2018-2019学年度第二学期高三年级一模考试
数学（理科）试卷
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.已知全集为R ，集合{1,0,1,5}A =-，{}
2
|20B x x x =--≥，则R A B =I e（ ）
A. {1,1}-
B. {0,1}
C. {0,1,5}
D. }1,0,1{-
【答案】B 【解析】 【分析】
先化简集合B,再求R A B I e得解. 【详解】由题得B={x|x ≥2或x ≤1-}, 所以{|12}R C B x x =-<<， 所以{0,1}R A B =I e. 故选：B
【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2.若复数z 满足(1i)|13i |z +=+，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出复数z 和z ,再求出在复平面内z 的共轭复数对应的点的位置得解. 【详解】由题得22(1)
1(1)(1)(1i)
i z i i i -=
==-++-， 所以1z i =+，
所以在复平面内z 的共轭复数对应的点为（1,1），在第一象限.
故选：A
【点睛】本题主要考查复数的模和复数的除法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3. 某单位共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为（）
A. 2
5
B.
3
5
C. 25
36
D.
11
36
【答案】B
【解析】
试题分析：按分层抽样应该从青年职工组中抽取人,其中青年组共有人,这六人中抽取两人的基本事件共有种，甲乙至少有一人抽到的对立事件为甲乙均没被抽到，基本事件为种，因此青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为，故选B．
考点：1．分层抽样；2．古典概型．
4.如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）
A. 2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.
B. 与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长.
C. 去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元.
D. 2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个. 【答案】D 【解析】
分析：解决本题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所代表的实际意义获取正确的信息．
详解：由折线图可知A 、B 正确；()4067.41 6.6%38154000÷+≈<，故C 正确；2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D 错误. 故选D.
点睛：本题考查条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键．
5.P 是双曲线2
2:12
x C y -=右支上一点, 直线l 是双曲线C 的一条渐近线.P 在l 上的射影为
Q ,1F 是双曲线C 的左焦点, 则||||1PQ PF +的最小值为( )
A. 1
B. 152
C. 154
D. 122+
【答案】D 【解析】
设双曲线C 的右焦点为2F ，连接2PF ，则1222PF PQ PF PQ +=+
22d ≥（d 为点2(3,0)F 到渐近线20x =313
=），即1PF PQ +的最小值为
122+；故选D.
点睛：本题考查双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或双曲线的点到两焦点的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的距离合理转化到另一个焦点间的距离.
6.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为
6
π
，当1B M 最小时，=∠AMB （ ）
A.
512
π B.
3
π C.
4
π D.
6
π 【答案】B 【解析】 【分析】
以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出
AMB ∠的大小．
【详解】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1=1AB AC AA ==，
设CN b =，BM a =，则(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)， (0AM =u u u u r ，1，)a ，(1AN =u u u r
，0，)b ，
设平面AMN 的法向量(n x =r
，y ，)z ，
·0·
0AM n y az AN n x bz u u u u v r u u u
v r ?=+=?=+=?，取1=z ，得(n b =-r
，a -，1)， 平面ABC 的法向量(0m =r
，0，1)，
Q 平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为
6
π
， 22||cos 6||||1
m n m n a b π
∴=++r r g r r g ，
解得22331a b +=，
∴当|1|B M 最小时，0b =，3BM a ==，
tan 3
3
AB AMB BM ∴∠=
== 3
AMB π
∴∠=
．
故选：B ．
【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
7.已知函数sin()()x
x f x a ω?π
+=(0,0,)a R ω?π><<∈，在[]3,3-的大致图象如图所示，则a ω
可取（ ）
A.
2
π
B. π
C. 2π
D.
4π
【答案】B 【解析】
分析：从图像可以看出()f x 为偶函数，结合()f x 的形式可判断出()sin y x ω?=+为偶函数，故得?的值，最后通过()10f =得到ω的值．
详解：()f x 为[]3,3-上的偶函数，而x
y a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()
sin g x x ω?=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2
k k Z π
?π=+
∈．
因为0?π<<，故2π
?=，(
)()sin cos 2x x
x x f x a a πωωππ
?
?+ ?
