第十五章分式 §15.1.1从分数到分式
一、 教学目标
1.了解分式概念.
2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 二、重点、难点
重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件.
难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 三、教学过程
(一)让学生填写[思考],学生自己依次填出:,,,.
(二)问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?
设江水的流速为x 千米/时.
轮船顺流航行100千米所用的时间为小时,逆流航行60千米所用时间
小时,所以=. (三) 以上的式子,,,,有什么共同点?它们与分数有什
么相同点和不同点?
可以发现,这些式子都像分数一样都是 (即A ÷B )的形式.分数的分子A 与分母B 都是整数,而这些式子中的A 、B 都是整式,并且B 中都含有字母. [思考]引发学生思考分式的分母应满足什么条件,分式才有意义?由分数的分母不能为零,用类比的方法归纳出:分式的分母也不能为零.注意只有满足了分
式的分母不能为零这个条件,分式才有意义.即当B ≠0时,分式 才有意义.
(四)例题讲解
例1. 当x 为何值时,分式 有意义. [分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解出字母x 的取值范围.
(补充)例2. 当m 为何值时,分式的值为0?
(1)
(2) (3)
[分析] 分式的值为0时,必须同时..满足两个条件:(1)分母不能为零;(2)分子为零,这样求出的m 的解集中的公共部分,就是这类题目的解. (五)随堂练习
1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 9x+4, , , , ,
2. 当x 取何值时,下列分式有意义?
(1) (2) (3)
7
10a
s 33
200s
v v
+20100v -2060v +20100v
-2060v
+20100v -2060a s
s
v B
A
x
720
9y +5
4-m 2
38y y -9
1-x 1
-m m 32+-m m 112+-m m 4
5
22--x x x
x 235-+2
3+x 2
31
2-+x x
3. 当x 为何值时,分式的值为0?
(1) (2) (3) (六)小结: 谈谈你的收获。 (七)布置作业
P133习题15.1 第2、3、4题。
§15.1.2分式的基本性质(一)
一、教学目标
1.理解分式的基本性质.
2.会用分式的基本性质将分式约分. 3.渗透类比转化的数学思想方法. 二、重点、难点
重点: 理解分式的基本性质. 掌握约分.
难点: 灵活应用分式的基本性质将分式约分. 三、教学过程
第一步:课堂引入
1.请同学们考虑: 与 相等吗? 与 相等吗?为什么? 2.说出 与 之间变形的过程, 与 之间变形的过程,并说出变形依据?
3.提问分数的基本性质,让学生类比猜想出分式的基本性质.
分式的基本性质:分式的分子、分母同乘以(或除以)同一个整式,使分式
的值不变.可用式子表示为:= =(C ≠0)
第二步:例题讲解
例2.填空:(1) = (2) =
例3.约分: (1) (2)
第三步:随堂练习 1.填空:
(1) = (2) =
2.约分:
B A
C B C A ??B
A C
B C
A ÷÷c a b ++1()cn an +()222y x y x +-()
y
x -5
32164xyz yz x -x y y x --3
)(2x x x 3222+()3+x 32386b b a ()3
3a x x 57+x x
3217-x x x --2
2143201524983432015249
83
(1) (2) 第四步:小结: 谈谈你的收获。 第五步:布置作业
P133习题15.1 第5、6、题
板书设计
§15.1.2分式的基本性质(二)
一、教学目标
1.理解分式的基本性质.
2.会用分式的基本性质将分式通分. 3.渗透类比转化的数学思想方法. 二、重点、难点
重点: 理解分式的基本性质. 掌握通分.
