第20讲第五章轴测图
5-1概述5-2正等轴测图的画法
教学目标：
1、掌握轴测投影的基本概念、性质、分类；
2、掌握正等轴测图的基本概念及各种轴测图的画法
教学重点：正等轴测图的画法
教学难点：曲面立体的正等轴测图的画法
教学方法：结合实例课堂讲授
教学用具：多媒体、各种绘图工具
教学过程：
一、5-1 轴测投影的基本知识
（一）轴测投影的形成（GB/T 16948--1997）
将物体连同其直角坐标体系，沿不平行与任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投
射在单一投影面上所得到的图形，称为轴．
测投影（轴测图）
．．．．．．．．，．如图5-2a 、b中投影
P上所得到的图形。
轴测投影被选定的单一投影P，称为
轴测投影面
．．．．．。直角坐标轴OX、OY、OZ
在轴测投影P上的轴测投影OX、OY、
OZ，称为轴测投影轴，
．．．．．．简称轴测轴
．．．。．
直角坐标体系由三根相互垂直的
轴（直角坐标轴）和相同的原点及其计量
单位所构成的坐标体系。
坐标体系确定空间每个点及其相应位置之间关系的基准体系。
直角坐标轴在直角体系中垂直相交的坐标轴。
坐标平面任意两根坐标轴所确定的平面。
原点坐标轴的基准点。
轴测投影也属于平行投影，且只有一个投影面。当确定物体的三个坐标平面不与投射方向一致时，则物体上平行于三个坐标平面的平面图形的轴测投影，在轴测投影面上都得到反映，因此，物体的轴测投影才有较强的立体感。
轴测投影（轴测图）
通常不画不可见轮廓的投影（虚线）。
（二）、轴间角和轴向伸缩系数
1.轴间角
轴测投影中任意两根直角坐标轴在轴测投影面上的投影之间的夹角，称为轴间角。
．．．．如图5-2所示，两轴侧轴之间夹角（∠XOY、∠XOZ、∠YOZ），用它来控制轴测投影的形状变化。
2. 轴向伸缩系数
直角坐标轴的轴测投影的单位长度，与相应直角坐标轴上的单位长度的比值，称为轴向
伸缩系数，如图5-2a、b所示，其中，用p
1表OX轴轴向伸缩系数，q
1
表示OY轴轴向伸
缩系数，r
1
表示OZ轴轴向伸缩系数，用轴向伸缩系数控制轴测投影的大小变化。（三）、轴测投影的基本性质
轴测投影同样具有平行投影的性质：
（1）若空间两直线段相互平行，则其轴测投影相互平行。
（2）凡与直角坐标轴平行的直线段，其轴测投影必平行于相应的轴测轴，且其伸缩系数于相应轴测轴的轴向伸缩系数相同。因此，画轴测投影时，必沿轴测轴或平行于轴测轴的方向才可以度量。轴测投影因此而得名。
（3）直线段上两线段长度之比，等于其轴测投影长度之比。
（四）、轴测投影的分类
按获得轴测投影的投射方向对轴测投影面的相对位置不同，轴测投影可分为两大类：
1.正轴测投影
用正投影法得到的轴测投影，称为正轴测投影。
2.斜轴测投影
用斜投影法得到的轴测投影，称为斜轴测投影。
由于确定空间物体位置的直角坐标轴对轴测投影面的倾角大小不同，轴向伸缩系数也随之不同，故上述两类轴测投影又个分为三种：
正轴测投影分为：
（1）正等轴测投影（正等轴测图）
三个轴向伸缩系数均相等（p
1= q
1
=r
1
）的正轴测投影，称为正等轴测投影（简称正等
测）。
（2）正二等轴测投影（正二轴测图）
两个轴向伸缩系数相等（p
1=q
1
≠r
1
或p
1
=r
1
≠q
1
或q
1
=r
1
≠p
1
）的正轴测投影，称为
正二等轴测投影（简称正二测）。（3）正三轴测投影（正三轴测图）。
三个轴向伸缩系数均不相等（p
1≠q
1
≠r
1
）的正轴测投影，称为正三轴测投影（简称正
三测）。
斜轴测投影分为：
（1）斜等轴测投影（斜等轴测图）
三个轴向伸缩系数均相等（p
1=q
1
=r
1
）的斜轴测投影，称为斜等轴测投影（简称斜等
测）。
（2）斜二等轴测投影（斜二轴测图）
轴测投影面平行一个坐标平面，且平行于坐标平面的两根轴的轴向伸缩系数相等
（p
1=q
1
≠r
1
或p
1
=r
1
≠q
1
或q
1
=r
1
≠p
1
）的斜轴测投影，称为斜二等轴测投影（简称斜二
测）。
（3）斜三轴测投影（斜三轴测图）
三个轴向伸缩系数均不等（p
1≠q
1
≠r
1
）的斜轴测投影，称为斜三轴测投影（简称斜三
测）。
在实际工作中，正等测、斜二等测用得交多，正（斜）三测的作图较繁，很少采用。本章只介绍正等测和斜二测的画法。
二、5-2正等轴测图的画法
（一）、正等轴测投影的形成
正等轴测投影的投射方向S垂直于轴测投影间P，如图5-2 a所示，且确定物体空间位置的三个坐标平面与轴测投影面均倾斜，其上的三根直角坐标轴与轴测投影面的倾角均相等，物体上平行于三个坐标平面的平面图形的正等轴测投影的形状和大小的变化均相同，因此，物体的正等轴投影的立体感颇强。
（二）、正等轴测投影的轴间角和轴向伸缩系数
1、轴间角
正等轴测投影，由于物体上的三根直角坐标轴与轴测投影面的倾角均相等，因此，与之相对应的轴测轴之间的轴间角也必须相等，即∠XOY=∠YOZ=∠XOZ=120°，如图5-3a 所示。
2、轴
向伸缩系
数
正等
轴测投影
中OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数相等，即p
1=q
1
=r
1
。经数学推导得：p
1
=q
1
=r
1
≈0.82。
为作图方便，取简化轴向伸缩系数p
1=q
1
=r
1
=1，这样，画出的图形，在沿各轴向长度上均
分别放大到1／0.82≈1.22倍，如图5-3c所示。
（三）、平面立体的正等轴测图画法
