第十五章 分式 15．1 分 式 15．1.1 从分数到分式
1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念．
2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件．
重点
理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件． 难点
能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．
一、复习引入
1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？ 2．判断下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？
①8m ＋n 3；②1＋x ＋y 2；③a 2b ＋ab 23；④a ＋b 2；⑤2x 2＋2x ＋1；⑥3a 2＋b 2；⑦3x 2－42x .
二、探究新知 1．分式的定义
(1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？
分析：设江水的流速为v 千米/时．
轮船顺流航行90千米所用的时间为9030＋v 小时，逆流航行60千米所用时间为60
30－v 小时，
所以9030＋v ＝60
30－v
.
(2)学生完成教材第127页“思考”中的题．
观察：以上的式子9030＋v ，6030－v ，S a ，V
s ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不
同点？
可以发现，这些式子都像分数一样都是A
B (即A÷B)的形式．分数的分子A 与分母B 都是
整数，而这些式子中的A ，B 都是整式，并且B 中都含有字母．
归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A
B 叫做分式．
巩固练习：教材第129页练习第2题．
2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？
分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A
B
才有意义． 学生自学例1.
例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
(1)23x ；(2)x x －1；(3)1
5－3b ；(4)x ＋y x －y
. 解：(1)要使分式2
3x 有意义，则分母3x ≠0，即x ≠0；
(2)要使分式x
x －1有意义，则分母x －1≠0，即x ≠1；
(3)要使分式15－3b 有意义，则分母5－3b ≠0，即b ≠5
3；
(4)要使分式x ＋y
x －y
有意义，则分母x －y ≠0，即x ≠y.
思考：如果题目为：当x 为何值时，分式无意义．你知道怎么解题吗？ 巩固练习：教材第129页练习第3题．
3．补充例题：当m 为何值时，分式的值为0? (1)m
m －1；(2)m －2m ＋3；(3)m 2－1m ＋1
. 思考：当分式为0时，分式的分子、分母各满足什么条件？
分析：分式的值为0时，必须同时满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零． 答案：(1)m ＝0；(2)m ＝2；(3)m ＝1. 三、归纳总结 1．分式的概念．
2．分式的分母不为0时，分式有意义；分式的分母为0时，分式无意义． 3．分式的值为零的条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零． 四、布置作业
教材第133页习题15.1第2，3题．
在引入分式这个概念之前先复习分数的概念，通过类比来自主探究分式的概念，分式有意义的条件，分式值为零的条件，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力．
15．1.2 分式的基本性质(2课时)
第1课时 分式的基本性质
1．了解分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行分式的变形． 2．会用分式的基本性质求分式变形中的符号法则．
重点
理解并掌握分式的基本性质． 难点
灵活运用分式的基本性质进行分式变形．
一、类比引新 1．计算：
(1)56×215；(2)45÷815
. 思考：在运算过程中运用了什么性质？
教师出示问题．学生独立计算后回答：运用了分数的基本性质． 2．你能说出分数的基本性质吗？
分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的数，分数的值不变． 3．尝试用字母表示分数的基本性质：
小组讨论交流如何用字母表示分数的基本性质，然后写出分数的基本性质的字母表达式． a b ＝a·c b·c ，a b ＝a÷c
b÷c
.(其中a ，b ，c 是实数，且c ≠0) 二、探究新知
1．分式与分数也有类似的性质，你能说出分式的基本性质吗？
分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变． 你能用式子表示这个性质吗？
A B ＝A·C B·C ，A B ＝A÷C B÷C .(其中A ，B ，C 是整式，且C ≠0) 如x 2x ＝12，b a ＝ab
a
2，你还能举几个例子吗？ 回顾分数的基本性质，让学生类比写出分式的基本性质，这是从具体到抽象的过程． 学生尝试着用式子表示分式的性质，加强对学生的抽象表达能力的培养． 2．想一想
下列等式成立吗？为什么？ －a －b ＝a b ；－a b ＝a －b
＝－a b .
教师出示问题．学生小组讨论、交流、总结．
例1 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号： (1)－2a －3a
；(2)－3x 2y ；(3)－－x 2y .
例2 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数： (1)x ＋1－2x －1；(2)2－x －x 2＋3；(3)－x －1
x ＋1
. 引导学生在完成习题的基础上进行归纳，使学生掌握分式的变号法则． 例3 填空：
(1)x 3xy ＝（ ）y ，3x 2
＋3xy
6x 2
＝x ＋y （ ）
； (2)1ab ＝（ ）a 2b ，2a －b a 2＝（ ）a 2b
.(b ≠0) 解：(1)因为x 3
xy 的分母xy 除以x 才能化为y ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性
质，分子也需除以x ，即
x 3xy ＝x 3
÷x xy ÷x ＝x 2y
. 同样地，因为3x 2＋3xy
6x
2
的分子3x 2＋3xy 除以3x 才能化为x ＋y ，所以分母也需除以3x ，
即
3x 2＋3xy 6x 2＝（3x 2＋3xy ）÷（3x ）6x 2
÷（3x ）＝x ＋y
2x . 所以，括号中应分别填入x 2和2x.
(2)因为1
ab 的分母ab 乘a 才能化为a 2b ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分
子也需乘a ，即
1ab ＝1·a ab·a ＝a a 2b
. 同样地，因为2a －b
a 2的分母a 2乘
b 才能化为a 2b ，所以分子也需乘b ，即
2a －b a 2＝（2a －b ）·b a 2·b
＝2ab －b 2
a 2
b . 所以，括号中应分别填a 和2ab －b 2.
在解决例题1，2的第(2)小题时，教师可以引导学生观察等式两边的分母发生的变化，再思考分式的分子如何变化；在解决例2的第(1)小题时，教师引导学生观察等式两边的分子发生的变化，再思考分式的分母随之应该如何变化．
三、课堂小结
1．分式的基本性质是什么？ 2．分式的变号法则是什么？
3．如何利用分式的基本性质进行分式的变形？ 学生在教师的引导下整理知识、理顺思维． 四、布置作业
教材第133页习题15.1第4，5题．
通过算数中分数的基本性质，用类比的方法给出分式的基本性质，学生接受起来并不感到困难，但要重点强调分子分母同乘(或除)的整式不能为零，让学生养成严谨的态度和习惯．
第2课时 分式的约分、通分
1．类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理解最简公分母的概念． 2．类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤．
重点
运用分式的基本性质正确地进行分式的约分与通分． 难点
通分时最简分分母的确定；运用通分法则将分式进行变形．
一、类比引新
1．在计算56×2
15时，我们采用了“约分”的方法，分数的约分约去的是什么？分式a 2＋ab a 2b ，
a ＋b
ab
相等吗？为什么？
利用分式的基本性质，分式a 2＋ab
a 2
b 约去分子与分母的公因式a ，并不改变分式的值，可以
得到a ＋b ab
.
教师点拨：分式a 2＋ab a 2b 可以化为a ＋b
ab ，我们把这样的分式变形叫做__分式的约分__．
2．怎样计算45＋67？怎样把45，6
7
通分？
类似的，你能把分式a b ，c
d
变成同分母的分式吗？
利用分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，我们把这样的分式变形叫做__分式的通分__．
二、探究新知
1．约分：(1)－25a 2bc 315ab 2c ；(2)x 2－9
x 2＋6x ＋9；
(3)6x 2－12xy ＋6y 2
3x －3y
.
分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式． 解：(1)－25a 2bc 315ab 2c ＝－5abc ·5ac 25abc ·3b ＝－5ac 2
3b ；
(2)x 2－9x 2＋6x ＋9＝（x ＋3）（x －3）（x ＋3）2＝x －3
x ＋3； (3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y ＝6（x －y ）23（x －y ）
＝2(x －y )．
若分子和分母都是多项式，则往往需要把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式)，然
后才能进行约分．约分后，分子与分母没有公因式，我们把这样的分式称为__最简分式__．(不能再化简的分式)
2．练习：
约分：2ax 2y 3axy 2；－2a （a ＋b ）3b （a ＋b ）；（a －x ）
2
（x －a ）3；x 2－4xy ＋2y ；m 2－3m 9－m 2；992－198
.
