第十一章 机械振动
一、基本要求
1．掌握简谐振动的基本特征，学会由牛顿定律建立一维简谐振动的微分方程，并判断其是否谐振动。
2. 掌握描述简谐运动的运动方程)cos(0?ω+=t A x ，理解振动位移，振幅，初位相，位相，圆频率，频率，周期的物理意义。能根据给出的初始条件求振幅和初位相。
3. 掌握旋转矢量法。
4. 理解同方向、同频率两个简谐振动的合成规律，以及合振动振幅极大和极小的条件。
二、基本内容
1. 振动 物体在某一平衡位置附近的往复运动叫做机械振动。如果物体振动的位置满足)()(T t x t x +=，则该物体的运动称为周期性运动。否则称为非周期运动。但是一切复杂的非周期性的运动，都可以分解成许多不同频率的简谐振动（周期性运动）的叠加。振动不仅限于机械运动中的振动过程，分子热运动，电磁运动，晶体中原子的运动等虽属不同运动形式，各自遵循不同的运动规律，但是就其中的振动过程讲，都具有共同的物理特征。
一个物理量，例如电量、电流、电压等围绕平衡值随时间作周期性（或准周期性）的变化，也是一种振动。
2. 简谐振动 简谐振动是一种周期性的振动过程。它可以是机械振动中的位移、速度、加速度，也可以是电流、电量、电压等其它物理量。简谐振动是最简单，最基本的周期性运动，它是组成复杂运动的基本要素，所以简谐运动的研究是本章一个重点。
（1）简谐振动表达式)cos(0?ω+=t A x 反映了作简谐振动的物体位移随时间的变化遵循余弦规律，这也是简谐振动的定义，即判断一个物体是否作简谐振动的运动学根据。但是简谐振动表达式更多地用来揭示描述一个简谐运动必须
涉及到的物理量A 、ω、0?（或称描述简谐运动的三个参量），显然三个参量确定后，任一时刻作简谐振动的物体的位移、速度、加速度都可以由t 对应地得到。
)2
cos()sin(00π
?ωω?ωω+
+=+-=t A t A v
)cos()cos(0202π?ωω?ωω±+=+-=t A t A a
（2）简谐运动的动力学特征为：物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比、而方向相反，即kx F -=，它是判定一个系统的运动过程是否作简谐运动的动力学根据，只要受力分析满足动力学特征的，毫无疑问地系统的运动是简谐运动。这里应该注意，F 系指合力，它可以是弹性力或准弹性力。
（3）和简谐运动的动力学特征相一致的是简谐运动的运动学特征：作简谐
运动物体的加速度大小总是与其位移大小成正比、而方向相反，即x dt
x d 222ω-=，
它也是物体是否作简谐运动的判据之一。只要加速度与位移大小成正比、而方向恒相反，则该物理量的变化过程就是一个简谐运动的过程。在非力学量，例如电量、电流和电压等电学量，就不易用简谐振动的动力学特征去判定，而LC
电路中的电量q 就满足q LC dt
q d 1
22-=，故电量q 的变化过程就是一个简谐振荡的过程，显然用运动学的特征来判定简谐运动更具有广泛的意义。
3. 简谐振动的振幅、周期、频率和相位
（1）振幅A 是指最大位移的绝对值。A 是由初始条件来决定的，即
2
20
2
ω
v +
=x A 。
（2）周期T 是指完成一次完整的振动所用时间。ω
π
2=T ，式中ω是简谐振
动的圆频率，它是由谐振动系统的构造来决定的，即m
k
=ω,ω也称为固有圆频率。对应的T 称为固有周期。v
T 1
=
，式中v 称为频率（即固有频率），它与圆频率的关系2v ωπ=，是由系统本身决定的。
（3）相位)(0?ω+t 和初相位0?是决定简谐振动的物体t 时刻和0=t 时刻运动状态的物理量。即在A 、ω确定后，任一时刻的x 、v 、a 都是由)(0?ω+t 来确定的。一个周期内，每一时刻的相位)(0?ω+t 不同，则对应的运动状态也不相同。对不同的两个或更多的几个简谐振动，相位还用来区分它们之间“步调”的一致与否。
初相位0?决定于初始条件：即由???-==0
00
0sin cos ?ω?A A x v 共同决定。或由
)arctan(0
0x ω?v -
=计算，但由此式算得的0?在[]π2,0或[]ππ,-范围内有两个可能的取值，必须根据0=t 时刻的速度方向进行合理的取舍。如能配合使用旋转矢量图示法，则会使0?的确定更加简捷、方便。
4. 旋转矢量法 简谐运动的表达式)cos(0?ω+=t A x 中有三个特征量A 、
ω、0?，旋转矢量法把描述简谐运动的三个物理量更直观、更形象地表示在图示中。作匀速转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅A ，其角速度等于谐振动的角频率ω，且0=t 时，它与X 轴正向的夹角为谐振动的初位相0?，t t =时
刻它与X 轴正向的夹角为谐振动的位相（0?ω+t ）。旋转矢量A ρ
的末端在X 轴
上的投影点的运动代表质点的谐振动。
5. 简谐振动的能量
动能 )(sin 21
0222?ωω+=
t A m E k 势能 )(cos 2
1
022?ω+=t kA E p
机械能 221
kA E E E p k =+=
6. 同方向同频率简谐振动的合成
()1011cos ?ω+=t A x 和()2022cos ?ω+=t A x 合成后仍为简谐振动
()021cos ?ω+=+=t A x x x 其中)cos(21020212
221??-++=
A A A A A (合振幅)
20
210120
21010cos cos sin sin ?????A A A A tg ++=
（合振动的初相）
三、习题选解
11-1 质量为g 10的小球与轻弹簧组成的系统，按)3
8cos(5.0π
π+=t x m
的规律振动（式中 x 以m 计，t 以s 计），试求：
（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度和加速度的最大值； （2）s t 1=、s 2、s 10各时刻的相位；
（3）分别画出位移、速度、加速度与时间t 的关系曲线。 解：（1）)3
8cos(5.0π
π+=t x m 与振动的标准形式cos(A x =0?ω+t )相比可
知：
圆频率 πω8=1-s 振幅 m A 5.0= 初相位 3
0π
?= 周期 ω
π
2=
T =s 25.0
最大速度 5.08max ?==πωA v 1156.12--?=?s m s m
最大加速度 5.0)8(22max ?==πωA a 2211016.3--??=?s m s m （2）相位为)3
8(π
π+
t ,将s t 1=、s 2、s 10代入相位分别为
π318、π3116、π3
180 （3）由)3
8cos(5.0π
π+
=t x m 有
)38sin(4π
ππ+==
t dt dx v 1-?s m )3
8cos(322π
ππ+-==t dt d a v 2-?s m 11-2 有一个和轻弹簧相连的小球，沿x 轴作振幅为A 的简谐振动，其表达式用余弦函数表示。若0=t 时，球的运动状态为（1）A x -=0；（2）过平衡位
置向x 轴正向运动；（3）2A
x =
处向x 轴负方向运动；（4）2
A x =处向x 轴正方向运动；试用矢量图示法确定相应的初相的值，并写出振动表达式。
解：四种情况对应的旋转矢量 图如图所示：
（1） 初相位π?=0，振动 方程为)cos(πω+=t A x
（2） 初相位2
0π
?-=，振动
方程为)2
cos(π
ω-=t A x
（3） 初相位为3
0π?=，
振动方程为 )3
cos(π
ω+
=t A x 题11-2图
（4）初相位40π?-
=，振动方程为)4
cos(π
ω-=t A x
11-3 质点作简谐振动的曲线x-t 如图所示，求质点的振动方程式
解：t=0时， 00cos 2
?A A
x ==
所以 21cos 0=?， 3
0π
?±=，
再由0sin 0>-=?ωA 0v ， 0sin 0?< 取3
0π
?-=
t=1s 时，11cos 2
?A A
x == （注意01?ω?+=）
11
cos 2?= ， 3
1π?±=
再由0sin 1<-=?ωA 1v ， 0sin 1>? 所以 3
1π
?=
102
3
ω??π=-=
振动方程为 ()m t t A x ??? ??-=+=33
2
cos 04.0cos 0ππ?ω
11-4 两质点沿同一直线作同频率、同振幅的简谐振动，当它们每次沿相反方向互相通过时，它们的位移均为其振幅的一半，求这两个质点振动的相位差。
解：设两个质点振动方程为
)cos(11?ω+=t A x )cos(22?ω+=t A x
速度为 )sin(11
1?ωω+-==
t A dt
dx v )sin(22
2?ωω+-==
t A dt
dx v 依题意，两质点在t t '=相遇时
2
)()(21A t x t x =
'=' )cos(1?ω+'t )cos(2?ω+'=t 2
1=
1?ω+'t 2?ω+'=t 3
2π
π±
=n
此时两质点运动方向相反，这分两种情况。
（1）质点1向x 轴正向运动，质点2向x 轴负向运动，这时
3
21π
π?ω-
=+'n t 3
22π
π?ω+
=+'n t
位相差=??-+')(1?ωt 3
2)(2π?ω-
=+'t （2）质点1向x 轴负向运动，质点2向x 轴正向运动，这时
3
21π
π?ω+
=+'n t 3
22π
π?ω-
=+'n t
位相差=??-+')(1?ωt 3
2)(2π?ω=
+'t 两种情况都说明其中一个质点的运动比另处一个质点的运动超前或落后
32π。两质点在2A -处相向相遇时有同样的结论。
11-5 在一平板上放质量kg m 0.1=的物体，平板在竖直方向上下作简谐振动，周期为s T 5.0=，振幅02.0=A m ，试求： （1）在位移最大时，物体对平板的压力； （2）平板应以多大振幅作振动，才能使重物开始跳离木板。
解：（1）选择物体平衡位置为坐标原点，向
上的方向为x 轴正向。由牛顿第二定律有
ma mg N =-
题11-5图
当系统运动到最高位置时，加速度为负的最大值。即 2max ωA a a -=-=
此时 N A T g m A g m ma mg N 6.6)2()(22max =??
