第十五章分式
15.1.1 从分数到分式
教学目标: 1．了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系．2．能确定分式有意义的条件．
教学重、难点: 分式的概念
教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
章引言:
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？
问题1 顺流航行的速度、逆流航行的速度与轮船
在静水中的速度、水流速度之间有什么关系？
问题2 这个问题的等量关系是什么？
顺流航行90 km所用时间=逆流航行60 km所用时间．
问题3 应怎样设未知数？如何根据等量关系列出方程？
解：设江水的流速为v km/h.
依题意得：
追问式子与分数有什么相同点和不同点？它们与你学过的整式有什么不
同？
问题4 填空：
（1）长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应为 cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为 cm.
（2）把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中，水面高度为cm；把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为 .
追问1 上面问题中得到的式子，，，哪些不是我们学过的整式？
追问2 式子，，与以前学过的整式不同，这些代数式有什么共同
的特征？
二、知识应用，巩固提高
分式的定义：
一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式（fraction）.分式中，A 叫做分子，B 叫做分母.
识别分式
例题：下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？
x 1，3x ，5342+b ，352-a ，2
2y x x -，n
m n
m +-， 121222+-++x x x x ，()b a c -÷ 练习：下列式子：b a 23-，
1
12
++x x ，3b a +，x 7，()b a +÷6中，分式的个数是（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
分式有意义的条件
①当x 时，分式
x 32
有意义； ②当x 时，分式1-x x
有意义；
③当x 时，分式x
351
-有意义；
④当x 、y 满足关系 时，分式
y
x y
x -+有意义. 练习：下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？ ①
a 2 ②11-+x x ③232+m m ④y x -1 ⑤1
2
2-x
一．选择题：
1．下列各式中，是分式的是（ ） A ．132
-+x x B ．
32-x C ．132--x x D ．()124
1
-x 2．把c b a ÷+写成分式的形式，正确的是（ ）
A ．
c b a + B ．c b a + C ．c b c a + D ．c
b a
+ 3．原计划m 天制造80件产品，现需要提前1天完成，则实际每天生产的件数为（ ）
A ．n m -80
B ．n m +80
C ．m
n -80
D ．n m 80-
4．下列各式：()x -151，34-πx ，222y x -，x 1，1
5+x x
，其中分式的个数为（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
5．分式
1
2
+x x
有意义，则x 的取值范围为（ ） A ．1≠x B ．1-≠x C ．1≠x 或1-≠x D ．全体实数 二．填空题：
6．请你写出一个含有字母a 和b 得分式： .
7．甲、乙两地相距150千米，某人骑车从甲地到乙地需a 小时，现需提前1小时到达，则
骑车的速度每小时应为 千米.
8．若分式
16
2-x x
有意义，则x 的取值范围为 .
三．题型拓展：分式的值
1．分式的值为0：对于
B
A
来说，0=A 且0≠B ⑴若分式1
4
2+-x x 的值为0， ⑵若分式11+-x x 的值为0， ⑶若分式242+-x x 的
值为0，
求x 的值. 求x 的值. 求x 的值.
2．分式的值为正数：???>>00B A 或???<<00B A ；分式的值为负数：???<>00B A 或???><0
B A
练习⑴若分式
9322-+a a 的值为正数， ⑵若分式5
21-+x x 的值为非正数，
求a 的取值范围. 求x 的取值范围
15.1.2 分式的基本性质
教学目标
1．了解分式的基本性质，体会类比的思想方法．
2．掌握分式的约分，了解最简分式的概念．
教学重、难点
分式的基本性质和分式的约分
教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
问题1 下列分数是否相等？
分数的基本性质：
一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变．
分式的基本性质：
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．
二、知识应用，巩固提高
（1）分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算；（2）所乘（或除以）的必须是同一个整式；（3）所乘（或除以）的整式应该不等于零.
例1 填空：
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．
例3 约分:
练习：约分：⑴ac bc
2 ⑵()2
xy y y x + ⑶()22y x xy x ++ ⑷()
222y x y x --
四．专题练习：
1．确定分式的符号：⑴
2
255x
y -- ⑵b a 2- ⑶n m
34- ⑷y x 2-- 2．相反数的互换：⑴()()a a -=-2____2 ⑵()()2____2+=--a a
练习：约分：⑴4
22--a a
⑵a a a 3922--- ⑶2
2497m m m --
⑷9
6922
+--a a a
15.1.2 分式的基本性质
教学目标1．了解最简公分母的概念，会确定最简公分母. 2．通过类比分数的通分来探索分式的通分，能进行分式的通分，体会数式通性和类比的思想.
教学重、难点准确确定分式的最简公分母
教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
问题1 填空：
像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
最简公分母的确定方法：取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的乘积．
分母是多项式时，最简公分母的确定方法是：先因式分解，再将每一个因式看成一个整体，最后确定最简公分母．
二、知识应用，巩固提高
例通分：
15.2.1 分式的乘除
教学目标:1．理解分式的乘除法法则，体会类比的思想. 2．会根据分式的乘除法法则进行简单的运算，并理解其算理
教学重、难点: 分式的乘除法法则的运用
教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
计算：
二、知识应用，巩固提高
式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积为积的分母.
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
例1 计算：
分子与分母都是单项式的两个分式如何乘除？
二、知识应用，巩固提高
例1 计算：
分子或分母是多项式的两个分式如何乘除呢？
解题策略：对于分子与分母都是单项式的两个分式乘除，可直接利用分式的乘除法法则，再根据分式的基本性质进行约分，将最后的结果化成最简分式．而对于分子或分母中含有多项式的两个分式相乘，为了使算式简洁，也便于找出分子与分母中的公因式，需要先将多项式因式分解，把多项式化成整式的积的形式，然后利用分式的乘除法法则进行运算，利用分式的基本性质进行约分，并把最后的结果化成最简分式．
总结步骤：⑴确定符号；⑵除法转化为乘法；⑶因式分解；⑷运用乘法法则计算；⑸约分为最简分式
练习：计算：⑴
291643a b b a ? ⑵2
25432ab
xy y x ab -?- ⑶y x a xy 2
8512÷ ⑷???
