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第五章 相似矩阵 1．教学目的和要求：
(1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值与特征向量.
(2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要
条件，会将矩阵化为相似对角矩阵. (3) 简单了解Jordan 标准形. 2．教学重点：
(1) 方阵的特征值与特征向量. (2) 矩阵的相似对角化.
3．教学难点：矩阵的相似对角化.
4．本章结构：线性方程组和线性组合都涉及方阵A 和向量X 的
运算:AX .从矩阵上提出的问题是：能否找一个数λ和一个非零向量X ,使X AX λ=,化简运算.从而引出特征值与特征向量，接着讨论特征向量的性质，为矩阵相似对角化作准备，最后简单介绍一下Jordan 标准形.
5．教学内容：
§5.1 方阵的特征值与特征向量
1. 特征值与特征向量的概念
在一些应用问题中常会用到一系列的运算:.
,,,,2
X A X A
AX k
为了简化运算，希望能找到一个数λ和一个非零向量X ，使
X AX λ=，这样的数λ
和向量X 就是方阵的特征值与特征向量.
定义：对于n 阶方阵A , 若有数λ和向量0≠x 满足x x A λ=, 称λ为
A 的特征值,
称x 为A 的属于特征值λ的特征向量．
下面给出特征值与特征向量的求法： 特征方程：
0)(=-?=x E A x x A λλ
或者 0)(=-x A E λ
0)(=-x E A λ有非零解0)(det =-?E A λ
0)(det =-?A E λ
特征矩阵：E A λ-或者 A E -λ
特征多项式：
λ
λλλλ?---=
-=nn n n n n a a a a a a a a a E A
2
1
22221112
11)(det )(
])1([011
10n n
n n n
a a a a a -=++++=--λλλ
A 的特征值与矩阵A 又有什么关系呢？
定理1：设 n 阶方阵)(ij a A =的n 个特征值为n λλλ ,,21
则 (1)
nn
n a a a +++=++ 221121λλλ
)
(1A tr a n
i ii ==∑=
称为矩阵A 的迹。(主对角元素之和)
(2)
A
n n
i i
==∏=λλλλ 211
例1
求
??
????????--=201034011A 的特征值与特征向量． 例2，例3 见书第136、137页.
2. 特征向量的性质
方阵
A
关于特征值i λ的特征向量是齐次线性方程组
0)(=-X A I i λ
的非零解。由齐次线性方程组解得性质得：当21,X X 是A 对应于i λ
的特征向量时，它们的任何非零线性组合：)0(2211≠+X k X k 仍是A
关于i λ的特征向量。在此，我们重点关注矩阵A 的特征向量的线性
相关性。 定理2：设r X X X ,21，是矩阵A 的不同特征值所对应的特征向量，
则r X X X ,21，是线性无关的。
定理3：矩阵A 的s 个不同特征值所对应的s 组各自线性无关的特征
向量并在一起仍是线性无关的。 定理4：设0λ是n 阶方阵A 的一个t 重特征值，则0λ对应的特征向量中
线性无关的最大个数.t ≤
由以上定理可知，若A 有n 个互异的特征值：,,,21n λλλ 则每个i λ仅
对应一个线性无关的特征向量，从而A 共有n 各线性无关的特征向量。
例4
求??
???
?????=122212221A 的特征值与特征向量． 解 2
)1)(5(12
2
212221)(+-=---=
λλλ
λλ
λ?
0)(=λ??1,5321-===λλλ
求51=λ的特征向量：
??????????---=-4222422245E A ??????????--→000110101行
, ??
???
?????=1111p
)0(111≠=k p k x
求132-==λλ的特征向量：
??????????=--222222222)1(E A ??????????→000000111行
, ??????????-=0112p , ??
????????-=1013p
3322p k p k x +=
（32,k k 不同时为0）
例5 设33?A 的特征值为3,2,1321-===λλλ, 求 )3(det 3E A A +-．
解 设13)(3+-=t t t f , 则E A A A f +-=3)(3的特征值为
17)(,3)(,1)(321-==-=λλλf f f 故
51)17(3)1()3(det 3=-??-=+-E A A
思考题：设4阶方阵A 满足条件：,0det ,2,0)3det(<==+A E AA A E T
求*A 的一个特征值。 (答案：34
)
作业：习题册第五章第一节。
§5.2 矩阵相似对角化
1．相似矩阵：对于n 阶方阵A 和B , 若有可逆矩阵P 使得B AP P =-1,
称A 相似于B , 记作B A ~．
相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下列三个性质：
(1)
A A ~：
A AE E =-1
(2) A B B A ~~?： A P B P =---)()(1
1
1 (3) C A C B B A ~~,~?
若两个矩阵相似时，我们可以得到什么结论呢?
定理1: 设n 阶方阵A 和B 相似，则有 (1),)()(B r A r = (2)，B A =
A )3(和
B 的特征多项式相同，即,B I A I -=-λλ 从而A 和B 的特征值相同。
证明：性质(1),(2)显然，下面只证明性质(3).因为,~B A 故存在可逆矩阵P 使,1
B AP P
=-于是
.)(1
1
1
A I P A I P P A I P AP P I
B I -=-=-=-=----λλλλλ 显然，若方阵A 与对角阵相似，则对角阵对角线上的元素即为A 的特征值。
例
1：设矩阵
??????????------=12422421x A 与?????
??
???-=A 45
y ，求.,y x
解：利用A =A 得到方程,0843=+-y x
再利用)()(A =tr A tr ，得到.12+=+y x
有了对角阵，我们可以利用它来计算矩阵的方幂：若1-=PBP A ， 则.1-=P PB A k k
2．矩阵相似对角形
若方阵A 能够与一个对角矩阵相似, 称A 可对角化． 定理2 n 阶方阵A 可对角化A ?有n 个线性无关的特征向量． 证 必要性．设可逆矩阵P 使得
Λ
λλdef
11
=?????