?
???-=-=-=πω
当系统运动到最低位置时 2max ωA a a ==
此时 N N A g m ma mg N 13)2.38.9(0.1)(2max =+?=+=+=ω
（2）物体跳离木板，应在最高位置时受木板的力
0)(2max =-=-=ωA g m ma mg N
m gT g
A 062.042
2
2===πω
11-6 如图所示，一质量为M 的盘子系于竖直悬挂的 轻弹簧的下端，弹簧的倔强系数为k 。现有一质量m 的物体自离盘h 高处自由落下 掉在盘中，没有反弹，以物体掉在盘上的 瞬时作为计时起点。求盘子的振动表达式。 （取物体掉在盘子后的平衡位置作为坐标原点，位移取向下为正）。
解：取物体掉在盘子里的平衡位置为坐标原点，y 轴向下建立坐标系。 这时弹簧伸长2λ为
2)(λk g M m =+
g k
M
m +=
2λ 当0=t 时，弹簧伸长1λ为
1λk Mg = k
Mg
=
1λ 所以，0=t 时系统的位移为
k
mg
k mg k g m M y -=-+-=--=])([
)(120λλ 设此时系统的速度为0v ，由动量守恒定律有
题11-6图
题11-6图
0)(2v m M gh m += m
M gh
m +=
20v
且速度向下与y 轴方向相同，0v 取正值。
当物体落入盘中，且系统运动至坐标y 处时，系统运动方程为
22)()(dt
y
d m M T g m M +=-+
此时弹簧伸长为2λ+y ，因而)(2λ+=y k T
则 222)()()(dt
y
d m M y k g m M +=+-+λ
由于 g m M k )(2+=λ有
02
2=++y m M k
dt
y d 方程解为 )cos(0?ω+=t A y m
M k
+=
ω 由初始条件0=k
时，00,mg
y k =-
=v 有
A ===
g
m M kh
k mg )(21++
)(2arctan )(2arctan )arctan(0
0m M g kh k
mg
m M k gh
M m m
y +=-++-
=-
=ω?v 所以盘子的振动表达式为
))
(2arctan cos()(21m M g kh
t m M k g m M kh k mg y ++?+++=
11-7 如图所示，一弹簧振子由倔强系数k 的弹簧和质量M 的物块组成，
将弹簧一端与顶板相连。开始时物块静止，一颗质量为m ，速度0u 的子弹由下而上射入物块，并留在物块中。求： （1）振子以后的振幅和周期；
（2）物体从初始位置运动到最高点所需的时间。
题11-7图
解：（1）以子弹射入物块后的平衡 位置为原点，y 轴向下，建立坐标系，这时 弹簧伸长
g k
m
M y +=
2 子弹未射入物块时，弹簧伸长为
k
Mg
y =1。此时物体在坐标系中的位置
题11-7图 k mg
k Mg g k m M y y y -
=-+-=--=)()(120 物块和子弹共同运动的速度0v 00)(mu m M -=+v
00u m
M m
+-=
v （负号表示方向向上） 当子弹射入物块，并且运动到y 处时，系统的运动方程为
22()()d y
M m g T M m dt
+-=+
此时弹簧伸长为y y +2，故)(2y y k T +=
于是有 222)()()(dt
y
d m M y y k g m M +=+-+
由于 g m M ky )(2+=
有 22)(dt
y
d m M ky +=-
02
2=++y m M k
dt
y d 系统的振动方程为 )cos(0?ω+=t A y m
M k
+=
ω
由初始条件0=t 时，k mg y y -
==0 ， 00u m
M m +-=v 有 2020)(ωv +=
y A =2
02)(?????
?
???
???++-+-m M k
u m M m k mg =k
m M u m k mg )()(2
022
++
))(arctan()arctan(00
0k mg
m M k m M mu y -++-
-=-
=ω?v )arctan(0g
u m M k
?+-
=
故系统振幅为 k
m M u m k mg A )()(2
022
++=
周期为 k
m
M T +=π
2 （2） 系统的振动方程为
?????
??+-+?+++=)arctan(cos )()(02
022g u m M k
t m M k k m M u m k mg y
物块从初始位置运动到最高点时，A y -=
1)arctan(cos 0-=?????
??+-+?+g u m M k t m M k
第一次到达最高点时
π=?+-+?+)arctan(0g
u m M k t m M k )]arctan([0g
u m M k
k m M t ?+--+=
π 11-8 一水平放置的弹簧振子，已知物体经过平衡位置向右运动时速度
11.0m s -=?v ，周期s T 0.1=，求再经过s 3
1
时间，物体的动能是原来的多少倍，
设弹簧的质量不计。
解：取向右的方向为x 轴的正向，设物体平衡位置为坐标原点，物体的振动方程为
)cos(0?ω+=t A x
由于 ππ
ω22,0.1==
=T
s T 故 )2cos(0?π+=t A x 将物体经过平衡位置向右运动时取为0=t 时刻
则 00cos 0x A ?== A A s m πω20.110==?=-v
有 0cos ,210==
?πA 2
0π?-= 因而物体振动方程为 )2
2cos(21π
ππ-=t x
物体的振动速度为)2
2sin(π
π--==t dt dx v
当s t 31=时， 12
1)61sin()232sin(-?-=-=--=s m πππv
此时物体动能为 m m E 81
212=='v J
初始时刻物体动能为 m m E 2
1212
0==v J
41='E E 即31秒后物体动能是原来的41。
11-9 一质量g 10的物体作简谐振动，其振幅为cm 24，周期为s 0.4，当0=t 时，位移为cm 24+，求：
（1）s t 5.0=时，物体所在的位置；
（2）s t 5.0=时，物体所受力的大小与方向； （3）由起始位置运动到cm x 12=处所需的最少时间；
（4）在cm x 12=处，物体的速度、动能以及系统的势能与总能量。 解：令振动方程为 )cos(0?ω+=t A x 由题意有 24=A cm ，0.4=T s ，2
2π
πω==
T
且0=t 时，00,cos 1x A ?==初相位00=? 振动方程为 (24cos
)2
x t π
=cm
所以（1）s t 5.0=时，212)4
cos(24==π
x cm =0.17cm
（2）)cos(0222?ωω+-===t A m dt
x
d m ma F
s t 5.0=时，4
cos )2(10241010223π
π?????-=--F N N 31019.4-?-=
负号表示力的方向沿x 轴负向。
（3）当cm x 12=时，21)2cos(=t π，位相t 2π取值为,...)2,1,0(,3
2=±n n π
π。
最少的时间 t 2π=3
2
,3=t πs
（4）cm x 12=时，2
3
122sin 12πππ±=-==
t dt dx v 116.32--?±=?s cm s cm 正负号表示物体可能向x 轴正向或负向运动。 此时动能：2232)106.32(10102
1
21--????==v m E k J =33.5410-?J 势能：2
2
1kx E p =
，由m
k
=ω，有2ωm k = 222322)1012()2
(10102121--?????==
π
ωx m E p J =78.1410-?J 总能量：41011.7-?=+=k p E E E J
11-10 如图所示，一个水平面上的弹簧振子，弹簧的倔强系数为k ，所系物体的质量为M ，振幅为A ，有一质量m 的物体从高度h 处自 由下落。当振子在最大位移处，物体正好题 落在M 上并粘在一起，这时振动系统的
振动周期、振幅和振动能量有何变化如 题 11-10图 果物体m 是在振子到达平衡位置时落在M 上，这些量又如何
解：粘土未落在M 上时系统的振动周期为
k
M
T π
20=
粘土落在M 上时，系统的振动周期为
k
m
M T +=π
2 , 0T T > 当M 正好处于最大位移处，即A x ±=时，此时0=v ，粘土落下后，x 方向速度仍为零，此时振子仍处于最大位移处，振幅不变。系统能量为22kA 也不变。
当M 处于平衡位置时，系统在平衡位置0=x ，此时
A M
k
A
A ,0max ±=±=±=ωv v 为系统原来的振幅。 粘土落下与M 碰撞后的速度'v ，可由动量守恒定律求出
v v M m M ='+)( A m
M kM
M k m
M MA
m M M +±=+±=+=
'v v 若粘土落下后M 的振幅A '，由初始条件'==v v 00,0x
有 A m
M M
m
M k
A
m
M kM x A +=
++=+='200)(ωv A A <'
此时系统能量为 E m
M M kA m M M A m M M k A k E +=+=+='=
'22212121 2
2
1kA E =
为粘土未落下时系统的能量， 11-11 在光滑的桌面上，有倔强系数分别为1k 与2k 的两个弹簧以及质量为
m 的物体，构成两种弹簧振子，如图所示，试求这两种系统的固有角频率。
题11—11图
解：（1）由图)(b 所示，设弹簧原长分别为1l 、2l ，平衡时弹簧的伸长量分别为1l ?和2l ?，如不计物体尺寸。则
L l l l l =?++?+2211 2211l k l k ?=?
