比例线段同步练习
一、填空题
8．已知实数x ，y ，z 满足x+y+z=0，3x-y+2z=0，则x ：y ：z=________． 9．设实数x ，y ，z 使│x-2y │+ （3x-z ）2=0成立，求x ：y ：z 的值________． 10、已知3)(4)2(y x y x -=+，则=y x : ，
=+x
y
x 11、
543z y x ==，则=++x
z
y x ，
=+-++z y x z y x 53232 12、已知b 是a ，c 的比例中项，且a=3cm ，c=9cm ，则b= cm 。
13、比例尺为1：50000的地图上，两城市间的图上距离为20cm ，则这两城市的实际
距离是 公里。 14、如果3:1:1::=c b a ，那么=+--+c
b a c
b a 3532
二、选择题
15、如果bc ax =，那么将x 作为第四比例项的比例式是（ ）
A x a c b =
B b c x a =
C x c b a =
D c
a b x =
16、三线段a 、b 、c 中，a 的一半的长等于b 的四分之一长，也等于c 的六分之一长，那么
这三条线段的和与b 的比等于（ ）
A 6:1
B 1:6
C 3:1
D 1:3 17、已知
d
c
b a =，则下列等式中不成立的是（ ） A.
c d a b = B. d d c b b a -=- C. d c c b a a +=+ D. b
a
c b
d a =++
18、下列a 、b 、c 、d 四条线段，不成比例线段的是（ ）
A. a=2cm b=5cm c=5cm d=12.5cm
B. a=5cm b=3cm c=5mm d=3mm
C. a=30mm b=2cm c=5
9
cm d=12mm D. a=5cm b=0.02m c=0.7cm d=0.3dm
19、如果 a:b=12:8，且b 是a 和c 的比例中项，那么b:c 等于（ ）
A. 4：3
B. 3：2
C. 2：3
D. 3：4
20、已知
53=y x ，则在①41=+-y x y x ②5353=++y x ③1332=+y x x ④3
8
=+x y x 这四个式子中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 21、两直角边为3和4的直角三角形的斜边和斜边上高线的比是（ ）
A. 5:3
B. 5:4
C. 5:12
D. 25:12
三、解答题 22、已知
7532=b a ，求b
a
b a 3423+
的值。
23、已知a:b:c=2:3:4，且2a+3b-2c=10，求a,b,c 的值。
初三数学预备 平行线分线段成比例
一、 知识要点：
1、平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线的直线所截，截得的对应线段成比例。
2、平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段 相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。
F
E
D C B A F
E
D
C
B
A
问题：如果两条直线被三条直线所截，截得的线段成比例，那么这三条线段互相平行吗？ 牛刀小试：
1、如图AB ∥CD ∥EF ，AC=3，AE=8，BF=10。求BD 、DF 的长。 A B
C D
E F
2、 如图，1L ∥2L ∥3L ，AB=2，AC=5，DF=10，则DE=_________
L 3
L 2
L 1F
E
D
C
B
A
3、在（1）题中，AB ∥CD ∥EF ，AB=2，CD=3，EF=5，BD=2，AE=8。求BF 、CE 的长。
4、已知如图，AD ∥CF ∥EB ，AB=3，AC=5，DF=9，DA=2，CF=8，求DE 、EF 、BE 的长。
F
C
E
D B A
二、典型例题：
1、如图，已知：AB 、CD 、EF 都垂直于L,AB=12，EF=7，BD ：DF=2：3，求CD 的长。
L
F
C
E
D
B
A
巩固练习： 1、已知a
bc
x
,求作x,则下列作图正确的是（ ） A
x
c b
a B
x
c b
a
C
x
c
b
a D
x c b
a
2、如图，1L ∥2L ∥3L ，两直线AC 、DF 与1L 、2L 、3L 分别交于A 、B 、C 和D 、E 、F ，下列各式中，不一定成立的是（ ） A 、
AB DE =BC EF B 、AB DE =AC DF C 、EF BC =FD CA D 、AD BE
=
BE CF
L 3
L 2L 1F
E
D C
B A
4、如图已知a ∥b ∥c ，AC=2，CG=4，BF=9，DH=10，EM=1，FH=3。 求BE 、AH 、DE 、MH 、AB 的值。
A B
C D E M N
F G H
思维拓展：
1、如图，已知：平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 在BC 上，
2
1
BF FC =，求CO ：AO 的值。
O
F
C
E
D
B
A
2、如图，已知：△ABC 中，AD 是BC 上的中线，点F 在AD 上，且
32
AF FD =，求AE
EC 的值。 F
E
D
C
B
A
巩固练习：
1、如图，在ΔABC 中，DE//BC ， （1）若AE ∶EC=3∶5，则
BC DE =________；（2）若AE ∶EC=a ∶b ，则BC
DE
=________。 2、如图，四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，M 是对角线AC 上的一点MP ⊥BC 于P ，MQ ⊥AD 于Q ，那么
CD
MQ
AB MP +
=________。 3、如图，已知l 1//l 2//l 3，l 5、l 4分别交l 1、l 2、l 3于A 、B 、C 及D 、E 、F ，且交于G 点。若AB=3厘米，BC=8厘米，EG=2厘米，GF=3厘米，则线段DE=________，GC=________。
4、如图，AD 为ΔABC 中∠A 的平分线，DE//AC ，AB=4，AC=5，BC=6，则DE=________。
5、如图，E 为平行四边形ABCD 的边BC 上的一点，满足
7
3
=EC BE ，DE 的延长线与AB 的延长线交于F ，
若AB=4厘米，则BF 的长为________。
6、如图，四边形AEDF 为ΔABC 的接平行四边形，且
2 DF
DE
，AB=6cm ，AC=4cm ，则平行四边形AEDF 的周长是_______。