??==． 因()10f =，故cos 0ω=，所以2
k π
ωπ=+，k ∈N ．
因()02f =，故0
cos 012a a
π==，所以21
=a ． 综上
()21k a
ω
π=+，k ∈N ，故选B ．
点睛：本题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围．
8.《九章算术》中描述的“羡除”是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形.已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为（ ）
A. 20
B. 24
C. 28
D. 32
【答案】B 【解析】 【分析】
画出五面体的直观图，利用割补法求其体积. 【详解】五面体对应的直观图为：
由三视图可得：,4,2,6EF BC AD BC EF AD ===P P ， 三个梯形均为等腰梯形且平面FADE ⊥平面ABCD
F 到底面ABCD 的距离为4d =，,AD BC 间的距离为3.
如下图所示，
将五面体分割成三个几何体，其中,F AGHB E IDCJ --为体积相等的四棱锥，且
2AG GI ID ===，1,2BH JC HJ ===，则棱柱FGH EIJ -为直棱柱，EIJ ?为直角三角形.
又()11
4123632
F AGHB E IDCJ V V --==
???+?=； 1
243122
FGH EIJ V -=???=，
故五面体的体积为121224+=.故选A.
【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．而不规则几何体的体积的计算，可将其分割成体积容易计算的规则的几何体.
9.在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且BC 边上的高为a 6
3
,则c b b c + 的最大值是
（ ） A. 8 B. 6
C. 32
D. 4
【答案】D 【解析】
22b c b c c b bc ++=
，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A 222
2b c a bc
+-=，① 而条件中的“高”容易联想到面积，
131
22
a =bc sin A ，即a 2＝23bc sin A ，② 将②代入①得：
b 2＋
c 2＝2bc (cos A ＋3sin A )，
∴
b c c b
+＝2(cos A ＋3sin A )＝4sin(A ＋6π)，当A ＝3π
时取得最大值4，故选D ．
点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
10.已知函数()sin 3f x x π?
?
=- ??
?
，若12>0x x ，且()()120f x f x +=，则12x x +的最小值为（ ） A.
6
π B.
3
π C.
2
π D.
23
π 【答案】D 【解析】 【分析】
先分析得到12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，再求函数的绝对值最小的零点即得解.
【详解】由题得12+x x 等于函数的零点的2倍，
所以12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍， 令()sin =03f x x π??
=- ??
?
， 所以,3
x k k Z π
π-=∈,
所以=
+,3
x k k Z π
π∈，
所以绝对值最小的零点为3
π
， 故12x x +的最小值为23
π. 故选：D
【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11.过抛物线24y x =的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线
1x =-上，则ABC ?的边长是（ ）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 14
【答案】C 【解析】 【分析】
设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN 垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ， 设AFx θ∠=，求出3
1sin =
θ，利用弦长公式，可得结论．
【详解】抛物线2
4y x =的焦点为(1,0)F ，设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、
MN
垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ，设AFx θ∠=，
由抛物线定义知：1111
||(||||)||22MN AA BB AB =+=，
3||||MC AB =Q ，||||3MN MC ∴=， 90CMN θ∠=?-Q ，
∴||cos cos(90)||3MN CMN MC θ∠=?-=
=，即31sin =θ， 所以直线AB 的斜率k=2
tan 2
θ=, 所以直线AB 的方程为2
(1)y x =
-， 联立直线AB 方程和抛物线方程得21010x x -=+，
所以1212+=10||10212x x AB x x p ∴=++=+=，
. 故选：C ．
【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键．
12.设函数()(1)x g x e e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ??∈+
≥-+????
，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A. e
??+∞ ? ??
?
B. ,)e +∞
C. ,)e +∞
D. e
??+∞?????
【答案】D 【解析】 【分析】
先构造函数()()2
12
T x f x x =-
，由题意判断出函数()T x 的奇偶性，再对函数()T x 求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【详解】构造函数()()2
12
T x f x x =-， 因为()()2
f x f x x -+=，
所以()()()()()()()2
2211022
T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=， 所以()T x 为奇函数，
当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，所以()T x 在(]
,0-∞上单调递减， 所以()
T x R 上单调递减.