以平衡点O 为坐标原点，x 轴向右建立坐标系，当小球向x 轴正向移动x 时， 物体受力
)()(221121x l k x l k f f f -?++?-=+=
由于221l k l k ?=?， 因而=f x k k )(21+-
物体运动方程为 2221)(dt
x
d m x k k =+-
题11-11图
02
12
2=++x m k k dt x d
物体作简谐振动，振动角频率为 m
k k 2
1+=
ω 其周期为 2
122k k m
T +==
π
ω
π
（2）由图)(c 所示，以物体不受力，弹簧自然伸长时，物体位置为原点建立坐标系。当物体在位移x 处时，若弹簧1k 的伸长为1x ?，弹簧2k 的伸长为2x ?，则
x x x =?+?21 2211x k x k ?=?
解得 x k k k x 2121+=
? x k k k x 2
11
2+=?
物体受力 x k k k k x k f 2
12
122+-
=?-= 物体的运动方程为 222121)(dt
x
d m x k k k k =+-
0)
(212122=++x k k m k k dt x d 物体同样作简谐振动，振动角频率为
)
(212
1k k m k k +=
ω
振动周期为2
121)
(22k k k k m T +==
π
ω
π
11-12 如图所示，轻质弹簧的一端固定，另一端系一轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量m 的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下自由振动，已知弹簧的倔强系数为k ，滑轮的半径为R ，转动惯量为J （1）证明物体作简谐振动 （2）求物体的振动周期题
（3）设0=t ，弹簧无伸缩，物体也无初速度，写出物体的振动表达式。
解：（1）以系统静止时，物体m 的位置为坐标原点，坐标轴垂直向下建立坐标系，设此时弹簧伸长为1x ,由牛顿运动定律有
01=-T mg 021=-R T R T 12kx T =
可得 1kx mg =
k
mg
x =
1 题11-12图 当物体在x 处时，物体和滑轮的运动方程为
221dt
x
d m T mg =- ①
11-12图
βJ R T R T =-21 ② )(12x x k T += ③ βR dt
x
d =2
2 ④ 解方程①-②，可得)()(1222x x k mg dt
x
d m R J +-=+
由于1kx mg =
kx dt
x
d m R J -=+222)( 0222=++x R
J m k dt x d 由此证明物体做简谐振动。 （2） 振动圆频率为 2
R
J m k
+=
ω 物体振动周期为 k
R J m T 2
22+==π
ωπ
（3） 设振动方程为 )cos(0?ω+=t A x 其中 2
R
J m k
+=
ω 由初始条件，0=t 时，k
mg
x x -=-==100,0v 有 k
mg
x x x A =
==+
=1020
20
ω
v 1cos 0-=? π?=0
物体振动表达式为 )cos(2
π++=
t R J m k k mg x 11-13 如图所示，一长为l 、质量为m 的均匀细棒，用两根长L 的细绳分别拴在棒的两端，把棒悬挂起来，若棒绕通过中心的竖直轴O O '作小角度的摆
动，试确定其周期。
解：细棒受力分析如图所示。将绳中张力分解，在竖直方向上有
mg F =θcos 2 ①
在水平方向上的分力构成一对力偶，力矩的大小为
θsin Fl M = ②
结合①式有 θtan 2
1
mgl M =
③
题11-13图
力矩的方向与细棒角位移方向相反，由定轴转动定律
βJ M = ④
有 22tan 21dt
d J mgl ?
θ=- ⑤
在小角度近似下有θθ≈tan ?θ2
l
L ≈
代入⑤式有 22221dt
d J L l mgl ?
?=?-
细棒绕中心轴转动惯量 212
1
ml J =
0411212
22
2=+??mgl L dt
d ml 0322=+??L g
t
d d
振动角频率为 L
g 3=
ω 振动周期为g
L T 322π
ω
π
==
11-14 在简谐振动中，当位移为振幅的一半时，总能量中有多大一部分为动能，多大一部分为势能在多大位移处动能与势能相等
解：在简谐振动中物体总能量
2222
1
2121kA kx m E =+=
v 其中A 为振幅 当2A x =
时 E kA A k E p 4
1
2141)2(2122=?== p k E E E -=E kA kA kA 4
3
21434121222=?=-=
即总能量中有43为动能，41为势能。 若p k E E =，由于E E E p k =+ 故 22
12121kA E E E k p ?==
= 这时若物体位移为1x ，则2212
1
2121kA kx ?=，
12x A =±
即在位移2
±
处，动能和势能相等。 11-15 两个同方向的简谐振动，周期相同，振幅分别为m A 05.01=，
m A 07.02=，合成后组成一个振幅为m 09.0的简谐振动，求两个分振动的相位
差。
解：由同方向、同频率振动合成公式
??++=cos 2212
221A A A A A
有 1.007
.005.02)07.0()05.0()09.0(2cos 2
222122212=??--=--=?A A A A A ?
6184'±=?ο?
11-16 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动：
)62cos(04.01π+=t x )6
52cos(03.02π
-=t x
试求合振动的振幅与初相位（式中x 以m 计，t 以s 计）。
解：由 m t x )6
2cos(04.01π
+
=
m t x )6
52cos(03.02π-
= 从矢量旋转图上可以看出，两个振动相位相反，合振幅
m m A A A 01.0)03.004.0(21=-=-=
初相位 6
10π
??=
=
合振动方程为 m t x )6
2cos(01.0π
+= （SI ）
11-17 一质点同时参与了两个同方向一维简谐振动：t ωcos 与
)2
cos(3π
ω+
t ，试求该质点合振动的振幅与初相0?。
解：由 t x ωcos 1=
)2
cos(32π
ω+=t x
有2
,3,0,12211π
??====A A
因而合振幅
题11-17图
=-++=)cos(212212
221??A A A A A 2)3(122=+
3tan 120==
A A ? 3
0π
?= 11-18 设有下列两对相互垂直的振动：
(1)t a x ωsin = t b y ωcos = (2)t a x ωcos = t b y ωsin = 试问它们的合成分别代表什么运动二者有何区别
解：由 (1)t a x ωsin = t b y ωcos = (2) t a x ωcos = t b y ωsin =
均有 122
22=+b
y a x
题11-19图
这代表质点是沿椭圆轨道的旋转运动。 对于（1） t a x ωsin = t b y ωcos =
当0=t 时，质点在B 点，当4T t =时，质点在A 点，质点是沿顺时针方向旋转的。
对于（2） t a x ωcos = t b y ωsin =
当0=t 时，质点在A 点，当4T t =时，质点在B 点，质点是沿逆时针方向旋转的。
11-19 质量为0.4kg 的质点同时参与互相垂直的两个振动，
0.08cos 3
6x t π
π??=+ ???
?
