第八章、非平稳时间序列分析
很多时间序列表现出非平稳的特性：随机变量的数学期望和方差随时间的变化而变化。宏观经济数据形成的时间序列中有很多是非平稳时间序列。非平稳时间序列与平稳时间序列具有截然不同的特征，研究的方法也很不一样。因此，在对时间序列建立模型时，必须首先进行平稳性检验，对于平稳时间序列，可采用第七章的方法进行分析，对于非平稳时间序列，可以将采用差分方法得到平稳时间序列，然后采用平稳时间序列方法对差分数据进行研究，对于多个非平稳时间序列则可以采用协整方法对其关系进行研究。
8.1 随机游动和单位根
8.1.1随机游动和单位根
如果时间序列t y 满足模型
t t t y y ε+=-1 （8.1）
其中t ε为独立同分布的白噪声序列， ,2,1,)(2==t Var t σε，则称t y 为标准随机游动
（standard random walk ）。随机游动表明，时间序列在t 处的值等于1-t 时的值加上一个新息。如果将t y 看作一个质点在直线上的位置，当前位置为1-t y ，则下一个时刻质点将向那个方向运动、运动多少（t ε）是完全随机的，既与当前所处的位置无关（t ε与1-t y 不相关），也与以前的运动历史无关（t ε与 ,,32--t t y y 不相关），由质点的运动历史和当前位置不能得出下一步运动方向的任何信息。这便是 “随机游动”的由来。
随机游动时间序列是典型的非平稳时间序列。将（8.1）进行递归，可以得出
010
211y y y y t s s t t t t t t t +==++=+=∑-=----εεεε （8.2）
。如果初始值0y 已知，则可以计算出t y 的方差为2)(σt y Var t =。由此看出随机游动在不同
时点的方差与时间t 成正比，不是常数，因此随机游动是非平稳时间序列。下图给出了随12机游动时间序列图：
图8.1 随机游动时间序列图
将随机游动（8.1）用滞后算子表示为
t t y L ε=-)1( （8.3）
，滞后多项式为L L -=Φ1)(。显然1=L 是滞后多项式的根，因此随机游动是一个单位根过程（unit root process ）。随机游动是最简单的单位根过程。
随机游动的概念可以进行推广。如果时间序列t y 满足
t t t y c y ε++=-1 （8.4）
，其中t ε为白噪声序列，c 为常数，称t y 为带漂移项的随机游动，c 称为漂移参数。将（8.4）进行递归，得出
01
2112y ct y c y c y t s s t t t t t t t ++==+++=++=∑-=----εεεε
，设
∑-=-+=1
00t s s t t y w ε
，则t w 为标准随机游动，且
t t w ct y += （8.5）
。由此看出，带漂移的随机游动可以表示为标准随机游动加上一个时间t 的线性函数ct 。ct 称为时间序列的趋势项（trend ）。由于ct Ew ct Ey t t =+=，由此看出，带漂移项的随机游动不仅方差是随时间变化的，数学期望也是随时间变化的。下图给出的是带漂移随机游动t t t y y ε++=-15.0的时间序列图：
10
20
30
40
50
60
147101316192225283134374043464952555861646770737679828588
图8.2 带漂移随机游动时间序列图 将图8.2和图8.1相比可以看出，带漂移随机游动具有明显的时间趋势。
8.1.2 伪回归
伪回归（spurious regression ）是指对事实上不存在任何相关关系的两个变量进行回归得出的能够通过显著性检验的回归模型。在对两个非平稳时间序列变量进行回归时，便会出现伪回归。下面通过简单的例子说明伪回归的表现形式及其发生的原因。
设t x 和t y 是完全独立的时间序列，并且均为随机游动，为非平稳时间序列。现将y 对x 进行回归，回归模型为
t t t v x y ++=10ββ （8.6）
，t v 为误差项。由于y 和x 没有任何相关关系，回归系数1β等于0。如果采用OLS 方法对
（8.6）进行估计，估计量1ˆβ应该接近0，相应的t 检验也应该不显著。但实际回归结果却常常相反：t 检验表明1ˆβ显著不为0，回归拟合优度2
R 也不接近0，即使在样本量很大时仍然如此。如果仅从一般的检验判断，会得出y 和x 有显著线性关系的错误结论。
造成伪回归的原因有很多，主要是时间序列本身的高度自相关造成的。在（8.6）中，1β的实际值等于0，误差项t v 等于t y 减去常数项0β，t y 为随机游动，存在高度自相关，因此t v 也存在高度自相关，不符合OLS 回归误差项的不相关假设，t 检验不再有效。
需要特别注意的是，伪回归是指当时间序列存在单位根时，采用传统的t 检验方法来判
断1β是否的等于0的结果是“伪”的，并不是说采用OLS 估计得出的1β的估计量1ˆβ是“伪”
的。实际上，此时的1ˆβ不仅仍然是1β的一致估计，而且是超一致估计（super-consistent estimation ），因此1ˆβ收敛到1
β的速度比平稳情况下的收敛速度高一个阶数，由此计算的1ˆβ的标准误将随样本量的增加迅速较小，采用原来的t 检验统计量计算方法会得出很大的t 值，而此时的统计量已经不服从（或者渐进服从）t 分布，以t 分布的临界值得出的检验结果也是错误的。这才是伪回归中“伪”的真正含义。
大量的研究表明，不仅非平稳时间序列会出现伪回归，就连平稳时间序列之间也会出现伪回归，并且时间序列自相关程度越高，伪回归出现的可能性越大。因此，在对时间序列进行回归时，要十分小心。首先对时间序列进行单位根检验，如果不能拒绝单位根过程，则对数据进行差分，直到数据平稳，然后用差分数据进行回归。如果能够拒绝单位根过程，但回归的D-W 值很小，则回归结果仍然不可信。此时不宜用Cochrane-Orcutt 广义差分法来降低残差中的自相关，正确的方法是将解释变量和被解释变量的滞后变量引入模型，形成滞后模型进行回归，对不同滞后阶数的模型进行尝试，直到回归残差为白噪声为止。
8.2 时间序列的趋势和去势
许多时间序列数据，尤其是宏观经济数据，常常表现出明显的时间趋势（time trend ），即序列的期望值是时间t 的函数。这种趋势会导致时间序列的非平稳性。去掉序列中时间趋势的过程和方法称为去势（de-trend ）。时间序列进行去势后可以进行有关的统计分析。
时间趋势可以分为带趋势项平稳序列中的时间趋势和带漂移项单位根序列中的时间趋势。带趋势项的平稳时间序列可以表示为
1||,1<+++=-ρερδt t t y t c y （8.8）
，其中t ε为白噪声。显然，带趋势项的时间序列的数学期望随时间t 的变化而变化，是不平稳时间序列。但是由于1||<ρ，去掉趋势项t δ后，时间序列t t t y c y ερ++=-1是平稳的。这样的趋势称为确定性趋势（deterministic trend ）。如果能够确认时间序列中的趋势为确定性趋势，可以将序列对时间t （或者t 的多项式）进行回归，回归残差便是去势后的平稳时间序列。另一种时间趋势是带漂移的单位根中的趋势，即形如（8.4）模型中隐含的趋势，亦即（8.6）中的趋势项ct ，这种趋势是由单位根序列的漂移项积累而形成的。
尽管两种时间趋势形式上是一样的，并且在数据上的表现也很相似，但含有不同时间趋势的时间序列的统计性质却大不相同，处理方法也不一样。对带确定趋势的时间序列，经去势后成为平稳时间序列，可以采用平稳时间序列的方法进行研究，而带漂移项的单位根是真正的非平稳时间序列，要么进行差分转换为平稳时间序列进行研究，要么采用其他方法（例如协整）进行研究。由此看出，严格区分两种序列十分重要。下图给出了具有两种不同趋势时间序列图：
图8.3 带趋势平稳时间序列y1和带漂移随机游动时间序列y2
从图中可以看出，y2序列y1序列都表现出明显的时间趋势，y1序列的波动比y2序列要剧烈一些，除此之外，另个序列的变化规律十分接近。因此，仅凭图形直觉很难确定实际数据到底符合哪个模型，必须进行严格的统计检验。
从表面上看，对模型（8.8）可以通过检验假设
0:,
0:10≠=δδH H （8.9）
确定时间序列是否含有确定性趋势：对模型（8.8）进行回归，对参数估计δˆ进行t 检验。在不能确定时间序列是否平稳的情况下，这种做法是不合适的，如果序列是非平稳的单位根过程，用OLS 进行回归很容易出现伪回归，对应的检验也没有任何意义。因此，要确定时间序列是否包含趋势，包含哪种类型的趋势，首先要对序列进行单位根检验，以确定是否平稳。如果序列平稳，则可以采用t 检验确定是否包含确定性趋势，若包含则可用OLS 回归进行去势。 8.3 单位根检验
8.3.1 单位根假设
从上面的分析知道，确定性趋势和单位根过程都可以使时间序列成为非平稳序列，因此，在检验单位根时要考虑如下两种情况：
t t t y y ερ+=-1 （8.10）
和
t t t y c y ερ++=-1 （8.11）
。在（8.10）中时间序列t y 的均值为0，检验的内容是ρ是否等于1，如果等于1，则为单位根序列，否则为平稳序列。在（8.11）中，如果1||<ρ，则t y 为平稳序列，均值为常数，如果1=ρ，则t y 为带漂移的单位根序列，期望值随t 的变化而变化。由（8.10）生成和由（8.11）生成的数据，检验单位根的统计量具有不同的分布，因此对单位根的检验分下面四种情况进行。