由多面正投影图画轴测图时，应先选好适当的坐标体系，画出对应的轴测轴，然后，按一定方法作图，画平面立体轴测图的基本方法是按坐标画出各顶点的轴测图，称为坐标法，见以下两例。
[例5-1] 根据三棱锥的三面投影图，画出它的正等轴测图。
作图步骤，如图5-4所示。
[例5-2] 根据六棱柱的三面投影图，画出它的正等轴测图。
作图步骤，如图5-5所示。
本题关键在于选定坐标轴和坐标圆点，如先确定顶面各点的坐标，可避免画不必要的作图线。
（四）、曲面立体的正等轴测图的画法
1、坐标平面（或其平面）上的圆的正等轴测投影
坐标平面（或其平行面）上圆的正等轴测投影为椭圆。立方体平行于坐标平面的各表面上的内切圆的正等轴测投影，如图5-6所示。
从图5-6中可以看出：
（1）分别平行于坐标平面的圆的正等轴测投影均为形状和大小完全相同的椭圆，但其长
轴和短轴方向各不相同。
（2）各椭圆的长轴方向垂直于不属于轴测投影（即轴测轴），且在菱形（圆的外切正方形的轴测投影）的长对角线上；短轴方向平行于不属于此坐标平面的那根坐标轴的轴测投影（即轴测轴），且在菱形的短对角线上。
（3）各椭圆的长轴等于圆的直径d，短轴等于0.58d，如图5-6a。按简化轴向伸缩系数作图，长轴等于1.22d，短轴等于0.7d，如图5-6b。为作图方便，一般采用轴向伸缩系数。
2、圆的正等轴测投影（椭圆）的画法
椭圆常用的近似画法是菱形法，现以坐标平面XOY上的圆（或其平行圆）的正等轴测投影为例，说明作图方法，如图5-7所示。
3、常见曲面立体的正等轴测投影画法
（1）
圆柱
的画
法，
如图
5-8
所
示。
（2）
圆锥
台的
画法，如图5-9所示。
（3）圆球的画法，如图5-10所示。
4、圆角正等轴测投影的画法
从图5-7用菱形法近似画椭圆可以看出，菱形的钝角与大圆弧相对，锐角与小圆弧相对，菱形相邻两边的中垂线的交点就是大圆弧（或小圆弧0的圆心，由此可得出圆角的正等轴测投影的近似画法：画圆角正等轴测投影时，只要在作圆角的两边上量取圆角半径R，自量得的点作边线的垂线，然后以两垂线交点为圆心，以交点至垂足的距离为半径画弧，所得的弧
即为圆角的正等轴测投影。图5-11a是带圆角的四棱柱底版，其正等轴测投影的作图步骤，如图5-11b～f所示。
作业：P78-79
第五章轴测图 教学目标：掌握正等轴测图的形成和画法 教学重点：正等轴测图的画法 前面我们介绍了三面视图的形成及画法，三视图是通过正投影法分别在三个投影面上得到物体的投影图，其特点物体的各表面与投影面尽可能平行或垂直，光线垂直于投影面照射，因此能完全确定物体的形状和大小，作图简单，度量性好。工程上应用广泛，但三视图直观性不强，看图较困难。我们今天介绍直观性比较强的轴测投影图。 一、轴测图的基本知识 1．轴测图的概念 用平行投影法将物体连同其直角坐标系，沿不平行于任一坐标平面的方向（S），一起投射到选定的单一投影面(P 面)上所得投影，叫做轴测图。轴测图能在一个投影面上反映出物体三个坐标面的形象，富有立体感，接近人们的视觉习惯。但其不能反映物体的真实形状和大小，度量性差，作图也麻烦，常用作工程上的辅助图样。 2．轴测图的形成 轴测图的形成一般有两种方式： 正轴测图：改变物体相对于投影面的位置，而投影方向仍垂直于投影面，所得轴测图称为正轴测图 斜轴测图：改变投影方向使其倾斜于投影面，而不改变物体对投影面的相对位置，所得投影图为斜轴测图。 3．轴测投影术语 ①轴测轴和轴间角 轴测轴：建立在物体上的空间直角坐标轴在轴测投影面上的投影叫做轴测轴。
轴间角：轴测轴间的夹角叫做轴间角。 ②轴向伸缩系数 轴向伸缩系数：轴测轴上的单位长度与对应直角坐标轴上单位长度的比值。 4．轴测投影的特性 ①平行性：两线段平行，它们的轴测投影也平行。 ②定比性：平行于坐标轴的线段其轴测投影长度与原长度之比等于轴向伸缩系数。注意：要学生明确基本概念，尤其轴测的含义。 5．轴测图的分类（简单介绍） 二、正等轴测投影图 1．正等轴测图的形成 结合投影形象展示正等测图的形成过程。 2．轴间角和轴向伸缩系数 3.平面立体正等测图的画法 这是本课的重点，在明确基本概念的前提下，要求学生掌握正等测图的画法。掌握坐标法、切割法和叠加法，明白三者关系，能灵活综合运用。 分别举例讲解。
第20讲第五章轴测图 5-1概述5-2正等轴测图的画法 教学目标： 1、掌握轴测投影的基本概念、性质、分类； 2、掌握正等轴测图的基本概念及各种轴测图的画法 教学重点：正等轴测图的画法 教学难点：曲面立体的正等轴测图的画法 教学方法：结合实例课堂讲授 教学用具：多媒体、各种绘图工具 教学过程： 一、5-1 轴测投影的基本知识 （一）轴测投影的形成（GB/T 16948--1997） 将物体连同其直角坐标体系，沿不平行与任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投 射在单一投影面上所得到的图形，称为轴． 测投影（轴测图） ．．．．．．．．，．如图5-2a 、b中投影 P上所得到的图形。 轴测投影被选定的单一投影P，称为 轴测投影面 ．．．．．。直角坐标轴OX、OY、OZ 在轴测投影P上的轴测投影OX、OY、 OZ，称为轴测投影轴， ．．．．．．简称轴测轴 ．．．。． 直角坐标体系由三根相互垂直的 轴（直角坐标轴）和相同的原点及其计量 单位所构成的坐标体系。 坐标体系确定空间每个点及其相应位置之间关系的基准体系。 直角坐标轴在直角体系中垂直相交的坐标轴。 坐标平面任意两根坐标轴所确定的平面。 原点坐标轴的基准点。 轴测投影也属于平行投影，且只有一个投影面。当确定物体的三个坐标平面不与投射方向一致时，则物体上平行于三个坐标平面的平面图形的轴测投影，在轴测投影面上都得到反映，因此，物体的轴测投影才有较强的立体感。 轴测投影（轴测图）