?? ??-=33
cos 06.0ππ
t y 式中x ，y 以m 计，t 以s 计。求： （1） 运动轨道方程
（2） 质点在任一位置所受的力
解：(1) 由 ??? ??+=63
cos 08.0ππ
t x
??? ??-=33
cos 06.0ππ
t y
消去参量t 后，可得轨道的直角坐标方程
()()??
?
??--=??? ??--?-
+
63sin 63cos 06.008.0206.008.022
2
22
ππππxy y x
由0)2cos(=-π
1)2
sin(-=-π
， 轨道方程成为
()()
106.008.02
2
22=+y x 这是一个长半轴为0.08m ，短半轴为0.06m 的椭圆。
第九章振动 9-1一个质点作简谐运动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为，且向x 轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（） 题９-１图 分析与解（b）图中旋转矢量的矢端在x轴上投影点的位移为－A/2，且投影点的运动方向指向Ox轴正向，即其速度的x分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（b）． 9-2已知某简谐运动的振动曲线如图（a）所示，则此简谐运动的运动方程为（） 题９-２图 分析与解由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为–A/2，且向x轴负方向运动．图（ｂ）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为．振动曲线上给出质点从–A/2 处运动到+A处所需时间为 1 s，由对应旋转矢量图可知相应的相位差，则角频率，故选（D）．本题也可根据振动曲线所给信息，逐一代入方程来找出正确答案． 9-3两个同周期简谐运动曲线如图（a）所示， x1 的相位比x2 的相位（） （A）落后（B）超前（C）落后（D）超前 分析与解由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b）即可得到答案为（b）．
题９-３图 9-4当质点以频率ν作简谐运动时，它的动能的变化频率为（） （A）（B）（C）（D） 分析与解质点作简谐运动的动能表式为，可见其周期为简谐运动周期的一半，则频率为简谐运动频率ν的两倍．因而正确答案为（C）． 9-5图（a）中所画的是两个简谐运动的曲线，若这两个简谐运动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为（） （A）（B）（C）（D） 分析与解由振动曲线可以知道，这是两个同振动方向、同频率简谐运动，它们的相位差是（即反相位）．运动方程分别为和 ．它们的振幅不同．对于这样两个简谐运动，可用旋转矢量法， 如图（b）很方便求得合运动方程为．因而正确答案为（D）． 题９-５图 9-6 有一个弹簧振子，振幅，周期，初相．试写出它的运动方程，并作出图、图和图．
一牛顿环的各环是否等宽?密度是否均匀?解释原因? 因为环是由空气劈上下表面反射的两束光叠加干涉形成的。劈的上表面变化在横向是不均匀的，故光程差也不是均匀变化的。所以各环是不等宽的环的密度也不是均匀的。各环不等宽，半径小的环宽，越到外边越窄，密度是不均匀的,牛顿环的半径公式是：半径r等于根号下(m+1/2)λR，其中m为环的级数。从公式可以看出，半径和环数并不是线性关系，这样环自然不均匀。计算可以知道，越往外环越密。 二牛顿环的干涉圆环是由哪两束相干光干涉产生的? 半凸透镜下表面和下底面上表面的两束反射光 三电桥由哪几部分组成?电桥平衡的条件? 由电源、开关、检流计桥臂电阻组成。 平衡条件是Rx=(R1/R2)R3 四接通电源后,检流计指针始终向一边偏转,试分析出现这种情况的原因? 指针向一侧偏转就说明发生了电子的定向移动了，这个应该没问题。 指针不偏转，有2种情况吧，其1呢是整个电路发生了断路或其他故障，还1种情况则是流过的电流太小，不足于使电表发生偏转或其偏转的角度肉眼根本看不到。 无论如何调节，检流计指针都不动，电路中可能出现故障是调节臂电阻断路或短路。。无论如何调节，检流计指针始终像一边偏而无法平衡，电路中有可能出现故障是有一个臂（非调节臂）的电阻坏了。（断路或短路） 五什么叫铁磁材料的磁滞现象? 铁磁物质经外磁场磁化到饱和以后，把磁场去掉。这些物质仍保留有剩余磁化强度。需要反方向加磁场才能把这剩余磁化强度变为零。这种现象称为铁磁的磁滞现象。也是说，铁磁材料的磁状态，不仅要看它现在所处的磁场条件；而且还要看它过去的状态。 六如何判断铁磁材料属于软.硬材料? 软磁材料的特点是：磁导率大，矫顽力小，磁滞损耗小，磁滞回线呈长条状；硬磁材料的特点是：剩磁大，矫顽力也大 用光栅方程进行测量的条件是什么? 条件是一束平行光垂直射入光栅平面上，光波发生衍射，即可用光栅方程进行计算。如何实现：使用分光计，光线通过平行光管射入，当狭缝位于透镜的焦平面上时，就能使射在狭缝上的光经过透镜后成为平行光 用光栅方程进行测量,当狭缝太窄或者太宽会怎么样?为什么? 缝太窄，入射光的光强太弱，缝太宽，根据光的空间相干性可以知道，条纹的明暗对比度会下降！ 区别是，太窄了，亮纹会越来越暗，暗纹不变，直到一片黑暗！ 太宽，暗条纹会逐渐加强，明纹不变，直到一片光明！
第11章 稳恒磁场 习 题 一 选择题 11-1 边长为l 的正方形线圈，分别用图11-1中所示的两种方式通以电流I （其中ab 、cd 与正方形共面），在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感应强度的大小分别为：[ ] （A ）10B =，20B = （B ）10B = ，02I B l π= （C ）01I B l π= ，20B = （D ）01I B l π= ，02I B l π= 答案：C 解析：有限长直导线在空间激发的磁感应强度大小为012(cos cos )4I B d μθθπ= -，并结合右手螺旋定则判断磁感应强度方向，按照磁场的叠加原理，可计 算 01I B l π= ，20B =。故正确答案为（C ）。 11-2 两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置，一个处于竖直位置，两个线圈的圆心重合，如图11-2所示，则在圆心O 处的磁感应强度大小为多少? [ ] （A ）0 （B ）R I 2/0μ （C ）R I 2/20μ （D ）R I /0μ 答案：C 解析：圆线圈在圆心处的磁感应强度大小为120/2B B I R μ==，按照右手螺旋定 习题11-1图 习题11-2图
则判断知1B 和2B 的方向相互垂直，依照磁场的矢量叠加原理，计算可得圆心O 处的磁感应强度大小为0/2B I R =。 11-3 如图11-3所示，在均匀磁场B 中，有一个半径为R 的半球面S ，S 边线所在平面的单位法线矢量n 与磁感应强度B 的夹角为α，则通过该半球面的磁通量的大小为[ ] （A ）B R 2π （B ）B R 22π （C ）2cos R B πα （D ）2sin R B πα 答案：C 解析：通过半球面的磁感应线线必通过底面，因此2cos m B S R B παΦ=?= 。故正 确答案为（C ）。 11-4 如图11-4所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ，当曲面S 向长直导线靠近时，穿过曲面S 的磁通量Φ B 将如何变化？[ ] （ A ）Φ增大， B 也增大 （B ）Φ不变，B 也不变 （ C ）Φ增大，B 不变 （ D ）Φ不变，B 增大 答案：D 解析：根据磁场的高斯定理0S BdS Φ==? ，通过闭合曲面S 的磁感应强度始终为0，保持不变。无限长载流直导线在空间中激发的磁感应强度大小为02I B d μπ= ，曲面S 靠近长直导线时，距离d 减小，从而B 增大。故正确答案为（D ）。 11-5下列说法正确的是[ ] (A) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 (B) 闭合回路上各点磁感应强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 (C) 磁感应强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感应强度必定为零 (D) 磁感应强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感应强度 I 习题11-4图 习题11-3图
第十一章恒定磁场 11－1两根长度相同的细导线分别多层密绕在半径为R和r的两个长直圆筒上形成两个螺线管，两个螺线管的长度相同，R＝2r，螺线管通过的电流相同为I，螺线管中的磁感强度大小满足（） （A）（B）（C）（D） 分析与解在两根通过电流相同的螺线管中，磁感强度大小与螺线管线圈单位长度的匝数成正比．根据题意，用两根长度相同的细导线绕成的线圈单位长度的匝数之比 因而正确答案为（C）. 11－2一个半径为r的半球面如图放在均匀磁场中，通过半球面的磁通量 为（） （A）（B） （C）（D） 题11-2 图 分析与解作半径为r的圆S′与半球面构成一闭合曲面，根据磁场的高斯定理，磁感线是闭合曲线，闭合曲面的磁通量为零，即穿进半球面S 的磁通量等于穿出圆面S′的磁通量； ．因而正确答案为（D）． 11－3下列说法正确的是（） （A）闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 （B）闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 （C）磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度必定为零
（D）磁感强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意一点的磁感强度都不可能为零 分析与解由磁场中的安培环路定律，磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度不一定为零；闭合回路上各点磁感强度为零时，穿过回路的电流代数和必定为零.因而正确答案为（B）． 11－4在图（ａ）和（ｂ）中各有一半径相同的圆形回路L1 、L2 ，圆周内有电流I1 、I2 ，其分布相同，且均在真空中，但在（ｂ）图中L2 回路外有电流I3 ，P1 、P2 为两圆形回路上的对应点，则（） （A）， （B）， （C）， （D）， 题11-4 图 分析与解由磁场中的安培环路定律，积分回路外的电流不会影响磁感强度沿回路的积分；但同样会改变回路上各点的磁场分布．因而正确答案为（C）． 11－5半径为R的圆柱形无限长载流直导体置于均匀无限大磁介质之中，若导体中流过的恒定电流为I，磁介质的相对磁导率为μｒ（μｒ＜1），则磁介质内的磁化强度为（）（A）（B） （C）（D） 分析与解利用安培环路定理可先求出磁介质中的磁场强度，再由M＝（μｒ－1）H求得磁介质内的磁化强度，因而正确答案为（B）． 11－6北京正负电子对撞机的储存环是周长为240 m的近似圆形轨道，当环中电子流强度为8 mA时，在整个环中有多少电子在运行？已知电子的速率接近光速.