? ?
?-÷x
y xy 3232
2：计算：⑴411244222--?+-+-a a a a a a ⑵m
m m 71
4912
2-÷-
练习：1．计算：⑴2232251033b a b a ab b a -?- ⑵x x
x x x 1
2442
2÷-+-
⑶x
x x x x x +-÷-+-2221
112 ⑷xy x y x y xy x y x 2222422222++÷++-
2．化简求值：⑴2
2112122-?++-x x x x 其中21
-=x ⑵
x xy x y xy x 12222÷+++其中2=x ，1-=y
15.2.1 分式的乘方
教学目标 1.理解分式乘方的运算法则，能根据法则进行乘方运算，体会数式通性.2.能根据混合运算法则进行分式乘除、乘方混合运算.
教学重、难点 分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
思考 你能结合有理数乘方的概念和分式乘法的法则写出结果吗？
2310===a a a b b b （
）？ （）？ （）？
猜想：n 为正整数时=??
?
??n
b a ? 你能写出推导过程吗？试试看．
你能用文字语言叙述得到的结论吗？分式的乘方法则：一般地，当n 是正整数时，
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方． 二、知识应用，巩固提高 例2 计算：
例3 计算：
计算：（1）2
232???? ??-c b a （2）2
33
3222???
???÷???
? ??-a c d a cd b a
（3）32
432???
? ?
?-z
y x （4）3
2342
23362??? ??-?÷???? ??-b c b a d c ab
15.2.2分式的加减
教学目标1．理解分式的加减法法则，体会类比思想． 2．会运用法则进行分式的加减运算，体会化归思想．
教学重、难点 分式的加减法法则 教学过程设计
分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相同．观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？
分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
二、知识应用，巩固提高 例 计算：
11
22323++-p q p q （）．
练习：⑴x
x x 11-+ ⑵13121+-
+++b a
b a b a
⑶
2
231
21cd d c + ⑷()
22223n m n m n m -+--
⑸b a b
a a ++-12
2 ⑹11
1+-n n
⑺若b a >，请你探究
a 1与b
1
的大小关系
15.2.2分式的混合运算
教学目标 1．理解分式混合运算的顺序．2．会正确进行分式的混合运算．
3．体会类比方法在研究分式混合运算过程中的重要价值．
教学重、难点 分式的混合运算． 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
问题 数的混合运算的顺序是什么． 例1 计算：
对于不带括号的分式混合运算：（1）运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减； （2）计算结果要化为最简分式． 二、知识应用，巩固提高
例2 计算：
2252412232142244-++--+-----+m m m m x x x x x x x x ??? ???
??÷ ???（） ；（） ．
对于带括号的分式混合运算：（1）将各分式的分子、分母分解因式后，再进行计算； （2）注意处理好每一步运算中遇到的符号；（3）计算结果要化为最简分式． 三、应用提高、拓展创新 练习1 计算：
练习：1．??? ??+-÷??? ?
?
++111111x x 2．
1221212222+--÷---+a a a a a a a
3．??
? ??+---÷--11211222x x x x x x 4．12631912
-+÷---x x
x x
5.4
122
b b a b a b a ÷--?
???
??
练习：1．x y y x x y y x 22
2
222÷-????
? ?? 2．??? ??+---??? ??+?+1111
1212
x x x x x x
15.2.3 整数指数幂
教学目标 1．了解负整数指数幂的意义．2．了解整数指数幂的性质并能运用它进行计算．
3．会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1 的正数．
教学重、难点 幂的性质（指数为全体整数），并会用于计算，以及用科学记数法表示一些小于1的正数． 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
问题1 a m 中指数m 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂a m
表示什么？
（1）根据分式的约分，当 a ≠0 时，如何计算53a a ÷？ （2）如果把正整数指数幂的运算性质（a ≠0，m ，n 是正整数，m >n ）
中的条件m >n 去掉，即假设这个性质对于像53
a a
÷情形也能使用， 如何计算？
数学中规定： 当n 是正整数时，()01
≠=
-a a
a
n
这就是说，()0≠-a a n 是a n 的倒数．
归纳：
（1）m n m n a a a +?= （m ，n 是整数）； （2）
m n
mn a a =（） （m ，n 是整数）；
（3）n
n n
ab a b =（） （n 是整数）；（4）m n m n
a a a -÷=（m ，n 是整数）；
（5）n n
n
b
a b a =?
??
? ??（n 是整数）
． 二、知识应用，巩固提高 例1 计算：
填空：⑴ =23 ；=03 ；=-2
3
.
⑵ ()2
3-= ；()0
3-= ；()2
3--= . ⑶=2
b ；=0
b ；=-2
b .()0≠b
2．计算：
⑴()
3
132y x y x -- ⑵()()3
2
2
322b a c ab ---÷
⑶()
2
2
223---?ab b a ⑷()1
2
2
24---÷yz
x z xy
探索：
4
3
2
110100001
0001.0101000
1
001.0101001
01.010101
0.1----========
归纳：
如何用科学记数法表示0.003 5和0.000 098 2呢？规律：
对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几．
例2 用科学记数法表示下列各数：
（1）0.3；（2）-0.000 78；（3）0.000 020 09.
例3 纳米（nm ）是非常小的长度单位，1 nm =10-9 m ．把1 nm 3
的物体放到乒乓球上，就
如同把乒乓球放到地球上．1 mm 3 的空间可以放多少个1 nm 3
的物体（物体之间的间隙忽略不计）？
练习
1：用科学记数法表示下列各数
⑴0.000001= ；⑵0.0012= ； ⑶0.000000345= ；⑷000108.0-= 计算
⑴(
)()4
2
6103102--??? ⑵()()
2
33
510103---÷?
