第一章 函数与极限
一 函数（见§1.1） Ⅰ 内容要求
（ⅰ）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调
性、周期性和有界性）的了解。
（ⅱ）理解复合函数的概念，了解反函数的概念，了解分段函数的概念。
（ⅲ）记忆基本初等函数的图象，了解初等函数的概念，自学双曲函数及反双曲函数。 （ⅳ）学会建立简单实际问题中的函数关系式。 Ⅱ 基本题型
（ⅰ）有关确定函数定义域的题型
1．（4分）1
)2ln()(+-=
x x x f 的定义域为 21<<-x
2．（4分）)
2ln(1
)(x x x f -+=
的定义域为 [))2,1(1,1Y -
3．（4分）)32arcsin(-=x y 的定义域为--------------- （ D ） A )2,1( B )2,1[ C ]2,1( D ]2,1[ 4．设)(x f 的定义域D = ]1,0[，求下列各函数的定义域： （1）（6分）)(2
x f []1,1-∈x
（2）（6分）)2(x
f (]0,∞-∈x
（3）（7分）)31
()31(-++x f x f ??
????∈32,31x
（ⅱ）有关确定函数（反函数）表达式的题型
5．（4分）已知： x x
f cos 1)2
(sin +=，则)(x f =)1(22
x -
6．（4分）设???????>=<-=0,10,00,1)(x x x x f ，则=)]([x f f ???
?
???>=<-=0,10,00,1)(x x x x f
7．求下列函数的反函数
（1）（4分）31+=x y 1,13
3-=-=x y y x
（2）（4分）x
x
y +-=
11 x x y y y x +-=+-=11,11 )1(-≠x
（3）（6分）)2ln(1++=x y 2211
-=?-=--x y e y e
x
8．（7分）已知：,2sin )(,)(3
x x x x x f =-=? 求)].([)],([x f x f ??
解：x x x x x f 2cos 2sin 2sin 2sin )]([2
33-=-=-=??? )(2sin )(2sin )]([3
x x x f x f -==?
9．（10分）设x e x g x x x x f =??
?
?
???>-=<=)(,
1||,11||,01
||,1)(，求)]([x g f 和)]([x f g ，并作出这
两个函数的图形。
解： ???????
??
>-=<=0,10,00,1)]([x x x x g f ， ????
?
????=><=-1,11,1,)]([1x x e x e x f g
（ⅲ）有关函数性质判定的题型
10．（10分）下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？
（1）3
2
3x x y -=（非）（2）1||+=x y （偶函数）（3）1sin +=x y （非） （4）x x
a
a y -+= （偶函数） （5）x
x a
a y --=（奇函数）
11．（4分）设+∞<<∞-++=
x x x x f ,1
)
1sin()(2
，则此函数为--------（ A ）
A 有界函数
B 奇函数
C 偶函数
D 周期函数 12．（4分）)32
sin(
+=x
y 的最小正周期为 π4 13．（4分）设??
?
?
???≤<-=<≤-=ππx x x x x x f 0,cos 0,00,cos )(，则)(x f 在定义区间为-------（ A ） A 奇函数但非周期函数 B 偶函数但非周期函数 C 奇函数且为周期函数 D 偶函数且为周期函数
（ⅳ）有关复合函数分解的题型
14．（6分）将2
tan ln x y =分解成若干个基本初等函数的形式。 解：是由u y ln =，v u tan =，2
x v =复合而成的。 15．（7分）将2
3
1arctan
x
x
y -=分解成由基本初等函数复合及四则运算而成的形式。 解：是由3
u y =，v u arctan =，2
1x
x
v -=
复合而成的。 Ⅲ 综合应用题型 16．（8分）已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角?为已知锐角（如图所示），当过水断
面ABCD 的面积为定值0S 时，求湿周L 与水深h 之间的函数关系式，并指明其定义域。
D
解：参见教材23P
????cot cot ,sin ,sin h CE h
CE h CD CD h =?===Θ
h BC h s h BC
h .cot 2
2cot 220+=?+??
h h S BC ?cot 20-=，??cot 0cot 02
20S h h S -
?
??sin 2cot sin 220h
h h S h BC L +-=+=，)tan ,0(?o S h ∈
??csc 2cot 0
h h h
S +-=
)tan ,0(?o S h ∈ 17．（8分）一列火车在运行时，每小时的费用由两部分组成，一部分是固定费用a ，
另一部分是与火车的平均速度x 的立方成正比，比例系数为k ，常用y 表示火车连续运行路程S 所需的总费用，试将y 表示为x 的函数。
解： )(3kx a x
S
y +=
18．（8分）火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50 kg 时，按基本运费计算，如从上海到某地每千克收0.15元，当超过50 kg 时，超重部分按每千克0.25元收费。试求上海到该地的行李费y （元）与行李质量x （kg ）之间的函数关系式，并画出这函数的图形。
解：????