难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形. 三、教学过程
第一步:复习引入
1.判断下列约分是否正确: (1)= (2)= (3)=0
2.通分
和 、 和
第二步:例题讲解
例4.通分:(1)和 (2)和
[分析] 通分要想确定各分式的公分母,一般的取系数的最小公倍数,以及所有因式的最高次幂的积,作为最简公分母. 第三步:随堂练习 1.通分:
(1)和 (2)和
第四步:小结
谈谈你的收获。
c
ab b a 2
2632228mn n m c b c a ++b a 22y x y x --y x +1n m n m ++223ab c 28bc a -11-y 1
1
+y 321ab c b a 2252xy a
22
3x b 4365
1218332
第五步:布置作业
P133 习题15.1 6、7题。
§15.2.1分式的乘除(一)
一、教学目标:
1.理解分式乘除法的法则
2.会进行分式乘除运算.
3.渗透类比转化的数学思想方法. 二、重点、难点
1.重点:会用分式乘除的法则进行运算.
2.难点:灵活运用分式乘除的法则进行运算 . 三、教学过程 (一)课堂引入
1.出示P135本节的引入的问题1求容积的高,问题2求大拖拉机的工作
效率是小拖拉机的工作效率的倍.
[引入]从上面的问题可知,有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手,类比出分式的乘除法法则.
P135[观察] 从上面的算式可以看到分式的乘除法法则.
2.[提问] P135[思考]类比分数的乘除法法则,你能说出分式的乘除法法则?
类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论. (二)例题讲解
P136例1. (1) (2)
[分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简,还应注意在计算时跟整式运算一样,先判断运算符号,在计算结果.
P136例2. (1) (2)
[分析] 这道例题的分式的分子、分母是多项式,应先把多项式分解因式,
再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式,而是多个多项式相乘是不必把它们展开.
P136例3.
[分析]这道应用题有两问,第一问是:哪一种小麦的单位面积产量最高?先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积,再分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量,分别是、,还要判断出以上两个分式的值,哪一个值更大.要根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)2=a 2-2a+1 n m ab v ??? ? ??÷n b m a 32 2542n m m n ?-?? ? ??-÷x x y 274411242222++-?+--a a a a a a )3(2 9 62y y y y -÷++-1 5002 -a ()2 1500-a 计算 (1) (2)-8xy (3) (五)小结 谈谈你的收获。 (六)布置作业 P146习题15.2 第1题 §15.2.1分式的乘除(二) 一、教学目标: 1.掌握分式乘除法的法则 2.熟练地进行分式乘除法的混合运算. 3.渗透类比转化的数学思想方法. 二、重点、难点 1.重点:熟练地进行分式乘除法的混合运算. 2.难点:熟练地进行分式乘除法的混合运算. 三、教学过程 1、课堂引入 计算(1) (2) 2、例题讲解 例4.计算(1) (2) [分析] 是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算,再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式,最后进行约分,注意最后的计算结果要是最简的. (补充)例.计算 (1) = (先把除法统一成乘法运算) = (判断运算的符号) ab c 2c b a 2 2?x y 52÷b a ab ab b a 23422 2-?-)(x y y x x y -?÷)21()3(43x y x y x -?-÷)2(216322b a a bc a b -?÷93234962 2 2-?+-÷-+-a a b a b a a ) 4(3)98(23232b x b a xy y x ab -÷-?x b b a xy y x ab 34)98(23232-?-?x b b a xy y x ab 349823232?? = (约分到最简分式) (2) = (先把除法统一成乘法运算) = (分子、分母中的多项式分解因式) = = 3、随堂练习 计算(1) (4) 4、小结 谈谈你的收获 5、布置作业 P146习题 2、题 §15.2.1分式的乘除(三) 一、教学目标: 1.理解分式乘方的运算法则 2.熟练地进行分式乘方的运算 3.渗透类比转化的数学思想方法. 二、重点、难点 1.重点:熟练地进行分式乘方的运算. 2.难点:熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 三、教学过程 (一)课堂引入 计算下列各题: (1)==( ) (2) ==( ) (3)==( ) 32916ax b x x x x x x x --+?