矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质 （一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。 （三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质：
~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 12(,,,)n A λλλ=L ，12(,,,)m B βββ=L 1、若向量组（12,,,m βββL ）是向量组（12,,,n λλλL ）的极大线性无关 组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλL ）?（12,,,m βββL ）则有矩阵A,B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =??;r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>?L L 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 （二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系
第五章 相似矩阵 §1 特征值与特征向量 特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都与特征值有关，在工程技术及其理论研究方面都有很重要的应用。 定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足： (1)AX X λ=。 则称λ是方阵A 的特征值（也称为特征根），X 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量。 例如矩阵1000A ??= ? ??，取11= 0X ?? ???，20=1X ?? ???，则有 11=1AX X ?，22=0AX X ?，所以1，0是A 的特征值，12,X X 是分别属于特征值1和0的特征 向量。 （1）式又可以写成 ()0 (2)E A X λ-=。 即特征向量是齐次线性方程组（2）的非零解，从而有 ||0 (3)E A λ-=。 （3）称为方阵A 的特征方程，求解方程（3）即得矩阵A 的特征值。||E A λ-称为方阵A 的特征多项式。 对求出的特征值0λ，代入方程组（2）求解即得属于0λ的特征向量。 例1：已知方阵A 满足 2A E =，证明：A 的特征值只能为1或1-。 证明：设λ是A 的任一特征值，则有非零向量X ，使得 AX X λ=。 两边左乘以A ，有22()()A X A A AX X λλλ===。又 2A E =，所以 2(1)0X λ-=。由于0X ≠，从而 21λ=，即 1λ=±。 例2：求矩阵110430102A -?? ?=- ? ??? 的特征值与特征向量。 解：因 21 10||430(2)(1)1 02 E A λλλλλλ+--= -=----。 所以矩阵A 的特征值2λ= 或 1λ=。
华北水利水电大学相似矩阵的性质及应用 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2013年11月6 日
摘要：若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。矩阵相似的概念是为深入研 究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。 关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值 英文题目：The properties and application of similar matrix Abstract:There are a lot of applications about similar matrix. Matrix for further research is the concept of similarity matrix characteristics, and that part of the problem can be converted into similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal matrix, so this kind of problem can only use a definition or if and when the standard to solve.For example, we can discuss the integrality of the method by using the properties of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent conditions for similar matrices and their characteristic polynomial and their corresponding results, especially, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed into.In this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show their appliance. Key words:similar matrices; diagonal matrix; Jordan’s normal form; characteristic value; characteristic vector
