函数的奇偶性
【学习目标】
1.理解函数的奇偶性定义；
2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；
3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】
要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释：
（1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()
()()0,
1(()0)()
f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()
()()01(()0)()
f x f x f x f x f x -+-==-≠，
； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；
（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.
3.用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；
（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性.
若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；
若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；
若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数
要点二、判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.
（2）验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()
1()
f x f x -=±是否成立即可.
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
要点三、关于函数奇偶性的常见结论
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相同的单调性，即已知()f x 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相反的单调性，即已知()f x 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是减函数（增函数）.
【典型例题】
类型一、判断函数的奇偶性 例1. 判断下列函数的奇偶性： (1)1-()(1)
1x
f x x x
=++； (2)f(x)=x 2-4|x|+3 ； (3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)2
1-()|2|-2
x f x x =+；
(5)22-(0)
()(0)
x x x f x x x x ?+≥?=?+
【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.
【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数． 【解析】(1)∵f(x)的定义域为(]
-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数； (2)对任意x ∈R ，都有-x ∈R ，且f(-x)=x 2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x 2-4|x|+3为偶函数 ； (3)∵x ∈R ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(4)
[)(]2-1x 1
1-x 0 x -1,00,1x 0x -4x+22≤≤?≥?∴∴∈??
?≠≠≠±??
且 22
1-1-()(2)-2x x f x x x
∴==
+ 22
1-(-)1-(-)--()-x x f x f x x x
∴===，∴f(x)为奇函数；
(5)∵x ∈R ，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (6)
11
(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22
f x
g x g x g x g x f x ===，∴f(x)为奇函数.
【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是
函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉|2|x +的绝对值符号时就十分麻烦.
举一反三：
【变式1】判断下列函数的奇偶性：
(1)23()3
x
f x x =+；
(2)()|1||1|f x x x =++-；
(3)222()1
x x
f x x +=+；
(4)22x 2x 1(x 0)f (x)0(x 0)x 2x 1(x 0)?+-
==??-++>?
.
【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数． 【解析】(1)()f x 的定义域是R ，
又223()3()()()33
x x
f x f x x x --=
=-=--++，()f x ∴是奇函数．
（2）()f x 的定义域是R ，
又()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=-++--=-++=，()f x ∴是偶函数． （3）2
2
()()()11f x x x x x -=-+-+=-+
()()()()f x f x f x f x ∴-≠--≠且，∴()f x 为非奇非偶函数．
（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2
+2(-x)-1=x 2
-2x-1=-(-x 2
+2x+1)=-f(x)
任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x 2-2x+1=-(x 2+2x-1)=-f(x)
x=0时，f(0)=-f(0) ∴x ∈R 时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数. 【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】
【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶
函数.
证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x) ∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数. 【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（2）】
【变式3】设函数()f x 和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论 恒成立的是 （ ）.
A ．()f x +|g(x)|是偶函数
B ．()f x -|g(x)|是奇函数
C ．|()f x | +g(x)是偶函数
D ．|()f x |- g(x)是奇函数 【答案】A
例2.已知函数(),f x x R ∈，若对于任意实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=+，判断()f x 的奇偶性. 【答案】奇函数
【解析】因为对于任何实数,a b ，都有()()()f a b f a f b +=+，可以令,a b 为某些特殊值，得出
()()f x f x -=-.
设0,a =则()(0)()f b f f b =+，∴(0)0f =. 又设,a x b x =-=，则(0)()()f f x f x =-+，
()()f x f x ∴-=-，()f x ∴是奇函数.
【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断()f x -与
()f x 之间的关系，因此需要先求出(0)f 的值才行.
举一反三： 【变式
1】 已知函数
(),f x x R ∈，若对于任意实数12,x x ，都有
12
12
1()()2
()()f x x f x
x f x f x +
+
-=?，判断函数
()f x 的奇偶性. 【答案】偶函数 【解析】令
120,,x x x ==得
()()2(0)()
f x f x f f x +-=，令210,,
x x x ==得
()()2(0)()f x f x f f x +=
由上两式得：()()()()f x f x f x f x +-=+，即()()f x f x -=
∴()f x 是偶函数.
类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)
例 3. f(x)，g(x)均为奇函数，()()()2H x af x bg x =++在()0,+∞上的最大值为5，则()H x 在（-,2∞）上的最小值为 ．
【答案】 -1
【解析】考虑到(),()f x g x 均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求()H x 与()H x -的关系．
()H x +()H x -=()()2()()2af x bg x af x bg x +++-+-+
()(),()()f x f x g x g x -=--=-，
()()4H x H x ∴+-=．
当0x <时，()4()H x H x =--， 而0x ->，()5H x ∴-≤，()1H x ∴≥- ∴()H x 在(,0)-∞上的最小值为-1．
【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现()()af x bg x +也是奇函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题．过程如下：
0x >时，()H x 的最大值为5，0x ∴>时
()()af x bg x +的最大值为3，0x ∴<时()()af x bg x +的最小值为-3，0x ∴<时，()H x 的最小值为
-3+2=-1．
举一反三：
【变式1】已知f(x)=x 5+ax 3
-bx-8，且f(-2)=10，求f(2). 【答案】-26
【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5
+(-2)3
a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 ∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数 ∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8
∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.