?>-≤≤=??????>-+≤≤=50
,525.050015.050),50(25.05.7500,15.0x x x x y x x x x y 19．（8分）按照银行规定，某种外币一年期存款的年利率为4.2 %，半年期存款的年利
率为4.0 %，每笔存款到期后，银行自动将其转存为同样期限的存款。设将总数为A 单位货币的该种外币存入银行，两年后取出，问存何种期限的存款有较多的收益，多多少？ 解： 一年期 A 00039.0
*20．（8分）森林失火了，火势正以每分钟100 m 2的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防队员前去，在失火后5分钟到达现场开始救火，已知每名消防队员在现场平均每分钟可灭火50 m 2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁1 m 2森林的损失费为60元，设消防队派了x 名消防队员前去救火，从到达现场开始救火到把火完全扑灭共耗时n 分钟。
（1）求出x 与n 的关系式；
（2）当x 为何值时，才能使得总损失最小？ 解：n
x nx n 10250)5(100+
=?=+ 312501002
10
6250
10012560100)5(++-=++?+=x x x xn n y 31250100262500
++-=x x 31450)2(1002
62500
+-+-=x x
31450)2(1002
62500
2
+-?-≥x x 27=∴x 二 极限
（一） 极限的定义及其性质（见§1.2, §1.3, §1.4） Ⅰ 内容要求
（ⅰ）理解数列极限、函数极限的描述性定义，自学数列极限、函数极限的精确定义，几
何意义及其性质。
（ⅱ）了解无穷小与无穷大量的概念及其关系，了解无穷小量的性质。
（ⅲ）记忆基本初等函数图象的变化趋势，学会计算函数在一点处的左、右极限。 Ⅱ 基本题型
（ⅰ）涉及基本初等函数极限的题型
1． 填充题（每空4分）
p n n ∞→lim = ???
??????
<>∞=0
000
1p p p , ?????>∞+<<=∞
→1,10,0lim a a a n
n =→x x e 0
lim 1 , =-∞
→x x e lim 0 , =+∞
→x x e lim +∞
x x ln lim 0+
→= ∞- )1ln(lim 0
x x +→= 0 x x ln lim +∞
→= ∞+
x x cot lim 0
→= ∞, x x tan lim
2
π
→
= ∞ x x sin lim ∞
→= 不存在 x x arcsin lim 0
→= 0 , x x arctan lim 0
→= 0 ,
x x arctan lim +∞
→=
2
π x x arctan lim -∞
→= 2
π
-
x x arctan lim ∞→= 不存在
（ⅱ）简单函数在一点处左、右极限的题型 1．（4分）=→x
x x |
|lim
0----------------------------------------------------------------------（ D ）
A 1-
B 0
C 1
D 不存在
2．（6分）设??
?
??≤<-+>=01),1ln(0,sin )(x x x x x f ，求).(lim 0
x f x →=0
0)(lim 0)(lim ,0)(lim 0
=?==→→→-+x f x f x f x x x
（ⅲ）无穷小与无穷大量的判定题型 1．（4分）当+∞→x 时，下列函数哪个是无穷小量-----------------------------（ D ） A x 1ln
B x cos 1-
C 2
x - D x
1sin 2．（4分）当+
→0x 时，下列函数哪个是无穷大量------------------------------（ C ） A x
e B x
e
- C x
e 1
D x
e
1-
（ⅳ）涉及无穷小量性质的极限题型（每空4分） 1．x x x sin lim
∞→=0 , =→x
x x 1cos lim 2
00 , )1(lim 3+∞→x x =∞
2．是非题（每题2分）
在同一自变量变化过程中：
①两个无穷小的商自然是无穷小（?） ②无穷小的倒数一定是无穷大（×） ③无穷小与无穷大必互为倒数（×） 3．（6分）)1
21(
lim 222n
n n n n -+++∞
→Λ
解：)121(
lim 2
22n n n n n -+++∞→Λ=21
]2)1(1[lim 2=
-?∞→n n n n 4．（4分）)2
1
41211(lim n n ++++∞→Λ
解：)2
141211(lim n n ++++∞→Λ=211)21(1lim 1
--+∞→n n
=2
1
)21(1lim 1
+∞→-n n
=2)2
1
(12lim 1
=??