1 矩阵的相似 1 定义2性质3定理（证明）4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件 3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1 】） 矩阵的相似及其应用1 矩阵的相似 定义1设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B?X?1AX，就说A相似于B记作A∽B 2 相似的性质 （1）反身性A∽A；这是因为A?E?1AE. （2）对称性如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使B?X?1AX，令Y?X?1，就有A?XBX?1?Y?1BY，所以B∽A。 （3）传递性如果A∽B，B∽C，那么A∽C。已知有X,Y使B?X?1AX， C?Y?1BY。令Z?XY，就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ，因此，A∽C。 3 相似矩阵的性质若A,B?Cn?n，A∽B，则（1）r(A)?r(B)；
Q是n?n可逆矩阵，引理A是一个s?n矩阵，如果P是一个s?s可逆矩阵，那么秩（A） =秩（PA）=秩（AQ） 证明设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC,由引理2可知，秩 ?1 （B）=秩（B?CAC）=秩（AC）=秩（A） （2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即 P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B) 证明设f(x)?anx?an?1x nn n?1
a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E 于是，f(A)?anAn?an?1An?1? f(B)?anB?an?1B n?1 kk 由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得 Bk?X?1AkX， ?1?1 anAn?an?1An?1?因此Xf?A?X?X ?a1A?a0E?X
第五章：相似矩阵及二次型 本章要求：1. 理解矩阵特征值、特征向量及有关性质，熟练掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。 2. 理解相似矩阵的概念和矩阵相似于对角矩阵的条件。 3. 掌握实对称矩阵化为对角阵的方法。 4. 理解二次型的定义，掌握二次型在实数域上化标准形、规范形的方法。 5. 理解正定矩阵与正定二次型、会判定二次型的定性。 §1 向量的内积、长度及正交性 内容：向量的内积；内积的性质；向量的长度（范数）；长度的性质；单位向量；施瓦茨不等式[][][]y y x x y x , ,,2 ≤；n 维向量x 与y 的夹角[] y x y x ,arccos =θ ；正交；正交 的向量组一定线性无关；规范正交基；基的规范正交化；施密特正交化过程；正交矩阵；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位向量，且两两正交；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量都是单位向量，且两两正交；正交矩阵A 的n 个列（行）向量构成向量空间 R n 的一个规范正交基；正交变换；正交变换不改变线段的长度。 重点：正交的向量组一定线性无关；施密特正交化法；基的规范正交化；正交阵判定的两种方法。 §2 方阵的特征值与特征向量 内容：矩阵的特征值与特征向量；A 的特征方程；A 的特征值就是特征方程的解； A 的特征多项式 ()λ λλ λ---= nn n n n n a a a a a a a a a f 2 1 2222111211；
若λ是 A 的特征值，则 ()λ?也是()A ?的特征值；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。 重点：熟练掌握特征值和特征向量的求解方法；特征值的性质；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。 §3 相 似 矩 阵 内容：相似矩阵；相似变换；相似变换矩阵；若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征值也相同； 设???? ?? ? ? ?=Λn λλλ 2 1 ，则有 1）,2 1???? ?? ? ? ?=Λk n k k k λλλ ()()() ().21?????? ? ? ?=Λn λ?λ?λ?? 2）若n 阶矩阵A 与Λ相似，则n λλλ,,,21 即为A 的n 个特征值。 重点：矩阵可对角化的条件：n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似（即 A 能对角化）的充分必要条件为A 有 n 个线性无关的特征向量；若 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等，则A 与对角矩阵相似。 §4 实对称矩阵的对角化 内容：实对称矩阵的特征值和特征向量的性质：实对称矩阵的特征值为实数，对应的特征向量可以取实向量；对称矩阵的特征值若不相等，则对应的特征向量正交；实对称矩阵的对角化：对称矩阵一定能对角化。 重点：实对称阵 A 对角化的步骤：
