§3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
)10(<≤ξ
1． 欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法
（1） 直角坐标表示
n n d j j ωξξωωσλ22,11-±-=±=
（2
） “极”坐标表示
?
??=∠=βλωλn
?
??-==21sin cos ξβξ
β
2．欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
s
s s s R s s C n n n 1
2)()()(2
22
?++=Φ=ωξωω
)
2()2(]2[222
2n n n n n s s s s s s s ωξωξωωξω+++-++= 2
22)1()(21n
n n s s s ωξξωξω-+++-=
22222222)1()(11)1()(1n
n n n n n s s s s ωξξωωξξξ
ωξξωξω-++-?---+++-= 利用复位移定理
[]
)()(a s F e t f L at
+=?- 系统单位阶跃响应为
t e t e
t h n t n t
n n ωξξξ
ωξξωξω22
2
1sin 11cos 1)(---
--=--
[]
t t e n n t n ωξξωξξ
ξξω222
2
1s i n 1c o s 111-+----
=-
[]t t e n
n
t n ωξβωξβξ
ξω2
2
21s i n c o s 1c o s s i n 11-?+-?--
=-
)10(<≤ξ
()t t t h
n n ωωcos 190sin
1)(-=?+-=
)90,0(?==βξ
)10(<≤ξ
系统单位脉冲响应为
[]?????
?++=Φ='=--22
2
112)()()(n n n
s s L s L t h t k ωξωω ???
?????-++-?-=-22222
1)1()(11n n n n
s L ωξξωωξξω
欠阻尼二阶系统单位脉冲响应
3．欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
（1）峰值时间p t
)()(t k t h ='01sin 122
=--=
-t e
n t
n
n ωξξωξω
01sin 2=-t n ωξ
,3,2,,012πππωξ=-t n
由峰值时间定义
（2）超调量0
0σ
()
βωξξ
ξω+---
=-p n t p t e
t h p
n 22
1sin 11)(
()βπξ
ξξπ
+--
=--sin 112
12
e
2
11ξξπ
--+=e
0σ0
0100)
()
()(?∞∞-=
h h t h p 0011002
?=--ξξπ
e
超调量0
σ
与阻尼比ξ之间的关系
（3）调节时间 s t
s t 对ξ的不连续性
调节时间的实际计算方法
110.05
n n s
t
t e
e
-ξω-ξω+
-=
=
n
n
s t ξωξωξ5
.3)1ln(21
05.0ln 2≈-+-= （8.03.0<<ξ）
)5(0000=?
例1 控制系统结构图如图所示
（1）开环增益10=K 时，求系统的动态性能指标；
（2）确定使系统阻尼比707.0=ξ的K 值。
解 （1） )11.0()(+=s s K
s G
10=K 时 10010100)(1)()(2++=+=Φs s s G s G s 2222n
n n
s s ωξωω++=
10100==n ω
5.010
210
=?=ξ )60(?=β
363.010
5.0112
2
=?-=
-=
π
ωξπ
n
p t
2
10
ξξπ
σ
--=e
005.01/5.03.162
==--πe
7.010
5.05
.35
.3=?==n s t ξω
(2) K s s K
s 101010)(2
++=Φ
??
?
??==K K n 1021010ξω
令 707.0=ξ
得 510
42
100=??=
K 4．“最佳阻尼比” ξ=0.707 ( ωn 确定时，t s 实际最小 )
● 极点实部 ξωn =C 时
● 无阻尼自然频率 ωn = C 时
例2 二阶系统的结构图及单位阶跃响应分别如图(a),(b)所示。
试确定系统参数a K K ,,21的值。
解 由结构图可得系统闭环传递函数
2221221)(/1)()(K as s K K a s s K a s s K K s ++=+++=Φ ???==n n
a K ξωω22
2
由单位阶跃响应曲线有
12
22
100lim )()(lim 2)(K K as s K K s R s s h s s =++=Φ==∞→→
???
???
?==-==-=--2
1/
00209.02218.275.01ξξπσωξπe t n p
联立求解得 ???==278.5608
.0n
ωξ
.....22K 52782785a 206085278642?===?=??=?
2
n n ω2ξω= 因此有 42.6,85.27,221===a K K 。
5．二阶系统动态性能随极点位置分布的变化规律
[ 计算演示]
欠阻尼二阶系统动态性能随极点位置的变化规律小结
从直角坐标变化： 0000
3.5 3.5s n
n s n
n t t ξωξωβξσξωβξσ?