7、如图，D 为ΔABC 的边AC 上一点，满足AD=2CD ，G 为BD 的中点，AG 的延长线交BC 于E ，则BE ∶EC 的值为。
F
E
必修五解三角形常考题型 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形 例1 在V ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解：::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =Q 而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2在ABC 中，已知 ，C=30°，求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°， ，∴由正弦定理得： sin sin sin a b c A B C === ∴ )sin （150°-A ）. ∴ )[sinA+sin(150° )·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值 2 ； ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞ 2 cos75° = 2 × 4 . 综合①②可得a+b 的取值范围为 ,8+ 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中，2 a ·tanB=2 b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。
1．正弦定理和余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 1.在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A 解三角形的必备知识和典型例题及习题 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝2 1ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 一、知识要点： 1、两条线段长度的比叫做两条线段的比。 2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 如果a、b、c、d是比例线段，即 段b、c是比例内项。 3、比例线段有以下性质： （1）基本性质 如果ac，那么线段a、d是比例外项，线=（或a:b=c:d）bdac=，那么ad=bc bd aca+bc+da-bc-d，； =，那么==bdbdbd aca+cac=，那么===k。 bdb+dbd a1a2a3===k，那么 b1b2b3（2）合比性质如果（3）等比性质如果等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形。例如：如果 a1+a2+a3a1a2a3====k b1+b2+b3b1b2b3 小试牛刀： 一、填空题 1、两条线段x、y的长度的比叫做这两条线段的____________，记作 ____________。 2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比____________，那么这四条线段叫做成比例线段，简称____________。 3、合（分）比性质：如果aca±b=_____________。 =，那么bdb 4、等比性质：如果aceace== =，且_____________，那么__________=(== =) bdfbdf 5、若4x=5y，则x：y=____________ 6、已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，则d为_______ 7、下列各组线段成比例的是（） A、1cm、3cm、2cm、4cm B、1m、20cm、5cm、25cm C cm 1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+= sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π= 所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 2 22-+=代入右边 得右边22222222 22()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-= 22a b a b ab b a -==-=左边， ∴)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．证明：∵△AB C 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>-> ∴sin sin()2 A B π >-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222 A C A C B B +-=， ∴1sin cos 222B A C -==0,22 B π<<∴cos 2B = ∴sin 2sin cos 22244B B B ==?=839 5解：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B ++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B π===+=或2 ∴等腰或直角三角形 6解：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ?-?=- 222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=- 2016学年上海市杨浦区初三一模数学试卷 一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1. 如果延长线段AB 到C ，使得12 BC AB =，那么:AC AB 等于（ ） A. 2:1 B. 2:3 C. 3:1 D. 3:2 2. 在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是（ ） A. 100tan α B. 100cot α C. 100sin α D. 100cos α 3. 