+÷+--3) 2)(3()3(444622 x x x x x x x --+?+?+--3) 2)(3(3 1444622x x x x x x --+?+?--3) 2)(3(3 1)2()3(22)3() 2)(3(3 1)2()3(22---+?+?--x x x x x x 2 2--x )6(438264 2z y x y x y x -÷?-22222)(x y x xy y xy x x xy -?+-÷ -2)(b a ?b a b a 3)(b a ?b a ?b a b a 4)(b a ?b a ?b a b a b a ? [提问]由以上计算的结果你能推出(n 为正整数)的结果吗? (二)例题讲解 例5.计算(1) (2) [分析]第(1)题是分式的乘方运算,它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号,再分别把分子、分母乘方.第(2)题是分式的乘除与乘方的混合运算,应对学生强调运算顺序:先做乘方,再做乘除. (三)随堂练习 1.判断下列各式是否成立,并改正. (1)= (2)= (3)= (4)= 2.计算 (1) (2) (2) (3) (4) (5) (四)小结 谈谈你的收获。 (五)布置作业 P146习题第3题 板书设计 §15.2.2分式的加减(一) 一、教学目标: 1.熟练地进行同分母的分式加减法的运算. 2.会把异分母的分式通分,转化成同分母的分式相加减. 3.渗透类比转化的数学思想方法. 二、重点、难点 1.重点:熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 2.难点:熟练地进行异分母的分式加减法的运算. n b a )(332)2(a b -4234223)()()(c a b a c b a c ÷÷23)2(a b 25 2a b 2)23(a b -2 249a b -3)32(x y -3398x y 2)3(b x x -2 22 9b x x -2 2)35(y x 332)23(c b a -32 223)2()3(x ay xy a -÷23322)( )(z x z y x -÷-)()()(42 2xy x y y x -÷-?-2 32)23()23()2(ay x y x x y - ÷-?- 三、教学过程 (一)课堂引入 1.出示问题3、问题4,教师引导学生列出答案. 引语:从上面两个问题可知,在讨论实际问题的数量关系时,需要进行分式的加减法运算. 2.下面我们先观察分数的加减法运算,请你说出分数的加减法运算的法则吗? 3. 分式的加减法的实质与分数的加减法相同,你能说出分式的加减法法则? 4.请同学们说出的最简公分母是什么?你能说出最简公分母的确定方法吗? (二)例题讲解 例6.计算(1) (2) [分析] 第(1)题是同分母的分式减法的运算,分母不变,只把分子相减,第二个分式的分子式个单项式,不涉及到分子是多项式时,第二个多项式要变号的问题,比较简单; (补充)例.计算 (1) (2) 解:= ==== (三)随堂练习 计算(1) (2) (四)小结 谈谈你的收获。 (五)布置作业 P146习题 第4题 板书设计 2 243291 ,31,21xy y x y x b a a b b a b a b a b a 22255523--+++96312-++a a 2222223223y x y x y x y x y x y x --+-+--+96261312--+-+-x x x x 96261312--+-+-x x x x ) 3)(3(6)3(2131-+-+-+-x x x x x )3)(3(212)3)(1()3(2-+---++x x x x x )3)(3(2)96(2-++--x x x x ) 3)(3(2)3(2 -+--x x x 623+--x x m n m n m n m n n m -+---+22b a b a b a b a b a b a b a b a ---+-----+-87546563 §15.2.2分式的加减(二) 一、教学目标: 1.明确分式混合运算的顺序。 2.熟练地进行分式的混合运算. 3.渗透类比转化的数学思想方法. 二、重点、难点 1.重点:熟练地进行分式的混合运算. 2.难点:熟练地进行分式的混合运算. 三、教学过程 1、课堂引入 1.说出分数混合运算的顺序. 2.教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 2、例题讲解 例题(1) (2) [分析] 这道题是分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要是最简分式. (补充)计算 (1) (2) [分析] 这道题先做乘除,再做减法,把分子的“-”号提到分式本身的前边. 解: = = = = 3、随堂练习 计算 (1) (2) (3) )1)(1(y x x y x y +--+ 22242)44122(a a a a a a a a a a -÷-?+----+x x x x x x x x -÷+----+4)4 4122(222 22 4442 y x x y x y x y x y y x x +÷--+?-2 22 4442 y x x y x y x y x y y x x +÷--+?-2 2 222224))((2 x y x y x y x y x y x y y x x +?-+-+?-2 222))((y x y x y x y x xy -- ?