=↓
?↑???↓?↑?↓
?
?=→?↑???↑?↓?↑
?
从“极”坐标变化：
??
??
?
→
?→?→↓=?↑?↑??
???
↑
?↓?↑↑=?↓↑00005.35.3σβξξωξωωσξβξωξωβn s n n n
s n t t
例3 典型欠阻尼二阶系统
要求 ?
??≤<<≤523.1650
00000n ωσ
试确定满足要求的系统极点分布范围。 解．依题意有
???≤<>≥5
25
.0707.0n ωξ ???≤
0.5
0 -0.5-1 2
4
第 37卷第 6期 2013年 12月 武汉理工大学学报 (交通科学与工程版 J o u r n a l o f W u h a n U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y (T r a n s p o r t a t i o n S c i e n c e &E n g i n e e r i n g V o l . 37 N o . 6 D e c . 2013 减振器阻尼特性仿真及结构参数影响分析 黄安贻 1, 2 施宇锋 1 (武汉理工大学机电工程学院 1 武汉 430070 (武汉理工大学华夏学院 2 武汉 430223 摘要 :通过对一种双缸式减振器液力系统进行分析 , 应用液压流体力学理论建立了其数学模型 , 在 MA T L A B /S i m u l i n k 中搭建了减振器仿真模型并进行仿真 , 其仿真结果与实验结果符合较好 . 在此基础上利用该减振器仿真系统分析了减振器几个结构参数对减振器阻尼特性的影响 , 以指导减振器的设计从而较快地获得最合适的结构参数和最优的阻尼特性 . 关键词 :减振器 ; 阻尼特性 ; 仿 真 ; 结构参数影响中图法分类号 :U 463. 33 d o i :10. 3963/j
. i s s n . 2095-3844. 2013. 06. 016收稿日期 :2013-08- 10黄安贻 (1965- :男 , 工学博士 , 教授 , 主要研究领域为机械工程控制与测试、智能仪器仪表、机电一体化系统、复杂曲面精密测量与重构等 0引言 减振器是车辆悬架系统的重要组成部分 , 其阻尼特性直接影响着整车的平顺性与操纵稳定性 . 为与开发的新车型相匹配 , 经常要根据减振器阻尼特性要求对其进行调整或重新设计 . 传统的减振器设计方法是以阻尼特性为参考指标 , 在大量的减振器试验过程中 , 不断试凑得到减振器结 构参数 [1-
第18卷增刊2 系 统仿真学报? Vol. 18 Suppl.2 2006年8月 Journal of System Simulation Aug., 2006 汽车减振器阻尼特性的仿真分析 任卫群1, 赵峰1, 张杰1,2 （1.华中科技大学CAD中心, 湖北武汉 430074; 2.万向集团技术中心, 浙江杭州311215） 摘要：采用系统仿真方法及MATLAB软件，建立汽车减振器的详细模型，并进行仿真研究。模型能反映减振器的详细物理结构，如考虑油液特性影响、阀片刚度影响、摩擦力影响等。模型经试验校验/阻尼特性计算精度达90％，模型精度能满足实际工程问题的需要。经二次开发形成一套能进行参数化自动建模和仿真分析的软件系统，最终在汽车减振器设计过程中形成一套阻尼特性研究的系统完整的方法。 关键词：系统仿真；汽车减振器；阻尼特性中图分类号：TP 391.77 文献标志码：A 文章编号：1004-731X (2006) S2-0957-04 Simulation on Damping Behavior of Vehicle Shock Absorber REN Wei-qun1, ZHAO Feng1, ZHANG Jie1,2 （1. CAD Center, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China; 2. Wanxiang Group Technical Center, Hangzhou 311215, China） Abstract: The system simulation method and the MATLAB software were used to build a detailed model of a vehicle shock absorber. The detailed structure includes in the model, such as the hydraulic properties, the valve stiffness and the friction force. The absorber model was validated using test data and the precision is above 90%, which can fulfill the engineering requirement. An automated modeling and simulation software package based on MATLAB was developed, which could support a systematic research of vehicle shock absorbers in its design. Key words: system simulation; vehicle shock absorbers; damping behavior 汽车双向筒式液压减振器的仿真模型分为两类，一类是反映减振器外部特性的黑箱模型[1-2]，包括恢复力映射方法、神经网络方法等，黑箱模型不能细致地反映减振器具体结构(如阀片具体参数)调整对性能的直接影响，不能完全满足减振器模型作为性能预测工具的需要。另一类是基于内部结构机理建模的详细物理模型[3-4]，包含压力模型和阀片压力－流速特性，其中压力模型用一阶非线性微分方程表达流体可压缩性模型、确定不同的内部腔体压力，阀片的压力－流速特性可采用测力计试验辨识阀片参数后解析地确定、或由试验直接测定得到压力－流速