?????=-n AP P
即ΛP AP =．划分[]n p p P 1=, 则有
[][]Λn n p p p p A 11= [][]n n n p p p A p A λλ 111=? ),,2,1(n i p p A i i i ==?λ
因为P 为可逆矩阵, 所以它的列向量组n p p ,,1 线性无关． 上式表明：n p p ,,1 是A 的n 个线性无关的特征向量． 充分性．设
n
p p ,,1 线性无关, 且满足),,2,1(n i p p A i
i i ==λ,
则[]n p p P
1=为可逆矩阵,
且有
[][]n n n p p p A p A AP λλ 111==
[]ΛΛP p p n == 1 即Λ=-AP P 1．
[注] Λ?Λ~A 的主对角元素为A 的特征值． 推论1
n n A ?有n 个互异特征值A ?可对角化．
推论2 设n n A ?的全体互异特征值为m λλλ,,,21 , 重数依次为m r r r ,,,21 ,
则A 可对角化的充要条件是, 对应于每个特征值i λ,A 有i r 个线性
无关的特征向量．
例2 判断下列矩阵可否对角化：
(1)
??
????????---=6116100010
A , (2)
??
???
?????=122212221A ,
(3)
??
???
?????--=201034011A 解 (1) )3)(2)(1()(+++-=λλλλ?
A 有3个互异特征值 A ?可对角化 对应于3,2,132
1-=-=-=λλλ的特征向量依次为
??????????-=1111p , ??????????-=4212p , ??????????-=9313p
构造矩阵
??????????---=941321111P , ??
???
?????---=Λ321
则有 Λ=-AP P 1．
(2) 2)1)(5()(+--=λλλ?
例1求得A 有3个线性无关的特征向量 A ?可对角化 对应于1,5321-===λλλ的特征向量依次为
??????????=1111p , ??
????????-=0112p ,
??????????-=1013p
构造矩阵
??
????????--=101011111P ,
?????
?????--=Λ115 则有 Λ=-AP P 1．
(3) 2
)1)(2()(---=λλλ?, 例2求得, 对应于2重特征值132==λλ, A 只有1个线性无关的特征向量 A ?不可对角化．
例3
设
??
???
?????=122212221A , 求),3,2( =k A
k
．
解 例4求得
??
????????--=101011111P ,
?????
?????--=Λ115, 使得
Λ=-AP P 1：11,--Λ=Λ=P P A P P A k k
故
?????
?????----????????
??
?--???????????--=21112111131)1()1(5
101011111k k
k
k A
?????
???
?
?+---+---+=δδ
δδδδδδδ25555255552531k k k
k k k k k k
（k )1(-=δ）
思考题：设,3254???
???--=A 求.100
A
(答案:
?
??
?
??-+-?-?+-101101100100
252225525231)
作业：习题册第五章第二节。
§5.3 Jordan 标准形
从上节我们看到，不是每个方阵都能相似于对角阵的，当 矩阵不能相似于对角阵时，总是希望能找到形式尽可能简单一些 的矩阵，使任何方阵都能相似于这种矩阵。这就是这一节将要介 绍的Jordan 矩阵。在此，我们只介绍Jordan 矩阵和方阵相似于 Jordan 矩阵的一种求法。
1 Jordan 矩阵：形如
的r 阶方阵称为一个r 阶Jordan 块。称主对角线子块为Jordan 块)(i i J λ 的准对角矩阵
为Jordan 矩阵。
定理1：在复数域上，每个n 阶方阵A 都相似于一个Jordan 矩阵J ，
即存在可逆矩阵P ，使得
r
r J ???
?
??
???
????????=λλλλ111)(
?
?????
??????=)()()(2211m m J J J J λλλ .)()(22111????????==-J J J AP P λλ
知道了什么是Jordan 矩阵后，现在的问题是如何求Jordan 标
准形。
Jordan 标准形: 当矩阵A 与Jordan 矩阵J 相似时，就说J 是A 的
Jordan
标准形，并记为A J .若矩阵能相似对角化，对
角矩阵
就是其Jordan 标准形。
求n 阶方阵A 的Jordan 矩阵J 和可逆矩阵P 的方法如下： (1)求A 的特征多项式
互异，从而i λ是A 的i k 重特征值，由此确定
)(i i A λ
阶数为i k . (2)由0)(=-X
I A i λ求A 的i t 个线性无关的特征向量 由此确定)(i i A λ中有i t 个Jordan 块)(i ij J λ.
,
)()()(2
1
21s
k s k k A I λλλλλλλ---=- s
λλ,,1 ,
,,,21i t ααα
(3)若,i i k t <则在i λ对应的特征向量集合{
}i t ααα,,,21 中适当选
取特征向量1i α，求Jordan 链,,,,21j
in i i ββα 确定Jordan
块 i i ij t i J ,,2,1),( =λ，特别地，长度为
1的Jordan 链即为一
个
特征向量，它对应一阶Jordan 块).(i λ
(4)以i λ对应的i t 条Jordan 链为列构成矩阵i P ，即i P 位含i k 个列的
矩阵，而且
则 满足， 即
,,,2,1,)()()()(21s i A p J J J P AP i i i i it i i i i i i i ==??
?????
??????
?=λλλλ[]s p p p P 21=,)()(11A s s PJ A A P AP =??
??
?
?????=λλ .
