抛物线性质30条
已知抛物线2
2(0)y px p =>，AB 是抛物线的焦点弦，点C 是AB 的中点. AA’垂直准线于A ’， BB ’垂直准线于B ’， CC’垂直准线于C ’，CC ’交抛物线于点M ，准线交x 轴于点K. 求证：
1.12||,||,22p p
AF x BF x =+
=+ 2.11
()22
CC AB AA BB '''==+；
3.以AB 为直径的圆与准线L 相切；
证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线，
||||||||||2|
AB AF BF AA BB ''=+=+=4.90AC B '∠=o
；(由1可证) 5.90A FB ''∠=o ；
,,||||,,1,
2
AA FK A FK FA A AF AA AA F AFA A FK AFK '''∴∠=∠'''=∴∠=∠'∴∠=∠Q P Q 证明：
同理：1,2
B FK BFK '∠=∠得证. 6.1
C F A B 2
'''=.
证明：由90A FB ''∠=o
得证.
7.AC '垂直平分A F '；BC '垂直平分B F '证明：由1C F A B 2
'''=可知，1||||||,2C F A B C A '''''==
||||,.AF AA '=∴Q 又得证 同理可证另一个.
8.AC '平分A AF '∠，BC '平分B BF '∠,A’F 平分AFK ∠，B ’F 平分BFK ∠. 证明：由AC '垂直平分A F '可证. 9.C F 'AB ⊥；
证明：12
2121(,)(,)2y y C F AB p x x y y +'?=-?--u u u u v u u u v
222222
122112
21()02222y y y y y y p x x --=-+=-+=
10.1cos P AF α=-；1cos P
BF α
=+；
证明：作AH 垂直x 轴于点H ，则||||||||||cos ,||1cos p
AF AA KF FH p AF AF αα
'==+=+∴=-.
同理可证另一个. 11.
112AF BF P
+=; 证明：由1cos P AF α=-；1cos P
BF α
=+；得证.
12. 点A 处的切线为11()y y p x x =+;
证明：（方法一）设点A 处切线方程为11()y y k x x -=-，与2
2y px =联立，得
21122()0,ky py p y kx -+-= 由2110220,x k y k p ?=?-+=
解这个关于k 的一元二次方程（它的差别式也恰为0）得：111,2y p
k x y ==
得证. 证法二：（求导）2
2y px =两边对x 求导得11
22,,|,x x p p yy p y y y y ='''==∴=
得证. 13.AC’是切线，切点为A ；B C’是切线，切点为B ；
证明：易求得点A 处的切线为11()y y p x x =+，点B 处的切线为22()y y p x x =+，解得两切线的交点为12(,)22
y y p C +'-
,得证. 14. 过抛物线准线上任一点P 作抛物线的切线，则过两切点Q 1、Q 2的弦必过焦点;并且12.PQ PQ ⊥
证明：设点(,)()2p
P t t R -∈为准线上任一点，过点P 作抛物线的切线，切点为2(,)2y Q y p , 22y px =两边对x 求导得22222,,,20,22
PQ p p y t
yy p y K y ty p y y y p
p -''==
∴==∴--=+ 显然2
2
440,t p ?=+>
切点有两个，设为2
22
221212(,),2,,2y Q y y y t y y p p
+==-则 1212
12
22222
2
12122222
22
FQ FQ y y py py k k y y y p y p p
p p p ∴-=
-
=
----- 1222
1212112212
22220,py py p p
y y y y y y y y y y =
-=-=++++ 所以Q 1Q 2过焦点. 2222222
2121212121212122
(,)(,)()2222444y y y y y y p p p PQ PQ y t y t y y t y y t p p p
+?=+-?+-=+++-++u u u u v u u u u v 22
2222222
22121212()2420,242424
y y y y y y p p p t p t t t ++-+=-+-=-+-=-+-=
12.PQ PQ ∴⊥
15.A 、O 、B '三点共线；B 、O 、A '三点共线； 证明：A 、O 、B '三点共线2211212112.222
OA OB y p p
k k x y y y y y y p p '?=?=-?=-?=-
同理可证：B 、O 、A '三点共线.
16.122
y y p ?=-；122
4
p x x ?=
证明：设AB 的方程为()2
p
y k x =-
，与22y px =联立，得2220,ky py kp --= 2
12122,,p y y y y p k
∴+==- 22
4212122.2244y y p p x x p p p ∴=
?== 17.1222sin p
AB x x p α
=++=
证明：1212,2
p p
AB AF FB
x x x x p =+=+++=++
||2AB ===
222.sin p
α==得证.
18.2
2sin AOB p S α
?=；
证明：
1
22AOB OFA OFB p S S S ???=+=?=
2
2sin p α
===. 19.3
22AOB S p AB ???= ???
