第五章图像退化模型
同学们好，今天我们要给大家讲解的内容是图像退化与复原。在开始之前我们先来看几张图片
可以看到，第一幅图像是由于镜头聚焦不好引起的模糊，第二幅是由于小车运动产生的模糊，第三幅是大气湍流影响的结果，a中，大气湍流可以忽略不计，b为剧烈湍流影响的结果，c和d分别为中等湍流和轻微湍流影响的结果。从以上几张图片可以看出，成像过程中不同因素的影响导致影响质量下降，这就是所谓的图像退化。
图像退化
由此，我们给出图像退化的描述（图像退化及其过程描述）如下：
图像的退化是指图像在形成、传输和记录过程中，由于成像系统、传输介质和设备的不完善，使图像的质量下降（变坏）。
其典型表现为:模糊、失真、有噪声。
产生原因：成像系统像差、传感器拍摄姿态和扫描非线性、成像设备与物体运动的相对运动、大气湍流、成像和处理过程中引入的噪声等。
图像复原
针对这些问题，我们需要对退化后的图像进行复原。这是我们本节内容的第二个关键词图像复原，图像复原就是尽可能恢复退化图像的本来面目，它是沿图像退化的逆过程进行处理，也就是如果我们知道图像是经历了什么样的过程导致退化，就可以按其逆过程来复原图像。因此，图像复原过程流程如下：
找退化原因→建立退化模型→反向推演→恢复图像
典型的图像复原是根据图像退化的先验知识，建立退化现象的数学模型，再根据模型进行反向的
推演运算，以恢复原来的景物图像。因此，图像复原的关键是知道图像退化的过程，即图像退化
模型。并据此采用相反的过程求得原始图像。
针对不同的退化问题，图像复原的方法主要有：代数方法恢复、运动模糊恢复、逆滤波恢复、维
纳滤波恢复、功率谱均衡恢复、约束最小平方恢复、最大后验恢复、最大熵恢复、几何失真恢复等。
这里也许同学们会有一个疑问，那就是图像复原和前面讲过的图像增强有什么区别呢？区别如下：
图像增强不考虑图像是如何退化的，而是主观上试图采用各种技术来增强图像的视觉效果。
因此，图像增强可以不顾增强后的图像是否失真，只要达到想要的目视效果就可以。
而图像复原就完全不同，需知道图像退化的机制和过程等先验知识，客观上找出一种相应的
逆处理方法，从而得到复原的图像。
如果图像已退化，应先作复原处理，再作增强处理。
二者的目的都是为了改善图像的质量。
图像退化的数学模型
输入图像f(x,y)经过某个退化系统后输出的是一幅退化的图像。为了讨论方便，把噪声引起的退化
即噪声对图像的影响一般作为加性噪声考虑。原始图像f(x,y)经过一个退化算子或退化系统H(x,y)
的作用，再和噪声n(x,y)进行叠加，形成退化后的图像g(x,y)。
图1表示退化过程的输入和输出之间的关系，其中H(x,y)概括了退化系统的物理过程，它就是我
们要寻找的退化数学模型。
这里的H就是退化系统
通常，我们假设图像经过的退化系统是线性非时变系统，线性非时变系统具有如下四个基本性质：H的四个性质（假设噪声n（x，y） = 0）：
（1）一致性（齐次性）：如果，则：
<<<线性系统对常数与任意输入的乘积的响应等于常数与输入的响应的乘积
（2）相加性（叠加性）：如果k1 = k2 = 1，则：
<<<两个图像和的退化结果等于它们分别退化结果之和（说明线性系统对两个输入图像之和的响应等于它对两个输入图像响应的和）。
（3）线性（齐次叠加性）：如果令k1和k2为常数，和为两幅输入图像，则：
<<<两个图像的加权和的退化结果等于它们分别退化结果的加权和。
（4）位置（空间）不变性：如果对任意以及a和b，有：
<<<原始图像偏移多少，响应的退化图像也偏移多少，说明线性系统在图像任意位置的响应只与在该位置的输入值有关而与位置本身无关
根据这些特点，输入信号与其经过线性非时变系统的输出信号之间的关系，以及傅里叶变换的性质，我们得到如下时域及频域的关系表达式：
g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(x,y)
即：在时域上分析时，原始图像经过退化系统后得到的退化图像g(x,y)等于原始输入图像f(x,y)与系统冲激响应h(x,y)的卷积再加上噪声信号。
在频（率）域上分析时，退化图像的傅里叶变换G(u,v)等于原始图像的傅里叶变换F(u,v)与退化系统的频率响应H(u,v)相乘，再加上噪声信号的傅里叶变换N(u,v)
这里我们还要为大家解释一下为什么采用线性位移不变系统模型来描述图像退化过程，主要是如下三个原因：
1）由于许多种退化都可以用线性位移不变模型来近似，这样线性系统中的许多数学工具如线性代数，能用于求解图像复原问题，从而使运算方法简捷和快速。
2）当退化不太严重时，一般用线性位移不变系统模型来复原图像，在很多应用中有较好的复原结果，且计算大为简化。
3）实际上，尽管非线性和位移可变的情况能更加准确而普遍地反映图像复原问题的本质，但在数学上求解困难。只有在要求很精确的情况下才用位移可变的模型去求解，其求解也常以位移不变的解法为基础加以修改而成。
换句话说，就是利用了：线性系统的计算简洁快速，同时它也是非线性和位移可变系统的基础，非线性位移可变系统的求解可以转化为线性移不变求解。
专题3 图像逆滤波复原（5.2）
逆滤波恢复原理
根据上一节讲解的图像退化与复原的概念以及图像退化模型，如下图所示，原始图像f(x,y)经过退化系统H 以及噪声n(x,y)的影响后得到退化后的图像g(x,y)，经过复原系统M 将g(x,y)尽最大可能恢复到近似原图f’(x,y) ，因此，对图像的复原可以看作是图像退化的逆过程。
由图像的退化模型及图像复原的基本过程可见，复原处理的关键在于对系统H 的基本了解。由信号与系统的时域和频域分析与处理理论可知，对退化图像的恢复可以在时域或者频域来完成，时域是通过卷积实现，卷积是积分求和的过程，根据傅里叶变换的时域卷积性质，可以知道，频域处理是通过乘积来实现。乘法计算比卷积计算简单，同时傅里叶变换的快速实现（FFT ）使得对图像的频率域处理更为简单。因此，可以在频率域来解决该问题。