学生先独立完成，再小组交流，集体订正．
3．讨论：分式12x 3y 2z ，14x 2y 3，1
6xy
4的最简公分母是什么？
提出最简公分母概念．
一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．
学生讨论、小组交流、总结得出求最简公分母的步骤： (1)系数取各分式的分母中系数最小公倍数； (2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到； (3)相同字母(或因式)的幂取指数最大的；
(4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积(其中系数都取正数)即为最简公分母．
4．通分：(1)32a 2b 与a －b ab 2c ；(2)2x x －5与3x
x ＋5 .
分析：为通分，要先确定各分式的公分母．
解：(1)最简公分母是2a 2b 2c . 32a 2b ＝3·bc 2a 2
b ·b
c ＝3bc
2a 2b 2c ， a －b ab 2c ＝（a －b ）·2a ab 2c ·2a ＝2a 2－2ab
2a 2b 2c . (2)最简公分母是(x －5)(x ＋5)． 2x
x －5＝2x （x ＋5）（x －5）（x ＋5）＝2x 2＋10x x 2－25， 3x x ＋5＝3x （x －5）（x ＋5）（x －5）＝3x 2－15x x 2－25. 5．练习： 通分：(1)
13x 2与512xy ；(2)1x 2＋x 与1x 2－x ；(3)1（2－x ）2与x
x 2
－4
. 教师引导：通分的关键是先确定最简公分母；如果分式的分母是多项式则应先将分母分
解因式，再按上述的方法确定分式的最简公分母．
学生板演并互批及时纠错．
6．思考：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？ 教师让学生讨论、交流，师生共同作以小结． 三、课堂小结
1．什么是分式的约分？ 怎样进行分式的约分？ 什么是最简分式？
2．什么是分式的通分？ 怎样进行分式的通分？ 什么是最简公分母？
3．本节课你还有哪些疑惑？ 四、布置作业
教材第133页习题15.1第6，7题．
本节课是在学习了分式的基本性质后学的，重点是运用分式的基本性质正确的约分和通分，约分时要注意一定要约成最简分式，熟练运用因式分解；通分时要将分式变形后再确定最简公分母．
15．2 分式的运算 15．2.1 分式的乘除(2课时) 第1课时 分式的乘除法
1．理解并掌握分式的乘除法则．
2．运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题．
重点
掌握分式的乘除运算．
难点
分子、分母为多项式的分式乘除法运算．
一、复习导入
1．分数的乘除法的法则是什么？ 2．计算：35×1512；35÷15
2
.
由分数的运算法则知35×1512＝3×155×12；35÷152＝35×215＝3×2
5×15
.
3．什么是倒数？
我们在小学学习了分数的乘除法，对于分式如何进行计算呢？这就是我们这节要学习的内容．
二、探究新知
问题1：一个水平放置的长方体容器，其容积为V ，底面的长为a ，宽为b 时，当容器的水占容积的m
n
时，水面的高度是多少？
问题2：大拖拉机m 天耕地a hm 2，小拖拉机n 天耕地b hm 2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
问题1求容积的高V ab ·m n ，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的a m ÷b
n 倍．
根据上面的计算，请同学们总结一下对分式的乘除法的法则是什么？
分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． a b ·c d ＝a·c b·d ；a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a·d b·c . 三、举例分析 例1 计算：
(1)4x 3y ·y 2x 3；(2)ab 32c 2÷－5a 2b 2
4cd
. 分析：这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算．应该注意的是运算结果应约
分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，再计算结果．
解：(1)4x 3y ·y 2x 3＝4xy 6x 3y ＝2
3x
2；
(2)ab 32c 2÷－5a 2b 2
4cd ＝ab 32c 2·4cd －5a 2b 2＝－4ab 3cd 10a 2b 2c 2＝－2bd 5ac . 例2 计算： (1)a 2－4a ＋4a 2－2a ＋1·a －1a 2－4； (2)149－m 2÷1m 2
－7m
. 分析：这两题是分子与分母是多项式的情况，首先要因式分解，然后运用法则． 解：(1)原式（a －2）2（a －1）2·a －1（a ＋2）（a －2）＝a －2
（a －1）（a ＋2）
；
(2)原式1（7－m ）（7＋m ）÷1
m （m －7）
＝
1（7－m ）（7＋m ）·m （m －7）1＝－m m ＋7
.
例3 “丰收1号”小麦试验田边长为a 米(a ＞1)的正方形去掉一个边长为1米的正方形
蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a －1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克．
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 分析：本题的实质是分式的乘除法的运用． 解：(1)略．
(2)500（a －1）2÷500a 2－1＝500
（a －1）2·a 2－1500＝a ＋1a －1
. “丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的a ＋1
a －1倍．
四、随堂练习
1．计算：(1)c 2ab ·a 2b 2c ；(2)－n 22m ·4m 25n 3；(3)y 7x ÷(－2
x )；
(4)－8xy÷2y
5x ；(5)－a 2－4a 2－2a ＋1·a 2－1a 2＋4a ＋4；
(6)y 2－6y ＋9
y ＋2
÷(3－y)．
答案：(1)abc ；(2)－2m 5n ；(3)－y
14；(4)－20x 2；(5)－（a ＋1）（a －2）（a －1）（a ＋2）；(6)3－y y ＋2.
2．教材第137页练习1，2，3题．
五、课堂小结
(1)分式的乘除法法则；
(2)运用法则时注意符号的变化； (3)因式分解在分式乘除法中的应用；
(4)步骤要完整，结果要最简．最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式，也可以写成一个多项式，如（a －1）2a 或a 2－2a ＋1
a
.
六、布置作业
教材第146页习题15.2第1，2题．
本节课从两个具有实际背景的问题出发，使学生在解决问题的过程中认识到分式的乘除法是由实际需要产生的，进而激发他们学习的兴趣，接着，从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘法法则．有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程．
第2课时 分式的乘方及乘方与乘除的混合运算
1．进一步熟练分式的乘除法法则，会进行分式的乘、除法的混合运算．
2．理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算．
重点
分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混合运算．
难点
分式的乘除法、乘方混合运算，以及分式乘法、除法、乘方运算中符号的确定．
一、复习引入
1．分式的乘除法法则．
分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母． 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 2．乘方的意义：
a n ＝a·a·a·…·a(n 为正整数)． 二、探究新知
例1(教材例4) 计算2x 5x －3÷325x 2－9·x
5x ＋3.
解：2x 5x －3÷325x 2－9·x 5x ＋3
＝2x 5x －3·25x 2
－93·x 5x ＋3
(先把除法统一成乘法运算)
＝2x 2
3
.(约分到最简公式) 分式乘除运算的一般步骤： (1)先把除法统一成乘法运算；
(2)分子、分母中能分解因式的多项式分解因式； (3)确定分式的符号，然后约分；
(4)结果应是最简分式．
1．由整式的乘方引出分式的乘方，并由特殊到一般地引导学生进行归纳． (1)(a b )2＝a b ·a b ＝a 2b
2； ↑ ↑
由乘方的意义 由分式的乘法法则 (2)同理： (a b )3＝a b ·a b ·a b ＝a 3b
3； (a b )n ＝a b ·a b ·…·a b n 个＝a ·a ·…·an 个b ·b ·…·bn 个 ＝a n b n . 2．分式乘方法则： 分式：(a b )n ＝a n
b
n .(n 为正整数)
文字叙述：分式乘方是把分子、分母分别乘方．
3．目前为止，正整数指数幂的运算法则都有什么？ (1)a n ·a n ＝a m ＋
n ；(2)a m ÷a n ＝a m －
n ； (3)(a m )n ＝a mn ；(4)(ab)n ＝a n b n ；
(5)(a b )n ＝a n b n . 三、举例分析 例2 计算： (1)(－2a 2b 3c )2；
(2)(a 2b －cd 3)3÷2a d 3·(c 2a )2
. (3)(－x 2y )2·(－y 2x )3÷(－y x )4；
(4)a 2－b 2a 2＋b 2÷(a －b a ＋b
)2
. 解：(1)原式＝（－2a 2b ）2（3c ）2＝4a 4b 2
9c 2；
(2)原式＝a 6b 3－c 3d 9·d 32a ·c 24a 2＝－a 3b 3
8cd 6；
(3)原式＝x 4y 2·(－y 6x 3)·x 4
y
4＝－x 5；
(4)原式＝（a ＋b ）（a －b ）a 2＋b 2·（a ＋b ）2（a －b ）2＝（a ＋b ）3
（a －b ）（a 2＋b 2）
.