1A J AP P =-
例1 设
求变换矩阵P 和Jordan 矩阵A J ，使.1A J AP P =-
解 由
0)2)(1(2
=--=-λλλA I 得，,2,1321===λλλ所以
)(i i A λ是主对角元素为i λ的Jordan 矩阵。由11=λ是单
根，
得[]1)1(=A ，从
)(=-X I A ，求得一个特征向量
[]T 1,2,11=α，
当232==λλ时，由0)2(=-X I A ，即
??
??
?
?????-----=211367233A ,)2()1(21
??
????=A A J A ,0011347235=????
?
?????-----X
解得只有一个线性无光的特征向量[]T
1,1,12--=α
从而)2(2A 只含一个Jordan 块，即
求解
,111)2(??
???
?????--=-βI A 取[]T
0,2,1--=β，得到一个广义特征向量β
[],0112121112
1??
???
?????----==βααP
?
?
?
???=2012)2(2A .2121??
??
??????=A J
三角模糊数互补判断矩阵案例 （模糊层次矩阵） 民航是一个高风险的服务行业，安全状况的好坏直接影响着其声誉、经济效益乃至生存。作为旅客登机出行的必经之地——机场则尤为重要。我国于2008年2月1日起，正式实施“民用机场运行安全管理规定”[2]，通过建立一套完善有效的安全管理体系，对保证航空安全有着重要的作用和意义，而其中的安全风险管理则是重要组成部分。目前美国、加拿大等国家在实施安全管理系统时，采用了风险评估矩阵来进行风险管理。该矩阵将风险的可能性和严重性联系在一起，可以根据用途进行细化，但是对于处理大量数据时，具有一定的局限性。 我国学者曾采用层次分析法(AHP)，对民用机场影响飞行安全的各因素进行了评估。但是，对于层次分析法，当判断矩阵不具有一致性时，需要调整判断矩阵的元素，使其具有一致性，这不排除要经过若干次调整、检验、再调整、再检验的过程才能使判断矩阵具有一致性；另外，判断矩阵的一致性与人类思维的一致性有显著差异[2-6]。 在进行安全风险管理时，存在着很多不确定因素困扰着风险评估，其主要原因是专家的意见存在着偏差，人为因素难以进行清晰明确的分析，然而这些不确定因素却是正常的和不可避免的。因此，引入了模糊数学，克服了层次分析法的局限性以及人类思维的主观性，从而形成了模糊层次分析法(Fuzzy Analytical Hierarchy Process，FAHP)。 笔者拟采取模糊层次分析法对某一民用机场影响飞行安全的各因素进行评估，这将不仅能够客观地评估民用机场的安全现状、发现隐患和薄弱环节，而且对于改善其安全有着积极的 作用。 1 预备知识
其中，λ值的选择取决于决策者的风险态度。 当λ＞0.5时，称决策者是追求风险的； 当λ=0.5时，称决策者是风险中立的；
2011学年 (A) 学号姓名成绩 考试科目：《矩阵理论》（A）考试日期：2011年 1 月10 日 注意事项：1、考试7个题目共7页 2、考试时间120分钟 题目：一（本题35分） 二（本题18分） 三（本题14分） 四（本题08分） 五（本题07分） 六（本题09分） 七（本题09分） (注: I表示单位矩阵；H A表示H转置；det(A)代表行列式)
姓名： 学号： A 一. 填空(35分) ( 任意选择填写其中35个空即可 ) (1)1113A ??= ?-?? ，则2(2)A I -= ，A 的Jordan 形A J = (2)若3阶阵2≠A I ，且2440-+=A A I ，则Jordan 形A J = (3) I 是单位矩阵，则范数1||I||||I||∞== ；cos 0n n ?= (4)Hermite 阵的特征根全为 , 斜(反)Hermite 阵的特征根必为纯虚数或 (5)秩 ()()()r A B r A r B ?-= ； ()A B A B +++?-?= ；； ()T T T A B A B ?-?= ；()H H H A B A B ?-?= (6) 若2320++=A A I ，则A 一定相似于 (7)d dt tA e = ，d dt tA e -= ，dsin(At)dt = (8)2()A A += ；00A B +??= ??? ； (, 0)0A A ++??- ??? = (9)设A 的各列互相正交且模长为1，则 H A A +-= (10)(),ij A a =则 22 ,,()()H H ij ij i j i j A A a AA a -=-=∑∑tr ||tr || (11) 若 ()0H A A =tr 则A = (12) (正规阵无偏性)若A 是上三角形正规阵，则A 一定是 (13) 若0n n n n B D C ???? ??? 为正规阵， 则D = (14)021, ,103a A B b ????== ? ????? 则A B ?的特征根为 (15) 0.20.30.210.50.20.310.30.40.21A x ???? ???== ??? ?????? ?, , 则谱半径(最大特征根) ()A ρ范围是 ；且A x ∞= ；||A||∞= (16)01,10A -??= ??? 则 ()=A H A e e
矩阵基本运算及应用 牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的或集合。矩阵是高等代中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、、光学和中都有应用；中，制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是领域的重要问题。将为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则 简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．
1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB． 1.2.3典型举例 已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知
? 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和． 1.3.2典型例题 设矩阵 计算 解是的矩阵．设它为
城市核心竞争力的多层次评价指标 作者：未知来源：网络添加日期：10年02月06日 一、城市核心竞争力评价指标体系的建立 （一）层次体系建立 1.城市竞争力的评价指标 城市竞争力是一个混沌的系统，这些系统以其表现方式的不同可概括成两类:硬分力和软分力，其中硬分力=人才力+资本力+科技力+环境力+区位力+设施力+结构力，软分力=文化力+制度力+管理力+开放力，这样城市竞争力的框架便表示为:城市竞争力=硬分力+软分力。 2.城市核心竞争力的定义 城市核心竞争力是一座城市所具有的关键性能力，这种能力能使一座城市在某一个行业(或产业)、某一个领域取得领先地位，获得竞争优势。所以，在这些关键性领域的投入与产出比例一般要高于其他领域。 3.城市核心竞争力的评价方法 确定权重的方法很多，由于城市核心竞争力判别系统是一个多级递阶结构，采用层次分析法较为适宜。 4.建立的指标层次体系 城市核心竞争力包含软实力与硬实力两方面。前者包含有：文化力、制度力、管理力、开放力。后者包含有：人才力、资本力、科技力、环境力、区位力、设施力、结构力。 （二）层次分析方法的基本过程 1.建立层次结构模型 在这一步中，我们首先要确定目标，随后找出影响目标的几个主因，而然后在每个主因下再找出分别影响这些主因的分因。 2.构造判断矩阵