设图像退化前的傅里叶变换为(,)F u v ，退化后的傅里叶变换为(,)G u v ，系统函数即退化函数的傅里叶变换为(,)H u v ，从频率域角度看，它使图像退化，因而反映了成像系统的性能。由前面得知的图像退化频域描述模型（如下式）
(,)(,)(,)(,)G u v H u v F u v N u v ，其中(,)N u v 为噪声的傅里叶变换。
可知，在无噪声的理想情况下，上式可简化为
(,)(,)(,)G u v F u v H u v 则 (,)(,)/(,)F u v G u v H u v
进行反傅立叶变换可得到(,)f x y 。
以上就是逆滤波复原的基本原理。将1/(,)H u v 称为逆滤波器。
该过程就是用退化函数除退化图像的傅里叶变换，得到退化前图像的傅里叶变换的估计，因此叫直接逆滤波图像复原，该方法是对经退化函数H 退化的图像进行复原的最简单方法。 设'
(,)F u v 为(,)F u v 的估计，则'(,)
(,)(,)
G u v F u v H u v
，
当有噪声存在时，
(,)(,)(,)(,)G u v H u v F u v N u v ，其中(,)N u v 为噪声的傅里叶变换。因此，可得 '(,)
(,)(,)(,)
N u v F u v F u v H u v
由该式可知，即使知道退化函数，也不能准确的复原图像，因为(,)N u v 未知，甚至有更糟的情况是如果退化函数是零或是非常小的值时，则噪声与退化函数的壁纸(,)/(,)N u v H u v 比较大，很容易支配(,)F u v 的估计值，会对逆滤波复原的图像产生很大的影响，有可能使恢复得到的图像与原始f(x,y)相差很大，甚至面目全非。
解决这个问题的一种方法是限制滤波的频率，从频谱图可知，高频分量（通常对应的是噪声信号）的值接近0，而(0,0)H 在频率域中通常是(,)H u v 的最高值。因此可缩短滤波半径，使通过的频率接近原点，减少遇到零值的概率。
逆滤波复原步骤
逆滤波复原过程可归纳如下:
(1)对退化图像g(x,y)作二维离散傅立叶变换，得到G(u,v)；
(2)计算系统点扩散函数（即退化函数）h(x,y)的二维离散傅立叶变换，得到H(u,v); (3)逆滤波计算(,)(,)/(,)F u v G u v H u v (4)计算(,)F u v 的逆傅立叶变换，求得(,)f x y 。
但实际获取的影像都有噪声，因而只能求F(u,v)的估计值 ?(,)F
u v 。 (,)?(,)(,)(,)
N u v F
u v F u v H u v 再作傅立叶逆变换得
12()?(,)(,)(,)(,)j ux vy f x y f x y N u v H u v e dudv
若噪声存在，为减少噪声对复原信号的影响，则将-1
(,)H u v 进行调整，
（1） 在(,)H u v =0附近，人为地仔细设置-1
(,)H u v 使得复原信号受噪声影响变小。
（2） 使(,)H u v 具有低通滤波性质。
22201222
01(,)
(,)0u v D H u v H u v u v D
通过上面的傅里叶逆变换得到的复原图像。以Lena 图像为例，采用上述逆滤波方法进行图像复原的结果如图所示：
从该逆滤波图像复原结果可以看出，选择不同半径的效果，其中滤波半径为78时恢复效果较好。 逆滤波复原方法数学表达式简单，物理意义明确，但没有清楚地说明如何处理噪声，因此，在逆滤波理论基础上，从统计学观点出发，综合退化函数和噪声统计特性两个方面来设计图像复原滤波器，比如维纳滤波器就能处理被退化函数退化和噪声污染的图像。该滤波方法建立在图像和噪声都是随机变量的基础之上，目标是找到未污染图像(,)f x y 的一个估计'(,)f x y ，使它们之间的均方误差最小，即
22[((,)'(,)]e E f x y f x y ，其中E{.}是参数期望值，因此，维纳滤波是最小均方误差滤波方法。
针对不同的退化问题，图像复原的方法主要有：代数方法恢复、运动模糊恢复、逆滤波恢复、维纳滤波恢复、功率谱均衡恢复、约束最小平方恢复、最大后验恢复、最大熵恢复、几何失真恢复。
专题4 图像几何校正（5.3）
在诸如数字识别、车牌识别、条形码识别、遥感影像信息提取等应用场景中，特别是基于日常便携图像采集设备的应用场景中，通过图像采集设备所获取的图像不可避免地存在运动模糊、畸变失真退化等成像问题。如用广角镜头拍出的照片中远处的建筑物通常是歪斜的，在翻拍旧照片的
时候常常拍出畸形的结果、卫星拍摄影像自身的姿态不稳定以及地面起伏等原因造成的影像畸变等。因此，需要对这样的图像进行几何校正。
几何失真（畸变）的概念
在实际的成像系统中，图像捕捉介质平面和物体平面之间不可避免地存在有一定的转角和倾斜角。转角对图像的影响是产生图像旋转，倾斜角的影响表现为图像发生投影变形。另外一种情况是由
于摄像机系统本身的原因导致的镜头畸变。此外，还有由于物体本身平面不平整导致的曲面畸变
如柱形畸变等。这些畸变统称为几何畸变。
光学系统、电子扫描系统失真而引起的斜视畸变、投影畸变、枕形、桶形畸变、混合畸变、柱面
畸变等，都可能使图像产生几何特性失真，这些系统失真导致的常见的图像几何畸变如图所示：
几何畸变又可分为线性几何畸变和非线性几何畸变。通常情况下，线性几何畸变指缩放、平移、
旋转等畸变。而非线性几何畸变是由成像面和物平面的倾斜、物平面本身的弯曲、光学系统的像
差造成的畸变，表现为物体与实际的成像各部分比例失衡。
常见几何畸变退化问题的复原大多是基于成像系统，如模拟鱼眼和针孔系统进行摄像机标定，通
过确定摄像机畸变参数对所获取图像进行后续校正和复原处理。其优点是一旦确立成像模型，便
可以快速有效地根据模型参数对基本图像进行几何变换，从而实现复原。但通常情况下我们面临
的图像其成像系统未知且多样化，因此，这种方法不适合于解决一般性无法预知模型的畸变退化。比如由成像面不平整造成的曲面畸变。因此，另外一种常见的解决方法是多项式变换技术，其实