15.3 分式方程
教学目标 1．了解分式方程的概念．2．会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想．3．了解解分式方程根需要进行检验的原因．
教学重、难点 利用去分母的方法解分式方程 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
问题1 为了解决引言中的问题，我们得到了方程v
v -=
+3060
3090． 那么如何解这个方程
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 二、知识应用，巩固提高 问题4 解分式方程：
2110
525=.--x x
追问1 你得到的解5=x 是分式方程
25
10
512
-=-x x 的解吗？该如何验证呢？5=x 是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．
追问2 上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么
整式方程90306030-=+v v （）（）的解6=v 是分式方程
v
v -=
+3060
3090的解，而整式方程510+=x 的解5=x 却不是分式方程
25
10
512
-=-x x 的解？ 原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0． 检验的方法主要有两种：（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．显然，第2种方法比较简便！
问题5你能概括出解分式方程的基本思 路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？ 基本思路 解分式方程的一般步骤: （1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．
注意： 由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验． 三、应用提高、拓展创新 例1 解下列方程：
例2 解方程
31112-=.
--+x x x x （）
（）
解分式方程的步骤： （1）去分母，将分式方程转化为整式方程；（2）解这个整式方程；
（3）检验．
用框图的方式总结为
：
二、知识应用，巩固提高
例3 解关于x 的方程 11+=.
-a
b b x a （）,b ≠1。
例4 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
一．分式方程的识别：
例题：下列方程中，是关于x 的分式方程的有 .
①
531=-x ② 141-=
x x ③133-=-x x ④11
-=b a x ⑤3
3912+=-x x 练习：下列关于x 的方程，是分式方程的是（ ）
A ．63352x x +=-+
B ．x a x -=+-371
C ．m x
n m x =-2 D ．41
32
=+x x 二．分式方程的解
例题：若关于x 的分式方程3233
4=++x
mx 的解是1=x ，求m 的值.
练习1：分式方程
21
6
2
=-x 的解为（ ） A ．2=x B ．2-=x C ．2-=x 或2=x D ．0=x 练习2：请你写出一个解为1=x 的分式方程为： .
练习3：若关于x 的分式方程434
2=--x
m 的解是1-=x ，求m 的值.
三．分式方程的解法与增根
例题1．解方程：x
x 3
32=- 例题2．解方程：
()()21311+-=--x x x x
练习： 解方程：1．
132=-x x 2．428
123+=
++x x x 3．1
625222-=-++x x x x x
15.3 分式方程实际应用
教学目标: 列分式方程解决实际问题．
教学重、难点: 列分式方程解实际问题． 教学过程设计
一、创设问题，激发兴趣
例1 某进货员发现一种应季衬衫，预计能畅销， 他用8 000元购进一批衬衫，很快销售一空．再进货时， 他发现这种衬衫的单价比上一次贵了4 元/件，他用 17 600元购进2 倍于第一次进货量的这种衬衫．问第一 次购进多少件衬衫？
分析：
二、应用提高、拓展创新
练习1 商场用50 000元从外地采购回一批T 恤衫，由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回比上一次多两倍的T 恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元．求第一次购进多少件T 恤衫．
工程问题：
1．相关背景：工作量=工作效率?时间；时间
工作量
工作效率=
；工作效率工作量时间=.
一般把工作量看成1
2．相关练习：一项工程甲工程队单独做需要a 天完成，则甲工程队的工作效率为 ；乙工程队单独做需要b 天完成，则乙工程队的工作效率为 ；甲、乙合作的工作效率为 ；
例题：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独做需要3个月完成，当甲队单独施工
1个月后，乙队加入共同施工，又工作了半个月，总工程全部完成，求乙队单独施工需要多少个月能完成全部工程？
练习：1．甲做180个零件与乙做240个零件所用的时间相同，已知两人每小时共做140个
零件，求甲、乙两人每小时各做多少个零件？
2．A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运30千克. A 型机器人搬运900千克所用时间与B 型机器人搬运600千克所用时间相等，求两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
路程问题：
相关背景：时间速度路程?= 时间路程速度=
速度
路程
时间= 例题：从2004年5月起，某列车平均速度提速40千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶125千米，提速后比提速前多行驶50千米，求提速前列车的平均速度为多少千米/小时？
练习1．从2004年5月起，某列车平均速度提速v 千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶s 千米，提速后比提速前多行驶50千米，求提速前列车的平均速度为多少千米/小时？
3．两个小组同时开始攀登一座450米高的山，第一组的攀登速度是第二组的2倍，他们比第二组早15分钟到达了顶峰，求两个小组的攀登速度各是多少？
分式的复习
复习目标与要求：
（1）了解分式的意义及分式的基本性质； （2）会利用分式的基本性质进行约分和通分；
（3）会进行简单的分式加、减、乘、除乘方及其混合运算； 一 知识梳理
1．分式及其相关概念 （1）分式：形如
()中含有字母B B
A
的式子，就叫分式。()0≠B （2）公因式、约分、最简分式：分子、分母中没有公因式的分式。（公因式的找法） (3) 最简公分母、通分。（最简公分母的确定方法）注意：在确定最简公分母之前，必须得把各个分式的分子、分母因式分解，并化简。
2．分式有无意义的条件、分式的值为零的条件、分式的值满足其他条件的解法。 3．分式的基本性质
分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 4．分式的加减法
（1）同分母分式的加减法法则
（2）异分母分式的加减法法则：先通分转化成同分母，再按照同分母分式的加减法法则进行运算。
注意：通分要保证各分式与原分式相等；各分式分母相同． 5．分式的乘除法
乘法的实质是约分，除法转化成乘法计算。 6．分式的乘方
法则是分式的分子、分母分别乘方。 7.整数指数幂的运算与科学计数法
8.分式的混合运算：运算顺序及注意事项。 二 经典例题
例1．下列各式中不是分式的是（ ）
A ．y x x +2
B ．21π
C ．21
x
D ．13-x x
（巩固练习）在π1
,0,1,31),(21,32c a b y x x --中，整式有 ，分式有 .