确定各层次因素之间的相对重要性并赋以相应的分值，构造出各层次中的所有判断矩阵。分值标准如上表： 3.层次单排序 对判断矩阵B，计算满足BW=λmaxW的特征根与特征向量，式中λmax 为B 的最大特征根，W 为对应于λmax 的正规化特征向量，W的分量Wi 是相应因素单排序的权值。为了检验矩阵的一致性,需要计算它的一致性指标CI，定义CI=(λmax- n) /(n- 1)。随机一致性指标RI，可查表确定。 4.层次总排序 层次总排序需要从上到下逐层顺序进行，对于最高层下面的第二层，其层次单排序即为总排序。随后对这个总的排序矩阵计算特征值与特征向量。 5.一致性检验 对总排序矩阵的计算结果仍然要进行一致性检验，方法可参考步骤（3） 二、城市核心竞争力层次评价步骤 1.建立城市核心竞争力层次结构模型 根据以上层次结构模型建立城市核心竞争力的层次结构模型，即城市核心竞争力包含软实力与硬实力两方面。前者包含有：文化力、制度力、管理力、开放力。后者包含有：人才力、资本力、科技力、环境力、区位力、设施力、结构力。 2.构造判断矩阵 首先，建立城市核心竞争力层次矩阵，设为A，其表达如下： 其次，细化硬实力矩阵，设为B1，表达如下：
矩阵的开题报告 篇一：矩阵变换及应用开题报告 鞍山师范学院 数学系 13届学生毕业设计（论文）开题报告 课题名称：浅谈矩阵的变换及其应用 学生姓名：李露露 专业：数学与应用数学 班级：10级1班 学号： 30 指导教师：裴银淑 XX年 12月 26日 一、选题意义 1、理论意义： 矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种 十分重要的运算，它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到 非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解 决的问题。因此，矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义：
矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式 识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性，并起着 不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述： 矩阵不仅是个数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具，因此国内 外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词， 他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年，凯莱发表了关于矩 阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后，国内外有了许多关于矩阵的 研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中，就有关于矩阵变换的内容， 在第一章中有关于矩阵初等变换的内容，并有初等变换在矩阵方程中的应用，在 第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金 斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的
CharlesR.Johnson联合编著的《矩 阵分析》也有关于矩阵变换的内容，此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外 关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展，为矩阵知识所涉及的各个领域都作出 了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价： 矩阵理论一直都是各个学科的基本数学工具，矩阵变换是矩阵理论的基础， 近年来有许多关于矩阵变换的研究，这些研究将一些繁琐复杂的问题简单化，也 极大地推进和丰富了电子信息、航空航天等领域的发展，同时促进了更多的数学 家加入到研究矩阵变换的队伍中，这样就使得矩阵变换知识日渐完善，并应用到 更多的领域中去。 三、论文提纲 前言 (一)、矩阵初等变换及应用 1、矩阵初等变换的基本概念 2、初等变换在方程组中的应用 3、初等变换在向量组中的应用
第五章 相似矩阵 §1 特征值与特征向量 特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都与特征值有关，在工程技术及其理论研究方面都有很重要的应用。 定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足： (1)AX X λ=。 则称λ是方阵A 的特征值（也称为特征根），X 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量。 例如矩阵1000A ??= ? ??，取11= 0X ?? ???，20=1X ?? ???，则有 11=1AX X ?，22=0AX X ?，所以1，0是A 的特征值，12,X X 是分别属于特征值1和0的特征 向量。 （1）式又可以写成 ()0 (2)E A X λ-=。 即特征向量是齐次线性方程组（2）的非零解，从而有 ||0 (3)E A λ-=。 （3）称为方阵A 的特征方程，求解方程（3）即得矩阵A 的特征值。||E A λ-称为方阵A 的特征多项式。 对求出的特征值0λ，代入方程组（2）求解即得属于0λ的特征向量。 例1：已知方阵A 满足 2A E =，证明：A 的特征值只能为1或1-。 证明：设λ是A 的任一特征值，则有非零向量X ，使得 AX X λ=。 两边左乘以A ，有22()()A X A A AX X λλλ===。又 2A E =，所以 2(1)0X λ-=。由于0X ≠，从而 21λ=，即 1λ=±。 例2：求矩阵110430102A -?? ?=- ? ??? 的特征值与特征向量。 解：因 21 10||430(2)(1)1 02 E A λλλλλλ+--= -=----。 所以矩阵A 的特征值2λ= 或 1λ=。
§1 矩阵及其运算 教学要求：理解矩阵的定义、掌握矩阵的基本律、掌握几类特殊矩阵（比如零矩阵，单位矩阵，对称矩阵和反对称矩阵 ) 的定义与性质、注意矩阵运算与通常数的运算异同。能熟练正确地进行矩阵的计算。 知识要点： 一、矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写 字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常 用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数， 他们表示该元素在矩阵中的位置。比如，或 表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。