【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x 5+ax 3-bx 为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题(2)g 便能迎刃而解.
例4. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2
()31f x x x =+-，求()f x 的解析式．
【答案】2231,0,()0,0,31,0.x x x f x x x x x ?+->?
==??-++
【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，
()()f x f x ∴-=-，当0x <时，0x ->，
2
()()()3()1f x f x x x ??∴=--=--+--??
=231x x -++
又奇函数()f x 在原点有定义，(0)0f ∴=．
2231,0,
()0,0,
31,0.x x x f x x x x x ?+->?
∴==??-++
【总结升华】若奇函数()f x 在0x =处有意义，则必有(0)0f =，即它的图象必过原点（0，0）． 举一反三：
【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例3】 【变式1】（1）已知偶函数()f x 的定义域是R ，当0x ≤时2()31f x x x =--，
求
()f x 的解析式.
（2）已知奇函数()g x 的定义域是R ，当0x >时2()21g x x x =+-，
求()g x 的解析式.
【答案】（1）2
231(0)
()31(0)x x x f x x x x ?+->?=?--≤??；（2）2221(0)
()0021(0)
x x x g x x x x x ?+->?==??-++
（）
例5. 定义域在区间[－2，2]上的偶函数()g x ，当x ≥0时，()g x 是单调递减的，若(1)()g m g m -<成立，求m 的取值范围．
【思路点拨】根据定义域知1－m ，m ∈[―1，2]，但是1―m ，m 在[―2，0]，[0，2]的哪个区间内尚不明确，若展开讨论，将十分复杂，若注意到偶函数()f x 的性质：()()(||)f x f x f x -==，可避免讨论．
【答案】1
[1,)2
-． 【解析】
由于()g x 为偶函数，所以(1)(1)g m g m -=-，()(||)g m g m =．因为x ≥0时，()g x 是单调递减的，
故|1|||
(1)()(|1|)(||)|1|2||2m m g m g m g m g m m m ->??-?
-≤-≤??-≤≤?
，解得
1
12
m -≤<．
故m 的取值范围是1
[1,)2
-．
【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质，将1―m ，m 转化到同一单调区间上，避免了对由于单调性不同导致1―m 与m 大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化．另外，需注意的是不要忘记定义域．
类型三、函数奇偶性的综合问题
例6. 已知()y f x =是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数2(1)f x -的单调递增区间． 【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。
【答案】[0，1]和（―∞，―1]
【解析】 ∵()f x 是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，∴()f x 在（－∞，0]上是增函数． 设u=1―x 2，则函数2(1)f x -是函数()f u 与函数u=1―x 2的复合函数．
∵当0≤x ≤1时，u 是减函数，且u ≥0，而u ≥0时，()f u 是减函数，根据复合函数的性质，可得2(1)f x -是增函数．
∵当x ≤－1时，u 是增函数，且u ≤0，而u ≤0时，()f u 是增函数，根据复合函数的性质，可得2(1)f x -是增函数．
同理可得当－1≤x ≤0或x ≥1时，2(1)f x -是减函数． ∴所求的递增区间为[0，1]和（―∞，―1]．
【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．
（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错．确定x 的取值范围时，必须考虑相应的u 的取值范围．本例中，x ≥1时，u 仍是减函数，但此时u ≤0，不属于()f u 的减区间，所以不能取x ≥1，这是应当特别注意的．
例7. 设a 为实数，函数f(x)=x 2
+|x-a|+1，x ∈R ，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 【思路点拨】对a 进行讨论，把绝对值去掉，然后把f(x)转化成二次函数求最值问题。 【答案】当a=0时，函数为偶函数；当a ≠0时，函数为非奇非偶函数. 当min min 1313-()|-;()|;2424a f x a a f x a ≤=
>=+时，时，2min 11
-()|122
a f x a <≤=+时，. 【解析】当a=0时，f(x)=x 2+|x|+1，此时函数为偶函数；
当a ≠0时，f(x)=x 2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.
(1)当x a ≥时，213()()-24
f x x a =+
+ ①[)1
1
3
()(-)-,2
2
4
a f x a f a ≤-+∞=
时，函数在，上的最小值为 且1
f(-
)f(a).2≤ ②[)1
(),2
a f x a >-+∞时，函数在上单调递增，
[)(),f x a ∴+∞在上的最小值为f(a)=a 2+1.
