提出。庞加莱对群论抱有特殊的热情，他说:"群论就是那摒弃其内容而化为纯粹形式的整个数学。"这当然是过分夸大了。 抽象代数的另一部分是域论。1910年施泰尼茨(Steinitz，1871~1928)发表《域的代数理论》，成为抽象代数的重要里程碑。他提出素域的概念，定义了特征数为P的域，证明了每个域可由其素域经添加而得。 环论是抽象代数中较晚成熟的。尽管环和理想的构造在19世纪就可以找到，但抽象理论却完全是20世纪的产物。韦德伯恩(Wedderburn，1882~1948)《论超复数》一文中，研究了线形结合代数，这种代数实际上就是环。环和理想的系统理论由诺特给出。她开始工作时，环和理想的许多结果都已经有了，但当她将这些结果给予适当的确切表述时，就得到了抽象理论。诺特把多项式环的理想论包括在一般理想论之中，为代数整数的理想论和代数整函数的理想论建立了共同的基础。诺特对环和理想作了十分深刻的研究。人们认为这一总结性的工作在1926年臻于完成，因此，可以认为抽象代数形成的时间为1926年。范德瓦尔登根据诺特和阿廷的讲稿，写成《近世代数学》一书，(1955年第四版时改名为《代数学》)，其研究对象从研究代数方程根的计算与分布进到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构。这就发生了质变。由于抽象代数的一般性，它的方法和结果带有基本的性质，因而渗入到各个不同的数学分支。范德瓦尔登的《代数学》至今仍是学习代数的好书。人们从抽象代数奠基人--诺特、阿廷等人灿烂的成果中吸取到了营养，从那以后，代数研究有了长足进展。 发展历史折叠编辑本段 抽象代数折叠
尼尔斯·阿贝尔 尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802年8月5日－1829年4月6日），挪威数学家，以证明五次方程的根式解的不可能性和对椭圆函数论的研究而闻名。 生于挪威芬岛附近的Nedstrand，就读于奥斯陆大学。1825年得到政府资助，游学柏林和巴黎。生前不得志，无法获得教席俾专心研究,最后因肺结核 在挪威的弗鲁兰逝世。死后两天，来自柏林的聘书才寄到 家中。跟同样早逝的伽罗华一同被奉为群论的先驱。现代 有以他名字命名的阿贝尔奖。 数学成就 阿贝尔证明了二项式定理对所有的数字成立，扩展了欧拉 的研究：只对有理数成立。19岁时，他发现没有一般的代 数五次方程的根的解决方案。为了要做到这一点，他发明 （和伽罗瓦各自独立发明）极其重要的理论：群论。除 此之外，亚伯写了直到他去世后才被世人发现的椭圆函数 的巨著。阿贝尔曾谈及高斯的简洁的写作风格，“他是像狐 狸用尾巴抹去它的踪迹”，就如高斯自己说的：“建筑完成就要拆除脚手架。[1] 死因 在巴黎期间，阿贝尔曾染上肺结核。1828圣诞节，他跑遍雪橇到Froland再次访问他的未婚妻。夫妇一起享受假期使其病情稍有缓解。同时，克雷勒已为亚伯在柏林寻找新的工作，一个大学的教授职位。克雷勒4月8日写信给阿贝尔1829年告诉他这个好消息，但它来得太晚了，在这之前两天，阿贝尔病逝。 主要贡献和研究成果 ?椭圆函数论 ?阿贝尔积分理论 ?阿贝尔定理 ?阿贝尔群 ?阿贝尔判别法 阿贝尔群 阿贝尔群也称为交换群或可交换群，它满足其元素的运算不依赖于它们的次序(交换律公理)的群。阿贝尔群推广了整数集合的加法运算。阿贝尔群以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔命名。阿贝尔群的概念是抽象代数的基本概念之一。其基本研究对象是模和矢量空间。阿贝尔群的
群的子群反映了群的结构和性质，本节将用子群对群做一个划分，从而得到关于群与子群的一个重要定理：拉格 朗日定理。 主要内容： z陪集定义 z陪集基本性质（4个定理+1个推论） z拉格朗日定理及其推论 1
定义：设H是G的子群，a∈G. 令 Ha={ha | h∈H} 称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素. 例：设G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=
定理1设H是群G的子群，则 (1) He = H (2) ?a∈G 有a∈Ha 证(1) He = { he | h∈H } = { h | h∈H } = H (2) ?a∈G，由a = ea 和ea∈Ha 得a∈Ha 3
定理2设H是群G的子群，则?a, b∈G 有 a∈Hb ?ab?1∈H ?Ha=Hb 证先证a∈Hb ?ab?1∈H a∈Hb ??h(h∈H∧a=hb)??h(h∈H∧ab?1=h)?ab?1∈H 再证a∈Hb ?Ha=Hb. 充分性. 若Ha=Hb，由a∈Ha 可知必有a∈Hb. 必要性. 由a∈Hb 可知存在h∈H使得a =hb，即b =h?1a 任取h a∈Ha，则有 1 h a = h1(hb) = (h1h)b∈Hb，从而得到Ha ?Hb. 1 反之，任取h b∈Hb，则有 1 h b = h1(h?1a) = (h1h?1)a∈Ha , 从而得到Hb ?Ha. 1 综合上述，Ha=Hb得证. 4