通常不画不可见轮廓的投影（虚线）。 （二）、轴间角和轴向伸缩系数 1.轴间角 轴测投影中任意两根直角坐标轴在轴测投影面上的投影之间的夹角，称为轴间角。 ．．．．如图5-2所示，两轴侧轴之间夹角（∠XOY、∠XOZ、∠YOZ），用它来控制轴测投影的形状变化。 2. 轴向伸缩系数 直角坐标轴的轴测投影的单位长度，与相应直角坐标轴上的单位长度的比值，称为轴向 伸缩系数，如图5-2a、b所示，其中，用p 1表OX轴轴向伸缩系数，q 1 表示OY轴轴向伸 缩系数，r 1 表示OZ轴轴向伸缩系数，用轴向伸缩系数控制轴测投影的大小变化。（三）、轴测投影的基本性质 轴测投影同样具有平行投影的性质： （1）若空间两直线段相互平行，则其轴测投影相互平行。 （2）凡与直角坐标轴平行的直线段，其轴测投影必平行于相应的轴测轴，且其伸缩系数于相应轴测轴的轴向伸缩系数相同。因此，画轴测投影时，必沿轴测轴或平行于轴测轴的方向才可以度量。轴测投影因此而得名。 （3）直线段上两线段长度之比，等于其轴测投影长度之比。 （四）、轴测投影的分类 按获得轴测投影的投射方向对轴测投影面的相对位置不同，轴测投影可分为两大类： 1.正轴测投影 用正投影法得到的轴测投影，称为正轴测投影。 2.斜轴测投影 用斜投影法得到的轴测投影，称为斜轴测投影。 由于确定空间物体位置的直角坐标轴对轴测投影面的倾角大小不同，轴向伸缩系数也随之不同，故上述两类轴测投影又个分为三种： 正轴测投影分为： （1）正等轴测投影（正等轴测图） 三个轴向伸缩系数均相等（p 1= q 1 =r 1 ）的正轴测投影，称为正等轴测投影（简称正等 测）。 （2）正二等轴测投影（正二轴测图） 两个轴向伸缩系数相等（p 1=q 1 ≠r 1 或p 1 =r 1 ≠q 1 或q 1 =r 1 ≠p 1 ）的正轴测投影，称为 正二等轴测投影（简称正二测）。（3）正三轴测投影（正三轴测图）。 三个轴向伸缩系数均不相等（p 1≠q 1 ≠r 1 ）的正轴测投影，称为正三轴测投影（简称正
绘制轴测图的方法和步骤 由物体的正投影绘制轴测图，是根据坐标对应关系作图，即利用物体上的点，线，面等几何元素在空间坐标系中的位置，用沿轴向测定的方法，确定其在轴测坐标系中的位置从而得到相应的轴测图。 绘制轴测图的方法和步骤： a.对所画物体进行形体分析，搞清原体的形体特征，选择适当的轴测图 b.在原投影图上确定坐标轴和原点； c.绘制轴测图，画图时，先画轴测轴，作为坐标系的轴测投影，然后再逐步画出； d 轴测图中一般只画出可见部分，必要时才画出不可见部分 (1) 平面立体的轴测图画法 画平面立体轴测图的基本方法是：沿坐标轴测量，按坐标画出各顶点的轴测图，该方法简称坐标法；对一些不完整的形体；可先按完整形体画出，然后再用切割方法画出不完整部分，此法称为切割法；对另一些平面立体则用形体分析法，先将其分成若干基本形体，然后还逐一将基本形体组合在一起，此法称为组合法。 下面举例说明两种种方法说明轴测图的画法。 1 )坐标法 [ 例1] 根据截头四棱锥正投影图, 画出其正等测轴测图 [ 解] 作图步骤如下； a ）以四棱锥体的对称轴线为坐标轴，以O 为原点； b ）画轴测轴并相应地画出各项点的轴测图，连接各点即得四棱锥体的轴测图； c ）根据截口的位置，按坐标作出截面上各项点的轴测图； d ）连接各点，擦去不可见的轮廓线，即得截头四棱锥的轴测图。 2) 切割法 [ 例2] 根据平面立体的三视图, 画出它的正等测图( 图2)
图2 用组合法作正等测图 [ 解] 作图步骤如下： a ）在视图上定坐标轴，并将组合体分解成三个基本体： b ）画轴测轴，沿轴测量历16,12,4 画出形体I ； c ）形体II 与形体I 左右和后面共面，沿轴量16 、 3 、14 画出长方体，再量出尺寸12 、10 ，画出形体II ； d ）形体III 与形体I 和形体II 右面共面；沿轴量取 3 ，画出形体III ： e ）擦去形体间不应有的交线和被遮挡的线，然后描深。 坐标法、切割法和组合法是给制轴测图的基本方法，画图时必须根据形体特点灵活应 用。 （ 2 ）曲面立体的画法 简单的曲面立体有圆柱、圆锥（台）、圆球和圆环等，它们的端面或断面均为圆。因此，首先要掌握坐标面内或平行干坐标面圆的正轴测图画法。 1 ）坐标面内或平行于坐标面的圆的轴测投影 在三种轴测图中，因斜二测的一个坐标面平行轴测投影面，故与此坐标而平行的圆的轴测投影仍为圆，其余圆的轴测投影均为椭圆，称为轴测椭圆，轴测椭圆的画法有两种： 坐标法：按坐标法确定圆周上若干点的轴测投影，后光滑地连接成椭圆。 近似法：用四心扁圆代替轴测椭圆，确定的四个圆心，四段圆弧光滑地连接成一扁圆，使之与轴测椭圆近似。 ①轴测椭圆的长、短轴方向和大小 常用的三种轴测图中，轴测椭圆的长、短轴方向和大小如图3所示。在正等测和正二测图中，采用简化系数后，轴测椭圆的长、短袖大小如图 4 所示。