情况一（既不带常数项也不带时间趋势项）：假设数据由t t t y y ερ+=-1生成，对模型进行回归，检验假设
1:;1:10<=ρρH H 。
情况二（带常数项但不带时间趋势项）：假设数据由t t t y y ερ+=-1生成，对模型
t t t y c y ερ++=-1进行回归，检验假设 0,1:;
0,1:10≠<==c H c H ρρ。
情况三（带常数项但不带时间趋势项）：假设数据由t t t y c y ερ++=-1生成，对模型t t t y c y ερ++=-1进行回归，检验假设
1:;1:10<=ρρH H 。
情况四（既带常数项又带时间趋势项）：假设数据由t t t y c y ερ++=-1生成，对模型t t t t y c y εδρ+++=-1进行回归，检验假设
0,1:;0,1:10≠<==δρδρH H 。
情况一和情况二适合没有明显趋势的数据。情况一适合均值明显为0的数据，因为在原假设和备选假设下，t y 的数学期望都是0。情况二适合均值是否为0不很明显的数据，如果原假设成立，则为标准单位根过程，均值为0，如果备选假设成立，则为平稳过程，均值不为0。
情况三、情况四适合有明显趋势的数据。情况三在原假设成立时，t y 为带漂移的随机游动，而在备选假设成立时为平稳时间序列，因此在数据表现出明显的趋势并怀疑是由带漂移随机游动间接形成的情况下，情况三较为适合。情况四在原假设和备选假设下t y 都是带趋势的非平稳序列，在原假设下序列为单位根过程，在备选假设下为带确定趋势的平稳过程。因此，在确定序列为带趋势的非平稳序列，但需要检验为哪种非平稳序列时，情况四较为适合。
8.3.2 单位根检验的方法—ADF 检验
ADF 检验是增广迪基-福勒（augmented Dickey-Fuller ）检验的简称，是迪基（Dickey ）和福勒（Fuller ）给出的一种单位根检验方法。ADF 检验的前身是DF 检验。DF 检验假定单位根检验中的模型误差项t ε为独立同分布的白噪声序列。
对于情况一，回归模型为t t t y y ερ+=-1。将模型两边同时减去1-t y 得出
t t t y y εα+=∆-1
（8.12）
，其中1-=ρα。单位根检验等价于检验假设 0:;0:10<=ααH H
。对模型（8.12）进行OLS 估计，得出估计量α
ˆ。在原假设下，t y 为单位根过程，尽管仍然可以构造α
ˆ的检验统计量αααˆˆ/)1ˆ(s t -=，αˆs 表示αˆ的标准误，但αˆt 不再服从t 分布。迪基和福勒证明当样本量趋于无穷大时，αˆt 以分布收敛到一个特殊的随机变量，该随机变量可以用布朗运动的积分表示，并通过模拟方法给出了用于检验的临界值。这种方法称单位根的DF 检验。对于情况二，回归模型为t t t y c y ερ++=-1。将模型两边减去1-t y 得出
t t t y c y εα++=∆-1，对模型进行OLS 回归，得出估计量c
ˆ和αˆ。迪基和福勒得出了样本量趋于无穷大时，在原假设下向量)ˆ,ˆ(2/1'αT c
T 联合分布的极限形式，以此为基础构造出单位根检验的统计量，并通过模拟方法给出了检验的临界值。对于情况三和情况四具有类似的推导过程，只是更为复杂。迪基和福勒的贡献在于构造出各种情况下单位检验的统计量，推导出极限分布，并用模拟方法得出检验的临界值。
ADF 检验是DF 检验的改进。DF 检验只对具有一阶自回归形式的AR(1)模型适用，如果序列中存在更高阶的自相关，模型误差项独立同分布假定将不再成立，DF 检验不再有效。为了使检验更加灵活，适合更广泛相关结构的时间序列，迪基和福勒对DF 检验进行了改进，假设时间序列t y 为p 阶自回归序列AR(p )，在检验模型中增加t y 一阶差分的p 阶滞后项，得出更为一般的检验模型。例如，对应情况一中模型（8.12）的改进模型为
t p t p t t t t y y y y y εβββα+∆++∆+∆+=∆---- 22111 （8.13）
。ADF 检验对形如（8.13）的模型进行回归，并对假设0:,0:10<=ααH H 进行检验，采用的检验统计量具有更为复杂的渐进分布。迪基和福勒给出了ADF 单位根检验统计量的极限分布，并用模拟方法给出了检验临界值。如果10<≤ρ，则01<≤-α。在备选假设1
H 下α的OLS 估计量α
ˆ以概率收敛到∞-。因此ADF 检验的拒绝域是一个左侧的单侧区域：对给定的显著水平γ，找出临界值γu 使得γγα=≤)(ˆu t P 。
如果αˆt 的实际值小于临界值γu 则拒绝原假设，认为时间序列没有单位根，为平稳时间序列；如果αˆt 的实际值大于临界值γu 则不能拒绝时间序列存在单位根的假设。
8.3.3 用EViews 进行单位根检验
在EViews 中很容易对时间序列进行单位根检验。这里以EViews 文件lut1.wf1（参见第
七章的说明）中的变量inc为例进行说明。具体的操作方法有两种，第一种方法是点击主菜单中Quick—>Series Statistics—>Unit Root Test：
在弹出的对话框中输入要检验的变量名，点击OK后出现检验设定对话框（Unit Root Test）第二种方法是在工作文件界面点击要检验的序列名，在数据显示界面点击View—>Unit Root Test:
进入检验设定对话框（Unit Root Test）：
对各选项进行选择，以此确定检验的模型和方法。检验类型（Test type）有6个选项，分别对应不同的检验方法，其中以增广迪基-福勒（Augmented Dickey-Fuller）检验最为常用。数据选项（Test for unit root in）选择是在原数据（Level）中检验单位根还是在差分后的数据（difference）中检验单位根。差分数据有两种选择，一种是在一阶差分数据（1st difference）中检验单位根，另一种是在二阶差分数据（2nd difference）中检验单位根。模型选项（Include in test equation）用来选择检验模型中是否包含常数项和时间趋势项，有三种选择：包含常数项（Intercept）、包含常数项和时间趋势项（Trend and Intercept）和既不包含常数项又不包含时间趋势项（None）。模型的三种不同选择对应了单位根检验的四种情况：情况一对应第三种选择（None），情况二和情况三对应第一种选择（Intercept），情况四对应第二种选择（Trend and Intercept）。最后一个选项是模型中差分滞后阶数（Lag length）的选项，第一种选择是让EViews自动确定滞后阶数（Automatic selection），确定的标准有6中，第一种赤
池信息准则（Akaike info Criterion）和第二种施瓦兹信息准则（Schwarz info Criterion）对我们较为熟悉，默认选择是施瓦兹信息准则。第二种选择是让用户自己确定滞后阶数（User Specified），默认选择是2。如果自己选择滞后阶数，则需要进行多次尝试，以回归后误差项接近白噪声为选择标准。
选择完成后点击OK，EViews显示检验结果界面（Augmented Dickey-Fuller Test on ×××）。输出内容分两部分，第一部分为单位根检验结果：
。有关信息包括检验原假设（Null Hypothesis：）、模型类型（Exogenous：）和差分项滞后阶数（Lag Length：）及其选择的标准（Automatic based on SC, MAXLAG=11），表明滞后阶数的选择标准是施瓦兹信息准则（SC），最大可能滞后阶数为11（MAXLAG=11），最后选择结果为0阶，即检验模型不带差分滞后项（此时的检验是DF检验）。接下来是检验统计量的值（Augmented Dickey-Fuller test statistic）以及对应的显著水平（Prob.*），1%、5%和10%三个显著水平下的检验临界值（Test critical values）。注意，检验统计量的值越小越能拒绝单位根原假设。因此，如果检验统计量的值小于临界值，则拒绝原假设，可以认为时间序列不存在单位根，为平稳序列。否则不能拒绝原假设，即不能将序列看作平稳时间序列。EViews中采用的ADF检验显著水平概率值（Prob.）是麦金农1996年计算的单边检验概率值（MacKinnon (1996) one-sided p-values）。从本例结果看，时间序列inc存在明显的单位根。
输出的第二部分是ADF检验模型（8.13）的回归结果：
，可以依此对数据的特性进行分析。注意，当不能拒绝单位根原假设时，检验回归的t检验不再有效，因此尽管INC(-1)的系数αˆ的t统计量值为4.22，显著大于2，也不能据此得出α不等于0的结论。输出结果中的德宾-沃森统计量（Durbin-Waston Stat）具有参考意义，德宾-沃森统计量的值接近0，表明残差存在明显的自相关，说明检验模型中差分滞后项的选择不充分，需要增大滞后阶数；如果接近2，表明残差中不存在自相关，说明检验模型设定比较合理。具有同样作用的还有Akaike信息准则（AIC）和Schwarz准则（SC），如果增加差分滞后阶数能够降低两个准则的值，则需要增加差分项的滞后阶数。例如，重做对inc序列的单位根检验，并把检验模型选择为带常数项和时间趋势项，而滞后项选择为2阶，得出如下结果：
，尽管仍然不能拒绝原假设，但检验回归结果中德宾-沃森统计量的值为2.02，表明回归残差中不存在自相关。同时AIC和SC的值都有所减少，因此检验模型设定更为合理。