+-))(()(y x y x x y xy +--y x xy +-x x x x x 22 )242(2+÷-+-)11()( b a a b b b a a -÷---)2 122()41223( 2+--÷-+-a a a a (4)计算,并求出当-1的值. 4、小结 谈谈你的收获 5、布置作业 P146 习题15.2 第4、5题 板书设计 §15.2.3整数指数幂(2课时) 一、教学目标: 1.知道负整数指数幂= (a ≠0,n 是正整数). 2.掌握整数指数幂的运算性质. 3.会用科学计数法表示小于1的数. 4、渗透类比转化的数学思想方法,提高学生的运算能力. 二、重点、难点 1.重点:掌握整数指数幂的运算性质. 2.难点:会用科学计数法表示小于1的数. 三、教学过程 (一)课堂引入 1.回忆正整数指数幂的运算性质: (1)同底数的幂的乘法:(m,n 是正整数); (2)幂的乘方:(m,n 是正整数); (3)积的乘方:(n 是正整数); (4)同底数的幂的除法:( a ≠0,m,n 是正整数,m >n); (5)商的乘方:(n 是正整数); 2.回忆0指数幂的规定,即当a ≠0时,. 3.你还记得1纳米=10-9米,即1纳米=米吗? 4.计算当a ≠0时,===,再假设正整数指数幂的运算 性质(a ≠0,m,n 是正整数,m >n)中的m >n 这个条件去掉,那么 ==.于是得到=(a ≠0),就规定负整数指数幂的运算性质: 24 )2121( a a a ÷--+=a n a -n a 1 n m n m a a a +=?mn n m a a =)(n n n b a ab =)(n m n m a a a -=÷n n n b a b a =)(10=a 9101 5 3a a ÷53a a 233a a a ?21a n m n m a a a -=÷53a a ÷53-a 2-a 2-a 21 a 当n 是正整数时,= (a ≠0). (二)例题讲解 例9.计算(1)20= ( 2)2 -3= (3)(-2) -3= 例10. 计算 (1)x 2y -2 ·(x -2y)3 (2) (2×10-3)2÷(10-3)3 例11. 用科学计数法表示下列各数: 0. 003009 -0.0000000307 (三)随堂练习 1.填空(1)-22= (2)(-2)2= (3)(-2) 0= 2.计算 (1) (x 3y -2)2 (2)x 2y -2 ·(x -2y)3 (3)(3x 2y -2) 2 ÷(x -2y)3 3. 用科学计数法表示下列各数: 0.00004, -0.034, 0.00000045, 4.计算(3×10-8)×(4×103) (四)小结 谈谈你的收获 (五)布置作业. P146 习题15.2 第7、8题。 板书设计 §15.3 分式方程(1) 一、教学目标 1.使学生理解分式方程的意义. 2.使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法. 3.了解解分式方程解的检验方法.从而渗透数学的转化思想. 二、教学重点和难点 1.教学重点:可化为一元一次方程的分式方程的解法. 2.教学难点:检验分式方程解的原因 三、教学过程 (一)复习及引入新课 提问:什么叫方程?什么叫方程的解? (二)新课 板书:分式方程的定义. 分母里含有未知数的方程叫分式方程.以前学过的方程都是整式方程. 练习:判断下列各式哪个是分式方程. n a n a 1 解:两边同乘以最简公分母2(x+5)得 2(x+1)=5+x 2x+2=5+x x=3. 检验:把x=3代入原方程 左边=右边 ∴x=3是原方程的解. 例2:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少? 分析:设江水的流速为v 千米/时, 可列方程=解方程得:v =5 检验:v =5为方程的解.所以水流速度为5千米/时. (三)课堂练习: (四)小结:谈谈你的收获。 (五)布置作业 P154页习题15.3第1(1)、(2)、(3)、(4)、2题 板书设计 § 15.3 分式方程(2) 一、教学目标: 1、使学生会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程. 2、使学生检验解的原因,知道解分式方程须验根并掌握验根的方法。 3、培养学生自主探究的意识,提高学生观察能力和分析能力 二、重点难点:. 1. 重点:会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程; 2. 难点:了解分式方程必须验根的原因 v 20100+v 2060 - 三、教学过程: 1.复习引入 解方程: (1) (2) 思考:上面两个分式方程中,为什么(1)去分母后所得整式方程的解就是(1)的解,而(2)去分母后所得整式的解却不是(2)的解呢? 2.讨论 (1)为什么要检验根? (2)验根的方法 3.应用 例1 解方程 4、课堂练习 解方程 5、小结:谈谈你的收获。 6、布置作业 P154—P155习题15.3第3、5题 板书设计 . §15.3 分式方程(3) 一、教学目标: 1.会分析题意找出等量关系. 2.会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题. 3、培养学生自主探究的意识,提高学生观察能力和分析能力. 二、重点、难点 1.重点:利用分式方程组解决实际问题. 2.难点:列分式方程表示实际问题中的等量关系. 三、教学过程 (一)复习提问 1.