（定值）；
22sin AOB p S α?=得证. 20．2
2sin ABC p S α
'
?= 证明：
1
1||||22
2
ABC S AB PF '?=?=? 22221(1)sin p p k α
==+=
21.2AB p ≥； 证明：由2
2sin p
AB α
=得证. 22.12
2AB p
k y y =
+； 证明：由点差法得证.
23.12
122
2
tan P P y y x x α==
--
; 证明：作AA 2垂直x 轴于点A 2,在2AA F ?中，2
12
1tan ,2
AA y FA p x α==-
同理可证另一个.
24.2
A B 4AF BF ''=?;
证明：2
2
12124||4()()2
2
p
p
A B AF BF y y x x ''=??-=+
+ 22
221212121212
12242224y y y y x x px px p y y x x p ?+-=+++?-=+，
由122
y y p ?=-，122
4
p x x ?=得证.
25. 设CC ’交抛物线于点M ，则点M 是CC ’的中点；
证明：12121212(
,),(,),CC ,22224x x y y y y
x x p p C C ++++-''-∴中点横坐标为 把122y y y +=代入2
2y px =，得
22
21212121222222,2,.444
y y y y px px p x x p
px px x +++-+-=∴==
所以点M 的横坐标为12.4
x x p
x +-=点M 是CC ’的中点.
当弦AB 不过焦点时，设AB 交x 轴于点(,0)(0)D m m >,设分别以A 、B 为切点的切线相交于点P ，求证：
26.点P 在直线x m =-上
证明：设:,AB x ty m =+与2
2y px =联立，得
21212220,2,2y pty pm y y pt y y pm --=∴+==-，
又由22
1112121222:()(),,222:()
PA y y p x x y y y y
y y y y PB y y p x x =+?+-=-∴=?
=+?，相减得 代入11()y y p x x =+得，
22
112112,2,,22
y y y y px y y px x m +=+∴=∴=-得证.
27. 设PC 交抛物线于点M ，则点M 是PC 的中点；
证明：121212122(
,),(,),,2224x x y y y y x x m
C P m PC ++++--∴中点横坐标为 把122y y y +=代入2
2y px =，得
22
1212121212222422,2,2,.444
y y y y px px pm x x m
px y y pm px x +++-+-==-∴==Q
所以点M 的横坐标为122.4
x x m
x +-=点M 是PC 的中点.
28.设点A 、B 在准线上的射影分别是A 1，B 1，则PA 垂直平分A 1F ， PB 垂直平分B 1F ，从而PA 平分1A AF ∠，PB 平分1B BF ∠ 证明：1111110()1,,()22
PA A F y y p p k k PA A F y p p y p
-?=
?=?-=-∴⊥-- 又1||||AF AA =，所以PA 垂直平分A 1F. 同理可证另一个. 证法二：111222
1
112,,0,22
AF AP AA y py p
k k k y y y p p p =
=
==--
1tan tan 1AF AP
AF AP k k FAP PAA k k -∴∠-∠=+? 12222
23111111122222
11111
11122111202()022()101py p p p py y p y y p y y py p p p p p
py p y y y y p y p p y y p y y y p -----+=-=-=-=-=-+++?+?- 11tan tan ,.FAP PAA FAP PAA ∴∠=∠∴∠=∠ 同理可证另一个
29.PFA PFB ∠=∠
证明：11111,,,PAA PAF PFA PA A PFB PB B PA A PB B ????∠=∠∠=∠∴∠=∠同理：只需证 易证：111111||||||,,PA PF PB PA B PB A ==∴∠=∠11,PA A PB B ∴∠=∠
30．2
||||||FA FB PF ?=u u u v u u u v u u u v
证明：22222212121212122
||||()()(),2224444y y y y p p p p p AF BF x x x x x x p
+?=++=+++=++ 1212(,),22y y y y P p +Q 22
2222
2212
1212122||,222444y y y y y y y y p p PF p p ++????∴=-+=++ ? ?????
得证.