学生板演、纠错并及时总结做题方法及应注意的地方：①对于乘、除和乘方的混合运算，
应注意运算顺序，但在做乘方运算的同时，可将除变乘；②做乘方运算要先确定符号．
例3 计算： (1)b 3n －
1c 2a 2n 1·a 2n －
1b
3n 2；
(2)(xy －x 2
)÷x 2－2xy ＋y 2xy ·x －y x
2；
(3)(a 2－b 2ab )2÷(a －b a
)2
.
解：(1)原式＝b 3n －
2·b ·c 2a 2n －1·a 2·a 2n －
1b
3n －2＝bc 2
a 2；
(2)原式＝－x （x －y ）1·xy
（x －y ）2
·x －y x 2＝－y ；
(3)原式＝（a ＋b ）2（a －b ）2a 2b 2·a 2
（a －b ）2
＝a 2＋2ab ＋b 2b 2.
本例题是本节课运算题目的拓展，对于(1)指数为字母，不过方法不变；(2)(3)是较复杂的
乘除乘方混合运算，要进一步让学生熟悉运算顺序，注意做题步骤．
四、巩固练习
教材第139页练习第1，2题． 五、课堂小结
1．分式的乘方法则． 2．运算中的注意事项． 六、布置作业
教材第146页习题15.2第3题．
分式的乘方运算这一课的教学先让学生回忆以前学过的分数的乘方的运算方法，然后采用类比的方法让学生得出分式的乘方法则．在讲解例题和练习时充分调动学生的积极性，使大家都参与进来，提高学习效率．
15．2.2 分式的加减(2课时)
第1课时 分式的加减
理解并掌握分式的加减法则，并会运用它们进行分式的加减运算．
重点
运用分式的加减运算法则进行运算． 难点
异分母分式的加减运算．
一、复习提问 1．什么叫通分？
2．通分的关键是什么？ 3．什么叫最简公分母？
4．通分的作用是什么？(引出新课) 二、探究新知
1．出示教材第139页问题3和问题4. 教材第140页“思考”．
分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实质相同．观察下列分数加减运算的式子：
1
5＋25＝35，15－25＝－15，12＋13＝36＋26＝56，12－13＝36－26＝1
6.你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？
教师提出问题，让学生列出算式，得到分式的加减法法则． 学生讨论：组内交流，教师点拨． 2．同分母的分式加减法．
公式：a c ±b c ＝a±b c
.
文字叙述：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
3．异分母的分式加减法． 分式：a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad±bc
bd
.
文字叙述：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 三、典型例题
例1(教材例6) 计算：
(1)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2；(2)12p ＋3q ＋12p －3q . 解：(1)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y
2
＝5x ＋3y －2x x 2－y 2
＝3x ＋3y x 2－y 2＝3x －y ； (2)12p ＋3q ＋1
2p －3q
＝2p －3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＋2p ＋3q
（2p ＋3q ）（2p －3q ）
＝2p －3q ＋2p ＋3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＝4p
4p 2－9q 2
.
小结：
(1)注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号． (2)把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式，要约分． 例2 计算： m ＋2n n －m ＋n m －n －2m
n －m
. 分析：(1)分母是否相同？(2)如何把分母化为相同的？(3)注意符号问题． 解：原式＝m ＋2n n －m －n n －m －2m
n －m
＝m ＋2n －n －2m n －m
＝n －m n －m
＝1.
四、课堂练习
1．教材第141页练习1，2题． 2．计算：(1)56ab －23ac ＋3
4abc ；
(2)12m 2－9＋23－m ； (3)a ＋2－4
2－a ；
(4)a 2－b 2ab －ab －b 2ab －ab 2
.
五、课堂小结
1．同分母分式相加减，分母不变，只需将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号．
2．对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分．
3．异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否为最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化．
4．作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式．
六、布置作业
教材第146页习题15.2第4，5题．
从直观的分数加减运算开始，先介绍同分母分式的加减运算的具体方法，通过类比的思
想方法，由数的运算引出式的运算规律，体现了数学知识间具体与抽象、从特殊到一般的内在联系．而后，利用同样的类比方法，安排学习异分母的分式加减运算，这样由简到繁、由易到难，符合学生认知的发展规律，有助于知识的层层落实与掌握．
第2课时 分式的混合运算
1．明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算． 2．能灵活运用运算律简便运算．
重点
熟练地进行分式的混合运算． 难点
熟练地进行分式的混合运算．
一、复习引入
回忆：我们已经学习了分式的哪些运算？ 1．分式的乘除运算主要是通过( )进行的，分式的加减运算主要是通过( )进行的．
2．分数的混合运算法则是( )，类似的，分式的混合运算法则是先算( )，再算( )，最后算( )，有括号的先算( )里面的．
二、探究新知 1．典型例题 例1 计算：
(x ＋2x －2＋4x 2－4x ＋4)÷x x －2. 分析：应先算括号里的． 例2 计算：
x ＋2y ＋4y 2x －2y －4x 2y
x 2－4y 2
.
分析：(1)本题应采用逐步通分的方法依次进行； (2)x ＋2y 可以看作x ＋2y
1.
例3 计算：
12x －1x ＋y ·(x ＋y 2x
－x －y)． 分析：本题可用分配律简便计算．
例4 [1（a ＋b ）2－1（a －b ）2]÷(1a ＋b －1
a －b
)．
分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分． 例5(教材例7) 计算(2a b )2·1a －b －a b ÷b
4.
解：(2a b )2·1a －b －a b ÷b
4
＝4a 2b 2·1a －b －a b ·4b
＝4a 2b 2（a －b ）－4a b 2＝4a 2b 2（a －b ）－4a （a －b ）b 2（a －b ） ＝4a 2－4a 2＋4ab b 2（a －b ）＝4ab b 2（a －b ）
＝4a
ab －b 2
. 点拨：式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减． 例6(教材例8) 计算： (1)(m ＋2＋
52－m )·2m －43－m
； (2)(x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4)÷x －4x .
解：(1)(m ＋2＋5
2－m )·2m －43－m
＝
（m ＋2）（2－m ）＋52－m ·2m －4
3－m
＝9－m 22－m ·2（m －2）
3－m ＝
（3－m ）（3＋m ）2－m ·－2（2－m ）
3－m
＝－2(m ＋3)；
(2)(x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4)÷x －4
x
＝[x ＋2x （x －2）－x －1（x －2）2]·x
x －4 ＝
（x ＋2）（x －2）－（x －1）x x （x －2）2
·x
x －4
＝x 2－4－x 2＋x
（x －2）2（x －4） ＝
1
（x －2）2
.
分式的加、减、乘、除混合运算要注意以下几点：
(1)一般按分式的运算顺序法则进行计算，但恰当地使用运算律会使运算简便．
(2)要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子，以备约分或通分时用，可避免运算烦琐．
(3)注意括号的“添”或“去”、“变大”与“变小”． (4)结果要化为最简分式．
强化练习，引导学生及时纠正在例题中出现的错误，进一步提高运算能力．
三、巩固练习 1．(1)x 2
x －1
－x －1；
(2)(1－2x ＋1)2÷x －1
x ＋1
；
(3)2ab （a －b ）（a －c ）＋2bc （a －b ）（c －a ）； (4)(1x －y ＋1x ＋y )÷xy x 2－y 2.