例2．分式)
3)(2(1
---x x x 有意义，则x 应满足条件（ ）
A ．1≠x
B ．2≠x
C ．2≠x 且3≠x
D ．2≠x 或3≠x 例3．当x 取何值时，下列分式的值为零？
（1）
1
1
2+-x x （2）
3
3+-x x
（巩固练习）.在
11
||--x x 分式中，当X 时分式的值为零？当X 时分式无意义？ 例4．若分式x
x 212
3-+的值为非负数，求x 的取值范围
（巩固练习）（1）当X 分式2
2
1x x +-的值为负数。
（2）．若整数X 使1
6
--X 为正整数，则X 的值为 。
第15章分式单元测试卷 一、选择题（共10小题）. 1．分式有意义的条件是（） A．x≠3B．x≠9C．x≠±3D．x≠﹣3 2．关于x的分式方程＝0的解为x＝2，则常数a的值为（）A．a＝﹣1B．a＝1C．a＝2D．a＝5 3．计算（x3y2）2?，得到的结果是（） A．xy B．x7y4C．x7y D．x5y6 4．若分式的值总是正数，a的取值范围是（） A．a是正数B．a是负数C．a＞D．a＜0或a＞5．分式可变形为（） A．B．﹣C．D．﹣ 6．若分式的值等于0，则x的值为（） A．±1B．0C．﹣1D．1 7．某工程公司开挖一条500米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是（） A．B． C．D． 8．某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（）A．1600元B．1800元C．2000元D．2400元 9．甲，乙两个工程队，甲队修路300米与乙队修路400米所用的时间相等，乙队每天比甲队多修10米．若可列方程＝表示题中的等量关系，则方程中x表示（）A．甲队每天修路的长度
B．乙队每天修路的长度 C．甲队修路300米所用天数 D．乙队修路400米所用天数 10．若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程 有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．7B．8C．14D．15 二、填空题（共6小题）. 11．化简：﹣＝． 12．计算：＝． 13．计算：+＝． 14．当x＝时，分式的值为0． 15．当x时，分式无意义；当x时，分式值为零． 16．若分式的值是负数，则x的取值范围是． 三、解答题 17．解分式方程：． 18．某校庆为祝建国70周年举行“爱国读书日”活动，计划用500元购买某种爱国主义读书，现书店打八折，用500元购买的爱国主义读本比原计划多了5本，求该爱国主义读本原价多少元？ 19．某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同． （1）求A，B两种书架的单价各是多少元？ （2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A种书架？
第十五章分式 教材分析 本章的主要内容包括：分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。 全章共包括三节： 15．1分式 15．2分式的运算 15．3分式方程 其中，15．1 节引进分式的概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分。11．2节讨论分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利。11．3节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。 分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概念；相应地，分式方程是一类有理方程，解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而，分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。
借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，这在本章学习中经常使用。解分式方程时，化归思想很有用，分式方程一般要先化为整式方程再求解，并且要注意检验是必不可少的步骤。 （二）本章知识结构框图 （三）课程学习目标 本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点： 1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。 2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。 3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则。 4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系。 5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想。 （四）课时安排
第十五章 分式 15．1分式 15.1.1从分数到分式 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 重点难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 一、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：，，，. 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间小时， 所以=. 3. 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 二、例题讲解 P128例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 三、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, , , , ， 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 四、布置作业 课本P133习题15.1第1、2、3题 7 10a s 33 200s v v +20100v -2060v +20100v -2060v +20100v -2060a s s v x 7209y +54-m 238y y -91-x 1-m m 3 2 +-m m 112+-m m 4522--x x x x 235-+2 3+x x x 57+x x 3217-x x x --2 21
第十五章分式 本章的内容包括：分式、分式的运算、分式方程． 本章我们将类比分数学习分式，解一些分式方程，并学会解能化为一元一次方程的分式方程及利用分式的知识解决一些实际问题．在中考中，本章重点在考查分式有意义的条件、分式的化简与求值、分式方程及其应用． 【本章重点】 利用分式的基本性质进行约分和通分、分式的混合运算及列分式方程解决实际问题．【本章难点】 分式的混合运算及列分式方程解决实际问题． 【本章思想方法】 1．掌握类比思想．如：类比分数的概念及性质理解分式的概念及性质，类比分数的运算法则理解分式的运算法则．
2．掌握转化思想．如：把除法转化为乘法，把异分母分式加减法转化为同分母分式加减法，把分式方程转化为整式方程． 3．体会数学建模思想．如：在利用分式方程解决实际问题时，需根据实际问题建立数学模型，从而列出分式方程求解． 15．1分式2课时 15．2分式的运算5课时 15．3分式方程2课时