因为存在()()01
12x x f x f x x ??∈+
≥-+????
， 所以()()0001
12
f x f x x +
≥-+， 所以()()()2
20000011111222
T x x T x x x ++≥-+-+，
化简得()()001T x T x ≥-， 所以001x x ≤-，即01
2
x ≤
令()()12x
h x g x x e ex a x ??=-=-≤
???
， 因为0x 为函数()y g x x =-的一个零点， 所以()h x 在1
2
x ≤
时有一个零点 因为当12
x ≤时，()12'0x h x e e e e =≤=，
所以函数()h x 在1
2
x ≤时单调递减，
由选项知0a >，102e
<<，
又因为0e
e
h e
e a e
e e -
?=-=> ?
，
所以要使()h x 在1
2
x ≤时有一个零点， 只需使11022h e e a ??=≤
?
??，解得2
e a ≥， 所以a 的取值范围为e ?
+∞????
，故选D. 【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13.若实数x ，y 满足约束条件1330.y x x y x y ≤??
+≥??-+≥?
，
，，则3z x y =+的最小值为__________.
【答案】2 【解析】 分析】
先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．
【详解】作出约束条件1330.y x x y x y ≤??
+≥??-+≥?
，，，表示的平面区域（如图示：阴影部分）：
由10y x x y =??+-=?
得A （12,1 2），
由z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ，平移y ＝﹣3x ， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3z x y =+的最小值为32+1
22
=． 故答案为：2．
【点睛】本题考查了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义．
14.若110tan ,,tan 342ππααα??+=∈ ???，则2sin 22cos cos 44ππαα?
?++ ??
?的值为___________． 【答案】0 【解析】
试题分析：由110tan ,,tan 342ππααα??+
=∈ ???，解得tan 3α=，又2
sin 22cos cos 44ππαα??++ ??
? 22222
2222cos 22αααααα=
+=+ 2222cos 222
sin cos 2
ααααα+=
-+2
2222
0tan 12
αα+=
-=+． 考点：三角函数的化简求值．
15.函数()f x 图像上不同两点),(11y x A ，),(22y x B 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，AB 为A B 、 两点间距离，定义(,)A B k k A B AB
?-=
为曲线()f x 在点A 与点B 之间的“曲率”，给出以下命题：
①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数；
②函数32()1f x x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，则 “曲率”(,)3A B ?>； ③函数2()(0,)f x ax b a b R =+>∈图像上任意两点A B 、之间 的“曲率”(,)2A B a ?≤；
④设),(11y x A ，),(22y x B 是曲线()x f x e =上不同两点，且121x x -=，若·(
,)1t A B ?<恒成立，则实数
t 的取值范围是(,1)-∞。其中正确命题的序号为_____________(填上所有正确命题的序号)。
【答案】①③ 【解析】 试题分析：因当时，
，曲率为0，是常数,故①是正确的；又因当
时
,
,
故
(,)A B k k A B AB
?-=
,所以②是错误的；因，故
,所以
(,)A B k k A B AB
?-=
,故③正确成立；因
,故(,)A B k k A B AB
?-=
,所以
,所以④是错误的.故应填①③。
考点：函数的图象性质及导数等有关知识的综合运用。
【易错点晴】函数的图象和性质是高中数学中重要内容，也高考和各级各类考试的重要内容和考点。本题以定义新的概念“(,)A B k k A B AB
?-=
为曲线()f x 在点A 与点B 之间的“曲率”为背景精心设置
了一道选择填空形式的问题。重在考查推理判断的推理论证能力，求解时要充分借助题设中新定义的新的信息，对所给的四个命题进行逐一检验和推断，最后通过推理和判断得出命题①③是真命题,命题②④是假命题，从而获得本题的正确答案为①③。
16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:16O x y +=，点(2,2)P ，M ，N 是圆O 上相异两点，
且PM PN ⊥，若PQ PM PN =+u u u r u u u u r u u u r ，则||PQ uuuuu r
的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
试题分析：由已知可得2222,PQ MN PM PN ==+设O 到直线PN PM ,的距离分别是
12
,d d 2222
11(168)PM d d ?=---，
222222(168)PN d d =---2PM ?=22211(168)d d ---22222(168)d d +---，又
22128d d +=，设1122(,),(,)A x y B x y ，21116x d =-，21116y d =-,2228x d =-,2
228y d =-,又22221124PQ AB x y =?+=，22228x y +=，可知,A B 分别在圆2222
112224,8x y x y +=+=,由下
图可得=AB PQ u u u r
的取值范围是
．
考点：向量及其运算.