2．教材第142页第1，2题．
四、课堂小结
1．分式的混合运算法则是先算( )，再算( )，最后算( )，有括号先算( )里的．
2．一些题应用运算律、公式能简便运算．
五、布置作业
1．教材第146页习题15.2第6题．
2．先化简再求值1x ＋1－1x 2－1·x 2
－2x ＋1
x ＋1
，其中x ＝2－1.
分式的混合运算是分式这一章的重点和难点，涉及到因式分解和通分这两个较难的知识点，可根据学生的具体情况，适当增加例题、习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力．
15．2.3 整数指数幂
1．知道负整数指数幂a －
n ＝1a n .(a ≠0，n 是正整数)
2．掌握整数指数幂的运算性质．
3．会用科学记数法表示绝对值小于1的数．
重点
掌握整数指数幂的运算性质，会有科学记数法表示绝对值小于1的数． 难点
负整数指数幂的性质的理解和应用．
一、复习引入
1．回忆正整数指数幂的运算性质：
(1)同底数的幂的乘法：a m ·a n ＝a m ＋
n (m ，n 是正整数)； (2)幂的乘方：(a m )n ＝a mn (m ，n 是正整数)；
(3)积的乘方：(ab)n ＝a n b n (n 是正整数)；
(4)同底数的幂的除法：a m ÷a n ＝a m －
n (a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n)； (5)分式的乘方：(a b )n ＝a n
b n (n 是正整数)．
2．回忆0指数幂的规定，即当a ≠0时，a 0＝1. 二、探究新知
(一)1.计算当a ≠0时，a 3
÷a 5
＝a 3a 5＝a 3a 3·a 2＝1
a
2，再假设正整数指数幂的运算性质a m ÷a n
＝a m －
n (a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n)中的m ＞n 这个条件去掉，那么a 3÷a 5＝a 3－
5＝a －
2.于是
得到a －
2＝1a
2(a ≠0)．
总结：负整数指数幂的运算性质：
一般的，我们规定：当n 是正整数时，a －
n ＝1a n (a ≠0)．
2．练习巩固：
填空：
(1)－22＝________， (2)(－2)2＝________， (3)(－2)0＝________， (4)20＝________，
(5)2－3＝________， (5)(－2)－
3＝________． 3．例1 (教材例9) 计算：
(1)a －2
÷a 5
；(2)(b 3a
2)－2
；
(3)(a －
1b 2)3；(4)a －
2b 2·(a 2b －
2)－
3.
解：(1)a －
2÷a 5＝a
－2－5
＝a －
7＝1a
7；
(2)(b 3a 2)－2＝b －
6
a
－4＝a 4b －6
＝a 4b 6；
(3)(a －1
b 2)3＝a －3b 6
＝b 6a
3；
(4)a －2
b 2·(a 2b －2)－3＝a －2b 2·a －6b 6＝a －8b 8
＝b 8
a
8.
[分析] 本例题是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式．
4．练习：
计算：(1)(x 3y －
2)2；(2)x 2y －
2·(x －
2y)3；
(3)(3x 2y －2)2÷(x －
2y)3.
5．例2 判断下列等式是否正确？
(1)a m ÷a n ＝a m ·a －n ；(2)(a b
)n ＝a n b －
n .
[分析] 类比负数的引入使减法转化为加法，得到负指数幂的引入可以使除法转化为幂的乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来，然后再判断等式是否正确．
(二)1.用科学记数法表示值较小的数
因为0.1＝110＝10－
1；0.01＝________＝________；
0．001＝________＝________……
所以0.000 025＝2.5×0.000 01＝2.5×10－
5. 我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示
成a ×10－n
的形式，其中n 是正整数，1≤|a|＜10.
2．例3(教材例10) 纳米是非常小的长度单位，1纳米＝10－
9米，把1纳米的物体放到
乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体？(物体之间的间隙忽略不计)
[分析] 这是一个介绍纳米的应用题，是应用科学记数法表示小于1的数． 3．用科学记数法表示下列各数：
0．00 04，－0.034，0.000 000 45，0.003 009. 4．计算：
(1)(3×10－
8)×(4×103)；(2)(2×10－
3)2÷(10－
3)3. 三、课堂小结
1．引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍然成立． 2．科学记数法不仅可以表示一个值大于10的数，也可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意a 必须满足1≤|a|＜10，其中n 是正整数．
四、布置作业
教材第147页习题15.2第7，8，9题．
本节课教学的主要内容是整数指数幂，将以前所学的有关知识进行了扩充．在本节的教学设计上，教师重点挖掘学生的潜在能力，让学生在课堂上通过观察、验证、探究等活动，加深对新知识的理解．
15．3 分式方程(2课时) 第1课时 分式方程的解法
1．理解分式方程的意义．
2．理解解分式方程的基本思路和解法．
3．理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法．
重点
解分式方程的基本思路和解法． 难点
理解解分式方程时可能无解的原因．
一、复习引入
问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km /h ，它以最大航速沿江顺流航行90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？
[分析]设江水的流速为x 千米/时，根据题意，得
9030＋v ＝60
30－v
.① 方程①有何特点？
[概括]方程①中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． 提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？ 辨析：判断下列各式哪个是分式方程．
(1)x ＋y ＝5；(2)x ＋25＝2y －z 3；(3)1x ；(4)y x ＋5＝0；(5)1
x ＋2x ＝5.
根据定义可得：(1)(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程． 二、探究新知
1．思考：怎样解分式方程呢？
为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：
(1)回顾一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？ (2)有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？ [可先放手让学生自主探索，合作学习并进行总结]
方程①可以解答如下：
方程两边同乘以(30＋v)(30－v)，约去分母，得90(30－v)＝60(30＋v)． 解这个整式方程，得v ＝6.
所以江水的流度为6千米/时．
[概括]上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解．所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母．
2．例1 解方程：1x －5＝10
x 2－25
.②
解：方程两边同乘(x 2－25)，约去分母，得x ＋5＝10. 解这个整式方程，得x ＝5.事实上，当x ＝5时，原分式方程左边和右边的分母(x －5)与(x 2
－25)都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x ＝5不是分式方程的根，应当舍去，所以原分式方程无解．
解分式方程的步骤：
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根．因此，在解分式方程时必须进行检验．
3．那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母)．方程①两边乘(30＋v)(30－v)，得到整式方程，它的解v ＝6.当v ＝6时，(30＋v)(30－v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同．
方程②两边乘(x －5)(x ＋5)，得到整式方程，它的解x ＝5.当x ＝5时，(x －5)(x ＋5)＝0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解．
4．验根的方法： 解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分母)，看它的值是否为零．如果为零，即为增根．
如例1中的x ＝5，代入x 2－25＝0，可知x ＝5是原分式方程的增根．
三、举例分析 例2(教材例1) 解方程
2x －3＝3x
. 解：方程两边乘x(x －3)，得2x ＝3x －9. 解得x ＝9.
检验：当x ＝9时，x(x －3)≠0. 所以，原分式方程的解为x ＝9. 例3(教材例2) 解方程
x x －1－1＝3（x －1）（x ＋2）
. 解：方程两边乘(x －1)(x ＋2)，得 x(x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝3.
解得x ＝1.