15．1分式 15．1.1从分数到分式(第1课时) 一、基本目标 【知识与技能】 1．理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式． 2．能够确定一个分式有意义、无意义的条件． 3．能用分式表示现实情境中的数量关系． 【过程与方法】 经历类比、探究的过程，理解分式的概念和分式有意义的条件，在此基础上，利用分式有意义的条件求分式中未知数的值． 【情感态度与价值观】 类比分数的概念理解分式的概念，养成类比思考的习惯，探究分式有意义的条件，形成缜密的思维方式． 二、重难点目标 【教学重点】 分式的概念及分式有意义、无意义的条件． 【教学难点】 利用分式有意义的条件求未知数的值．
15.3 分式方程 第1课时分式方程及其解法 【知识与技能】 1.理解分式方程的意义； 2.掌握解分式方程的基本思路和解法； 3.理解解分式方程可能无解的原因,掌握解分式方程的验根方法. 【过程与方法】 通过探索实际问题中的数量关系,体会分式方程的模型作用,在经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题,解决问题的能力,渗透转化的数学思想,培养学生的应用意识. 【情感态度】 在活动中培养学生乐于探索、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值. 【教学重点】 解分式方程的基本思路和解法. 【教学难点】 理解解分式方程可能无解的原因,及增根的含义. 一、情境导入,初步认识 问题一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少？ 【教学说明】让学生求出江水流速为v千米/时后,自主探究,获得方程.然后师生共同评析.教师讲课前,先让学生完成“自主预习”. 思考 (1)方程 9060 3030 v v = +- 与以往学过的方程有什么不同之处？ （2）什么叫分式方程？分式方程的特征是什么？ （3）怎样解分式方程 9060 3030 v v = +- 呢？ 【教学说明】教师提出问题后,学生自主探究,相互交流,得出相应结论.教师应关注学生的参与情况及解决问题的情形,适时予以点拨,最后师生共同评析. 二、思考探究,获取新知 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
解分式方程的基本思路是将分式方程运用去分母的方法化成为整式方程. 如：解方程90603030v v =+-. 解：在方程两边乘的最简公分母(30+v)（30-v ）,得 90(30-v)=60（30+v ）. 解得v=6. 检验：将v=6代入方程,左边=5/2=右边,所以v=6是原分式方程的解. 试一试 解方程2110525 x x =-- . 思考 上面两个分式方程中,为什么 90603030v v =+-去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解,而2110525 x x =--去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 【教学说明】教师提出问题后,学生先独立解决问题,然后在小组中提出自己的看法并讨论.在学生讨论时,教师可参与交流,鼓励学生勇于探索、实践,解释产生这一现象的原因,并让学生明白解分式方程时一定要验根. 【归纳结论】 一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此；解分式方程时必须检验.检验方法可以如下：将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；如果使最简公分母为0,则整式方程的解不是原分式方程的解,它是原分式方程增根,原分式方程无解. 三、典例精析,掌握新知 例1解方程233x x =- . 解：方程两边同乘以x(x-3),得 2x=3(x-3). 解得x=9. 检验：x=9时,x(x-3)=54≠0,∴x=9是原分式方程的解. 例2解方程() 31112x x x x -=--+（） . 解：方程两边同乘以（x-1）(x+2),得 x （x+2）-（x-1）(x+2)=3 化简,得x+2=3. 解得x=1.
人教版 八年级数学 第15章 分式 同步训练 一、选择题 1. 计算(－2a b2 )3的结果是( ) A.2a6b2 B ．－8a3b2 C.8a3b6 D ．－8a3b6 2. 把分式方程2 x ＋4 ＝1x 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘( ) A ．x B ．2x C ．x ＋4 D ．x (x ＋4) 3. 下列各式中是最简分式的是 ( ) A . B . C . D . 4. 下列分式中，最简分式是 ( ) A . B . C . D . 5. 将分式3a a2－b2 通分后分母变成2(a －b)2(a ＋b)，那么分子应变为( ) A ．6a(a －b)2(a ＋b) B ．2(a －b) C ．6a(a －b) D ．6a(a ＋b)
6. 若把分式3xy x－y (x，y均不为0)中的x和y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值() A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的1 3 C．不变D．扩大为原来的6倍 7. 把通分后，各分式的分子之和为() A.2a2+7a+11 B.a2+8a+10 C.2a2+4a+4 D.4a2+11a+13 8. A，B两地相距m米，通信员原计划用t小时从A地到达B地，现因有事需提前n小时到达，则每小时应多走() A.米 B.米 C.米 D.米 9. 关于x的方程+=0可能产生的增根是() A.x=1 B.x=2 C.x=1或x=2 D.x=-1或x=2 10. 若m+n-p=0，则m-+n--p+的值是. 二、填空题 11. 当x＝________时，分式x－2 2x＋5的值为0.
12. 若a＝2b≠0，则a2－b2 a2－ab的值为________． 13. 若式子1 x－2和 3 2x＋1 的值相等，则x＝________． 14. 分式方程的解是． 15. 约分：a2＋2ab a2b＋2ab2 ＝________． 16. 请你写出一个分母是二项式且能约分的分式:. 17. 拓广应用已知关于x的分式方程k x＋1＋ x＋k x－1 ＝1的解为负数，则k的取值范围 是________________． 三、解答题 18. 如图①，“惠民一号”玉米试验田是半径为R m(R>1)的圆去掉宽为1 m的出水沟剩下的部分；如图②，“惠民二号”玉米试验田是半径为R m的圆中间去掉半径为1 m的圆剩下的部分，两块试验田的玉米都收了450 kg. (1)哪块试验田的玉米的单位面积产量高？ (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
第十五章 分式 15.1 分式 15.1.1 从分式到分式 1、一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 2、与分式有关的条件 （1）分式有意义：分母不为0（0B ≠） （2）分式无意义：分母为0（0B =） （3）分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） （4）分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或? ??<<00B A ） （5）分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或???><0 0B A ） （6）分式值为1：分子分母值相等（A=B ） （7）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 例1．若24 x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞4 B ．x≠4 C ．x≥4 D ．x ＜4 【答案】B ． 【解析】 试题解析：由题意得，x-4≠0， 解得，x≠4， 故选B ． 考点：分式有意义的条件． 考点：分式的基本性质． 例2．要使分式1(1)(2) x x x ++-有意义，则x 应满足 （ ） A ．x≠-1 B ．x≠2 C ．x≠±1 D ．x≠-1且x≠2 【答案】D ． 【解析】 试题分析：∵（x+1）（x ﹣2）≠0，∴x+1≠0且x ﹣2≠0，∴x≠﹣1且x≠2．故选D ． 考点：分式有意义的条件．