第5章轴测图 一、本章重点 正等测与斜二测的画法 二、本章难点 1.轴测投影的形成以及有关轴测投影的基本概念； 2.回转体及组合体的正等测画法； 3.斜二测图的画法。 三、本章要求 通过本章的学习，掌握回转体及组合体正等测与测二测的画法，了解轴测投影的形成和基本概念。 四、本章内容： §5-1 轴测图的基本知识 一、轴测图的形成 1．轴测投影的形成将物体连同确定物体的直角坐标体系，沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在单一投影面上所得到的图形称为轴测投影图。简称轴测图。 如图5-1a所示，P为轴测投影面，用正投影法将形体向P面投射，而得到的轴测投影，称为正轴测投影。 在图5-1b中，用斜投影法将形体向轴测投影面P投射，得到的投影称为斜轴测投影。
图5-1轴测投影的形成 二、有关轴测投影的基本概念 （1）轴测轴空间直角坐标轴O1X1、O1Y1、O1Z1在轴测投影面上的投影OX、OY、OZ称为轴测轴。 （2）轴间角两根轴测轴之间的夹角（∠XOY、∠XOZ、∠YOZ）称为轴间角。 （3）轴向伸缩系数空间直角坐标轴上单位长度的轴测投影与其原长的比值称为轴向伸缩系数。OX、OY、OZ轴上的伸缩系数分别用p、q、r表示。 （4）轴向线段：形体上与某一直角坐标轴互相平行的线段称为轴向线段。 三、轴测投影的基本性质 （1）空间物体上互相平行的直线，它们在轴测图上仍然互相平行。 （2）空间与某一直角坐标轴互相平行的直线（即轴向线段），它的轴测投影与相应的轴测轴互相平行。 （3）在轴测图中，只有轴向线段才具有与其相平行的轴测轴相同的轴向伸缩系数。因此，画轴向线段时，其轴测投影的长度，等于其原来的长度与相应轴测轴的轴向伸缩系数的乘积。 四、轴测图的种类 轴测图的种类很多，常用的轴测图有正等测图和斜二测图。
I 复习提问： 1、读图的基本要领？ 2、用形体分析法读组合体视图的方法与步骤？ II 引入新课： 多面正投影图能完整、准确地反映物体的形状和大小，且度量性好、作图简单，但立体感不强，只有具备一定读图能力的人才能看懂。 有时工程上还需采用一种立体感较强的图来表达物体，即轴测图，。轴测图是用轴测投影的方法画出来的富有立体感的图形，它接近人们的视觉习惯，但不能确切地反映物体真实的形状和大小，并且作图较正投影复杂，因而在生产中它作为辅助图样，用来帮助人们读懂正投影图。III 新课讲授： 任务五绘制正等轴测图 一、轴测图的基本知识： 1、轴测图的形成：将空间物体连同确定其位置的直角坐标系，沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法投射在某一选定的单一投影面上所得到的具有立体感的图形，称为轴测投影图，简称轴测图，如图1所示。 图1 轴测图的形成
在轴测投影中，我们把选定的投影面P称为轴测投影面；把空间直角坐标轴OX、OY、OZ在轴测投影面上的投影O1X1、O1Y1、O1Z1称为轴测轴；把两轴测轴之间的夹角∠X1O1Y1、∠Y1O1Z1、∠X1O1Z1称为轴间角；轴测轴上的单位长度与空间直角坐标轴上对应单位长度的比值，称为轴向伸缩系数。OX、OY、OZ的轴向伸缩系数分别用p1、q1、r1表示。例如，在图4－2中，p1= O1A1／OA，q1 =O1B1／OB，r1 =O1C1／OC。 强调：轴间角与轴向伸缩系数是绘制轴测图的两个主要参数。 2、轴测图的种类： （1）按照投影方向与轴测投影面的夹角的不同，轴测图可以分为：1）正轴测图——轴测投影方向（投影线）与轴测投影面垂直时投影所得到的轴测图。 2）斜轴测图——轴测投影方向（投影线）与轴测投影面倾斜时投影所得到的轴测图。 （2）按照轴向伸缩系数的不同，轴测图可以分为： 1）正（或斜）等测轴测图——p1＝q1＝r1，简称正（斜）等测图； 2）正（或斜）二等测轴测图——p1＝r1≠q1，简称正（斜）二测图； 3）正（或斜）三等测轴测图——p1≠q1≠r1，简称正（斜）三测图； 3、轴测图的基本性质： （1）物体上互相平行的线段，在轴测图中仍互相平行；物体上平行于坐标轴的线段，在轴测图中仍平行于相应的轴测轴，且同一轴向所有线段的轴向伸缩系数相同。 （2）物体上不平行于坐标轴的线段，可以用坐标法确定其两个端点然后连线画出。 （3）物体上不平行于轴测投影面的平面图形，在轴测图中变成原形的
第五章轴测图 §5-1 轴测图的基本知识 一、轴测图的形成和分类 轴测图是将物体连同其直角坐标系，沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法投射在单一投影面上所得到的具有立体感的三维图形，如图5-2所示。该单一投影面称为轴测投影面。直角坐标轴O0X0、O0Y0、O0Z0在轴测投影面上的投影OX、OY、OZ称为轴测轴。轴测轴 之间的夹角∠XOY、∠YOZ、∠ZOX 称为轴间角。三条轴测轴的交点O 称为原点，轴测轴的单位长度与相 应直角坐标轴的单位长度的比值 称为轴向伸缩系数。X向、Y向和 Z向的轴向伸缩系数分别用p1、q1、 r1表示。 根据投射方向与轴测投影面 的相对位置，轴测图分为两类：投 射方向与轴测投影面垂直所得的 轴测图称为正轴测图；投射方向与 轴测投影面倾斜所得的轴测图称 为斜轴测图。 轴间角与轴向伸缩系数是绘制轴测图的两个主要参数。正（斜）轴测图按轴向伸缩系数是否相等又分为等测、二等测和不等测三种。 根据作图简便和直观性强等原因，制图国家标准推荐下列三种轴测图： 1、正等轴测图简称正等测，即投影方向垂直于投影面，且p1=q1=r1； 2、正二等轴测图简称正二测，即投影方向垂直于投影面，但p1=r1=2q1； 3、斜二等轴测图简称斜二测，即投影方向倾斜于投影面，且p1=r1=2q1。 本章仅介绍常用的正等轴测图和斜二等轴测图的画法。