当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素 都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即： 。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元 素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，是 一个阶下三角矩阵，而则是一个阶上三角 矩阵。今后我们用表示数域上的矩阵构成的集合， 而用或者表示数域上的阶方阵构成的集合。 二、矩阵的运算 1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具 有相同的行数和列数，比如说），则定义它们的和 仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和 对应元素的和，即：。
给定矩阵，我们定义其负矩阵为：。这样我们 可以定义同型矩阵的减法为：。由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律： （ 1）交换律：； （ 2）结合律：； （ 3）存在零元：； （ 4）存在负元：。 2 、数与矩阵的乘法： 设为一个数，，则定义与的乘积仍 为中的一个矩阵，中的元素就是用数乘中对应的 元素的道德，即。由定义可知：。容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律： （1 ）； （2 ）； （3 ）； （4 ）。
一、矩阵的线性运算 定义1 设有两个矩阵和,矩阵与的和记作, 规定为 注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和，即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵. 设矩阵记 , 称为矩阵的负矩阵, 显然有 . 由此规定矩阵的减法为 . 定义2 数与矩阵A的乘积记作或, 规定为 数与矩阵的乘积运算称为数乘运算. 矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律：设都是同型矩阵，是常数，则 (1) (2) ; (3) (4) (5) (6) (7) (8) 注：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算. 二、矩阵的相乘 定义3设 矩阵与矩阵的乘积记作, 规定为
其中，( 记号常读作左乘或右乘. 注: 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算. 若，则矩阵的元素即为矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和. 即 . 矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的)： （1） （2） （3） （4） 注: 矩阵的乘法一般不满足交换律, 即 例如, 设则 而 于是且 从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从必然推出 或 此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从必然推出例如, 设 则 但 定义4如果两矩阵相乘, 有 则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换. 注：对于单位矩阵, 容易证明 或简写成 可见单位矩阵在矩阵的乘法中的作用类似于数1. 更进一步我们有 命题1设是一个n阶矩阵，则是一个数量矩阵的充分必要条件是与任何n阶矩阵可换。
命题2设均为n阶矩阵，则下列命题等价： （1） （2） （3） （4） 三、线性方程组的矩阵表示 设有线性方程组 若记 则利用矩阵的乘法, 线性方程组(1)可表示为矩阵形式： (2) 其中矩阵称为线性方程组(1)的系数矩阵. 方程(2)又称为矩阵方程. 如果是方程组(1)的解, 记列矩阵 则 ， 这时也称是矩阵方程(2)的解; 反之, 如果列矩阵是矩阵方程(2)的解, 即有矩阵等式 成立, 则即也是线性方程组(1)的解. 这样, 对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论. 特别地, 齐次线性方程组可以表示为 将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利. 四、矩阵的转置 定义6把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为的转置矩阵, 记作(或 ). 即若 则
华北水利水电大学相似矩阵的性质及应用 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2013年11月6 日
摘要：若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题 进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。 关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值 英文题目：The properties and application of similar matrix Abstract:There are a lot of applications about similar matrix. Matrix for further research is the concept of similarity matrix characteristics, and that part of the problem can be converted into similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal
矩阵式组织结构 新华网（2003-03-19）来源：中华工商时报 矩阵式结构的出现是企业管理水平的一次飞跃。当环境一方面要求专业技术知识，另一方面又要求每个产品线能快速做出变化时，就需要矩阵式结构的管理。前面我们讲过，职能式结构强调纵向的信息沟通，而事业部式结构强调横向的信息流动，矩阵式就是将这两种信息流动在企业内部同时实现。 在实际操作中，这种双重管理的结构建立和维持起来都很困难，因为有权力的一方常常占据支配地位。因此比较成熟的矩阵式管理模式为带有项目／产品小组性质的职能型组织。职能部门照常行使着管理职能，但公司的业务活动是以项目的形式存在的。项目由项目经理全权负责，他向职能经理索要适合的人力资源，在项目期间，这些员工归项目经理管理。而职能经理的责任是保证人力资源合理有效的利用。 与前两种结构不同，矩阵式结构很少能从组织结构图中判断出来，需要根据企业具体的管理行为加以判断。而企业是否应该实行矩阵式管理，应该依据下面三个条件加以判断：条件一：产品线之间存在着共享希缺资源的压力。该组织通常是中等规模，拥有中等数量的产品线。在不同产品共同灵活地使用人员和设备方面，组织有很大压力。比如，组织并不足够大，不能为每条产品线安排足够的工程师，于是工程师以兼职项目服务的形式被指派承担产品服务。 条件二：环境对两种或更多的重要产品存在要求。例如对技术质量和产品快速更新的要求。这种双重压力意味着在组织的职能和产品之间需要一种权力的平衡。为了保持这种平衡就需要一种双重职权的结构。 条件三：组织所处的环境条件是复杂和不确定的。频繁的外部变化和部门之间的高度依存，要求无论在纵向还是横向方面要有大量的协调与信息处理。 根据上面的条件可以看出，提供咨询服务的公司最适合采用矩阵式结构。例如中型规模的咨询公司，这样的公司规模在几十人至上百人，咨询顾问可以根据业务专业划分为不同的职能团队，例如财务咨询，生产、工程咨询，管理咨询小组。由于咨询顾问的成本较高，优秀的咨询顾问资源相对稀缺，而咨询公司没有统一的产品，需要根据客户的具体情况进行二次设计，每一个项目都是一个全新的产品，无法通过流水线作业完成。而且，产品的质量需要由项目经理和职能经理共同控制。矩阵式的结构能最好的满足以上的条件。 矩阵式结构的优势在于它能使人力、设备等资源在不同的产品／服务之间灵活分配，组织能够适应不断变化的外界要求。这种结构也给员工提供了获得职能和一般管理的两方面技能。在矩阵式组织里，关键组织成员的角色定位非常重要。这些关键组织成员包括：高层领导者、矩阵主管和员工。 高层领导者的主要职责是维持职能经理和产品经理之间的权力平衡。高层领导者也必须愿意进行决策委托，鼓励职能经理和产品经理直接接触，共同解决问题，这将有助于信息共享和协调。 矩阵主管的问题在于如何控制他们的下属。由于下属接受两个主管同时领导，不自觉的员工会利用这个机会钻空子，造成主管对他的管理真空化。因此，职能和产品主管必须一起工作，解决问题。职能主管主要解决下属的技术水平问题，而项目主管则具体管理下属在这个项目上的行为、工作结果和绩效。这些活动需要大量的时间、沟通、耐心以及和别人共同工作的技巧，这些都是矩阵管理的一部分。 员工接受双重领导，经常能体会到焦虑与压力。他的两个直接经理的命令经常会发生冲突。这时双重主管的员工必须能够面对产品经理和职能经理的指令，形成一个综合决策来确定如何分配他的时间。员工们必须和他的两个主管保持良好关系，他们应该显示出对这两个主管的双重忠诚。
§8矩阵多项式与多项式矩阵 设A 是n 阶阵，则为矩阵A 的特征多项式 事实上，n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 因此有 一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱） Th 2.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即 0111=++++--E a A a A a A n n n n （矩阵） 注：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。 eg 1.设???? ? ??-=010110201A 试计算E A A A A A 432)(2458-++-=? 解：A 的特征多项式为 12)(23+-=-=λλλλA E f 取多项式432)(2 458-++-=λλλλλ? )()()149542(235λλλλλλr f +?-+-+= 余项103724)(2+-=λλλr 由上定理0)(=A f ???? ? ??----=+-==∴346106195026483103724)()(2E A A A r A ? Df 2.一般地，设)(λ?是多项式，A 为方阵，若0)(=A ?，则称)(λ?是矩阵A 的零化多项式。 根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即A E f -=λλ)( Df 3.设A 是n 阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。 显然：①矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。 ②矩阵A 的最小多项式是唯一的 Th 3.矩阵A 的最小多项式的根必是A 的特征根；反之，A 的特征根也必是A 的最小多项式的根——特征多项式与最小多项式之间的关系。 由此可得，求最小多项式的一个方法： 设n n C A ?∈，其所有不同的特征值为s λλλ,,,21 ，则其特征多项式为ks s k k A E f )()()()(2121λλλλλλλλ---=-=
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矩阵基本运算及应用 201700060牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的或集合。矩阵是高等代中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、、光学和中都有应用；中，制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是领域的重要问题。将为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则
简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的． 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或． 特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律
结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB． 1.2.3典型举例 已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 ．
(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和． 1.3.2典型例题 设矩阵 计算 解是的矩阵．设它为 可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即． 1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）
第五章：相似矩阵及二次型 本章要求：1. 理解矩阵特征值、特征向量及有关性质，熟练掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。 2. 理解相似矩阵的概念和矩阵相似于对角矩阵的条件。 3. 掌握实对称矩阵化为对角阵的方法。 4. 理解二次型的定义，掌握二次型在实数域上化标准形、规范形的方法。 5. 理解正定矩阵与正定二次型、会判定二次型的定性。 §1 向量的内积、长度及正交性 内容：向量的内积；内积的性质；向量的长度（范数）；长度的性质；单位向量；施瓦茨不等式[][][]y y x x y x , ,,2 ≤；n 维向量x 与y 的夹角[] y x y x ,arccos =θ ；正交；正交 的向量组一定线性无关；规范正交基；基的规范正交化；施密特正交化过程；正交矩阵；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位向量，且两两正交；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量都是单位向量，且两两正交；正交矩阵A 的n 个列（行）向量构成向量空间 R n 的一个规范正交基；正交变换；正交变换不改变线段的长度。 重点：正交的向量组一定线性无关；施密特正交化法；基的规范正交化；正交阵判定的两种方法。 §2 方阵的特征值与特征向量 内容：矩阵的特征值与特征向量；A 的特征方程；A 的特征值就是特征方程的解； A 的特征多项式 ()λ λλ λ---= nn n n n n a a a a a a a a a f 2 1 2222111211；