(2)当x a <时，2213()-1()24
f x x x a x a =++=-++ ①(]1
()-,2
a f x a ≤
∞时，函数在上单调递减， (]()-f x a ∴∞在，上的最小值为2()1f a a =+
②(]1()-2a f x a >∞时，在，上的最小值为131
()()().242
f a f f a =+≤，且 综上：min min 1313
-()|-;()|;2424
a f x a a f x a ≤=>=+时，时，
2min 11
-()|122
a f x a <≤=+时，. 举一反三：
【变式1】 判断()||||()f x x a x a a R =+--∈的奇偶性．
【答案】当0a =时，函数()f x 既是奇函数，又是偶函数；当0a ≠时，函数()f x 是奇函数． 【解析】对a 进行分类讨论． 若0a =，则()||||0f x x x =-=．
x R ∈，∴定义域R 关于原点对称，∴函数()f x 既是奇函数，又是偶函数．
当0a ≠时，
()||||||||()f x x a x a x a x a f x -=-+---=--+=-，∴()f x 是奇函数．
综上，当0a =时，函数()f x 既是奇函数，又是偶函数； 当0a ≠时，函数()f x 是奇函数．
例8. 对于函数()f x ，若存在x 0∈R ，使00()f x x =成立，则称点（x 0，x 0）为函数()f x 的不动点． （1）已知函数2
()()(0)f x ax bx b a =+-≠有不动点（1，1），（―3，―3），求a ，b 的值； （2）若对于任意的实数b ，函数2
()()(0)f x ax bx b a =+-≠总有两个相异的不动点，求实数a 的取
值范围；
（3）若定义在实数集R 上的奇函数()g x 存在（有限）n 个不动点，求证：n 必为奇数． 【答案】（1）a=1，b=3；（2）（0，1）；（3）略．
【解析】 （1）由已知得x=1和x=―3是方程ax 2+bx ―b=x 的根，
由违达定理1133b a
b a -?
-=-????-=-
??
?a=1，b=3．
（2）由已知得：ax 2
+bx ―b=x （a ≠0）有两个不相等的实数根， ∴Δ1=(b －1)2
+4ab ＞0对于任意的实数b 恒成立． 即b 2
+(4a －2)b+1＞0对于任意的实数b 恒成立．
也就是函数2()(42)1f b b a b =+-+的图象与横轴无交点． 又二次函数()f b 的图象是开口向上的抛物线， 从而Δ2=(4a ―2)2―4＜0，即|4a ―2|＜2，∴0＜a ＜1．
∴满足题意的实数a 的取值范围为（0，1）． （3）∵()g x 是R 上的奇函数，∴()()g x g x -=-.
令x=0，得(0)(0)g g =-，∴(0)0g =．∴（0，0）是()g x 的一个不动点． 设（x 0，x 0）（x 0≠0）是()g x 的一个不动点，则00()g x x =．
又000()()g x g x x -=-=-，∴（―x 0，―x 0）也是()g x 的一个不动点． 又∵x 0≠－x 0，∴()g x 的非零不动点是成对出现的．
又（0，0）也是()g x 的一个不动点，∴若()g x 存在n 个不动点，则n 必为奇数．
【总结升华】本例是一个信息迁移问题，解这类问题关键在于准确理解新定义，充分利用新定义分析解决问题．本例的“不动点”实质是关于x 的方程()f x x =的解的问题．本例（3）的解决主要是结合奇函数关于原点的对称性从而得到有关的结论．
【巩固练习】
1． 函数1
()(0)f x x x x
=-
≠是( ) A ．奇函数 B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数又不是偶函数
2．若函数2y x bx c =++是偶函数，则有 ( )
A.,b R c R ∈∈
B. ,0b R c ∈=
C. 0,0b c ==
D. 0,b c R =∈ 3．设函数3()21f x ax bx =+-，且(1)3,f -=则(1)f 等于（ ） A.-3 B.3 C.-5 D. 5
4．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A ．)2()1()2
3
(f f f <-<- B ．)2()2
3
()1(f f f <-<-
C ．)23()1()2(-<- D ．)1()2 3 ()2(-<- 5．如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是( ) A ．增函数且最小值是5- B ．增函数且最大值是5- C ．减函数且最大值是5- D ．减函数且最小值是5- 6．设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=，在R 上一定是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数. 7．设函数()f x 的图象关于y 轴对称，且()f a b =，则()f a -= . 8．如果函数2 ()f x x a x =- +为奇函数，那么a = . 9．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，()f x 在[] 0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递减，则不等式()0f x ≥的解集为 ． 10．若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是____________. 11．函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0 12．已知函数()()0f x x a x a a =+--≠，()()() 2200x x x h x x x x ?-+>?=?+≤??，试判断()(),f x h x 的奇偶性. 13．设函数)(x f 是偶函数，且在(),0-∞上是增函数，判断)(x f 在()0,+∞上的单调性，并加以证明. 14．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意[ )1212,0,()x x x x ∈+∞≠ ，有2121 ()() 0f x f x x x -<-成立， 试比较(2),(1),(3)f f f -的大小. 【巩固练习】 1．函数2()||f x x x =+的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于x 轴对称 D ．不具有对称轴 2．已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3．设函数3()21f x ax bx =+-，且(1)3,f -=则(1)f 等于（ ） A.-3 B.3 C.-5 D. 5 4．如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是( ) A ．增函数且最小值是5- B ．增函数且最大值是5- C ．减函数且最大值是5- D ．减函数且最小值是5- 5．设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=，在R 上一定是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数. 6．定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()1(x f x f -=+，且在区间]0,1[-上为递增，则( ) A ．)2()2()3(f f f << B ．)2()3()2(f f f << C ．)2()2()3(f f f << D ．)3()2()2(f f f << 7．若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数，则)2 52()23 (2 + +-a a f f 与的大小关系是( ) A ．)23(-f >)252(2++a a f B ．)23(-f <)252(2++a a f C ．)23(-f ≥)252(2++a a f D ．)23(-f ≤)2 52(2 ++a a f 8．