二、轴测图的基本性质 1、物体上互相平行的线段，轴测投影仍互相平行。平行于坐标轴的线段，轴测投影仍平行于相应的轴测轴，且同一轴向所有线段的轴向伸缩系数相同。物体上平行于轴测投影面的直线和平面，在轴测图上反映实长和实形。 2、物体上不平行于轴测投影面的平面图形，在轴测图上变成原形的类似形。如正方形的轴测投影为菱形，圆的轴测投影为椭圆等。 画轴测图时，凡物体上与轴测轴平行的线段的尺寸可以沿轴向直接量取。所谓“轴测”，就是指沿轴向进行测量的意思。
绘制轴测图的方法和步骤 由物体的正绘制轴测图,是根据坐标对应关系作图,即利用物体上的点,线,面等几何元素在空间坐标系中的位置,用沿轴向测定的方法,确定其在轴测坐标系中的位置从而得到相应的轴测图; 绘制轴测图的方法和步骤： a.对所画物体进行形体分析,搞清原体的形体特征,选择适当的轴测图 b.在原投影图上确定坐标轴和原点； c.绘制轴测图,画图时,先画轴测轴,作为坐标系的轴测投影,然后再逐步画出； d轴测图中一般只画出可见部分,必要时才画出不可见部分 1平面立体的轴测图画法 画平面立体轴测图的基本方法是：沿坐标轴测量,按坐标画出各顶点的轴测图,该方法简称坐标法；对一些不完整的形体；可先按完整形体画出,然后再用切割方法画出不完整部分,此法称为切割法；对另一些平面立体则用形体分析法,先将其分成若干基本形体,然后还逐一将基本形体组合在一起,此法称为组合法; 下面举例说明两种种方法说明轴测图的画法; 1坐标法 例1根据截头四棱锥正投影图,画出其正等测轴测图 解作图步骤如下； a以四棱锥体的对称轴线为坐标轴,以O为原点； b画轴测轴并相应地画出各项点的轴测图,连接各点即得四棱锥体的轴测图； c根据截口的位置,按坐标作出截面上各项点的轴测图； d连接各点,擦去不可见的轮廓线,即得截头四棱锥的轴测图; 2切割法 例2根据平面立体的三视图,画出它的正等测图图2 图2用组合法作正等测图 解作图步骤如下： a在视图上定坐标轴,并将组合体分解成三个基本体： b画轴测轴,沿轴测量历16,12,4画出形体I； c形体II与形体I左右和后面共面,沿轴量16、3、14画出长方体,再量出尺寸12、10,画出形体II； d形体III与形体I和形体II右面共面；沿轴量取3,画出形体III： e擦去形体间不应有的交线和被遮挡的线,然后描深; 坐标法、切割法和组合法是给制轴测图的基本方法,画图时必须根据形体特点灵活应用; 2曲面立体的画法 简单的曲面立体有圆柱、圆锥台、圆球和圆环等,它们的端面或断面均为圆;因此,首先要掌握坐标面内或平行干坐标面圆的正轴测图画法; 1坐标面内或平行于坐标面的圆的轴测投影 在三种轴测图中,因斜二测的一个坐标面平行轴测投影面,故与此坐标而平行的圆的轴测投影仍为圆,其余圆的轴测投影均为椭圆,称为轴测椭圆,轴测椭圆的画法有两种： 坐标法：按坐标法确定圆周上若干点的轴测投影,后光滑地连接成椭圆;
一、正等轴测图的形成、轴间角和轴向变形系数 正等轴测图是用正投影法进行投影的，可用以下三步来完成： 第一步如图a)所示，首先使物体的正面与V面(可作为轴测投影面)处于平行位置，然后得出三面投影。从b)可知, 物体的上、下面在V面的投影有积聚性,故物体没有立体感。 a) 物体的三面投影图b) 物体的V面正投影c) 物体的三面投影图d) 物体的V面正投影 第一步物体的正面与V面平行第二步物体的正面与V面倾斜45° 第二步如图c)所示，再使物体绕Z轴反时针旋转45°，这时从三面投影中的V面及W 面投影可知，物体上、下面的投影有积聚性。再从图d)可知,物体的V面正投影由于上、下面有积聚性，故立体感也不好。第三步如下图所示，再使物体绕坐标系的X轴顺时针转45°，如图a)所示，再向V面作正投影。得出的投影图反映了物体的正面、水平面和侧面的形状，立体感强，这就是我们所要求的正等轴测图了。 a) 物体的三面投影b) 物体向V面作正投影 第三步物体的上面、正面和侧面与V面的倾角相等 物体经过刚才两次(第二步和第三步)旋转后,物体的X、Y、Z三根轴(上页图b)均与V面倾角相等，倾角都是35.27°。所以，如下图a所示，三根轴有如下特性： 1. 三根轴在V面投影的缩短系数(称为轴向变形系数)相等，都等于：COS35.27°≈0.82 2.三根轴的正等投影夹角(即轴间角)都相等,即∠X1O1Z1=∠X1O1Y1=∠Y1O1Z1=120° 图a 物体的正等轴测图图b 轴间角及轴向变形系数
根据国家标准规定，为了避免画图时进行大量计算，画图时可将变形系数由0.82放大为1，称为轴向简化系数，据此画出的正等轴测图如下图d所示。因此，这样画出的正等轴测图比原来图放大了1/0.82=1.22倍。 图c 用变形系数0.82画出的正等轴测图图d 用变形系数1画出的正等轴测图 二、平面立体正等轴测图的画法 例1：求作图a)所示长立体的正等轴测图 解作图步骤如下： 1.在投影图上加上坐标轴的投影，如下图a)所示。 注意：为了少画虚线，坐标原点O1一般放在物体上面的右上角。 2.画出坐标轴的轴测投影，如图b)所示。 3.根据尺寸X、Y，作立体顶面各点的轴测图A、B、C、D，如下图b)所示。 4.分别从B、C、D点向下量取立体的高度Z，得出E、F、G各点。用实线将各点连结起来，完成的长方体的正等轴测图见下图c)。 a) 长方体的两投影b) 根据X、Y作出顶面的轴测图c) 向下取高度Z并完成轴测图长方体的正等轴测图的作图步步骤 例2：求作图4-11a)所示六棱柱的正等轴测图 解作图步骤如下： 1.在投影图上加上坐标轴的投影，如下图a)所示。 注意：为了少画虚线，原点O1可放在六棱柱顶面的中心。 2.画出坐标轴的轴测投影，如下图b)所示。 3.根据尺寸L、R、S，作立体顶面各点的轴测图A、B、C、D、E、F。要注意，由于直线AB、CD、DE和FA的轴测图不反映实长，所以BC要利用K点作出，因O1K反映实长。同样，AO1及O1D均反映实长，如下图b)所示。 4.分别从A、B、C、D、F点向下量取立体的高度H，得出六棱柱底面上各个可见的点。用实线将各点连结起来，完成的六棱柱的正等轴测图见下图c)。