将抛物线22(1)3y x =-+向右平移2个单位后所得抛物线的表达式为（ ） A. 22(1)5y x =-+ B. 22(1)1y x =-+ C. 22(1)3y x =++ D. 22(3)3y x =-+ 4. 在二次函数2y ax bx c =++中，如果0a >，0b <，0c >，那么它的图像一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列命题不一定成立的是（ ） A. 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 B. 两个等腰直角三角形相似 C. 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 D. 各有一个角等于100°的两个等腰三角形相似 6. 在△ABC 和△DEF 中，40A ?∠=，60D ?∠=，80E ?∠=， AB FD AC FE =，那么B ∠的度数是（ ） A. 40? B. 60? C. 80? D. 100? 二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7. 线段3cm 和4cm 的比例中项是 cm 8. 抛物线22(4)y x =+的顶点坐标是 一、知识梳理 1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 面积公式: 111 sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?= == 在三角形中大边对大角，反之亦然. 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二： ?? ? ??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四： sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == 3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 2 2 2 2cos b c a ca B =+- 222 2cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二： 222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2a c b B ac +-= 222 cos 2a b c C ab +-= 二、方法归纳 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c A B C == ，可求出角C ，再求b 、c . (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2 -2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C . (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a b A B = ，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b A B = 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况 a = b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解 三、课堂精讲例题 问题一：利用正弦定理解三角形 崇明23．（本题满分12分，每小题各6分） 如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，联结DE ，过顶点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，BF 交边DC 于点G ． （1）求证：GD AB DF BG ?=?； （2）联结CF ，求证：45CFB ∠=?． （第23题图） A B D E C \ G F 崇明24．（本题满分12分，每小题各4分） 如图，抛物线24 3 y x bx c =-++过点(3,0)A ，(0,2)B ．(,0)M m 为线段OA 上一个动点 （点 、N ． （（（· （第24题图） （备用图） A 崇明25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题5分） 如图，已知ABC △中，90ACB ∠=?，8AC =，4 cos 5 A =，D 是A B 边的中点，E 是A C 边上一点，联结DE ，过点 D 作DF D E ⊥交BC 边于点 F ，联结EF ． （1）如图1，当DE AC ⊥时，求EF 的长； · （2）如图2，当点E 在AC 边上移动时，DFE ∠的正切值是否会发生变化，如果变化请说出 变化情况；如果保持不变，请求出DFE ∠的正切值； （3）如图3，联结CD 交EF 于点Q ，当CQF △是等腰三角形时，请直接写出．．．．BF 的长． { & （第25题图1） A B C ; D F E B D F E C ） A （第25题图2） B D F E C A 、 金山23. （本题满分12分，每小题6分） 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F． （1）求证：DF是BF和CF的比例中项； （2）在AB上取一点G，如果AE：AC=AG：AD，求证：EG：CF=ED：DF． 解三角形的必备知识和典型例题及习题一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 2 2 2 （1）三边之间的关系： a ＋ b ＝c 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A＝cos B＝a c ，cos A＝sin B＝ b c ，tan A＝ a b 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c 分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 a sin A b sin B c sin C 2R （R为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c －2bc cos A； b ＝c ＋a －2ca cos B； c ＝a ＋b －2ab cos C。 