注：
1、采用ADF方法进行单位根检验，选择正确的原假设和备选假设十分重要，因为检验统计量不仅取决于生成数据的模型形式，也依赖检验模型的形式（情况一至情况四）。因此，在进行单位根检验之前，应首先从经济学和统计学的角度考虑数据生成模型的可能形式。例如对利率时间序列进行单位根检验时，由于利率不可能永远上升或者下降，因此只能选择即不带常数项又不带时间趋势的数据生成模型（情况一），因为如果采用带常数项的或者/和时间趋势项的模型，则意味着利率以一个固定的速率增加或者减少，从而使模型失去经济学上的意义。如果从经济学、统计学和其他方面不能得出明确的结论，则在单位根检验时应尽量采用较为一般的模型作为数据生成模型和检验模型（情况二和情况四）。
2、ADF检验的原假设是时间序列存在单位根，拒绝原假设得出时间序列平稳的结论，此时犯第一类错误（Type I Error）的概率小于显著水平 （0.01或者0.05），如果不能拒绝原假设而认为存在单位根，则所犯错误为第二类错误（Type II Error），犯第二类错误的概率很难确定。因此，有人认为应该将单位根检验的原假设设为时间序列平稳，通过拒绝原假设得出存在单位根的结论，此时所犯错误为第一类错误，这样就能够控制犯错误的概率。Kwiatkowski、Phillips、Schmidt和Shin（1992）*提出了单位根检验新的方法（KPSS检验），以时间序列平稳为原假设，采用检验统计量LM进行检验。EViews提供了KPSS检验方法，在检验类型（Test type）中选择
数据选项（Test for unit root in）和模型选项（Include in test equation）与ADF检验一样。由于KPSS检验涉及到OLS回归残差谱的估计，因此需要对谱估计方法（Spectral estimation method）和估计方法的带宽（Bandwidth）进行选择。不熟悉有关内容时，可以选择EViews 的默认选择。选择完成后点击OK进入检验结果界面：
* Kwiatkowski D. , P.C.B. Phillips, P. Schmidt and Y. Shin (1992). Testing the null of stationarity against the alternative of a unit root. Journal of Econometrics 54, 159-178.
。检验信息栏前两行显示，检验的原假设是inc 为平稳序列、检验模型带常数项，第三行显示谱估计采用的方法和带宽。结果栏给出KPSS 检验统计量的值（Kwiatkowski-Phillips-Sch- -midt-Shin test statistic ）以及三种显著水平下的渐进临界值（Asymptotic critical values*）。如果检验统计量值大于临界值，则拒绝原假设，认为时间序列存在单位根。与其它检验方法不同，KPSS 检验的输出结果中只给出了不同显著水平下的渐进临界值，没有给出相伴概率Prob 。
3、以上给出的单位根检验都是针对实际数据序列的检验。如果要进行单位根检验的是估计数据，尽管上述的一些方法仍然可以采用，但检验统计量的临界值不再有效，其原因是估计数据构成的统计量的渐进分布与实际数据不同。例如在下面谈到的E-G 两步法协整检验
中，对回归残差形成的序列进行单位根检验就属于这种情况。此时从戴维森和麦金农*（1993）
书中表20.2中可以查出一些检验统计量的渐进临界值。本书的附表？给出了这个表格。
8.4 单整序列和ARIMA 模型
非平稳时间序列可以通过差分降低非平稳的程度。如果非平稳时间序列t y 的一阶差分t y ∆为平稳时间序列，则称t y 为一阶单整的（1st order integrated ），记为)1(~I y t 。更一般
地，如果非平稳时间序列t y 的d 阶差分t d y ∆为平稳时间序列，称t y 为d 阶单整的（d th order
integrated ），记为)(~d I y t 。平稳时间序列称为0阶单整，记为)0(I 。
对非平稳序列进行差分得到平稳时间序列后，可以对差分数据建立ARMA 模型。如果)(~d I y t ，则d 阶差分t d y ∆为平稳时间序列，对t d y ∆建立ARMA 模型。如果t d y ∆的模型为ARMA （p ,q ），则称t y 服从ARIMA （p ,d ,q ）（AutoRegression Integrated Moving Average ）
模型，其中d 表示单整阶数。ARIMA （p ,d ,0）表明对t d y ∆建立的模型是p 阶自回归模型。
对非平稳时间序列数据建立ARIMA 模型的关键是确定数据的单整阶数d 。确定的方法是先对原始数据进行单位根检验，如果存在单位根则进行差分，然后对差分后的数据进行单位根检验，如果不存在单位根则1=d ，如果存在单位根，则对差分数据再进行差分（二次差分），然后再进行单位根检验，重复这个过程直到差分数据不存在单位根为止。实际中的大多非平稳时间序列，尤其是宏观经济数据形成的时间序列，都是1阶单整的，一次差分后就成为平稳序列，可以采用平稳时间序列分析方法建立ARMA 模型。
例子8.1：人口增长率ARIMA 模型。（人均GDP 的ARIMA 模型）
8.5 协整与误差修正模型
ARIMA 模型是对单个非平稳时间序列建立的模型。如果要对两个以上的非平稳时间序列建立模型，应该采用什么方法呢？由于非平稳时间序列之间存在伪回归的可能，传统分析方法是不行的。一种解决方法是在平稳时间序列的框架内分析问题，但首先要对两个序列进 * Davision R., J. G . MacKinnon (1993) , Estimation and Inference in Econometrics. New York: Oxford University Press.
行差分，待平稳后对差分数据建立模型。采用差分数据建立模型具有一定的缺陷。首先，差分会导致数据中信息的减少（趋势信息被消除），样本量减少。一些模型，尤其是宏观经济模型不能用差分数据来建立。一般均衡理论中的变量都是水平变量，采用差分模型很难对长期均衡状态进行说明。人们试图采用其他的方法对非平稳时间序列之间的关系进行分析，于20世纪80年代提出了协整分析方法和误差修正模型，使同一个模型中既可以包含非平稳时间序列变量又可以包含其差分变量（误差修正模型）。
8.5.1协整的定义
为简单期间，这里只讨论两个非平稳时间序列的协整关系。设)(~d I x t 和)(~d I y t 为两个d 阶单整的非平稳时间序列，如果存在常数b a ,，使得t x 和t y 的线性组合形成的时间序列t t by ax +的单整阶数小于d ，则称t x 和t y 存在协整关系，t t by ax +称为协整组合，常数b a ,称为协整系数。如果t t by ax +的单整阶数为k （ 非平稳时间序列之间是否存在协整关系需要进行检验。 8.5.2 协整检验 协整检验有很多方法，这里介绍检验两个非平稳时间序列是否存在协整关系的E-G 两步法，是由恩格尔（Engle ）和格兰杰（Grange ）提出的。这里仅就两个)1(I 变量的)0,1(CI 协整关系检验方法进行说明。 设)1(~),1(~I y I x t t 为两个1阶单整时间序列。检验的原假设是t x 和t y 之间存在协整关系，备选假设是不存在协整关系。 第一步：对模型t t t x y εβα++=进行OLS 回归，得出回归模型参数估计βα ˆ,ˆ和回归残差序列t ε ˆ。 第二步：对残差序列t εˆ进行单位根检验。如果t εˆ为不存在单位根的平稳序列，则表明t x 和t y 具有协整关系，β ˆ为协整系数估计。如果t εˆ为单位根序列，则表明t x 和t y 没有协整关系。 显然，E-G 两步法认为，如果t x 和t y 具有协整关系，必定存在t x 和t y 的协整组合为平稳序列，而采用一元线性回归的形式表示的协整组合为t t t c x y εβ=--，协整系数为β，从而将t x 和t y 是否协整归结为回归误差项t ε是否平稳。由于t ε不可观测，只能通过残差序列t ε ˆ的平稳性来推断t ε的平稳性。但能否用t εˆ来推断t ε的性质呢？因为此时回归中的解释变量和被解释变量都是单位根过程，OLS 回归的结果可能是伪回归，βα ˆ,ˆ可能不是βα,的一致估计，如果这样，即使样本量很大，也不能用t εˆ来推断t ε的性质。前面已经解释过，即使存在单位根，回归模型t t t x y εβα++=的OLS 估计量βα ˆ,ˆ仍然回归系数βα,是一致估计，而且是超一致估计，因此可以用残差序列t ε ˆ来推断误差序列t ε的性质。当t x 和t y 没有协整关系时，在线性组合t t x y βˆ-中，t x βˆ不能消除t y 中的非稳定成分，从而t t t x y εαβˆˆˆ=--为非平稳序列。这便直观地解释了E-G 两步法的合理性 需要注意的是，E-G 两步法中的第二步，即残差的ADF 检验，不能直接对EViews 工作文件中的变量resid 进行，必须先用Genr 将回归残差赋值给一个新的变量，然后对新变量进行ADF 检验。另外，由于回归残差是估计数据，单位根检验的检验统计量渐进临界值要通过查本书附表？获得，而不能直接采用Eviews 输出界面的临界值来得出结论。 例子：人均gdp 和资本劳动比率的协整关系和误差修正模型lut1：ins 和inc 的协整检验。 