课题：§5.1轴测图的基本知识 §5.2正等轴测图 授课课程：机械制图授课教师：
4、物体上不平行于轴测投影面的平面图形，在轴测图上为原形的类似形。 二、正等轴测图的画法 例1：已知长方体的三视图，画它的正等轴测图。 各个顶点在其轴测图中的位置，然后连接各点的棱线即为所求。 作图步骤： (1)在三视上定出原点和坐标轴的位置。设定右侧后下方的棱角为原点，X、Y、 Z轴是过原点的三条棱线，如图4-2a所示。 (2)用30°的三角板画出三根轴测轴，在X轴上量取物体的长1,在Y 轴上量取宽 b；然后由端点I和H分别画出X、Y轴的平行线，画出物体底面的形状， 如图4-2b所示。 (3)由长方体底面各端点画Z轴的平行线，在各线上量取物体的高度 h,得到长方 体顶面各端点。把所得各点连接起来并擦去多余的棱线，即得物体的顶面、 正面和侧面的形状，如图4-2c所示。 (4)擦去轴测轴线，描深轮廓线，即得长方体正等轴测图。 练习： 画出垫块的正等轴测图。
分析：图4-3所示的垫块为一个简单的组合体，是由两个长方体与一个三棱柱组合而成的。只要画出底部长方体后，应用叠加法就可得到它的正等轴测 图。 作图步骤： （1）使OZ轴处于垂直位置，OX，OY与水平成30°；根据三视图尺寸（图4-3a）画出长方体的正等轴测图，如图4-3b所示。 （2）根据图示的相对位置，画出上部长方体竖板与中央部位的三棱柱，如图4-3c所示。 （3）擦去不必要的图线，描深轮廓线，即得垫块的轴测图， 图4-3垫块的正等测图 例2：画出圆柱体的正等轴测图。 分析：图4-4a为一圆柱的两面投影，因圆柱的顶圆和底圆都平行于XOY 一般了解
机械制图教案5轴测图 5 轴测图 1) 教学目的正等测和斜二测轴测图的画法。 2) 教学重点 (1) 轴测图的基本知识; (2) 轴测图的画法。 3) 难点轴测图的画法。 4) 教学方法和教学手段讲解法，采用在黑板上作图。 5.2 轴测投影的基本知识 教学时间20分 轴测图是用平行投影原理绘制的一种单面投影图，如图5.1所示。这种图富有立 (a) (b) 图5.1 轴测图与三视图的比较图5.2 轴测投影的形成体感，但作图较繁、度量性差，因此在生产中作为辅助图样，用于需要表达机件直观形象的场合。 5.2.1 轴测投影的形成 将物体连同其参考直角坐标系，沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在单一投影面上所得到的图形，称为轴测投影图，简称轴测图，如图5.2所示。 在轴测投影中，投影面P称为轴测投影面，投射方向S称为轴测投射方向。当投射方向S垂直于轴测投影面P时，所得图形称为正轴测图;当投射方向S倾斜于轴测投影面P时，所得图形称为斜轴测图。 5.2.2 轴测轴、轴间角、轴向伸缩系数
轴测轴——空间直角坐标轴OX、OY、OZ在轴测投影面上的投影O1X1、O1Y1、O1Z1， 71 称为轴测投影轴，简称轴测轴,如图5.2所示。 轴间角——轴测轴之间的夹角，称为轴间角。 如?X1O1Y1、?Y1O1Z1、?Z1O1X1，如图5.2所示。 轴向伸缩系数——物体上平行于直角坐标轴的直线段投影到轴测投影面P上的长度与其相应的原长之比，称为轴向伸缩系数。 用p、q、r分别表示OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。 5.2.3 轴测图的种类 对于正轴测图或斜轴测图，按其轴向伸缩系数的不同可分为三种: 1) 如p = q = r，称为正(或斜)等轴测图，简称正(或斜)等测; 2) 如p = r ?q，称为正(或斜)二等轴测图，简称正(或斜)二测; 3) 如p?q?r，称为正(或斜)三测轴测图，简称正(或斜)三测。 在国家标准《机械制图》中，推荐采用正等测、正二测、斜二测三种轴测图。本书只介绍正等测和斜二测的画法。 5.2.4 轴测图的基本性质 轴测投影属于平行投影，因此，轴测图具有平行投影的性质: 1) 平行性空间平行的直线段，轴测投影后仍相互平行。 2) 沿轴量平行于直角坐标轴的直线段，其轴测投影必平行于相应的轴测轴，且伸缩系数与相应轴测轴的轴向伸缩系数相等。因此，画轴测图时，必须沿轴测轴或平行于轴测轴的方向才可以度量，轴测轴也因此而得名。 3) 定比性直线段上两线段长度之比，等于其轴测投影长度之比。 5.3 正等轴测图