例1：（2007江苏高考第19题）如图，过C （0，c ）（c>0）作直线与抛物线y=x 2相交于A 、B 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线y+c=0交于P 、Q 。
（1）若OB OA ?=2，求c 的值；
（2）若P 为线段AB 的中点，
求证：AQ 为抛物线的切线；
（3）试问（2）的逆命题是否成立。 解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （0，c ）
点A 在抛物线上：y 1=x 12
（1）点B 在抛物线上：
22
直线AB 经过点C ：
2
211x c
y x c y -=
- （3）
将（1）式与（2）式分别代入（3）式，得到x 1x 2=-c ，y 1y 2=c 2 由OB OA ?= x 1x 2+y 1y 2=2，得c=2。
（2）P 为线段AB 的中点，得点Q 的坐标为（2
2
1x x +，-c ）
由AQ 的斜率k 1=
121212121112)
(22
x x x x x x x x x c y =--=+-
+，过点A 的切线的斜率为k 2=2x 1。所以直
线AQ 是抛物线的切线。
（3）过点A 的切线方程为y-y 1=2 x 1（x-x 1）与直线y=-c 相交于点Q ， 将y=-c 代入y-y 1=2 x 1（x-x 1），可得-c-x 12=2 x 1（x-x 1）即x 1x 2-x 12=2 x 1（x-x 1） 所以点Q 的横坐标为
2
2
1x x +，即点P 为线段AB 的中点。（2）的逆命题成立。
该题的命题思路就是借助于性质3而编制的一道中等难度的题。其中主要运用了切
线的斜率，切线的方程的写法，以及抛物线中的定值的使用。下题也是用类似的方法命制的题。
例2：（2006全国高考卷Ⅱ21题）抛物线x 2=4y 的焦点F ，A 、B 是抛物线上两动点，且λ=，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。
（1） 证明：AB FM ?为定值；
（2） 设△ABM 的面积为S ，写出S=f （λ）的表达式，并求出S 的最小值。 解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），F （0，1）
点A 在抛物线上：4y 1=x 12
（1）点B 在抛物线上：4y 2=x 22 （2）
直线AB 经过点F ：
2
2111
1x y x y -=- （3）
得到过点A 的切线方程：2（y-y 1）=x 1（x-x 1） （4）
过点B 的切线方程：2（y-y 2）=x 2（x-x 2） （5） 由（1）（2）（3）得x 1x 2=-4，y 1y 2=1。 由（4）、（5）得M 坐标为（2
2
1x x +，-1）。
所以?=（
2
2
1x x +，-2）·（x 2- x 1，y 2- y 1）=0)(22
122
122=---y y x x 。
（2）λ=，即（0-x 1，1-y 1）=λ（x 2，y 2-1） 所以-x 1=λx 2，再由x 1x 2=-4，得λx 2x 2=4， 即x 2=
λ
4
，则x 1=λ4-，y 1=λ，y 2=
λ
1
。由AB FM ?=0， 所以S= f （λ）=()()
422
1
212
212
212
21+??
?
??+?-+-=
?x x y y x x FM AB =41213
≥???
?
??+λλ。当λ=1时，△ABM 的面积S 取得最小值。
相关考题
1、已知抛物线C 的方程为y x 42
=，焦点为F ，准线为l ，直线m 交抛物线于两点A ，B ； （1）过点A 的抛物线C 的切线与y 轴交于点D ，求证：DF AF =；
（2）若直线m 过焦点F ，分别过点A ，B 的两条切线相交于点M ，求证：AM ⊥BM ，且点M 在直线l 上．
2、对每个正整数n ，()n n n y x A ,是抛物线y x 42
=上的点，过焦点F 的直线F A n 交抛物线于另一点
()n n n t s B ,， （1）试证：4-=?n n s x （n ≥1）
（2）取n
n x 2=，并C n 为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的交点，求证：
122121+-=++++-n n n FC FC FC Λ（n ≥1）
抛物线的概念、性质、几何意义 【教学内容】 抛物线的概念、性质、几何意义及其直线与抛物线的位置关系、抛物线的应用等。 【教学目标】 1、掌握抛物线的定义，动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，则动点的轨迹是抛物线。熟练掌握顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线的四种标准形式：y 2=2px 、y 2=－2px 、x 2=2py 、x 2=－2py （p ＞0）及其它们的焦点坐标、对称轴方程。 2、焦参数p （p ＞0）的几何意义为抛物线的焦点到其准线的距离。若已知了抛物线顶点在顶点，焦点在x 轴上，则可设抛物线的方程为y 2=2ax （a ≠0）；若抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，则可设抛物线的方程为x 2=2ay （a ≠0），再由另外一个条件就可以求出抛物线标准方程了。若顶点在原点，焦点在坐标上，则就要分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况来设抛物线的方程。 3、抛物线标准方程中，判别焦点在哪个轴上的方法是看方程的一次项，若一次项的变量为x ，则焦点在x 轴上；若一次项的变量为y ，则焦点在y 轴 上。另外，对于抛物线y 2=2ax （a ≠0），焦点坐标为（2a ，0），准线方程为2a x -=； 对于抛物线x 2=2ay （a ≠0）焦点坐标为（0，2a ），准线方程为2 a y -=。这一 结论对a ＞0及a ＜0均成立。 4、在抛物线中，抛物线上的动点到焦点的距离我们常常转化为动点到准线的距离来处理，这一思想方法在抛物线中有着广泛的应用。我们在学习时要引起重视。 【知识讲解】 例1、求经过定点A （－3，2）的抛物线的坐标准方程。 解：抛物线过第二象限内的点A （－3，2），应考虑开口向上及向左两种情形。 （1）若开口向左，设抛物线方程为y 2=－2px ，因为抛物线过点A （－3， 2），∴22=－2p(－3)即342=p ，则抛物线方程为x y 3 4 2-=。 （2）若开口向上，设其方程为x 2=2py ，因为抛物线过点A （－3，2）， ∴22)3(2?=-p ，即292=p 综上所述，抛物线的方程为x y 342-=