8.5.3误差修正模型 误差修正模型是将平稳时间序列方法和协整方法结合得出的一种模型。设t t y x ,均为一阶单整序列，并且具有协整关系，协整组合为t t x y βα--平稳序列。由于t t y x ,的一阶差分t t y x ∆∆,也是平稳序列，因此可以建立如下回归模型 t t t t t v x y x y +--+∆+=∆--)(11210βαγγγ ，其中t v 为模型误差项。将常数项合并得出 t t t t t v x y x y +-+∆+-=∆--)()(112120βγγαγγ （8.14） （8.14）称为误差修正模型（ECM ：Error Correction Model ），其中11---t t x y β称为误差修正项（Error Correction Term ），2γ称为误差协整系数。由于多出一个误差修正项，ECM 模型比仅用t x ∆解释t y ∆的传统模型更为合理，预测误差更小。 误差修正模型（8.14）给出了影响被解释变量t y 的短期变化t y ∆的因素。t y ∆一方面受解释变量短期变化t x ∆的影响，另一方面受到误差修正项11---t t x y β的影响。如果误差修正系数02<γ，当11-- 将（8.14）中的差分写开并整理，可以将误差修正模型写成如下形式： t t t t t v y x x y ++++=--131210ββββ （8.15） 。因此，在确认t y 和t x 具有协整关系后，可以采用（8.15）来估计模型，然后把（8.15）式化为误差修正模型的形式，即 t t t t t v x y x y +⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+--+∆+=∆--132113101)1(ββββββ （8.16） 例子8.2：城镇居民月人均生活费支出和可支配收入的协整分析（数据：？？） 非平稳时间序列概述 非平稳时间序列是指其统计特性在不同时间上发生了变化的时间序列数据。与平稳时间序列不同，非平稳时间序列在时间上存在趋势、季节性、周期性等变化。这些变化使得序列的平均值、方差和协方差随着时间的推移而变化，从而使得非平稳时间序列的分析和预测更加复杂。 非平稳时间序列的主要特点包括以下几个方面： 1. 趋势性：非平稳时间序列在长期内呈现出明显的趋势变化。例如，股票价格在长期内可能会呈现上升或下降的趋势。 2. 季节性：非平稳时间序列在特定的时间段内存在周期性波动。例如，零售销售额可能会在节假日季节出现明显的周期性增长。 3. 周期性：非平稳时间序列可能呈现出长期的周期性波动。例如，经济增长率可能会在数年或数十年内出现周期性的波动。 4. 自相关性：非平稳时间序列的自相关性通常不会随着时间的推移而衰减。这使得使用传统的时间序列分析方法变得困难。 非平稳时间序列的分析和预测需要使用特殊的技术和方法。常用的方法包括差分法、季节性调整、趋势拟合、转换等。差分法可以通过对序列的差分来消除趋势性和季节性，使得序列变得平稳。季节性调整可以通过季节性分解或回归模型来消除季节性效应。趋势拟合可以使用线性回归、移动平均或指数平滑等方法来拟合趋势。转换可以将非平稳时间序列转化为平稳时 间序列，例如取对数、平方根等。 非平稳时间序列的分析和预测对于许多领域的决策非常重要，如经济学、金融学、工程学等。准确理解和预测非平稳时间序列的变化趋势可以帮助我们做出合理的决策，优化资源配置，提高效率和盈利能力。非平稳时间序列的分析和预测在许多领域中具有重要的应用价值。以下是一些常见的应用领域： 1. 经济学：非平稳时间序列分析在宏观经济学中具有重要意义。经济指标如GDP、通货膨胀率、失业率等往往呈现出明显的 趋势和周期性变化。对这些经济指标进行分析和预测有助于了解经济发展的趋势和周期，以及制定相应的经济政策。 2. 金融学：金融市场中的价格、交易量、股票收益等数据通常呈现出较强的非平稳性。通过对金融时间序列的分析和预测，可以帮助投资者制定合理的投资策略，降低投资风险。此外，对金融时间序列进行建模和预测还对风险管理、期权估值、资产定价等金融领域的决策具有重要的意义。 3. 工程学：非平稳时间序列分析在工程领域中有广泛的应用。例如，对电力负荷进行预测可以帮助电力公司合理安排发电计划，优化电力供需平衡。对温度、湿度等气象时间序列数据的分析和预测有助于天气预报和气候变化研究。另外，对工业生产过程中的传感器数据进行分析和预测，可以帮助提高生产效率和质量。 4. 医学：医学领域中的时间序列数据包括患者心率、血压、呼 《时间序列分析》课程实验报告 一、上机练习（P124） 1.拟合线性趋势 程序： data xiti1; input x@@; t=_n_; cards; ; proc gplot data=xiti1; plot x*t; symbol c=red v=star i=join; run; proc autoreg data=xiti1; model x=t; output predicted=xhat out=out; run; proc gplot data=out; plot x*t=1 xhat*t=2/overlay; symbol2c=green v=star i=join; run; 运行结果： 分析：上图为该序列的时序图，可以看出其具有明显的线性递增趋势，故使用线性模型进行拟合：x t=a+bt+I t,t=1,2,3,…,12 分析：上图为拟合模型的参数估计值，其中a=,b=，它们的检验P值均小于，即小于显著性水平，拒绝原假设，故其参数均显著。从而所拟合模型为：x t=+. 分析：上图中绿色的线段为线性趋势拟合线，可以看出其与原数据基本吻合。 2.拟合非线性趋势 程序： data xiti2; input x@@; t=_n_; cards; ; proc gplot data=xiti2; plot x*t; symbol c=red v=star i=none; run; proc nlin method=gauss; model x=a*b**t; parameters a= b=; =b**t; =a*t*b**(t-1); output predicted=xh out=out; run; proc gplot data=out; plot x*t=1 xh*t=2/overlay; symbol2c=green v=none i=join; run; 运行结果： 分析：上图为该时间序列的时序图，可以很明显的看出其基本是呈指数函数趋势慢慢递增的，故我们可以选择指数型模型进行非线性拟合：x t=ab t+I t,t=1,2,3,…,12 分析：由上图可得该拟合模型为：x t=*+I t 分析：图中的红色星号为原序列值，绿色的曲线为拟合后的拟合曲线，可以看出原序列值与拟合值基本上是重合的，故该拟合效果是很好的。 3.X—11过程 40777 41778 43160 45897 41947 44061 44378 47237 43315 43396 44843 46835 42833 43548 44637 47107 42552 43526 45039 47940 43740 45007 46667 49325 44878 46234 47055 50318 46354 47260 48883 52605 48527 50237 51592 55152 50451 52294 54633 58802 53990 55477 57850 61978 程序： data xiti3; 第八章、非平稳时间序列分析 很多时间序列表现出非平稳的特性：随机变量的数学期望和方差随时间的变化而变化。宏观经济数据形成的时间序列中有很多是非平稳时间序列。非平稳时间序列与平稳时间序列具有截然不同的特征，研究的方法也很不一样。因此，在对时间序列建立模型时，必须首先进行平稳性检验，对于平稳时间序列，可采用第七章的方法进行分析，对于非平稳时间序列，可以将采用差分方法得到平稳时间序列，然后采用平稳时间序列方法对差分数据进行研究，对于多个非平稳时间序列则可以采用协整方法对其关系进行研究。 8.1 随机游动和单位根 8.1.1随机游动和单位根 如果时间序列t y 满足模型 t t t y y ε+=-1 （8.1） 其中t ε为独立同分布的白噪声序列， ,2,1,)(2==t Var t σε，则称t y 为标准随机游动 （standard random walk ）。随机游动表明，时间序列在t 处的值等于1-t 时的值加上一个新息。如果将t y 看作一个质点在直线上的位置，当前位置为1-t y ，则下一个时刻质点将向那个方向运动、运动多少（t ε）是完全随机的，既与当前所处的位置无关（t ε与1-t y 不相关），也与以前的运动历史无关（t ε与 ,,32--t t y y 不相关），由质点的运动历史和当前位置不能得出下一步运动方向的任何信息。这便是 “随机游动”的由来。 随机游动时间序列是典型的非平稳时间序列。将（8.1）进行递归，可以得出 010 211y y y y t s s t t t t t t t +==++=+=∑-=----εεεε （8.2） 。如果初始值0y 已知，则可以计算出t y 的方差为2)(σt y Var t =。由此看出随机游动在不同 时点的方差与时间t 成正比，不是常数，因此随机游动是非平稳时间序列。