例3．下列各式：，，，，中，是分式的共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C ． 【解析】 试题分析：，，中分母中含有字母，因此是分式．故分式有3个．故选C ． 考点：分式的定义． 例4．当x= 时，分式0． 【答案】1 【解析】 试题分析：由题意得：210x -=，且x+1≠0，解得：x=1，故答案为：1． 考点：分式的值为零的条件． 15.1.2 分式的基本性质 1、分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：A A B C B C ?=?，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 例1 x 、y 都扩大到原来的10倍，则分式的值（ ） A ．扩大100倍 B ．扩大10倍 C ．不变 D 【答案】C ． 【解析】 x 、y 都扩大到原来的10 故选C ． 2b a -x x 3+πy +5b a b a -+)(1y x m -x x 3+b a b a -+)(1y x m -
第十五章分式 §15.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1.了解分式概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、教学过程 （一）让学生填写[思考]，学生自己依次填出：，，，. （二）问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间 小时，所以=. （三） 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什 么相同点和不同点？ 可以发现，这些式子都像分数一样都是 （即A ÷B ）的形式.分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A 、B 都是整式，并且B 中都含有字母. [思考]引发学生思考分式的分母应满足什么条件，分式才有意义？由分数的分母不能为零，用类比的方法归纳出：分式的分母也不能为零.注意只有满足了分 式的分母不能为零这个条件，分式才有意义.即当B ≠0时，分式 才有意义. （四）例题讲解 例1. 当x 为何值时，分式 有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x 的取值范围. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. （五）随堂练习 1.判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, , , , ， 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 7 10a s 33 200s v v +20100v -2060v +20100v -2060v +20100v -2060a s s v B A x 720 9y +5 4-m 2 38y y -9 1-x 1 -m m 32+-m m 112+-m m 4 5 22--x x x x 235-+2 3+x 2 31 2-+x x
人教版 八年级数学 第15章 分式 课时训练 一、选择题 1. 分式2x2－4与x 4－2x 的最简公分母是( ) A ．(x2－4)(4－2x) B ．(x ＋2)(x －2) C ．－2(x ＋2)(x －2)2 D ．2(x ＋2)(x －2) 2. (2020·成都)已知x ＝2是分式方程 1的解，那么实数k 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3. （2020·福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 4. （2020·牡丹江）若关于x 的分式方程有正整数解，则整数m 的值是（ ） A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 3或4 5. 若关于x 的方程x ＋m x －3＋3m 3－x ＝3的解为正数，则m 的取值范围是( ) A. m <92 B. m <92且m ≠32
C. m>－9 4 D. m>－ 9 4且m≠－ 3 4 6. （2020·长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得··············································································（） A．B．C．D． 7. 若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是 () A.B.C.D. 8. 把分式中的x，y的值都扩大为原来的2倍，则分式的值() A.不变 B.扩大为原来的2倍 C.扩大为原来的4倍 D.缩小为原来的 二、填空题 9. 计算(－b 2a) 3的结果是________． 10. （2020·郴州）若分式的值不存在，则． 11. 分式方程5 y－2＝ 3 y的解为________．
八年级数学上册第十五章分式15.3分式方程教案（新版）新人教版 教学目标： 1．了解分式方程的概念和产生增根的原因. 2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 重点难点 1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 教学过程 一、例、习题的意图分析 1．P149思考提出问题，引发学生的思考，从而引出解分式方程的解法以及产生增根的原因. 2．P149的归纳明确地总结了解分式方程的基本思路和做法. 3．P150思考提出问题，为什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的解，引出分析产生增根的原因，及P151的归纳出检验增根的方法. 4．P150思考归纳出检验增根的方法的理论根据是什么？ 5．教材P154习题第2题是含有字母系数的分式方程，对于学有余力的学生，教师可以点拨一下解题的思路与解数字系数的方程相似，只是在系数化1时，要考虑字母系数不为0,才能除以这个系数. 这种方程的解必须验根. 二、课堂引入 1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程163242=--+x x . 2．提出本章引言的问题： 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程v v -=+206020100. 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 三、例题讲解 （P151）例1.解方程x x 332=-. [分析]找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化为整式方程，整式方程的解
第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 16.1.2分式的基本性质 16．2分式的运算 16．2．1分式的乘除(一) 16．2．1分式的乘除(二) 16．2．1分式的乘除(三) 16．2．2分式的加减（一） 16．2．2分式的加减（二） 16．2．3整数指数幂 16．3分式方程(一) 16．3分式方程(二) 第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v -2060小时， 所以v +20100=v -2060.