若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12,x x R ∈有1212()()()f x x f x f x +=++1，则下列说法一定正确的是（ ）． A ．()f x 为奇函数 B ． ()f x 为偶函数 C ．()1f x +为奇函数 D ．()1f x +为偶函数 9．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2 -+=x x x f ，那么0x <时， ()f x = . 10．若函数2()1 x a f x x bx += ++在[]1,1-上是奇函数，则()f x 的解析式为 . 11．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为-1，则 2(6)(3)f f -+-= . 12．已知函数2()3f x ax bx a b =+++为偶函数，其定义域为[] 1,2a a -，则()f x 的值域 ． 13．判断下列函数的奇偶性，并加以证明． (1)()1||f x x x =-； (2) 2,1, 1(),1122,1 x x f x x x x +<-??? =-≤≤??-+>?? 14．已知奇函数()f x 在（-1，1）上是减函数，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围． 15．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意的,a b R ∈都满足()()()f a b af b bf a ?=+． （1）求(0),(1)f f 的值； （2）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论． 16．设奇函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的增函数，若不等式2(6)(2)0f ax f x ++-<对于任意 []2,4x ∈都成立，求实数a 的取值范围． 函数的奇偶性的归纳总结 考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。 教学目标：1、理解函数奇偶性的概念； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法； 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法； 4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。 教学重点：1、理解奇偶函数的定义； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。 教学难点：1、对奇偶性定义的理解； 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。 教学过程： 一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。 理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象： 奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a 函数的单调性和奇偶性 教材复习 基本知识方法 1.奇偶函数的性质： ()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； ()2()f x 是偶函数?()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数?()f x 的图象关于原点对称； ()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的 单调性. 2.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ?=-=． 3.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． 4.判断函数的奇偶性的方法： ()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； ()2图象法； ()3性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D = 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇?奇=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇； 5. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1() f x f x =±-． 6.判断函数的单调性的方法： （1）定义法；（2）图象法；（3）性质法：在公共定义域内，利用函数的运算性质：若()f x 、)(x g 同为增函数，则①()()f x g x +为增函数；②()()f x g x 为增函数；③()1()0() f x f x >为减函数； ()()0f x ≥为增函数；⑤()f x -为减函数. 1．设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上一定是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数。 2．函数)11()(+--=x x x x f 是（ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是奇函数但不是减函数 C ．是减函数但不是奇函数 D ．不是奇函数也不是减函数 3．若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数，则)2 52()23 (2++-a a f f 与的大小关系是（ ） A ．)23(-f >)252(2++a a f B ．)23(-f <)2 52(2 ++a a f C ．)23(-f ≥)252(2++a a f D ．)23(-f ≤)2 52(2++a a f 4．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ?<的解集是（ ） A ．{}|303x x x -<<>或B ．{}|303x x x <-<<或 C ．{}|33x x x <->或 D ．{}|3003x x x -<<<<或 5．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数， 则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 6．设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =_____________________。 7．若函数2()1 x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 8．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2-+=x x x f ，那么0x <时，()f x =. 9．设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且1()()1 f x g x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式. 10．利用函数的单调性求函数x x y 21++=的值域； 师：什么是函数的奇偶性呢？ 生：回答 师：我们在函数奇偶性的知识点上重点考察的题型有哪些呢？ 生：回答 师：我们通过今天的学习一起来回顾一下函数奇偶性的重点题目。 一、函数奇偶性定义 1、图形描述： 函数()f x 的图像关于y 轴对称?()f x 为偶函数； 函数()f x 的图像关于原点轴对称?