1 矩阵的相似 1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件 3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】） 矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似 定义 1.1：设,A B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得1B X AX -=，就说A 相似于B 记作A B ∽ 1.2 相似的性质 （1）反身性A A ∽：；这是因为1A E AE -=. （2）对称性：如果A B ∽，那么B A ∽；如果A B ∽,那么有X ，使1B X AX -=，令1Y X -=，就有11A XBX Y BY --==，所以B A ∽。 （3）传递性：如果A B ∽，B C ∽，那么A C ∽。已知有,X Y 使1B X AX -=， C 1Y BY -=。令Z XY =，就有111C Y X AXY Z AZ ---==，因此，A C ∽。 1.3 相似矩阵的性质 若,n n A B C ?∈，A B ∽，则： （1）()()r A r B =； 引理：A 是一个s n ?矩阵，如果P 是一个s s ?可逆矩阵，Q 是n n ?可逆矩阵， 那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ） 证明：设,A B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=,由引理2可知，秩 （B ）=秩（1 B C AC -=）=秩（AC ）=秩（A ） （2）设A 相似于B ，()f x 是任意多项式，则()f A 相似于()f B ，即 11()()P AP B P f A P f B --=?= 证明：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++ 于是，1 110()n n n n f A a A a A a A a E --=+++ 1 110()n n n n f B a B a B a B a E --=++ + 由于A 相似于B ，则k A 相似与k B ，（k 为任意正整数），即存在可逆矩阵X ,使得
第三节 相似矩阵 分布图示 ★ 相似矩阵与相似变换的概念 ★ 例1 ★ 相似矩阵的性质 ★ 例2 ★ 相似矩阵的特征值与特征向量 ★ 矩阵与对角矩阵相似的条件 ★ 例3 ★ 例4 ★ 矩阵可对角化的条件 ★ 矩阵对角化的步骤 ★ 例5 ★ 例6 ★ 利用矩阵对角化计算矩阵多项式 ★ 矩阵对角化在微分方程组中的应用 ★ 例7 ★ 约当形矩阵的概念 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题4-3 内容要点 一、相似矩阵的概念 定义1 设B A ,都是n 阶矩阵, 若存在可逆矩阵P ,使 B AP P =-1 , 则称B 是A 的相似矩阵, 并称矩阵A 与B 相似.记为B A ~. 对A 进行运算AP P 1-称为对A 进行相似变换, 称可逆矩阵P 为相似变换矩阵. 矩阵的相似关系是一种等价关系，满足: (1) 反身性: 对任意n 阶矩阵A ,有A A 与相似; (2) 对称性: 若B A 与相似, 则B 与A 相似; (3) 传递性: 若A 与B 相似, 则B 与C 相似, 则A 与C 相似. 两个常用运算表达式： (1) ))((111BP P AP P ABP P ---=; (2) BP lP AP kP P lB kA P 111)(---+=+, 其中l k ,为任意实数. 二、相似矩阵的性质 定理1 若n 阶矩阵A 与B 相似,则A 与B 的特征多项式相同,从而A 与B 的特征值亦相同. 相似矩阵的其它性质: (1) 相似矩阵的秩相等; (2) 相似矩阵的行列式相等; (3) 相似矩阵具有相同的可逆性, 当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似. 三、矩阵与对角矩阵相似的条件
【最新整理，下载后即可编辑】 第五章 相似矩阵 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要 条件，会将矩阵化为相似对角矩阵. (3) 简单了解Jordan 标准形. 2．教学重点： (1) 方阵的特征值与特征向量. (2) 矩阵的相似对角化. 3．教学难点：矩阵的相似对角化. 4．本章结构：线性方程组和线性组合都涉及方阵A 和向量X 的 运算:AX .从矩阵上提出的问题是：能否找一个数λ和一个非零向量X ,使X AX λ=,化简运算.从而引出特征值与特征向量，接着讨论特征向量的性质，为矩阵相似对角化作准备，最后简单介绍一下Jordan 标准形. 5．教学内容： §5.1 方阵的特征值与特征向量 1. 特征值与特征向量的概念 在一些应用问题中常会用到一系列的运算:. ,,,,2 X A X A AX k
为了简化运算，希望能找到一个数λ和一个非零向量X ，使 X AX λ=，这样的数λ 和向量X 就是方阵的特征值与特征向量. 定义：对于n 阶方阵A , 若有数λ和向量0≠x 满足x x A λ=, 称λ为 A 的特征值, 称x 为A 的属于特征值λ的特征向量． 下面给出特征值与特征向量的求法： 特征方程： 0)(=-?=x E A x x A λλ 或者 0)(=-x A E λ 0)(=-x E A λ有非零解0)(det =-?E A λ 0)(det =-?A E λ 特征矩阵：E A λ-或者 A E -λ 特征多项式： λ λλλλ?---= -=nn n n n n a a a a a a a a a E A 2 1 22221112 11)(det )( ])1([011 10n n n n n a a a a a -=++++=--λλλ A 的特征值与矩阵A 又有什么关系呢？ 定理1：设 n 阶方阵)(ij a A =的n 个特征值为n λλλ ,,21 则 (1) nn n a a a +++=++ 221121λλλ ) (1A tr a n i ii ==∑= 称为矩阵A 的迹。(主对角元素之和) (2) A n n i i ==∏=λλλλ 211 例1 求 ?? ????????--=201034011A 的特征值与特征向量． 例2，例3 见书第136、137页.