质是利用数值分析的方法求解几何变换方程。其优点是不需要预先知道成像模型，对复杂曲面畸
变能够进行校正和复原。缺点是运算量大，不适宜实时性较高系统，对多项式次数和控制点的选
取要求严格，发生复原失控的概率很大，不适用于一些只存在投影变换和镜头畸变的图像。
这里我们重点介绍基于多项式变换的几何校正方法，其基本流程是先建立几何校正的数学模型，
比如针对畸变特点选择一次多项式或者二次多项式作为几何校正的数学模型；其次利用已知条件
确定模型参数，通常以标准未畸变影像为参考，由用户在参考影像与畸变影像上选择控制点（同
名点），从而解算出多项式系数，即确定出模型参数；最后根据模型对图像进行几何校正。通常
由如下两步来完成：
（1）图像空间坐标变换（确定校正后图像中每个像素的空间坐标）；首先建立图像像点坐标（行、列号）和物方（或参考图）对应点坐标间的映射关系，解求映射关系中的未知参数，然后根据映
射关系对图像各个像素坐标进行校正；
（2）灰度内插（确定校正影像中每个像素的灰度值）
几何校正的坐标变换
实际工作中常以一幅图像为基准，去校正另一幅几何失真图像。通常设基准图像f(x,y)是利用没畸变或畸变较小的摄像系统获得的，而有较大几何畸变的图像用g(x ′,y ′)表示，下图是一种畸变情形。
设两幅图像几何畸变的关系能用解析式描述为
1(,)x h x y ，2(,)y h x y
通常h1(x ，y)和h2(x ，y)可用多项式来近似
00n n i
i j ij i j x a x y
00
n
n i
i j ij i j y b x y
当n=1时，畸变关系为线性变换，
001001x a a x a y 001001y b b x b y
上述式子中包含a 00、a 10、a 01 、b 00、b 10、b 016个未知数，至少需要3个已知点来建立方程式，解求未知数。
当n=2时，畸变关系式为
22001001201102x a a x a y a x a xy a y 22001001201102y b b x b y b x b xy b y
包含12个未知数，至少需要6个已知点来建立关系式，解求未知数。 几何校正方法可分为直接法和间接法两种。 （1） 直接法
利用若干已知点（就是通常所说的控制点）坐标，根据参考图像中像素坐标与校正后影像的像素坐标的对应关系，如下式所示，(x, y)为参考图像坐标，(x’, y’)为(x, y)对应的校正后影像坐标：
100200(,)(,)n n i
i j
ij
i j n n i
i j ij i j x h x y a x y y h x y b x y
通过解求未知参数得到二者的对应关系；然后如上图实线箭头所示，从畸变图像出发，根据上述关系依次计算每个像素的校正坐标，同时把像素灰度值赋予对应像素，这样生成一幅校正图像。该方法存在的一个问题是图像像素分布是不规则的，会出现像素挤压、疏密不均等现象，不能满足原始未畸变影像的要求，因此最后还需对不规则图像通过灰度内插生成规则的栅格图像。 （2） 间接法 先根据下式
100200(,)(,)n n i
i j
ij i j n n i
i j ij i j x h x y a x y y h x y b x y
对如图所示的畸变图像的四个角点a 、b 、c 、d 进行坐标变换，获得a ′、b ′、c ′、d ′。由此确定校正图像的范围。再按下式
100200(,)(,)n n i
i j ij i j n n i
i j ij i j x h x y a x y
y h x y b x y
反求像点（x, y ）在已知畸变图像上的坐标(x’, y’)。由于计算所得的 (x’, y’)坐标值一般不为整数，不会位于畸变图像像素中心，因而不能直接确定该点的灰度值，而只能在畸变图像上，由该像点周围的像素灰度值通过内插，求出该像素的灰度值，作为(x, y)点的灰度。按上述步骤获得校正图像。 由于间接法内插灰度容易，所以一般采用间接法进行几何纠正。
灰度内插方法及其特点
常用的像素灰度内插法有最近邻元法、双线性内插法和三次内插法三种。
1．最近邻元法
在待求点的四邻像素中，将距离这点最近的相邻像素灰度赋给该待求点，如下图所示，十字点为计算所得坐标位置，其距离左上角给予红色标记的像素最近，因此，将该红色像素的灰度值赋给纠正后对应的像素。
该方法最简单，效果尚佳，但校正后的图像有明显锯齿状，即存在灰度不连续性。
2．双线性内插法
双线性内插法是利用待求点四个邻像素的灰度在两个方向上作线性内插。如图，下面推导待求像素灰度值的计算式。
对于黄线连接的位置(i,j+v)，图中的黄点所示，有 f(i,j+v)=[f(i,j+1)-f(i,j)]v +f(i,j)
对于绿线连接的位置(i+1,j+v)，图中的蓝点所示有 f(i+1，j+v)=[f(i+1，j+1)- f(i+1，j)]v+f(i+1，j) 对于红线连接的位置(i+u,j+v)，图中的红点所示，即待求
点，有
f(i+u,j+v)=[f(i+1,j+v)-f(i,j+v)]u+f(i,j+v)
=(1)(1)(,)(1)(,1)(1)(1,)(1,1)u v f i j u vf i j u v f i j uvf i j
结合前面两个计算结果，得到上式，校正点像素灰度值为相邻四个像素的线性加权和，因此，称为线性内插
该方法要比最近邻元法复杂，计算量大。但没有灰度不连续性的缺点，结果令人满意。它具有低通滤波性质，使高频分量受损，图像轮廓有一定模糊。
3．三次内插法
该方法利用三次多项式S(x)来逼近理论上的最佳插值函数sin(x)/x 。其数学表达式为：
232312||||0||1()48||5||||1||20||2x x x S x x x x x x
红色像素为(x,y)像素坐标邻近原图像坐标(i,j)，以该(i,j)为参考，取(x,y)周围16个像素，它们的坐标以此为左上角(i-1,j-1),右上角(i-1,j+2)，左下角(i+2,j-1),右下角(i+2,j+2).