实验一霍尔效应及其应用 【预习思考题】 1．列出计算霍尔系数、载流子浓度n、电导率σ及迁移率μ的计算公式，并注明单位。 霍尔系数，载流子浓度，电导率，迁移率。 2．如已知霍尔样品的工作电流及磁感应强度B的方向，如何判断样品的导电类型？ 以根据右手螺旋定则，从工作电流旋到磁感应强度B确定的方向为正向，若测得的霍尔电压为正，则样品为P型，反之则为N型。 3．本实验为什么要用3个换向开关？ 为了在测量时消除一些霍尔效应的副效应的影响，需要在测量时改变工作电 流及磁感应强度B的方向，因此就需要2个换向开关；除了测量霍尔电压，还要测量A、C间的电位差，这是两个不同的测量位置，又需要1个换向开关。总之，一共需要3个换向开关。 【分析讨论题】 1．若磁感应强度B和霍尔器件平面不完全正交，按式（5.2-5）测出的霍尔系数比实际值大还是小？要准确测定值应怎样进行？ 若磁感应强度B和霍尔器件平面不完全正交，则测出的霍尔系数比实际值偏小。要想准确测定，就需要保证磁感应强度B和霍尔器件平面完全正交，或者设法测量出磁感应强度B和霍尔器件平面的夹角。 2．若已知霍尔器件的性能参数，采用霍尔效应法测量一个未知磁场时，测量误差有哪些来源？ 误差来源有：测量工作电流的电流表的测量误差，测量霍尔器件厚度d的长度测量仪器的测量误差，测量霍尔电压的电压表的测量误差，磁场方向与霍尔器件平面的夹角影响等。 实验二声速的测量 【预习思考题】 1. 如何调节和判断测量系统是否处于共振状态？为什么要在系统处于共振的条件下进行声速测定？ 答：缓慢调节声速测试仪信号源面板上的“信号频率”旋钮，使交流毫伏表指针指示达到最大（或晶体管电压表的示值达到最大），此时系统处于共振状态，显示共振发生的信号指示灯亮，信号源面板上频率显示窗口显示共振频率。在进行声速测定时需要测定驻波波节的位置，当发射换能器S1处于共振状态时，发射的超声波能量最大。若在这样一个最佳状态移动S1至每一个波节处，媒质压缩形变最大，则产生的声压最大，接收换能器S2接收到的声压为最大，转变成电信号，晶体管电压表会显示出最大值。由数显表头读出每一个电压最大值时的位置，即对应的波节位置。因此在系统处于共振的条件下进行声速测定，可以容易和准确地测定波节的位置，提高测量的准确度。 2. 压电陶瓷超声换能器是怎样实现机械信号和电信号之间的相互转换的？ 答：压电陶瓷超声换能器的重要组成部分是压电陶瓷环。压电陶瓷环由多晶结构的压电材料制成。这种材料在受到机械应力，发生机械形变时，会发生极化，同时在极化方向产生电场，这种特性称为压电效应。反之，如果在压电材料上加交
习题11 1. 选择题 (1) 一圆形线圈在均匀磁场中作下列运动时, 哪些情况会产生感应电流( ) A. 沿垂直磁场方向平移 B. 以直径为轴转动, 轴跟磁场垂直 C. 沿平行磁场方向平移 D. 以直径为轴转动, 轴跟磁场平行 (2) 尺寸相同的铁环与铜环所包围的面积中, 通以相同变化率的磁通量, 环中( ) A. 感应电动势相同, 感应电流不同. B. 感应电动势相同, 感应电流相同. C. 感应电动势不同, 感应电流相同. D. 感应电动势不同. (3) 对于涡旋电场, 下列说法不正确的是( ) A. 涡旋电场对电荷有作用力. B. 涡旋电场由变化的磁场产生. C. 涡旋电场由电荷激发. D. 涡旋电场的电场线是闭合的. (4) 用线圈的自感系数L 来表示载流线圈磁场能量的公式2 12 m W LI =( ) A. 只适用于单匝圆线圈. B. 只适用于一个匝数很多, 且密绕的螺线环. C. 适用于自感系数L 一定的任意线圈. D. 只适用于无限长密绕螺线管. (5) 有两个长直密绕螺线管, 长度及线圈匝数均相同, 半径分别为1r 和2r . 管内充满均匀介质, 其磁导率分别为1μ和2μ. 设1212r r =, 1221μμ=, 当将两只螺线管串联在电路中通电稳定后, 其自感系数之比12L L 与磁能之比12m m W W 分别为( ) A. 1211L L =, 1211m m W W =. B. 1212L L =, 1211m m W W =. C. 1212L L =, 1212m m W W =. D. 1221L L =, 1221m m W W =. 答案：B A C D C 2. 填空题 (1) 电阻2R =Ω的闭合导体回路置于变化磁场中, 通过回路包围面的磁通量与时间的关系 为23 (582)10()m t t Wb -Φ=+-?, 则在2t s =至3t s =的时间内, 流过回路导体横截面 的感应电荷等于______________C .