3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 七、课后练习 1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？ (1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时. （2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时. (3)x 与y 的差于4的商是 . 2．当x 取何值时，分式 无意义？ 3. 当x 为何值时，分式 的值为0？ 八、答案： 六、1.整式：9x+4, 209y +, 54-m 分式： x 7 , 2 38y y -，91-x 2．(1）x ≠-2 （2）x ≠ （3）x ≠±2 3．（1）x=-7 （2）x=0 (3)x=-1 七、1．18x, ,a+b, b a s +,4y x -; 整式：8x, a+b, 4y x -; 分式：x 80, b a s + 2． X = 3. x=-1 1-m m 3 2+-m m 112 +-m m 45 2--x x x x 235 -+2 3 +x x x 57+x x 3217-x x x --221x 80 2 3 3 2 x x x --212 31 -+x x
人教版数学第15章 分式 15.1 分式概念 (一)基础测评 一、选择题： 1．在代数式3 ,252,43,3,2,1,32222x x x x x xy x x -++中，分式共有 ( )． (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 2．下列变形从左到右一定正确的是 ( )． (A)22--=b a b a (B)bc ac b a = (C)b a bx ax = (D)22b a b a = 3．把分式y x x +2中的x 、y 都扩大3倍，则分式的值 ( )． (A)扩大3倍 (B)扩大6倍 (C)缩小3倍 (D)不变 4．下列各式中，正确的是 ( )． (A)y x y x y x y x +-=--+- (B)y x y x y x y x ---= --+- (C) y x y x y x y x -+= --+- (D) y x y x y x y x ++-= --+- 5．若分式2 2 2---x x x 的值为零，则x 的值为 ( )． (A)－1 (B)1 (C)2 (D)2或－1 二、填空题： 6．当x ________时，分式1 21 -+x x 有意义． 7．当x ________时，分式 1 22 +-x 的值为正． 8．若分式1 ||2--x x x 的值约为0，则x 的值为________． 9．分式2 211 2m m m -+-约分的结果是________． 10．若x 2－12y 2＝xy ，且xy ＞0，则分式y x y x -+23的值为________． 11．填上适当的代数式，使等式成立： (1) ;) (22 222b a b a b ab a +=--+ (2) ;2122)(2x x x x --=- (3)a b b a b a -=-+ )(11 (4) ?=) (22xy xy
第十五章 分式 15．1.1 从分数到分式 1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念． 2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件． 重点:理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件． 难点:能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件． 一、复习引入 1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？ 2．判断下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？ ①8m ＋n 3；②1＋x ＋y 2；③a 2 b ＋ab 2 3；④a ＋b 2；⑤2x 2＋2x ＋1；⑥3a 2＋b 2；⑦3x 2 －42x . 二、探究新知 1．分式的定义 (1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时． 轮船顺流航行90千米所用的时间为9030＋v 小时，逆流航行60千米所用时间为6030－v 小时，所以9030＋v ＝ 60 30－v . (2)学生完成教材第127页“思考”中的题． 观察：以上的式子9030＋v ，6030－v ，S a ，V s ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 可以发现，这些式子都像分数一样都是A B (即A÷B)的形式．分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式 子中的A ，B 都是整式，并且B 中都含有字母． 归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 巩固练习：教材第129页练习第2题． 2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？
初中数学人教版八年级上册实用资料 第十五章 分式 15．1 分 式 15．1.1 从分数到分式 1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念． 2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件． 重点 理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件． 难点 能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件． 一、复习引入 1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？ 2．判断下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？ ①8m ＋n 3；②1＋x ＋y 2；③a 2b ＋ab 23；④a ＋b 2；⑤2x 2＋2x ＋1；⑥3a 2＋b 2；⑦3x 2－42x . 二、探究新知 1．分式的定义 (1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时． 轮船顺流航行90千米所用的时间为9030＋v 小时，逆流航行60千米所用时间为60 30－v 小时， 所以9030＋v ＝60 30－v . (2)学生完成教材第127页“思考”中的题． 观察：以上的式子9030＋v ，6030－v ，S a ，V s ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 可以发现，这些式子都像分数一样都是A B (即A÷B)的形式．分数的分子A 与分母B 都是 整数，而这些式子中的A ，B 都是整式，并且B 中都含有字母． 归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 巩固练习：教材第129页练习第2题． 2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？ 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B 才有意义．
【学习目标】 1．了解分式的概念，会判断一个代数式是否是分式； 2．了解分式产生的背景和分式的概念，掌握分式与整式概念的区别与联系； 3．理解并能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件； 【学习重点】理解分式的概念，分式有意义的条件． 【学习难点】能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 【知识准备】 1．在①3x 2，②11x +，③15x+y ，④a b a b +-， ⑤0，⑥a π ?这几个式子中， 单项式有： ____________多项式有： ______ 整式的有： _____________________ (只填序号) 2．由上题我们发现，由数与字母的 ___ 组成的式子叫单项式；几个单项式的和叫 ；单项式和多项式统称 。 【自习自疑】 一．阅读教材p127-128页，完成下列问题： 1．通过思考发现，a s 、s V 、v +20100、v -2060与分数一样，都是 的形式，分数的分子A 与分母B 都是 ，并且B 中都含有 _ ，那么式子 __ 叫做分式。 2．我们小学里学过的分数有意义的条件是 ；那么当__________时,分式B A 才有意义。 二．预习评估 1．在代数式－3x ，31y +，5y x -，y x ，πx ，x 81-， 2273 2xy y x -， 中， 是整式的有_________________ ． 是分式的有_________________ ．