待求像素(x,y)的灰度值由其周围十六个点的灰度值加权内插得到。可推导出待求像素的灰度计算式如下：f(x,y)=A ?B ? C 其中
A=[s(1+v) s(v) s(1-v) s(2-v)] 为水平方向按S(x)计算得到的权重
(1,1)(1,)(1,1)(1,2)(,1)(,)(,1)(,2)(1,1)(1,)(1,1)(1,2)(2,1)
(2,)(2,1)
(2,2)f i j f i j f i j f i j f i j f i j f i j f i j B f i j f i j f i j f i j f i j f i j f i j f i j
c=[s(1+u) s(u) s(1-u) s(2-u)]T 为垂直方向按S(x)计算得到的权重 u,v 为内插点距离其最邻近像素f (i,j) 的距离 该算法计算量最大，但内插效果最好，精度最高。
下图给出了三种不同像素灰度内插方法的效果，可以看出，三次内插法效果最好，最平滑
原始影像灰度表面 最近邻内插法
双线性内插法 三次内插法
专题5 图像几何变换
几何畸变校正一般要使用几何（坐标）变换，包括平行移动、旋转、扩大缩小等简单的变换。同时，图像处理时，往往会遇到需要对图像进行放大、缩小、旋转等操作。这节课我们来讲解图像的几何变换，主要涉及到图像的缩放、旋转和平移。
一、基础知识
1. 图像变换类型：
从变换的性质分， 图像的几何变换有平移、比例缩放、旋转、反射和错切等基本变换，透视变换等复合变换，以及插值运算等。
几何变换是将图像的坐标进行变换，这些几何变换可以用统一的数学模型来描述，我们先来认识一个概念，叫齐次坐标
2. 齐次坐标
将2D 图像中的点坐标(x, y) 表示成齐次坐标（Hx, Hy, H ）,当H ＝1时，则(x, y, 1)就称为点(x, y)的规范化齐次坐标。
规范化齐次坐标的前两个数是相应二维点的坐标， 没有变化，仅在原坐标中增加了H ＝1的附加坐标。
由点的齐次坐标（Hx, Hy, H ）求点的规范化齐次坐标(x, y, 1)，可按如下公式进行：
H
Hy y H
Hx x
齐次坐标的几何意义相当于点(x, y)落在3D 空间H ＝1的平面上， 如果将XOY 平面内的三角形abc 的各顶点表示成齐次坐标(xi, yi, 1)(i=1, 2, 3)的形式，就变成H ＝1平面内的三角形a1b1c1的各顶点。
3. 二维图像几何变换的矩阵
刚才提到几何变换可以用统一的数学模型来描述，该模型如下面的矩阵T 所示，
二、图像比例缩放
图像比例缩放变换：指将给定的图像在x 轴方向按比例缩放fx 倍，在y 轴方向上按比例缩放fy 倍，从而获得一幅新的图像。比例缩放前后两点P0(x0, y0)、P(x, y)之间的关系用矩阵形式可以表示为：
10000000100y x fy fx y x
x=f x x 0 y=f y y 0
缩小
大变小需要坐标取整 放大
在图像放大的正变换中，出现了很多的空格。因此，需要对放大后所多出来的一些空格填入适当的像素值。一般采用最邻近插值和线性插值法。
x=f x x 0 y=f y y 0
x=2x 0 y=2y 0
小变大需要插值
三、图像平移
图像平移变换：图像平移是将一幅图像中所有的点都按照指定的平移量在水平、垂直方向移动，平移后的图像与原图像相同。
00x x x
y y y
利用齐次坐标，变换前后图像上的点P0(x0, y0)和P(x, y)之间的关系可以用如下的矩阵变换表示为
00100111001x x x y y y
四、图像镜像
图像的镜像变换不改变图像的形状。图像的镜像(Mirror)变换分为水平镜像和垂直镜像。
设原图宽为w ，高为h ，变换后，图的宽和高不变。 水平镜像的变化矩阵为：
001001011001w x x y y
垂直镜像的变化矩阵为：
001000111001x x y h y
五、图像旋转变换
一般图像的旋转是以图像的中心为原点，旋转一定的角度，即将图像上的所有像素都旋转一个相同的角度。
图像的旋转变换也可以用矩阵变换表示。设点P 0(x 0, y 0)旋转a 角后的对应点为P(x, y)。
00cos a sin a 0sin a cos a 011001x x y y
利用公式进行图像旋转正变换时需要注意如下两点：
1、为了避免图像信息的丢失，图像旋转后必须进行平移变换。
2、图像旋转之后，会出现许多空洞点，如图所示，我们需要对这些空洞点必须进行填充处理，否则图像旋转后的效果不好，需要做插值处理，可采用行或列插值方法。最简单的插值方法是，图像旋转前某一点（x, y ）的像素点颜色，除了填充在旋转后坐标（x’，y’）上外，还要填充（x’+1, y’）和（x’, y’+1）。
G(u,v) =F(u,v)+N(u, v) ⑶ 实验名称：图像退化与复原 实验目的 1. 了解光电图像的退化原因； 2. 掌握和理解基本的噪声模型，并能对图像进行加噪处理； 3. 了解点扩展函数(PSF)与光学传递函数(OTF)的关系，熟悉几种经典的退化模 型的 模拟试验和OTF 估计方法； 4. 熟悉和掌握几种经典的图像复原方法及其基本原理； 5. 能熟练利用MATLAB 或C/C++工具进行图像的各种退化处理， 并能编程实现 退化 图像的复原。 三. 实验原理 光电成像系统出现图像退化的过程是复杂多变的，为了研究的需要，通常情 况下都把退化简化为化为一个线性移不变过程，见下图 1所示。 障质过稈 | 屯原 图1光电图像退化与复原原理图 因此，在空域中退化过程可以表示如下： g (x,y) = f (x,y) * h(x,y) + h(x,y) (1) 只有加性噪声不存在情况下，退化过程可以模型化如下表达式： g(x,y) = f (x,y) + h(x,y) (2) 其频域表达式为 :
针对这种退化图像的复原，除了周期噪声以外，通常都可以采用空间域滤波 的方法进行图像复原，此时图像复原与图像增强几乎是没有区别的。常见的空间 域滤波方法有均值滤波器和统计排序滤波器。 当退化图像存在线性移不变退化时， 图像的复原不能采用简单空间域滤波器 来实现，要实现线性移不变退化图像的复原， 必须知道退化系统的退化函数，即 点扩展函数h(x,y)。在点扩展函数已知的情况下，常见图像复原方法有逆滤波 和维纳滤波两种。 在考虑噪声的情况下，逆滤波的原理可以表示如下： 通常情况下，N (u,v)是未知的，因此即使知道退化模型也不能复原图像 此外，当H (u,v )的任何元素为零或者值很小时，N (u,v )/H (u,v )的比值决定 着复原的结果，从而导致图像复原结果出现畸变。对于这种情况， 通常采用限制 滤波频率使其难以接近原点值，从而减少遇到零值的可能性。 维纳滤波则克服了逆滤波的缺点，其数学模型表示如下： 然而，为退化图像的功率谱很少是已知的，因此常常用下面表达式近似: 因此，本实验的内容就是利用上述经典图像复原的原理，对降质退化图像进 行复原。 四. 实验步骤 本次实验主要包括光电图像的退化模型和复原方法实现两大部分内容。 (一)图像的退化图像 1、大气湍流的建模 ° F(u,v) = G(u,v) U F(u,v) = G(u,v) H(u,v) F(u,v) + N(u,v) H(u,v) ° 犏 F (u,v)=犏 J _________ (u,v) H (u,v) H *(u,v)2 + S h (u,v)/S f (u,v) G(u,v)