第五章 相似矩阵 §1 特征值和特征向量 特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都和特征值有关，在 工程技术及其理论研究方面都有很重要的使用。 定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足： (1)AX X λ=。 则称λ是方阵A 的特征值（也称为特征根），X 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量。 例如矩阵1000A ??= ? ??，取11= 0X ?? ???，20=1X ?? ???，则有 11=1AX X ?，22=0AX X ?，所以1，0是A 的特征值，12,X X 是分别属于特征值1和0的特征 向量。 （1）式又可以写成 ()0 (2)E A X λ-=。 即特征向量是齐次线性方程组（2）的非零解，从而有 ||0 (3)E A λ-=。 （3）称为方阵A 的特征方程，求解方程（3）即得矩阵A 的特征值。||E A λ-称为方阵A 的特征多项式。 对求出的特征值0λ，代入方程组（2）求解即得属于0λ的特征向量。 例1：已知方阵A 满足 2A E =，证明：A 的特征值只能为1或1-。 证明：设λ是A 的任一特征值，则有非零向量X ，使得 AX X λ=。 两边左乘以A ，有22()()A X A A AX X λλλ===。又 2A E =，所以 2(1)0X λ-=。由于0X ≠，从而 21λ=，即 1λ=±。 例2：求矩阵110430102A -?? ?=- ? ??? 的特征值和特征向量。 解：因 21 10||430(2)(1)1 02 E A λλλλλλ+--= -=----。 所以矩阵A 的特征值2λ= 或 1λ=。 当2λ=时，
第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法 ??? ? ??==11111a b , ???? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ? ? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a 解 根据施密特正交化方法 ??? ? ? ??-==110111a b ? ? ?? ? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b ? ? ?? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b
2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3 设x 为n 维列向量 x T x 1 令H E 2xx T 证明H 是对称的正交阵 证明 因为 H T (E 2xx T )T E 2(xx T )T E 2(xx T )T E 2(x T )T x T E 2xx T 所以H 是对称矩阵 因为 H T H HH (E 2xx T )(E 2xx T ) E 2xx T 2xx T (2xx T )(2xx T ) E 4xx T 4x (x T x )x T E 4xx T 4xx T E 所以H 是正交矩阵 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A B 是n 阶正交阵, 故A 1 A T B 1 B T (AB )T (AB )B T A T AB B 1A 1AB E 故AB 也是正交阵.
5-1向量的内积与方阵的特征值 1．设λ为矩阵A 的特征值，且0≠λ，则 λ A 为 的特征值。 ;.;.;.;.1*1--A d A c A b A a λλ 2．设A 为n 阶实对称阵，21,x x 为A 的不同特征值对应的特征向量，则 。 1.21=x x a T 1.x b 与2x 线性相关； 1.x c 与2x 线性无关； 0.21=+x x d 3．设21,λλ都为n 阶矩阵A 的特征值)(21λλ≠，且21,x x 分别为对应于21,λλ的特征向量，则当 满足时，2211x k x k x +=必为A 的特征向量。 0.1=k a 且02=k ； 0.1=k b 且02≠k ； 0.1≠k c 且02≠k ； 0.21=?k k d 4．设n 阶方阵A 的特征值全不为零，则 。 n A r d n A r c n A r b n A r a <≤≠=)(.;)(.;)(.;)(. 5.设矩阵??? ? ? ??--=314020 112A ,求A 的特征值及特征向量.