抛物线及其性质知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、抛物线的定义 平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ?的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线. 注 若在定义中有l F ∈，则动点的轨迹为l 的垂线，垂足为点F . 二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：)0(2,2,2,22 2 2 2 >-==-==p py x py x px y px y ，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示） 1. 点),(00y x P 与抛物线)0(22 >=p px y 的关系 （1）P 在抛物线内（含焦点）02 02px y ?. 2. 焦半径 抛物线上的点),(00y x P 与焦点F 的距离称为焦半径，若)0(22 >=p px y ，则焦半径2 0p x PF + =，2 max p PF = . 3. )0(>p p 的几何意义
p 为焦点F 到准线l 的距离，即焦准距，p 越大，抛物线开口越大. 4. 焦点弦 若AB 为抛物线)0(22 >=p px y 的焦点弦，),(11y x A ，),(22y x B ，则有以下结论： （1）4 2 21p x x =. （2）2 21p y y -=. （3）焦点弦长公式1：p x x AB ++=21，p x x x x =≥+21212，当21x x =时，焦点弦取最小值 p 2，即所有焦点弦中通径最短，其长度为p 2. 焦点弦长公式2：α 2sin 2p AB = （α为直线AB 与对称轴的夹角）. （4）AOB ?的面积公式：α sin 22 p S AOB =?（α为直线AB 与对称轴的夹角）. 5.抛物线的弦 若AB 为抛物线2 2(p 0)y px => 的任意一条弦，1122(x ,y ),B(x ,y )A ，弦的中点为 000(x ,y )(y 0)M ≠ ，则 （1） 弦长公式：1212(k k 0)AB AB x y y =-=-=≠ （2） 0 AB p k y = （3） 直线AB 的方程为000 (x x )p y y y -= - （4） 线段AB 的垂直平分线方程为0 00(x x )y y y p -=- - 6．求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（4 A 法） （1）2 (A 0),y Ax =≠ 焦点为(,0)4A ，准线为4 A x =- (2) 2 (A 0),x Ay =≠ 焦点为(0,)4 A ，准线为4A y =- 如24y x =，即2 4y x =，焦点为1(0,)16 ，准线方程为116 y =- 7．参数方程
抛物线与方程 【知识讲解】 1、定义 平面，到定点的距离与到定直线距离相等的点的轨迹（定点不在定直线上）.其中定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线. 【注】若定点在直线上，则轨迹为过该点垂直于直线的一条直线. 2、抛物线的方程及其简单性质 3、通径 过抛物线的焦点F 作直线⊥l x 轴，交抛物线22y px =于,A B 两点，弦长2=AB p ，此时的弦长称为通径，此为所有的焦点弦中最短的弦. 4、焦点弦的性质 （1）过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，则 ①12p AF x =+，22p BF x =+；②12x x ?=定值2 4 p ，12y y ?=定值2 p -； ③ 11||||FA FB +=定值2p ；④()1221122 p x y x y y y +=-+. （2）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作倾斜角为θ（斜率为k ）的直线交抛物线于,A B （A 在B 上方）两点，则 ①1cos p A F θ= -上；②1cos p B F θ=+下；③22 22s 1i 1n p k AB p θ? ?+ =??? =. （3）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线 l 的垂线，垂足分别为,P Q ，设AB 中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则
①AN BN ⊥；②PF QF ⊥；③NF AB ⊥； ④PF AN ⊥；⑤QF BN ⊥； ⑥以AB 为直径的圆与准线相切，切点即为N ； ⑦以()AF BF 为直径的圆与y 轴相切； ⑧2 4PQ AF BF =； 2 4PQF APF BQF S S S ???=?； ⑨2 32sin ABQP p S θ =四边形. （4）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线 l 的垂线，垂足分别为,P Q ，准线l 与x 轴交于H 点，O ①AHF BHF ∠=∠； ②,,A O Q 三点共线； ③,,B O P 三点共线； （5）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物 线于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于E 点，则 1 2 EF AB = . （6）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，G 为准线上的一动点，且直线GA 、GF 、GB 的斜率均存在，则直线GA 、GF 、GB 的斜率成等差数列，即2GA GB GF k k k +=. 5、过点()(),00M m m >的直线交抛物线()220y px p =>于()()1122,,,A x y B x y 两点，则 ①12x x ?=定值2m ；②12y y ?=定值2pm -； ③2OA OB m p ⊥?=；④m p =时， 2211||||MA MB += 定值2 1 p . 6、设点是抛物线()220y px p =>的焦点，12,,,n P P P 是抛物线上的n 个不同的点，若 120n FP FP FP ++ +=，则12n FP FP FP np ++ +=.