第五章图像退化模型 同学们好，今天我们要给大家讲解的内容是图像退化与复原。在开始之前我们先来看几张图片 可以看到，第一幅图像是由于镜头聚焦不好引起的模糊，第二幅是由于小车运动产生的模糊，第三幅是大气湍流影响的结果，a中，大气湍流可以忽略不计，b为剧烈湍流影响的结果，c和d分别为中等湍流和轻微湍流影响的结果。从以上几张图片可以看出，成像过程中不同因素的影响导致影响质量下降，这就是所谓的图像退化。 图像退化 由此，我们给出图像退化的描述（图像退化及其过程描述）如下： 图像的退化是指图像在形成、传输和记录过程中，由于成像系统、传输介质和设备的不完善，使图像的质量下降（变坏）。 其典型表现为:模糊、失真、有噪声。 产生原因：成像系统像差、传感器拍摄姿态和扫描非线性、成像设备与物体运动的相对运动、大气湍流、成像和处理过程中引入的噪声等。
图像复原 针对这些问题，我们需要对退化后的图像进行复原。这是我们本节内容的第二个关键词图像复原，图像复原就是尽可能恢复退化图像的本来面目，它是沿图像退化的逆过程进行处理，也就是如果我们知道图像是经历了什么样的过程导致退化，就可以按其逆过程来复原图像。因此，图像复原过程流程如下： 找退化原因→建立退化模型→反向推演→恢复图像 典型的图像复原是根据图像退化的先验知识，建立退化现象的数学模型，再根据模型进行反向的 推演运算，以恢复原来的景物图像。因此，图像复原的关键是知道图像退化的过程，即图像退化 模型。并据此采用相反的过程求得原始图像。 针对不同的退化问题，图像复原的方法主要有：代数方法恢复、运动模糊恢复、逆滤波恢复、维 纳滤波恢复、功率谱均衡恢复、约束最小平方恢复、最大后验恢复、最大熵恢复、几何失真恢复等。 这里也许同学们会有一个疑问，那就是图像复原和前面讲过的图像增强有什么区别呢？区别如下： 图像增强不考虑图像是如何退化的，而是主观上试图采用各种技术来增强图像的视觉效果。 因此，图像增强可以不顾增强后的图像是否失真，只要达到想要的目视效果就可以。 而图像复原就完全不同，需知道图像退化的机制和过程等先验知识，客观上找出一种相应的 逆处理方法，从而得到复原的图像。 如果图像已退化，应先作复原处理，再作增强处理。 二者的目的都是为了改善图像的质量。 图像退化的数学模型 输入图像f(x,y)经过某个退化系统后输出的是一幅退化的图像。为了讨论方便，把噪声引起的退化 即噪声对图像的影响一般作为加性噪声考虑。原始图像f(x,y)经过一个退化算子或退化系统H(x,y) 的作用，再和噪声n(x,y)进行叠加，形成退化后的图像g(x,y)。 图1表示退化过程的输入和输出之间的关系，其中H(x,y)概括了退化系统的物理过程，它就是我 们要寻找的退化数学模型。 这里的H就是退化系统 通常，我们假设图像经过的退化系统是线性非时变系统，线性非时变系统具有如下四个基本性质：H的四个性质（假设噪声n（x，y） = 0）：
>> f=checkerboard (8); >> imshow (f) >> PSF=fspecial ('motion', 7, 45); >> gb = imfilter( f, PSF, ' circular' ); >> noise = imnoise(zeros(size(f)),'gaussian',0,0.001); >> g = gb + noise; F Gb Noise G % 可用MATLAB的fspecial建立PSF模型 % PSF = fspecial(‘motion’,len,theta) % Len 移动的像素数 % Theta运动方向(逆时针) >> help fspecial FSPECIAL Create predefined 2-D filters. H = FSPECIAL (TYPE) creates a two-dimensional filter H of the specified type. Possible values for TYPE are:
'average' averaging filter 'disk' circular averaging filter 'gaussian' Gaussian lowpass filter 'laplacian' filter approximating the 2-D Laplacian operator 'log' Laplacian of Gaussian filter 'motion' motion filter 'prewitt' Prewitt horizontal edge-emphasizing filter 'sobel' Sobel horizontal edge-emphasizing filter 'unsharp' unsharp contrast enhancement filter Depending on TYPE, FSPECIAL may take additional parameters which you can supply. These parameters all have default values. H = FSPECIAL ('average', HSIZE) returns an averaging filter H of size HSIZE. HSIZE can be a vector specifying the number of rows and columns in H or a scalar, in which case H is a square matrix. The default HSIZE is [3 3]. H = FSPECIAL('disk',RADIUS) returns a circular averaging filter (pillbox) within the square matrix of side 2*RADIUS+1. The default RADIUS is 5. H = FSPECIAL('gaussian',HSIZE,SIGMA) returns a rotationally symmetric Gaussian lowpass filter of size HSIZE with standard deviation SIGMA (positive). HSIZE can be a vector specifying the number of rows and columns in H or a scalar, in which case H is a square matrix. The default HSIZE is [3 3], the default SIGMA is 0.5. H = FSPECIAL('laplacian',ALPHA) returns a 3-by-3 filter approximating the shape of the two-dimensional Laplacian operator. The parameter ALPHA controls the shape of the Laplacian and must be in the range 0.0 to 1.0. The default ALPHA is 0.2. H = FSPECIAL('log',HSIZE,SIGMA) returns a rotationally symmetric Laplacian of Gaussian filter of size HSIZE with