6．试用施密特法把向量组?? ??? ???? ???---=011 101110 11 1),,(321a a a 正交化。 7．设A 与B 都为n 阶正交阵，证明：AB 也是正交阵。 8．证明：正交阵的行列式必定等于1或—1。 9．设x 为n 维列向量且1=x x T ，而T xx E H 2-=，试证H 是对称的正交矩阵。
习题5-2 相似矩阵与对称矩阵的对角化 1．设A 与B 为n 阶方阵，则B A =是A 与B 相似的 。 .a 充分条件； .b 必要条件； .c 充要条件； .d 无关条件 2.对实对称阵?? ? ???-=???? ??=1001,1001B A ，有A 与B 。 .a 互为逆矩阵； .b 相似； .c 等价； .d 正交 3. n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。 a. 矩阵A 有n 个特征值； b. 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量； c. 矩阵A 的行列式0≠A ； d. 矩阵A 的特征多项式有重根 4. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则 。 a.A 与B 正交； b. A 与B 有相同的特征向量； c. A 与B 等价； d. A 与B 相同的特征值。 5.若A 与B 是相似矩阵，证明T A 与T B 也相似。 6.设方阵??????????------=12 4 22421x A 与?? ?? ? ???? ?-=Λ45 y 相似，求x 与y 。
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 200509113 李娟娟 一、基本概念与性质 （一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。 （三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质：
~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 12(,,,)n A λλλ= ，12(,,,)m B βββ= 1、若向量组（12,,,m βββ ）是向量组（12,,,n λλλ ）的极大线性无关 组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，前者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ ）?（12,,,m βββ ）则有矩阵A,B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =?? r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>? 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 （二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质 （一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。 （三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质：
~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ= 1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关 组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ）?（12,,,m βββ）则有矩阵A,B 同 型且()()~,,r A r B A B A B A B =??r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>? 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 （二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系
第五章 相似矩阵 自测题 一、选择题 1．矩阵1111??= ??? A 的非零特征值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.-1 2．设1λ，2λ，3λ为矩阵111131111A -?? ?=- ? ??? 的三个特征值，则321λλλ=（ ） A. -4 B. 0 C.2 D. 4 3．设1λ，2λ，3λ为矩阵111131111A -?? ?=- ? ??? 的三个特征值，则123λ+λ+λ=（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 4．若矩阵A 与B 相似，则下列说法错误的是（ ） A. A 与B 等价 B. A 与B 合同 C. ||||=A B D. A 与B 有相同的特征值 5．设矩阵??? ? ??=2123A ，则下列向量中是A 的特征向量的是（ ） A. ???? ??-10 B. ???? ??12 C. ???? ??00 D. ??? ? ??-k k 6. 矩阵A 与B 相似，则说法错误的是（ ） A.有相同的特征多项式 B. 有相同的特征值 C. 有相同的特征向量 D. =A B 7.设n 阶矩阵A 满足20+=E A ,则A 必有一个特征值等于( ) A. 2 B. -2 C. 1/2 D. -1/2 8.n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是（ ） A. A 有n 个不同的特征值 B. A 为实对称矩阵 C. A 有n 个不同的特征向量 D. A 有n 个线性无关的特征向量 9. 对于n 阶方阵A 与B 相似，下列命题错误的是（ ） A. A 与B 的特征值相同 B. 存在可逆矩阵Q P , ，使得B PAQ = C. A 与B 的行列式相同 D. 存在可逆矩阵P ，使得B AP P =-1 二、填空题 1．3阶方阵A 的特征值为3,1,2-，则A =___________