解分式方程的步骤 51144x x x -- =--22162 242x x x x x -+-= +--x 3 3x 2= -)2x )(1x (311 x x +-= -- 2.列方程应用题的步骤是什么?(1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)答.3.由学生讨论,我们现在所学过的应用题有几种类型? 在学生讨论的基础上,教师归纳总结基本上有五种: (1)行程问题:基本公式:路程=速度×时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题. (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法. (3)工程问题 基本公式:工作量=工时×工效. (4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水. v逆水=v静水-v水. (二)新课 例3.两个工程队共同参加一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快? 例4:从2004年5月起某列列车平均提速v千米/时.用相同的时间,列车提速前行驶s千米,提速后比提速前多行驶50千米,提速前列车的平均速度是多少? (三)课堂练习 乙分别从相距36千米的A、B两地同时相向而行.甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地,立即返回,取过东西后又立即从A向B行进,这样二人恰好在AB中点处相遇,又知甲比乙每小时多走0.5千米,求二人速度. (四)小结:谈谈你的收获 (五)布置作业 P155习题15.3第4、6题 §15分式全章小结 一、知识结构 二、重要知识与规律总结 (一)概念 1、分式。 2、最简公分母:各分母所有因式的最高次幂的积. 3、分式方程:分母中含有未知数的方程. (二)性质 1、分式基本性质。 2、幂的性质: 零指数幂。 负整指数幂。 科学记数法。 (三)分式运算法则 分式乘法:将分子、分母分别相乘。 分式除法:将除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。 分式的加减:(1)同分母分式相加减。 (2)异分母分式相加减。 分式乘方。 (四)分式方程解法 1、解题思想:分式方程转化为整式方程. 2、转化方法:去分母(特殊的用换元法). 3、转化关键:正确找出最简公分母. 4、注意点:注意验根. 三、学习方法点拨 1、两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,两个分式不能整除时,就出现了分式.因此,整式的除法是引入分式概念的基础. 2、分式的基本性质及分式的运算与分数的情形类似,因而在学习过程中, 要注意不断地与分数的情形进行类比,以加深对新知识的理解. 3、解分式方程的思想是把含有未知数的分母去掉,从而将分式方程转化为整式方程来解,这时可能会出现增根,必须进行检验.学习时,要理解增根产生的原因,认识到检验的必要性,并会进行检验. 4、由于引进了零指数幂和负整指数幂,绝对值较小的数也可以用科学记数法来表示. 四、布置作业:课本第158页复习题第1、2、(4)、(5).3(7)、(8). 分式知识点归纳 一、分式的定义: 一般地,如果A ,B 表示两个整数,并且B 中含有字母,那么式子 B A 叫做分式,A 为分子,B 为分母。 二、与分式有关的条件 ①分式有意义:分母不为0(0B ≠) ②分式无意义:分母为0(0B =) ③分式值为0:分子为0且分母不为0(???≠=0 0B A ) ④分式值为正或大于0:分子分母同号(???>>00B A 或? ??<<00B A ) ⑤分式值为负或小于0:分子分母异号(?? ?<>00B A 或???><00B A ) ⑥分式值为1:分子分母值相等(A=B ) ⑦分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0) 三、分式的基本性质 (1)分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。 字母表示:C B C ??=A B A ,C B C ÷÷=A B A ,其中A 、B 、C 是整式,C ≠0。 (2)分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变, 即:B B A B B --=--=--=A A A 注意:在应用分式的基本性质时,要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 四、分式的约分 1.定义:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。 2.步骤:把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因。 3.两种情形:①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约 去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式,先对分子分母进行因式分解,再约分。 4.最简分式的定义:一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。 ◆约分时。