3 ．三角形的面积公式： （1）S ＝1 2 ah a＝ 1 2 bh b＝ 1 2 ch c（h a、h b、h c 分别表示a、b、c 上的高）； （2）S ＝1 2 ab sin C＝ 1 2 bc sin A＝ 1 2 ac sin B； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 2018年上海市普陀区九年级第一学期期末考试数学试题 2017年12月27日，考试时间100分钟，满分150分 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1．下列函数中，y 关于x 的二次函数是（ ）． (A)y =ax 2 ＋bx ＋c ； (B) y =x (x －1)； (C) 2 1 y x = ； (D) y ＝ (x －1)2－x 2 ． 2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝ 2，下面结论中，正确的是（ ）． (A) AB ＝2sin A ； (B) AB ＝2cos A ； (C) BC ＝2tan A ； (D) BC ＝2cot A ． 3．如图1，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 的反向延长线上，下面比例式中，不能判断ED ∥BC 的是（ ）． (A) BA CA BD CE = ； (B) EA DA EC DB =； (C) ED EA BC AC = ； (D) EA AC AD AB = ． 4．已知5a b =，下列说法中，不正确的是（ ）． (A) 50a b -=； (B) a 与b 方向相同； (C) a ∥b ； (D) 5a b =． 图1 图2 图3 5．如图2平行四边形ABCD 中F 是边AD 上一点射线CF 和BA 的延长线交于点E 如果 12EAF CDF C C ??=那么EAF EBC S S ??的值是（ ）． (A) 12； (B)13； (C)14； (D)1 9 ． 6．如图3，已知AB 和CD 是O 的两条等弦．OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别为点M 、N ，BA 、DC 的延长线交于点P ，联结 OP ．下列四个说法中，①AB CD =；②OM ＝ON ；③PA ＝PC ；④∠BPO ＝∠DPO ，正确的个数是（ ）． (A)1个； (B)2个； (C)3个； (D)4个． 二、填空题（每小题4分，共48分） 解三角形三类经典类型 类型一 判断三角形形状 类型二 求范围与最值 类型三 求值专题 类型一 判断三角形形状 例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2 C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2 22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形． 例２：在△ABC 中，若Ｂ=ο 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=ο 60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A -ο 120)=3,整理得 sin(A+ο30)=1 ∴A+ο ο ο 60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形. 例3：在△ABC 中，已知2 2 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 解：法1：由题意得 B A A B B A 2 2sin sin cos sin cos sin =，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2 π = +B A ，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形． 法2：由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2 222222222b a bc a c b b a c b c a a =-+? -+? ， 整理得0))((2 2 2 2 2 =-+-c b a b a ∴ 2 2222c b a b a =+=或 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状． 解：(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC －cosBsinC=0即sin(B －C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得 2018各区一模几何证明 普陀23．（本题满分12分） 已知：如图9，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点E ，AD=DC ，DC 2=DE·DB . 求证：（1）△BCE ∽△ADE ； （2）AB·BC=BD·BE ． 静安23. 已知：如图，梯形ABCD 中，AB DC //，BD AD =，DB AD ⊥，点E 是腰AD 上一点，作?=∠45EBC ，联结CE ，交DB 于点F ． （1）求证：ABE ?∽DBC ?； （2）如果65=BD BC ，求BDA BCE S S ??的值． 奉贤23.已知：如图，四边形ABCD ，∠DCB =90°，对角线BD ⊥AD ，点E 是边AB 的中点，CE 与BD 相交于点F ，2BD AB BC =? （1）求证：BD 平分∠ABC ； （2）求证：BE CF BC EF ?=?. 虹口23．（本题满分12分，第（1）题满分6分，第（2）题满分6分） 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE 、BC 的延长线相交于点F ，且EF DF BF CF ?=?． （1）求证AD AB AE AC ?=?； （2）当AB =12，AC =9，AE =8时，求BD 的长 与△△ADE ECF S S 的值． 宝山23．