()f x 为奇函数 定量描述 一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，则称()f x 为偶函数；如果都有()()--f x f x =，则称()f x 为奇函数；如果()()f x f x -= 与 函数的奇偶性 ()()--f x f x =同时成立，那么函数()f x 既是奇函数又是偶函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =都不能成立，那么函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函 数。 如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数()y f x =具有奇偶性。 特别提醒： 1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步；（2）判断 ()()f x f x -=与()()f x f x -=-这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶 性。 二、函数具有奇偶性的几个结论 1、()y f x =是偶函数?()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =是奇函数? ()y f x =的图像关于原点对称。 2、奇函数()f x 在0x =有定义，必有()00f =。 3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。 4、()(),f x g x 是定义域为12,D D 且1 2D D 要关于原点对称，那么就有以下结论： 奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇?奇=偶 偶?偶=偶 奇?偶=奇 5、复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。 6、多项整式函数1 10()n n n n P x a x a x a --=++ +的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项的系数和常数项全为零； 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项的系数全为零。 （20-40分钟） 类型一 函数奇偶性的判断 例1：判断下列函数是否具有奇偶性： (1)f (x )＝2x 4＋3x 2 ； (2)f (x )＝1x ＋x ； 练习1：判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2 ＋1； 考点 数学·必修1(人教A版) 1.3.3 函数的奇偶性 ?基础达标 1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 解析：∵f(x)为R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0. 答案：B 2．(2013·山东卷)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x) ＝x2＋1 x ，则f(－1)＝( ) A．－2B．0C．1D．2 答案：A 3．如果偶函数在区间[a，b]上有最大值，那么该函数在区间[－b，－a]上( ) A．有最大值B．有最小值 C．没有最大值D．没有最小值 解析：∵偶函数图象关于y轴对称，由偶函数在区间[a，b]上具有最大值，∴在区间[－b，－a]上有最大值． 答案：A 4．已知f(x)＝ax3＋bx＋5，其中a，b为常数，若f(－7)＝－7，则f(7)＝( ) A．7B．－7C．12D．17 解析：∵f(－7)＝－7， ∴a(－7)3＋b(－7)＋5＝－7， ∴73a＋7b＝12. ∴f(7)＝73a＋7b＋5＝12＋5＝17. 答案：D 5．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是________． 解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)， ∴k－1＝0，∴k＝1， ∴f(x)＝－x2＋3的递减区间为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) ?巩固提高 6．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A．f(x)f(－x)是奇函数 B．f(x)|f(－x)|是奇函数 C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数 解析：取f(x)＝x，则f(x)f(－x)＝－x2是偶函数，A错，f(x)|f(－x)|＝x2是偶函数，B错；f(x)－f(－x)＝2x是奇函数，C 错．故选D. 答案：D 7．已知定义在R上的偶函数f(x)的单调递减区间为[0，＋∞)，则使f(x)＜f(2)成立的自变量取值范围是( ) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－2,2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析：∵f(x)是偶函数且在[0，＋∞)为减区间，示意图如下：由图示可知：f(x)＜f(2)成立的自变量的取值范围是(－∞，－ 2)∪(2，＋∞)． 答案：D 函数的奇偶性说课稿 一、说教材 1、说课内容： 函数的奇偶性 2、教材的编写意图： 教材从具体到抽象,从感性到理性,从实践到理论,层次分明,循序渐进地引导学生回顾自然界和日常生活中具有对称美的事物, 进入数学领域观察、归纳,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想,形成函数奇偶性概念。 3、教学目标 （1）、从形和数两个方面进行引导,使学生理解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性. （2）、在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法. （3）、在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神. 4、教学重点 函数奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断 5、教学难点 对函数奇偶性的概念的理解 二、说教法 根据本节教材内容和编排特点,为了更有效地突出重点,突破难点,按照学生的认知规律,遵循教师为主导,学生为主体,训练为主线的指导思想,采用以引导发现法为主,直观演示法、设疑诱导法为辅。教学中,教师精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题,创设问题情景,诱导学生思考,使学生始终处于主动探索问题的积极状态,从而培养思维能力。 三、说学法 根据学法指导自主性和差异性原则,让学生在“观察一归纳一检验一应用”的学习过程中,自主参与知识的发生、发展、形成的过程,使学生掌握知识。 四、说程序设计： 课堂教学是学生数学知识的获得、技能技巧的形成、智力、能力的发展以及思想品德的养成的主要途径。为了达到预期的教学目标,我对整个教学过程进行了系统地规划,设计了四个主要的教学程序是： （一）设疑导入观图激趣,。 （二）指导观察,形成概念。 （三）给出例题、加深理解。 （四）、学生探索、发展思维。 五、说课过程： （一）、设疑导入、观图激趣、。 1、让学生感受生活中的美：对称美 学生举例,出示一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志） （通过让学生观察麦当劳的标志导入新课,既激发了学生浓厚的学习兴趣,又为新知作好铺垫。） （二）、指导观察、形成概念。 数学中对称的形式也很多,这节课我们就同学们谈到的与轴对称的函数展开研究。 思考：那些函数的图象关于轴对称？试举例。 以函数为例,给出图象,然后问学生初中是怎样判断图象关于轴对称呢?此时提出研究方向:今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律? 利用函数的奇偶性求函数解析式及求值学案 ------邓隆耀 一、教学目的： 让学生掌握利用函数的奇偶性来求函数的解析式 重点：利用奇偶性的性质来求函数的解析式 难点：从特殊到一般的转化。 