结论一：若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则： 2 124 p x x =，212y y p =-。 结论二：已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F ，求证：112=AF BF p + 。 结论三：（1）若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则 22sin P AB α = （α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。 结论四：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 （2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
证明结论二： 例：已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF +为定值。 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+ ，22 p BF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2 124 p x x =。 则：212 121211()()()2224AF BF AB AB p p AF BF AF BF x x x x x x ++===?+++++ =22 2()424 AB p p p p AB p =+-+（常数 证明：结论四： 已知AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 切。 证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线， 垂足分别为M 、P 、N ，连结AP 、BP 。 由抛物线定义：AM AF =，BN BF =， ∴111 ()()222 QP AM BN AF BF AB = +=+=， ∴以AB 为直径为圆与准线l 相切 （2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ， ∵AM AF =，AM ∥OF ，∴∠AMF=∠AFM ，∠AMF=∠MFO ∴∠AFM=∠MFO 。同理，∠BFN=∠NFO ， ∴∠MFN= 1 2 （∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO ）=90°， ∴1 2 MP NP FP MN ===， ∴∠PFM=∠FMP ∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP ⊥AB
抛物线及其性质 1 .抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线. 2.抛物线四种标准方程的几何性质： 3 ?抛物线寸 2 px( p 0)的几何性质： (1)范围：因为p>0,由方程可知x> 0,所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大,
说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
y kx b y 2 2px k 2x 2 2(kb p)x b 2 (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向. ⑶顶点(0，0)，离心率： e 1，焦点F(E,0)，准线x —，焦准距p. 2 2 2 ⑷ 焦点弦：抛物线 y 2px(p 0)的焦点弦 AB , A(x i , yj , B(X 2,y 2),则 | AB | X i X 2 p . 弦长|AB|=x 1+X 2+P ，当X i =X 2时，通径最短为 2p 。 4.焦点弦的相关性质: 焦点弦AB , A(x i ，y i ), B(x 2,y 2)，焦点F(-,0) 2 2 (1)若AB 是抛物线y 2 2pXp 0)的焦点弦(过焦点的弦)，且A^,%) , B(x 2, y 2)，则：xp 2 —, 4 2 yy 2 p 。 焦点弦中通径最短长为 2p 。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径. (5)两个相切：①以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切 ?②过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线, 以两 垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 5 ?弦长公式：A(x 1, y 1) , B( x 2, y 2)是抛物线上两点，则 AB .(X 1 X 2)2 (y 1 y 2)2 、1 k 2 |x 1 X 2 | . 1 1 I y 1 y 2 I 6. 直线与抛物线的位置关系 直线」-，抛物线? 丫 一：", 厂 y -kx￥b ，消 y 得.E +2礙宀 0 (1) 当k=0时，直线I 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； (2) 当k 工0时， △ > 0,直线I 与抛物线相交，两个不同交点； △ =0，直线l 与抛物线相切，一个切点； △ v 0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 (3) 若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定) 7. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线 l : y kx b 抛物线- / ， (p 0) ①联立方程法： 若AB 是抛物线 寸 2p"p 0)的焦点弦，且直线 AB 的倾斜角为a,贝U AB 已知直线AB 是过抛物线y 2 2px(p 0)焦点F ,丄 AF 1 BF AF BF AF ?BF 2 P (aM 0)。 sin 2 AB 2 AF ?BF p
L 三、抛物线性质总结 22 20)2(0),,0)a x x y px p ?→=→??? ?=>??1y=ay 焦点坐标（，a 4 （1）标准方程：p 焦点坐标（2 12,(,)y B y θ?? ?122 212121212122 (2）设过焦点F 的直线l 与抛物线交于A(x ）、x 两点，则y y p ①x x =，②y y =-p . =-4 4x x 2p 112 ③AB =x +x +p= ,④+=.sin AF BF P ⑤以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 若C 为抛物线上一点，且BC||x 轴则A,O,C 三点共线. ⑥若直线AO 与抛物线的准线交于一点C ，则BC x 轴. 222(22)02k 0k 0k 0k 0k x kb p x b px ?→+-+=?=??? >??? ?? ≠=??? ??