§5.1 等价关系与集合的划分 本节只做简单介绍，考试不考此部分，在以后抽象代数 中还会讲到。 §5.2 矩阵的相抵（也叫等价） 第一章§1已经证明，任何一个矩阵A J 。如果再对J 那么能变成什么样的最简单的矩阵？看例子： 13213213212101101124601010000A ---?????? ? ? ?=--→-→- ? ? ? ? ? ?--?????? 10101100 0?? ?→- ? ? ? ? ? （以上行变换）； 再经过列变换100010000A ?? ?→ ? ??? 。 最后这个矩阵非常简单，把它写成分块矩阵的形式就是： 2 00 0I ?? ?? ? 。 任何一个矩阵经过初等行、列变换是否都可以化成 这种简单形呢？
定义1 数域K 上的矩阵A 经过一系列初等行变换和初等 列变换变成矩阵B ，则称A 与B 是相抵的或等价的，记作 A B 相抵 ，或A B 等价 。 矩阵的相抵关系满足 1°反身性：A A 相抵 , 即A 与自己相抵； 2°对称性：若A B 相抵，则B A 相抵 ; 3°传递性：若A B 相抵 ，B C 相抵 , 则A C 相抵 . 因此，矩阵的相抵关系是一种等价关系。 事实 1 ?A 经过初等行变换和初等列变换变成矩阵B ?存在K 上的s 阶初等矩阵12,, ,t P P P 与n 阶初等 矩阵12,,,m Q Q Q , 使得 2112 t m P P P AQ Q Q B = （1） 定理1 设数域K 上的s n ?矩阵A 的秩为r 。如果0r >, 则A 相抵于下述形式的矩阵 00 0r I ?? ??? , （2）
第五章 相似矩阵 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵. (3) 简单了解Jordan 标准形. 2．教学重点： (1) 方阵的特征值与特征向量. (2) 矩阵的相似对角化. 3．教学难点：矩阵的相似对角化. 4．本章结构：线性方程组和线性组合都涉及方阵A 和向量X 的运算:AX .从矩 阵上提出的问题是：能否找一个数λ和一个非零向量X ,使 X AX λ=,化简运算.从而引出特征值与特征向量，接着讨论特征 向量的性质，为矩阵相似对角化作准备，最后简单介绍一下Jordan 标准形. 5．教学内容： §5.1 方阵的特征值与特征向量 1. 特征值与特征向量的概念 在一些应用问题中常会用到一系列的运算: .,,,,2 X A X A AX k 为了简化运算，希望能找到一个数λ和一个非零向量X ，使X AX λ=，这样的数λ 和向量X 就是方阵的特征值与特征向量. 定义：对于n 阶方阵A , 若有数λ和向量0≠x 满足x x A λ=, 称λ为A 的特征值, 称x 为A 的属于特征值λ的特征向量． 下面给出特征值与特征向量的求法： 特征方程： 0)(=-?=x E A x x A λλ 或者 0)(=-x A E λ 0)(=-x E A λ有非零解0)(det =-?E A λ 0)(det =-?A E λ 特征矩阵：E A λ-或者 A E -λ
特征多项式： λλλλλ?---= -=nn n n n n a a a a a a a a a E A 2 1 22221112 11)(det )( ])1([01110n n n n n a a a a a -=++++=--λλλ A 的特征值与矩阵A 又有什么关系呢？ 定理1：设 n 阶方阵)(ij a A =的n 个特征值为n λλλ ,,21 则 (1) nn n a a a +++=++ 221121λλλ ) (1A tr a n i ii ==∑= 称为矩阵A 的迹。(主对角元素之和) (2)A n n i i ==∏=λλλλ 211 例1 求 ?? ??? ?????--=201034011A 的特征值与特征向量． 例2，例3 见书第136、137页. 2. 特征向量的性质 方阵A 关于特征值i λ的特征向量是齐次线性方程组0)(=-X A I i λ 的非零解。由齐次线性方程组解得性质得：当21,X X 是A 对应于i λ 的特征向量时，它们的任何非零线性组合：)0(2211≠+X k X k 仍是A 关于i λ的特征向量。在此，我们重点关注矩阵A 的特征向量的线性 相关性。 定理2：设r X X X ,21，是矩阵A 的不同特征值所对应的特征向量， 则r X X X ,21，是线性无关的。 定理3：矩阵A 的s 个不同特征值所对应的s 组各自线性无关的特征 向量并在一起仍是线性无关的。 定理4：设0λ是n 阶方阵A 的一个t 重特征值，则0λ对应的特征向量中 线性无关的最大个数.t ≤ 由以上定理可知，若A 有n 个互异的特征值：,,,21n λλλ 则每个i λ仅 对应一个线性无关的特征向量，从而A 共有n 各线性无关的特征向量。
线性代数练习纸 [ 第五章 ] 相似矩阵及二次型 5-1 向量的内积与方阵的特征值 A 1．设 为矩阵 A 的特征值，且 0 ，则 为 的特征值。 a. 1 A; b.A * ; c. A; d.A 1 ; 2．设 A 为 n 阶实对称阵， x 1, x 2 为 A 的不同特征值对应的特征向量，则 。 a. x 1T x 2 1 b. x 1 与 x 2 线性相关； c. x 1 与 x 2 线性无关； d. x 1 x 2 0 3．设 1 , 2 都为 n 阶矩阵 A 的特征值 ( 1 2 ) ，且 x 1 , x 2 分别为对应于 1 , 2 的特征向量， 则当 满足时， x k x k x 2 必为 A 的特征向量。 1 1 2 a. k 1 0 且 k 2 0 ； b. k 1 0 且 k 2 0 ； c. k 1 0 且 k 2 0 ； d. k 1 k 2 0 4．设 n 阶方阵 A 的特征值全不为零，则 。 a. r ( A) n; b. r ( A) n; c.r ( A) n; d.r ( A) n 2 1 1 5. 设矩阵 A 0 2 0 , 求 A 的特征值及特征向量 . 4 1 3