???
?
-+∞→n n （二） 极限的运算（见§1.5, §1.6） Ⅰ 内容要求
（ⅰ）掌握极限的四则运算法则和复合运算法则。 （ⅱ）了解未定式的概念，会判断
∞∞?∞-∞∞
∞1,0,,,00,00,0∞未定式类型。 （ⅲ）记忆两个重要极限公式并学会利用它求极限，了解夹逼定理与单调有界定理。 Ⅱ 基本题型
（ⅰ）直接运用四则求限法则及复合求限法则解决的极限题型（定式） 1． 求下列极限：（每题4分）
（1）93lim
21--→x x x =4
1 （2）)1
12(lim 2x x x +-∞→=2
（3）)1arctan(lim 2
+∞→x x = 2
π （4）3)1(lim 1x x x +→=2
（ⅱ）简单未定式的判断及计算题型
1． 判定下列未定式的类型，并进行计算
（1）（4分）93lim 23
--→x x x = 61 （2）（4分）9
3
lim 2--∞→x x x =0 （3）（6分）93lim
23
--→x x x =363 （4）（6分）n n n n ++∞→1lim 2 =2
1
（5）1
32)
13)(12)(1(lim
3+++++∞→n n n n n n 3= （6）)11(lim 22
--
+∞
→n n n 01
12lim
2
2
=-++=∞
→n n n
（7）（7分）)1212(lim 223+--∞→x x x x x 4
1)12)(12(lim 223=+-+=∞→x x x x x
2． 判定下列未定式的类型，并进行计算 （1）（4分）x x x ωsin lim
0→ ω= （2）（4分）x x
x ωtan lim
0→ω= （3）（6分）x x x 5sin 2sin lim 0→=52 （4）（6分）x x x 5tan 3tan lim 0→ =53
（5）（7分）x x x 2arctan lim 0→2= （6）
（6分）x
x x 1
sin lim ∞→1= （7）（6分）x x x 3cot lim 0→3
1
=
3． 判定下列未定式的类型，并进行计算
（1）（4分）x
x x 1
)21(lim +→=2
e （2）（4分）x
x x 210
)
31(lim -→=2
3-e
（3）（6分）kx x x
x )1(
lim +∞
→=k e （4）（6分）n
n n n )11(lim -+∞→ 2e =
（5）（6分）x
x x 1
10
)
31(lim -→+=3
-e
Ⅲ 提高题型
（ⅰ）用极限存在准则解决的极限题型 1． 用夹逼准则求下列极限
（1）（7分）!3lim n n
n ∞→=0 0)4
3.(3!3032→<<
-n n n （2）（7分）)2(
lim 222π
ππn n n
n n n n n ++++++∞
→Λ
解： 1222
2→+<<+π
πn n x n n n n ， 所以)2(
lim 2
22π
ππn n n
n n n n n ++++++∞
→Λ=1 2．（7分）用单调有界定理证明数列K ,222,22,2+++
的极限存在，你
能求出该极限吗？
解：例子分析：已知...,,321a a a x a a x a x ++=+==
；
)0(lim >∞
→a x n n 求
这是一个单调增加且有界的数列，显然11;--+= 于是有界。故n n n n n n n x a a a x x x a x x a x ,11,112 +<+<+= +=-- 由极限存在准则⑴知n n x ∞ →lim 存在，不妨假n n x ∞ →lim =A, )(lim lim 12 -∞ →∞ →+=n n n n x a x ，得2 411,2a A A a A +±= +=解得； 2 411lim ,2411,0a x a A a n n ++=++= ∴>∞→即Θ。 取2=a 得，故所给函数极限为2 （2）)2( lim 2 22π ππn n n n n n n n ++++++∞ →Λ=1 因为 π ππππ+≤++++++≤+22 222222n n n n n n n n n n n n Λ 1lim 22=+∞→πn n n ，1lim 22=+∞→π n n n n （三）极限的综合计算及其应用 Ⅰ 内容要求 （ⅰ）学会对无穷小量的阶进行比较。 （ⅱ）学会确定曲线的水平渐近线与铅直渐近线。 （ⅲ）记忆常用的等价无穷小，学会运用等价无穷小量代换求极限。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）关于无穷小阶的比较题型 1．（4分）当2 cos 1,0x x -→是关于4 x 的---------------------------------------（ C ） A 高阶无穷小 B 低阶无穷小 C 同阶但非等价无穷小 D 等价无穷小 2．（4分）当)1ln(,0x x +→是关于2 x 的-----------------------------------------（ B ） A 高阶无穷小 B 低阶无穷小 C 同阶但非等价无穷小 D 等价无穷小 3．n kx x x ~11, 03 2-+→，则=k 3 1 , =n 2 （ⅱ）关于渐近线确定的题型 1．