目录 目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11
抛物线大题专练（一） 1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为； （1）求抛物线C的方程； （2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同）， 求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切 线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N． （1）求抛物线的方程； （2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
抛物线
焦点弦长 AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++ 焦点弦 AB 的几条性质 11(,) A x y 22(,) B x y 以AB 为直径的圆必与准线l 相切 若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α= 若AB 的倾斜角为α ，则22cos p AB α = 2 124 p x x = 212y y p =- 112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? 切线 方程 00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+ 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） （4） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： o x ()22,B x y F y ()11,A x y
???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+， 2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 12 12px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+- 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--， 即0 y p k AB = ， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点
抛物线及其性质知识点大全
抛物线及其性质 1．抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质： 图形 参数p几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开 口越阔. 开口方 向 右左上下 标准方 程 22(0) y px p =>22(0) y px p =->22(0) x py p =>22(0) x py p =-> 焦点位 置 X正X负Y正Y负 焦点坐 标(,0) 2 p (,0) 2 p -(0,) 2 p (0,) 2 p - 准线方 程 2 p x=- 2 p x= 2 p y=- 2 p y= 范围0, x y R ≥∈0, x y R ≤∈0, y x R ≥∈0, y x R ≤∈对称轴X轴X轴Y轴Y轴顶点坐（0,0）
3．抛物线) 0(22 >=p px y 的几何性质： (1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2p x -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线) 0(22 >=p px y 的焦点弦AB ， ) ,(11y x A ,),(2 2 y x B ,则p x x AB ++=21 ||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。
4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(1 1 y x A ,),(2 2 y x B ，焦点(,0)2 p F (1) 若AB 是抛物线2 2(0) y px p =>的焦点弦（过焦点的弦）， 且1 1 (,)A x y ，2 2 (,)B x y ，则： 2 124 p x x = ，2 12 y y p =-。 (2) 若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α =（α≠0）。 (3) 已知直线AB 是过抛物线 22(0) y px p =>焦点 F ,112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? (4) 焦点弦中通径最短长为2p 。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径． (5) 两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 5．弦长公式：),(1 1 y x A ,),(2 2 y x B 是抛物线上两点，则 221212()()AB x x y y =-+-||1 1||12 12 2 12 y y k x x k -+=-+= 6.直线与抛物线的位置关系 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
抛物线经典性质总结30条
1.
2. 23 ()2AOB S P AB =V （定值）； 3. 1cos P AF α=-；1cos P BF α =+； 4. 'BC 垂直平分'B F ； 5. 'AC 垂直平分'A F ； 6. ' C F AB ⊥； 7. 2AB P ≥； 8. 11'('')22CC AB AA BB ==+； 9. AB 3P K =y ； 10. 2 p 22y tan =x -α; 11. 2A'B'4AF BF =?; 12. 1C'F A'B'2=. 13. 切线方程 ()x x m y y +=00 性质深究 一)焦点弦与切线 1、 过抛物线焦点弦的两端点作 抛物线的切线，两切线交点位置 有何特殊之处？ 结论1：交点在准线上 先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为?? ? ??-0,2p 在准线上． 证明: 从略
结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴 结论3 弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴． 2、上述命题的逆命题是否成立？ 结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 先猜后证：过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点． 结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径． 3、AB是抛物线px 2=（p＞0）焦点弦，Q是AB y2 ， 的中点，l是抛物线的准线，l AA⊥ 1 ，过A，B的切线相交于P，PQ BB⊥ l 1 与抛物线交于点M．则有 结论6PA⊥PB． 结论7PF⊥AB． 结论8 M平分PQ． 结论9 PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA． 结论102 FA= FB
抛物线的常见性质及证明 概念 焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段； 焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦. 性质及证明 过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的弦两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,倾斜角为α,中点为C(x 0,y 0), 分别过A 、B 、C 作抛物线准线的垂线，垂足为A ’、B ’、C ’. 1.求证：①焦半径αcos 12||1-= + =p p x AF ；②焦半径α cos 12||2+=+=p p x BF ; ③1| AF |＋1| BF |＝2p ； ④弦长| AB |＝x 1＋x 2＋p =α 2sin 2p ；特别地，当x 1=x 2(α=90?)时，弦长|AB|最短，称为通径，长为2p ；⑤△AOB 的面积S △OAB ＝α sin 22 p . 证明：根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x 1＋p 2，| BF |＝| BC |＝x 2＋p 2 ， | AB |＝| AF |＋| BF |＝x 1＋x 2＋p 如图2，过A 、B 引x 轴的垂线AA 1、BB 1，垂足为 A 1、B 1，那么| RF |＝| AD |－| FA 1 |＝| AF |－| AF |cos θ， ∴| AF |＝ | RF |1－cos θ＝p 1－cos θ 同理，| BF |＝| RF |1＋cos θ＝p 1＋cos θ ∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝ p 1－cos θ＋p 1＋cos θ＝2p sin 2θ . S △OAB ＝S △OAF ＋S △OBF ＝12| OF || y 1 |＋12| OF || y 1 |＝12·p 2·(| y 1 |＋| y 1 |) ∵y 1y 2＝－p 2，则y 1、y 2异号，因此，| y 1 |＋| y 1 |＝| y 1－y 2 | ∴S △OAB ＝p 4| y 1－y 2 |＝p 4(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝p 44m 2p 2＋4p 2＝p 221＋m 2 ＝p 2 2sin θ .