下图给出了随12机游动时间序列图： 图8.1 随机游动时间序列图 将随机游动（8.1）用滞后算子表示为 t t y L ε=-)1( （8.3） ，滞后多项式为L L -=Φ1)(。显然1=L 是滞后多项式的根，因此随机游动是一个单位根过程（unit root process ）。随机游动是最简单的单位根过程。 随机游动的概念可以进行推广。如果时间序列t y 满足 t t t y c y ε++=-1 （8.4） 时间序列分析要点总结 课时分配表 目录 第一章绪论 第一节时间序列分析的一般问题 第二节时间序列的建立 第三节确定性时间序列分析方法概述 第四节随机时间序列分析的几个基本概念第二章平稳时间序列模型 第一节一阶自回归模型 第二节一般自回归模型 第三节移动平均模型 第四节自回归移动平均模型 第三章ARMA模型的特征 第一节格林函数和平稳性 第二节逆函数和可逆性 第三节自协方差函数 第四节自谱 第四章平稳时间序列模型的建立 第一节模型识别 第二节模型定阶 第三节模型参数估计 第四节模型的适应性检验 第五章平稳时间序列预测 第一节正交投影预测（几何预测法） 第二节条件期望预测 第三节指数平滑预测―ARMA模型特例第六章非平稳时间序列分析 第一节非平稳性的检验 第二节平稳化方法 第三节齐次非平稳序列模型 第四节非平稳时间序列的组合模型 第七章季节时间序列分析方法 第一节简单随机时序模型 第二节乘积季节模型 第三节季节时序模型的建立 第四节X－11方法简介 第八章传递函数模型 第一节模型简介 第二节传递函数模型的识别 第三节传递函数模型的拟合及检验 第一章绪论 【教学目的与要求】了解时间序列的含义、主要分类及建立，了解时间序列分析的作用，以及确定性时间序列分析方法和随机时间序列的几个基本概念。 【教学重点与难点】随机时间序列的几个基本概念。 【教学方法】基本理论与实际问题相结合 【教学内容】 §1.1 时间序列分析的一般问题 ●课程的性质、研究意义及可行性 首先提及时间序列分析的含义：根据经济指标的时间序列资料，较精确地找出经济系统的内在统计特征和发展规律性，尽可能多地从中提取出我们所需要的准确信息。用来实现上述目的的整个方法称为时间序列分析。它是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法，是统计学科的一种分支。其基本思想是根据系统的有限长度的运行记录（观察数据），建立能够比较精确地反映时间序列中所包含的动态依存关系的数学模型，并借以对系统的未来行为进行预报。 有必要提到计量经济学：社会经济现象往往受许多因素的影响，计量经济学是通过建立系统内经济变量结构式的因果模型，定量分析经济变量之间的随机因果关系而揭示经济系统的内部规律性，从而进行分析和预测。然而经济系统内各经济指标的关系往往是错综复杂的，运用动态结构模型进行分析和预测比较困难，而根据时间序列自身的变动规律建立动态模型（即时间序列分析）则是一种行之有效的方法。 时间序列分析是一种重要的现代统计分析方法，广泛地应用于自然领域、社会领域、科学领域和经济领域。任何运动都有一定的惯性，这种惯性表现为系统的动态性即记忆性。时间序列是系统历史行为的客观记录，它包含了系统动态特征的全部信息。这些信息具体表现为时间序列中观察值之间的统计相关性。因而人们可以通过研究时间序列中数值上的统计相关关系，来揭示相应系统的动态结构特征及其发展变化规律。基于上述观点，时间序列分析就是用历史的观点，通过量的手段揭示所研究现象的动态结构和动态规律。这不仅是可能的，也是合理的，科学的。 一、时间序列的含义及特点 从统计意义上讲，时间序列就是某一经济指标在不同时间上的不同数值按照时间的先后顺序排列而成的数列。由于受到各种偶然因素的影响，时间序列往往表现出某种随机性，彼此之间又存在着统计上的依赖关系。 二、时间序列的主要分类 1．按研究的对象的多少分为一元时间序列和多元时间序列。 2．按时间的连续性分为离散时间序列和连续时间序列。 3．按序列的统计特征分平稳时间序列和非平稳时间序列。 如果一个时间序列的概率分布与时间t无关，则称该序列为严格的（狭义的）平稳时间序列。如果序列的一、二阶矩存在，而且对任意时刻t满足： （1）均值为常数（2）协方差为时间间隔 的函数。则称该序列为宽平稳时间序列，也叫广义平稳时间序列。本课程主要研究的时间序列为宽平稳时间序列。本文如果不明 非平稳时间序列分析 1、首先画出时序图如下: t 从时序图中看出有明显的递增趋势，而该序列是一直递增，不随季节波动，所以 认为该序列不存在季节特征。故对原序列做一阶差分，画出一阶差分后的时序图如下: difx 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -10 从中可以看到 一阶差分后序列仍然带有明显的增长趋势，再做二阶差分: dif2x 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -100 -110 做完二阶差分可以看到，数据的趋势已经消除，接下来对二阶差分后的序列进行 1945 1950 1945 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 检验： Autocorrelations Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error 0 577.333 1.00000 | |********************| 0 1 -209.345 -.36261 | *******| . | 0.071247 2 -52.915660 -.09166 | .**| . | 0.080069 3 9.139195 0.01583 | . | . | 0.080600 4 15.375892 0.02663 . |* . | 0.080615 5 -59.441547 -.1029 6 .**| . | 0.080660 6 -23.834489 -.04128 | . *| . | 0.081324 7 100.285 0.17370 | . |*** | 0.081431 8 -146.329 -.25346 | *****| . | 0.083290 9 52.228658 0.09047 | . |**. | 0.087118 10 21.008575 0.03639 | . |* . | 0.087593 11 134.018 0.23213 | . |***** | 0.087670 12 -181.531 -.31443 | ******| . | 0.090736 13 23.268470 0.04030 | . |* . | 0.096108 14 71.112195 0.12317 | . |** . | 0.096194 15 -105.621 -.18295 | ****| . | 0.096991 16 37.591996 0.06511 . |* . | 0.098727 17 23.031506 0.03989 | . |* . | 0.098945 18 45.654745 0.07908 | . |** . | 0.099027 19 -101.320 -.17550 | ****| . | 0.099347 20 127.607 0.22103 | . |**** | 0.100908 21 -61.519663 -.10656 | . **| . | 0.103337 22 35.825317 0.06205 | . |* . | 0.103893 23 -93.627333 -.16217 | .***| . | 0.104081 24 55.451208 0.09605 | . |** . | 从其自相关图中可以看出二阶差分后的序列自相关系数很快衰减为零，且都在两 倍标准差范围之内，所以认为平稳，白噪声检验结果： Autocorrelation Check for White Noise To Chi- Pr > Lag Square DF ChiSq ------------------- Autocorrelations ------------------- 6 30.70 6 <.0001 -0.363 -0.092 0.016 0.02 7 -0.103 -0.041 12 84.54 12 <.0001 0.174 -0.253 0.090 0.036 0.232 -0.314 18 97.98 18 <.0001 0.040 0.123 -0.183 0.065 0.040 0.079 24 126.99 24 <.0001 -0.175 0.221 -0.107 0.062 -0.162 0.096 非平稳序列平稳化的三种方法 在时间序列分析中，一个时间序列被视为平稳的，如果其均值和方差在时间上是稳定的。但是，在实际情况下，很少有时间序列是平稳的。因此，需要对非平稳序列进行平稳化，以便进行进一步的分析和建模。在本文中，我们将介绍三种常用的非平稳序列平稳化 方法。 方法一：差分 差分是平稳化非平稳时间序列最常用的方法之一。大多数非平稳时间序列可以通过对 原始序列进行一次或多次差分来变成平稳序列。一次差分表示每次将当前值减去前一个值，即： $$y_t = x_t - x_{t-1}$$ 如果需要进行多次差分，则可以对一次差分的结果再次进行差分，即： 需要注意的是，差分将导致数据集的样本量减少，因为首个值和最后一个值都将被删去。 