分子分母公因式的确定方法: 1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式. 3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式. 五、分式的通分 1.定义:把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。 (依据:分式的基本性质!) 2.最简公分母:取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。 ◆通分时,最简公分母的确定方法: 1.系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2.取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式. 3.如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母. 初中数学《分式》单元教学设计以及思维导图 分式 适用年级八年级 所需时间课内八课时 主题单元学习概述 1.本章是继整式之后对代数式的进一步的研究。 2.分式是对分数的进一步抽象------字母的意义 3.分数的讨论框架的继承------小学时分数都研究哪些性质? 4.从实际意义或者问题解决上,分式也是分数的实际意义的抽象------列方程解应用题 5.需要了解学生对于小学分数的了解情况,特别是是否还记得分数的性质框架 6.分式的基础是分数、整式的四则运算、多项式的因式分解、一元一次方程等知识。同时它是今后进一步学习函数、一元二次方程的基础。主题单元规划思维导图 主题单元学习目标 知识与技能: 1.了解分式的概念,明确分式和整式的区别; 2.掌握分式的基本性质和分式的约分; 3.分式的乘除运算法则; 4.经历探索分式加减运算法则,理解其算理; 5.异分母分式加减法的法则及分式的通分; 6.通过对实际问题的分析,感受分式方程是刻画现实世界的有效模型,归纳分式方程的概念; 7.经历探索分式方程解法的过程,会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验根的合理性; 8.用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题. 过程与方法: 1.体会分式的意义,进一步发展符号感,掌握分式的符号法则; 2.会进行简单的分式的乘除法运算; 3.会进行简单分式的加减运算,具有一定的代数化归能力; 4.经历异分母分式的加减运算和通分的过程,训练学生的分式运算能力,培养学习学习中转化未知问题为已知问题的能力; 5.经历“求解-解释解的合理性”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,培养学生的应用意识; 6.用分式方程来解决现实情境中的问题. 第十六章分式 教材分析 本章的主要内容包括:分式的概念,分式的基本性质,分式的约分与通分,分式的加、减、乘、除运算,整数指数幂的概念及运算性质,分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。 全章共包括三节: 16.1 分式 16.2 分式的运算 16.3 分式方程其中,16.1 节引进分式的概念,讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形,是全章的理论基础部分。11.2节讨论分式的四则运算法则,这是全章的一个重点内容,分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点,克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数,这给运算带来便利。11.3节讨论分式方程的概念,主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质,并且出现了必须检验(验根)的环节,这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程,是本章教学中的另一个难点,克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。 分式是不同于整式的另一类有理式,是代数式中重要的基本概念;相应地,分式方程是一类有理方程,解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而,分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型,它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。 (二)本章知识结构框图 (三)课程学习目标 本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点: 1.以描述实际问题中的数量关系为背景,抽象出分式的概念,体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。 2.类比分数的基本性质,了解分式的基本性质,掌握分式的约分和通分法则。 3.类比分数的四则运算法则,探究分式的四则运算,掌握这些法则。 4.结合分式的运算,将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数,构建和发展相互联系的知识体系。 