（4分）322 -+= x x y 的水平渐近线为 21=y ，铅直渐近线为 2 3=x 2．（7分）求x x x x e e e e y ---+=的水平渐近线与铅直渐近线。 解：1lim =+∞ →y n ，1lim -=-∞ →y n ，所以水平渐近线为1±=y ∞=→y n 0 lim , 所以铅直渐近线为 0=x （ⅲ）利用无穷小进行等价代替处理的极限题型 1．判断下列未定式类型，并求下列极限： （1）（6分）304tan )cos 1(3sin lim x x x x -→=83421.3lim 32 0=→x x x x （2）（6分）) 1ln(arcsin )1(lim 220x x e x x +-→=2.2lim 20=→x x x n （3）（6分）1 1) 21ln(sin lim 3 320 -++?→x x x x =63 12.lim 3 20=→x x x n Ⅲ 提高题型 （ⅰ）复杂未定式的计算题型 1．求下列极限 （1）（7分）x x x x x x -++-+→20 sin 1sin 1tan 1lim 2.sin 2 1.sin tan lim 2 0x x x x n -=→ 21 .sin tan lim 3 0=-=→x x x x （2）（7分）)1(lim 2 x x x x -++∞ →=2 1 1lim 2=+++∞ →x x x x （3）（7分）1 )1232(lim +∞→++x x x x =e x x x x x =++ ++?+∞→1 2) 1(2212)1221(lim （4）（7分）x x x x x c b a 1 0)3 ( lim ++→x c b a x x x x e 3ln )ln(0lim -++→= x x x x c b a c c b b a a x e ++++→=ln ln ln 0 lim 3ln 3 1 abc e abc == 另解：x c b a c b a x x x x x x x x x x x c b a x f 3) 1()1()1(. 3 3 ) 3 3 1(lim )(lim -+-+--++→→-+++ = []abc c b a x e e ln 3 1 ln ln ln 3 1 lim ==++→ 3 )ln(ln 3 1 3 1 abc e e abc abc === （a x a x x ln 1 lim 0=-→Θ） （5）（7分）)ln(cos 1)1(lim 0x x x x -+→=)ln(cos ) 1ln(lim )ln(cos 1lim 0)1ln(0x x x x e x x x x +=-→+→ )ln(cos lim 20x x x →==2tan 2lim 0-=-=→x x x 2．（7分）若0)1 1 ( lim 2=--++∞→b ax x x x ，求.,b a （1,1-==b a ） 3．（7分）若)0()]1ln(1 31211[lim +∞<<=+-++++ ∞→a a n n n Λ， 求证：.1ln 1211lim =+++∞→n n n Λ )0lim (,=+=∞ →ααn n a x Θ （函数极限与无穷小之间的关系） n n a n n n n ln )1ln(lim ln 1211lim +++=+++ ∞→∞←αΛ （洛必达法则） 11lim 1 11 lim =+=+=∞→∞←n n n n n n αα()1ln(1 ...31211+++=++++ n a n Θ为无穷小） 三 连续（见 §1.8, §1.9, §1.10） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）理解函数在一点处连续和在一区间上连续的概念。 （ⅱ）了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型。 （ⅲ）了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理与最值定理。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）有关连续的题型 1．是非题（每题2分） （1）若函数在一点处极限存在，则函数在该点必连续。（ ? ） （2）一切初等函数在其定义区间内都连续。（ / ） 2．（8分）研究函数?? ? ??≤<-≤≤=21,21 0,)(2x x x x x f 的连续性，并画出函数的图象。 解：1)(lim 1 =+→x f x ，1)(lim 1 =-→x f x ，1)1(=f )(x f ∴在1=x 处连续。 3．（4分）函数?? ? ??≤<-<≤=21,310,2)(x x x x x f 的连续区间是------------------------（ A ） A ]2,1()1,0[Y B ]2,0[ C )1,0[ D ]2,1( 解：2)(lim 1 =+ →x f x ，2)(lim 1 =+→x f x ，)1(f 无意义，故选择A 4．（7分）函数?? ? ??