方法二：对数变换 对数变换是另一种常用的平稳化非平稳时间序列方法。大多数时间序列的均值和方差 都随时间增长而增长，而对数变换可以将一个增长趋势转换为常数倍数的增长，从而使时 间序列的均值和方差稳定。对数变换的公式如下： 这种变换可以用于受到百分比变化影响较大的时间序列，如股票价格、商品价格等。 方法三：季节性调整 季节性调整是针对季节性影响较大的非平稳时间序列进行平稳化的方法。该方法主要 是通过计算季节性差异来消除季节性影响。季节性调整通常需要进行以下步骤： 1. 计算时间序列的季节性分量，通常使用移动平均方法或指数平滑方法。 2. 对时间序列进行季节性差异调整，即将季节性分量从原始数据中剔除。 3. 对季节性调整后的数据进行检验，以确保平稳。 四、总结 三种方法中，差分是最简单、最快速的平稳化方法，但它仅仅适用于具有单一趋势的 时间序列。对数变换适用于指数增长的时间序列，而季节性调整适用于具有季节性影响的 平稳时间序列与非平稳时间序列的区别 时间序列是统计学中一种重要的数据形式，用于研究随时间变化的 现象。在时间序列分析中，平稳性是一个关键概念。平稳时间序列与 非平稳时间序列在特征和性质上存在着显著的区别。本文将讨论平稳 时间序列与非平稳时间序列的定义、特征和分析方法。 一、平稳时间序列的定义及特征 平稳时间序列是指其概率分布不随时间推移而发生改变的时间序列。具体来说，对于平稳时间序列，它的均值、方差和自相关函数等统计 特征在不同时刻保持不变。 平稳时间序列的特征可以总结为以下几点： 1. 均值稳定性：平稳时间序列的均值在时间上保持不变。 2. 方差稳定性：平稳时间序列的方差在时间上保持不变。 3. 自相关性：平稳时间序列的自相关函数只依赖于时间的间隔，而 不依赖于具体的时间点。 二、非平稳时间序列的定义及特征 非平稳时间序列是指其概率分布随时间推移而发生改变的时间序列。具体来说，非平稳时间序列的均值、方差和自相关函数等统计特征会 随时间发生变化。 非平稳时间序列的特征可以总结为以下几点： 1. 趋势性：非平稳时间序列存在明显的增长或下降趋势。 2. 季节性：非平稳时间序列可能会呈现出周期性的变动，如一年内 的季节变化。 3. 自相关性的变化：非平稳时间序列的自相关函数不仅依赖于时间 的间隔，还依赖于具体的时间点。 三、分析方法的区别 针对平稳时间序列和非平稳时间序列，我们在分析方法上有不同的 选择。 对于平稳时间序列，我们可以使用经典的时间序列分析方法，如自 回归移动平均模型（ARMA）、自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）等。这些方法基于平稳性的假设，能够准确地对平稳时间序列 进行建模和预测。 对于非平稳时间序列，由于其不具备平稳性，我们需要采取一些转 换方法来处理。常见的方法包括一阶差分、对数转换和季节性调整等。此外，我们还可以使用更加复杂的模型，如自回归积分移动平均模型（ARIMA）、差分自回归移动平均模型（DARIMA）和趋势-季节性分 解模型等。 四、应用领域的差异 平稳时间序列和非平稳时间序列在应用领域上也存在差异。 非平稳时间序列建模步骤 介绍 非平稳时间序列是指其统计特性在时间上发生变化的序列。在实际应用中，我们经常面临非平稳时间序列的建模问题，如股票价格、气温变化等。本文将探讨非平稳时间序列建模的步骤和方法。 为什么要建立模型 非平稳时间序列在其统计特性的变化中存在一定的规律性，因此建立模型可以帮助我们理解和预测序列的行为。模型可以从数据中提取有用的信息，揭示序列的规律和动态特征。 步骤一：观察时间序列的特性 在建立模型之前，我们首先需要观察时间序列的特性，包括趋势、周期性、季节性和随机性等。这些特性是决定时间序列模型选择的重要因素。 步骤二：平稳化处理 由于非平稳时间序列的统计特性随时间变化，不利于建模和分析。因此，我们需要对时间序列进行平稳化处理。常用的平稳化方法包括差分法和变换法。 2.1 差分法 差分法是通过计算相邻两个观测值的差异来实现序列的平稳化。一阶差分是指相邻观测值之间的差异，二阶差分是指一阶差分的差异，以此类推。差分法可以有效地去除序列的趋势和季节性，使序列平稳。 2.2 变换法 变换法是通过对时间序列进行数学变换，将非平稳序列转化为平稳序列。常用的变换方法包括对数变换、平方根变换和 Box-Cox 变换等。变换法可以改变序列的分布特性，使序列满足平稳性的要求。 步骤三：选择模型 平稳化处理后，我们需要选择合适的模型进行建模。常用的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分移动平均模型（ARIMA）、季节性自回归移动平均模型（SARIMA）和指数平滑模型等。 3.1 自回归移动平均模型（ARMA） ARMA 模型是描述时间序列随机变动的经典模型，其包括自回归和移动平均两个部分。自回归部分考虑了序列的历史值对当前值的影响，移动平均部分考虑了序列的误差对当前值的影响。ARMA 模型适用于没有趋势和季节性的平稳序列。 3.2 自回归积分移动平均模型（ARIMA） ARIMA 模型是在 ARMA 模型基础上引入了积分项，用于处理非平稳序列。ARIMA 模型考虑了序列的差分处理，使得序列转化为平稳序列后再建模。ARIMA 模型一般用于有趋势但没有季节性的非平稳序列。 3.3 季节性自回归移动平均模型（SARIMA） SARIMA 模型是在 ARIMA 模型基础上考虑了季节性因素的扩展模型。SARIMA 模型包括季节性自回归、非季节性自回归、季节性移动平均和非季节性移动平均四个部分。SARIMA 模型适用于同时存在趋势和季节性的序列。 3.4 指数平滑模型 指数平滑模型是一类以加权平均法为基础的模型，适用于不具有明显趋势和季节性的序列。常用的指数平滑模型包括简单指数平滑法、Holt 线性指数平滑法和 Holt-Winters 季节性指数平滑法等。 步骤四：模型估计和检验 选择了合适的模型后，我们需要对模型进行估计和检验，以验证模型是否能够较好地拟合和预测数据。 第七章非平稳时间序列 时间序列数据被广泛地运用于计量经济研究。经典时间序列分析和回归分析有许多假定前提，如序列的平稳性、正态性等,，如果直接将经济变量的时间序列数据用于建模分析，实际上隐含了这些假定。在这些假定成立的条件下，进行的t检验、F检验与2 等检验才具有较高的可靠度。但是，越来越多的经验证据表明，经济分析中所涉及的大多数时间序列是非平稳的。那末，如果直接将非平稳时间序列当作平稳时间序列来进行分析，会造成什么不良后果？如何判断一个时间序列是否为平稳序列？当我们在计量经济分析中涉及到非平稳时间序列时，应作如何处理呢？这就是本章要讨论的基本内容。 第一节伪回归问题 经典计量经济学建模过程中，通常假定经济时间序列是平稳的，而且主要以某种经济理论或对某种经济行为的认识来确立计量经济模型的理论关系形式，借此形式进行数据收集、参数估计以及模型检验，这是20世纪70年代以前计量经济学的主导方法。然而，这种方法所构建的计量经济模型在20世纪70年代出现石油危机后引起的经济动荡面前却失灵了。这里的失灵不是指这些模型没能预见石油危机的出现，而是指这些模型无法预计石油危机的振荡对许多基本经济变量的动态影响。因此引起了计量经济学界对经典计量经济学方法论的反思，并将研究的注意力转向宏观经济变量非平稳性对建模的影响。人们发现，由于经济分析中所涉及的经济变量数据基本上是时间序列数据，而大多数经济时间序列是非平稳的，如果直接将非平稳时间序列当作平稳时间序列进行回归分析，则可能会带来不良后果，如伪回归问题。 所谓“伪回归”，是指变量间本来不存在有意义的关系，但回归结果却得出存在有意义关系的错误结论。经济学家早就发现经济变量之间可能会存在伪回归现象，但在什么条件下会产生伪回归现象，长期以来无统一认识。直到20世纪70年代，Grange、Newbold研究发现，造成“伪回归”的根本原因在于时间序列变量的非平稳性。他们用Monte Carlo模拟方法研究表明，如果用传统回归分 《时间序列分析》教学大纲 注：课程类别是指公共基础课/学科基础课/专业课；课程性质是指必修/限选/任选。 一、课程地位与课程目标 （一）课程地位 时间序列分析是统计学的一个重要分支，是一种根据动态数据特征来揭示系统动态结构和发展变动规律的现代统计分析方法。时间序列分析在经济学、社会科学以及自然科学领域均得到了广泛的应用。学好这门课，不仅有助于提高同学的定量统计分析能力，实际应用能力，而且能直接服务于社会，为宏观和微观各层决策者、管理者提供依据和意见参考。 （二）课程目标 1. 了解时间序列的基本概念、原理和意义。 2．掌握时间序列分析的各种基本模型、建模和预测方法，以及分析实际问题的基本步骤。 3．掌握有关的统计分析软件：如EViews、R、SAS、Matlab软件等。 二、课程目标达成的途径与方法 1．以课堂教学为主，结合自学、课堂讨论、课外作业等，使学生掌握时间序列分析的基本概念、基于模型、建模和预测方法。 2．通过实验教学，使学生掌握利用时间序列分析方法解决实际问题的基本步骤及过程，掌握用统计软件实现时间序列分析方法的技能。 三、课程目标与相关毕业要求的对应关系 四、课程主要内容与基本要求 第一章时间序列分析概论 （1）教学内容 §1.2时间序列分析方法简介 §1.3时间序列分析软件 （2）基本要求 要求学生理解时间序列分析的概念，了解时间序列分析的方法，了解Eviews软件。 