山物体的正投影绘制轴测图，是根据坐标对应关系作图，即利用物体上的点， 线，面 等儿何元素在空间坐标系中的位置，用沿轴向测定的方法，确定其在轴 测坐标系中的位置 从而得到相应的轴测图。 绘制轴测图的方法和步骤： 1对所画物体进行形体分析，搞清原体的形体特征，选择适当的轴测图 b.在原投影图上确定坐标轴和原点； c ・绘制轴测图，画图时，先画轴测轴，作为坐标系的轴测投影，然后再逐步画出; d 轴测图中一般只画出可见部分，必要时才画出不可见部分 （1）平面立体的轴测图画法 画平面立体轴测图的基本方法是：沿坐标轴测量，按坐标画出各顶点的轴 测 图，该方法简称坐标法；对一些不完整的形体：可先按完整形体画出，然后再 用切割方法画出不完 整部分，此法称为切割法；对另一些平面立体则用形体分 析法，先将其分成若干基本形 体，然后还逐一将基本形体组合在一起，此法称 为组合法。 下面举例说明两种种方法说明轴测图的画法。 1 ）坐标法 ［例1］根据截头四棱锥正投影图,画出其正等测轴测图 圏1 用坐标法作截头23梭锥的正等瀝辘测图 ［解］作图步骤如下； a ）以四棱锥体的对称轴线为坐标轴，以0为原点； b ）画轴测轴并相应地画出各项点的轴测图，连接各点即得四棱锥体的轴测图; c ）根据截口的位置，按坐标作出截面上各项点的轴测图； d ）连接各点，擦去不可见的轮廓线，即得截头四棱锥的轴测图。 2）切割法 ［例2］根据平面立体的三视图，画出它的正等测图（图2） h d)
图2用组合法作正等测图 ［解］作图步骤如下： a ）在视图上定坐标轴，并将组合体分解成三个基本体： b ）画轴测轴，沿轴测量历16, 12,4画出形体I ; c ）形体II与形体I左右和后面共面，沿轴量16 、 3 、14画 出长方体，再量出尺寸12 、10 ,画出形体II ； d ）形体III与形体I和形体II右面共面；沿轴量取3 ,画出形体III : e ）擦去形体间不应有的交线和被遮挡的线，然后描深。 坐标法、切割法和组合法是给制轴测图的基本方法，画图时必须根据形体特点灵活应用。 （2 ）曲面立体的画法 简单的曲面立体有圆柱、圆锥（台）、圆球和圆环等，它们的端面或断面均为圆。因此，首先要掌握坐标面内或平行干坐标面圆的正轴测图画法。 1 ）坐标面内或平行于坐标面的圆的轴测投影 在三种轴测图中，因斜二测的一个坐标面平行轴测投影面，故与此坐标而平行的圆的轴测投影仍为圆，其余圆的轴测投影均为椭圆，称为轴测椭圆，轴测椭圆的画法有两种： 坐标法：按坐标法确定圆周上若干点的轴测投影，后光滑地连接成椭圆。 近似法：用四心扁圆代替轴测椭圆，确定的四个圆心，四段圆弧光滑地连接成一扁圆，使之与轴测椭圆近似。 ①轴测椭圆的长、短轴方向和大小 常用的三种轴测图中，轴测椭圆的长、短轴方向和大小如图3所示。在正等测和正二测图中，釆用简化系数后，轴测椭圆的长、短袖大小如图4所示。
板书设计： 一、轴测投影图的形成 1、轴间角和轴向变形系数 3)轴间角：控制物体轴测投影的形状变化。 4)轴向变形系数：轴测轴方向线段的长度与该线段的实际长度之比，称为轴向变形系数。用轴向 变形系数来控制物体轴测投影的大小变化。 2、轴测投影的基本性质 由于轴测投影所用的是平行投影，所以轴测投影具有平行投影的投影特性。 １）平行于某一坐标轴的空间直线，投影以后平行于相应的轴测轴。 ２）空间互相平行的两直线，投影以后仍互相平行。 ３）点在直线上，点的轴测投影在直线的轴测投影上。 二、轴测投影的种类 根据投影方向与轴测投影面的关系可把轴测投影分为以下两类： 一）、正轴测投影——投影方向垂直于轴测投影面 1、正等测投影。轴向变形系数ｐ＝ｑ＝ｒ； 二）、斜轴测投影——投影方向倾斜于轴测投影面 1、斜二测轴测投影。轴向变形系数ｐ＝ｑ≠ｒ； 课堂训练：对照三视图观察物体的轴测图 课后作业：根据三视图画出物体的轴测图 习题集：P40 画物体的轴测图 教学反思：
板书设计： 正等轴测投影的轴向变形系数和轴间角 正等轴测投影的三个轴间角相等，都等于120º，为了作图方便，常将轴向变形系数进行简化，取ｐ＝ｑ＝ｒ＝1，称为轴向简化系数。 采用简化系数画出的图，叫正等测图。在轴向尺寸上，正等测图较物体原来的真实轴测投影放大1.22倍，但不影响物体的形状。 平面立体正等测图的画法 回转体正轴测图的画法 以菱形法为例说明水平圆的正等测图的画法 回转体正等测图的画法 圆柱正等测图的画法 圆台正等测图的画法 带圆角的矩形板的正等测图 截切基本体正等测图的画法 课堂训练：根据三视图画出物体的轴测图如下 课后作业：根据三视图画出物体的轴测图 习题集P41--42 画物体的轴测图 教学反思：
轴测图知识总结绘图 轴测图学问总结绘图 《建筑制图与识图》轴测投影 学问点： 轴测投影1、定义：2、特点： 正轴测投影：3、轴测投影的种类： 斜轴测投影： 4、正等测： 5、斜二测： 6、轴测图的画法： 坐标法：叠加法：切割法： 7、圆的轴测图画法： 四心圆弧： 八点椭圆： 二、作图：（绘图清楚，无多余帮助线，单位mm，绘图比例1:1）1、依据三面投影图中的V、H面投影画出其轴测投影图（正等侧）2、依据三面投影图中的V、H面投影画出其轴测投影图（斜二测） 3、依据三面投影图中的V、H面投影画出其轴测投影图（正等侧）
《建筑制图与识图》轴测投影 4、用四心圆弧法画椭圆 5、用八点椭圆法画椭圆 6、下列图为一组合体，尺寸如图，单位mm，画其正等测 8、依据实体画出其三面投影图 《建筑制图与识图》轴测投影 扩展阅读：正等轴测图教学设计 正等轴测图 北京市第五十五中学甘霖 指导思想与理论依据1、指导思想 以高中通用技术课程标准作为指导思想，以提高学生的技术素养为宗旨，在教学过程中对学生进展设计沟通根本技能的培育，通过训练促进学生提高技术沟通的力量。2、理论依据 以教学做合一的教学理论为理论依据。教学做合一的教学理论认为，做是核心，主见在做上教，做上学。强调从教师对学生的关系上说，做便是教，从学生对教师的关系上说，做便是学。本节课的目标是学会绘制正等轴测图，学习模式应当更着重学生在亲身参加中对学问的把握，也就是说教师教学应当注意实践，让学生在实践中去把握当前的学问。离开学生乐观主动的参加，任何学习都是无效的。而在教的意义上，教师的作用，就在于明确学生的主体性，乐观利用全部可能的教学资源引导学生主体性