习题11 11.1选择题 (1）一圆形线圈在磁场中作下列运动时，那些情况会产生感应电流（） （A ）沿垂直磁场方向平移；（B ）以直径为轴转动，轴跟磁场垂直； （C ）沿平行磁场方向平移；（D ）以直径为轴转动，轴跟磁场平行。 [答案：B] (2)下列哪些矢量场为保守力场（） （A ） 静电场；（B ）稳恒磁场；（C ）感生电场；（D ）变化的磁场。 [答案：A] (3) 用线圈的自感系数 L 来表示载流线圈磁场能量的公式22 1LI W m =（） ( A )只适用于无限长密绕线管； ( B ) 只适用于一个匝数很多，且密绕的螺线环； ( C ) 只适用于单匝圆线圈； ( D )适用于自感系数L 一定的任意线圈。 [答案：D] (4)对于涡旋电场，下列说法不正确的是（）： （A ）涡旋电场对电荷有作用力； （B ）涡旋电场由变化的磁场产生； （C ）涡旋场由电荷激发； （D ）涡旋电场的电力线闭合的。 [答案：C] 11.2 填空题 (1)将金属圆环从磁极间沿与磁感应强度垂直的方向抽出时，圆环将受到 。 [答案：磁力] (2)产生动生电动势的非静电场力是 ，产生感生电动势的非静电场力是 ，激发感生电场的场源是 。 [答案：洛伦兹力，涡旋电场力，变化的磁场] (3)长为l 的金属直导线在垂直于均匀的平面内以角速度ω转动，如果转轴的位置在 ，这个导线上的电动势最大，数值为 ；如果转轴的位置在 ，整个导线上的电动势最小，数值为 。 [答案：端点，2 2 1l B ω；中点，0] 11.3一半径r =10cm B =0.8T 的均匀磁场中．回路平面与B 垂直．当回路半 径以恒定速率 t r d d =80cm ·s -1 收缩时，求回路中感应电动势的大小． 解: 回路磁通 2 πr B BS m ==Φ
（1）利用f=(D+d)(D-d)/4D 测量凸透镜焦距有什么优点？ 答这种方法可以避免透镜光心位置得不确定而带来得测量物距与像距得误差。 （2）为什么在本实验中利用1/u+1/v=1/f 测焦距时，测量u与v都用毫米刻度得米尺就可以满足要求？设透镜由于色差与非近轴光线引起得误差就是1％。 答设物距为20cm，毫米刻度尺带来得最大误差为0、5mm，其相对误差为 0、25％，故没必要用更高精度得仪器。 （3）如果测得多组u，v值，然后以u+v为纵轴，以uv为横轴，作出实验得曲线属于什么类型，如何利用曲线求出透镜得焦距f。 答直线；1/f为直线得斜率。 （4）试证：在位移法中，为什么物屏与像屏得间距D要略大于4f？ 由f=(D+d)(D-d)/4D →D2-4Df=d2→D(D-4f)=d2 因为d>0 and D>0 故 D>4f 1、避免测量u、ν得值时，难于找准透镜光心位置所造成得误差。 2、因为实验中，侧得值u、ν、f都相对较大，为十几厘米到几十厘米左右，而误差为1%，即一毫米到几毫米之间，所以可以满足要求。 3、曲线为曲线型曲线。透镜得焦距为基斜率得倒数。 ①当缝宽增加一倍时,衍射光样得光强与条纹宽度将会怎样变化?如缝宽减半,又怎样改变? 答: a增大一倍时, 光强度↑；由a=Lλ/b ，b减小一半 a减小一半时, 光强度↓；由a=Lλ/b ，b增大一倍。 ②激光输出得光强如有变动,对单缝衍射图象与光强分布曲线有无影响?有何影响? 答:由b=Lλ/a、无论光强如何变化,只要缝宽不变,L不变,则衍射图象得光强分布曲线不变(条纹间距b不变)；整体光强度↑或者↓。
③用实验中所应用得方法就是否可测量细丝直径？其原理与方法如何？ 答：可以，原理与方法与测单狭缝同。 ④本实验中，λ=632。8nm ,缝宽约为5*10^-3㎝,屏距L 为50㎝。试验证： 就是否满足夫朗与费衍射条件？ 答：依题意： L λ=（50*10^-2）*（632、8*10^-9）=3、164*10^-7 a^2/8=(5*10^-5)^2/8=3、1*10^-10 所以L λ<
第11章 电磁感应 11.１ 基本要求 １理解电动势的概念。 ２掌握法拉第电磁感应定律和楞次定律，能熟练地应用它们来计算感应电动势的大小，判别感应电动势的方向。 ３理解动生电动势的概念及规律，会计算一些简单问题中的动生电动势。 ４理解感生电场、感生电动势的概念及规律，会计算一些简单问题中的感生电动势。 ５理解自感现象和自感系数的定义及物理意义，会计算简单回路中的自感系数。 ６理解互感现象和互感系数的定义及物理意义，能计算简单导体回路间的互感系数。 ７理解磁能（磁场能量）和磁能密度的概念，能计算一些简单情况下的磁场能量。 ８了解位移电流的概念以及麦克斯韦方程组（积分形式）的物理意义。 11.２ 基本概念 １电动势ε：把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，非静电力所作的功，即 W q ε= ２动生电动势：仅由导体或导体回路在磁场中的运动而产生的感应电动势。 ３感生电场k E ：变化的磁场在其周围所激发的电场。与静电场不同，感生电场的电 场线是闭合的，所以感生电场也称有旋电场。 ４感生电动势：仅由磁场变化而产生的感应电动势。 ５自感：有使回路保持原有电流不变的性质，是回路本身的“电磁惯性”的量度。 自感系数L ：//m L I N I =ψ=Φ ６自感电动势L ε：当通过回路的电流发生变化时，在自身回路中所产生的感应电动势。
７互感系数M ：2112 12 M I I ψψ= = ８互感电动势12ε：当线圈２的电流2I 发生变化时，在线圈１中所产生的感应电动势。 ９磁场能量m W ：贮存在磁场中的能量。 自感贮存磁能：212 m W LI = 磁能密度m w ：单位体积中贮存的磁场能量22111 222 m B w μH HB μ=== １０位移电流：D d d I dt Φ= s d t ?=??D S ，位移电流并不表示有真实的电荷在空 间移动。但是，位移电流的量纲和在激发磁场方面的作用与传导电流是一致的。 １１位移电流密度：d t ?=?D j 11.３ 基本规律 １电磁感应的基本定律：描述电磁感应现象的基本规律有两条。 （１）楞次定律：感生电流的磁场所产生的磁通量总是反抗回路中原磁通量的改变。楞 次定律是判断感应电流方向的普适定则。 （２）法拉第电磁感应定律：不论什么原因使通过回路的磁通量（或磁链）发生变化，回路 中均有感应电动势产生，其大小与通过该回路的磁通量（或磁链）随时间的变化成正比，即 m i d dt εΦ=- ２动生电动势：()B B K A A i εd d ==???E l v B l ，若0i ε>,则表示电动势方向由A B →;若 0i ε<,则表示电动势方向B A → ３感生电动势：m K l s i d Φd εd d dt dt = ?=- =-? ?B E l S （对于导体回路） B K A i εd =?E l （对于一段导体） ４自感电动势：L dI εL dt =- ５互感电动势：12212d ΨdI εM dt dt =-=- ６麦克斯韦方程组
第九章振动 9-1一个质点作简谐运动， 振幅为A，在起始时刻质点的位移为 2 A -，且向x轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（） 题９-１图 分析与解（b）图中旋转矢量的矢端在x轴上投影点的位移为－A/2，且投影点的运动方向指向O x轴正向，即其速度的x分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（b）．9-2已知某简谐运动的振动曲线如图（a）所示，则此简谐运动的运动方程为（）()()()() ()()()() cm π 3 2 π 3 4 cos 2 D cm π 3 2 π 3 4 cos 2 B cm π 3 2 π 3 2 cos 2 C cm π 3 2 π 3 2 cos 2 A ?? ? ?? ? + = ?? ? ?? ? - = ?? ? ?? ? + = ?? ? ?? ? - = t x t x t x t x 题９-２图 分析与解由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为–A/2，且向x轴负方向运动．图（ｂ）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为3/π 2．振动曲线上给出质点从–A/2 处运动到+A处所需时间为 1 s，由对应旋转矢量图可知相应的相位差3/π 4 Δ=，则角频率()1s3/π4 Δ / Δ- = =t ω，故选（D）．本题也可根据振动曲线所给信息，逐一代入方程来找出正确答案．
9-3 两个同周期简谐运动曲线如图（a ） 所示， x 1 的相位比x 2 的相位（ ） （A ） 落后2π （B ）超前2 π （C ）落后π （D ）超前π 分析与解 由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b ） 即可得到答案为（b ）． 题９-３ 图 9-4 当质点以频率ν 作简谐运动时，它的动能的变化频率为（ ） （A ） 2 v （B ）v （C ）v 2 （D ）v 4 分析与解 质点作简谐运动的动能表式为()?ωω+=t A m E k 222sin 2 1，可见其周期为简谐运动周期的一半，则频率为简谐运动频率ν的两倍．因而正确答案为（C ）． 9-5 图（a ）中所画的是两个简谐运动的曲线，若这两个简谐运动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为（ ） （A ） π2 3 （B ）π21 （C ）π （D ）0 分析与解 由振动曲线可以知道，这是两个同振动方向、同频率简谐运动，它们的相位差 是π（即反相位）．运动方程分别为t A x ωcos 1=和()πcos 2 2+= t ωA x ．它们的振幅不同．对于这样两个简谐运动，可用旋转矢量法，如图（b ）很方便求得合运动方程为t A x ωcos 21=．因而正确答案为（D ）．