若λ是 A 的特征值，则 ()λ?也是()A ?的特征值；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。 重点：熟练掌握特征值和特征向量的求解方法；特征值的性质；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。 §3 相 似 矩 阵 内容：相似矩阵；相似变换；相似变换矩阵；若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征值也相同； 设???? ?? ? ? ?=Λn λλλ 2 1 ，则有 1）,2 1???? ?? ? ? ?=Λk n k k k λλλ ()()() ().21?????? ? ? ?=Λn λ?λ?λ?? 2）若n 阶矩阵A 与Λ相似，则n λλλ,,,21 即为A 的n 个特征值。 重点：矩阵可对角化的条件：n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似（即 A 能对角化）的充分必要条件为A 有 n 个线性无关的特征向量；若 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等，则A 与对角矩阵相似。 §4 实对称矩阵的对角化 内容：实对称矩阵的特征值和特征向量的性质：实对称矩阵的特征值为实数，对应的特征向量可以取实向量；对称矩阵的特征值若不相等，则对应的特征向量正交；实对称矩阵的对角化：对称矩阵一定能对角化。 重点：实对称阵 A 对角化的步骤：
1 矩阵的相似 1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件 3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】） 矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似 定义 1.1：设,A B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得1B X AX -=，就说A 相似于B 记作A B ∽ 1.2 相似的性质 （1）反身性A A ∽：；这是因为1A E AE -=. （2）对称性：如果A B ∽，那么B A ∽；如果A B ∽,那么有X ，使1B X AX -=，令1Y X -=，就有11A XBX Y BY --==，所以B A ∽。 （3）传递性：如果A B ∽，B C ∽，那么A C ∽。已知有,X Y 使1B X AX -=， C 1Y BY -=。令Z XY =，就有111C Y X AXY Z AZ ---==，因此，A C ∽。 1.3 相似矩阵的性质 若,n n A B C ?∈，A B ∽，则： （1）()()r A r B =； 引理：A 是一个s n ?矩阵，如果P 是一个s s ?可逆矩阵，Q 是n n ?可逆矩阵， 那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ） 证明：设,A B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=,由引理2可知，秩 （B ）=秩（1 B C AC -=）=秩（AC ）=秩（A ） （2）设A 相似于B ，()f x 是任意多项式，则()f A 相似于()f B ，即 11()()P AP B P f A P f B --=?= 证明：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++ 于是，1 110()n n n n f A a A a A a A a E --=+++ 1 110()n n n n f B a B a B a B a E --=++ + 由于A 相似于B ，则k A 相似与k B ，（k 为任意正整数），即存在可逆矩阵X ,使得
1 矩阵的相似 1 定义2性质3定理（证明）4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件 3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1 】） 矩阵的相似及其应用1 矩阵的相似 定义1设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B?X?1AX，就说A相似于B记作A∽B 2 相似的性质 （1）反身性A∽A；这是因为A?E?1AE. （2）对称性如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使B?X?1AX，令Y?X?1，就有A?XBX?1?Y?1BY，所以B∽A。 （3）传递性如果A∽B，B∽C，那么A∽C。已知有X,Y使B?X?1AX， C?Y?1BY。令Z?XY，就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ，因此，A∽C。 3 相似矩阵的性质若A,B?Cn?n，A∽B，则（1）r(A)?r(B)；
Q是n?n可逆矩阵，引理A是一个s?n矩阵，如果P是一个s?s可逆矩阵，那么秩（A） =秩（PA）=秩（AQ） 证明设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC,由引理2可知，秩 ?1 （B）=秩（B?CAC）=秩（AC）=秩（A） （2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即 P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B) 证明设f(x)?anx?an?1x nn n?1
a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E 于是，f(A)?anAn?an?1An?1? f(B)?anB?an?1B n?1 kk 由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得 Bk?X?1AkX， ?1?1 anAn?an?1An?1?因此Xf?A?X?X ?a1A?a0E?X