【方法点晴】本题主要考查向量及其运算，其中涉及数形结合思想，计算繁杂，属于较难题型。由已知可得由已知可得2
2
2
2
,PQ MN PM PN ==+设O 到直线PN PM ,的距离分别是
12,d d 222211(168)PM d d ?=---，
222222(168)PN d d =---2PM ?=21(16d --2218)d -22222(168)d d +---，
又22128d d +=?22221124,PQ AB x y =?+=22
228x y +=?,A B 分别在圆
22221
1
2
2
24,8x y x y +=+=?=AB PQ u u u r
的取值范围是
．
【此处有视频，请去附件查看】
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤.）
17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a S +=+()
*n ∈N . （1）求1a 的值；
（2）等差数列{}n b 的公差0d <，前n 项和n T 满足315T =，且11a b +，22a b +，33a b +成等比数列，求n T .
【答案】（1）1；（2）2
520n T n n =-+.
【解析】 【分析】
(1)根据已知先求出q=3,再根据已知求出1a 的值；（2）先求出13-=n n a ，再求出1025n b n =-+，再求出n T .
【详解】解：（1）∵121n n a S +=+()
*n ∈N ，∴2121a a =+，321221221a S a a =+=++
∴3222a a a -=，323a a =，3q =∴211213a a a =+= ∴11a = （2）由（1）得，13-=n n a ∵31232153T b b b b ==++= ∴
25b = ∴
15b d =-，35b d =+
∵11a b +，22a b +，33a b +成等比数列 ∴()()()2
221133a b a b a b +=++ ∴28(6)(14)d d =-+
∴28200d d +-=解得10d =-或2d =（舍） ∴1515b d =-=，1025n b n =-+ ∴21(1)
5202
n n n T nb d n n -=+
=-+ 【点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的通项的求法，考查等差数列的前n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18.已知三棱锥P ABC -（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD 2正方形，ABE ?和BCF ?均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：
（I ）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）若点M 在棱PA 上运动，当直线BM 与平面PAC 所成的角最大时，求二面角P BC M --的余弦值.
图一
图二
【答案】（1）见解析（2）533
33
【解析】 【分析】
(1)设AC 的中点为O,证明PO 垂直AC,OB,结合平面与平面垂直判定,即可.(2)建立直角坐标系,分别计算两相交平面的法向量,结合向量的数量积公式,计算夹角,即可. 【详解】（Ⅰ）设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意，得2PA PB PC ===
，
1PO =，1AO BO CO ===.
因为在PAC ?中，PA PC =，O 为AC 的中点， 所以PO AC ⊥，
因为在POB ?中，1PO =，1OB =，2PB =
222PO OB PB +=，所以PO OB ⊥.
因为AC OB O ?=，,AC OB ?平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ，
因为PO ?平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BO PO ⊥，BO AC ⊥，BO ⊥平面PAC ， 所以BMO ∠是直线BM 与平面PAC 所成的角， 且1
tan BO BMO OM OM
∠=
=
， 所以当OM 最短时，即M 是PA 的中点时，BMO ∠最大.
由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，所以PO OB ⊥，PO OC ⊥，于是以
OC ，OB ，OD 所在直线分别
x 轴，y 轴，z 轴建立如图示空间直角坐标系，
则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P ，1
1,0,2
2M ??-
???， ()1,1,0BC =-u u u v ，()1,0,1PC =-u u u v ，
31,0,2
2MC ??
=- ???u u u u v . 设平面MBC 的法向量为()111,,m x y z =r
，则
由00m BC m MC u u u
v r u u u u v r ??=??=?
得：11110
30x y x z -=??