一、复习函数奇偶性的概念： ①设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈， 且()()f x f x -=-，则这个函数叫奇函数。 ②设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈， 若()()g x g x -=，则这个函数叫偶函数。 从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。也就是说当x 在其定义域内时，x -也应在其定义域内有意义 (1) 前提条件：定义域关于原点对称。 )(x f y =的定义域为[a-1,2a]则=a ______ (2) )(x f 与)(x f -的关系： 当)()(x f x f =-时为____函数； 当)()(x f x f -=-时为____函数。 ① 已知)(x f y =是奇函数，2)2(=-f ，求)2(f ② 已知)(x f y =是奇函数，当0>x 时，3)(x x f =，求)2(-f 二、题型一。 1.已知()y f x =是奇函数，当0x >时，()32f x x =，求当0x <时，()f x 的解析式。 （变式一）设函数)(x f 为定义域为R 上奇函数，又当0>x 时2()2f x x x =-，试求)(x f 的解析式。 （变式二）设函数)(x f 为定义在R 上的偶函数，又当0≥x 时，2()23f x x x =--，试求)(x f 的解析式。 （变式三）设函数)(x f 为定义在[a-1,2a]的奇函数，又当]2,0(a x ∈时，2()23f x ax x =--，试求)(x f 的解析式。 练习：1.已知函数,)(0)(2x x f x x f y R =<=时，满足上的奇函数定义在则=)))))1(((((f f f f f _____ 甘孜藏族自治州职业技术学校电子教案 专业名称：文化基础 课程名称：数学 任课教师：何小波 授课班级：2019级旅游1班 授课时间：2019-2020学年第2学期 甘孜藏族自治州职业技术学校教务处制 甘孜藏族自治州职业技术学校教学设计 课程名称：《数学》授课次序： 1 任课老师：何小波教研组长签字： 课题 名称 3.1.4 函数的奇偶性 授课 类型 理论课教学时数2学时（80分钟） 授课时间第周 星期 第节 第周 星期 第节 第周 星期 第节 第周 星期 第节 备注 授课班级2019级旅游 1班 教学目标 1.知识与技能：理解奇函数、偶函数的概念；掌握奇函数、偶函数的图象特征． 2.过程与方法：掌握判断函数奇偶性的方法． 3.情感态度与价值观：通过教学，渗透数形结合思想，培养学生类比推理的能力，体会由具体到抽象、由特殊到一般的辩证唯物主义思想． 教学内容与教 材3.1.4 函数的奇偶性 1. 函数奇偶性的定义； 2. 判定函数奇偶的方法、步骤． 教学 设备 多媒体、课件 教学 重点 奇偶性概念与函数奇偶性的判断． 教学 难点 理解奇偶性概念与奇函数、偶函数的定义域． 方法手段这节课主要采用类比教学法．先由两个具体的函数入手，引导学生发现函数f(x)在x与在－ x的函数值之间的关系，由特殊到一般引出奇函数的定义，再由点的对称关系得出奇函数的图象特征．然后由学生自主探索，类比得出偶函数定义．结合定义与例题总结出判断函数奇偶性的步骤，在解题过程中深化对概念的理解． 教学过程 教学 环节 教学内容教师活动学生活动设计意图一、 导入新课（5分钟）复习前面所学求函数值的知识． 教师提出问题， 学生回答． 学生回答为学生理 解奇、偶 函数的定 义做好准 备． 二、新知学习（30分钟） 新知学习： 1．奇函数 （1）奇函数定义 如果对于函数y＝f (x)的定义 域A内的任意一个x都有 f (－x)＝－f (x)， 则这个函数叫做奇函数． （2）奇函数图像特征 奇函数的图象都是以坐标原点 为对称中心的中心对称图形． 教师引导学生发现规律，总结 规律：自变量互为相反数时， 函数值互为相反数． 教师通过引例，归纳得到奇函 数定义． 提高学生 的读图能 力，渗透 数形结合 的数学思 想． 2.偶函数 （1）偶函数定义 如果对于函数y＝f (x)的定义 域A内的任意一个x都有 f (－x)＝f (x)， 则这个函数叫做偶函数． （2）偶函数图像特征 偶函数的图象都是以y轴为对 称轴的轴对称图形． 通过类比、自学，培养学生的 理性思维，提高学生的学习能 力，加强学生间的合作交流． 在掌握了 奇函数判 断方法的 基础上， 放手让学 生自己去 进行偶函 数的判 断，提高 学生举一 反三解决 问题的能y x O (x，f (x)) (-x，f (-x)) 函数的单调性和奇偶性 例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间． 解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数． 评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上． （2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围．分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征． 解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3． 评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合．例2判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝- （2）f（x）＝（x-1）． 解：（1）f（x）的定义域为R．因为 f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜ ＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）． 所以f（x）为奇函数． （2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数． 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： （1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称． （2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f 函数奇偶性 知识梳理 1. 奇函数、偶函数的定义 （1）奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-， 则这个函数叫奇函数. （2）偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=， 则这个函数叫做偶函数. （3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性. （4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数. 注意：（1）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =． （2）若()0f x =且()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 既是奇函数又是偶函数． 2．奇(偶)函数的基本性质 (1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反． 3. 判断函数奇偶性的方法 （1）图像法 （2）定义法 ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 例题精讲 【例1】若函数2()f x ax bx =+是偶函数，求b 的值. 解：∵函数 f (x )＝ax 2＋bx 是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．∴ax 2＋bx= ax 2-bx. ∴2bx=0. ∴b ＝0. 【例3】已知函数21()f x x =在y 轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象. 