检验：当x ＝1时，(x －1)(x ＋2)＝0，因此x ＝1不是原分式方程的解． 所以，原分式方程无解．
四、课堂小结
1．分式方程：分母中含有未知数的方程． 2．解分式方程的一般步骤如下：
五、布置作业
教材第154页习题15.3第1题．
本节课的重点是探究分式方程的解法，我首先举一道一元一次方程复习其解法，然后通过解一道分式方程，启发引导学生参照一元一次方程的解法，由学生自己探索、归纳分式方程的解法，使学生的思维得到发挥，但要提醒学生注意对增根的理解．
第2课时 分式方程的应用
1．进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程．
2．使学生能较熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解应用题．
重点
在不同的实际问题中审明题意设未知数，列分式方程，解决实际问题． 难点
在不同的实际问题中，设未知数列分式方程．
一、复习引入 1．解下列方程：
(1)3－x x ＋1＝4＋x x ＋1－2；(2)2x ＋3＋32＝72x ＋6. 2．列方程解应用题的一般步骤：
(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．
[概括] 这些解题方法与步骤，对于解分式方程应用题也适用．这节课，我们将学习列分式方程解应用题．
二、探究新知
例1 某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2 640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用了2小时输完．问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？
[分析] (1)如何设元？(2)题目中有几个相等关系？(3)怎样列方程？ 本题有两个相等关系：
(1)甲速＝2乙速 (2)甲时＋120＝乙时
其中(1)用来设，(2)用来列方程．
[概括] 列分式方程解应用题的一般步骤： (1)审清题意；
(2)设未知数(要有单位)；
(3)根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程； (4)解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；
(5)写出答案(要有单位)．
例2 A ，B 两地相距135千米，两辆汽车从A 开往B ，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5∶2，求两车的速度．
练习：(1)甲乙两人同时从A 地出发，骑自行车到B 地，已知AB 两地的距离为30 km ，甲每小时比乙多走3 km ，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走x km ，则可列方程为( )
A .30x －30x －3＝23
B .30x －30x ＋3＝23
C .30x ＋3－30x ＝23
D .30x －3－30x ＝23
(2)我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必须是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度．
例3(教材例3) 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的1
3
，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？ 分析：甲队1个月完成工程的13，设乙队单独施工1个月能完成总工程的1
x ，那么甲队半
个月完成总工程的________，乙队半个月完成总工程的________，两队半个月完成总工程的________．
本题是工程问题，注意基本公式是：工作量＝工时×工效．
等量关系为：甲、乙两个工程总量总工程量． 列方程：13＋16＋1
2x
＝1.
例4(教材例4) 某次列车平均提速v km /h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50 km ，提速前列车的平均速度为多少？
分析：这里的字母v ，s 表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km /h ，那么提速前列车行驶s km 所用时间为________h ，提速后列车的平均速度为________km /h ，提速后列车运行(s ＋50)km 所用时间为________h .
本题是列含字母系数的分式方程，解这个方程并且检验是难点，在解题过程中注意把s ，v 当作已知数．
等量关系：提速前行驶50 km 所用的时间＝提速后行驶(s ＋50) km 所用的时间．
列方程：s
x
＝错误!.
练习：教材第154页练习第1，2题． 三、课堂小结
1．列分式方程解应用题的一般步骤： (1)审：审清题意；
第15章分式单元测试卷 一、选择题（共10小题）. 1．分式有意义的条件是（） A．x≠3B．x≠9C．x≠±3D．x≠﹣3 2．关于x的分式方程＝0的解为x＝2，则常数a的值为（）A．a＝﹣1B．a＝1C．a＝2D．a＝5 3．计算（x3y2）2?，得到的结果是（） A．xy B．x7y4C．x7y D．x5y6 4．若分式的值总是正数，a的取值范围是（） A．a是正数B．a是负数C．a＞D．a＜0或a＞5．分式可变形为（） A．B．﹣C．D．﹣ 6．若分式的值等于0，则x的值为（） A．±1B．0C．﹣1D．1 7．某工程公司开挖一条500米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是（） A．B． C．D． 8．某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（）A．1600元B．1800元C．2000元D．2400元 9．甲，乙两个工程队，甲队修路300米与乙队修路400米所用的时间相等，乙队每天比甲队多修10米．若可列方程＝表示题中的等量关系，则方程中x表示（）A．甲队每天修路的长度
B．乙队每天修路的长度 C．甲队修路300米所用天数 D．乙队修路400米所用天数 10．若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程 有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．7B．8C．14D．15 二、填空题（共6小题）. 11．化简：﹣＝． 12．计算：＝． 13．计算：+＝． 14．当x＝时，分式的值为0． 15．当x时，分式无意义；当x时，分式值为零． 16．若分式的值是负数，则x的取值范围是． 三、解答题 17．解分式方程：． 18．某校庆为祝建国70周年举行“爱国读书日”活动，计划用500元购买某种爱国主义读书，现书店打八折，用500元购买的爱国主义读本比原计划多了5本，求该爱国主义读本原价多少元？ 19．某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同． （1）求A，B两种书架的单价各是多少元？ （2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A种书架？
第十五章分式 教材分析 本章的主要内容包括：分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。 全章共包括三节： 15．1分式 15．2分式的运算 15．3分式方程 其中，15．1 节引进分式的概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分。11．2节讨论分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利。11．3节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。 分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概念；相应地，分式方程是一类有理方程，解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而，分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。
借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，这在本章学习中经常使用。解分式方程时，化归思想很有用，分式方程一般要先化为整式方程再求解，并且要注意检验是必不可少的步骤。 （二）本章知识结构框图 （三）课程学习目标 本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点： 1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。 2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。 3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则。 4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系。 5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想。 （四）课时安排
分式方程 1. 对于非零的两个实数a ，b ，规定a ⊕b ＝1b －1a ，若2⊕(2x －1)＝1，则x 的值为( ) A. 56 B. 54 C. 32 D. －16 2. 货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是( ) A. 25x ＝35x －20 B. 25x －20＝35x C. 25x ＝35x ＋20 D. 25x ＋20＝35x 3. 分式方程2 x －2－1x ＝0的根是( ) A. x ＝1 B. x ＝－1 C. x ＝2 D. x ＝－2 4.方程2x x －1＝1＋1 x －1的解是( ) A. x ＝－1 B. x ＝0 C. x ＝1 D. x ＝2 5. 解方程：①：1 x －1－3x 2－1＝0. ②：2x －3＋2＝x －2 x －3. ③已知关于x 的分式方程1＋2－mx 3－x ＝2x －3 x －3无解，求m 的值． 6把分式方程2x ＋4＝1x 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘( ) A. x B. 2x C. x ＋4 D. x(x ＋4) 7分式方程3x ＋2＝1x 的解为________． 8解方程：4x x －2－1＝3 2－x ，则方程的解是________． 9阅读思考题． 解方程：2x x 2－1＝3x ＋1 x 2－1. 解：方程两边都乘x 2－1，得2x ＝3x ＋1 解这个方程，得x ＝－1. 所以x ＝－1是方程的根． 上面解题过程是否有错误？若有错误，请指出来，并改正．
九年级数学 分式 辅导讲义 教学内容 分式和分式的性质； 分式的运算； 分式方程及分式方程的运用； 教学目标 1.了解分式的意义及分式的基本性质； 2.会利用分式的基本性质进行约分和通分； 3.会进行简单的分式加、减、乘、除运算； 4.会解可化为一元一次方程的分式方程； 5.能够根据具体问题中的数量关系，用可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题； 教学重点 分式概念和性质；分式的运算； 教学难点 分式方程的应用； 教学过程 知识详解 【知识点 1】分式的概念： 1、 分式的定义：一般地，如果A 、B 表示两个_____________，并且___________中含有字母，那么代数式 __________叫做分式。 2、分式有意义的条件：____________________； 3、分式为0的条件：______________________； 【例】1、下列各式：π 8,11,5,21,7,322x x y x b a a -++中，分式有_______________ 2、一件工作，甲单独做a 小时完成，乙单独做b 小时完成，则甲、乙合作 小时完成 3、若分式1 12+-x x 的值为0，则x 的取值为_________________ 4、当x 时，分式3 1-+x x 有意义，当x 时，分式32-x x 无意义。 【知识点 2】分式的基本性质： 1、分式的基本性质：分式的__________________都乘以（或除以）_______________________, 分式的值____________ 用式子表示就是：A A M =B B （ ）,A A =B B ÷÷（ ）（ ） (其中，M 是___________________) 2、分式的约分：根据_____________，把分式的_____________分别______它们的___________，叫做分式的约分。 通常把分式约成_____________； 3、分式的通分：同分母的分式通分：___________________________________. 异分母的分式通分：___________________________________.