2．当x ___________时，分式21 x x -有意义 3．使分式2 x x +有意义的条件是 （ ） A ．x ≠2 B ．x ≠－2 C ．x ≠2且x ≠－2 D ．x ≠0 4．已知分式 4523-+x x ，要使分式的值等于零，则x 等于（ ） A ．54 B ．45- C ．32 D ．23 - 我想问：请你将预习中未能解决的问题和有疑问的问题写下来,等待课堂上与老师和同学探究解决. 等级______________ 组长签字_______________ 【自主探究】 【探究一】分式的产生 1． 用代数式填空： （1）已知某长方形的面积是102 cm ，长为5cm ，则这个长方形的宽为 cm ； （2）已知某长方形的长为a 2cm ，宽为b cm ，则这个长方形的面积为 cm ； （3）已知某长方形的面积是s 2cm ，长为5cm ，则这个长方形的宽为 cm ； （4）已知某长方形的面积是102cm ，长为a cm ，则这个长方形的宽为 cm ； （5）一辆汽车行驶s 千米用了t 小时，那么它的平均车速为 千米/小时；一列火车 行驶s 千米比这辆汽车少用了1小时，那么它的平均车速为 km/h ； 2．思考：（1）以上式子中，是整式的有哪些？ （2）不是整式的有哪些？它们的共同特征是：
分式总结 教学目标 【考试目标】 1.了解分式和最简分式的概念 2.会利用分式的最基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算. 【教学重点】 1.了解分式的相关概念，并且熟记分式有意义的条件. 2.了解分式的基本性质及其相关概念. 3.掌握分式的运算法则. 教学过程 一、知识体系图引入，引发思考 通过上述知识体系图，复习回顾实数的相关知识，为本节课的学习打下基础. 二、引入真题，归纳考点 【例1】要使分式1 x＋2 有意义，则x的取值应满足 (D) A．x＝－2 B．x≠2 C．x＞－2 D．x≠－2 【解析】此题考查了分式的概念，要使分式有意义则分式的分母不能为0，x+2≠0，即x≠
-2，故选D 选项. 【考点】考查了对分式概念的理解，记牢分式有意义的情况. 【例2】分式22－x 可变形为 (D) A.22＋x B ．－22＋x C.2x －2 D ．－2x －2 【解析】此题考查了分式的变形，运用了分式的基本性质，此题难度不高，选择D 选项. 【考点】考查分式的基本性质. 【例3】如果分式x 2－1x ＋1 的值为零，那么x 的值是___1___． 【解析】此题考查了分式的概念，若分式的值为0，则分式的分值为0，分母不为0（分母 为0时，此分式无意义）.所以x 2-1=0，且x +1≠0.解得x =1. 【考点】考查分式的概念，要熟记分式有意义的情况，切记不能多写，将分式无意义的情况也答出. 【例4】【例4】先化简，再求值： 解：原式 【解析】此题考查了分式的综合运算，涉及了分式的除法法则、分式的加减法、平方差公式、多项式与单项式相乘等多方面知识.熟练运用分式、整式的运算法则，此题不难解出. 【考点】本题主要考查分式的混合运算，要学会合理地运用公式，巧妙地调整解题顺序，此.6,931322=-÷??? ??-++x x x x x 其中()()().2 1696,6.9332333132931322-=-=∴=-=+--=-+??? ? ??-++=-???? ??-++=原式x x x x x x x x x x x x x x x x
第三章分式 3.1 分式的基本性质（1） 教学目标 1．了解分式的基本性质，体会类比的思想方法． 2．掌握分式的约分，了解最简分式的概念． 教学重、难点 分式的基本性质和分式的约分 教学过程设计 一、创设问题，激发兴趣 问题1 下列分数是否相等？ 追问这些分数相等的依据是什么？ 问题2 你能叙述分数的基本性质吗？ 分数的基本性质： 一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变． 问题3 你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？ 问题4 类比分数的基本性质，你能想出分式有什么性质吗？ 分式的基本性质： 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 追问1 如何用式子表示分式的基本性质？ 二、知识应用，巩固提高 追问2 应用分式的基本性质时需要注意什么？ （1）分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算； （2）所乘（或除以）的必须是同一个整式； （3）所乘（或除以）的整式应该不等于零. 例2 填空： 问题5 观察上例中（1）中的两个分式在变形前后的分子、分母有什么变化？类比分数的相应变形，你联想到什么？ 像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式． 例3 约分:
追问1 由上例你能归纳出在分式中，找分子和分母的公因式的方法是什么吗？ 追问2 如果分式的分子或分母是多项式，那么该如何思考呢？ 三、应用提高、拓展创新 教科书132页练习1 四、归纳小结 （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）运用分式的基本性质时应注意什么？ （3）分式约分的关键是什么？如何找公因式？ （4）探究分式的基本性质和分式的约分的过程，你认为体现了哪些数学思想方法？ 五、布置作业： 教科书习题15.1第4、6题. 教后反思： 3.1 分式的基本性质（2） 教学目标 1．了解最简公分母的概念，会确定最简公分母. 2．通过类比分数的通分来探索分式的通分，能进行分式的通分，体会数式通性和类比的思想. 教学重、难点 准确确定分式的最简公分母 教学过程设计 一、创设问题，激发兴趣 问题1 通分： 追问1 分数通分的依据是什么？ 追问2 如何确定异分母分数的最小公分母？ 问题2 填空： 像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分 式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分 式的通分. 追问1 你认为分式通分的关键是什么？ 分式通分的关键是找出分式各分母的公分母.
第十五章分式全章小结（一）综合复习 教学设计 教学目标 1、进一步理解分式的概念，掌握分式有意义、值为零的条件。 2、进一步理解并掌握分式的基本性质。 3、能运用分式的加、减、乘、除法则正确地进行计算。 4、能力目标：进一步培养学生的运算能力及有条理地思考问题的能力。 重难点、关键 1．重点：通过理解分式的基本性质，掌握分式的运算、应用． 2．难点：分式的通分以及分式方程的“建模”． 3．关键：把握分式的基本性质，领会算理． 一、知识结构
二、重要知识与规律总结 （一）概念 1、分式： A B （A 、B 为整式，B ≠0） 2、最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积。 3、分式方程：分母中含有未知数的方程。 （二）性质 1、分式基本性质：A A M A M B B M B M ?÷==?÷（M 是不等于零的整式） 2、幂的性质： 零指数幂：0a =1（a ≠0） 负整指数幂：1 n n a a -= （a ≠0，n 为正整数） 科学记数法：a ×10n ，1≤| a |＜10，n 是一个整数。 （三）分式运算法则 分式乘法：将分子、分母分别相乘，即a c ac b d bd = 分式除法：将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 a c a d ad b d b c bc ÷=?= 分式的加减：（1）同分母分式相加减：a c a c b b b ±±= ； （2）异分母分式相加减：a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±= ±= 分式乘方：()n n n a a b b =（b ≠0）
（a≥0，b＞0） 1、解题思想：分式方程转化为整式方程。 2、转化方法：去分母（特殊的用换元法）。 3、转化关键：正确找出最简公分母。 4、注意点：注意验根。 三、学习方法点拨 1、两个整数不能整除时，出现了分数；类似地，两个分式不能整除时，就出现了分式。因此，整式的除法是引入分式概念的基础。 2、分式的基本性质及分式的运算与分数的情形类似，因而在学习过程中，要注意不断地与分数的情形进行类比，以加深对新知识的理解。 3、解分式方程的思想是把含有未知数的分母去掉，从而将分式方程转化为整式方程来解，这时可能会出现增根，必须进行检验。学习时，要理解增根产生的原因，认识到检验的必要性，并会进行检验。 4、由于引进了零指数幂和负整指数幂，绝对值较小的数也可以用科学记数法来表示 四、布置作业：课本第15章复习题 五、教学反思：通过本节课的强化复习，首先让学生系统的综合本章