（本题满分12分，每小题各6分） 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，过点C 作CF ∥AB 交△ABC 的中位线DE 的延长线于F ，联 结BF ，交AC 于点G ． （1）求证：G AE AC EG C ＝； （2）若AH 平分∠BAC ，交BF 于H ，求证：BH 是HG 和HF 的比例中项． 嘉定23．（本题满分12分，每小题6分） 如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD AB =，点E 在对角线AC 上，且满足BAC ADE ∠=∠. （1）求证：BC DE AE CD ?=?； （2）以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交边BC 于点F ，联结AF . 求证：CA CE AF ?=2 . 闵行23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分） 如图，已知在△ABC 中，∠BAC =2∠B ，AD 平分∠BAC ， DF //BE ，点E 在线段BA 的延长线上，联结DE ，交AC 于点G ，且 ∠E =∠C ． （1）求证：2AD AF AB =?； （2）求证：AD BE DE AB ?=?． 杨浦23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =AB ，对角线AC 、BD 交于点E ，点F 在边BC 上，且∠BEF =∠BAC . （1）求证：△AED ∽△CFE ； （2）当EF //DC 时，求证：AE =DE . 松江23．（本题满分12分，每小题6分） 已知四边形ABCD 中，∠BAD =∠BDC =90°，2BD AD BC =?． （1）求证：AD ∥BC ； （2）过点A 作AE ∥CD 交BC 于点E ．请完善图形并求证：2CD BE BC =?． 比例线段同步练习 一、填空题 8．已知实数x ，y ，z 满足x+y+z=0，3x-y+2z=0，则x ：y ：z=________． 9．设实数x ，y ，z 使│x-2y │+ （3x-z ）2=0成立，求x ：y ：z 的值________． 10、已知3)(4)2(y x y x -=+，则=y x : ， =+x y x 11、 543z y x ==，则=++x z y x ， =+-++z y x z y x 53232 12、已知b 是a ，c 的比例中项，且a=3cm ，c=9cm ，则b= cm 。 13、比例尺为1：50000的地图上，两城市间的图上距离为20cm ，则这两城市的实际 距离是 公里。 14、如果3:1:1::=c b a ，那么=+--+c b a c b a 3532 二、选择题 15、如果bc ax =，那么将x 作为第四比例项的比例式是（ ） A x a c b = B b c x a = C x c b a = D c a b x = 16、三线段a 、b 、c 中，a 的一半的长等于b 的四分之一长，也等于c 的六分之一长，那么 这三条线段的和与b 的比等于（ ） A 6:1 B 1:6 C 3:1 D 1:3 17、已知 d c b a =，则下列等式中不成立的是（ ） A. c d a b = B. d d c b b a -=- C. d c c b a a +=+ D. b a c b d a =++ 18、下列a 、b 、c 、d 四条线段，不成比例线段的是（ ） A. a=2cm b=5cm c=5cm d=12.5cm B. a=5cm b=3cm c=5mm d=3mm C. a=30mm b=2cm c=5 9 cm d=12mm D. a=5cm b=0.02m c=0.7cm d=0.3dm 19、如果 a:b=12:8，且b 是a 和c 的比例中项，那么b:c 等于（ ） A. 4：3 B. 3：2 C. 2：3 D. 3：4 20、已知 53=y x ，则在①41=+-y x y x ②5353=++y x ③1332=+y x x ④3 8 =+x y x 这四个式子中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 21、两直角边为3和4的直角三角形的斜边和斜边上高线的比是（ ） A. 5:3 B. 5:4 C. 5:12 D. 25:12 三、解答题 22、已知 7532=b a ，求b a b a 3423+ 的值。 23、已知a:b:c=2:3:4，且2a+3b-2c=10，求a,b,c 的值。 《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ； （2）由a b B =tan ，知 ； （3）由c a B = cos ，知860cos 4cos =?==B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ． 例 2 在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ． 解法二 133330tan =?=?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中， 于D ，若 ，解三 角形ABC ． 分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是的边，所以应先从Rt入手． 解在Rt中，有： ∴ 在Rt中，有 说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如： （2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值： 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4在中，，求． 分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解． 解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有 ； 在中，，且 ， ∴； 于是，有， 则有 说明还可以这样求： 静安区2017学年第一学期期末学习质量调研 九年级数学 2018.1 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 化简2 5 ()a a -?所得的结果是（ ） A. 7a B. 7a - C. 10a D. 10a - 2. 