班级：姓名：序号： 111 6．试用施密特法把向量组( a1, a2 011 , a3 ) 正交化。 11 110 7．设A与B都为n阶正交阵，证明：AB 也是正交阵。 8．证明：正交阵的行列式必定等于 1 或— 1。 9．设x为n维列向量且x T x 1 ，而 H E 2 xx T，试证 H 是对称的正交矩阵。
目录 摘要 ............................................................................................................... I 引言 . (1) 1矩阵间的三种关系 (1) 1.1 矩阵的等价关系 (1) 1.2 矩阵的合同关系 (1) 1.3. 矩阵的相似关系 (2) 2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 (3) 3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 (5) 结束语 (6) 参考文献 (6)
摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化． 关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件
引言： 在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量. 1矩阵间的三种关系 1.1 矩阵的等价关系 定义1 两个s n ?矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使B PAQ = 由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件： （1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）. （2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =. 性质1 （1）反身性：即A A ?. （2）对称性：若A B ?，则B A ? （3）传递性：即若A B ?，B C ?，则A C ? 定理1 若A 为m n ?矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和 Q （n 阶），使得00 0r m n I PAQ B ??? == ???.其中r I 为r 阶单位矩阵. 推论1 设A B 、是两m n ?矩阵，则A B ?当且仅当()()r A r B =. 1.2 矩阵的合同关系 定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵 p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩 阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵. (2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =
1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 3 3 2 1 4 第五章 相似矩阵及二次型 1 试用施密特法把下列向量组正交化 (1) (a 1, a 2, a 3) 1 1 1 1 2 4 1 3 9 解 根据施密特正交化方法 1 b 1 a 1 1 1 [b ,a ] 1 b a 1 2 b 0 2 2 [b ,b ] 1 1 1 1 1 b a [b 1,a 3] [b 2,a 3]b 1 2 3 3 [b ,b ] 1 [b ,b ] 2 3 1 1 1 2 2 (2) (a 1, a 2, a 3) 解 根据施密特正交化方法 1 0 b 1 a 1 1 1 b 2 a 2 [b 1,a 2]b [b ,b ] 1 1 1 b a [b 1,a 3]b 1 [b 2,a 3] 1 3 3 3 [b ,b ] 1 b [b ,b ] 2 5 3 1 1 2 2
1 8 4 9 9 9 8 1 4 9 9 9 4 4 7 9 9 9 2 下列矩阵是不是正交阵: 1 1 1 2 3 (1) 1 1 2 1 2 ; 1 1 1 3 2 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵 (2) 解 该方阵每一个行向量均是单位向量 且两两正交 故为 正交阵 3 设 x 为 n 维列向量 x T x 1 令 H E 2xx T 证明 H 是对称 的正交阵 证明 因为 H T (E 2xx T )T E 2(xx T )T E 2(xx T )T E 2(x T )T x T E 2xx T 所以 H 是对称矩阵 因为 H T H HH (E 2xx T )(E 2xx T ) E 2xx T 2xx T (2xx T )(2xx T ) E 4xx T 4x (x T x )x T E 4xx T 4xx T E 所以 H 是正交矩阵 4 设 A 与 B 都是 n 阶正交阵 证明 AB 也是正交阵 证明 因为 A B 是 n 阶正交阵 故 A 1 A T B 1 B T