阻尼材料阻尼性能的测试与计算 陈耀辉 （天津市橡胶工业研究所，天津 !""#""） 摘要：用悬臂梁法与粘弹谱仪（()*+测出的材料本身的弹性模量和损耗因子应基本相同。但多年来大家习惯于使用粘弹谱仪（()*+测量材料本身的振动阻尼特性。很少使用悬臂梁共振法来测量材料本身的振动阻尼特性。且用悬臂梁法测量出来的数据误差较大。本文的目的在于通过计算机分析和样品的测量，找出了满足模量的变化!,!’"-、满足损耗因子变化!,!#-以及使用悬臂梁共振法来测量材料本身的振动阻尼特性，在一定的范围内代替粘弹谱仪（()*+，来满足工程研究需要的样品参数变化范围。 关键词：悬臂梁共振法；粘弹谱仪（()*+；模量；损耗因子 作者简介：陈耀辉，男，天津市橡胶工业研究所高级工程师，自’./"年以来一直从事水下声学材料及阻尼材料性能测量和研究。 前言 通常测量材料本身的粘弹特性使用粘弹谱仪（()*+，对于阻尼，入防振降噪工程使用的则使用悬臂梁共振法来测量其振动阻尼特性0’10!1。悬臂梁共振法通过测出复合板的弹性杨氏模量、弹性剪切模量、损耗因子后，根据复合板的弹性杨氏模量、弹性剪切模量、损耗因子经过数据处理可以算出材料本身的弹性杨氏模量、弹性剪切模量、损耗因子。目前国内使用悬臂梁共振法来测量其振动阻尼特性有两个国家标准： 2345’67"68’..6091和2345’/!#/8!"""071， 二者内容上大同小异，均等效采用美国材料与试 验学会标准*:5);<#68/"、*:5);<#68’..90#1061。理论上来说悬臂梁法与粘弹谱仪（()*+测出的材料本身的弹性模量和损耗因子应基本相同。但多年来大家习惯于使用粘弹谱仪（()*+测量材料本身的振动阻尼特性。很少使用悬臂梁共振法来测量材料本身的振动阻尼特性。其原因固然是一：粘弹谱仪（()*+可以自选频率范围对样品进行强迫振动来测复合板的弹性杨氏模量、弹性剪切模量、损耗因子，而悬臂梁共振法是采用自由共振法来测复合板的弹性杨氏模量、弹性剪切模量、损耗因子，频率不可以任意可选。其二：二者测出的数据无法对上号是另一个主要原因。 本文的目的在于通过计算机分析和样品的测量，试图找出其原因。使用悬臂梁共振法来测量材料本身的振动阻尼特性在一定的范围内代替粘弹
第18卷增刊2 系 统仿真学报? V ol. 18 Suppl.2 2006年8月 Journal of System Simulation Aug., 2006 汽车减振器阻尼特性的仿真分析 任卫群1, 赵峰1, 张杰1,2 (1.华中科技大学CAD 中心, 湖北武汉 430074; 2.万向集团技术中心, 浙江杭州311215 摘要:采用系统仿真方法及MATLAB 软件,建立汽车减振器的详细模型,并进行仿真研究。模型能反映减振器的详细物理结构,如考虑油液特性影响、阀片刚度影响、摩擦力影响等。模型经试验校验/阻尼特性计算精度达90%,模型精度能满足实际工程问题的需要。经二次开发形成一套能进行参数化自动建模和仿真分析的软件系统,最终在汽车减振器设计过程中形成一套阻尼特性研究的系统完整的方法。 关键词:系统仿真;汽车减振器;阻尼特性中图分类号:TP 391.77 文献标志码:A 文章编号:1004-731X (2006 S2-0957-04 Simulation on Damping Behavior of Vehicle Shock Absorber REN Wei-qun 1, ZHAO Feng 1, ZHANG Jie 1,2 (1. CAD Center, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China;
2. Wanxiang Group Technical Center, Hangzhou 311215, China Abstract: The system simulation method and the MATLAB software were used to build a detailed model of a vehicle shock absorber. The detailed structure includes in the model , such as the hydraulic properties, the valve stiffness and the friction force. The absorber model was validated using test data and the precision is above 90%, which can fulfill the engineering requirement . An automated modeling and simulation software package based on MATLAB was developed, which could support a systematic research of vehicle shock absorbers in its design. Key words: system simulation; vehicle shock absorbers; damping behavior 引言目前汽车悬架中广泛采用双向筒式液压减振器提供悬架阻尼,其动力学特性对汽车操纵稳定性、平顺性等都有重大影响,因此减振器性能预测与设计方法改善已成为重要研究课题。