standard deviation SIGMA (positive). HSIZE can be a vector specifying the number of rows and columns in H or a scalar, in which case H is a square matrix. The default HSIZE is [5 5], the default SIGMA is 0.5. H = FSPECIAL('motion',LEN,THETA) returns a filter to approximate, once convolved with an image, the linear motion of a camera by LEN pixels, with an angle of THETA degrees in a counter-clockwise direction. The filter becomes a vector for horizontal and vertical motions. The default LEN is 9, the default THETA is 0, which corresponds to a horizontal motion of 9 pixels. H = FSPECIAL('prewitt') returns 3-by-3 filter that emphasizes horizontal edges by approximating a vertical gradient. If you need to emphasize vertical edges, transpose the filter H: H'. [1 1 1;0 0 0;-1 -1 -1]. H = FSPECIAL('sobel') returns 3-by-3 filter that emphasizes horizontal edges utilizing the smoothing effect by approximating a vertical gradient. If you need to emphasize vertical edges, transpose the filter H: H'. [1 2 1;0 0 0;-1 -2 -1]. H = FSPECIAL('unsharp',ALPHA) returns a 3-by-3 unsharp contrast enhancement filter. FSPECIAL creates the unsharp filter from the negative of the Laplacian filter with parameter ALPHA. ALPHA controls the shape of the Laplacian and must be in the range 0.0 to 1.0. The default ALPHA is 0.2. Class Support ------------- H is of class double. Example ------- I = imread('cameraman.tif'); subplot(2,2,1);imshow(I);title('Original Image'); H = fspecial('motion',20,45); MotionBlur = imfilter(I,H,'replicate'); subplot(2,2,2);imshow(MotionBlur);title('Motion Blurred Image'); H = fspecial('disk',10);
MATLAB在图像复原中的应用研究 摘要：图像复原是图象处理的一个重要课题。图像复原也称图象恢复，是图象处理中的一大类技术。它的主要目的是改善给定的图像质量。当给定了一幅退化了的或者受到噪声污染了的图像后，利用退化现象的某种先验知识来重建或恢复原有图像是复原处理的基本过程。可能的退化有光学系统中的衍射，传感器非线性畸变，光学系统的像差，摄影胶片的非线性，大气湍流的扰动效应，图像运动造成的模糊及几何畸变等等。噪声干扰可以由电子成像系统传感器、信号传输过程或者胶片颗粒性造成。各种退化图像的复原都可归结为一种过程，具体地说就是把退化模型化，并且采用相反的过程进行处理，以便恢复出原图像。文章介绍了图象退化的原因，几种常用的图像滤波复原技术，以及用MATLAB实现图像复原的方法。 关键词：退化模型；噪声干扰；图像滤波；图像复原 1．图像复原的概念 1.1图像复原的定义 图像复原也称图象恢复，是图象处理中的一大类技术。所谓图像复原，是指去除或减轻在获取数字图像过程中发生的图像质量下降（退化）这些退化包括由光学系统、运动等等造成图像的模糊，以及源自电路和光度学因素的噪声。图像复原的目标是对退化的图像进行处理，使它趋向于复原成没有退化的理想图像。成像过程的每一个环节（透镜，感光片，数字化等等）都会引起退化。在进行图像复原时，既可以用连续数学，也可以用离散数学进行处理。其次，处理既可在空间域，也可在频域进行。 1.2 图象恢复与图象增强的异同 相同点：改进输入图像的视觉质量。 不同点：图象增强目的是取得较好的视觉结果(不考虑退化原因)；图象恢复根据相应的退化模型和知识重建或恢复原始的图像(考虑退化 原因)。 1.3图象退化的原因 图象退化指由场景得到的图像没能完全地反映场景的真实内容，产生了失真等问题。其原因是多方面的。如： 透镜象差/色差 聚焦不准（失焦，限制了图像锐度） 模糊（限制频谱宽度） 噪声（是一个统计过程） 抖动（机械、电子） 1.4图象退化举例 如图1所示是两个图象退化的例子。 图1 退化图像与原始图像 2．退化模型
一． 实验名称：图像退化与复原 二． 实验目的 1． 了解光电图像的退化原因； 2． 掌握和理解基本的噪声模型，并能对图像进行加噪处理； 3． 了解点扩展函数(PSF)与光学传递函数(OTF)的关系，熟悉几种经典的退化模 型的模拟试验和 OTF 估计方法； 4． 熟悉和掌握几种经典的图像复原方法及其基本原理； 5． 能熟练利用 MATLAB 或 C/C++工具进行图像的各种退化处理，并能编程实现 退化图像的复原。 三． 实验原理 光电成像系统出现图像退化的过程是复杂多变的，为了研究的需要，通常情况下都把退化简化为化为一个线性移不变过程，见下图 1 所示。 因此， 在空域中退化过程可以表示如下： (x,y)(x,y)(x,y)(x,y)g f h h =*+ (1) 只有加性噪声不存在情况下，退化过程可以模型化如下表达式： (x,y)(x,y)(x,y)g f h =+ (2) 其频域表达式为： =(,)+(),)G ,(F u v N u v v u (3) 图1光电图像退化与复原原理图