下列方程中，有实数根的是（ ） A. 110x -+= B. 1 1x x + = C. 4230x += D. 2 11 x =-- 3. 如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC 和BD 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使3,3OA OC OB OD ==），然后张开两脚，使,A B 两个尖端分别在线段a 的两个端点上，当 1.8CD =cm 时，AB 的长是（ ） A. 7.2cm B. 5.4cm C. 3.6cm D. 0.6cm 4. 下列判断错误的是（ ） A. 如果0k =或0a =r r ，那么0ka =r r B. 设m 为实数，则()m a b ma mb +=+r r r r C. 如果//a e r r ，那么a a e =r r r D. 在平行四边形ABCD 中，AD AB BD -=u u u r u u u r u u u r 5. 在Rt ABC V 中，90C ∠=o ，如果1 sin 3 A = ，那么sin B 的值是（ ） A. 22 3 B. 22 C. 24 D. 3 6. 将抛物线2 123y x x =--先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线 22y ax bx c =++重合，现有一直线323y x =+与抛物线22y ax bx c =++相交，当23y y ≤时， 利用图像写出此时x 的取值范围是（ ） A. 1x ≤- B. 3x ≥ C. 13x -≤≤ D. 0x ≥ 知识回顾: 4、理解定理 (1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数 k 使 a ksinA ， ________________ ， c ksinC ； （2）」 b J 等价于 ______________________ sin A sin B sin C (3) 正弦定理的基本作用为: 正弦、余弦定理 1、直角三角形中，角与边的等式关系：在 Rt ABC 中，设 BC=a ，AG=b , AB=c , 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 -sin A ，- sin B ，又sinC 1 -，从而在直角三 c c c 角形ABC 中，-?- sin A b sin B c si nC 2、当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是CD 根据任意角三角函数的定义, 有 CD=asinB bsinA ，则 一- b ，同理可得一 sin A sin B sin C b sin B 从而」- sin A b sin B c sin C 3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 ____ 的比相等，即旦 sin A b sin B c sin C c b a c sin C sin B ' sin A sin C ① 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a bsinA ； b sin B ② 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如 sin A a sin B ； sinC . b (4) 一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作 解三角形? 5、知识拓展 6、 勾股定理： ___________________________________ 7、 余弦定理：三角形中 __________ 平方等于 _______________________ 减去 _____________ ______________ 的两倍，即a 2 b 2 8、余弦定理的推论: cosC ____________________________ 。 9、在 ABC 中，若a 2 b 2 c 2,则 ______________________ ，反之成立; 典型例题: a b sin A sin B c si nC 2R ，其中2R 为外接圆直径. c 2 cosA cosB 《成比例线段》 学生的知识技能基础： 这节课是“成比例线段” 的第二课时，学生已经通过第一节课的学习，观察了大量的图片，列举了许多现实生活中的情境， 认识了线段的比的知识，知道了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。也学会了运用比例线段的基本性质解决实际问题，并通过图片创设的问题情境，重现了现实生活中的比例模型，初步掌握了解决有关比的问题的方法。在这个基础上，进一步来学习成比例线段的有关性质，学生不会感到陌生，反而容易接受本节课的继续学习。 学生活动经验基础： 上一节课，学生已经收集了一些相似图形的图片，如大小不同的两张中国地图、国旗，同底相片等。已经感受了数学知识源于生活，用于生活。各小组展示并讨论过线段比的事例，具有了一定的合作交流的基础和能力。 【知识与能力目标】 了解线比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。 【过程与方法目标】 经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。【情感态度价值观目标】 通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。 【教学重点】 理解线段比的概念及其求解。 【教学难点】 求线段的比，注意线段长度单位要统一。 课件。 一、情境导入 1、看一看，想一想。这棵大树有多高？ 小敏思考后,她只用一根卷尺, 测出了大树影子BC,自己的身高A1 B1及影子B1 C1三个数据,然后通过计算,立刻得出了树高AB.你能行吗?这里需要什么知识？ 【设计意图】：通过实际生活中的例子，让学生在上新课之前就对新的知识产生了浓厚的兴趣。这样更利于新课的进行。 2、想一想，算一算： 这幅图片中的实际自然景观有多大? （已知中国自然景观卫星影像图1：18 700 000） 2018学年奉贤区调研测试 九年级数学 201901 （满分150分，考试时间100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．