5.结合分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法,体会解方程中的化归思想。 (四)课时安排 本章教学时间约需13课时,具体分配如下: 16.1 分式2课时16.2 分式的运算6课时 16.3 分式方程3课时数学活动小结3课时 初中数学分式随堂练习40 一、选择题(共5小题;共25分) 1. 下列各式与相等的是 A. B. D. 2. 若,,,则,,大小关系是 A. B. C. D. 3. 为保证达万高速公路在年底全线顺利通车,某路段规定在若干天内完成修建任务.已知甲 队单独完成这项工程比规定时间多用天,乙队单独完成这项工程比规定时间多用天,如果甲、乙两队合作,可比规定时间提前天完成任务.若设规定的时间为天,由题意列出的方 程是 A. B. C. D. 4. 若为整数,且的值也为整数,则所有符合条件的的值有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 已知关于的分式方程的解是非负数,那么的取值范围是 A. B. C. 且 D. 二、填空题(共4小题;共20分) 6. 要使有意义,则实数的取值范围是. 7. 一种病毒的直径为米,用科学记数法表示为米. 8. 如果,那么的结果是. 9. 年月,全球首个火车站在上海虹桥火车站启动.虹桥火车站中网络峰值速率为 网络峰值速率的倍.在峰值速率下传输千兆数据,网络比网络快秒,求这两种网络的峰值速率.设网络的峰值速率为每秒传输千兆数据,依题意,可列方程为. 三、解答题(共4小题;共52分) 10. 阅读下列材料: 方程的解是;的解是;的解是; (即)的解是. 观察上述方程与解的特征,猜想关于的方程的解,并利用“方程的解” 的概念进行验证. 11. 求下列各分式的值: (1),其中. (2),其中,. 12. 计算:. 13. 阅读下面材料,并解答问题. 材料:将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式. 【解析】 由分母为,可设,则 对应任意,上述等式均成立, ,, 这样,分式被拆分成了一个整式与一个分式的和. 解答: (1)将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式. (2)直接写出时,的最小值为. 第十六章 分式 16.1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1. 了解分式、有理式的概念. 2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1.重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 2.难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1.让学生填写P4[思考],学生自己依次填出:7 10,a s ,33 200,s v . 2.学生看P3的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少? 请同学们跟着教师一起设未知数,列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时,逆流航行60千米所用时间v -2060小时, 所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100,v -2060,a s ,s v ,有什么共同点?它们与分数有什么相同点和不 同点? 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时,分式有意义. [分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为:当x 为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗?这样可以使学生一题二用,也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时,分式的值为0? (1) (2) (3) [分析] 分式的值为0时,必须同时.. 满足两个条件:○1分母不能为零;○2分子为零,这样求出的m 的解集中的公共部分,就是这类题目的解. [答案] (1)m=0 (2)m=2 (3)m=1 六、随堂练习 1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -,91-x 2. 当x 取何值时,下列分式有意义? (1) (2) (3) 1-m m 3 2 +-m m 11 2+-m m 45 22--x x x x 235 -+2 3 +x 15 . 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者:) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h,它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ● 自主学习指向目标 1.自学教材第 127 至 128 页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一:阅读教材思考问题:式子a ,S以及式 子20+ v 和 20- v 有什么共同特点?