传统设计方法主要根据经验确定设计参数然后进行试验修正,采用结构参数不同的样机装备于要匹配的汽车,由试车员进行实车试验评价,这个过程须对减振器内部参数进行多次反复调整,并经多次试制与试验,这种完全依赖于样机实验的设计方法不但周期长、成本高,而且较难获得最优的减振器特性。为克服上述方法缺点、减少减振器样机试制及实车试验费用、缩短开发周期,利用系统仿真技术进行减振器性能预测和设计优化已成必然趋势,其基本过程是基于减振器结构建立数学模型,经模拟分析得到阻尼特性,将此特性用于汽车系统动力学和振动分析,评价汽车的操纵稳定性、平顺性等性能,在此基础上对减振器特性和结构进行优化设计。因此,采用系统仿真方法进行减振器研究的核心问题是建立准确反映减振器特性的模型,以便在设计阶段能准确预测减振器的阻尼特性。 收稿日期:2006-04-29 修回日期:2006-06-01 基金项目:国家“八六三”高技术研究发展计划(2003AA001031; 国家自然科学基金(60574053 作者简介:任卫群(1971-, 男, 湖北人, 博士, 副教授,
§3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 )10(<≤ξ 1． 欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法 （1） 直角坐标表示 n n d j j ωξξωωσλ22,11-±-=±= （2 ） “极”坐标表示 ? ??=∠=βλωλn ? ??-==21sin cos ξβξ β 2．欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 s s s s R s s C n n n 1 2)()()(2 22 ?++=Φ=ωξωω ) 2()2(]2[222 2n n n n n s s s s s s s ωξωξωωξω+++-++= 2 22)1()(21n n n s s s ωξξωξω-+++-=
22222222)1()(11)1()(1n n n n n n s s s s ωξξωωξξξ ωξξωξω-++-?---+++-= 利用复位移定理 [] )()(a s F e t f L at +=?- 系统单位阶跃响应为 t e t e t h n t n t n n ωξξξ ωξξωξω22 2 1sin 11cos 1)(--- --=-- [] t t e n n t n ωξξωξξ ξξω222 2 1s i n 1c o s 111-+---- =- []t t e n n t n ωξβωξβξ ξω2 2 21s i n c o s 1c o s s i n 11-?+-?-- =- )10(<≤ξ ()t t t h n n ωωcos 190sin 1)(-=?+-= )90,0(?==βξ
)10(<≤ξ 系统单位脉冲响应为 []????? ?++=Φ='=--22 2 112)()()(n n n s s L s L t h t k ωξωω ??? ?????-++-?-=-22222 1)1()(11n n n n s L ωξξωωξξω 欠阻尼二阶系统单位脉冲响应
57 3.3 二阶系统的时间响应及动态性能 3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类 常见二阶系统结构图如图3-６所示其中K ，T 为环节参数。系统闭环传递函数为 K s s T K s ++= Φ21)( 化成标准形式 2 2 22)(n n n s s s ωξωω++=Φ （首1型） （3-5） 1 21 )(22++= Φs T s T s ξ （尾1型） （3-6） 式中，K T T 1= ，11T K T n ==ω，1121KT =ξ。 ξ、n ω分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。二阶系统的首1标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾1标准型。 二阶系统闭环特征方程为 02)(2 2=++=n n s s s D ωξω 其特征特征根为 12 2,1-±-=ξωξωλn n 若系统阻尼比ξ取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分类，见表3-3。
58 数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。通解由微分方程的特征根决定，代表自由响应运动。如果微分方程的特征根是1λ，2λ，, n λ且无重根，则把函数t e 1λ，t e 2λ，, t n e λ称为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。 如果特征根中有多重根λ，则模态是具有t te λ， ,2 t e t λ形式的函数。 如果特征根中有共轭复根ωσλj ±=，则其共轭复模态t e )j (ωσ+与t e )j (ωσ-可写成实函 数模态t e t ωσsin 与t e t ωσcos 。 每一种模态可以看成是线性系统自由响应最基本的运动形态，线性系统自由响应则是其相应模态的线性组合。 3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算 设过阻尼二阶系统的极点为 ()n T ωξξλ11211---=- = () n T ωξξλ11 22 2-+-=-= )(21T T > 系统单位阶跃响应的拉氏变换 s T s T s s R s s C n 1 )1)(1()()()(212++==ωΦ 进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应 111)(2 1 122 1 -+ -+ =- - T T e T T e t h T t T t 0≥t （3-7）