抛物线 抛 物 线 ) 0(22>=p px y ) 0(22>-=p px y ) 0(22>=p py x ) 0(22>-=p py x 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 {MF M =点M 到直线l 的距离} 范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ ,0x R y ∈≥ ,0x R y ∈≤ 对称性 关于x 轴对称 关于y 轴对称 焦点 ( 2 p ,0) (2p -,0) (0,2p ) (0,2 p - ) 焦点在对称轴上 顶点 (0,0)O 离心率 e =1 准线 方程 2 p x - = 2 p x = 2 p y - = 2 p y = 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 顶点到准线的距离 2 p 焦点到准线的距离 p 焦半径 11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F
焦点弦长 AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++ 焦点弦 AB 的几条性质 11(,)A x y 22(,)B x y 以AB 为直径的圆必与准线l 相切 若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α= 若AB 的倾斜角为α，则22cos p AB α = 2 124 p x x = 212y y p =- 112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? 切线 方程 00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+ 1. 直线与抛物线的位置关系 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） （4） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0( p ① 联立方程法： o x ()22,B x y F y ()11,A x y
?抛物线的性质（见下表）: 抛物线的焦点弦的性质：
?关于抛物线的几个重要结论： (1)弦长公式同椭圆． (2)对于抛物线y2=2px(p>0)，我们有P(x0，y0)在抛物线内部P(x0，y0)在抛物线 外部 (3)抛物线y2=2px上的点P（x1，y1）的切线方程是 抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y=kx+ (4)抛物线y2=2px外一点P(x0，y0)的切点弦方程是 (5)过抛物线y2=2px上两点的两条切线交于点M(x0，y0)，则 (6)自抛物线外一点P作两条切线，切点为A,B，若焦点为 F,又若切线PA⊥PB，则AB必过抛物线焦点F． 利用抛物线的几何性质解题的方法：
根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．利用抛物线的几何性质，可以进行求值、图形的判断及有关证明． 抛物线中定点问题的解决方法： 在高考中一般以填空题或选择题的形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识，在解答题中常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身，与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合，考查综合分析问题的能力，而与抛物线有关的定值及最值问题是一个很好的切人点，充分利用点在抛物线上及抛物线方程的特点是解决此类题型的关键，在求最值时经常运用基本不等式、判别式以及转化为函数最值等方法。 利用焦点弦求值： 利用抛物线及焦半径的定义，结合焦点弦的表示，进行有关的计算或求值。 抛物线中的几何证明方法： 利用抛物线的定义及几何性质、焦点弦等进行有关的几何证明是抛物线中的一种常见题型，证明时注意利用好图形，并做好转化代换。
抛物线性质30条 已知抛物线2 2(0)y px p =>，AB 是抛物线的焦点弦，点C 是AB 的中点. AA’垂直准线于A ’， BB ’垂直准线于B ’， CC’垂直准线于C ’，CC ’交抛物线于点M ，准线交x 轴于点K. 求证： 1.12||,||,22p p AF x BF x =+ =+ 2.11 ()22 CC AB AA BB '''==+； 3.以AB 为直径的圆与准线L 相切； 证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线， ||||||||||2| AB AF BF AA BB ''=+=+=4.90AC B '∠=o ；(由1可证) 5.90A FB ''∠=o ； ,,||||,,1, 2 AA FK A FK FA A AF AA AA F AFA A FK AFK '''∴∠=∠'''=∴∠=∠'∴∠=∠Q P Q 证明： 同理：1,2 B FK BFK '∠=∠得证. 6.1 C F A B 2 '''=. 证明：由90A FB ''∠=o 得证. 7.AC '垂直平分A F '；BC '垂直平分B F '证明：由1C F A B 2 '''=可知，1||||||,2C F A B C A '''''== ||||,.AF AA '=∴Q 又得证 同理可证另一个. 8.AC '平分A AF '∠，BC '平分B BF '∠,A’F 平分AFK ∠，B ’F 平分BFK ∠. 证明：由AC '垂直平分A F '可证. 9.C F 'AB ⊥； 证明：12 2121(,)(,)2y y C F AB p x x y y +'?=-?--u u u u v u u u v 222222 122112 21()02222y y y y y y p x x --=-+=-+= 10.1cos P AF α=-；1cos P BF α =+； 证明：作AH 垂直x 轴于点H ，则||||||||||cos ,||1cos p AF AA KF FH p AF AF αα '==+=+∴=-. 同理可证另一个. 11. 112AF BF P +=; 证明：由1cos P AF α=-；1cos P BF α =+；得证.