第十五章 分式 15．1分式 15.1.1从分数到分式 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 重点难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 一、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：，，，. 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间小时， 所以=. 3. 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 二、例题讲解 P128例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 三、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, , , , ， 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 四、布置作业 课本P133习题15.1第1、2、3题 7 10a s 33 200s v v +20100v -2060v +20100v -2060v +20100v -2060a s s v x 7209y +54-m 238y y -91-x 1-m m 3 2 +-m m 112+-m m 4522--x x x x 235-+2 3+x x x 57+x x 3217-x x x --2 21
第15章检测题 (时间：120分钟 满分：120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．使分式x －32x －1 有意义的x 的取值范围是( ) A ．x≥12 B ．x≤12 C ．x ＞12 D ．x≠12 2．下列分式运算中，结果正确的是( ) A ．a －3b 2÷a －2b 2＝1a B ．(－3x 4y )4＝－3x 4 －4y 3 C ．(2a a ＋c )2＝a 2c 2 D .b a ＋d c ＝bd ac 3．化简xy －2y x 2－4x ＋4 的结果是( ) A .x x ＋2 B .x x －2 C .y x ＋2 D .y x －2 4．已知a ＝2－2，b ＝(3－1)0，c ＝(－1)3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a 5．花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克，已知1克＝1000毫克，那么0.000037毫克可以用科学记数法表示为( ) A ．3.7×10－8克 B ．3.7×10－7克 C ．3.7×10－6克 D ．3.7×10－5克 6．化简(1－2x ＋1)÷1x 2－1 的结果是( ) A ．(x ＋1)2 B ．(x －1)2 C .1（x ＋1）2 D .1（x －1）2 7．分式方程1x －1－2x ＋1＝4x 2－1 的解是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝－1 C ．x ＝±1 D ．无解 8．若分式2x －1 与1互为相反数，则x 的值为( ) A ．－2 B ．1 C ．－1 D ．2 9．(·北海)北海到南宁的铁路长210千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，这样由北海到南宁的行驶时间缩短了1.5小时，设原来火车的平均速度为x 千米/时，则下列方程正确的是 ( )
第十五章分式 本章的内容包括：分式、分式的运算、分式方程． 本章我们将类比分数学习分式，解一些分式方程，并学会解能化为一元一次方程的分式方程及利用分式的知识解决一些实际问题．在中考中，本章重点在考查分式有意义的条件、分式的化简与求值、分式方程及其应用． 【本章重点】 利用分式的基本性质进行约分和通分、分式的混合运算及列分式方程解决实际问题．【本章难点】 分式的混合运算及列分式方程解决实际问题． 【本章思想方法】 1．掌握类比思想．如：类比分数的概念及性质理解分式的概念及性质，类比分数的运算法则理解分式的运算法则．
2．掌握转化思想．如：把除法转化为乘法，把异分母分式加减法转化为同分母分式加减法，把分式方程转化为整式方程． 3．体会数学建模思想．如：在利用分式方程解决实际问题时，需根据实际问题建立数学模型，从而列出分式方程求解． 15．1分式2课时 15．2分式的运算5课时 15．3分式方程2课时
15．1分式 15．1.1从分数到分式(第1课时) 一、基本目标 【知识与技能】 1．理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式． 2．能够确定一个分式有意义、无意义的条件． 3．能用分式表示现实情境中的数量关系． 【过程与方法】 经历类比、探究的过程，理解分式的概念和分式有意义的条件，在此基础上，利用分式有意义的条件求分式中未知数的值． 【情感态度与价值观】 类比分数的概念理解分式的概念，养成类比思考的习惯，探究分式有意义的条件，形成缜密的思维方式． 二、重难点目标 【教学重点】 分式的概念及分式有意义、无意义的条件． 【教学难点】 利用分式有意义的条件求未知数的值．
15.3 分式方程 第1课时分式方程及其解法 【知识与技能】 1.理解分式方程的意义； 2.掌握解分式方程的基本思路和解法； 3.理解解分式方程可能无解的原因,掌握解分式方程的验根方法. 【过程与方法】 通过探索实际问题中的数量关系,体会分式方程的模型作用,在经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题,解决问题的能力,渗透转化的数学思想,培养学生的应用意识. 【情感态度】 在活动中培养学生乐于探索、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值. 【教学重点】 解分式方程的基本思路和解法. 【教学难点】 理解解分式方程可能无解的原因,及增根的含义. 一、情境导入,初步认识 问题一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少？ 【教学说明】让学生求出江水流速为v千米/时后,自主探究,获得方程.然后师生共同评析.教师讲课前,先让学生完成“自主预习”. 思考 (1)方程 9060 3030 v v = +- 与以往学过的方程有什么不同之处？ （2）什么叫分式方程？分式方程的特征是什么？ （3）怎样解分式方程 9060 3030 v v = +- 呢？ 【教学说明】教师提出问题后,学生自主探究,相互交流,得出相应结论.教师应关注学生的参与情况及解决问题的情形,适时予以点拨,最后师生共同评析. 二、思考探究,获取新知 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
解分式方程的基本思路是将分式方程运用去分母的方法化成为整式方程. 如：解方程90603030v v =+-. 解：在方程两边乘的最简公分母(30+v)（30-v ）,得 90(30-v)=60（30+v ）. 解得v=6. 检验：将v=6代入方程,左边=5/2=右边,所以v=6是原分式方程的解. 试一试 解方程2110525 x x =-- . 思考 上面两个分式方程中,为什么 90603030v v =+-去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解,而2110525 x x =--去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 【教学说明】教师提出问题后,学生先独立解决问题,然后在小组中提出自己的看法并讨论.在学生讨论时,教师可参与交流,鼓励学生勇于探索、实践,解释产生这一现象的原因,并让学生明白解分式方程时一定要验根. 【归纳结论】 一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此；解分式方程时必须检验.检验方法可以如下：将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；如果使最简公分母为0,则整式方程的解不是原分式方程的解,它是原分式方程增根,原分式方程无解. 三、典例精析,掌握新知 例1解方程233x x =- . 解：方程两边同乘以x(x-3),得 2x=3(x-3). 解得x=9. 检验：x=9时,x(x-3)=54≠0,∴x=9是原分式方程的解. 例2解方程() 31112x x x x -=--+（） . 解：方程两边同乘以（x-1）(x+2),得 x （x+2）-（x-1）(x+2)=3 化简,得x+2=3. 解得x=1.