第十一章 机械振动 一、基本要求 1．掌握简谐振动的基本特征，学会由牛顿定律建立一维简谐振动的微分方程，并判断其是否谐振动。 2. 掌握描述简谐运动的运动方程)cos( 0?ω+=t A x ，理解振动位移，振幅，初位相，位相，圆频率，频率，周期的物理意义。能根据给出的初始条件求振幅和初位相。 3. 掌握旋转矢量法。 4. 理解同方向、同频率两个简谐振动的合成规律，以及合振动振幅极大和极小的条件。 二、基本内容 1. 振动 物体在某一平衡位置附近的往复运动叫做机械振动。如果物体振动的位置满足)()(T t x t x +=，则该物体的运动称为周期性运动。否则称为非周期运动。但是一切复杂的非周期性的运动，都可以分解成许多不同频率的简谐振动（周期性运动）的叠加。振动不仅限于机械运动中的振动过程，分子热运动，电磁运动，晶体中原子的运动等虽属不同运动形式，各自遵循不同的运动规律，但是就其中的振动过程讲，都具有共同的物理特征。 一个物理量，例如电量、电流、电压等围绕平衡值随时间作周期性（或准周期性）的变化，也是一种振动。 2. 简谐振动 简谐振动是一种周期性的振动过程。它可以是机械振动中的位移、速度、加速度，也可以是电流、电量、电压等其它物理量。简谐振动是最简单，最基本的周期性运动，它是组成复杂运动的基本要素，所以简谐运动的研究是本章一个重点。 （1）简谐振动表达式)cos(0?ω+=t A x 反映了作简谐振动的物体位移随时间的变化遵循余弦规律，这也是简谐振动的定义，即判断一个物体是否作简谐振动的运动学根据。但是简谐振动表达式更多地用来揭示描述一个简谐运动必须
涉及到的物理量A 、ω、0?（或称描述简谐运动的三个参量），显然三个参量确定后，任一时刻作简谐振动的物体的位移、速度、加速度都可以由t 对应地得到。 )2 cos()sin(00π ?ωω?ωω+ +=+-=t A t A v )c o s ()c o s (0202π?ωω?ωω±+=+-=t A t A a （2）简谐运动的动力学特征为：物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比、而方向相反，即kx F -=，它是判定一个系统的运动过程是否作简谐运动的动力学根据，只要受力分析满足动力学特征的，毫无疑问地系统的运动是简谐运动。这里应该注意，F 系指合力，它可以是弹性力或准弹性力。 （3）和简谐运动的动力学特征相一致的是简谐运动的运动学特征：作简谐 运动物体的加速度大小总是与其位移大小成正比、而方向相反，即x dt x d 222ω-=， 它也是物体是否作简谐运动的判据之一。只要加速度与位移大小成正比、而方向恒相反，则该物理量的变化过程就是一个简谐运动的过程。在非力学量，例如电量、电流和电压等电学量，就不易用简谐振动的动力学特征去判定，而LC 电路中的电量q 就满足q LC dt q d 1 22-=，故电量q 的变化过程就是一个简谐振荡的过程，显然用运动学的特征来判定简谐运动更具有广泛的意义。 3. 简谐振动的振幅、周期、频率和相位 （1）振幅A 是指最大位移的绝对值。A 是由初始条件来决定的，即 2 20 2 ω v + = x A 。 （2）周期T 是指完成一次完整的振动所用时间。ω π 2=T ，式中ω是简谐振 动的圆频率，它是由谐振动系统的构造来决定的，即m k =ω,ω也称为固有圆频率。对应的T 称为固有周期。v T 1 = ，式中v 称为频率（即固有频率），它与圆频率的关系2v ωπ=，是由系统本身决定的。
大学物理实验课后答案 Final revision by standardization team on December 10, 2020.
（1）利用f=(D+d)(D-d)/4D 测量凸透镜焦距有什么优点 答这种方法可以避免透镜光心位置的不确定而带来的测量物距和像距的误差。（2）为什么在本实验中利用1/u+1/v=1/f 测焦距时，测量u和v都用毫米刻度的米尺就可以满足要求设透镜由于色差和非近轴光线引起的误差是1％。 答设物距为20cm，毫米刻度尺带来的最大误差为，其相对误差为％，故没必要用更高精度的仪器。 （3）如果测得多组u，v值，然后以u+v为纵轴，以uv为横轴，作出实验的曲线属于什么类型，如何利用曲线求出透镜的焦距f。 答直线；1/f为直线的斜率。 （4）试证：在位移法中，为什么物屏与像屏的间距D要略大于4f 由f=(D+d)(D-d)/4D → D2-4Df=d2→ D(D-4f)=d2 因为d>0 and D>0 故D>4f 1.避免测量u、ν的值时，难于找准透镜光心位置所造成的误差。 2.因为实验中，侧的值u、ν、f都相对较大，为十几厘米到几十厘米左右，而误差为1%，即一毫米到几毫米之间，所以可以满足要求。 3.曲线为曲线型曲线。透镜的焦距为基斜率的倒数。 ①当缝宽增加一倍时,衍射光样的光强和条纹宽度将会怎样变化如缝宽减半,又怎样改变 答: a增大一倍时, 光强度↑；由a=Lλ/b ，b减小一半 a减小一半时, 光强度↓；由a=Lλ/b ，b增大一倍。 ②激光输出的光强如有变动,对单缝衍射图象和光强分布曲线有无影响有何影响 答:由b=Lλ/a.无论光强如何变化,只要缝宽不变,L不变,则衍射图象的光强分布曲线不变 (条纹间距b不变)；整体光强度↑或者↓。 ③用实验中所应用的方法是否可测量细丝直径其原理和方法如何 答：可以，原理和方法与测单狭缝同。 ④本实验中，λ=632。8nm,缝宽约为5*10^-3㎝,屏距L为50㎝。试验证： 是否满足夫朗和费衍射条件 答：依题意： Lλ=（50*10^-2）*（*10^-9）=*10^-7 a^2/8=(5*10^-5)^2/8=*10^-10 所以Lλ< 习 题 11-1 面积很大的导体平板A 与均匀带电平面B 平行放置，如习题11-1图所示。已知A 与B 相距d ，两者相对的部分的面积为S 。(1)设B 面带电量为q ，A 板的面电荷密度为1s 及2s ，求A 板与B 面之电势差。(2)若A 板带电量为Q ，求1s 及2s 。 (1)d S q U 0 212/εσσ-+= ； （2）S q Q 21+=σ，S q Q 22-=σ 习题11-1图 习题11-2图 习题11-3图 11-2 如习题11-2图所示，有三块互相平行的导体板，外面的两块用导线连接，原来不带电。中间一块上所带总面电荷密度为521310.C m --醋。求每块板的两个表面的面电荷密度各 是多少？ （忽略边缘效应。） 解：从上到下6个面一次为面1、2、3、4、5、6. 2 61σ σσ= =，8323σσσ= -=，8 554σ σσ=-= 11-3 如习题11-3图所示，半径为1R 的导体球带有电荷q ，球外有一个内、外半径为2R 、3R 的同心导体球壳，壳上带有电荷Q 。求：(1)两球的电势1j 及2j ；(2)两球的电势差j D ；(3)用导线把球和壳连接在一起后，1j ，2j 及j D 分别为多少？ (4)在情形(1)、(2)中，若外球接地，1j ，2j 和j D 为多少？(5)设外球离地面很远，若内球接地，情况如何？ 解：（1）3 024R Q q πε?+= ，2010301444R q R q R Q q πεπεπε?- ++=； (2)两球的电势差2 01 044R q R q U πεπε- = ； (3) 3 0214R Q q πε??+= =，0=U ； 第九章 振动 9-1 一个质点作简谐运动，振幅为A ，起始时刻质点的位移为2 A - ，且向x 轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ ） 题９-１ 图 分析与解（b ）图中旋转矢量的矢端在x 轴上投影点的位移为－A /2，且投影点的运动方向指向O x 轴正向，即其速度的x 分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（b ）． 9-2 已知某简谐运动的振动曲线如图（a ）所示，则此简谐运动的运动方程为（ ） ()()()()()()()()cm π32π34cos 2D cm π32π34cos 2B cm π32π32cos 2C cm π32π32cos 2A ?? ????+=??????-=??????+=??????-=t x t x t x t x 题９-２ 图 分析与解 由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为 –A /2，且向x 轴负方向运动．图（ｂ）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为3/π2．振动曲线上给出质点从–A /2 处运动到+A 处所需时间为 1 s ，由对应旋转矢量图可知相应的相位差3/π4Δ =，则角频率()1s 3/π4Δ/Δ-==t ω，故选（D ）．本题也可根据振动曲线所给信息，逐一代入方程来找 出正确答案． 9-3 两个同周期简谐运动曲线如图（a ） 所示， x 1 的相位比x 2 的相位（ ） （A ） 落后2π （B ）超前2 π （C ）落后π （D ）超前π 分析与解 由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b ） 即可得到答案为（b ）． 