它们与 分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果 A,B 表示两个 ________( 整式 ) ,并且 B 中含有 ________( 字母 ) ,那么式A 子B叫做分式. 小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别? 反思小结: 判断一个式子是否为分式,可根据:①具有分数的形式;②分子、分母都是整式;③分母中含有字母,分式与整式的区别在于:分式的分母中含有字母,而整式的分母中不含字母. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 探究点二 分式有意义的条件 活动二: (1) 当 x ≠0时,分式 2 有意义; 3x (2) 当 x ≠1时,分式 x 有意义;x - 1 5 1 (3) 当 b ≠3时,分式 5- 3b 有意义; x + y (4)x , y 满足 __x ≠y __时,分式 x - y 有意义. 展示点评: 教师示范解答的一般步骤,强调分母不为零. 小组讨论: 归纳分式有意义的条件. 反思小结: 对于任何分式,分母均不能为零,即当分母不为零时,分式有意义;反之,分母为零时,分式无意义. 针对训练: 见《学生用书》相应部分 四、总结梳理,内化目标 1.知识小结—— (1) 学习了分式, 知道了分式与分数的区别. (2) 知道了分式有意义和值 为零的条件. 2.思想方法小结——类比、转化等数学思想. 五、达标检测,反思目标 2 x + y 1 x 1.下列各式① x ,② 5 ,③ 2- a ,④ π- 1中,是分式的有 ( C ) A .①② B .③④ C .①③ D .①②③④ 2.当 x 为任意实数时,下列分式中,一定有意义的是( C ) x - 1 x + 1 x - 1 x - 1 A. x 2 B. x 2- 1 C. x 2+1 D. x + 2 3.某食堂有煤 m t ,原计划每天烧煤 a t ,现每天节约用煤 b(b 分式化简、解分式方程和应用题三个重要问题 一、分式化简 1. 在分式的运算中,有整式时,可以把整式看做分母为1的式子,然后再计算。 2. 要注意运算顺序,先乘方、再乘除、后加减,同级运算从左到右(谁在前先 算谁)依次进行。有括号的先算括号里面的 3. 如果分式的分子分母是多项式,可先分解因式,再运算。 4. 注意分式化简题不能去分母. 1.先化简,再求值:23393 x x x ++--,其中1x =-. 2.先化简,再求值 4 421642++-÷-x x x x ,其中 x = 3 . 3.先化简,再求值:22424412x x x x x x x -+÷--++-,其中x =2-2. 4.计算:2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? 5.化简: 35(2)482y y y y -÷+--- 6.化简,: 2211()22x y x y x x y x +--++, 7.先化简,再求值:211122 x x x -??-÷ ?++??,其中2x =. 8.计算:22221(1)121 a a a a a a +-÷+---+. 二.分式方程: 解分式方程的步骤: 1、去分母,化分式方程为整式方程两边同乘 以最简公分母,分子要括起来, 2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为1 3、检验-------带入最简公分母,若为零,则为増根,应舍去。 1、解分式方程: 2131 x x =--. 2、解方程223-=x x 3、解分式方程: 3131=---x x x 4、解方程: 22333x x x -+=-- 5、解方程 22111x x =--- 6、解方程: x x x -=+--23123. 7、解分式方程: 6122x x x +=-+ 8、 解方程33122x x x -+=--. 15.1 分 式 第1课时 从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者: ) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h ,它沿江以最大船速顺流航行100 km 所用时间,与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ●自主学习 指向目标 1.自学教材第127至128页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一 分式的概念 活动一:阅读教材思考问题:式子S a ,V S 以及式子10020+v 和6020-v 有什么共同特点?它们与分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果A ,B 表示两个________(整式),并且B 中含有________(字母),那么式子A B 叫做分式. 小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?初中数学·分式知识点归纳总结
初中数学《分式》单元教学设计以及思维导图
八年级数学分式教案
初中数学分式随堂练习40
(word完整版)初中数学分式教案
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初中数学分式专题.
(完整版)人教版八年级数学上分式教案