分式方程（1） 【学习目标】 1．了解分式方程的概念, 和产生无解的原因。 2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解。 【重点】会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解。 【自主学习】 1、预习内容：自学教材第149页 2、预习检测： 1） 中含有 的方程叫做分式方程。 2）你能再写出几个分式方程吗？ 3）下列式子中，属于分式方程的是 ，属于整式方程的是 。 ①1213=-+x x ②21412x x -=- ③12312=+x x ④51≥x 【合作探究】 探究点一 类比学习探究分式方程的解法 1、解下列方程： （1）415-=x x （2）1 45-=x x ； 解：去分母(各项乘以公分母 ) 解:去分母(各项乘以最简 公分母________ _) ?-=?415 x x 约分得:()()54?=? 约分得：()()x x ?=-?)1( 去括号： 去括号： 移项： 移项： 合并同类项： 合并同类项： 系数化为1： 归纳：解分式方程的思路是将分式方程转化成 ，基本的方法是 (一般是方程两边同乘 ）。且解分式方程必须 。 例1解方程 x x 332=- 例2解方程2)(1(311+-=--x x x x ?-=?145x x
2、解分式方程 1223x x =+ 2510512-=-x x 22411x x =-- 21133x x x x =+++ 例3、若关于x 的方程 021 1=--+x ax 无解，求a 的值 3、课后作业 1、=a 时，关于x 的方程 53221+-=-+a a x x 的解为零； 2、若关于x 的方程 3232-+=--x m x x 无解，则m 的值为 。 3、若代数式11 2--x 的值为零，则=x 4、若11-x 与1 2+x 互为相反数，则可得方程 ，解得=x 5、解方程： （1）1332+=-a a （2）88122-=--m m m （3） 22510x x x x -=+-
人教版 八年级数学 第15章 分式 同步训练 一、选择题 1. 计算(－2a b2 )3的结果是( ) A.2a6b2 B ．－8a3b2 C.8a3b6 D ．－8a3b6 2. 把分式方程2 x ＋4 ＝1x 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘( ) A ．x B ．2x C ．x ＋4 D ．x (x ＋4) 3. 下列各式中是最简分式的是 ( ) A . B . C . D . 4. 下列分式中，最简分式是 ( ) A . B . C . D . 5. 将分式3a a2－b2 通分后分母变成2(a －b)2(a ＋b)，那么分子应变为( ) A ．6a(a －b)2(a ＋b) B ．2(a －b) C ．6a(a －b) D ．6a(a ＋b)
6. 若把分式3xy x－y (x，y均不为0)中的x和y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值() A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的1 3 C．不变D．扩大为原来的6倍 7. 把通分后，各分式的分子之和为() A.2a2+7a+11 B.a2+8a+10 C.2a2+4a+4 D.4a2+11a+13 8. A，B两地相距m米，通信员原计划用t小时从A地到达B地，现因有事需提前n小时到达，则每小时应多走() A.米 B.米 C.米 D.米 9. 关于x的方程+=0可能产生的增根是() A.x=1 B.x=2 C.x=1或x=2 D.x=-1或x=2 10. 若m+n-p=0，则m-+n--p+的值是. 二、填空题 11. 当x＝________时，分式x－2 2x＋5的值为0.
12. 若a＝2b≠0，则a2－b2 a2－ab的值为________． 13. 若式子1 x－2和 3 2x＋1 的值相等，则x＝________． 14. 分式方程的解是． 15. 约分：a2＋2ab a2b＋2ab2 ＝________． 16. 请你写出一个分母是二项式且能约分的分式:. 17. 拓广应用已知关于x的分式方程k x＋1＋ x＋k x－1 ＝1的解为负数，则k的取值范围 是________________． 三、解答题 18. 如图①，“惠民一号”玉米试验田是半径为R m(R>1)的圆去掉宽为1 m的出水沟剩下的部分；如图②，“惠民二号”玉米试验田是半径为R m的圆中间去掉半径为1 m的圆剩下的部分，两块试验田的玉米都收了450 kg. (1)哪块试验田的玉米的单位面积产量高？ (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
人教八年级数学上册第15章分式同步练习及（含答案） 15.1.1 从分数到分式 一﹨选择题 1． 下列各式①3x ，②5x y +，③12a -，④2x π-（此处π为常数）中，是分式的有（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 2． 分式21x a x +-中，当x a =-时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零 B ．分式无意义 C ．若12a ≠-时，分式的值为零 D ．若12 a =-时，分式的值为零 3． 下列各式中，可能取值为零的是（ ） A ．2211m m +- B ．211m m -+ C ．211m m +- D ．211 m m ++ 4． 使分式21 a a -无意义，a 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 5. 下列各式中，无论x 取何，分式都有意义的是（ ） A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2 221 x x + 6. 使分式||1 x x -无意义，x 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．±1 7.下列各式是分式的是 （ ） A ．9x+4 B.x 7 C.209y + D. 5 x y + 8. 下列各式中当x 为0时，分式的值为0的是 （ ） A. B. C. D. x 7 二﹨填空题 9．________________________统称为整式． x x 57+x x 3217-x x x --221
10.甲种水果每千克价格a 元，乙种水果每千克价格b 元，取甲种水果m 千克，乙种水果n 千克，混合后，平均每千克价格是_________． 11.下列各式a π，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0?中，是分式的有___________；是整式的有___________；是有理式的有_________． 12． 梯形的面积为S ，上底长为m ，下底长为n ，则梯形的高写成分式 为 ． 13． 下列各式11x +，1()5x y +，22 a b a b --，23x -，0?中，是分式的有______ _____；是整式的有___ ______． 14． 当x =_______ ___时，分式 x x 2121-+无意义；当x =______ ____时，分式2134 x x +-无意义． 15． 当x =____ __时，分式3 92--x x 的值为零；当x =______ ____时，分式2212 x x x -+-的值为零. 16． 当x =___ ___时，分式 436x x +-的值为1；当x ___ ____时，分式271 x -+的值为负数． 17. 当x 时，分式2132x x ++有意义；当x 时，分式2 323 x x +-有意义. 18. 当x_______时，分式 15x -+的值为正；当x______时，分式241 x -+的值为负． 19．若把x 克食盐溶入b 克水中，从其中取出m 克食盐溶液，其中含纯盐________． 20．李丽从家到学校的路程为s ，无风时她以平均a 米/?秒的速度骑车，便能按时到达，当风速为b 米/秒时，她若顶风按时到校，请用代数式表示她必须提前_______出发． 21．永信瓶盖厂加工一批瓶盖，甲组与乙组合作需要a 天完成，若甲组单独完成需要b 天，乙组单独完成需_______天． 三﹨解答题 22．已知234x y x -=-，x 取哪些值时： （1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数；（3）y 的值是零；（4）分式无意义．
第十五章 分式 15.1 分式 15.1.1 从分式到分式 1、一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 2、与分式有关的条件 （1）分式有意义：分母不为0（0B ≠） （2）分式无意义：分母为0（0B =） （3）分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） （4）分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或? ??<<00B A ） （5）分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或???><0 0B A ） （6）分式值为1：分子分母值相等（A=B ） （7）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 例1．若24 x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞4 B ．x≠4 C ．x≥4 D ．x ＜4 【答案】B ． 【解析】 试题解析：由题意得，x-4≠0， 解得，x≠4， 故选B ． 考点：分式有意义的条件． 考点：分式的基本性质． 例2．要使分式1(1)(2) x x x ++-有意义，则x 应满足 （ ） A ．x≠-1 B ．x≠2 C ．x≠±1 D ．x≠-1且x≠2 【答案】D ． 【解析】 试题分析：∵（x+1）（x ﹣2）≠0，∴x+1≠0且x ﹣2≠0，∴x≠﹣1且x≠2．故选D ． 考点：分式有意义的条件．
例3．下列各式：，，，，中，是分式的共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C ． 【解析】 试题分析：，，中分母中含有字母，因此是分式．故分式有3个．故选C ． 考点：分式的定义． 例4．当x= 时，分式0． 【答案】1 【解析】 试题分析：由题意得：210x -=，且x+1≠0，解得：x=1，故答案为：1． 考点：分式的值为零的条件． 15.1.2 分式的基本性质 1、分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：A A B C B C ?=?，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 例1 x 、y 都扩大到原来的10倍，则分式的值（ ） A ．扩大100倍 B ．扩大10倍 C ．不变 D 【答案】C ． 【解析】 x 、y 都扩大到原来的10 故选C ． 2b a -x x 3+πy +5b a b a -+)(1y x m -x x 3+b a b a -+)(1y x m -
16.3.1 分式方程 同步测试 ◆知能点分类训练 知能点1 分式方程 1．下列方程中分式方程有（ ）个． 2D 34 （3）22122563 x x x x x x x --=--+-。
5．解下列分式方程: 6 7．解下列关于x 的方程: （1）1(1);(2) 1 a m n b b x a x x +=≠- -+=0（m ≠0）．
8．解方程：2155 ()14x x x x ---= ． 9 11．a 为何值时，关于x 的方程223 242 ax x x x += --+会产生错误？
12．已知分式方程21 x a x +-=1的解为非负数，求a 的取值范围． ， ， ． （3）根据上面的规律，可将关于x 的方程2221 111 x x a x a -+=-+--变形为_______，方程的解是_________，?解决这个问题的数学思想是_________． ◆中考真题实战
14．解方程：31144x x x --=--; 15．解方程：54 1x x -+=0． 14．解：（1）方程两边同乘以x-2，得2x=x-2， 解得x=-2．经检验，x=-2是原方程的解． （2）方程两边同乘以x （x+1），得（x+1）2+5x 2=6x （x+1），即x 2+2x+1+5x 2=6x 2+6x ， 解得x=1 4．经检验，x=14 是原方程的解．