题９-３ 图 9-4 当质点以频率ν 作简谐运动时，它的动能的变化频率为（ ） （A ） 2 v （B ）v （C ）v 2 （D ）v 4 分析与解 质点作简谐运动的动能表式为()?ωω+=t A m E k 222sin 2 1，可见其周期为简谐运动周期的一半，则频率为简谐运动频率ν的两倍．因而正确答案为（C ）． 9-5 图（a ）中所画的是两个简谐运动的曲线，若这两个简谐运动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为（ ） （A ） π2 3 （B ）π21 （C ）π （D ）0 分析与解 由振动曲线可以知道，这是两个同振动方向、同频率简谐运动，它们的相位差 是π（即反相位）．运动方程分别为t A x ωcos 1=和()πcos 2 2+= t ωA x ．它们的振幅不同．对于这样两个简谐运动，可用旋转矢量法，如图（b ）很方便求得合运动方程为t A x ωcos 21=．因而正确答案为（D ）． 习 题(参考答案) 2．指出下列测量值为几位有效数字，哪些数字是可疑数字，并计算相对不确定度。 (1) g ＝(9.794±0.003)m ·s 2 - 答：四位有效数字，最后一位“4”是可疑数字，%031.0%100794 .9003 .0≈?= gr U ； (2) e ＝(1.61210±0.00007)?10 19 - C 答：六位有效数字，最后一位“0”是可疑数字，%0043.0%10061210 .100007 .0≈?= er U ； (3) m ＝(9.10091±0.00004) ?10 31 -kg 答：六位有效数字，最后一位“1”是可疑数字，%00044.0%10010091 .900004 .0≈?= mr U ； (4) C ＝(2.9979245±0.0000003)8 10?m/s 答：八位有效数字，最后一位“5”是可疑数字 1．仪器误差为0.005mm 的螺旋测微计测量一根直径为D 的钢丝，直径的10次测量值如下表： 试计算直径的平均值、不确定度(用D 表示)和相对不确定度(用Dr 表示)，并用标准形式表示测量结果。 解： 平均值 mm D D i i 054.210110 1 ==∑= 标准偏差： mm D D i i D 0029.01 10)(10 1 2 ≈--= ∑=σ 算术平均误差： m m D D i i D 0024.010 10 1 ≈-= ∑=δ 不确定度A 类分量mm U D A 0029.0==σ， 不确定度B 类分量mm U B 005.0=?=仪 ∴ 不确定度mm U U U B A D 006.0005.00029.0222 2≈+=+= 相对不确定度%29.0%100054 .2006 .0%100≈?=?= D U U D Dr 钢丝的直径为：%29.0)006.0054.2(=±=Dr D mm D 或 不确定度A 类分量mm U D A 0024.0==δ ， 不确定度B 类分量mm U B 005.0=?=仪 ∴ 不确定度mm U U U B A D 006.0005.00024.0222 2≈+=+= 相对不确定度%29.0%100054 .2006 .0%100≈?=?= D U U D Dr 钢丝的直径为： %29.0)006.0054.2(=±=Dr D mm D ，%00001.0%1009979245 .20000003 .0≈?= Cr U 。 3．正确写出下列表达式 （1）km km L 310)1.01.3()1003073(?±=±= （2）kg kg M 4 10)01.064.5()13056430(?±=±= （3）kg kg M 4 10)03.032.6()0000030.00006320.0(-?±=±= （4）s m s m V /)008.0874.9(/)00834 .0873657.9(±=±= 4．试求下列间接测量值的不确定度和相对不确定度，并把答案写成标准形式。 大学物理实验课后答 案 （1）利用f=(D+d)(D-d)/4D 测量凸透镜焦距有什么优点？ 答这种方法可以避免透镜光心位置的不确定而带来的测量物距和像距的误差。 （2）为什么在本实验中利用1/u+1/v=1/f 测焦距时，测量u和v都用毫米刻度的米尺就可以满足要求？设透镜由于色差和非近轴光线引起的误差是 1％。 答设物距为20cm，毫米刻度尺带来的最大误差为0.5mm，其相对误差为 0.25％，故没必要用更高精度的仪器。 （3）如果测得多组u，v值，然后以u+v为纵轴，以uv为横轴，作出实验的曲线属于什么类型，如何利用曲线求出透镜的焦距f。 答直线；1/f为直线的斜率。 （4）试证：在位移法中，为什么物屏与像屏的间距D要略大于4f？ 由f=(D+d)(D-d)/4D → D2-4Df=d2→ D(D-4f)=d2 因为d>0 and D>0 故D>4f 1.避免测量u、ν的值时，难于找准透镜光心位置所造成的误差。 2.因为实验中，侧的值u、ν、f都相对较大，为十几厘米到几十厘米左右，而误差为1%，即一毫米到几毫米之间，所以可以满足要求。 3.曲线为曲线型曲线。透镜的焦距为基斜率的倒数。 ①当缝宽增加一倍时,衍射光样的光强和条纹宽度将会怎样变化?如缝宽减半,又怎样改变? 答: a增大一倍时, 光强度↑；由a=Lλ/b ，b减小一半 a减小一半时, 光强度↓；由a=Lλ/b ，b增大一倍。 ②激光输出的光强如有变动,对单缝衍射图象和光强分布曲线有无影响?有何影响? 答:由b=Lλ/a.无论光强如何变化,只要缝宽不变,L不变,则衍射图象的光强分布曲线不变 (条纹间距b不变)；整体光强度↑或者↓。 ③用实验中所应用的方法是否可测量细丝直径？其原理和方法如何？ 答：可以，原理和方法与测单狭缝同。 ④本实验中，λ=632。8nm,缝宽约为5*10^-3㎝,屏距L为50㎝。试验证： 是否满足夫朗和费衍射条件？ 答：依题意： Lλ=（50*10^-2）*（632.8*10^-9）=3.164*10^-7 a^2/8=(5*10^-5)^2/8=3.1*10^-10 所以Lλ< 习题十一 11-1 圆柱形电容器内、外导体截面半径分别为1R 和2R (1R ＜2R )，中间充满介电常数为ε 的电介质.当两极板间的电压随时间的变化k t U =d d 时(k 为常数)，求介质内距圆柱轴线为r 处的位移电流密度． 解：圆柱形电容器电容 12 ln 2R R l C πε= 12ln 2R R lU CU q πε= = 1212ln ln 22R R r U R R r lU S q D εππε=== ∴ 12ln R R r k t D j ε=??= 11-2 试证：平行板电容器的位移电流可写成 t U C I d d d =．式中C 为电容器的电容，U 是电 容器两极板的电势差．如果不是平板电容器，以上关系还适用吗? 解：∵ CU q = S CU D = =0σ ∴ CU DS D ==Φ 不是平板电容器时 0σ=D 仍成立 ∴ t U C I D d d =还适用． 题11-3图 11-3 如题11-3图所示，电荷+q 以速度v 向O 点运动，+q 到O 点的距离为x ，在O 点处作半径为a 的圆平面，圆平面与v 垂直．求：通过此圆的位移电流． 解：如题11-3图所示，当q 离平面x 时，通过圆平面的电位移通量 )1(222a x x q D +-= Φ ［此结果见习题8-9(3)］ t U C t I D D d d d d ==Φ ∴ 23222)(2d d a x v qa t I D D +==Φ 题11-4图 11-4 如题11-4图所示，设平行板电容器内各点的交变电场强度E =720sin t π510V ·m -1，正 方向规定如图．试求： (1)电容器中的位移电流密度； (2)电容器内距中心联线r =10-2m 的一点P ，当t =0和t =51021-?s 时磁场强度的大小及方向 (不考虑传导电流产生的磁场)． 解：(1) t D j D ??=,E D 0ε= ∴ t t t t E j D ππεπεε50550010cos 10720)10sin 720(?=??=??=2m A -? (2)∵ ?∑??+=?)(0d d S D l S j I l H 取与极板平行且以中心连线为圆心，半径r 的圆周r l π2=，则 D j r r H 22ππ= D j r H 2= 0=t 时0505106.3107202πεπε?=??=r H P 1m A -? 5 1021-?=t s 时，0=P H 11-5 半径为R =0.10m 的两块圆板构成平行板电容器，放在真空中．今对电容器匀速充电， 使两极板间电场的变化率为t E d d =1.0×1013 V ·m -1·s -1．求两极板间的位移电流，并计算电 容器内离两圆板中心联线r (r ＜R )处的磁感应强度Br 以及r =R 处的磁感应强度BR ． 解: (1) t E t D j D ??=??=0ε 8.22≈==R j S j I D D D πA (2)∵ S j I l H S D l d d 0?+=??∑? 取平行于极板，以两板中心联线为圆心的圆周r l π2=，则 202d d 2r t E r j r H D πεππ== ∴ t E r H d d 20ε=河北科技大学大学物理答案11章分解
大学物理_马文蔚__第五版_下册_第九章到第十一章课后答案
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大学物理课后习题答案(第十一章) 北京邮电大学出版社
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