已知线段a 、b ，如果:5:2a b =，那么下列各式中一定正确的是（▲） （A ）7a b +=； （B ）52a b =； （C ） 7 2 a b b +=； （D ） 5 12 a b +=+. 2．关于二次函数21 (1)2 y x = +的图像，下列说法正确的是（▲） （A ）开口向下； （B ）经过原点； （C ）对称轴右侧的部分是下降的； （D ）顶点坐标是（1-，0）． 3．如图1，在直角坐标平面内，射线OA 与x 轴正半轴的夹角为 ，如果 OA tan 3a =，那么点A 的坐标是（▲） （A ）（1，3）； （B ）（3，1）； （C ）（1 ； （D ）（3 ． 4．对于非零向量a r 、b r ，如果23a b =r r ，且它们的方向相同，那么用向量a r 表示向量b r 正 确的是（▲） （A ）32b a =r r ； （B ）23b a =r r ； （C ）32 b a =-r r ； （D ）23b a =-r r ． 5．某同学在利用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++?的图像时，先取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y ，如下表所示： 接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（▲） （A ）03x y ì=??í ?=-??； （B ）21x y ì=??í?=-??； （C ）30x y ì=??í?=??； （D ）43 x y ì=??í ?=??． 6．已知⊙A 的半径AB 长是5，点C 在AB 上，且AC =3，如果⊙C 与⊙A 有公共点，那么⊙C 的半径长r 的取值范围是（▲） （A ）2r 3； （B ）8r ￡； （C ）28r <<； （D ）28r ＃． 图1 4．1 成比例线段 4．1．2 比例的基本性质 【学习目标】 1、（理解）能熟记比例的基本性质． 2、（掌握）能够运用比例的性质进行简单的计算和证明. 【学习重点】比例的基本性质及其应用. 【学习过程】 一、知识链接： 1、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题： （1）如果a与b的比值和c与d的比值相等，应记为：。 （2）已知2：3＝4：x，则x=。 2、上节课学习了两条线段的比，成比例线段 （1）比例线段及其相关概念 “成比例线段”的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做。 （2）“成比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？ 线段的比是指条线段的比的关系，成比例线段是指条线段之间的关系。 （3）注意：概念的有序性 线段的比有顺序性，a:b和b:a相等吗？请举例说明。 成比例线段也有顺序性，如能说成是b、a、c、d成比例吗？请举例说明。 二、预习交流： （1）比例的基本性质是：。 请写出推理过程： ∵，在两边同乘以bd得， = ∴= （2）合比性质:如果，那么 请写出推理过程： ∵，在两边同时加上1得， +=+ . 两边分别通分得： 思考：请仿照上面的方法，证明“如果，那么”． （3）等比性质： 猜想（），与相等吗？能否证明你的猜想？（引导学生从上述实例中找出证明方法） 等比性质：如果（），那么＝．思考：等比性质中，为什么要这个条件？ 三、巩固练习： 1.在相同时刻的物高与影长成比例，如果一建筑在地面上影长为50米，高为1.5米的测竿的影长为 2.5米，那么，该建筑的高是多少米？ 2．若则 3．若，则 四、本课小结： 1．比例的基本性质：a:b=c:d； 2. 合比性质：如果，那么； 3. 等比性质：如果（）， 实用文档之"解三角形" 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则 △ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角 为0 60，则底边长为（ ） A ．2 B ．23 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0 060120或 D ．0 015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是 （ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0 150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，0 90C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3 ． 在△ABC 中，若 ====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则 C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 2．在△ABC 中，求证： )cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．在锐角△ABC 中，求 证： C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。 4．在△ABC 中，设,3 ,2π =-=+C A b c a 求B sin 的 值。 解三角形 一、选择题 1．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于 （ ） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ．2 D ．2 2．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（ ） A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不能确定 3．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（ ） A ．A b sin 2 B ．A b cos 2 C ．B b sin 2解三角形的必备知识和典型例题及习题
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