题型一 判断函数的奇偶性 【例4】判断下列函数的奇偶性. （1）2()||(1)f x x x =+； （2）1()f x x x =； x x x f 1)(+ =1 )(2+= x x x f x x f 1)(= 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-， 0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-， 0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴ x x x f +=2)(，（2） x x x f -=3)( （3） ()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3 )(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2 )(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时， ) () (x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。 函数的奇偶性 【学习目标】 1.理解函数的奇偶性定义； 2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】 要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：() ()()0, 1(()0)() f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：() ()()01(()0)() f x f x f x f x f x -+-==-≠， ； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式； （3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性. 若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数； 若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数； 若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数 要点二、判断函数奇偶性的常用方法 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的判断 例题：判断下列函数的奇偶性。 （1）();3 342 -+-=x x x f （2）();4422x x x f -+-= （3）()()()?????<-->+=.012 1,012122x x x x x f （4）()1 222++=x x x x f 练习：判断下列函数的奇偶性 （1）()2 22--=x x x x f ； （2）()()x x x x f -+-=111； （3）()12-+=x x x f ； （4）()()()() ?????<---=>+-=0320003222x x x x x x x x f . 二、函数奇偶性的性质运用 1、设函数()x f ，()x g 的定义域都为R ，且()x f 是奇函数，()x g 是偶函数，则()x f ()x g 是 ；()()x g x f 是 ；()()x g x f 是 ； 2、函数()的图象关于x x x f 2 3-= 对称； 3、若函数()x f 是定义在R 上的奇函数，则下列坐标表示的点一定在()x f 图象上的是（ ） ()()a f a A -,. ()()a f a B --,. ()()a f a C ---,. ()()a f a D -,. 例题：已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，当时，0>x ()x x x f 22-=， （1）求出函数()x f 在R 上的解析式； （2）画出函数()x f 的图象。 练习1已知函数()x f 是R 上的奇函数，当()()时，当时，0,10<+-=>x x x x f x ()x f 等于 《函数的奇偶性》教案 授课教师 授课时间：授课班级： 教材：广东省中等职业技术学校文化基础课课程改革实验教材《数学》（广东高等教育出版社出版） 教材主要特点：这本教材注意与初中有关知识紧密衔接，注重基础，增加弹性，使用教材可以根据有关专业的特点，选用相关的章节，教学要求和练习内容分A、B两档，适应分层教学。练习A的题目主要是基础练习，供全体学生学习，也是最低的要求；练习B的题目为拓展延伸的练习，供学有余力并且准备进一步深造的学生学习。 教学要求：教师在授课时主要是探究用奇、偶函数的定义判断函数的奇、偶性，奇、偶函数的性质（课本不要求证明）是作为拓展延伸的内容，以学生自学为主，教师适当给予辅导。教材已经分层编写，有利于实施分层教学时可以不分班教学。 任教班级特点：会计072班共有学生62人，男生6人，女生56人。学生数学平均入学成绩为58.3分，上课纪律良好，学生上课注意力比较集中，使用了这本教材后，绝大多数学生喜欢学数学，学生的学习成绩越来越好。 【教学过程】： 一、创设情境，引入新课 [设计意图：从生活中的实例出发，从感性认识入手，为学生认识奇偶函数的图像特征做好准备] 对称性在自然界中的存在是一个普遍的现象．如美丽的蝴蝶是左右对称的（轴对称）。 现实生活中有许多以对称形式呈现的事物，如汽车的车前灯、音响中的音箱，汉字中也有诸如“双”、“林”等对称形式的字体，这些都给以对称的感觉。函数里也有这样的现象。 提出问题让学生回答：1、中心对称图形的概念（提醒学生：中心对称——图形绕点旋转180度）；2、轴对称图形的概念（提醒学生：轴对称——图形沿轴翻折180度）。 数学中，对称也是函数图象的一个重要特征，下面展示的是五个函数的图像，请你说出下面的图像是中心对称图形还是轴对称图形或者两者都不是？ [教学说明：图像（1）、（4）是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；图像（2）、（3） 单元测试（2） 一、选择题：（每小题4，共40分） 1. 下列哪组中的两个函数是同一函数 ( ) A ．2y =与y x = B 。3y =与y x = C ．y = 2y = D 。y =与2 x y x = 2. 若()f x =(3)f -等于 （ ） (A)32- (B)34 - (C)34 (D)32± 3. 函数f(x)=2-x +(x-4)0的定义域为 （ ） A ． {x|x>2,x ≠4} B 。{x|x ≥2,或x ≠4} C 。[) ()2,44,+∞ D 。[)2,+∞ 4.函数y=x 2-1的值域是 （ ） A ． (-∞,-1) B 。 [)1,-+∞ C 。 [-1,0] D 。 R 5. 函数f(x)=x|x|+x 3是 （ ） A ． 偶函数 B 。奇函数 C 。非奇非偶函数 D 。既奇又偶函数 6．若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上 （ ） A ．必是增函数 B 。必是减函数 C ．是增函数或是减函数 D 。无法确定增减性 7．函数x x x x f +=)(的图象是 ( ) 8. .函数f (x )=x 2+2(a －1)x +2在区间(-∞,4)上递减,则a 的取值范围是 ( ) A.[)3,-+∞ B.(],3-∞- C.(-∞,5) D.[)3,+∞ 9、设偶函数f(x)的定义域为R ，当x [0,)∈+∞时f(x)是增函数，则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 A B C D （ ） A 。f(π)>f(-3)>f(-2) B 。f(π)>f(-2)>f(-3) C ．f(π) 《函数的奇偶性》教案 一、教材分析 “奇偶性”是人教版必修1中第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。 函数的奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的初中学过的的一些轴对称图形入手，体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。