-=?. 令11x =，得11y =，1
3z =，即()1,1,3m r
=. 设平面PBC 的法向量为()222,,n x y z =r
，
由00n BC n PC ??=??=?
u u u v r u u u v r 得：22220
0x y x z -=??
-=?， 令1x =，得1y =，1z =，即()1,1,1n =r
.
533
cos ,3333
m n n m m n ?===?r r r r .
由图可知，二面角P BC M --533
.
【点睛】本道题考查了二面角计算以及平面与平面垂直的判定,难度较大.
19.“工资条里显红利，个税新政入民心”.随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段.某IT 从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在26岁-35岁（2009年-2018年）之间各年的月平均收入y （单位：千元）的散点图：(注：年龄代码1-10分别对应年龄26-35岁)
（1）由散点图知，可用回归模型ln y b x a =+拟合y 与x 的关系，试根据有关数据建立y 关于x 的回归方程；
（2）如果该IT 从业者在个税新政下的专项附加扣除为3000元/月，试利用（1）的结果，将月平均收入视为月收入，根据新旧个税政策，估计他36岁时每个月少缴纳的个人所得税. 附注：
①参考数据：10
1
55i
i x
==∑，101
155.5i i y ==∑，()10
2
1
82.5i i x x =-=∑，()()10
1
94.9i i i x x y y =--=∑，
10
1
15.1i
i t
==∑，()
10
2
1
4.84i i t t
=-=∑，()()10
1
24.2i i i t t
y y =--=∑，其中ln i i t x =：取ln11 2.4=，
ln36 3.6=.
②参考公式：回归方程v bu a =+中斜率和截距的最小二乘估计分别为()()
()
1
2
1
?n
i
i
i n
i
i u u v v b
u u ==--=-∑∑，
??a
v bu =-. ③新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及税率表如下： 旧个税税率表（个税起征点3500元） 新个税税率表（个税起征点5000元）
缴
税 级数 每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点
税率(%)
每月应纳税所得额（含税）
=收入-个税起征点-专项附加扣除
税率(%)
1 不超过1500元的都分 3 不超过3000元的都分
3
2
超过1500元至4500元的部分
10
超过3000元至12000元的部分 10 3 超过4500元至9000元的部分 20
超过12000元至25000元的部
分
20
4 超过9000元至35000元的部分 25
超过25000元至35000元的部
分
25
5 超过35000元至55000元的部分 30
超过35000元至55000元的部
分
30
… … … … …
【答案】（1）5ln 8y x =+； （2）2130元. 【解析】 【分析】
（1）利用已知求出y 关于t 的线性回归方程，从而得出y 关于x 的回归方程； （2）估计36岁时的收入和两种政策对应的个税，得出结论．
【详解】解：（1）1010
1115.1
155.51.51,15.5510101010
i i i i t y t y ==∑∑======，
则()()()1012
10124.25,15.555 1.5184.84i i i i i
t t
y y b a y bt t t ==∑--=
===-=-?=∑-．
∴58y t =+．
∴y 关于x 的回归方程为：5ln 8y x =+
（2）该IT 从业者36岁时的月收入约为5ln118100020000+?（）＝元，
若按旧个税政策，需缴纳个税为：15003%300010%450020%750025%3120?+?+?+?＝， 若按新个税政策，需缴纳个税为：30003%900010%990?+?＝，
31209902130-＝．
∴他36岁时每个月少缴交的个人所得税2130元．
【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解及数据估计，考查计算能力，属于中档题．
20.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>过点31,2P ?? ???，离心率为12.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 交于不同两点M ，N ，记△F 1MN 的内切圆的面积为S ，求当S 取最大值时直线l 的方程，并求出最大值．
【答案】(1)13
42
2=+y x ；（2）:1l x =，max 916S π=. 【解析】 【分析】
（1）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a ，b ，即可得到椭圆方程；
（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），△F 1MN 的内切圆半径为r ，运用等积法和韦达定理，弦长公式，结合基本不等式即可求得最大值． 【详解】（Ⅰ）由题意得
21a +294b =1，c a =1
2
，a 2=b 2+c 2， 解得a=2，3，c=1，
椭圆C 的标准方程为
24x +23
y =1；