邢台学院物理系 《自动控制理论》 课程设计报告书 设计题目:二阶系统的性能指标分析 专业:自动化 班级: 学生姓名: 学号: 指导教师: 2013年3 月24 日
邢台学院物理系课程设计任务书 专业：自动化班级： 2013年3 月24 日
摘要 二阶系统是指由二阶微分方程描述的自动控制系统。例如，他励直流电动机﹑RLC电路等都是二阶系统的实例。二阶系统的性能指标分析在自动控制原理中具有普遍的意义。 控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标，动态性能指标又可分为随动性能指标和抗扰性能指标。 稳态过程性能 稳态误差是系统稳定后实际输出与期望输出之间的差值 本次课程设计以二阶系统为例，研究控制系统的性能指标。 关键词：二阶系统性能指标稳态性能指标动态性能指标稳态误差调节时间
目录 1.二阶系统性能指标概述 (1) 2. 应用模拟电路来模拟典型二阶系统。 (1) 3.二阶系统的时间响应及动态性能 (4) 3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类 (4) 3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算 (5) 3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 (7) 3.3.4 改善二阶系统动态性能的措施 (14) 4. 二阶系统性能的MATLAB 仿真 (18) 5 总结及体会 (19) 参考文献 (19)
1.二阶系统性能指标概述 二阶系统是指由二阶微分方程描述的自动控制系统。例如，他励直流电动机﹑RLC 电路等都是二阶系统的实例。二阶系统的性能指标分析在自动控制原理中具有普遍的意义。 控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标，动态性能指标又可分为随动性能指标和抗扰性能指标。 稳态过程性能 稳态误差是系统稳定后实际输出与期望输出之间的差值 2. 应用模拟电路来模拟典型二阶系统。 1．2—l 是典型二阶系统原理方块图，其中T0＝1秒；T1＝0.1秒；K1 分别为10；5；2.5；1。 开环传递函数为： ) 1()1()(11 101+=+= S T S K S T S T K S G （2－1） 其中，== 1 T K K 开环增益。 闭环传递函数： 22 22 22 121 21 )(n n nS S S T S T K S S T K S W ωξωωξ++= ++= ++= （2－2） 其中，01111T T K T K T n = == ω （2－3） 110 2 1T K T = ξ （2－4） 图2－1 二阶系统
clear all; close all; clc dt = 0.01; tmax = 20; t = 0 : dt : tmax; s = tf('s'); %设定待辨识传递函数 w = 3; % 自然频率 f = 0.5; % 欠阻尼系数 H = w^2/(s^2 + 2*f*w*s + w^2) %传递函数 %设定输入的阶跃函数,并画出输入与输出函数 U = ones(1,tmax/dt + 1); y = lsim (H,U,t);%求输出 plot(t,U,t,y); legend('u','y'); ylabel('Step Response') xlabel('Time, Seconds') %对二阶欠阻尼自衡对象传递函数参数进行辨识 int t1n t2n for i=1:tmax/dt-1 if (y(i)<=y(i+1))&(y(i+1)>=y(i+2)) t1n = i break end end for i=t1n+1 : tmax/dt-1 if (y(i)<=y(i+1))&(y(i+1)>=y(i+2)) t2n = i break end end Tz = (t2n - t1n)*dt %求Tz Y1 = y(t1n - 1) - 1 Y2 = y(t2n - 1) - 1 f0 = 1/(1 + (pi /log(Y1))^2)^0.5 if f0 < 1 w0 = 2*pi/(Tz*(1 - f0^2)^0.5) else w0 = 0; end H0 = w0^2/(s^2 + 2*f0*w0*s + w0^2) %传递函数 y1 = lsim (H0,U,t);%求输出 figure(2); plot(t,y,t,y1); %画出原函数输出与辨识出的函数输出图像对比 legend('原系统','辨识系统'); title('原系统与辨识系统阶跃响应对比'); ylabel('Step Response') xlabel('Time, Seconds')