5轴测图 轴测图的大体知识 轴测图的用途 轴测投影图简称轴测图，是单一投影面的投影图，能同时反映出物体长、宽、高三个方向的形状，立体感较强，能够直观的展现形体。通常在生产顶用作辅助图样，随着运算机的进展，轴测图的应用也愈来愈普遍。 轴测图的形成及投影特性 用平行投影法把物体连同肯定其在空间位置的直角坐标系一路，沿着不平行于三条坐标轴和三个坐标平面的方向，投影到某一个投影面上所取得的投影图，如图5-1-1所示，投影面P称为轴测投影面；空间直角坐标系的三条坐标轴OX、OY、OZ的轴测投影O1X1、O1Y1、O1Z1称为轴测轴；轴测轴之间的夹角，即∠X1O1Z1、∠X1O1Y1、∠Y1O1Z1，称为轴间角；直角坐标轴的轴测投影的单位长度与相应直角坐标轴上的单位长度的比值，称为轴向变形系数，用P1、q1、r1别离表示X、Y、Z轴的轴向变形系数。 图5-1-1 轴测图的形成
轴测图是用平行投影法取得的，具有以下投影特性： 1. 平行性。空间彼此平行的直线，它们的轴测投影仍彼此平行。如图中BE∥DF∥OX，则B1E1∥D1F1∥O1X1。 2. 定比性。物体上平行于坐标轴的线段的轴测投影与原线段之比，等于相应的轴向变形系数。图中B1E1/BE=D1F1/DF=p1。 轴测图的分类 按照投射方向和轴测投影面的相对关系，轴测图分为正轴测投影图和斜轴测投影图两大类。 （1）当投影方向垂直于轴测投影面时，称为正轴测图。 （2）当投影方向倾斜于轴测投影面时，称为斜轴测图。 按轴向变形系数的选取不同，可取得多种轴测投影图。国家标准中推荐利用的是正等轴测图和斜二轴测图。本章仅介绍这两种轴测图的画法。 正等轴测图的画法 正等轴测图的形成，轴间角和轴向伸缩系数。 1. 形成 当三根坐标轴与轴测投影面倾斜的角度相同时，用正投影法取得的投影图称为正等轴测图，简称正等测。 2. 轴间角 正等轴测图的轴间角均为120º，即∠X1O1Y1=∠X1O1Z1=∠Y1O1Z1=120º。正等轴测图中轴测轴的画法，如图5-2-1所示。 图5-2-1 正等轴测图的轴测轴 3. 轴向变形系数
第5章轴测图 工程上常用的图样是按照正投影法绘制的多面投影图，它能够完整而准确地表达出形体各个方向的形状和大小，而且作图方便。但在图5-1a所示的三面正投影图中，每个投影图只能反映形体长、宽、高三个向度中的两个，立体感不强，故缺乏投影知识的人不易看懂，因为看图时需运用正投影原理，对照几个投影，才能想象出形体的形状结构。当形体复杂时，其正投影就更难看懂。为了帮助看图，工程上常采用轴测投影图〔简称轴测图〕，如图5-1b所示，来表达空间形体。 a)b) 图5-1 多面正投影图与轴测投影图 轴测图是一种富有立体感的投影图，因此也被称为立体图。它能在一个投影面上同时反映出空间形体三个方向上的形状结构，可以直观形象地表达客观存在或设想的三维物体，接近于人们的视觉习惯，一般人都能看懂。但由于它属于单面投影图，有时对形体的表达不够全面，而且其度量性差，作图较为复杂，因而它在应用上有一定的局限性，常作为工程设计和工业生产中的辅助图样，当然，由于其自身的特点，在某些行业中应用轴测图的时机逐渐增多。 5．1轴测投影的根本知识 5．1．1轴测投影图的形成 轴测投影属于平行投影的一种，它是用平行投影法沿某一特定方向〔一般沿不平行于任一坐标面的方向〕，将空间形体连同其上的参考直角坐标系一起投射在选定的一个投影面上而形成的投影，如图5-2所示。这个选定的投影面〔P〕称为轴测投影面，S表示投射方向，用这种方法在轴测投影面上得到的图称为轴测投影图，简称轴测图。
轴测投影图 图5-2 轴测投影图的形成 5．1．2轴测投影的根本概念 1．轴测轴 如图5-2所示，表示空间物体长、宽、高三个方向的直角坐标轴OX、OY、OZ，在轴测投影面上的投影依然记为OX、OY、OZ，称为轴测轴。 2．轴间角 如图5-2所示，相邻两轴测轴之间的夹角∠XOZ、∠ZOY、∠YOX称为轴间角。三个轴间角之和为360°。 3．轴向伸缩系数 由平行投影法的特性我们知道，一条直线与投影面倾斜，该直线的投影必然缩短。在轴测投影中，空间物体的三个〔或一个〕坐标轴是与投影面倾斜的，其投影就比原来的长度短。为衡量其缩短的程度，我们把在轴测图中平行于轴测轴OX、OY、OZ 的线段，与对应的空间物体上平行于坐标轴OX、OY、OZ的线段的长度之比，即物体上线段的投影长度与其实长之比，称为轴向伸缩系数〔或称轴向变形系数〕。OX、OY、OZ三个方向上的轴向伸缩系数分别用p1、q1、r1来表示，但常用p、q、r来表示对应轴的简化的轴向伸缩系数〔为简化作图，往往要规定其简化轴向伸缩系数，原来的叫实际轴向伸缩系数〕。 在轴测投影中，由于确定空间物体的坐标轴以及投射方向与轴测投影面的相对位置不尽相同，因此轴测图可以有无限多种，得到的轴间角和轴向伸缩系数各不相同。所以，轴间角和轴向伸缩系数是轴测图绘制中的两个重要参数。 5．1．3轴测轴的设置 画物体的轴测图时，先要确定轴测轴，然后再根据该轴测轴作为基准来画轴测图。轴测图中的三根轴测轴应配置成便于作图的位置，OZ轴表示立体的高度方向，应始终处于铅垂的位置，以便符合人们观察物体的习惯。 轴测轴可以设置在物体之外，但一般常设在物体本身内，与主要棱线、对称中心线或轴线重合。绘图时，轴测轴随轴测图画出，也可省略不画。