第二章时间序列分析的基本概念 （1）教学内容 §2.1随机过程 §2.2平稳过程的特征及遍历性 §2.3线性差分方程 §2.4时间序列数据的预处理 （2）基本要求 要求学生能掌握平稳性，相关和自相关函数，能对时间序列数据进行预处理。 第三章线性平稳时间序列分析 （1）教学内容 §3.1线性过程 §3.2自回归模型AR(p) §3.3移动平均模型MA(q) §3.4自回归移动平均过程ARMA (p，q) §3.5时间序列模型传递形式和逆转形式 §3.6自相关函数与偏相关函数 （2）基本要求 要求学生理解自回归模型AR(p)、移动平均模型MA(q)、自回归移动平均过程ARMA (p，q)模型的建模过程，能区分这几种模型所反映的不同时间序列数据的影响。 第四章非平稳序列和季节序列模型 （1）教学内容 §4.1均值非平稳 §4.2自回归求和移动平均模型(ARIMA) §4.3方差和自协方差非平稳 §4.4季节时间序列(SARIMA)模型 （2）基本要求 要求学生理解并掌握自回归求和移动平均模型(ARIMA)、季节时间序列(SARIMA)模型概念及基本思想。会使用Eviews软件对此类数据建模并计算其风险。 第五章时间序列的模型识别 （1）教学内容 §5.1模型识别初步 有季节效应的非平稳序列 一、引言 时间序列是指按照时间顺序排列的一系列数据，其特点是具有时间相 关性。这种数据通常用于分析和预测未来趋势。在实际应用中，很多 时间序列并不是平稳的，即其均值、方差等统计特征会随着时间的推 移而发生变化，这就需要我们对非平稳时间序列进行建模和分析。而 季节效应是非平稳时间序列中比较常见的一种现象，本文将围绕有季 节效应的非平稳时间序列展开讨论。 二、什么是季节效应 季节效应指同一时期内周期性出现的规律性波动。例如，在销售领域，每年圣诞节前后的销售额通常都会有一个明显的增长期；在气象领域，夏季气温相对较高，冬季气温相对较低等等。这些规律性波动通常与 某种周期性事件或因素有关。 三、如何检测季节效应 为了检测一个时间序列是否存在季节效应，我们可以采用以下两种方法： 1. 绘制季节图 所谓季节图就是将一个周期为T（例如12个月）的时间序列分解成其 季节性、趋势性和随机性三个部分，然后将季节性部分绘制成一个图形。如果这个图形呈现出明显的周期性，则说明该时间序列存在季节效应。 2. 进行季节性分析 另一种检测季节效应的方法是进行季节性分析，具体步骤如下： （1）对时间序列进行平稳化处理，例如差分法、对数变换等。 （2）确定时间序列中的周期T，例如12个月。 （3）将时间序列按照T进行划分，并计算每个时期内的均值（或中位数等统计量）。 （4）计算每个时期内与总均值之间的偏差，并绘制成柱状图。 如果柱状图呈现出明显的周期性，则说明该时间序列存在季节效应。 四、如何建立有季节效应的非平稳时间序列模型 在建立有季节效应的非平稳时间序列模型时，我们需要考虑以下几个方面： 1. 季节因素 第四十一课 非平稳序列的确定性分析 在实际情况中，绝大部分序列都是非平稳的，因而对非平稳序列的分析更普遍、更重要，相应地各种分析方法也更多。通常，把非平稳时间序列的分析方法分为：确定性时间序列分析和随机性时间序列分析两大类。 所谓非平稳确定性时间序列是指在自然界中由确定性因素导致的非平稳时间序列，通常这种非平稳的时间序列显示出非常明显的规律性，比如有显著的趋势或有固定的变化周期，这种规律性信息一般比较容易提取。 所谓非平稳随机性时间序列是指由随机因素导致的的非平稳时间序列，通常这种随机波动非常难以确定和分析。传统的时间序列分析方法通常都把分析的重点放在确定性信息的提取上，而忽视对随机信息的提取。通常将序列简单地假定为t t t x εμ+=，如果t ε是均值为零的白噪声序列，那么就可以采用确定性分析方法。 一、 时间序列的平滑技术 有些时间序列具有非常显著的趋势，有时我们分析的目的就是要找到序列中的这种趋势，并利用这种趋势对序列的发展作出合理的预测。对趋势进行分析和预测常用方法有: ● 趋势拟合法——把时间作为自变量，相应的序列观察值作为因变量，建立序列值随时间变化的回归模型的方法。根据序列所表现出的线性或非线性特征，我们的拟合方法又可以具体分为线性拟合和曲线拟合。 ● 平滑法——利用修匀技术，消弱短期随机波动对序列的影响，使序列平滑化，从而显示出变化的规律。根据所用的平滑技术的不同，又可具体分为移动平均法和指数平滑法。 1. 滑动平均与加权滑动平均法 一般说来，已知序列值为t x x x x ,,,,321 ，欲预测1+t x 的值，则其预测值为： N x x x x N t t t t 1 11ˆ+--++++= (41.1) 这种均值随t 的变化而变化，称它为滑动平均值。这里N 称为滑动平均的时段长。滑动平均的目的主要是平滑数据，消除一些干扰，使趋势变化显示出来，从而可以用于趋势预测。在计算滑动平均值时，若对各序列值不作同等看待，而是对每个序列值乘上一个加权因子，然后再作平均，则称此为加权滑动平均，称下述预测值 N x x x x N t N t t tw ---+++=ααα 2211ˆ (41.2) 为加权滑动平均拟合值，α1,α2,…,αN 为加权因子，满足 11 =∑=N N i i α 例如，当N ＝3时，α1 =1.5, α2 ＝1，α3 ＝0.5，有 时间序列的平稳、非平稳、协整、格兰杰因果关系 步骤：先做单位根检验，看变量序列是否平稳序列，若平稳，可构造回归模型等经典计量经济学模型；若非平稳，进行差分，当进行到第i次差分时序列平稳，则服从i阶单整 （注意趋势、截距不同情况选择，根据P值和原假设判定）。若所有检验序列均服从同阶单 整，可构造VAR模型，做协整检验（注意滞后期的选择），判断模型内部变量间是否存在协 整关系，即是否存在长期均衡关系。如果有，则可以构造VEC模型或者进行Granger因果检验，检验变量之间“谁引起谁变化”，即因果关系。 1.单位根检验是序列的平稳性检验，如果不检验序列的平稳性直接OLS容易导致伪回 归。常用的ADF检验包括三个模型方程。在李子奈的《高级计量经济学》上有该方法的全部步骤，即从含趋势项、截距项的方程开始，若接受原假设，则对模型中的趋势项参数进行t 检验，若接受则进行对只含截距项的方程进行检验，若接受，则对一阶滞后项的系数参数进 行t检验，若接受，则进行差分后再ADF检验；若拒绝，则序列为平稳序列。 2.当检验的数据是平稳的（即不存在单位根），要想进一步考察变量的因果联系，可 以采用格兰杰因果检验，但要做格兰杰检验的前提是数据必须是平稳的，否则不能做。 3.当检验的数据是非平稳（即存在单位根），并且各个序列是同阶单整（协整检验的前 提），想进一步确定变量之间是否存在协整关系，可以进行协整检验，协整检验主要有EG 两步法和JJ检验：（1）EG两步法是基于回归残差的检验，可以通过建立OLS莫型检验其残 差平稳性；（2）JJ检验是基于回归系数的本金验,前提是建立VAR模型（即模型符合ADL模 式）。 4.当变量之间存在协整关系时，可以建立ECMS一步考察短期关系，Eviews这里还提供了一个Wald-Granger检验，但此时的格兰杰已经不是因果关系检验，而是变量外生性检验，请注意识别。 5.格兰杰检验只能用于平稳序列！这是格兰杰检验的前提，而其因果关系并非我们通常 理解的因与果的关系，而是说x的前期变化能有效地解释y的变化，所以称其为“格兰杰原因”。 6.非平稳序列很可能出现伪回归，协整的意义就是检验它们的回归方程所描述的因果关系是否是伪回归，即检验变量之间是否存在稳定的关系。所以，非平稳序列的因果关系检验 就是协整检验。 7.平稳性检验有3个作用：（1）检验平稳性，若平稳，做格兰杰检验，非平稳，作协正检验。（2）协整检验中要用到每个序列的单整阶数。（3）判断时间序列的数据生成过程。 8.其实很多人存在误解。有如下几点，需要澄清：（1）格兰杰因果检验是检验统计上的 时间先后顺序，并不表示二者真正存在因果关系，是否呈因果关系需要根据理论、经验和模 型来判定。（2）格兰杰因果检验的变量应是平稳的，如果单位根检验发现两个变量是不稳定 的，那么，不能直接进行格兰杰因果检验，所以，很多人对不平稳的变量进行格兰杰因果检 验，这是错误的。（3）协整结果仅表示变量间存在长期均衡关系，那么，到底是先做格兰杰 还是先做协整呢？因为变量不平稳才需要协整，所以，首先因对变量进行差分，平稳后，可 以用差分项进行格兰杰因果检验，来判定变量变化的先后时序，之后，进行协整，看变量是 否存在长期均衡。（4）长期均衡并不意味着分析的结束，还应考虑短期波动，要做误差修正 检验。在变量均非平稳但协整的情况下则可以建立误差修正模型（ErrorCorrectionModel, ECM来研究变量间的关系，由于误差修正项的出现，ECM可以同时研究短期与长期的因果关 第8章时间序列分析 、填空题： 1・平稳性检验的方法有__________ 、____________和__________ 。 2・单位根检验的方法有：__________ 和__________ 。 3・当随机误差项不存在自相尖时，用____________进行单位根检验；当随机 误差项存在自相尖时，用____________ 进行单位根检验。 4. __________________________________________________ EG检验拒绝 零假设说明__________________________________________________ 。 