（3）方程两边同乘以（x-2）（x-3）， 得x（x-3）-（1-x2）=2x（x-2）， 解得x=1．经检验，x=1是原方程的解． 5．解：（1）方程两边同乘以（x-1）（x+1），得 （x+1）2-4=x2-1，化简得2x-2=0，∴x=1． 6 ） ∴原方程的解为x=7． =1-b， 7．解：（1）移项：a - x a 去分母：a=（1-b）（x-a）， 去括号：a=（1-b）x-a（1-b），
第十五章分式 §15.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1.了解分式概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、教学过程 （一）让学生填写[思考]，学生自己依次填出：，，，. （二）问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间 小时，所以=. （三） 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什 么相同点和不同点？ 可以发现，这些式子都像分数一样都是 （即A ÷B ）的形式.分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A 、B 都是整式，并且B 中都含有字母. [思考]引发学生思考分式的分母应满足什么条件，分式才有意义？由分数的分母不能为零，用类比的方法归纳出：分式的分母也不能为零.注意只有满足了分 式的分母不能为零这个条件，分式才有意义.即当B ≠0时，分式 才有意义. （四）例题讲解 例1. 当x 为何值时，分式 有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x 的取值范围. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. （五）随堂练习 1.判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, , , , ， 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 7 10a s 33 200s v v +20100v -2060v +20100v -2060v +20100v -2060a s s v B A x 720 9y +5 4-m 2 38y y -9 1-x 1 -m m 32+-m m 112+-m m 4 5 22--x x x x 235-+2 3+x 2 31 2-+x x
人教版 八年级数学 第15章 分式 课时训练 一、选择题 1. 分式2x2－4与x 4－2x 的最简公分母是( ) A ．(x2－4)(4－2x) B ．(x ＋2)(x －2) C ．－2(x ＋2)(x －2)2 D ．2(x ＋2)(x －2) 2. (2020·成都)已知x ＝2是分式方程 1的解，那么实数k 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3. （2020·福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 4. （2020·牡丹江）若关于x 的分式方程有正整数解，则整数m 的值是（ ） A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 3或4 5. 若关于x 的方程x ＋m x －3＋3m 3－x ＝3的解为正数，则m 的取值范围是( ) A. m <92 B. m <92且m ≠32
C. m>－9 4 D. m>－ 9 4且m≠－ 3 4 6. （2020·长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得··············································································（） A．B．C．D． 7. 若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是 () A.B.C.D. 8. 把分式中的x，y的值都扩大为原来的2倍，则分式的值() A.不变 B.扩大为原来的2倍 C.扩大为原来的4倍 D.缩小为原来的 二、填空题 9. 计算(－b 2a) 3的结果是________． 10. （2020·郴州）若分式的值不存在，则． 11. 分式方程5 y－2＝ 3 y的解为________．
八年级数学上册第十五章分式15.3分式方程教案（新版）新人教版 教学目标： 1．了解分式方程的概念和产生增根的原因. 2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 重点难点 1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 教学过程 一、例、习题的意图分析 1．P149思考提出问题，引发学生的思考，从而引出解分式方程的解法以及产生增根的原因. 2．P149的归纳明确地总结了解分式方程的基本思路和做法. 3．P150思考提出问题，为什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的解，引出分析产生增根的原因，及P151的归纳出检验增根的方法. 4．P150思考归纳出检验增根的方法的理论根据是什么？ 5．教材P154习题第2题是含有字母系数的分式方程，对于学有余力的学生，教师可以点拨一下解题的思路与解数字系数的方程相似，只是在系数化1时，要考虑字母系数不为0,才能除以这个系数. 这种方程的解必须验根. 二、课堂引入 1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程163242=--+x x . 2．提出本章引言的问题： 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程v v -=+206020100. 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 三、例题讲解 （P151）例1.解方程x x 332=-. [分析]找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化为整式方程，整式方程的解
人教版数学第15章 分式 15.1 分式概念 (一)基础测评 一、选择题： 1．在代数式3 ,252,43,3,2,1,32222x x x x x xy x x -++中，分式共有 ( )． (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 2．下列变形从左到右一定正确的是 ( )． (A)22--=b a b a (B)bc ac b a = (C)b a bx ax = (D)22b a b a = 3．把分式y x x +2中的x 、y 都扩大3倍，则分式的值 ( )． (A)扩大3倍 (B)扩大6倍 (C)缩小3倍 (D)不变 4．下列各式中，正确的是 ( )． (A)y x y x y x y x +-=--+- (B)y x y x y x y x ---= --+- (C) y x y x y x y x -+= --+- (D) y x y x y x y x ++-= --+- 5．若分式2 2 2---x x x 的值为零，则x 的值为 ( )． (A)－1 (B)1 (C)2 (D)2或－1 二、填空题： 6．当x ________时，分式1 21 -+x x 有意义． 7．当x ________时，分式 1 22 +-x 的值为正． 8．若分式1 ||2--x x x 的值约为0，则x 的值为________． 9．分式2 211 2m m m -+-约分的结果是________． 10．若x 2－12y 2＝xy ，且xy ＞0，则分式y x y x -+23的值为________． 11．填上适当的代数式，使等式成立： (1) ;) (22 222b a b a b ab a +=--+ (2) ;2122)(2x x x x --=- (3)a b b a b a -=-+ )(11 (4) ?=) (22xy xy
第十五章 分式 15．1.1 从分数到分式 1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念． 2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件． 重点:理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件． 难点:能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件． 一、复习引入 1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？ 2．判断下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？ ①8m ＋n 3；②1＋x ＋y 2；③a 2 b ＋ab 2 3；④a ＋b 2；⑤2x 2＋2x ＋1；⑥3a 2＋b 2；⑦3x 2 －42x . 二、探究新知 1．分式的定义 (1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时． 轮船顺流航行90千米所用的时间为9030＋v 小时，逆流航行60千米所用时间为6030－v 小时，所以9030＋v ＝ 60 30－v . (2)学生完成教材第127页“思考”中的题． 观察：以上的式子9030＋v ，6030－v ，S a ，V s ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 可以发现，这些式子都像分数一样都是A B (即A÷B)的形式．分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式 子中的A ，B 都是整式，并且B 中都含有字母． 归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 巩固练习：教材第129页练习第2题． 2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？
初中数学人教版八年级上册实用资料 第十五章 分式 15．1 分 式 15．1.1 从分数到分式 1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念． 2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件． 重点 理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件． 难点 能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件． 一、复习引入 1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？ 2．判断下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？ ①8m ＋n 3；②1＋x ＋y 2；③a 2b ＋ab 23；④a ＋b 2；⑤2x 2＋2x ＋1；⑥3a 2＋b 2；⑦3x 2－42x . 二、探究新知 1．分式的定义 (1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时． 轮船顺流航行90千米所用的时间为9030＋v 小时，逆流航行60千米所用时间为60 30－v 小时， 所以9030＋v ＝60 30－v . (2)学生完成教材第127页“思考”中的题． 观察：以上的式子9030＋v ，6030－v ，S a ，V s ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 可以发现，这些式子都像分数一样都是A B (即A÷B)的形式．分数的分子A 与分母B 都是 整数，而这些式子中的A ，B 都是整式，并且B 中都含有字母． 归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 巩固练习：教材第129页练习第2题． 2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？ 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B 才有意义．