等价矩阵 线性代数和矩阵论中，两个矩阵之间的等价是一种矩阵之间的等价关系。假设有 两个的矩阵，记作A和B。它们之间等价当且仅当存在两个可逆的方块矩阵：的矩阵P以及的矩阵Q，使得 相似关系有所不同。如果两个矩阵A和B相似，那么它们一定是等价矩阵，因为按照矩阵相似的定义，可以找到一个可逆矩阵P，使得 由于其中的P-1也是可逆的矩阵，所以A和B相似必然推出它们等价。但是，等价的矩阵不一定是相似的。首先相似的两个矩阵必须是大小相同的两个方块矩阵，而等价矩阵则没有这个要求。其次，即使两个等价矩阵都是同样大小的方阵，中用到的Q也不一定是P的逆矩阵。 性质 等价关系。 两个矩阵等价当且仅当： 其中一者能够经过若干次初等行或列变换变成另一者。 它们有相同的秩。 参见 相似矩阵 合同矩阵 这是与数学相关的小作品。你可以通过编辑或修订扩充其内容。 相似矩阵 线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P，使得： 或
矩阵A与B之间的相似变换矩阵。 相似矩阵保留了矩阵的许多性质，因此许多对矩阵性质的研究可以通过研究更简单的相似矩阵而得到解决。 严格定义 域为K的n×n的矩阵A与B为域L上的相似矩阵当且仅当存在一个系数域为L 的n×n的可逆矩阵P，使得： 矩阵A与B“相似”。B称作A通过相似变换矩阵：P得到的矩阵。术语相似变换的其中一个含义就是将矩阵A变成与其相似的矩阵B。 性质 等价关系，也就是说满足： 1反身性：任意矩阵都与其自身相似。 2对称性：如果A和B相似，那么B也和A相似。 3传递性：如果A和B相似，B和C相似，那么A也和C相似。 子域，A和B是两个系数在K中的矩阵，则A和B在K上相似当且仅当它们在L 上相似。这个性质十分有用：在判定两个矩阵是否相似时，可以随意地扩张系数域至一个代数闭域，然后在其上计算若尔当标准形。 置换矩阵，那么就称A和B“置换相似”。如果两个相似矩阵A和B之间的转换矩阵P是一个酉矩阵，那么就称A和B“酉相似”。谱定理证明了每个正交矩阵都酉相似于某个对角矩阵。 相似变换下的不变性质 两个相似的矩阵有许多相同的性质： ?两者的秩相等。 ?两者的行列式相等。 ?两者的迹数相等。 ?两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。 ?两者拥有同样的特征多项式。 ?两者拥有同样的初等因子。 这种现象的原因有两个： ?两个相似的矩阵可以看做是同一个线性变换的“两面”，即在两个不同的基下的表现。 ?映射X P?1XP是从n阶方阵射到n阶方阵的一个双射同构，因为P 是可逆的。 可对角化的，如果它与一个对角矩阵相似。不是所有的矩阵都可以对角化，但至少在复数域（或任意的代数闭域）内，所有的矩阵都相似于一些被称为若尔当标准形的简单的矩阵。另一种标准形：弗罗贝尼乌斯标准形则在任意的域上都适用。只要查看A和B所对应的标准形是否一致，就能知道两者是否相似。 参见 ?合同矩阵
矩阵式人力资源管理 一、什么是矩阵式人力资源管理 矩阵有两个维度：纵向和横向。横向是人力资源部服务的企业内部客户，如营销部门、研发部门、生产部门、其他职能部门等。纵向是人力资源部工作的职能，如人事、招聘、培训、薪资、绩效等。在5*N构成的表格里，不同年份的不同季度，把当前的重点工作进行标识，运用内部咨询项目的方式开展工作，叫做矩阵式人力资源管理。 人力资源部的工作分为日常和重点，人力资源是业务的配套，随着业务发展的阶段变化，工作重点会有相应的偏向性。 矩阵 二、矩阵式人力资源管理的意义 传统的人力资源管理是单维的，建立在职能划分基础上。如人事、招聘、培训、薪资、绩效等。根据教科书而来。一方面没有划分日常工作和重点项目，更重要的是，没有关注企业内部各大部门的区别，和不同时间段各大部门由于业务的变化而对人力资源部工作的需求的变化。缺少对业务变化的观察和需求捕捉的敏感性。导致在资源配置上，不能集中性的确定目标和实现目标，也忽视根据不同部门不同人群的特点采取差异化的措施。 教科书的设计，在于建立系统而全面的柜子和抽屉。但企业的重点在于实施，实施讲究有所为，有所不为。 矩阵式的思维，能够促使人力资源部的工作去追随业务的节拍。而不是脱节。而每个年份每个季度，矩阵里的不同格子究竟要做什么重点项目，就促使人力资源部经理经常去思考企业整体的发展，各大部门当前的需求，从而使战略这个概念性的东西，能建立在扎实的基础上。 从农事规律的角度，春耕、夏种、秋收、冬藏，种瓜得瓜，种豆得豆。 技能矩阵，让培训管理有的放矢 最近，集团人力总监罗总意识到了我们HR系统的专业基础较为薄弱，于是要求培训部制订与组织实施HR 队伍的提升计划。培训部接到任务一想：既然是底子薄，那就补充HR专业课程所需结构化的知识呗！于是左找右算，总算请来了南昌大学经济与管理学院的副院长何筠教授来给我们在周日上课，课程很全面，从人力资源规划、工作分析、招聘与选拔，再到绩效薪酬，应有尽有。罗总对HR队伍的成长也很关注，每次周日上完课后他都会去问问自己的秘书（秘书同时也兼着公司HR职位）这课老师讲得怎么样，对他自己有无帮助，秘书总是很开心地告诉他讲得很好，很有用。可是过了一阵子后，罗总又听到有人跟他反映这个老师讲的一点都不好，全是理论层面的东西，泛泛之谈，对企业实际的人力资源管理操作一点帮助都没有。好了，领导一听这话就犯难了，没办法，于是召集大家开个讨论会，听听大家的意见，讨论的主题是——老师的课讲的好不好，好，请举例说明，不好也请呈出事实。通过对大家的意见收集来决定是否继续这个培训计划。
【最新整理，下载后即可编辑】 第五章 相似矩阵 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要 条件，会将矩阵化为相似对角矩阵. (3) 简单了解Jordan 标准形. 2．教学重点： (1) 方阵的特征值与特征向量. (2) 矩阵的相似对角化. 3．教学难点：矩阵的相似对角化. 4．本章结构：线性方程组和线性组合都涉及方阵A 和向量X 的 运算:AX .从矩阵上提出的问题是：能否找一个数λ和一个非零向量X ,使X AX λ=,化简运算.从而引出特征值与特征向量，接着讨论特征向量的性质，为矩阵相似对角化作准备，最后简单介绍一下Jordan 标准形. 5．教学内容： §5.1 方阵的特征值与特征向量 1. 特征值与特征向量的概念 在一些应用问题中常会用到一系列的运算:. ,,,,2 X A X A AX k
为了简化运算，希望能找到一个数λ和一个非零向量X ，使 X AX λ=，这样的数λ 和向量X 就是方阵的特征值与特征向量. 定义：对于n 阶方阵A , 若有数λ和向量0≠x 满足x x A λ=, 称λ为 A 的特征值, 称x 为A 的属于特征值λ的特征向量． 下面给出特征值与特征向量的求法： 特征方程： 0)(=-?=x E A x x A λλ 或者 0)(=-x A E λ 0)(=-x E A λ有非零解0)(det =-?E A λ 0)(det =-?A E λ 特征矩阵：E A λ-或者 A E -λ 特征多项式： λ λλλλ?---= -=nn n n n n a a a a a a a a a E A 2 1 22221112 11)(det )( ])1([011 10n n n n n a a a a a -=++++=--λλλ A 的特征值与矩阵A 又有什么关系呢？ 定理1：设 n 阶方阵)(ij a A =的n 个特征值为n λλλ ,,21 则 (1) nn n a a a +++=++ 221121λλλ ) (1A tr a n i ii ==∑= 称为矩阵A 的迹。(主对角元素之和) (2) A n n i i ==∏=λλλλ 211 例1 求 ?? ????????--=201034011A 的特征值与特征向量． 例2，例3 见书第136、137页.