尝试画出和的图像，从特殊到一般，从具体到抽象，比较系统地介绍了函数的奇偶性．从知识结构看，奇偶性既是函数概念的拓展和深入，又是为以后学习基本初等函数奠定了基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。 二、学情分析 从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，上节课学习了函数单调性，积累了研究函数的基本方法与初步经验。 三、教学目标 【知识与技能】 1．理解奇函数、偶函数的概念及其几何意义； 2．能从定义、图像特征、性质等多种角度判断函数的奇偶性，学会函数的应用。 【过程与方法】 通过实例观察、具体函数分析、数与形的结合，定性与定量的转化，让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程，体验数学概念学习的方法，积累数学学习的经验。 【情感、态度与价值观】 1.在经历概念形成的过程中，培养学生内容、归纳、抽象、概括的能力； 2.通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。 四、教学重点和难点 重点：函数奇偶性的概念和函数图像的特征。 难点：利用函数奇偶性的概念和图像的对称性，证明或判断函数的奇偶性。 五、教学方法 引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。 六、教学手段 PPT课件。 七、教学过程 （一）情境导入、观察图像 出示一组轴对称和中心对称的图片。 设计意图：通过图片引起学生的兴趣，培养学生的审美观，激发学习兴趣。 师：“同学们，这是我们生活中常见的一些具有对称性的物体，你能说出它们有什么特点吗？” 生：“它们的共同点都是关于某一地方是对称的。” 师：“是的，而我们今天要学习的函数图像也有类似的对称图像，首先我们来尝试画一下和的图像，并一起探究几个问题。” （二）探究新知、形成概念 探究1．观察下列两个函数和的图象，它们有什么共同特征吗？ 教案 教者李德双科目数学班级3班课题函数的奇偶性课型启发式教学 时间2019年12 月19 日地点多媒体教室 教学目标1．知识与技能目标：理解奇（偶）函数概念；会利用定义判断简单函数是否为奇（偶）函数；掌握奇（偶）函数图象性质； 2．过程与方法目标：在学习过程掌握从特殊到一般的研究方法；学会用对称的方法来方便问题的解决； 3．情感态度与价值观目标：锻炼学生思维的严谨性；体验探究的乐趣； 教学重点函数的奇偶性定义及其图像性质； 教学难点函数的奇偶性判断； 学情分析学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的知识储备，并能进行简单的特殊到一般的推导。 课前准备对称的图片和函数奇偶性的PPT 教学环节教学内容学生活动教学方 法 导入新授 一、创设情景，兴趣导入 出示一组轴对称和中心对称的图片 给出一组函数图像，根据图像对称性认识偶函数和 奇函数 二、动脑思考、探索新知 1．偶函数 探究1．观察函数 2 ) (x x f=的图象 （1）.求值并观察 f (-x) 与 f (x)的规律: f (1) = ；f (-1) = ； f (2) = ；f (-2) = ； f (a) = ；f (-a) = ； 关系：) (x f-______) (x f （2）.思考图像有何对称的特征？ 这类函数就是偶函数,具体定义和性质如下: 一般地，如果函数) (x f的定义域关于原点对称， 并且对定义域内任意一个值x，都有) ( ) (x f x f= -， 观察并回 答 回答 结果 通过图片 引起学生 的兴趣， 培养学生 的审美 观，激发 学习兴 趣。 从熟悉的 函数入 手，符合 学生的认 知规律 从“形” 1.3.2函数的奇偶性 教学目标：理解函数的奇偶性 教学重点：函数奇偶性的概念和判定 教学过程： 1、通过对函数x y 1=，2x y =的分析，引出函数奇偶性的定义 2、函数奇偶性的几个性质： （1）奇偶函数的定义域关于原点对称； （2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； （3）)()()(x f x f x f ?=-是偶函数，)()()(x f x f x f ?-=-是奇函数； （4）0)()()()(=--?=-x f x f x f x f , 0)()()()(=-+?-=-x f x f x f x f ； （5）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； （6）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 3、判断下列命题是否正确 (1)函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。 此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。 (2)两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。 此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如 , ，可以看出函数与都是定义域上的函数，它们的差只在区间[－1，1]上有定义且 ，而在此区间上函数既是奇函数又是偶函数。 （3）是任意函数，那么与 都是偶函数。 此命题错误。一方面，对于函数 ， 不能保证或；另一方面，对于一个任意函数而言， 不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数 是偶函数。 函数的奇偶性 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 理解函数的奇偶性及其图像特征； 2、 能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征； 一、函数奇偶性定义 1、图形描述： 函数()f x 的图像关于y 轴对称?()f x 为偶函数； 函数()f x 的图像关于原点轴对称?()f x 为奇函数 定量描述 一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，则称()f x 为偶函数；如果都有()()--f x f x =，则称()f x 为奇函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =同时成立，那么函数()f x 既是奇函数又是偶函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =都不能成立，那么函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数()y f x =具有奇偶性。 特别提醒： 1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步；（2）判断()()f x f x -=与()()f x f x -=-这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。 二、函数具有奇偶性的几个结论 1、()y f x =是偶函数?()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =是奇函数?()y f x =的图像关于原点对称。 2、奇函数()f x 在0x =有定义，必有()00f =。函数奇偶性的归纳总结
高一数学必修一函数的奇偶性
2高一数学函数的奇偶性(1对1)
人教A版数学必修一函数的奇偶性
高中数学-函数的奇偶性说课稿
函数的奇偶性求解析式并求值 (2)
3.1.4 函数的奇偶性
高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)
(完整版)函数奇偶性知识点和经典题型归纳
最新函数的奇偶性的经典总结
函数的奇偶性
必修一函数的奇偶性
《函数的奇偶性》公开课课程教案
高中数学必修一函数的奇偶性练习
函数的奇偶性公开课优秀教案(比赛课教案)
函数的奇偶性公开课教案
1.3.2 函数的奇偶性
人教版高数必修一第6讲：函数的奇偶性(学生版)
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