针对这种退化图像的复原，除了周期噪声以外，通常都可以采用空间域滤波的方法进行图像复原，此时图像复原与图像增强几乎是没有区别的。常见的空间域滤波方法有均值滤波器和统计排序滤波器。 当退化图像存在线性移不变退化时，图像的复原不能采用简单空间域滤波器来实现，要实现线性移不变退化图像的复原，必须知道退化系统的退化函数，即点扩展函数(x,y)h 。 在点扩展函数已知的情况下，常见图像复原方法有逆滤波和维纳滤波两种。 在考虑噪声的情况下，逆滤波的原理可以表示如下： ()() ()()()() G u,v N u,v F u,v F u,v H u,v H u,v ù = =+ (4) 通常情况下，()N u,v 是未知的，因此即使知道退化模型也不能复原图像。 此外，当(),H u v 的任何元素为零或者值很小时，()(),/,N u v H u v 的比值决定着复原的结果，从而导致图像复原结果出现畸变。对于这种情况，通常采用限制滤波频率使其难以接近原点值，从而减少遇到零值的可能性。 维纳滤波则克服了逆滤波的缺点，其数学模型表示如下： 2* 2()1 ()()()()(,)/(,)f H u,v F u,v G u,v H u,v H u,v S u v S u v h ù 轾犏=犏犏+犏臌 (5) 然而，为退化图像的功率谱很少是已知的，因此常常用下面表达式近似： 2* 2()1 ()()()()H u,v F u,v G u,v H u,v H u,v k ù 轾犏=犏犏+犏臌 (6) 因此，本实验的内容就是利用上述经典图像复原的原理，对降质退化图像进行复原。 四． 实验步骤 本次实验主要包括光电图像的退化模型和复原方法实现两大部分内容。 (一) 图像的退化图像 1、 大气湍流的建模
4记录和整理实验报告。图像降质的数学模型 图像复原处理的关键问题在于建立退化模型。输入图像f(x, y)经过某个退化系统后输出的是一幅退化的图像。为了讨论方便， 把噪声引起的退化即噪声对图像的影响一般作为加性噪声 考虑， 这也与许多实际应用情况一致，如图像数字化时的量化 噪声、 随机噪声等就可以作为加性噪声，即使不是加性噪声而 是乘性噪声， 也可以用对数方式将其转化为相加形式。 原始图像f(x, y) 经过一个退化算子或退化系统H(x, y) 的作 用， 再和噪声n(x,y)进行叠加，形成退化后的图像g(x, y)。图2-1表示退化过程的输入和输出的关系，其中H(x, y)概括了退化系统的物理过程，就是所要寻找的退化数学模型。 图2-1 图像的退化模型 数字图像的图像恢复问题可看作是： 根据退化图像g(x , y)和退化算子H(x , y)的形式，沿着反向过程去求解原始图像f(x , y)， 或者说是逆向地寻找原始 图像的最佳近似估计。图像退化的过程可以用数学表达式写成如下的形式： g(x, y)=H ［f(x, y)］+n(x, y) (2-1) 在这里，n(x, y)是一种统计性质的信息。在实际应用中， 往往假设噪声是白噪声，即它的频谱密度为常数，并且与图像不相关。 在图像复原处理中， 尽管非线性、 时变和空间变化的系统模型更具有普遍性和准确性，更与复杂的退化环境相接近，但它给实际处理工作带来了巨大的困难， 常常找不到解或者很难用计算机来处理。因此，在图像复原处理中， 往往用线性系统和空间不变系统模型来加以近似。这种近似的优点使得线性系统中的许多理论可直接用于解决图像复原问题，同时又不失可用性。 H (x , y )f (x , y )g (x , y ) n (x , y )
实验名称：图像退化与复原 实验目的 1. 了解光电图像的退化原因； 2. 掌握和理解基本的噪声模型，并能对图像进行加噪处理； 3. 了解点扩展函数（PSF）与光学传递函数（OTF）的关系，熟悉几种经典的退化模型的模拟试验和OTF估计方法； 4. 熟悉和掌握几种经典的图像复原方法及其基本原理； 5. 能熟练利用MATLAB或C/C++工具进行图像的各种退化处理，并能编程实现退化图像的复原。 实验原理 光电成像系统出现图像退化的过程是复杂多变的，为了研究的需要，通常情况下都把退化简化为化为一个线性移不变过程，见下图1所示。 f（工,v）I I 厂、冒（工J）了 =0退化函数H = --------------- U + t——复原滤波器 I------- 曝声V I ------------------- I I "（3）I I I 」I I ! 降质过程I 屯原! 图i光电图像退化与复原原理图 因此，在空域中退化过程可以表示如下: g (x,y) = f (x,y) * h(x,y) + h(x,y) 只有加性噪声不存在情况下，退化过程可以模型化如下表达式: g(x,y) = f (x,y) + h(x,y) 其频域表达式为:
G(u,v) =F(u,v)+N(u, v)
针对这种退化图像的复原，除了周期噪声以外，通常都可以采用空间域滤波 的方法进行图像复原，此时图像复原与图像增强几乎是没有区别的。常见的空间 域滤波方法有均值滤波器和统计排序滤波器。 当退化图像存在线性移不变退化时， 图像的复原不能采用简单空间域滤波器 来实现，要实现线性移不变退化图像的复原， 必须知道退化系统的退化函数，即 点扩展函数h(x,y)。在点扩展函数已知的情况下，常见图像复原方法有逆滤波 和维纳滤波两种。 在考虑噪声的情况下，逆滤波的原理可以表示如下: F (")二^^= F(u,v)+^) H(u,v) ' / H(u,v) 通常情况下，N(u,v)是未知的，因此即使知道退化模型也不能复原图像 此外，当H (u,v )的任何元素为零或者值很小时，N (u,v )/H (u,v )的比值决定 着复原的结果，从而导致图像复原结果出现畸变。对丁这种情况， 通常采用限制 滤波频率使其难以接近原点值，从而减少遇到零值的可能性。 维纳滤波则克服了逆滤波的缺点，其数学模型表示如下： F(u , v) 顼 |H *(u,v)「 2 (u,v) H (u,v) + S h (u,v)/S f (u,v) G(u,v) 然而，为退化图像的功率谱很少是已知的，因此常常用下面表达式近似: F(u,v) = & 1 |H *(u,v)|2 :扩声 |H (u,v)| 2+ k G(u,v) 因此，本实验的内容就是利用上述经典图像复原的原理，对降质退化图像进 行复原。 四.实验步骤 本次实验主要包括光电图像的退化模型和复原方法实现两大部分内容。 (一)图像的退化图像 1、大气湍流的建模
图像复原实验报告 班级：电信0802 姓名：卞正元 学号：081201202 完成日期：2011.5.30
目录 目录 一.实验目的 二.实验主要仪器设备 三.实验原理 四.实验内容 五.实验步骤 六.实验参考文献
一.实验目的 （1）了解图像复原的原理 （2）掌握常用图像复原方法 二.实验主要仪器 （1）微型计算机：Inter Pentium及更高。 （2）M ATLAB软件（含Image Processing Toolbox）。 三.实验原理 １）图像复原的定义 图像复原也称图象恢复，是图象处理中的一大类技术。所谓图像复原，是指去除或减轻在获取数字图像过程中发生的图像质量下降（退化）这些退化包括由光学系统、运动等等造成图像的模糊，以及源自电路和光度学因素的噪声。图像复原的目标是对退化的图像进行处理，使它趋向于复原成没有退化的理想图像。 2）了解不同条件下的图像退化成因和处理的方法 a. 图象退化指由场景得到的图像没能完全地反映场景的真 实内容，产生了失真等问题。其原因是多方面的。 如：透镜象差/色差 聚焦不准（失焦，限制了图像锐度） 模糊（限制频谱宽度） 噪声（是一个统计过程） 抖动（机械、电子） b.图象退化举例 如图所示是两个图象退化的例子。
c.图象退化模型概述 图像复原处理的关键问题在于建立退化模型。在用数学方法描 述图像时，它的最普遍的数学表达式为 t),z,y,f(x,=I λ 这样一个表达式可以代表一幅活动的、彩色的立体图像。当研究的是静止的、单色的、平面的图像时，则其数学表达式就简化为 y)f(x,=I 基于这样的数学表达式，可建立如图2所示的退化模型。由图2的模型可见，一幅纯净的图像),(y x f 是由于通过了一个系统H 及加性噪声),(y x n 而使其退化为一幅图像),(y x g 的。 g(x,y)n(x,y)