5. _________________________________________ DF检验的零假设是说被 检验时间序列_______________________________________ 。 6. __________________________ 协整性检验的方法有和。 7・在用一个时间序列对另一个时间序列做回归时，虽然两者之间并无任何 有意义的尖系，但经常会得到一个很高的R的值，这种情况说明存在 ____________ 问题。 8. ______________________________________________ 结构法建模主要是以_______________________________________________________ 来_确定计量经济 模型的理论尖系形式。 9. __________________________________ 数据驱动建模以作为建模的主要准则。 10 .建立误差校正模型的步骤为一般采用两步：第一 ；第二步, 二、单项选择题： 1. 某一时间序列经一次差分变换成平稳时间序列，此时间序列称为（） A. 1阶单整 B ・2阶单整 C. K阶单整 D.以上答案均不正确 2. 如果两个变量都是一阶单整的，则（）。 38. 非平稳时间序列的确定性分析 实际中大多数时间序列是非平稳的，对非平稳时间序列的分析方法主要有两类：确定性分析和随机性分析。 确定性分析——提取非平稳时间序列明显的规律性（长期趋势、季节性变化、周期性），目的是：①克服其它因素影响，单纯测度出单一确定因素对序列的影响；②推断各种确定性因素彼此之间相互作用关系及它们对序列的综合影响。 随机性分析——分析非平稳时间序列由随机因素导致的随机波动性。 （一）趋势分析 有的时间序列具有明显的长期趋势，趋势分析就是要找出并利用这种趋势对序列发展做出合理预测。 1. 趋势拟合法 即把时间作为自变量，相应的序列观察值作为因变量，建立序列值随时间变化的回归模型。分为线性拟合和非线性拟合。 2. 平滑法 利用修匀技术，消弱短期随机波动对序列的影响，使序列平滑化，从而显示出长期趋势变化的规律。 （1）移动平均、加权移动平均 已知序列值x1, …, x t-1, 预测x t的值为 12ˆt t t n t x x x x n ---+++=L 称为n 期移动平均值，n 的选取带有一定的经验性，n 过长或过短，各有利弊，也可以根据均方误差来选取。 一般最新数据更能反映序列变化的趋势。因此，要突出新数据的作用，可采用加权移动平均法： 1122ˆt t n t n tw x x x x n ωωω---+++=L 其中，111n i i n ω==∑. （2）二次移动平均 对应线性趋势，移动平均拟合值有滞后性，可以采用二次移动平均加以改进：对移动平均值再做一次移动平均。 （3）指数平滑法 指数平滑法是一种对过去观察值加权平均的特殊形式，观测值时间越远，其权数呈指数下降。一次指数平滑法可用于对时间序列进行修匀，以消除随机波动。预测公式为： 1ˆˆ(1)t t t s x s αα-=+- 其中α∈(0, 1)为平滑常数，ˆt s 为第t 期平滑预测值，初始预测值0ˆs （通常取最初几个实测数据的均值）。 一般来说，时间序列有较大的随机波动时，宜选择较大的α值，以便能较快跟上近期的变化；也可以利用预测误差选择。 （4）二次、三次指数平滑法 即对一次指数平滑后的序列再做一次指数平滑，但不是直接将二 实验五 非平稳序列确实定性分析 【实验目的】 对非平稳时间序列确实定性分析 【实验内容】 1．趋势分析； 2．季节效应分析； 3．综合分析； 4. X-12过程。 【实验指导】 一、ARMA 模型分解 二、确定性因素分解 ⏹ 传统的因素分解 ⏹ 长期趋势 ⏹ 循环波动 ⏹ 季节性变化 ⏹ 随机波动 ⏹ 如今的因素分解 ⏹ 长期趋势波动 ⏹ 季节性变化 ⏹ 随机波动 〔一〕趋势分析 有些时间序列具有非常显著的趋势，我们分析的目的就是要找到序列中的这种趋势，并利用这种趋势对序列的开展作出合理的预测 方法： 1.趋势拟合法 趋势拟合法就是把时间作为自变量，相应的序列观察值作为因变量，建立序列值随时间变化的回归模型的方法。 〔1〕线性拟合 例1:拟合澳大利亚政府1981——1990年每季度的消费支出序列，数据见下表。 t t B B x εμ ) () (ΦΘ+= 长期趋势呈现出非常的线性递增趋势，于是考虑使用线性模型 2 ,1,2, (40) ()0, ()t t t t x a bt I t E I Var I σ=++=⎧⎨==⎩拟合该序列的开展。 使用最小二乘法得到未知参数的估计值为：ˆˆ8498.69,89.12a b ==. 对拟合模型进展检验，检验结果显示方程显著成立，且参数非常显著。拟合效果图如下： 〔2〕非线性拟合 使用场合：长期趋势呈现出非线形特征 参数估计指导思想：能转换成线性模型的都转换成线性模型，用线性最小二乘法进展参数估计；实在不能转换成线性的，就用迭代法进展参数估计 例2:对上海证券交易所1991年1月-2001年10月每月末上证指数序列进展模型拟合数据见下表。 时序图显示该序列有显著的曲线递增趋势。尝试使用二次型模型 2,1,2,...,130t T a bt ct t =++= 拟合该序列的开展。 （1） 先做变换：把2t 的值赋给2t ，原模型变为线性模型2t T a bt ct =++ （2） 利用线性最小二乘法得到线性模型中未知参数的估计值： ˆˆˆ457.5353, 1.1819,0.0822a b c === （3） 检验方程。发现该方程显著〔P 值小于0.0001〕，但是参数b 不显著 第八章思考题及练习题 （一）填空题 1、时间数列又称______ 数列,一般由 _______ 和________ 两个基本要素构成。 2、动态数列按统计指标的表现形式可分为____________ 、 ________ 和___________ 三 大类，其中最基本的时间数列是___________ o 3、编制动态数列最基本的原则是_ 4、时间数列中的四种变动（构成因素）分别是：__________ 、________ 、_______ 、 和 _______ 5、时间数列中的各项指标数值，就叫____________ ，通常用a表示。 6平均发展水平是对时间数列的各指标求平均，反映经济现象在不同时间的平均水平或代表性水平，又称： _________________________ 平均数，或 ________ 平均数。 7、增长量由于采用的基期不同，分为_______ 增长量和________ 增长量，各 ______ 增 长量之和等于相应的 _________ 增长量o 8、把报告期的发展水平除以基期的发展水平得到的相对数叫______________ ，亦称动 态系数。根据采用的基期不同，它又可分为 ________ 发展速度和发展速度两 种。 9、平均发展速度的计算方法有__________ 法和 _________ 法两种。 10、某企业2000年的粮食产量比90年增长了2倍，比95年增长了0.8倍，则 95年粮食产量比90年增长了________ 倍。 11、把增长速度和增长量结合起来而计算出来的相对指标是：____________________ o 12、由一个时期数列各逐期增长量构成的动态数列，仍属时期数列；由一个时点 数列各逐期增长量构成的动态数列，属 __________ 数列。 13、在时间数列的变动影响因素中，最基本、最常见的因素是__________ ，举出三种 常用的测定方法 _____________ 、______________ 、______________ o 14、若原动态数列为月份资料，而且现象有季节变动，使用移动平均法对之修匀 时，时距宜确定为 _______ 项，但所得各项移动平均数，尚需______________ ，以扶正 其位置 15、使用最小平方法配合趋势直线时，求解a、b参数值的那两个标准方程式 为 _________ o 16、通常情况下，当时间数列的一级增长量大致相等时，可拟合 趋势方程，而当时间数列中各二级增长量大致相等时，宜配合 ____________ 趋势方程。17、用半数平均法求解直线趋势方程的参数时，先将时间数列分成____________ 的两部 分，再分别计算出各部分指标平均数和的平均数，代入相应的联立方程 求解即得。 18、分析和测定季节变动最常用、最简便的方法是___________ o这种方法是通过对 若干年资料的数据，求出与全数列总平均水平，然后对比得出各月份 的 _______ o 19、如果时间数列中既有长期趋势又有季节变动，贝U应用 ______________ 法来计算季节比率。非平稳时间序列概述
时间序列分析实验报告
第八章、非平稳时间序列分析
时间序列分析要点总结
非平稳时间序列分析
非平稳序列平稳化的三种方法
平稳时间序列与非平稳时间序列的区别
非平稳时间序列建模步骤
非平稳时间序列
《时间序列分析》教学大纲(本科)
有季节效应的非平稳序列
SAS讲义-第四十一课非平稳序列的确定性分析
时间序列的平稳非平稳协整格兰杰因果关系8
第8章时间序列分析习题
SAS学习系列38. 时间序列分析Ⅱ—非平稳时间序列的确定性分析
实验五非平稳序列的确定性分析
第八章时间序列分析思考题及练习题
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