人教版 初三数学 竞赛专题：平行线分线段成比例（含答案）
【例 1】如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥BC ，AD ＝ a ，BC ＝ b ， E ， F 分别是 AD ，BC 的中点 且
AF 交 BE 于 P ， CE 交 DF 于 Q ，则 PQ 的长为＿＿＿＿．
R ，交 CD ， AD 于 S ， T ． 求证： PQ?PT ＝ PR?PS ．
【例 4】梯形 ABCD 中， AD//BC ，AB ＝ DC ．
（1）如图 1，如果 P ， E ，F 分别是 BC ，AC ，BD 的中点，求证： AB ＝PE ＋PF ；
（2）如图 2，如果 P 是 BC 上的任意一点（中点除外） ，PE ∥AB ，PF ∥DC ，那么 AB ＝PE ＋PF 这个 结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．
则 BG ︰ A ．
2】如图， GH ：HM 3︰2︰1 3】如图， 在△ ABC 中， D ，E 是BC 的三等分点， M 是 AC 的中点， BM 交 AD ，AE 于 G ，H ，
等于（
B ．4︰2︰1
C ． 5︰4︰3
□ABCD 中，P 为对角线 BD 上一点， 过点 P 作一直线分别交 BA ，BC 的延长线于 Q ，
C
D ． 5︰3︰2
C
【例 5】如图，已知 AB ∥CD ，AD ∥CE ，F ，G 分别是 AC 和 FD 的中点，过 G 的直线依次交
AD ，CD ，CE 于点 M ，N ，P ，Q ．
求证： MN ＋PQ ＝ 2PN ．
【例 6】已知：△ ABC 是任意三角形．
（1）如图 1，点 M ，P ，N 分别是边 AB ，BC ，CA 的中点，求证：∠ MPN ＝∠ A ； （2）如图 2，点 M ，N 分别在边 AB ，AC 上，且 AM ＝1， AN ＝1，点 P 1，P 2是 AB 3 AC 3 边 BC 的三等分点，你认为∠ MP 1N ＋∠ MP
2
N ＝∠ A 是否正确？请说明你的理由；
AB ，
D
能力训练
A 级
1．设 K ＝a b c ＝ a b b c ＝ a a b c ， 2．如图， AD ∥EF ∥BC ，
AD ＝15， BC ＝21 2AE ＝ EB ，则 EF
＝
F C
D
C
C
3．如图，在△ ABC 中， 4．如图， ABCD 是正方
形，
BM ＝3MC ，AD ＝ DM ，则 BD ︰DN ＝ HC ＝
AM 与 BN 相交于 D ， F 是 AB ，BC 的中点，连结 EC 交DB ，交DF 于G ，H ，则EG ︰GH
E ， 5．如图，在正△ ABC 的
边
BC
， CA 上分别有点 E ，F ，且满足 BE ＝CF ＝a ，EC ＝FA ＝b （ a >b ），
当 BF 平分 AE 时，则 a
的值为 b
A ． 52 1
B ．
C ． 52 1
D ． 52 2
6．如图，△ ABC 中，AD 是 BC 边上的中线， F 是 AD 上的一点， 长交 AB 于 E ，则 AE ︰ EB 等于（ A ． 1︰10 B ．1 C ．1︰8 且 AF ︰FD ＝1︰5，连结 CF 并延
D ．1︰7
C PQ ∥AB ，
7．如图， C PQ ＝
6， C ．12 C
D ． 16
A ．4
B ．8
8．如图， EF ∥BC ， 3
FD ∥AB ，BD ＝ BC ， 5
则 BE ︰ EA 等于
（
A ． 3︰5
B ．2︰5
C ．2︰3
D ．
3︰2 9．（ 1）阅读下列材料，补全证明过
程．
已知，如图，矩形
ABCD 中， AC ，BD 相交于点 O ，OE ⊥BC 于 E ，连结 DE 交 OC 于点 F ，作
FG
⊥BC 于 G ．求证：点 G 是线段 BC 的一个三等分点．
证明过程）
求
证： 1 AG ＝ 1 AC ．
11．如图，梯形 ABCD 中， AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点 O ，且 EF ∥AD ． 1）求证： OE ＝OF ； 2）求 OE ＋ OE 的值； AD BC