≥+<=0,0 ,)(x x a x e x f x ，应当怎样选择数a ，使得)(x f 成为在),(+∞-∞ 内的连续函数。 解：a f a x f x f x x ===+-→→)0(,)(lim ,1)(lim 0 而)(x f 连续，故 a =1 （ⅱ）有关间断点类型确定的题型 1．下列函数在指定的点处间断，说明这些间断点属于哪一类。 （1）（4分）2,1,2 31 2 2==+--=x x x x x y 解：2 1 )2)(1(1)(2-+=---=x x x x x x f ， 2)(lim 1 -=→x f x ，∞=→)(lim 2 x f x 故1=x 为可去间断点，2=x 为无穷间断点。 （2）（4分）1,1 ,31,1=?? ? ? ?>-≤-=x x x x x y 解：0)(lim 1 =-→x f x ，2)(lim 1 =+→x f x ，0)1(=f 故1=x 为跳跃间断点， （3）（4分）)(2 ,,tan Z k k x k x x x y ∈+=== π ππ 0=x 为可去间断点，1tan lim 0=→x x x πk x =（,...2,1±±=k ）为无穷间断点， ∞=→x x k x tan lim π )(2 Z k k x ∈+ =π π为可去间断点，02 =+ →x tan x lim kn x π Ⅲ 综合应用题型 1．（8分）设) 1(||)(2 2--=x x x x x f ， （1）求)(x f 的间断点并判断其类型； （2）求)(x f 的渐近线。 解：（1） ) 1(1 )1)(1()1()1(||)(2 2+±=+--=--=x x x x x x x x x x x f 1) 1(1lim )(lim 0 -=+-=- -→ →x x f x x ，1)1(1 lim )(lim 0=+=++→→x x f x x 21)1(1lim )(lim 1 =+=- → →x x f x x ，∞=+-=-→-→) 1(1 lim )(lim 11x x f x x 0=x 为跳跃间断点，1=x 为可去间断点， 1-=x 为无穷间断点 （2）)(lim 0 x f x →不存在， 2 1 )1(1lim )(lim 1 1 =+=- +→→x x f x x ∞=+-=-→-→) 1(1 lim )(lim 11 x x f x x 所以1-=x 为垂直渐近线，0)(lim =∞ →x f x ，0=∴y 水平渐近线。 2．（10分）设??? ? ??? ≤<-++>=-01),1ln(0,)(11 x x a x e x f x ， （1）若)(x f 在0=x 处连续，求a ； （2）求)(x f 的间断点，并说明间断点所属类型； （3）求)(x f 的渐近线方程。 解：（1）1 )(lim -→=+e x f x ，10 , )(lim -→=∴=-e a a x f x （2）∞==-→→++1 11 1 lim )(lim x x x e x f ，1,0lim )(lim 1 1 1 1 =∴==-→→+-x e x f x x x 为第二类间断点 （3）-∞=+-→)(lim 1 x f x ，所以 1,1=-=x x 为垂直渐近线方程， 1)(lim =+∞ →x f x ， 所以 1=y 为水平渐近线方程 Ⅲ 提高题型 （ⅰ）涉及介值定理的证明题 1．（7分）证明方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，并且它不超过b a +。 证：设()b x a x x f --=sin ，则()x f 在闭区间[]b a +,0上连续，且 ()00<-=b f ()()()()0sin 1sin ≥++=-+-+=+b a a b b a a b a b a f (1)如果()()()0sin 1>++=+b a a b a f ， 则()()0 由定理3，()b a +∈?,0ξ, 使得 ()0=ξf ； (2)如果()()()0sin 1=++=+b a a b a f ，取b a +=ξ满足要求，即b a +=ξ是方程 b x a x +=sin 的正根； 总之，存在(]b a +∈,0ξ，使得()0=ξf ，即ξ是方程()0=x f 即b x a x +=sin 的不超过b a +的正根。 2．（7分）设函数)(x f 对于],[b a 上的任意两点y x ,，恒有|||)()(|y x L y f x f -≤-， 其中L 为正常数，且0)()( δε<-∈= >?x x b a x x L εε =? <-≤-L L x x L x f x f 2121)()(， 所以()[]上连续在b ,a x f ； 又 ()0<)b (f .a f 由介值定理知，存在)b ,a (∈ξ， 使得()0=ξf 。 3．（7分）证明：若)(x f 在),(+∞-∞上连续，且)(lim x f x ∞ →存在，则)(x f 必在),(+∞-∞ 内有界。 证：由条件A x f x =∞ →)(lim ，有0>?ε，0>?X ，当X x >时，ε<-A x f )(；特 别对于1=ε，01>?X ，当1X x >时，1)(<-A x f ，即