湍流退化图像复原 1、引言 由于人类活动和太阳辐照等因素引起了大气温度的变化，这一温度变化又引起了大气密度的随机变化，导致大气折射率发生随机变化，从而产生了对光学系统对目标的成像分辨率和成像质量的重要影响，这种现象后经对其定义指大气中任意一点的运动，其速度的方向和大小都时刻发生着不规则的变化，从而引起各个气团相对于大气整体平均运动的不规则运动，这种现象被称为大气湍流。 大气湍流是造成图像退化的原因之一，大气湍流能够造成图像模糊降晰，它能够退化远距离拍摄的图像质量，如通过望远镜观测到外太空的星星表现出的模糊降晰，因为地球上的大气退化了图像的质量，大气湍流随机地干扰,使像元强度分布扩散、峰值降低、图像模糊、像素位置偏移及抖动,给目标识别带来了较大的困难。光学器件受到大气湍流的影响主要是当光经过折射率不均匀的大气结构到达接收器件后，其振幅和相位等参数都产生了随机的起伏变化。传统的图像复原技术都是在退化模型确定和已知的情况下进行复原的，即先确定点扩展函数或其参数，然后利用诸如逆滤波和维纳滤波这样的方法恢复图像。但这些方法对光学系统的设计和光学器件的加工工艺都提出了更高的要求，并且不能消除系统像差中由大气湍流引起的部分，而且湍流流场对目标成像的影响是复杂多变的，导致湍流光学点扩展函数难以测定，其形式也是无法事先确定，所以往往单幅图像中所包含的信息量很少，而且不够全面，很难进行图像复原。因此通常大气湍流图像的复原都是在图像序列基础上进行的。为了消除大气湍流导致的成像抖动和模糊，很多学者进行了广泛深入的研究，如今已有很多针对大气湍流图像的复原算法，其中有不少取得的不错的进展。 2、国内外研究现状及方法 湍流退化图像的复原是一个世界性的难题，也是国内外不少科学家们多年来一直想致力解决的问题。大气湍流退化图像复原的困难之处在于其退化模型是未知的和随机变化的，且很难用数学解析式来描述，另外退化图像还含有噪声，这进一步增加了复原的难度。传统的图像复原方法主要集中在退化模型已知情况下的图像复原。退化模型未知情况下的图像复原方法研究室近几年来图像处理技术中极富挑战性的课题，它具有很大的应用前景。 湍流退化图像的复原有很多种方法，一种方法被称为“幸运成像”，由于大气湍流对图像产生的影响是随机的，所以在目标的短曝光图像中，存在一定比例接近衍射极限的好图像，它们只存在低阶像差，幸运成像正是运用这些“好图像”进一步复原图像。所以幸运成像技术的基本原理是：按照一定标准将拍摄图像中一些接近衍射极限的好图像选取出来，再进行配准叠加，从而复原出更加清晰的图像，提高图像的成像质量，使得原本无法显示的弱目标得以显示，原本无法分辨的细节得以分辨。由于这种方法的成本比空间望远镜的成本低很多，且复原图像的效果也比较好，所以很多学者都在深入研究如何更好的将这种方法应用天文观测领域。但是这种方法也存在一定的缺陷，首先由于长曝光图像受到大气湍流的影响较大，很难出现接近衍射极限的好图像，所以“幸运成像”技术只适用于短曝光图像；其次由于在短曝光图像中出现“好图像”的比例也很低，因此这种成像技术要求拍摄大量的短曝光图像（通常为几百幅，甚至上千幅），这样就大大增加了还原算法的计算量。 另外加利福利亚大学电气工程学院实验室针对大气湍流退化图像也提出了图像复原方法。这种算法是利用多帧图像重建的算法来复原图像序列中的某一幅图像，其基本步骤如下：首先对所拍摄的图像序列进行平均化处理，此时处理过的图像可以看做为一参考图像；然后利用非刚性图像配准技术对所得的图像进行配准，得到图像的变形矩阵Fk；最后利用贝叶斯图像重建算法对图像进行重建，从而得到更加清晰的图像。这种方法与“幸运成像技术”相比，所需拍摄的图像数较少，而且其应用不仅局限于短曝光图像，它同样可以应用长曝光的
数字图像的退化与复原 1. 实验目的 (1) 掌握数字图像的存取与显示方法。 (2) 理解数字图像运动模糊、高斯模糊以及其他噪声引起模糊（图像降质现象）的物理本质。 (3)掌握matlab的开发环境。 (4)掌握降质图像的逆滤波复原和维纳滤波复原方法。 2. 实验原理 此实验是对数字图像处理课程的一个高级操作。在深入理解与掌握数字图像退化的基础理论上，利用逆滤波与维纳滤波方法对数字图像进行复原。 (1) 图像的退化 数字图像在获取过程中，由于光学系统的像差、光学成像衍射、成像系统的非线性畸变、成像过程的相对运动、环境随机噪声等原因，图像会产生一定程度的退化。 (2) 图像的复原 图像复原是利用图像退化现象的某种先验知识，建立退化现象的数学模型，再根据模型进行反向的推演运算，以恢复原来的景物图像。因而图像复原可以理解为图像降质过程的反向过程。 (3) 图像降质的数学模型 图像复原处理的关键问题在于建立退化模型。输入图像f(x,y)经过某个退化系统后输出的是一幅退化的图像。为了讨论方便，把噪声引起的退化即噪声对图像的影响一般作为加性噪声考虑。 原始图像f(x,y)经过一个退化算子或退化系统H(x,y)的作用，再和噪声n(x,y)进行叠加，形成退化后的图像g(x,y)。图1表示退化过程的输入和输出关系，其中H(x,y)概括了退化系统的物理过程，就是要寻找的退化数学模型。 图1 图像的退化模型 数字图像的图像恢复问题可以看作是：根据退化图像g(x,y)和退化算子H(x,y)的形式，沿着反向过程去求解原始图像f(x,y)。图像退化的过程可以用
数学表达式写成如下形式： g(x,y)=H[f(x,y)]+n(x,y) (1) 在这里，n(x,y)是一种统计性质的信息。在实际应用中，往往假设噪声是白噪声，即它的频谱密度为常熟，并且与图像不相关。 在对退化系统进行了线性系统和空间不变系统的近似之后，连续函数的退化模型在空域中可以写成： g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(x,y) (2) 在频域中可以写成： G(u,v)=F(u,v)H(u,v)+N(u,v) (3) 其中，G(u,v)、F(u,v)、N(u,v)分别是退化图像g(x,y)、原图像f(x,y)、噪声信号n(x,y)的傅立叶变换；H(u,v)是系统的点冲击响应函数h(x,y)的傅立叶变换，称为系统在频率域上的传递函数。 可见，图像复原实际上就是已知g(x,y)求f(x,y)的问题或已知G(u,v)求F(u,v)的问题，它们的不同之处在于一个是空域，一个是频域。 (4) 逆滤波 逆滤波是非约束复原的一种。非约束复原是指在已知退化图像g 的情况 下，根据对退化系统H 和n 的一些了解和假设，估计出原始图像f ? ，使得某种事先确定的误差准则为最小。 由于 g = Hf + n (4) 我们可得： n = g - Hf (5) 逆滤波法是指在对n 没有先验知识的情况下，可以依据这样的最有准则， 即寻找一个f ?，使得H f ? 在最小二乘方误差的意义下最接近g ，即要使n 的模或范数（norm ）最小： )?()?(?2 2 f H g f H g f H g n n n T T --=-== (6) 上式的极小值为： 2 ?)?(f H g f L -= (7) 如果我们在求最小值的过程中，不做任何约束，由极值条件可以解出f ?为： g H g H H H f T T 11)(?--== (8) 对上式进行傅立叶变换得：