抛物线及其性质 1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质： 图形 参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔. 开口方向 右 左 上 下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 焦 点位 置 X 正 X 负 Y 正 Y 负 焦 点坐 标 (,0)2 p (,0)2p - (0,)2p (0,)2p - 准 线方 程 2 p x =- 2p x = 2 p y =- 2 p y = 范 围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ 0,y x R ≥∈ 0,y x R ≤∈ 对 称轴 X 轴 X 轴 Y 轴 Y 轴 顶 点坐 标 （0,0） 离心率 1e = 通 径 2p 焦半径11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 焦点弦长AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++ 焦点弦长AB 的补充 11(,)A x y 22(,)B x y 以AB 为直径的圆必与准线l 相切 若AB 的倾斜角为α，2 2sin p AB α = 若AB 的倾斜角为α，则22cos p AB α = 2 124 p x x = 212y y p =- 112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质： (1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
抛物线焦点弦性质总结 30 条 基础回顾 1. 以 AB 为直径的圆与准线 L 相切； p 2 2. x 1gx 2 ; 4 3. y 1gy 2 p 2 ; 4. AC ' B 90o ; 5. A' FB ' 90o ; 6. AB x 1 x 2 p 2( x 3 p 2 p ; ) sin 2 2 1 1 2 7. BF ; AF P 8. A 、 O 、 B ' 三点共线； 9. B 、 O 、 A ' 三点共线； 10. S V AOB P 2 ； 2sin 11. S V 2 AOB P 3 （定值）； AB ( ) 2 12. AF P ； BF P ； cos cos 1 1 13. BC ' 垂直平分 B ' F ； 14. AC ' 垂直平分 A 'F ； 15. C 'F AB ； 16. AB 2P ； 17. CC' 1 AB 1 ( AA' BB') ； 2 2 18. K AB = P ； y 3 19. tan = y 2 p ; x 2 - 2 2 20. A'B' 4 AF BF ;
21. C'F 1 A'B' . 2 切线方程 y 0 y m x 0 x 性质深究 一 ) 焦点弦与切线 1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？ 结论 1：交点在准线上 先猜后证：当弦 AB x 轴时，则点 P 的坐标为 证明: 从略 结论 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴 p ,0 在准线上． 2 结论 3 弦 AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴． 2、上述命题的逆命题是否成立？ 结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 先猜后证：过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点 AB 的弦必过焦点． 结论 5 过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径． 3、 AB 是抛物线 y 2 2 px （p ＞ 0）焦点弦， Q 是 AB 的中点， l 是抛物线的准线， AA 1 l ， BB 1 l ，过 A ， B 的 切线相交于 P ， PQ 与抛物线交于点 M ．则有 结论 6PA ⊥ PB ． 结论 7PF ⊥ AB ． 结论 8 平分 ． M PQ 结论 9 PA 平分∠ 1 ， 平分∠1． AAB PB B BA 结论 10 FA FB 2 PF 结论 11 S PAB min p 2 二 ) 非焦点弦与切线 思考：当弦 AB 不过焦点，切线交于 P 点时， 也有与上述结论类似结果：
抛 物 线 一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质 1、范围：因为0p >，由方程22y px =可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右. 2、对称性：以y -代y ，方程22(0)y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴 3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中，当 0y =时，0x =，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点. 4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e 表示.按照抛物线的定义，1e = 知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ，线段12M M 叫作抛物线的通径，将02 p x =代入22y px =得y p =±，故抛物线22y px =的通径长为2p 例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上，则()22,129f x y x y x =-++的取值范围？ 分析：本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数，求二次函数在区间[)0,+∞上的最值. ()()2 2,812925f x y x x x x =-++=++，又[)0,x ∈+∞，所以当0x =时，(),f x y 取得最小值9， 当[)0,x ∈+∞时，()()2 ,25f x y x =++，无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为 [)9,+∞ 答案：[)9,+∞
抛物线焦点弦性质总结30条 基础回顾 1.以AB为直径的圆与准线L相切; 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 11. 12. 2 “ o P x1gx2—; 2 y1gy2p ； AC'B 90°； A'FB' 90°; AB % x2 p 2(x3#) 丄_L 1 AF||BF| P; A、O B'三点共线； B、O A'三点共线； P2 2sin ' (P)3(定值)； 2 S VAOB 2 Sv AOB |AB AF 1 cos BF 2p sin2 1 cos P ；
13. BC 垂直平分BF ； 14. AC '垂直平分A 'F ; 15. C 'F AB ； 16. AB 2P ; 1 17. CC' -AB 2 “ P 18. K AB =-； y 3 19. tan =-^; X 2-号 2 20. A'B' 4AF| |BF 21. C'F ^A'B'. 2 22.切线方程 y 0y m x 0 x 性质深究 ）焦点弦与切线 1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有 何特殊之 处？ 结论1：交点在准线上 先猜后证：当弦AB x 轴时，则点P 的坐标为 卫,0在准线上. 2 证明：从略 结论2切线交点与弦中点连线平行于对称轴 结论3弦AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴. 2、上述命题的逆命题是否成立？ 结论4过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 先猜后证：过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点 AB 的弦必过焦点. 结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径. 3、AB 是抛物线y 2 2px （ p > 0）焦点弦，Q 是AB 的中点，I 是抛物线的准线，AA l , BB 1 l , 过A , B 的切线相交于P, PQ 与抛物线交于点M 则有 结论 6PALPB. 结论7PF 丄AB. 结论8 M 平分 PQ 结论9 PA 平分/ AAB PB 平分/ BBA 结论 10 F A |FB PF 2 结论 11S PAB min p ' 1(AA' BB')；