12．如图，四边形 ABCD 是梯形，点 E 是上底边 AD 上的一点， 点 F ，过点 E 作 BA 的平行线交 CD 的延长线于点 M ， MB 与 AD 交于点 N ．
求证：∠ AFN ＝∠ DME ．
2）请你依照上面的画法，在原图上画出 BC 的一个四等分点． 要求：保留画图痕迹，不写画法及
10．如图，已知在 □ABCD 中， E 为 AB 边的中点，
AF ＝ 1
FD ，
2
3）求证： 1＋
AD BC
2
EF CE 的延长线与 BC 的延长线交于 D
C
第 9 题
C
FE 与 AC 相交于
G ．
B级
AB，CD ，它们相距15cm，分别自两杆上高出地面4m，
6m 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝
绳
MN ∥ED，则EF︰FD＝
Q
C
与BC 的交点P 离地面的高度
为
m
．
2．如图，□ABCD 的对角线交于O 点，
点．设BC ＝ a ，CD ＝ b ，CF＝ c ，则
CE＝
E
3．如图，D，F 分别是△ ABC 边AB，AC 上的点，且AD
︰
DB＝CF FA＝2︰3，连结DF 交BC 边的延长线于点E，那么EF︰FD ＝
4．如图，设AF＝10，FB＝12，BD＝14，DC＝6，CE＝
9，
EA＝7，且KL∥DF ，LM∥FE，
A
A．1
B．12 C．16
D
D．18 6．如图，CE，CF 分别平分∠ACB，∠ ACD ，
AE∥CF，
AF∥CE，直线EF 分别交AB，AC 于1．如图，工地上竖立着两根电线杆
的A， C 处，向两侧地面上的E，D 和B，
F
AD
点 M ，N ．若 BC ＝ a ，AC ＝ b ， AB ＝ c ，且 c >a >b ，则 EM 的长为（ ）
7．如图，在 □ABCD 的边 AD 延长线上取一点 F ，BF 分别交 AC 与 CD 于 E ，G ．若 EF ＝ 32， GF ＝24，则 BE 等于（ ）
F ，则 AF ︰FD 的值是（
）
求证： MN 1 AE BF NP ＝
2(EP FP )．
10．如图，在四边形 ABCD 中，AC 与BD 相交于 O ，直线 l 平行于 BD 且与 AB ，DC ，BC ，AD 及 AC 的延长线分别交于点 M ，N ，R ，S 和 P ．
求证： PM ·PN ＝PR ·PS ．
A ．
ca B ． a b
cb 2
D ． a b c
A ．4
B ．8
C ．10
D ． 12
E ．16
8．如图，在梯形 ABCD 中， AB ∥CD ， AB ＝3CD ，E 是对角线 AC 的中点，直线 BE 交 AD 于点 A ．2
C ．3
2
D ．1
9．如图， P 是梯形 ABCD 的中位
线 于 E ， F ．
MN 所在直线上的任意一点， 直线 AP ， BP 分别交直线 CD
C
B ．53
第8题
P
O D
B
第 10 题
C D
11．如图， AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，B ，D 是垂足， AD 和 BC 交于 E ，EF ⊥BD 于 F ．我们可以证
明： 1 1 ＝ 1 成立（不要求证出） ．以下请回答：若将图中垂直改为
AB ∥CD ∥ EF ，那么，
AB CD EF
（ 1） 1 1 ＝ 1 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
AB CD EF
（ 2）请找出 S △ ABD ， S △BED 和 S △BDC 的关系式，并给出证明．
在 Rt △ABC 中，∠ BAC ＝90°，AD 平分∠ BAC ，过 D 点的直线 PQ 交边 AC 于点 P ，交边 结果）
参考答案
12． AB 的延长线于点 Q ．
1） 如图 1， 1
当 PQ ⊥ AC 时，求证： 1
AQ 1 2
；
＝
；
AP AD
2） 如图 2， 当 PQ 不与 AD 垂直时，（ 1） 的结论还成立吗？证明你的结论；
3） 如图 3， 若∠ BAC ＝60°，其它条件不变，且
1
AQ
1 AP
n AD
，则 n ＝ 直接写出
C
C
C